Contenidos para Física y Química · 2013-10-17 · y precisa "definición" .En este orden de...

Parte experimental

Medidas, errores y cifras signiificativas

Contenidos paraFísica y Química

José Manuel Pereira Cordido. Catedrático de Física y Química del I.E.S. San Clemente. Santiago

Medidas, errores y cifras Medidas, errores y cifras Medidas, errores y cifras Medidas, errores y cifras significativassignificativassignificativassignificativas

José Manuel Pereira Cordido

Doctor en Ciencias

Catedrático de Bachillerato del I.E.S. San Clemente.

Santiago de Compostela

Edición 2013

© Realización, edición y diseño: José M. Pereira Cordido

© Fotografías: José M. Pereira Cordido

© Gráficos y dibujos: José M. Pereira Cordido Depósito Legal: 03/2013/1123

Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada

Medidas, errores y cifras significativas.

La necesidad de medir.

El método científico requiere llevar a cabo una serie de pasos:

observar un fenómeno, reproducir condiciones idóneas para su estudio,

experimentar realizando medidas fiables, establecer relaciones entre dichas

medidas, describir el fenómeno mediante una ley empírica, emitir

hipótesis y, finalmente, si resulta posible, formular una teoría o un modelo.

Pondremos de manifiesto, en primer lugar, los elementos más

frecuentemente utilizados en la aplicación de este método científico: las

magnitudes y su interrelación, las unidades en las que se expresan, las

medidas y los errores inherentes a estas.

El conocimiento cuantitativo de los cambios que tiene lugar en un

fenómeno exige llevar a cabo la operación de medir alguna propiedad

física. Por su parte, las matemáticas, mediante sencillas operaciones nos

permiten expresar la cuantía (cantidad) de la propiedad.

Dicha cuantía se obtiene por comparación con otra que se elige como

patrón. Dicho patrón se toma como unidad.

Así, cuando yo indico el resultado de una medida como 3 m. expreso

la cantidad de unidades resultantes de mi comparación. A esto le llamo

resultado de la medida.

Nunca es ocioso insistir en que el resultado de la medida,

necesariamente, tiene que expresarse mediante un número seguido de las

unidades que se han empleado para la medida.

Por otra parte, lo que llamamos patrón, es el resultado de

materializar en un objeto físico tangible la unidad definida con una larga

y precisa "definición" .En este orden de cosas, sugerimos al lector revisar la

definición de metro en algún texto que esté a su alcance. Y le recordamos

que la unidad así "definida" puede estar materializada en una barra, de

platino iridiado o de acero invar, que se conserva en un determinado museo

o Centro oficial de cada Estado .

Medidas, errores y cifras significativas

José Manuel Pereira Cordido 1

tes sidentifican a forma en que se escriben coa que realmente adopta as moléculas. Predomina na memoria visual a fórmula do composto e non a forma da molécula.A modo ejemplo debúxase á esquerda a forma dun hidrocarburo moi coñecido que logo se estudará, o octano normal. A súa for

1

Niveles subniveles nº subniveles e- por subnivel e- por nivel d 5 10 18 mposible que a molécula sexa plana.Un caso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser plano. En efecto, se os ángulos que forman enlácelos do carbono son duns 109 ( tal como sinálase na figura da esquerda, non é posible que a molécula sexa plana xa que o ángulo que forman os lados dun exágono regular (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir que exista tal tensión entre as valencias do carbono nun composto moi estable é preciso admitir que a forma non é plana. E así é, está demostrado que no ciclohexano e para satisfacer os ángulos de enlace do carbono, a molécula adopta dúas posibles formas non planas como as que se debuxan. Unha que se denomina de configuración en bañeira e outra chamada cadeira que sitúan aos átomos do carbono en planos diferentes. Todo o anterior é evidente e non precisa máis explicación, pero como sempre que se debuxa ao benceno debúxase nun plano, permanece a idea plana sobre a forma real da molécula que, non nos cansaremos de afirmar, non cinciden.Pero debemos de recoñecer que o noso pecado en diante será o mesmo que o doutros, xa que escribiremos aos compostos sobre un papel, plano, e só sacaremos a relucir a forma no espazo á hora de destacar que a representación plana non é No entanto, como nunca se escriben os compostos na forma que realmente teñen, os principiantes sidentifican a forma en que se escriben coa que realmente adopta as moléculas. Predomina na memoria visual a fórmula do composto e non a forma da molécula.A modo ejemplo debúxase á esquerda a forma dun hidrocarburo moi coñecido que logo se estudará, o octano normal. A súa forma é a dunha liña crebada (con tres dimensións) non plana; pero que se escribe habitualmente cunha estrutura lineal, tan perfectamente xeométrica que tras repetir e repetir a fórmula termina por idenfificarse a fórmula coa forma.E ambas as cousas, como pode verse na figura da esquerda, non coinciden.A todo o longo da química dos compostos orgánicos mantense a tendencia de ecipsar, sen querer este importante aspecto. Así, cando se escriben, e ata se debuxan, algúns compostos cíclicos contribúese a memorizar a súa forma plana cando é imposible que a molécula sexa plana.Un caso moi coñecido é o sinálase na figura da esquerda, non é posible que a molécula sexa plana xa que o ángulo que forman os lados dun exágono regular (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir queso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser está oso ñecer que o nose (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir queso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser está oso ñecer que o nose (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir queso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser está oso ñecer que o nose f 7 14 32

Magnitudes y dimensiones

Una magnitud física es toda propiedad que pueda ser medida. Se

puede medir la masa de un cuerpo, la longitud, la densidad, etc.

Por su propia definición, las magnitudes se clasifican en

fundamentales y derivadas.

Si atendemos a su naturaleza, también las podemos clasificar en

magnitudes escalares y vectoriales.

Magnitudes fundamentales y derivadas

Existen unas magnitudes que sirven de referencia (magnitudes

fundamentales) y, todas las demás, se definen en función de ellas

(magnitudes derivadas).

En mecánica las magnitudes fundamentales son la longitud, la masa

y el tiempo. Todas las demás como la velocidad, la aceleración, la fuerza,

etc. se definen en función de algunas o de todas las fundamentales.

Asimismo en electricidad a magnitud fundamental es la intensidad de

corriente, en termodinámica la temperatura, en óptica la intensidad

luminosa y en química la cantidad de substancia.

Ecuación de dimensiones

Como acabamos de decir, las magnitudes derivadas se definen en

función de las fundamentales. Pues bien, una ecuación de dimensiones es

la expresión matemática de esta definición.

Esta ecuación de dimensiones se obtiene partiendo de fórmulas que

relacionan entre sí a las magnitudes, o con otras que, a su vez, se

relacionen con ellas.

En general, las ecuaciones de dimensiones se escriben siguiendo

unas normas:

las magnitudes fundamentales se expresan en letras mayúsculas;

no se utilizan fracciones, los términos que pudieran aparecer en el denominador se pasan al numerador cambiando el signo de su exponente;

los términos constantes (los números), caso de existir y no tener unidades, se omiten ya que estos no afectan a las dimensiones (pero, cuidado, hay constantes que tienen dimensiones);

la magnitud derivada, una vez despejada, se escribe entre corchetes.




1


espacio recorridovelocidad

tiempo empleado=

[ ] 1v LT −=

2v lF m a m m m l tt t t

−= ⋅ = = = ⋅ ⋅⋅

[ ] 2F MLT −=

o Veamos unos ejemplos muy sencillos:

La ecuación de dimensiones de la velocidad.

El espacio se mide por su longitud que es una magnitud fundamental

y el tiempo también lo es. Siguiendo las reglas que acabamos de indicar,

podemos escribir directamente la ecuación de dimensiones de la velocidad:

La ecuación de dimensiones de la fuerza.

Como puede verse, fuimos utilizando las fórmulas idóneas hasta

expresar la fuerza en función de magnitudes fundamentales. Ahora

solamente queda escribir la ecuación de dimensiones según los criterios

antes indicados:

Toda ecuación física debe ser dimensionalmente correcta, es decir:

los dos miembros de la ecuación han de tener las mismas dimensiones.

En el caso contrario, no sería homogénea, y no sería una igualdad desde el

punto de vista de la física.

o Resumiendo:

Una magnitud física es toda propiedad que se pueda medir.

Las magnitudes derivadas se definen en función de las fundamentales.

Una ecuación de dimensiones es la expresión matemática de una magnitud derivada en función de las fundamentales.




1


F⎡ ⎤⎣ ⎦

F

Magnitudes escalares y vectoriales.

Existen magnitudes como la masa, el tiempo o la energía en las que

solamente necesitamos conocer su valor numérico y la unidad en que se

expresa para que estén perfectamente determinadas, estas son magnitudes

escalares. También hay otras, llamadas magnitudes vectoriales, como la

velocidad o la fuerza, que para determinarlas sin ambigüedad es necesario

conocer no solamente su valor numérico, sino también su dirección y su

sentido.

Estas magnitudes se escriben colocando una flecha arriba de la letra

que las identifica

Y se representan gráficamente por un vector que es un segmento

orientado en el que hay que considerar el origen, la dirección, el sentido y

el módulo o longitud.

módulo dirección origen sentido

Cuando hacemos referencia al módulo de un vector, se escribe entre

dos barrasverticales .

Habitualmente, los vectores se representan en un sistema de

coordenadas cartesianas que se compone de dos ejes perpendiculares entre

sí cuando la representación se realiza en un plano (dos dimensiones) o de

tres ejes cuando se tienen en cuenta las tres dimensiones del espacio. En

este sistema un vector se caracteriza por sus componentes cartesianas

que son las proyecciones del extremo del vector sobre los ejes

cartesianos.

Para facilitar la expresión matemática de un vector se utilizan los

vectores unitarios: i, j y k que son vectores,de longitud la unidad; y de

dirección en los ejes X, Y y Z respectivamente.




