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Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 5, Número 2, Junio 2014. Página 130—

Contextualización del estudio de la convergencia para series de

Fourier

Emma Miryam Di Bárbaro; Rolando Javier Peralta; Edgardo Arguello

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Catamarca. [email protected]

RESUMEN

Es necesario contextualizar los diferentes temas en el Profesorado de Matemática, enfocada principalmente a la enseñanza de la convergencia de las series de Fourier. Para que en el aprendizaje de esta temática los estudiantes construyan en forma activa el conocimiento, y además profundicen posteriormente este aprendizaje, estructuren y asimilen con sus propios esquemas el problema de la convergencia de las series de Fourier.

Presentamos una propuesta de enseñanza de las series de Fourier y el estudio de su convergencia contextualizada, con el propósito de que el trabajo en la clase sea claro y accesible para los alumnos ya que las demostraciones de los teoremas están desarrolladas en su totalidad.

Palabras clave: contextualización, convergencia, series, Fourier.

Context of the study of convergence for Fourier series

ABSTRACT

It is necessary to contextualize the different subjects in the Faculty of Mathematics, focused mainly on the teaching of the convergence of Fourier series. For the learning of this subject students actively construct knowledge, and further deepen this learning later,

mailto:[email protected]

Emma Miryam Di Bárbaro; Rolando Javier Peralta; Edgardo Arguello: Contextualización del estudio de la convergencia para series de Fourier.


structured and assimilate with their own schemes the problem of the convergence of Fourier series.

We present a proposal for teaching Fourier series and contextualized study of its convergence with the purpose of the class work is clear and accessible to students and the proofs of theorems are developed in full.

Keywords: contextualize, convergence, series, Fourier.

INTRODUCCIÓN

No es fácil introducir a los alumnos en la enseñanza y el

aprendizaje de las series de Fourier por los conocimientos previos necesarios que

se deben tener en cuenta. En el presente artículo se presenta el estudio del

desarrollo de las series de Fourier, con un tratamiento completo desde el punto de

vista de los conceptos previos hasta llegar a la forma de la serie contextualizándola

con un ejemplo sencillo. Luego se profundiza en los criterios de convergencia de

series en general, para poder estudiar el problema de convergencia y mejor

aproximación de las series de Fourier y su contextualización.

Se ha investigado mucho sobre las series de Fourier debido a que

estas tienen un campo muy amplio de aplicación como por ejemplo la física, la

química, la electrónica, en señales, en sonido, en medicina, etc.

Mostramos a continuación una idea de enseñanza de las series de

Fourier contextualizándola, como así también su convergencia. Teniendo como fin

apoyar la actividad del docente en el aula y la de los alumnos.

REFERENTE TEÓRICO

En 1807 Jean Baptiste Joseph Fourier presentó ante la Academia

de Ciencias de París su trabajo (la primera versión) “Théorie de la propagation de

la chaleur dans les solides”, cuyo objetivo era el estudio de la distribución del calor

en los sólidos conductores, bajo diferentes hipótesis. Su investigación abría un



nuevo campo en la ciencia de la época, además de introducir nuevas técnicas en el

planteamiento de los problemas de la Física y la Matemática en ese periodo.

Antes de la publicación de su trabajo Fourier había realizado

algunas contribuciones al problema de la vibración de los cuerpos sonoros.

También estudió la Mecánica Celeste de Lagrange, el problema de la cuerda

vibrante de Daniel Bernoulli y el trabajo de J.B: Biot sobre la evolución temporal de

la distribución de calor en una barra metálica delgada y muy larga (cuando esta se

calienta desde uno de sus extremos). Luego Biot reconoció que su modelo no era

correcto.

En sus comienzos Fourier trato de evitar las dificultades que

encontró Biot proponiendo un modelo discreto que podía resolver con técnicas

similares a las empleadas por Lagrange en el problema de la cuerda vibrante. Por

este camino fue capaz de deducir la expresión general de la solución, pero

aparecían ciertos coeficientes que no pudo hallar salvo para casos especiales.

