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Conteo y Trazado de Figuras Máximos, Mínimos y Edades

CONTEO Y TRAZADO DE FIGURAS CONTEO DE FIGURAS: Consiste en averiguar el número exacto (por lo general el máximo) de figuras, tales como: segmentos, triángulos, cuadriláteros, cuadrados, pentágonos, hexágonos, etc., estas a su vez se pueden encontrar formando parte de una figura principal (figura compuesta). Muchas veces es necesario tener en cuenta las sumas notables y la aplicación del método inductivo.

MÉTODOS DE CONTEO CONTEO POR SIMPLE INSPECCIÓN Contamos las figuras que nos solicitan de manera directa utilizando únicamente nuestra capacidad de observación. En este caso no se lleva ningún registro de lo que se va contando.

CONTEO POR COMBINACIÓN O AGRUPACIÓN Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las figuras simples que componen la figura dada y luego se procede a contar de manera ordenada y creciente. Es decir, figuras con 1 dígito, figuras con 2 dígitos y así sucesivamente. En este caso sí se lleva un registro de lo que se va contando.

Ejemplo: ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la siguiente

figura?

Resolución: Ahora vamos a usar letras:

A continuación realicemos el conteo ordenado de los triángulos:

• Con una letra: B - C - E - F - G (5 triángulos) • Con dos letras: AC - AB - EG - FG (4 triángulos) • Con tres letras: CDE - BDF (2 triángulos) • Con cuatro letras: NO HAY • Con cinco letras: ABCDE - ACBDF (2 triángulos) • Con seis letras: NO HAY • Con siete letras: ABCDEFG (1 triángulo) En total hay 14 triángulos.

CONTEO POR INDUCCIÓN Se aplica cuando la figura dada presenta una forma ordenada y repetitiva. Se empieza analizando casos pequeños parecidos a la figura principal. Aquí haremos uso de las fórmulas de Series notables. A) CONTEO DE SEGMENTOS: Por inducción Matemática se obtiene al final una fórmula. Ejemplo ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

1 2 3 ........ n

Solución: Por el método inductivo: # de segmentos

1 2 ⇒ 3 = 1 + 2

1 2 3

⇒ 6 = 1 + 2 + 3

1 2 3 4

⇒ 10 = 1 + 2 + 3 + 4 Luego:

1 2 3 ........ n

⇒ 1 + 2 + 3 +…+ n = n n 1

2

N° de segmentos: n n 1

2

Donde n = # de Separaciones

A B

DC

EG

F

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Ejemplo: Hallar la cantidad total de segmentos

Solución: Para determinar la cantidad total de segmentos de la figura adjunta, procedemos así: 1°) En las líneas horizontales:

Observamos 7 separaciones

⇒ 1 + 2 + 3 +…+ 7 = 7 7 1

282

Como hay en total 4 líneas horizontales, entonces tenemos 28(4) = 112 segmentos.

2°) En las líneas oblicuas: Observamos 5 separaciones

⇒ 1 + 2 + 3 +4 + 5 = 5 5 1

152

Como hay en total 6 líneas oblicuas, entonces tenemos 15(6) = 90 segmentos. Luego: Total de segmentos = 112 + 90 = 202 segmentos.

B) CONTEO DE TRIÁNGULOS:

CASO I: Cuando desde un vértice salen líneas que llegan al lado opuesto ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

1 2 3 ... n Por el método inductivo: 1 ⇒ Nº de triángulos: 1

1 2 ⇒ Nº de triángulos: 1 + 2 = 3

1 2 3 ⇒ Nº de triángulos: 1 + 2 + 3 = 6

Luego para toda la figura:

1 2 3 ... n

⇒ Nº de triángulos: 1 + 2 + 3 +…+ n

Cantidad de Triángulos para caso I:

N° de triángulos = n n 1

2

Donde n = # de Separaciones

CASO II: Cuando desde un vértice salen líneas que llegan al lado opuesto y hay líneas paralelas o no a dicho lado, las cuales no nacen de algún vértice ¿Cuántos Triángulos hay en la figura adjunta?