1


El sistema internacional de unidades

Un sistema de unidades es un conjunto de unidades a partir del cual

se derivan todas las demás unidades.

En España, la Ley 3/1985 determina como las Unidades Legales de

Medida las del Sistema Internacional de Unidades adoptado por la

Conferencia General de Pesos y Medidas.

Una unidad es un patrón que sirve para medir el valor de una

magnitud, y por tanto debe estar perfectamente definida y ser

reproducible en cualquier lugar. Además deben estar definidos sus

múltiplos y submúltiplos para poder expresar el resultado de la medida en

función del número de unidades y la fracción de unidad que contiene.

Las unidades básicas, correspondientes a magnitudes fundamentales,

tienen una definición propia en función de constantes universalmente

conocidas. Las demás se definen en relación la ellas. Magnitud Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente Temperatura Intensidad luminosa Cantidad de substancia.

Unidad metro

kilogramo segundo amperio kelvin

candela mol

Símbolo

m kg s A K cd mol

Existen, además, dos unidades suplementarias que no tienen

dimensiones y que también pueden formar parte de la definición de las

unidades derivadas.

Magnitud Ángulo plano Ángulo sólido

Unidad radián

estereoradián

Símbolo rad sr




1


Muchas unidades derivadas, no tienen un nombre específico. Se

expresan en función de otras unidades que están relacionadas con

ellas y que sí tienen nombre propio, sean o no fundamentales. Como

por ejemplo: la unidad de velocidad es el metro por segundo (m/s o

ms-1) y la unidad de impulso mecánico (fuerza por tiempo) es el newton

por segundo (N·s).

Reglas prácticas para expresar cantidades y unidades

Los símbolos de las unidades del (sistema internacional) SI, excepto el W, se expresan con caracteres romanos y minúsculas, no obstante, si los símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula.

Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural.

El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo sin espacio.

El producto de los símbolos de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto como símbolo de multiplicación.

Los nombres de las unidades que tienenen nombres propios de científicos deben escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial.

Los nombres de las unidades toman una s en el plural, salvo que terminen en s, x o z.

En los números, la coma se utiliza sólo para separar la parte entera de la decimal. Para facilitar la lectura, se recomienda dividir los números en grupos de tres cifras; estos grupos no se separan jamás por puntos ni por comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.

Los múltiplos y submúltiplos decimais de las unidades del SI se forman con prefijos que anteceden, sin espacio, al símbolo de la unidad.

Conversión de unidades

En la práctica, muchas medidas no se expresan en unidades del

sistema internacional o en múltiplos o submúltiplos de ellas, debido

generalmente a la utilización de aparatos calibrados en otras unidades,




1


como por ejemplo: el cuentaquilómetros de un coche nos da la lectura

en kilómetros por hora.

En estos casos debemos convertir las unidades que no

pertenezcan al SI en unidades de éste, ya sean fundamentales o

derivadas.

Según el instrumento, las medidas pueden ser diferentes:

Siempre que realizamos una medida obtenemos una

información cuantitativa de una magnitud física. Si queremos dar a

conocer el resultado de una medida debemos, necesariamente,

proporcionar un número y su unidad. Podemos decir que medir una

magnitud es compararla con otra, de valor conocido, que se toma

como unidad.

Según el instrumento utilizado se obtendrán medidas más o

menos fiables, dependiendo de:

Exactitud:

La lectura que ofrece el instrumento corresponde al verdadero

valor de la magnitud medida. Así, un cronómetro que indique el

tiempo que realmente ha transcurrido decimos que es exacto.

Sensibilidad:

Aprecia variaciones muy pequeñas en la magnitud. Como por

ejemplo, un voltímetro que aprecie una variación de una milésima de

voltio es más sensible que un que aprecie sólo centésimas.

Precisión:

Expresa el grado de incertidumbre en el valor medido. Si un

aparato de medida es preciso, su medida encontrará afectada de poca

incertidume. Como por ejemplo si un amperímetro aprecia

miliamperios el grado de incertidumbre deberá ± 0,001A; si otro,

menos preciso, aprecia centésimas de amperio, el grado de

incertidumbre será de ± 0,01A .

Fidelidad:

Siempre ofrece el mismo resultado para lo mismo valor de la

magnitud. Por ejemplo, si al realizar repetidas medidas con una

balanza para determinar la masa de un cuerpo obtenemos siempre el

mismo, valor decimos que la balanza es fiel.




1


Cómo expresar correctamente el resultado de una medida: Las cifras significativas.

Una vez realizada la lectura de un instrumento ( o que tiene su

origen en un cálculo) obtendremos un número que solo puede estar

escrito con un cierto número de cifras (asunto que requiere una

explicación que de momento omitimos). A estas cifras les llamamos

significativas y son las que nos proporcionan información sobre la

exactitud de la medida.

Cuando leemos un número o alguien nos proporciona un

resultado numérico, para saber cuales son las cifras significativas,

seguiremos las siguientes reglas:

o Son cifras significativas:

Todas las cifras distintas de cero.

Los ceros que se encuentren entre dos cifras significativas.

Todos los ceros situados a la derecha de la como decimal, excepto los que la siguen inmediatamente en cantidades menores que la unidad.

o No son cifras significativas:

Los ceros situados antes de la primera cifra significativa.

Los ceros situados después de la última cifra significativa, salvo que vayan seguidos de la como decimal o estén a la derecha de ésta.




1


El hecho de medir perturba al sistema sobre el que se realiza la operación.

Supongamos que, con un termómetro que permanece hasta el

momento de su empleo guardado en algún sitio del Laboratorio,

pretendemos medir las temperatura del agua contenida en dos

recipientes.

Imaginemos, que como se

dibuja en la figura de la izquierda,

el primero de ellos es un pequeño

recipiente de vidrio que contiene

apenas 2 cc. de agua a

temperatura próxima a 0 C . Caso

indicado como a, en la figura. El

segundo, señalado como b, es el

de un vaso de precipitados que

contiene 200 cc de agua también a

0 C.

Para medir las temperaturas

en ambos casos, introducimos

nuestro termómetro que bien

podría ser un Beckman, con la

intención de medir con mucha

precisión la temperatura del agua de ambos recipientes.

Como es bien sabido, la indicación del termómetro es

consecuencia del intercambio de calor entre el sistema y el aparato de

medida.

Mientras que en el caso b la temperatura del agua apenas

quedará afectada, ya que es mucha la cantidad de agua, en el caso a el

pequeño volumen de agua alterará mucho su temperatura inicial como

consecuencia de haberle introducido el termómetro.

Recordemos, el termómetro estará a unos 20 C, su bulbo

termométrico tiene mucho mercurio y la cantidad de agua es muy

pequeña Por ello, al alcanzarse el equilibrio térmico su temperatura

será bien diferente de la que inicialmente tenía.




1


En este segundo caso se evidencia que, el intento de medir,

afecta al sistema sobre el que se realiza la medida. Podemos ver

también en este ejemplo que de poco vale realizar la medida con un

termómetro tan preciso, si la temperatura que finalmente señala no es

la que tenía el agua, es la que tiene ahora.

Otro ejemplo que más adelante se discutirá con detenimiento, y

que ahora solo exponemos de forma muy escueta, es la alteración que

se produce en un circuito por el que circula corriente, cuando

conectamos en él los instrumentos

que vamos a emplear en la medida.

En la figura de la izquierda

representamos las dos posibles

formas (ambas correctas) de conectar

el voltímetro y el amperímetro. Según

sea el valor de la resistencia R (que

llamaremos "grande" o "pequeña") ,

se altera mucho o poco el circuito

con la presencia de los instrumentos

de medida.

En los dos casos hay

perturbación, ya que tanto V como A

tienen su propia resistencia y, al

colocarlos, el circuito deja de tener la

resistencia que tenía (R).

Es evidente que una vez

conectados el voltímetro y el

amperímetro, en lugar de haber una

resistencia en el circuito hay tres. En definitiva, el circuito es bien

diferente.

Si la alteración fuese pequeña, V y A señalarán un lectura

aceptable...entonces el valor que se calcularía para R sería parecido al

verdadero .

Si la alteración es importante, las lecturas de V y A pueden

conducir a que el valor calculado para R ni se parezca al que realmente

tiene.




1


Las medidas que realizamos son, casi siempre, indirectas.

Destacaremos el hecho de que en este último ejemplo que

hemos puesto, la cuantía de la resistencia que se desea medir no se

obtiene de forma directa, procede de la aplicación de una Ley y,

luego, un cálculo. No es, por tanto, una medida directa.

En este caso y, en otros muchos, el valor se deduce después,

mediante cálculo y tras haber medido otras cosas.....no lo que se

pretende medir.

Por si fuera poco, para el cálculo se emplea una Ley ( o relación

matemática) que si no se cumple fielmente conduce a un resultado

falso.

En resumen, el valor calculado para una magnitud medida

indirectamente puede estar equivocado o bien porque los datos para el

cálculo estén errados, o bien porque la Ley no se cumpla.

Con todo, acabamos de descubrir que hay medidas

indirectas....y claro, las otras serán directas. Obviamente, cuando

ponemos una regla sobre la mesa y medimos, estamos midiendo

directamente, pero este ejemplo de medir una longitud no es tan

frecuente como puede pensarse.

Medimos muchas más veces de forma indirecta que directa.

Cuando ponemos en marcha un cronómetro cuando comienza

un acontecimiento y lo detenemos cuando concluye, también estamos

midiendo directamente...pero.... Si repasamos mentalmente las

medidas que hemos visto hacer en nuestro entorno hasta hoy,

comprobaríamos que la mayoría son indirectas.

¿Sabía que cuando determinamos la masa, lo hacemos de

forma indirecta?.

¿Sabía que es muy frecuente medir las longitudes de forma

indirecta?