Entonces decidió volver al problema en el caso continuo. En su primer intento llego

a una ecuación errónea que luego corrigió por la siguiente:

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝐾 (

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2)

ésta es la ecuación de difusión de calor que incluyo en su memoria de 1807, la cual

es para los puntos interiores de un sólido y en donde K representa una constante

de conductividad térmica que depende del material del sólido en cuestión.

Veremos un ejemplo de uno de los casos que consideró Fourier en

su trabajo: se harán los cálculos para el caso de la ecuación de calor cuando el

sólido es una barra metálica homogénea y delgada, con superficie lateral aislante

cuya distribución de temperatura inicial es una función dada y cuyos extremos se

mantienen constantes a temperatura cero.

En estado estacionario la temperatura u(x,t) de un punto (x,t)

estará dada por la ecuación en derivadas parciales 𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑘2.

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2



Supongamos que la ecuación solo depende de dos variables,

primero buscamos soluciones u(x,t) de la ecuación que tengan la forma

u(x,t)= X(x).T(t).

Esto transformara la ecuación en dos ecuaciones diferenciales

ordinarias cuya solución general buscaremos.

Si u(x, t)= X(x).T(t) resuelve la ecuación entonces 𝑋(𝑥). 𝑇´(𝑡) =

𝑘2𝑋´´(𝑥). 𝑇(𝑡) o lo que es equivalente, 𝑘2𝑋´´(𝑥)

𝑋(𝑥)=

𝑇´(𝑡)

𝑇(𝑡). Como las variables x, t no

están ligadas por relación alguna, se sigue que las expresiones que aparecen a

ambos lados de la última igualdad, son constantes e iguales entre sí. Esto permite

reformular el problema como el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

siguiente:

{𝑋´´(𝑥) −

𝜆

𝑘2. 𝑋(𝑥) = 0

𝑇´(𝑡) − 𝜆 𝑇(𝑡) = 0

La solución general de 𝑇´(𝑡) − 𝜆 𝑇(𝑡) = 0 es 𝑇(𝑡) = 𝐶 𝑒𝜆𝑡, como el

calor se disipa con el tiempo, el límite de u(x, t) cuando el tiempo tiende a infinito

es 𝑋(𝑥) y también el límite de 𝑇(𝑡) cuando el tiempo tiende a infinito es cero, por

lo que necesariamente se debe cumplir que

lim𝑡→∞

𝑇(𝑡) = lim𝑡→∞

𝐶𝑒𝜆𝑡 = 0 es decir 𝜆 < 0 .

Por otra parte la solución general de 𝑋´´(𝑥) −𝜆

𝑘2 . 𝑋(𝑥) = 0; es de

la forma 𝑋(𝑥) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠√𝜆

𝑘2 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 √𝜆

𝑘2 𝑥 con 𝜆 < 0 .

Si imponemos las condiciones iniciales del problema que eran la

de que los extremos se mantienen constantes a temperatura cero, y esos extremos

son [0, 𝜋] se traduce en las condiciones de contorno 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝜋, 𝑡) = 0 , que nos

da el par de ecuaciones: 𝑋(0) = 𝑋(𝜋) = 0 , lo que nos lleva a:

√𝜆

𝑘2 = 𝑚 y 𝑋(𝑥) = 𝐵 𝑠𝑒𝑛 (𝑚 𝑥)



para cierto número natural m. Se sigue que 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐶𝑒−

𝑚2

𝑘2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) y por lo

tanto la solución general de la ecuación del calor para este problema en particular

es de la forma:

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑏𝑚 ∞𝑚=1 𝑒

− 𝑚2

𝑘2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) (I)

Las series de Fourier aparecen en este contexto en forma natural,

puesto que al sustituir 𝑡 = 0 en la expresión (I) obtenemos lo siguiente:

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏𝑚 ∞𝑚=1 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) (II)

Si probamos que la convergencia de la serie de Fourier es

suficientemente buena, podremos derivar término a término en (I) y comprobar

directamente que ésta es solución de la ecuación de calor.

