CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES

Unidad didctica 5. Geometra en el plano

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal

Proyecto de innovacin ARAGN TRES 1

PARBOLA

Una parbola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto F, llamado foco, y de una recta d, llamada directriz.

Para obtener la ecuacin reducida de la parbola, se considera como foco el punto F = (2p

, 0) y

como directriz la recta vertical x = - 2p

El punto X = (x, y) del plano pertenecer a la parbola si verifica d(X, F) = d(X, recta directriz), es

decir, si 2

2 - + 2p

x y = x + 2p

. Realizando operaciones, se obtiene y2 = 2px

Se llama eje de una parbola a su eje de simetra y vrtice al punto de la parbola que pertenece al eje.

El eje de la parbola y2 = 2px es el eje de abscisas o eje OX y el vrtice es el origen de coordenadas.

Ejemplo 5: Escribir la ecuacin de la parbola que tiene por foco el punto (5, 0) y vrtice en el origen.

Al estar el vrtice en el origen y el foco en el eje de abscisas la ecuacin de la hiprbola es y2 = 2px con p

2= 5, es decir p =

= 10. As, la ecuacin es y2 = 20x.

A continuacin se ven algunas parbolas que vienen definidas por polinomios de segundo grado:

Parbolas de eje vertical El conjunto de puntos (x, y) del plano relacionados mediante un polinomio de segundo grado de la forma y = ax2 + bx + c es una parbola de eje vertical y viceversa.

La parbola y = ax2 + bx + c tiene por eje la recta vertical x = -2ba

, y el vrtice es el punto de

interseccin de la parbola y su eje.

Notar que si a > 0 las ramas de la parbola van hacia arriba y que si a < 0 las ramas de la parbola van hacia abajo.

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Unidad didctica 5. Geometra en el plano

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal

Proyecto de innovacin ARAGN TRES 2

Ejemplo 6: La parbola y = 3x2 - 12x + 8 tiene por eje la recta x = 12

2.3

= 2 y por vrtice el punto (2, -4)

Parbolas de eje horizontal El conjunto de puntos (x, y) del plano relacionados mediante un polinomio de segundo grado de la forma x = ay2 + by + c es una parbola de eje horizontal y viceversa.

La parbola x = ay2 + by + c tiene por eje la recta horizontal y = -2ba

, y el vrtice es el punto de

interseccin de la parbola y su eje.

Ejemplo 7: La parbola x = y2 - 6y + 5 tiene por eje la recta y = 6

2

= 3 y por vrtice el punto (-4, 3)