La longitud, pocas se mide colocando directamente el metro

sobre lo que medimos. Así, la altura de una casa no se mide

directamente, ni las distancias largas o cortas .....las longitudes casi

siempre se miden de forma indirecta.




1


Dos ejemplos de medidas indirectas:

Tratamos de medir una distancia inaccesible tal como se indica

en la figura de la izquierda.

Habitualmente se

nos propone que lo

hagamos "construyendo"

un triángulo rectángulo

sobre el agua, y luego otro

en tierra, semejante al

primero.

¿Cómo lo hacemos?

Colocamos un palo

clavado en la orilla (le

llamamos A en la figura)

frente a un objeto singular

(árbol, B en la figura).

Alineados con B y A

colocamos una tercera

estaca F, al objeto de que

sirva para, apoyándonos en

AF construir un ángulo

recto en A mediante una escuadra de dibujo.

Así, trazaremos AC y AD. En consecuencia, las estacas ACD

están alineada...cosa que se comprueba "a ojo".

Clavamos otra estaca en un punto E, alineado con C y con B.

Finalmente terminamos el triángulo rectángulo EDC clavando la tercera

estaca en el punto D.

Los triángulos así construidos son semejantes. Por

tanto,cumplirán que:

Dado que los segmentos CA, CD y DE pueden ser medidos

directamente sobre el terreno, son conocidos, puede despejarse AB

que es la anchura del río.

CA ABCD DE

=




1


Es evidente que esta distancia no podría ser medida

directamente.

Igual ocurre con la

altura de una torre, un

monte...etc.

Particular interés

tiene la medida de

distancias en astronomía

que se representa en la

figura de la izquierda.

Una nueva

triangulación y relación de

semejanza, permite medir

distancias entre astros y se

utiliza de forma habitual en

Astronomía.

Se opera así:

Un astrónomo,

cuando la Tierra se

encuentra en J obtiene una

fotografía del cielo cuando

una estrella próxima eclipsa a la lejana.

A los seis meses, cuando se encuentra la Tierra en D, después

de describir media órbita alrededor del Sol repite la fotografía. Lo

hace, igual que antes, dirigiendo su cámara hacia la estrella lejana que

aparentemente sigue inmóvil.

Una relación de semejanza nos permite escribir:

Conocemos JD que es el eje mayor de la eclíptica, DQ es un dato

de la cámara y PQ es la distancia entre las dos imágenes recogidas en

el intervalo de seis meses.

ED JDDQ PQ

=




1


En consecuencia, se despeja ED y se mide la distancia de la

Tierra a la estrella próxima.

De forma genérica diremos que las distancias astronómicas, las

terrestres, ,y otras tanto en el mar como en el aire se conocen

mediante procedimientos análogos al descrito.

Los resultados serán acertados siempre que los datos lo sean, y

la Ley (es este caso la de los triángulos) se cumpla.

Advertimos que hay triángulos de lados curvos...si se pintan

sobre la Tierra.... que no cumplen las leyes precedentes.

Retomando el caso de las medidas directas.

Y ciñéndonos de momento a la problemática de la medida de

longitudes, recordar cuanto sigue.

Cuando se realiza una

medida, en nuestro caso de

longitud, lo primero que debe

hacerse es cerciorarse de cómo es

la escala del instrumento que se

utiliza para medir.

Advertir que no debemos de

presuponer que siempre la regla

estará, necesariamente, dividida en

milímetros. Es frecuente otro tipo

de división.

Veamos...

Podría ser, tal como se

representa a la izquierda en la fig.

1. Suponiendo que las unidades

tengan el tamaño del cm al estar dividido así la apreciación del

instrumento de de 0..5 cm ya que hay una división entre un cm y el

siguiente. El resultado de haber medido con dicha regla tendrá una

única cifra decimal que termina en 0 o en 5. Puede obtenerse : 1.0 cm,

1.5 cm, 2.0 cm...etc, ...todas del mismo estilo.




1


En la fig.2 cada cm se ha dividido en cinco partes. En

consecuencia, el instrumento de medida es capaz distinguir de dos en

dos décimas de cm. Por ello los resultados de una medida alcanzarán

las décimas (pero de dos en dos). Puede producir 0.6 cm, 0.8 cm, 1.0

cm ,1.2 cm,1.4 cm y así

sucesivamente terminando la

medida, siempre, en cifras pares.

La fig.3 sería una típica

regla dividida en milímetros

(décimas de centímetro). No

añadiremos nada como

explicación.

La fig.4 representa una regla

en la que cada centímetro se ha

dividido en 20 partes. Aprecia

medios milímetros, y no es

frecuente ya que no fácildisitinguir

unas divisiones tan pequeñas.

Este tipo de reglas no

es muy frecuente, pero nos

introduce en una

problemática ciertamente

interesante.

En efecto, aunque

pretendamos hacer las

divisiones tan pequeñas como podamos ver, siempre puede ocurrir

que tendremos que decidir.

No será normal que

después de realizar una medida

las cosas se resuelvan tan

sencillamente como indica la

foto.




1


No. Lo normal es que se nos presente una situación en donde

debamos decidir

Estamos entre la división

catorce y la quince. No nos

podemos inventar nada en

medio ya que no hay ninguna

división. Optaremos entre 14

o 15.

En el caso presente

parece está claro. Optaremos

por 14

Pero no es infrecuente que la decisión no esté tan clara.

Y tenemos que optar. A

unos le parecerá oportuno que

tiene que inclinarse por decir

22.

A otros les parece que

debe decir 23.

Pero ninguno de los

dos está legitimado para

inventarse 22 y medio. No.

Si tal cosa se hiciese, nos estaría “engañando”. Nos estaría

diciendo que el instrumento con el que mide proporciona esa

información. Cosa que no hace. Como ya dijimos escribiremos las

cifras que llamamos significativas y son las que nos proporcionan

información sobre la exactitud de la medida.

El que mide, cuando dá el resultado de una medida debe




1


atenerse a lo que le dice la herramienta con que mide. Como ha

quedado patente, en su afirmación tiene que decirnos (sin decirlo) que

duda en una unidad de la última cifra que escribe.

Sobre las cifras que debo escribir.

Cuando después de haber medido escribimos 1cm,

manifestamos de forma clara que nada podemos decir de las décimas

de centímetro, en consecuencia, deducimos que el instrumento de

medida no tiene divididos los centímetros.

Si escribimos 1.0 cm, 1.3 cm ó 1.7 cm ponemos de manifiesto

que sabemos de las décimas de centímetro. Y si sabemos de ellas, es

porque el instrumento de medida nos proporciona esa información,

entonces tenemos obligatoriamente que escribirlas. Es decir, tenemos

que escribir un resultado tal como 1. 0 cm y no podemos omitir el 0

escribiendo sólo 1 cm.

Lo dicho equivale a afirmar que los números que expresan

las medidas en física son diferentes según tengan más o menos

cifras. Incluso cuando éstos son ceros.

Así por ejemplo, algo mide 3 cm. La expresión 3 cm me dice

que el que midió no dice nada de las décimas de cm porque su

instrumento no las aprecia (en este instrumento los cm no están

divididos en décimas y por lo tanto nada puede decir de ellas).

Pero, si escribe 3,0 cm me informa de que su instrumento de

medida puede conocer las décimas, y que además, no hay ninguna. Por

ello, está obligado a decírmelo y escribir mediante un 0 que no hay

décimas. Esta medida es el resultado de haber medido con otro

instrumento dividido en décimas. Si escribiese 3.00 cm....me dice que

puede hablarme de las centésimas de centímetro porque de alguna

forma las conoce...y que, además, no hay ninguna.

En Física, se escriben las únicamente las cifras que está uno

legitimado para escribir. Ni una más, ni una menos. Las cifras que

se escriben son las denominadas significativas.




1


Las cifras significativas.

Dichas cifras, que tiene sentido escribirlas, tienen

significado....significan algo . Por eso se les llama significativas.

Cuando escribo: 3 cm el número tiene una cifra significativa,

cuando escribo 3.0 tiene dos cifras significativas, cuando escribo 3.00

tiene tres cifras significativas.

En física sólo se autoriza a escribir las cifras significativas, las

otras, las inventadas, no se pueden escribir ya que son pura invención.

De las cifras significativas, sólo puede ser una incierta y,

habitualmente, en una unidad.

De la significativas sólo se admite que la última que se

escribe puede ser incierta en + - una unidad.

Nos explicamos:

Cuando escribimos 3.41 cm, cualquiera que lo lea debe saber

que quien escribió el número solo escribió las cifras significativas (las

que existen y no son ficción) y que la última que escribe se le

consiente que pueda ser incierta en una unidad por encima o una

unidad por debajo del número que escribió.

Sólo puedo escribir cifras significativas y, además...

Se me "consiente" una inseguridad de una unidad en la última que escribo

Consecuencia de lo anterior es que cada vez que un instrumento

de medida me permite escribir una nueva cifra significativa, la

escritura de ésta, asevera la anterior. El hecho de poder escribir una

cifra más, hace cierta la anterior.

¿Por qué esa incertidumbre?

Porque cuando medimos tenemos que decidir.




1


Optar por una lectura u otra y decidir si el objeto mide 1.5 cm o

bien 1.6 cm y tal como dibujamos en la figura 1. En razón de como

está construido el

instrumento de

medida, que aprecia

las décimas, no

podemos escribir

otra cosa.

Elegiremos 1.5, o

1.6.

Véase la

figura .

De ahí, que

se acepte la incertidumbre de una unidad.

Pero no siempre es así, y en ocasiones , puede ocurrir lo que se

dibuja en la figura 2.

La decisión, ahora nos impone optar entre 1.8 cm. o bien 2.0

cm. Nótese que ahora la escala está dividida de dos en dos décimas

y colocado el mismo objeto a medir..puede parecerme que debo decir

una vez...1.8, y luego..me parece 2.0. La opción es ahora de dos

décimas. La incertidumbre, en este caso algo rebuscado pero no del

todo infrecuente, es de dos unidades.