Fourier para calcular los coeficientes 𝑏𝑚 trabajó de la siguiente

manera, tomo el desarrollo de Taylor de 𝑓(𝑥) en el origen de coordenadas,

sustituyendo los desarrollos de Taylor en el mismo punto de las funciones

𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) , en (II) reemplazó esta última reagrupando para que aparezca en ambos

lados de la igualdad un desarrollo en serie de potencias e igualando los coeficientes

de ambos desarrollos se llega al sistema infinito de ecuaciones lineales dado por

∑ (−1)𝑛 𝑚2𝑛+1 𝑏𝑚 = 𝑓(2𝑛+1) (0) ; 𝑛 = 0, 1, 2, …

∞

𝑚=1

Luego truncó el sistema considerando solamente las primeras n

variables 𝑏𝑚 y lo resolvió, haciendo tender n a infinito y llegó a la expresión

𝑏𝑚 =2

𝜋 ∑ ∑ (−1)𝑚+𝑛+1 𝑚−2𝑛−1 𝑓(2𝑛) (𝜋)∞

𝑚=0∞𝑛=0 ,

que es el resultado de iterar cierto número de veces el proceso de

integración por partes de la expresión

𝑏𝑚 =2

𝜋 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥)𝑑𝑥

𝜋

0 (III)

asumiendo que el área encerrada por el gráfico de 2

𝜋𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥)

entre las abscisas 0 𝑦 𝜋 es finita.

Este estudio realizado por Fourier de la propagación de calor es

un análisis cualitativo y empírico del fenómeno del calor y de su intuición acerca de



la convergencia de la solución teniendo en cuenta la naturaleza de la temperatura

que no es infinita.

Luego de presentado el trabajo, los jueces de la Academia de

Ciencias de París recomendaron a Fourier que puliera su trabajo, y lo presentara

para el gran premio de 1812. El panel de jueces de la academia para este concurso

incluía a Lagrange, Laplace y Legendre. Los jueces entregaron a Fourier el gran

premio, pero con el siguiente comentario:

La forma en que el autor arriba a sus ecuaciones no está exenta de

dificultades, y su análisis deja algo que desear, sea en generalidad o aún en

rigurosidad.

Al final el trabajo nunca fue publicado por la academia. El trabajo

de Fourier sobre la conducción del calor y la teoría de las series trigonométricas

que lo sostenían, recién se publicó en 1822 con “Théorie analytique de la chaleur”.

Desde ese año la publicación recibió comentarios más entusiastas que los de la

Academia de París. La carrera de James Clerk, Maxwell y de William Thopson (Lord

Kelvin) estuvo marcada por la teoría del calor de Fourier.

Más adelante Dirichlet tomó el trabajo de Fourier y lo fundamentó

de manera rigurosa, sentando bases firmes para el análisis moderno. En primer

lugar era necesario precisar el concepto de función, y la definición de Dir ichlet es

la que se estudia en los cursos de análisis actuales: una función es una regla que

asigna un valor definido 𝑓(𝑥) a todo 𝑥 en un conjunto de puntos. Bajo esta

definición una función ya no tiene que ser una fórmula o un gráfico como se

pensaba en esa época. En 1828 Dirichlet dio un ejemplo de la función característica

del conjunto de los números racionales, definida como:

𝑓(𝑥) = {1 𝑠𝑖 𝑥 𝜖 ℚ0 𝑠𝑖 𝑥 ∉ ℚ

(IV)

ésta función no puede representarse con ningún gráfico; tampoco encierra ningún

área de modo que sus coeficientes de Fourier no pueden ser calculados con (III).

Sin embargo para todas las funciones que pueden dibujarse

Dirichlet probó que la serie de Fourier converge a 𝑓(𝑥) en cualquier punto 𝑥 donde

la función sea continua, y converge al valor medio [𝑓(𝑥+) +𝑓(𝑥−) ]

2 si la función tiene



una discontinuidad en 𝑥 . Además demostró que si una función es suave en un

intervalo [𝑎, 𝑏], entonces la serie de Fourier converge uniformemente a 𝑓(𝑥) para

todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Este fue el primer resultado importante sobre la convergencia de

las series de Fourier.