Cantidad de Triángulos para caso II:

# de Triángulos = mnn

+

2)1(

Donde n = # de Separaciones verticales m = # de Separaciones horizontales

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Conteo y Trazado de Figuras Máximos, Mínimos y Edades

Ejemplo: ¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo en la

figura mostrada?

Solución: Observando la figura tenemos. n = 8 y m = 4

N° de Triángulos = 8(8 1) 4 144

2x+ =

CASO III: Número de triángulos generados por las cevianas trazadas de dos vértices. Ejemplo: ¿Cuántos Triángulos hay en la figura adjunta?

Solución:

Observe que las líneas que vienen del vértice A dividen al triángulo en 5 zonas. Luego n = 5.

Además la línea que sale del vértice B divide al triángulo en 2 zonas. Luego m = 2

N° de Triángulos = 352

)25)(2)(5(=

+ Triángulos.

Cantidad de Triángulos para caso III:

N° de Triángulos =

+

2)( mnmn

Donde n = # de espacios en el lado BC m = # de espacios en el lado AC

C) CONTEO DE CUADRILÁTEROS:

CASO I:

N° de cuadriláteros: 2

)1( +nn

CASO II:

N° de Cuadriláteros = 2

)1(2

)1( ++ mmxnn

Ejemplo: ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura adjunta?

m = Donde n = # de Separaciones verticales m = # de Separaciones horizontales

# de Cuadriláteros = 2

)14(42

)15(5 ++ x

# de Cuadriláteros =150

C B

A

2 3 4

1 2 3 4 n = 5

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Conteo y Trazado de Figuras Máximos, Mínimos y Edades

D) CONTEO DE TRAPECIOS: Se aplica la misma fórmula de los cuadrilateros: m =

# de Trapecios = 2

)17(72

)14(4 ++ x

# de Trapecios =280 La misma fórmula anterior se usa también cuando nos pidan hallar trapecios circulares.

E) CONTEO DE CUADRADOS: CASO I: Cuando el # de espacios verticales es igual al # de espacios horizontales. Es decir, n = m.

# de Cuadrados = 6

)1n2)(1n(n ++

En el ejemplo 1:

# de Cuadrados = 5(5 1)(2)(5) 1)

6+ +

= 55 cuadrados.

CASO II: Cuando el # de espacios verticales es diferente al # de espacios horizontales. Es decir, n ≠ m. Ejemplo 2 : ¿Cuántos cuadrados hay en la figura? = = n

m = Para este caso se aplica la fórmula general:

# de Cuadrados = ......)2)(2()1)(1( +−−+−−+ mnmnnm hasta que un factor tenga como valor 1 # de Cuadrados = )34)(35()24)(25()14)(15()4)(5( −−+−−+−−+ # de Cuadrados = )1)(2()2)(3()3)(4()4)(5( +++ # de Cuadrados = 20+12+6+2 = 40 cuadrados. OBSERVACION: Si se desea conocer la cantidad de cuadraditos, se debe multiplicar la cantidad de espacios verticales por la cantidad de espacios horizontales; es decir n x m.

1 2 3 4 = n 2 3 4 5 6 7

m =5

2 3 4

1 2 3 4 n = 5

1 2 3 4 5 2 3 4

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CONTEO DE CAMINOS

Rutas como eventos independientes: Ejemplo: ¿De cuántas maneras puede ir Carlos de A hacia B sin pasar dos veces por el mismo lado?

A Solución: Se observa que del punto A salen 5 líneas y a la línea B llegan 4 luego 5 x 4 = 20 caminos. Método del triángulo de Pascal: Ejemplo: ¿De cuantas maneras puede ir una persona de A hacia B sin retroceder ni pasar dos veces por una misma línea ? A

B Solución: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84

Para ir de A hacia B existen 84 maneras de recorrerlo

B

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Definición de términos: Certeza o seguridad: es la acción de tener un conocimiento seguro y claro de alguna cosa. Sin Reposición: es un término usado con frecuencia en los problemas de Urnas, que indica que se deben ir

sacando los objetos sin reponerlos. En los problemas planteados siempre se debe utilizar este término, a no ser que se diga lo contrario.