Por lo dicho hasta ahora, parece que al menos y como

consecuencia de que tenemos que decidir...surge una inseguridad

cada vez que medimos. Inseguridad que cuantificamos (casi

siempre) en una unidad de la última cifra significativa.

Y decimos casi siempre. En

efecto. Si empleamos la regla de la

imagen de la izquierda y medimos

empleando la escala superior podremos

escribir, por ejemplo: 12,1 cm (el uno

es incierto en una unidad)

Pero si empleamos la escala de

abajo (que está dividdida en medios milímetros) podremos obtener un

resultado, por ejemplo: 12,15 cm (pero la última cifra es incierta en 5

unidades). Otro operador puede leer, por ejemplo: 12,10 y otro 12,20




1


Definamos el error absoluto como un límite

de error de cada medida. Definamos el relativo

Consecuencia de lo expuesto hasta aquí es admitir que todos

nosotros cada vez que medimos, y por el mero hecho de realizar una

medida, no estamos seguros (ya que el instrumento no lo permite)

en alguna unidad de la última cifra significativa. Pusimos ejemplos en

la página anterior y hemos visto que podrían ser 1, 2 o 5 unidades.

Esta cuantía de error se admite como un límite mínimo, cada

vez que hacemos una medida. Diremos que, cuando poco, por lo

menos, nos equivocamos en esa cuantía

Es un límite, por debajo, y congruente con todo lo anterior.

Al medir incorporo inexorablemente a la medida una

equivocación, cuantificable al menos en este límite, que en lo sucesivo

llamaré error. Tal error (sin ningún apellido) será -por lo menos- de

una cuantía igual a la de la última cifra significativa.

Así, cuando mido 30.2 cm cometo cuando poco un error de una

unidad en la última significativa. Diré que mi (límite) error (absoluto)

es de 0.1. Me atribuyo un límite de error de 0.1 cuando medí algo que

medía 30.2

Ahora bien, si midiese 9342. 3 cm. y pudiese conseguir que mi

error absoluto fuese de 0.1 cm. (tendría que disponer de una regla que

midiese 10 metros y dividida en milímetros), igual que antes, me debo

de atribuir un límite de error de 0.1 . Pero, recordemos, que en este

segundo ejemplo estoy midiendo 9342. 3 cm.

Si comparo ambos casos, es lo cierto que en este segundo

supuesto, proporcionalmente, me equivoco menos que antes.

Es decir, sigo teniendo como límite de error 0,1 cm, pero en

relación con la cantidad medida puedo afirmar que mi error está

más repartido....

Si estuviésemos hablando en leguaje cotidiano diríamos que, en

relación con la cantidad medida me equivoco menos..o bien que

proporcionalmente me equivoco menos.




1


0,1 130,1 300relativoe que equivale a=

El error relativo

Si paso del lenguaje cotidiano al lenguaje de mi ciencia, la

misma idea la expreso afirmando que necesito definir el error en

relación con la cantidad medida y que, por ello, hablaré del error

relativo.

Si calculo las relaciones anteriores....podré afirmar que mi error,

en relación con la cantidad medida es:

En otras palabras, nuestro error de uno en trecientos es de tres

en novecientos….que es del orden de un tres por mil.

A partir de ahora, cuando tengamos que referirnos a los errores,

lo haremos refiriéndonos casi siempre al error relativo (error en

relación con la cuantía de lo medido) que se calcula como se ha visto,

como un cociente. Y que para poder comparar con otros errores se

traduce a tanto por ciento o por mil....El cociente, dado que numerador

y denominador tiene las mismas unidades, es adimensional. Es pues

un simple número.

Hablando en términos coloquiales dicho número me informa de la calidad de mi medida o de lo bueno o malo que soy cuando mido.

Evolución del error relativo

De lo dicho hasta aquí, a todos les resultará evidente que si

mido con un mismo instrumento, mido tanto mejor cuanto más

grande sea lo que mido. Por tanto, habré de plantearme una norma de

tipo “práctico” a la hora de medir:

Cuando tenga que medir algo, y si puedo elegir su tamaño,

mediré mejor cosas de mayor tamaño que de menor tamaño. Así, con

el mismo instrumento y con idéntico trabajo, mido mejor.

Consecuentemente, proporciono medidas de mejor calidad.




1


1) : 1 100100 relativocaso a que equivale a e en

1) : 1 1010 relativocaso b que equivale a e en

1) : 1 11 relativocaso c que equivale a e en

1) : 10 10.1 relativocaso d que equivale a e en

Por ejemplo, si necesitase los datos del largo y ancho de un

papel ( y puedo elegir lo que mido), proporcionaré mejores calidades

en mis medidas si mido tremendo papelote, que si mido una

octavilla. Claro, bajo la premisa de que en ambos casos, empleo para

medir el msmo instrumento (por ejemplo, un metro dividido en

milímetros).

Consciente de como evoluciona el error relativo conviene que,

evaluemos su cuantía cuando tengo que medir cosas concretas...

Cuyas dimensiones aproximadas son del siguiente orden:

a) Una canalización de unos 100 mm de diámetro

b) Un tubo de unos 10 mm de diámetro

c) Un alambre de 1 mm de diámetro

d) Un hilo de 0.1 mm de diámetro

(observe que los tamaños son cada vez menores y que, por

conveniencia, ejemplarizo con cosas diez veces más pequeñas))

Si utilizo una regla dividida en cm y décimas de centímetro

(m.m.) que hasta ahora es lo único que conozco como instrumento

para medir longitudes, cometería los errores relativos siguientes:

Admitiendo que un error relativo del 1 por ciento aunque

elevado es razonable...las restantes medidas no son admisibles




1


Las medidas del caso b, c y d son de muy baja calidad.

Con mi metro dividido en milímetros, mediré, pero la calidad de

las medidas obtenidas son nefastas si se exceptúa el caso (a).

¿Cómo resolver el problema ?.

¿Cómo obtener en tales casos medidas de buena calidad?

Antes de responder a la pregunta, una reflexión de interés.

Es incorrecto o falso afirmar que el problema surge cuando

quiero medir cosas pequeñas... llamarle pequeño a algo inferior a 10

cm. es tener una escala de tamaños muy peculiar... En ninguna parte

está escrito que lo pequeño empiece en 10 cm.

Lo que sí es cierto, es que en un determinado momento, mi

metro dividido en milímetros produce medidas de tan baja calidad que

son impresentables.

También es cierto que tal cosa me ocurre porque los cocientes

que calculé antes para los casos a, b,c y d...cada vez crecían porque el

numerador era constante y el denominador cada vez se hacía diez

veces menor...

¿Podré solventar esta dificultad?

Divido un milímetro en diez partes...y soslayo el problema.

Opero con reglas dividida en milímetros y décimas de

milímetros...

Pero vamos por partes. Empecemos dividiendo...

Como puede verse en la figura, es posible dividir un milímetro

en 2 partes...pero seguir dividiendo hasta que un milímetro esté




1


x rx xΔ = −

dividido en 10 partes...impensable. En primer lugar porque tales

divisiones no se verían y, además, resulta casi es imposible trazarlas

aún con dispositivos muy sofisticados.

Pero el problema que ahora nos planteamos tiene solución. En

las páginas del final de este tema, en el Anexo I, proponemos la

solución.

Resumiendo lo hasta aquí dicho, acerca de los errores absoluto y relativo

El error absoluto es el valor ( sin signo) de la diferencia entre el

valor medido y el valor real.

Si X es el valor medido y Xr el valor real, el error absoluto será:

Dado que el valor real no lo conocemos nunca, no podemos

saber si el error se cometió por exceso o por defecto, por esto se

utiliza el valor sin signo, lo que nos indica únicamente la desviación

que existe en la medida.

Para expresar el valor de una cantidad X, indicando también su

error absoluto escribimos:

X ± ∆x

Supongamos que medimos la longitud de un lapicero con una

regla dividida en milímetros y obtenemos 12,7 cm. No podemos

asegurar que este valor sea exacto, pero sí podemos asegurar que es

menor de 12,8 cm y mayor de 12,6 cm. En este caso el error absoluto

es de 1 mm que es la mínima cantidad que es capaz de conocer la

regla. Lo indicaremos así:

L = 12,7 ± 0,1 cm.




1


1 4E 0, 42.5 10r = = =

0,01 1 4E25 2500 10.000r = = =

El error absoluto no da idea de la calidad de la medida. Ya

sabemos que para ello debemos de recurrir al error relativo.

Imaginemos haber medido el ancho de una calle de una larga

cinta métrica de 25 metros, dividida en cm.. La calle tiene alrededor de

25 m, y por haberla medido con tal cinta métrica se comete un error

de 1 centímetro. Imaginemos ahora que con la misma cinta métrica

hemos medido una llave que tiene unos 2,5 cm (seguimos empleando

la cinta métrica que solo estaba dividida en cm. por lo que también

tenemos un límite de error de 1 cm, es decir cometeremos también un

error de 1 cm).

Si calculamos la relación ( el cociente) entre el error absoluto de

cada medida y el valor de la medida obtendremos lo que se llama

error relativo.

Al ser relación entre magnitudes de las mismas unidades, no

tiene dimensiones, no depende de las unidades y, generalmente, se

expresa en tanto por ciento. Este cociente nos indica la precisión o

calidad de la medida.

Vamos a calcular el error relativo de las medidas:

En la medida de la llave:

En la medida de la calle

Observe que, habiendo medido con el mismo instrumento, la

medida de la calle es de mejor calidad, unas mil veces mejor, que la

medida de la llave.

o Recuerde

El error se puede expresar como absoluto o relativo.

El error relativo refleja la calidad de la medida.