Una vez demostrado el teorema de Dirichlet la balanza se puso del

lado de Fourier y de Daniel Bernoulli. Los matemáticos aceptaron que las series de

Fourier eran un instrumento adecuado para la representación de funciones muy

generales.

En 1904 Féjer probó que la serie de Fourier de una función

continua es sumable en un sentido particular, el promedio de las primeras sumas

parciales converge, y bajo este punto de vista converge uniformemente a la

función. Este teorema es muy útil e impulsó al estudio de la sumabilidad de las

series.

METODOLOGÍA

La metodología manejada es la propia de la investigación en

matemática aplicada a la enseñanza aprendizaje de contenidos de análisis

armónico. Para la cual se trabajó partiendo del rastreo bibliográfico, se analizó

desde distintos puntos de vistas los temas en consideración, se indagó el material

disponible, se establecieron conexiones no señaladas en el mismo. Además, se

trató de obtener una presentación diferente de los temas planteados. Para el

desarrollo de los teoremas vistos también se trabajó con métodos del tipo

inductivo-deductivo e interpretativos.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Como todo conocimiento implica creación, necesitamos

conceptos previos para poder acercarnos y entender la forma general de la serie

de Fourier.



1. Funciones: periódica, impar y par.

Función periódica: se dice que una función 𝑓(𝑥) tiene periodo T o que es

periódica de periodo T si para todo x, 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥), siendo T una constante

positiva. El mínimo valor de 𝑇 > 0 se llama periodo mínimo o simplemente

periodo de 𝑓(𝑥).

Un ejemplo de funciones periódicas son las funciones trigonométricas seno y

coseno, donde 𝑇 = 2𝜋 , ya que verifican: 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝜋) 𝑦 cos(𝑥) =

cos(𝑥 + 2𝜋) para todo 𝑥 ∈ ℝ.

Función impar: una función 𝑓(𝑥) se dice impar si 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Por ejemplo

𝑥3, 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑡𝑔 𝑥 son funciones impares.

Función par: una función 𝑓(𝑥) se dice par si 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) . Por ejemplo

𝑥4, 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 son funciones pares.

2. Series trigonométricas

Se llama polinomio trigonométrico de grado N y periodo 2𝜋, a la

función definida de ℝ en ℝ de la forma:

𝑃(𝑥) =𝛼0

2+ ∑(𝛼𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝛽𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥)

𝑁

𝑘=1

Donde 𝛼0, 𝛼1, … , 𝛼𝑁 𝑦 𝛽0, 𝛽1, … , 𝛽𝑁 son constantes reales.

Se llama serie trigonométrica de periodo 2𝜋 a toda serie de

funciones de la forma:

𝑆(𝑥) =𝛼0

2+ ∑(𝛼𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝛽𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥)

∞

𝑘=1

Se observa que las sumas parciales de las series trigonométricas son polinomios

trigonométricos.

En el estudio de problemas físicos que conducen a ecuaciones en

derivadas parciales se necesitan series trigonométricas, estas tienen como ventaja

que son capaces de representar funciones muy generales a diferencia de las series

de potencia que solo pueden representar funciones continuas.



3. Series de Fourier

Sea 𝑓(𝜃) definida en el intervalo (– 𝐿 , 𝐿) y fuera del intervalo por

𝑓(𝜃 + 2𝐿) = 𝑓(𝜃) , esto es, supóngase que 𝑓(𝜃) tiene periodo 2L. La serie de

Fourier o desarrollo de Fourier de 𝑓(𝜃) se define por

𝑆[𝑓(𝜃)] =𝑎0

2+ ∑ (𝑎𝑛 cos

𝑛𝜋

𝐿𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋

𝐿𝜃)

∞

𝑛=1

(1)

Donde los coeficientes de Fourier 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 son:

𝑎𝑛 =1

𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) cos

𝑛𝜋

𝐿 𝜃 𝑑𝜃

𝐿

−𝐿

(2)