Más pesimista o el peor de los casos: esta expresión nos indica que se está analizando el caso más extremo (desfavorable) en un máximo o un mínimo Ejemplo: Una señora tiene en una caja oscura, 3 pares diferentes de zapatos de colores negros, 4 blancos, 2 azules y 5 rojos. Diga Ud. ¿Cuántos zapatos se deben extraer de uno en uno sin reposición a fin de tener la certeza de obtener un par útil?

a) 15 b) 5 c) 3 d) 4 e) 8 Del primer par útil, es decir se deben extraer 15 zapatos. B) Problemas de Compra – Venta , Distancia: Ejemplo: Los ingresos mensuales de Roxana varían entre 540 y 620 soles inclusive, y sus gastos mensuales varían entre 320 y 400 soles, inclusive. Si la diferencia la reparte por igual con sus 4 hijos. ¿Cuál es la máxima cantidad que recibirá una de ellas algún mes?

a) 35 b) 45 c) 60 d) 80 e) 75 Solución: Para obtener el máximo ahorro Roxana debe ganar 620 y gastar 320 entonces el saldo será 620-320 = 300. Si la diferencia la reparte por igual con sus 4 hijos, entonces ella también se incluye, luego el máximo ahorro se divide entre 5, de lo que resulta:

300/5 = 60

EDADES En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos a encontrar, las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matemáticos muy frecuentes y dados la diversidad de situaciones que se presentan, existiendo así métodos prácticos de resolución, por eso le daremos una atención especial. Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, gráficos, dibujos, esquemas, etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la solución de los mismos. Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones. A continuación trataremos sobre ellos. 1. SUJETOS

Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero algunos problemas pueden ser sobre animales, plantas, etc.

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Ejemplo N° 01 Carlos Alfonso es 2 años menor que María Fernanda, pero 3 años mayor que María Belén

María Carlos María Belén Alfonso Fernanda

Tiene 2 años 5 años 7 Años Ejemplo N° 02 La edad del Gorila Luis y la edad del mono Carlos suman tanto como la suma de los 6 primeros números primos.

Gorila Mono Luis Carlos x + y = 41 ⇒ (2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13)

Ejemplo N° 03 La edad de un árbol ébano, cuando fue talado era 94 años más que la edad de la planta girasol.

Edad de Girasol : G Edad de Ébano : E

G = E – 94 ó E = G + 94 2. TIEMPOS

Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras expresiones las cuales deben interpretarse correctamente caso contrario complicarían la resolución de los problemas.

a) Tiempo Pasado Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras: “Hace......años” “Las suma de edades fue....” “Ellos tuvieron....años” “Mi edad era de.... años” “Nosotros tuvimos.....años” Pueden darse en el problema uno o más tiempos pasados.

b) Tiempo Presente

Se presentan con las siguientes palabras: “Hoy la edad es de.....años” “La suma de nuestras edades es de....” “Nosotros tenemos....años” “Mi edad es de......años”

Yo Tenía Tuve

Tú Tenías Tuviste

El Tenía Tuvo

Yo Tengo Tú Tienes El Tiene

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c) Tiempo Futuro

Se le presenta con las palabras: “Dentro de....años” “La suma de nuestras edades será de....años” “Nosotros tendremos.....años” “Nosotros tuviésemos....años”

3. EDADES

Es un lapso de tiempo correspondiente a la existencia de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o en tiempos diferentes.

Tipos de Problemas a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto

Cuando el enunciado de un problema nos mencionan:”Hace...” ó “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo presente ( hoy ); a partir de allí se cuenta el tiempo transcurrido ( hace... ) o el tiempo a transcurrir( dentro de... ) Ejemplo Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” años, mi edad se expresa:

x – m x x + n

b) Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos Para este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el propósito de razonar ordenadamente, buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar lo que me piden.