1


Pero nada es perfecto, y en el mundo de la medida ocurre lo mismo, el asunto de medir se complica… Veamos.

En efecto. Ya hemos dicho, y es inevitable, que un instrumento

de medida pueda proporcionar una medida más allá de las cifras que

podamos obtener de la lectura del instrumento.

Pero, además hay otras fuentes de error originados ya por el

propio instrumento con el que se mide, ya por la persona que realiza

la medida, ya por el método de medida empleado. Vamos, que hay

muchos motivos para que midamos mal lo que nos va a obligar a llevar

a cabo siempre más de una medida.

Aunque en un curso elemental el alumno no va a tener que

emplear más que el error absoluto y el relativo, y aceptaremos que

solo se ha realizado una medida, es conveniente que sepa que,

según el origen de estos errores pueden ser:

Tipos de errores según su origen:

Sistemáticos:

Son los que se repiten en todas las medidas realizadas con un

mismo instrumento, y normalmente se deben la una mala calibración

del aparato de medida, o a un defecto de apreciación del observador.

Estos errores son difíciles de detectar y se repetirán en tanto no

se localice la causa y se tomen las medidas oportunas para su

corrección, con el cual quedaría aminorado el problema. Pueden

aminorarse comprobando el instrumento y haciendo las oportunas

correcciones.

Accidentales:

Surgen, como su nombre indica, de modo circunstancial:

cambios ambientales, vibraciones, distracción del observador, etc.

Son fáciles de detectar cuando se realizan varias medidas, ya

que una medida mala, tomada accidentalmente, tiene un valor muy

diferente a todas las otras . Su perniciosa contribución al resultado

final disminuye al aumentar el número de medidas realizadas.




1


1 2 3 ....X nmedio

x x x xn

+ + + +=

Así las cosas…¿Qué hacer?

Hemos visto que, cuando medimos, además de las limitaciones

que nos impone la precisión del instrumento, hay otras dificultades

que introducen nuevas fuentes de error. En consecuencia, esta nuevas

fuentes de error añadidas, perjudican el resultado de la medida.

Deberíamos pues, comprobar (calibrar) previamente el

instrumento de medida (para minorizar los errores sistemáticos) y

llevar a cabo varias, o muchas medidas, para minorizar los errores

accidentales.

Al repetir el número de medidas que realiazamos, los errores

accidentales (que siguen las leyes del azar), tienden a compensarse

unos con otros.

Si realizamos la media aritmética de los valores obtendremos un

valor medio que será más fiable que cualquiera de los valores

individuales obtenidos, y más aún cuanto mayor sea el número de

medidas realizadas.

Siempre que se realice más de una medida de la misma

magnitud, y después de haber repetido n veces la medida,

propondremos como valor verdadero el valor medio de las

medidas realizadas.

Si obtuvimos los valores x1, x2,...xn, el valor que con más

probabilidad se acerque al verdadero es:

Si queremos ser mas rigurosos para la obtención del valor que

llamaremos verdadero actuaremos así:

Si existe alguna medida que se “desvía” cuatro veces del

valor medio de las desviaciones de cada medida ( que llamermos

desviación media ) debemos de excluirla del conjunto de medidas

y obtener el valor medio sin dicha medida.




1


Anexo I . Ante el problema de medir: La idea del Nunes

Parece que fue un un portugués apellidado Nunes quien planteó

una idea muy sugerente para resolver nuestro problema que,

recordemos, era....no cometer errores relativos enormes cuando

con un metro dividido en milímetros medíamos cosas cuyo tamaño

ronda unos 10 cm., por ejemplo.

La idea de Nuñez se materializa con mucha frecuencia de la

siguiente forma.

Fijémonos en la figura:

Se fabrican

dos reglas que

deslizan la una

sobre la otra y que

llamaremos

Un fija, dividida en cm. y milímetros..tal como era nuestro

metro.

Otra móvil, que

desliza sobre la primera y

en la que un trozo de 9

milímetros de la fija se

han marcado diez

divisiones o partes. Vean

la imagen de la izquierda.

Ahora razonemos:




1


Las divisiones la regla fija tienen de tamaño un milímetro y las

de la móvil, obviamente, son más pequeñas. Las de la regla móvil,

entre todas ellas (son diez) se quedan un m.m. de cortas frente a las

de la regla fija.

Por tanto, cada una es 1/10 más pequeña que la de arriba (que

tiene un milímetro) . La diferencia de tamaño entre una división de la

regla fija y otra de la

regla móvil es de 1/10

de milímetro . ! Claro !

Entonces, con el

citado artilugio seré

capaz de medir hasta

las décimas de

milímetro sin

necesidad de que la

regla tenga los

milímetros divididos

en diez partes. Mi límite para el error absoluto será ahora diez veces

menor y, entonces, mi error relativo 10 veces menor.

La idea del nonius, con frecuencia se materializa en un artilugio

llamado calibre o pie de rey que se representa en la figura:




1


¿ Cómo se mide con mi nonius ?

Aclaramos que le llamamos mi nonius porque hay otros muchos

que no están fabricados de la misma forma. En ocasiones, para

materializar un nonius se toman otro número de unidades de la regla

fija y se dividen en otro número de partes...entonces ese nonius

aprecia otra cantidad.. o, para

fastidiar, tiene también una

escala en pulgadas. ¿ La ven?,

está arriba sobre la mía.

Obviamos esos otros

nonius que son mas

complicados de entender.

Operaremos así:

Ante todo, cerciorarse de

que el nonius aprecia 1/10 de

milímetro, para ello, cerrarlo y

constatar que su construcción es

tal como antes decíamos : 9 mm

se dividieron en 10 partes....

Luego, proceder a medir.

Fíjese en la figura.

Hemos colocado un

hipotético objeto que

pretendemos medir, cuyo

tamaño es E.

Luego, deslizamos la

regla móvil hasta "oprimirlo".

Procederemos seguidamente




1


a leer el resultado de la medida. Observe, el objeto mide algo más que

7 mm y menos que 8 mm.

Vea, la primera división de la regla móvil está entre el mm 7 y el

mm 8 de la regla fija. ¿Cierto? .

Para saber cuánto más

que 7...hacer lo siguiente.

Buscar dónde coincide

una división de la regla móvil

con otra de la regla fija....

Fíjese bien en la

figura...:

La división número 8 de la regla móvil coincide con una división

de la fija. Pues bien, ese es el número de décimas de milímetro que

falta añadir a la media en milímetros....

Eran 7 milimetros y algo más...como ese algo más son 8

décimas....

Leeré directamente 7.8 mm sobre el instrumento.

Aclaramos leeré directamente, porque un nonius así

construido permite leer las medias de forma directa leyendo en

ambas reglas (la fija y la móvil).

Veamos otro ejemplo:

Tenemos un calibre cuyo nonius está costruído como vemos en

la figura:

Antes de nada, cerciorarse de cómo está construído el nonius.

Como puede verse, igual que

antes nueve divisiones de la regla

fija se han dividido en la móvil en

10 partes.

Aprecia 1/10 de mm.




1


Una vez que

hemos colocado (en la

boca del pie de rey) lo

que se quiere medir, el

nonius está así:

La flecha roja

indica que la primera

división de la escala

móvil está entre el

milímetro diez y el once.

Evidentemente mide más de diez milímetros y menos de once.

Cuánto más?

Tanto cuanto indique el lugar en que una división de la regla

móvil coincide con una división de la regla fija. Observe la flecha azul

señala que la división 8 de la escala móvil coincide con una

división de la fija. Pues serán 8 décimas más

La lectura es pues 10.8 milímetros

Leeré directamente 10.8 mm sobre el instrumento.

Los calibres o pie de rey de los que

estamos explicando cuánto aprecia su nonius,

se emplean en multitud de ocasiones.

Unas veces para medir diámetros

interiores

(por ejemplo interior de tubos o

separación entre partes)

Otras veces para medir espesores o

diámtros exteriores




1


Con frecuencia el nonius está incorporado a

muchas escalas móviles, para poder determinar

una posición con precisión

Por ejemplo, este nonius ¿Puede decir el

lector cuanto aprecia?

Una vez contestada la anterior pregunta.

¿Cuál es esta lectura?

Reiterar que si estuviese construido de otro modo (hay muchos

que están divididos de otra manera), a lo peor había que anotar la

lectura, luego hacer algunos cálculos sencillos y, finalmente,...dar el

resultado la medida. Este es el caso:

Pero nosotros, que estamos

iniciando al alumno, no queremos

entrar en este tipo de nonius para

no introducir complicaciones.

De nonius como éste, que ya dice él cuanto es capaz de apreciar

(0,05 mm), nosotros, no diremos ni una palabra.




1


¿Cómo operar con los números al medir

varias magnitudes?.

Acumulación de los errores (o propagación de errores).

La idea fundamental que presentamos en este apartado es el

hecho de que cuando se realiza una medida indirecta (recordemos que

casi siempre nuestras medidas son indirectas), el error de la

magnitud resultante procede de la acumulación de los errores de

las magnitudes utilizadas en el cálculo.

La forma de acumularse (se justifica por razonamientos de tipo

matemático que no procede considerar aquí), constituye lo que en

términos matemáticos se denomina propagación de errores.

Conduce dicha teoría a que el error relativo de la magnitud

calculada es la acumulación de los errores relativos de todas las

magnitudes implicadas.

Antes de nada debemos de hacer una reflexión a este respecto.

Es el siguiente: Si el error final es el resultado de la acumulación de los

errores de las magnitudes que hemos medido, debemos de procurar

que todas las medidas tengan análoga “calidad”. De no hacerlo así, la

peor de las medidas puede cuasar tanto trastorno al conjunto (por ser

muy mala) que no compense esforzarse en medir algunos parámetros

con demasiada calidad (poco error relativo). De esta consideración

inicial debe deducirse que los errores relativos de cada una de las

magnitudes a medir, deben de ser “parecidos” al objeto de que

todas las medidas “perjudiquen” por igual al resultado final.