𝑏𝑛 =1

𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) sen

𝑛𝜋

𝐿 𝜃 𝑑𝜃

𝐿

−𝐿

𝑛 = 1, 2, 3, …

Si 𝑓(𝜃) tiene periodo 2L, los coeficientes 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 se pueden

determinar por:

𝑎𝑛 =1

𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) cos

𝑛𝜋

𝐿 𝜃 𝑑𝜃

𝑐+2𝐿

𝑐

(3)

𝑏𝑛 =1

𝐿 ∫ 𝑓(𝜃) sen

𝑛𝜋

𝐿 𝜃 𝑑𝜃

𝑐+2𝐿

𝑐

Siendo c un número real cualquiera. En el caso especial 𝑐 = −𝐿 (3) se convierte en

(2).

Para determinar 𝑎𝑜 en (1) se utiliza (2) o (3) con 𝑛 = 0. Por ejemplo, de (2) se

deduce que 𝑎0 =1

𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑑𝜃

𝐿

−𝐿.

Obsérvese que el término constante en (1) es igual a 𝑎0

2=

1

2𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑑𝜃

𝐿

−𝐿 que es el promedio de 𝑓(𝜃) en el periodo.

Si 𝐿 = 𝜋 , la serie (1) y los coeficientes (2) y (3) son especialmente

sencillos. La función en ese caso tiene periodo 2𝜋.



Cuando se desea tener una serie de senos y cosenos, la función a

que corresponde está por lo general definida en el intervalo (0 , 𝐿) mitad del

intervalo (– 𝐿 , 𝐿), razón por la cual suele decirse que la serie es de medio intervalo

y, siendo además impar o par, queda claramnte definida en la otra mitad del

intervalo, (−𝐿 , 0). En ese caso se tiene:

𝑎𝑛 = 0 , 𝑏𝑛 =2

𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋

𝐿𝜃 𝑑𝜃

𝐿

0 para una serie de solo senos

(4)

𝑏𝑛 = 0 , 𝑎𝑛 =2

𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠

𝑛𝜋

𝐿𝜃 𝑑𝜃

𝐿

0 para una serie de solo

cosenos

3.1 Notación compleja para las series de Fourier

Mediante las identidades de Euler : 𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑒−𝑖𝜃 = cos 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃

(6)

Usando las siguientes fórmulas:

2 cos(𝑛𝜋

𝐿𝜃) = 𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 + 𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 y 2𝑖𝑠𝑒𝑛 (

𝑛𝜋

𝐿𝜃) = 𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 − 𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿

Definimos la serie de Fourier expresadas en términos de

exponenciales complejas, donde: 𝑎𝑛−𝑖 𝑏𝑛

2= 𝛼𝑛 y

𝑎𝑛+𝑖 𝑏𝑛

2= 𝛽𝑛

𝑆[𝑓(𝜃)] =𝑎0


𝑛𝜋


𝑛𝜋

𝐿𝜃)

∞

𝑛=1

=𝑎0

2+ ∑(𝛼𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 + 𝛽𝑛 𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿)

∞

𝑛=1

Si hacemos además 𝛼0 =𝑎0

2 y 𝛼−𝑛 = 𝛽𝑛 podemos escribir la forma exponencial

compleja más brevemente como sigue: 𝑆[𝑓(𝜃)] = ∑ 𝛼𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿∞𝑛=−∞ ; donde 𝛼𝑛 =

1

2𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 𝑑𝜃

𝐿

−𝐿, 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, ….

Definición: los Coeficientes de Fourier de una función f son los números

complejos

𝑓(𝑛) =1

2𝐿∫ 𝑓(𝜃)𝑒−𝑖𝑛𝜋𝜃/𝐿 𝑑𝜃

𝐿

−𝐿

, 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, ….



Denotaremos 𝑆𝑁𝑓 para representar la suma parcial N-ésima de la serie de

Fourier de f, es decir 𝑆𝑁𝑓(𝜃) =𝑎0


𝑛𝜋


𝑛𝜋

𝐿𝜃)𝑁

𝑛=−𝑁 , o

bien si 𝐿 = 𝜋 entonces

𝑆𝑁𝑓(𝜃) =𝑎0

2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)𝑁

𝑛=−𝑁 .