PASADO PRESENTE FUTURO María a m r Belén b n s

Se observa: • La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la misma en el

presente, pasado y futuro). Esto es : a - b = m – n = r - s

• Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados simétricamente son iguales.

a + n = b + m m + s = n + r a + s = b + r

Yo Tendré Tenga

Tú Tendrás Tengas

El Tendrá Tenga

Edades y Condiciones

Sujetos

Tiempos

Hacen “m” años

Hoy tengo Dentro “n” años

Pasado Presente Futuro

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RELACION CON EL AÑO DE NACIMIENTO De acuerdo a esto podemos enunciar: • Cuando una persona ya cumplió años, se cumple:

Año = Año de + Edad Actual nacimiento Actual

• cuando una persona aún no cumple años, se cumple:

Año = Año de + Edad Actual nacimiento Actual

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. A Enrique le preguntan por su edad y él responde. Si a mi edad le suman el triple de la edad que tuve hace

4 años más la edad que tendré dentro de 4 años, obtendrán mi edad más 28 años ¿Cuál es la edad de Enrique? a) 16 b) 14 c) 12 d) 9 e) 7

Solución Sea “x” la edad de Enrique. La edad de Enrique hace 4 años = x - 4 La edad de Enrique dentro de 4 años = x + 4 De las condiciones del problema se tiene: X + 3(x-4) + (x + 4) = x + 28 X + 3x-12 + x + 4 = x + 28 4x = 36 x = 9 Por tanto, la edad de Enrique es 9 años 2. La edad actual de Lizeth es el cuádruplo de la edad de Lourdes. Dentro de 16 años la edad de Lizeth será

el doble dela edad de Lourdes.¿Cuál será la edad de Lourdes entro de 20 años? a) 14 b) 15 c) 19 d) 22 e) 28 Solución Sea “x” la edad de Lourdes.

Pte Dentro de 16 años Lizeth 4x 4x+16 Lourdes X x + 16

Luego de las condiciones se tiene: 4x +16 = 2( x +16 ) 4x + 16 = 2x + 32 2x = 16 x = 8 La edad de Lourdes dentro de 20 años será = 8 + 20 = 28 3. La edad de un Padre es el cuádruplo de la edad de su hijo. Hace 3 años era el quíntuplo.¿Cuál es la edad

actual del Padre? a) 30 b) 35 c) 40 d) 48 e) 55

- 1

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Solución: Hace 3 años Edad actual Padre 4x - 3 4x Hijo x - 3 x

4x – 3 = 5( x-3) 4x - 3 = 5x –15 x = 12

La edad del Padre = 4(12) = 48

4. Hace 5 años, la edad de un padre fue tres veces más que la edad de su hijo, y dentro de 5 años será solamente el doble de la de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo?

a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 Solución:

Hace 5 años Edad actual Dentro de 5 años

Padre 4( y - 5) x 2 ( y + 5) Hijo y - 5 y Y + 5

Se tiene: 4(y-5) + y = y - 5 + x x + y + 5 = y + 2( y + 5) x = 4 (y - 5) + 5 4 (y - 5) + 5 + y + 5 = y + 2( y + 5) 4 y - 20 + 5 + y + 5 = y + 2 y + 10 5y - 10 = 3y + 10 y = 10 x = 25 Luego: El padre tuvo 15 años cuando nació el hijo, por tanto el padre tendrá 30 años cuando el hijo tenga 15 años. 5. Al preguntarle a un abuelo por su edad contestó: “No soy tan joven que pueda tener menos de 70 años, ni

tan viejo que me puedan llamar noventón”. Cada uno de mis hijos me han dado tantos nietos como hermanos tienen, mi edad es justo el triple de hijos y nietos que tengo. ¿Qué edad tiene el abuelo? a) 70 años b) 72 años c) 75 años d) 78 años e) 80 años

Solución Sea “X “ la edad del abuelo. Número de Hijos : n Numero de hermanos de cada hijo : n – 1 Número de nietos por hijo : n – 1 Total de nietos : n( n – 1 ) 69 < x < 90 x =3 [ n + n( n-1) ] x = 3 n2 Luego : 69 < 3 n2 < 90 23 < n2 < 30 n2 = 25 x = 3 n2 x = 3( 25 ) = 75 Por tanto la edad del abuelo es 75