Es lo mismo que hacemos en la vida cotidiana. Cuando

queremos “fabricar” un objeto de “calidad” procuramos que todos los

elementos intervinientes sean de similar calidad. Un genial pintor

puede ver arruinada su obra si el óleo con que pinta sobre un bastidor

se deteriora con el tiempo. ¿Y el lienzo?.

Ahora, que entendemos muy bien los términos informáticos,

siempre se nos dice que la totalidad del ordenador será tan lento como

lo sea la pieza que lo limita




1


Lo que llamamos acumulación, no es una simple suma de los

errores de las magnitudes medidas. Es una suma ponderada que hace

participar (pesar) a los errores relativos en función del exponente en

que figuran en la ecuación que se empleó para calcular la magnitud.

Así:

El error relativo cometido en el cálculo del volumen de un

cilindro, del que se han medido el radio y la altura se haría :

E rela. vol. = 2 . Error rela. radio + 1 error rel .altura

en razón de que el volumen del cilindro se obtiene según la

relación: V= π r2 h. Y, como se observa, el radio influye dos veces ya

que está elevado al cuadrado.

Si se trata de la superficie de un paralelogramo:

E rel sup = E rel. lado menor + E rel.lado mayor

Si se tratase del volumen de un prisma el razonamiento sería

análogo:

E rel vol = E rel. lado menor + E rel. lado mayor + E rel.altura del prisma

En otras figuras, el lector puede “intuir” la ecuación a aplicar.

La idea que encierra lo anterior es que todas las mediciones

acumulan sus errores, de tal suerte que el resultado final tiene un error

relativo que es la suma ponderada de todas las mediciones hechas.

En general:

E rel. resultante = ∑ E rel. todas las mediciones




1


Este cálculo debe hacerse siempre para poder llegar a escribir

un resultado con el adecuado número de cifras (las significativas).

Por ejemplo, supongamos que realizamos

la suma que figura a la izquierda.

Si las sumas en Física se hicieran como el

alumno hizo hasta ahora, simplemente

sumando, habríamos fabricado un resultado de

una suma , de mejor calidad que los sumandos

empleados.

En efecto. Si fuese lícito escribir como resultado de la suma el

valor 17.720 sería porque su error relativo es de 1 en 17.720... (casi 1

en 20.000) en otro caso no podríamos escribir el guarismo cero en que

termina la cifra.

Pero así no se suma. Solo se pueden sumar números cuya "calidad" sea análoga

Veamos, por ejemplo, la "calidad" de la medida que

representamos como 0.8.

Ya que así lo escribimos (0.8), la cifra de las décimas será

incierta en una unidad. Por tanto, su error relativo es 0.1/ 0.8. Es decir

del orden de 1 en 10 ( es decir del 10% )

Análogo cálculo debemos de hacer con el 6,3 (cuyo error

relativo es 1/63…es decir, del orden de 2 en 100 (2%) . Mientras que

en el caso de 10,620 su error relativo es del orden de 1 en 10,000 ( es

decir 0,001 en 100) .

Consecuencia del razonamiento anterior es que, quien fastidia

la suma es la medida mala…Como vemos, las demás poco contribuyen

al error relativo.




1


Consecuencia. La suma tiene, por lo menos, el error relativo de

la peor de las medidas ( y algo más).

El error relativo de esta suma ronda el 12%.

En razón de esta cuantía, debemos de decidir cuantas cifras

podemos escribir del resultado

¿Pero cuántas son?

No es posible que ninguna suma produzca un número mejor,

que el peor de los que participan (recuérdese, estamos hablando de

propagación de errores).

Por tanto, la suma,cuando poco está afectada de un error del

orden del 12 %.

En consecuencia, debo escribir tantas cifra (y no más) que

evidencien este hecho.

Vamos a probar:

Si escribo 17,720 estoy indicando que

el 0 que escribo al final es la cifra incierta en

una unidad. Por tanto el error relativo sería de

1 en 17720. Es decir, del orden de 1 en 20000

Si escribo 17,72…..el error relativo

será….

Si escribo 17.7….el error relativo será…

Pero si escribo 17 y la cifra del siete

fuese incierta en una unidad, el error relativo sería 1 en 17. En

definitiva, del orden del 1 en 20 .

Si reflexiono 1/20 es 5/100…. Por tanto, si escribo 17 estoy

arrimando el ascua a mi sardina y exagero la bondad de mi suma ya

que estoy diciendo que mi error relativo es del 5% . Pero, en verdad y

como dije antes, el error relativo es del 12% (algo así como el doble de

lo que estoy diciendo.

Para ser riguroso debería de escribir 17 (sin una sola cifra

decimal) y además aclarar que la última cifra (el siete) es incierta en

dos unidades.




1


En efecto, si la última cifra del número fuese incierta en dos

unidades, su error relativo sería de 2/17…

Es decir, del orden de 2/20 que es igual a 10/100.

En definitiva, honradamente debería de escribir:

17 ± 2

Solamente puedo escribir como resultado 17 y nada más (no

puedo poner: 17.7, 17.72 y ni soñar 17.720).

Todo, consecuencia de que el sumando 0,8 es “pernicioso” por

su elevadísimo error relativo.




1


Anexo II. Ante el problema de medir:El tornillo micrométrico

Ya hemos visto que la materialización bajo la forma de un pié de

rey de la idea de Nunes permite, que los errores relativos del orden del

1% cunado medimos objetos del tamaño de varios centímetros.

Pero imagínese el lector, si empleamos un pié de rey (capaz de

apreciar 0,1 mm) para medir el espesor de una lámina metálica que

tiene aproximadamente UN milímetro de espesor; cometeríamos un

error relativo de 0,1/1 = 10 % . Hablando en términos vulgares, la

medida sería un churro.

Pero el problema tiene solución.

Veamos. Imaginemos

que fabricamos

cuidadosamente un tornillo

para que su paso de rosca sea

exactamente de medio

milímetro. Es decir, que

necesitamos dar DOS vueltas

al tornillo para que éste

avance exactamente un

milímetro. Al tornillo lo

podemos dotar de una

cabeza grande y que, a la

vez disponga de muescas

para controlar el avance del

tornilo. Y sigamos

suponiendo. Supongamos

que la cabeza del tornillo la

dotamos de 50 muescas.




1


¿Qué conseguimos así? Pues

conseguimos que cuando giremos lo

equivalente a una división de la cabeza

del tornillo, el tornillo habrá

avanzado….1/100 de milímetro. Quiere

decir ello que con este dispositivo

podemos apreciar 1/100 mm.

Antes de empezar a medir, nos cercionaremos de que al cerrar

el tornillo (que tiene la forma que están viendo) el cero está en esta

posición.

Después introduciremos el objeto a medir en la parte que señala la flecha y apretaremos “ligeramente” el tornillo.

Y ahora, tenemos que decir cuánto mide.

Fijémonos. Como ya está visible la marca que señala la flecha negra, es evidente que ya estamos en la segunda vuelta del primer milímetro y, recordemos, este tornillo aprecia 1/100 mm.(vease el razonamiento expuesto) . En consecuencia, a la medida (de medio milímetro), 50 centésimas de milímetro que significa este hecho, hay que sumarle lo que representa que, además, estemos en la

división 14 (otras 14 centésimas). En consecuencia, el espesor que hemoss medido es de 50+14 centésimas. En definitiva, el espesor medido era de 0,64 mm

En la página siguiente se ofrecen varias imágenes para que

el alumno practique en las lecturas que indica el mismo tornillo.




1





1


Anexo III.

Ejemplos para la realización de medidas en casa

Ejemplo 1

Supongamos que queremos calcular el volumen de un cilindro

como el que mostramos en la figura.

Para dicho cálculo

necesitamos medir la altura y el

diámetro de la base.

Como puede verse, se trata de

un bote que hemos fotografiado

sobre una escala dividida en

centímetros. No hay más divisiones

que centímetros por lo que el

resultado de las medidas (altura y

diámetro) tendrán que darse en

centímetros.

Evidentementemente, el resultado habrá que expresarlo en cm3

y, por lo explicado no habrá decimales…ya que no podré expresar el

resultado ni con décimas, ni centésimas…ni ninguna decimal.




1


Además, queremos que una vez realizada la medida a la derecha

del resultado escribamos un límite de error. Límie de error que,

recordemos, es la suma ponderada de los errores cometidos al medir

altura y radio.

¿Nos explicamos? ¿Cómo vamos a realizar las medidas?

1º.- Pues podemos emplear los recursos que están a mi alcance

en casa. Tendré, seguro, un metro flexible dividido en centímetros y

milímetros. Seguro que también varias reglas. Y como objeto a medir

buscaré dos latas cilíndricas de cualquier conserva. Nosotros hemos

elegido (tenemos razones para ello) una que tiene su altura

aproximadamente como su diámetro, y otra que su altura es doble

que el diámetro. Señalar que el ejemplo que proponemos supone, al

principio, que el metro está solo dividido en centímetros.

También podemos emplear solo medios informáticos, tal como

proponemos a continuación.

2º.- El programa Adobe Photoshop Extendido CS4 en

“ANALISIS” permite configurar la escala de medida (estableciéndola

directamente sobre la pantalla del monitor). Ir a analisis: configurar

escala de medida, a medida.

Las fotografías, intencionadamente, pretendieron abarcar en la

escala un buen número de centímetros. Así, en el presente caso es

posible configurar la escala para que 10 cm. representen un

determinado número de píxeles. Siempre es mejor este

procedimiento que, al configurar la escala “a medida”, hagamos que 1

cm. represente un determinado número de píxeles.