Usando la notación exponencial compleja, la suma parcial N-ésima

de la serie de Fourier de f es: 𝑆𝑁𝑓(𝜃) = ∑ 𝑓(𝑛)𝑒𝑖𝑛𝜃𝑁𝑛=−𝑁

3.2 Contextualización de la serie de Fourier

Dada la función salto 𝑓(𝜃) = {−1 𝑠𝑖 − 𝜋 ≤ 𝜃 < 0

1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 , buscamos el

desarrollo en series de Fourier de esta función, la grafica de la función es la

siguiente:

En este caso f es una función impar de periodo 2𝜋 . En

consecuencia: 𝑓(𝜃) ∙ cos 𝑛𝜃 será impar y el coeficiente an = 0 para todo n.

𝑎𝑛 =2

𝜋∫ 1 ∙

𝜋

0

cos(𝑛𝜃) 𝑑𝜃 =2

𝑛𝜋𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋)|0

𝜋 = 0

Por otra parte 𝑓(𝜃) ∙ sen (𝑛𝜃) es par y por lo tanto se tiene:

𝑏𝑛 =2

𝜋∫ 1 ∙

𝜋

0

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃) 𝑑𝜃 =2

𝑛𝜋 [−cos(𝑛𝜃)]|0

𝜋



𝑏𝑛 =2

𝑛𝜋[− cos (𝑛𝜋) − (−cos 0)] =

2

𝑛𝜋[1 − cos(𝑛𝜋)]

como cos(𝑛𝜋) = {−1 𝑠𝑖 𝑛 = 1, 3, 5, 7, … .

1 𝑠𝑖 𝑛 = 2, 4, 6, … . , luego 𝑏𝑛 =

2

𝑛𝜋[1 − (−1)𝑛] para n=1, 2,

3,…

Por lo tanto la N-ésima suma parcial de f correspondiente a su

serie de Fourier viene dada por la expresión: 𝑆𝑁𝑓(𝜃) = ∑2

𝜋𝑁𝑛=1 (

1−(−1)𝑛

𝑛) 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃)

La representación gráfica de esta serie obtenida es la siguiente

para distintos valores de N:

Para N=15



Para N=30

Para N=50



4. Convergencia

Muchas funciones importantes se definen mediante sucesiones y

series infinitas. Para el estudio de tales funciones, necesitamos comprender el

concepto de convergencia. Veremos algunos criterios específicos para la

convergencia uniforme como el criterio M de Weierstrass para series, el criterio de

Cauchy que se emplea principalmente con fines teóricos y también veremos el de

Abel y Dirichlet.

4.1 Convergencia puntual

Hay varias formas distintas de concebir la convergencia de una

sucesión de funciones, de las cuales la más natural seria la convergencia puntual.

Con esta idea, solo exigimos que para cada punto 𝜃 del dominio, la sucesión de

valores 𝑓𝑘(𝜃) converja.

Definición: sea V un espacio métrico, A un conjunto. Una sucesión de

funciones {𝑓𝑘} , 𝑓𝑘: 𝐴 → 𝑉, k=1,2, …, converge puntualmente a una función

𝑓: 𝐴 → 𝑉 si para cada 𝜃 ∈ 𝐴, 𝑓𝑘(𝜃) → 𝑓(𝜃). Con frecuencia escribimos 𝑓𝑘 → 𝑓

si 𝑓𝑘 converge puntualmente a f.

Este tipo de convergencia especifica las condiciones suficientes de

convergencia de una serie en un punto.

4.2 Convergencia uniforme

Definición: sea una sucesión de funciones {𝑓𝑘} , 𝑓𝑘: 𝐴 → 𝑉, con la propiedad

de que para cada 휀 > 0 existe un entero L tal que 𝑘 ≥ 𝐿 implica que

𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) < 휀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴. Aquí d es la métrica en V. Bajo estas

condiciones, decimos que la sucesión {𝑓𝑘} converge uniformemente a f en

A, y escribimos 𝑓𝑘 → 𝑓 (uniformemente).



Proximidad uniforme para 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ → ℝ

Uno de los criterios es el M de Weierstrass, éste es el más

conveniente para la convergencia uniforme de una serie de funciones. Se

caracterizan las series de funciones que son uniformemente convergentes

expresadas en términos de las funciones de las series, sin hacer referencia explícita

a la función límite a la cual converge la serie. La idea es usar la condición de Cauchy

para la convergencia de la sucesión de sumas parciales. Recordamos que toda

sucesión convergente satisface la condición de Cauchy. Es decir estas son las

sucesiones que deben converger.

Definición: un espacio métrico V es completo si en V cada sucesión de Cauchy es

convergente.

Recordamos que una sucesión {𝑎𝑛} se dice que es de Cauchy

cuando para todo 휀 > 0 existe un N tal que para todo 𝑛, 𝑚 > 𝑁 implica 𝑑(𝑎𝑛, 𝑎𝑚) <

휀. Una sucesión convergente es de Cauchy.

4.3 Criterios de convergencia

4.3.1 Criterio de Cauchy

Este criterio es una caracterización de serie de funciones que son

uniformemente convergentes expresadas en términos de las funciones de la serie

sin hacer referencia explícita a la función límite a la cual converge la serie.

Teorema: sea V un espacio métrico con métrica d y sea A un conjunto.

Supóngase que V es completo y que 𝑓𝑘: 𝐴 → 𝑉 forman una sucesión de



funciones. Entonces {𝑓𝑘} converge uniformemente en A si y solo si para

cada 휀 > 0 existe un N tal que 𝑙, 𝑘 ≥ 𝑁 implica 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) < 휀 para todo

𝜃 ∈ 𝐴.

Demostración directo: por hipótesis {𝑓𝑘} converge uniformemente en A, es

decir 𝑓𝑘 → 𝑓 uniformemente, entonces dado 휀 > 0, podemos determinar un

entero N tal que 𝑘 ≥ 𝑁 implique 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) <𝜀

2 para todo 𝜃 ∈ 𝐴 .

Entonces si 𝑙, 𝑘 ≥ 𝑁

𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) ≤ 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) + 𝑑(𝑓(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) <휀

2+

휀

2= 휀

𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) < 휀

Demostración recíproco: por hipótesis tenemos que, dado un 휀 > 0 ,

podemos encontrar un entero N tal que 𝑘, 𝑙 ≥ 𝑁 implica 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) < 휀

para todo 𝜃 ∈ 𝐴, lo que nos dice que {𝑓𝑘(𝜃)} es una sucesión de Cauchy en

cada punto 𝜃 , entonces {𝑓𝑘(𝜃)} converge puntualmente a algo, que

denotamos 𝑓(𝜃) . Además podemos encontrar un N tal que 𝑘, 𝑙 ≥ 𝑁

implique 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) <𝜀

2 para todo 𝜃 ∈ 𝐴. Como 𝑓𝑘 → 𝑓 en cada punto 𝜃

podemos determinar para cada 𝜃 un 𝑁𝜃 tal que 𝑙 ≥ 𝑁𝜃 implique que

𝑑(𝑓𝑙(𝜃), 𝑓(𝜃)) <𝜀

2. Sea 𝑙 ≥ max{𝑁, 𝑁𝜃}. Entonces 𝑘 ≥ 𝑁 implica

𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) ≤ 𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓𝑙(𝜃)) + 𝑑( 𝑓𝑙(𝜃), 𝑓(𝜃)) <휀

2+

휀

2= 휀

Como esto es cierto para cada punto 𝜃 hemos encontrado

N tal que 𝑘 ≥ 𝑁 implique

𝑑(𝑓𝑘(𝜃), 𝑓(𝜃)) < 휀 para todo 𝜃 . Por lo tanto 𝑓𝑘 → 𝑓

uniformememte.

Por medio de la condición de Cauchy para series podemos obtener

la siguiente técnica importante para determinar la convergencia uniforme de una

serie.