A continuación medir: Análisis, herramienta regla. Y expresar el

resultado en un número entero de centímetros ya que nuestra regla

de la foto solo tiene divisiones en centímetros y el programa

informático no puede permitirnos inventar cifras ficticias.

Previamente en “ventana” debemos de haber marcado “registro

de medidas”, al objeto de que en la parte inferior de la misma pantalla

vayan surgiendo en una tabla muy completa las sucesivas medidas.

Midamos como midamos debemos realizar sucesivas medidas,

sugerimos realizar 5 medidas y obtener el valor medio tal como hemos

indicado. Si estamos midiendo con la regla dividida sólo en

centímetros, el valor medio solo se puede expresar en centímetros.




1


22 3,1315....... 6 12 3,1315....... 36 12?¿

4 4 4π × × × ××

× = = =D h

Volvemos a insistir. En este caso concreto el valor medio, que es

el resultado de sumar los valores obtenidos para la altura, y dividido

por cinco; tampoco puede tener ninguna cifra decimal…Las cifras no

se inventan a base de jugar con los números al dividir. El resultado no

puede tener más cifras significativas que las que tiene cada uno de

los sumandos. Si solo medimos centímetros, solo podemos

expresar el resultado en cm.

Respecto del error:

Recuerde que el error relativo lo calculamos (para el presente

caso) así:

El error relativo cometido en el cálculo del volumen de un

cilindro, del que se han medido el radio y la altura se calcula :

E rela. vol = 2 Error rela. radio + 1 error rel .altura

¿Para que nos sirve calcular este error relativo?

Pues para saber cuantas cifras significativas puedo escribir,

ya que no es posible que un resultado produzca un número mejor,

que el peor de los que participan.

Relea lo explicado antes en la pág.38

Es evidente que al multiplicar

Podemos fabricar los dígitos que queramos. Todos inventados,

a base de la calculadora. Claro. Y no solo porque interviene pi como un

factor…Pero, aunque olvidemos al número pi , al producto 36X12/ 4

¿cuántas cifras significativas tiene?. Lo difícil es escribir solo las

cifras significativas, en un mundo en donde las calculadores

producen dígitos por docenas.




1


3,1315....... 36 12¿cuántas cifras escribo?

4

× ×=

Recuerde todos y cada uno de los puntos que hemos explicado,

en la pág.37 y 38 y que no parece que debamos repetir.

Pero posiblemente proceden algunas consideraciones.

La primera, en la ecuación precedente aparece el número pi al

que no debemos de atribuir ningún error ya que podremos escribirlo

con tantas cifras significativas como queramos.

Para no tener problema con él y dado que las calculadoras

tienen una tecla para emplear dicho número. Pulsemos dicha tecla. El

“problema” surge” con los demás números del numerador y

denominador. Al operar

Queremos decir ¿cuántas cifras significativas?

Para empezar, rellene los datos de la siguiente tabla:

Medidas de altura (cm) Medidas de radio (cm)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

Altura media: (cm) Radio medio: (cm)

E relativo altura: Error relativo radio:

VOLUMEN= (cm3) Cifras significativas a escribir:

Resultado: V= ± cm3




1


36 12

4

×

1 1 1 1 3 9 13 4036 12 4 36 36 100

+ ++ + = =

Recuerde lo que decíamos en la página 38. Decíamos:

Si escribo 17,720 estoy indicando que el 0 que escribo al final

es la cifra incierta en una unidad. Por tanto el error relativo sería de 1

en 17720. Es decir, del orden de 1 en 20000

Si escribo 17,72…..el error relativo será….

Si escribo 17.7….el error relativo será…

Pues en nuestro caso, calcule primero el error relativo de

es:

El error relativo es enorme, un disparate. Lea…40/100…!un

cuarenta por cien!. Pocas cifras podremos escribir. ¿Cuántas?




1


Ejemplo 2

Supongamos que queremos calcular el volumen de otro cilindro

que mostramos en la figura.

Para dicho cálculo

necesitamos medir la altura y el

diámetro de la base.

Como puede verse, se trata

de un “cilindro” que hemos

fotografiado sobre una escala

dividida en centímetros pero

también hay una escala dividida en

milímetros.

Pretendemos con este

nuevo ejemplo que

comparemos los resultados

con el ejemplo anterior en el

sentido de ver como

“evoluciona” el error relativo

tanto en razón del tamaño del

objeto y también la escala

empleada.

Si se fijan, es un cilindro que tiene de altura poco más de la

mitad del anterior, mientras que su diámetro es prácticamente el

mismo.

Le proponemos que midan el diámetro y la altura de la base

con ambas escalas:

Primero con la que solo tiene centímetros, por lo que el

resultado de las medidas (altura y diámetro) tendrán que darse en

centímetros.

Luego, con la que tiene también milímetros, expresando en este




1


segundo caso las dimensiones en milímetros.

Por lo explicado en las páginas anteriores podré hacerlo sin

escribir decimales…ya que no podré expresar en ninguno de los dos

casos el resultado ni con décimas, ni centésimas…ni ninguna decimal.

Solamente unidades, en un caso centímetros y en otro mmilimetros.

Recuerde todos y cada uno de los puntos que hemos explicado

en las páginas precedentes que, evidentemente, no parece que

debamos repetir nuevamente ahora.

Igual que en el caso anterior, rellene la tabla y escriba siempre

solo las cifras significativas,:

Lo hacemos así para “ahorrar espacio”, y sugerir operar con

rapidez. Como pueden ver suprimimos de la tabla anterior la

sugerencia de hacer varias medidas (como en rigor deberíamos hacer).

Quisiéramos que el lector/experimentador se diese cuenta de

cómo evoluciona el error relativo en función “del “tamaño” de lo que

medimos. Un instrumento de medida, supongamos dividido en

milímetros”, conduce a medidas de mejor o peor calidad según lo

empleemos para medir la altura de un cilindro o una altura de un

cilindro “el doble de alto”. Es obvio que si la relación de tamaño fuese

“diez veces mayor” un cilindro que otro, la medida habría mejorado en

calidad diez veces. Tanto, como si hubiésemos empleado un

intrumento que midiese diez veces mejor.

Y no olvidemos. Emplear un instrumento que mide diez

veces mejor, nos permite escribir una cifra significativa más.

Medidas de altura (cm o mm) Medidas de radio (cm o mm)


VOLUMEN= Cifras significativas a escribir:

Resultado: V= ±




1


Ejemplo 3

Pretendemos que ahora siga todas y cada una de las

indicaciones que en el caso 1. Pero como puede ver, la escala sobre la

que ahora vamos a medir está dividida en milímetros.

Si quiere seguir sin que “aparezcan” decimales, puede operar en

mm y mm3 .

Ahora nuestra

“inseguridad” comienza en los

milímetros, y decidimos un

milímetro más o uno de menos.

Mida el diámetro y la altura como hemos venido indicando. Sea

con un metro dividido en mm, o mediante el Photoshp CS4

Nos interesa quer ahora se fije en lo siguiente.

1.- Ha medido diámetro y

altura en mm.

Supongamos que

pretendemos calcular el

volumen:

¿Qué pesa más ( es decir que afecta mas) en el error relativo

final; el error relativo del radio o el error relativo de la altura?

2.- Ha medido diámetro y altura en mm.

Supongamos que pretendemos calcular el área lateral:

¿Qué pesa más en el error relativo final; el error relativo del




1


radio o el error relativo de la altura?

Si sa ha fijado, el cilindro que medimos ahora es mucho mas

pequeño que el de antes, pero estamos empleando un metro dividido

en milímetros

Rellene la misma tabla de antes, pero con los nuevos datos.

Si no quiere entretenerse mucho, mida una sola vez las dimensiones altura y diámetro (pero sabiendo que debe medir varias veces)

Repita el proceso anterior con este cilindro, mida la altura (será parecida al “doble” ) que el anterior cilindro.

Repita el proceso anterior con

la base del cilindro ( será casi la

misma que antes) . Pero al medir

otra vez no tiene porque coincidir.

Son dos medidas…

Medidas de altura (mm) Medidas de radio (mm)


VOLUMEN= mm3 Cifras significativas a escribir:

Resultado: V= ±




1


Ejemplo 4

En este nuevo ejemplo en el que también el objeto a medir es un

cilindro queremos que observe también la influencia de los erroers

relativos de la altura y del radio.

Nuestro cilindro ahora, tiene

(aproximadamente) una dimensión

(diámetro) análoga a la otra

dimensión (altura)

Recuerde que en un caso anterior el cilindro tenía un diámetro

aproximadamente la mitad

que la altura

Rellene la misma tabla

de antes, pero con los

nuevos datos.

Emplee el milímetro

como unidad ya que tiene

una escala dividida en

milímetros. Mida una sola

vez las dimensiones altura y diámetro (pero sabiendo que debe medir

varias veces) y exprese el resultado en milímetros que es la menor

unidad que la escala le permite “conocer”..

Siga todas y cada una de las indicaciones que en el caso 1.

Procure rellenar los datos en otra tabla análoga a la del ejemplo 1.

La meta final es obtener el resultado del volumen de este

cilindro expresado con las correctas cifras significativas y, a su

derecha, un número que indique el límite de error atribuíble al

resultado




1


Ejemplo 5

El cilindro del que

pretendemos ahora

conocer su volumen es,

ciertamente, particular.

Tiene una gran altura

frente a su diámetro. Es

una varilla de aluminio.

Vean. Es una

varilla que tiene

aproximadamente 23

cm de largo, mientras

que el diámetro es

aproximadamente 1 cm.

Ahora la relación de la altura respecto del diámetro es de 20 a

1. Y por lo que hemos venido constatando el error relativo de la

medida de la base “pesa” el doble.

¡Qué mala suerte!

Nos planteamos ahora el problema en términos inversos a como

hemos venido haciendo. Es decir.

En la fotografía tenemos la posibilidad de emplear una escala en

centímetros, una escala en milímetros y una

escala en medios milímetros.

Si queremos que el peso de los errores

relativos de las magnitudes a medir, sea

análogo ¿Cómo debemos de medir dichas

magnitudes.

Caben muchas posibilidades pero, desde

luego no parece lógico esmerarse en medir con

la escala de medios milímetros la longitud de la

varilla, si chafamos el resultado final midiendo el

diámetro en medios centímetros.




1


En consecuencia. Con la “herramienta” que tenemos y queremos

que el resultado sea el mejor posible (el de menor error relativo)

¿Cómo medimos?.

Emplee la escala adecuada en cada caso. Mida una sola vez las

dimensiones altura y diámetro (pero sabiendo que debe medir varias

veces) y exprese el resultado con el adecuado número de cifras

significativas.

Siga todas y cada una de las indicaciones que en el caso 1.

Procure rellenar los datos en otra tabla análoga a la del ejemplo 1

Se pretende que el alumno razone su propuesta.

Ejemplo 6

Un nuevo ejemplo.

En el caso anterior nos planteamos la problemática de calcular

el volumen de una figura cilíndrica en donde predominaba la altura.

Ahora, es un disco en el que el diámetro es la dimensión

dominante.

La escala del fondo

permitiría realizar medidas

empleando como unidad los

centímetros, los milímetros y

los medios milímetros

Si lo que queremos es medir lo mejor posible, y no dilapidar

nuestros esfuerzos, preguntamos al lector/experimentador:

¿Cómo debo medir el diámetro y el espesor del disco para que,

con la “heramienta” de que dispongo (metro dividido como hemos

dicho), me permita obtener un resultado del volumen con el menor

error relativo posible?

Pues mida así




1


Siga todas y cada una de las indicaciones que en el caso 1. Procure rellenar los datos en otra tabla análoga a la del ejemplo 1, si se tratase de trabajar muy deprisa pues no dispone demasiado tiempo, realice solamente una medida.

En todo caso, hacer

cinco, le puede llevar cinco

minutos.

Otra propuesta:

1.- Mida diámetro y altura, ambos en medios milímetros.

Supongamos que pretendemos calcular el volumen:



2.- Mida diámetro y altura en milímetros.

Supongamos que pretendemos calcular el área lateral:



El ejemplo 6 representa una situación “opuesta” al ejemplo de la

varilla.

En la vida real errores tan importantes nos obligan a emplear un pie de rey o un tornillo micrométrico para el diámetro de la varilla o el espesor del disco.




1


Ejemplo 7

¿Con qué precisión tenemos

que medir el lado de la sección y la

altura?




1


Anexo IV.

Representaciones gráficas

En las ciencias experimentales existen muchas ocasiones en las

que varias magnitudes están relacionadas entre sí, de modo que

cuando varía una de ellas implica la variación de la otra.

Así, si un móvil se desplaza con una velocidad, a medida que

aumenta el tiempo se incrementa el espacio recorrido; en este caso

decimos que el espacio es función del tiempo ya que depende de él.

La variable que depende de otra se denomina variable

dependiente y la que sirve de referencia, variable independiente. En

este caso, el tiempo es la variable independiente y el espacio, la

variable dependiente.

Normalmente, los sucesivos valores de las variables se

representan en un sistema de ejes cartesianos. La variable

independiente se sitúa en el eje de abcisas (eje X) y la variable

dependiente en el de ordenadas (eje Y). Habitualmente, en primero

lugar se representan en el eje X los valores de la variable

independiente y posteriormente se van marcando en el eje Y los

valores obtenidos para la variable dependiente.

Cada pareja de valores se representa por un punto y a

continuación se dibuja una línea, de trazado uniforme, que se ajuste

al mayor número posible a los puntos. Tras este trabajo hemos

obtenido la representación gráfica de los puntos y dibujamos así la

función que relaciona a las dos magnitudes.

Como acabamos de ver, en todas las medidas experimentales

existe cierto error y en consecuencia, al representar los puntos

correspondientes a los valores obtenidos, vemos que no siguen

exactamente la línea que representa a la relación matemática que

esperamos encontrar. Para ello, trazaremos siempre la línea de modo




1


que se ajuste el máximo posible a los puntos experimentales.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el

valor de una de ellas es igual al valor de la otra multiplicado por una

constante.

Su expresión es de la forma:

y = k x

donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente y k la constante de proporcionalidad. Decimos, en estos casos, que estas dos magnitudes siguen una relación lineal, o que están relacionadas linealmente.

Supongamos que, al medir dos magnitudes relacionadas de este modo, obtenemos los valores reflejados en la siguiente tabla:

x

X 0

2

4

6

8

y Y 0 3 6 9 12

A continuación, representamos los puntos correspondientes en unos

ejes cartesianos, dibujamos una línea que ( a ser posible) pase por todos

ellos y obtenemos la gráfica siguiente:




1


y 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0 2 4 6 8 x

Gráfica de magnitudes directamente proporcionales




1


k yx

=

Obtuvimos una línea recta cuya pendiente es:

Si ponemos esta ecuación en la forma: y = k x, observamos

que k es la constante de proporcionalidad entre X e Y.

Rectas con ordenada en el origen

En algunas ocasiones, la recta obtenida al representar los

valores no pasa por lo origen de coordenadas debido la que cuando x

valle cero, y tiene un valor distinto de cero. Supongamos que en una

serie de medidas obtuvimos los siguientes valores:

X 0 2 4 6 8 Y 2 8 14 20 26

En este caso, x e y no son proporcionales ya que al dividir los

sucesivos valores obtenidos de y entre los de x no obtenemos siempre

el mismo resultado.




1


2yx−

2 3 : 3 2y por lo que y xx−

= = +

kyx

=

No obstante, si representamos gráficamente estos resultados,

obtenemos una línea recta que no pasa por el origen de

coordenadas, sino que corta al eje de ordenadas en el punto (0,2). El

valor de y en este punto (y = 2) se denomina ordenada en el origen.

y 35 30 25 20 15 10 5 0

0 2 4 6 8 10 Recta con ordenada en el origen

Si a cada uno de los valores obtenidos para y le restamos el

valor de ordenada en el origen, la fracción que resulta

nos da un valor constante, que es la pendiente de la recta. En

este caso concreto, sustituyendo cualquier pareja de valores en la

expresión, obtenemos que la pendiente es igual a 3, .

Magnitudes inversamente proporcionales

La relación entre estas magnitudes es de la forma

donde k es una constante, un número. Ahora no permanece

constante el ratio, sino el producto. Es decir x y = k. Supongamos que

tenemos los siguientes valores de dos magnitudes: x 1 2 3 4 5 y 24 12 8 6 4,8

Se representamos estos valores obtenemos la siguiente gráfica que cómo vemelos es una corva, concretamente, parte de una hipérbola.




1


y 30 25 20 15 10 5 0

1 2 3 4 5

Gráfica de magnitudes inversamente proporcionales

Magnitudes relacionadas por otras funciones matemáticas

Hay muchas ocasiones en las que la relación matemática

existente entre dos magnitudes no corresponde la ninguna de las que

vimos, pero en esencia el modo de realizar la representación gráfica es

análogo dando lugar a curvas más o menos complejas. Algunas de las

funciones que aparecen con más frecuencia son:

Potenciales:

Son de la forma y = k ·xn. Donde n es una constante que puede

ser positiva o negativa. Según el valor de n pueden las formas son muy

diferentes. Si nos fijamos, la última que vimos (magnitudes

inversamente proporciornales) es de este tipo, ya que y = k /x se

puede escribir como : y= k x -1.

Otra sería : y = k x2. En este caso la representación gráfica es

una parábola.

Exponenciales:

Son de la forma y = kx. Siendo x la variable independiente. Se

da muy frecuentemente en procesos naturales de crecimiento continuo

como la de los ser vivos, la formación de cristales en disoluciones,... o

de decrecemiento, como la cantidad de materia radiactiva que queda




1


en una muestra con el paso del tiempo.

Logarítmicas:

Son de la forma y = log x. La función logarítmica es la inversa de

la función exponencial y facilita el estudio y representación de las

funciones exponenciales que con frecuencia aparecen en física y en

las ciencias en general.

o En resumen

Una representación gráfica consiste en representar los valores de las variables (independiente y dependiente) en un sistema de ejes cartesianos.

La gráfica de magnitudes directamente proporcionales es una línea recta que puede pasar, o no, por el origen de coordenadas dependiendo de los valores iniciales de las variables.

La gráfica de magnitudes inversamente proporcionales es parte de una hipérbola.

Las gráficas de funciones exponenciales pueden adoptar formas muy diversas. En caso de que el valor del exponente sea 2, la gráfica es una parábola y la relación entre las variables se denomina función cuadrática.

Las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí y por ellas se rigen procesos de crecimiento o decrecemento continuos, extraordinariamente importantes en procesos físicos, químicos, biológicos.

Antes de terminar debemos decir que, si

podemos/queremos emplear medios informáticos la hoja de

cálculo EXCEL dibuja, ajusta y genera la acuación para el caso de

relaciones X/Y . Lo hace de forma rápida y sencilla . La explicación

de esta aplicación informática, muy interesante y práctica,

consideramos que no procedía ser abordada en este documento.




1


Indice

página

Medidas errores y cifras 1

La necesidad de medir 2

Definamos el error absoluto. Definamos el relativo 20

Anexo I . Ante el problema de medir: La idea del Nunes 28

Anexo II. Ante el problema de medir:El tornillo micrométrico 39

Anexo III. Ejemplos para la realización de medidas en casa 42

Anexo IV. Representaciones gráficas 56

Índice 63

Contenidos para Física y Química · 2013-10-17 · y precisa "definición" .En este orden de...

Documents

Transcript of Contenidos para Física y Química · 2013-10-17 · y precisa "definición" .En este orden de...