4.3.2 Criterio M de Weierstrass

El desarrollo del concepto de convergencia uniforme y este

criterio M de Weierstras para series de funciones permite construir con facilidad

funciones continuas en forma de series.

Las constantes 𝑀𝑘 proporcionan una cota de la tasa de

convergencia y esa cota no depende de 𝜃. Este criterio falla en ciertos casos en

los que queremos determinar si tenemos convergencia uniforme, para esos casos

contamos con otros criterios como los de Abel y Dirichlet.

Teorema: suponemos que V es un espacio vectorial normado completo y

que: 𝑔𝑘: 𝐴 → 𝑉 son funciones tales que existen constantes 𝑀𝑘 que cumplen

‖𝑔𝑘(𝜃)‖ ≤ 𝑀𝑘 para cada 𝜃 ∈ 𝐴 y ∑ 𝑀𝑘∞𝑘=1 converge. Entonces ∑ 𝑔𝑘

∞𝑘=1

converge uniformemente (y absolutamente).

Demostración: por hipótesis, sabemos que ∑ 𝑀𝑘∞𝑘=1 converge, para todo 휀 >

0 existe un N tal que 𝑘 ≥ 𝑁 implica |𝑀𝑘 + 𝑀𝑘+1 + ⋯ + 𝑀𝑘+𝑝| < 휀 para todo

p=1,2,3,… Para 𝑘 ≥ 𝑁 la desigualdad triangular implica

‖𝑔𝑘(𝜃) + 𝑔𝑘+1(𝜃) + ⋯ + 𝑔𝑘+𝑝(𝜃)‖ ≤ ‖𝑔𝑘(𝜃)‖ + ‖𝑔𝑘+1(𝜃)‖ + ⋯ + ‖𝑔𝑘+𝑝(𝜃)‖

≤ 𝑀𝑘 + 𝑀𝑘+1 + ⋯ + 𝑀𝑘+𝑝 < 휀

‖𝑔𝑘(𝜃) + 𝑔𝑘+1(𝜃) + ⋯ + 𝑔𝑘+𝑝(𝜃)‖ < 휀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴.

Así, por el criterio de Cauchy para series, ∑ 𝑔𝑘∞𝑘=1 converge

uniformemente. ∎

Contraejemplo: sea 𝑓𝑛: ℝ → ℝ dada por 𝑓𝑛(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑛 mostraremos que 𝑓𝑛 →

0 uniformemente cuando 𝑛 → ∞.

Debemos probar que |𝑓𝑛(𝜃) − 0| = |𝑓𝑛(𝜃)| se hace

pequeño independientemente de 𝜃 cuando 𝑛 → ∞. Tomamos

|𝑓𝑛(𝜃)| = |𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑛| =

|𝑠𝑒𝑛 𝜃|

𝑛≤

1

𝑛

|𝑓𝑛(𝜃)| ≤1

𝑛 de esta desigualdad vemos que efectivamente |𝑓𝑛(𝜃)| se hace

pequeño independientemente de 𝜃 cuando 𝑛 → ∞ . Pero ∑1

𝑛∞𝑛=1 diverge,

por lo tanto no es posible aplicar el criterio M de Weierstras



Observación: en el criterio M, las constantes 𝑀𝑘 proporcionan una cota de

la “tasa de convergencia” y la clave está en que tal cota no depende de 𝜃.

No siempre es posible usar el criterio M, pero es muy eficaz en la

mayoría de los casos. A continuación, veremos criterios más elaborados como los

de Dirichlet y Abel.

4.4 Criterios de Abel y de Dirichlet

El criterio M de Weierstrass falla en ciertos casos en los que

queremos determinar si tenemos convergencia uniforme, para esos casos se han

diseñado otros como el creado por el matemático noruego Niels Abel y el criterio

que se le atribuye a P.G. Dirichlet, alemán de origen francés. Estos criterios son

útiles en muchos ejemplos en particular para el estudio de las series de potencia y

de las series de Fourier. Son importantes cuando tenemos convergencia uniforme

pero no absoluta.

4.4.1 Criterio de Abel

En este criterio las condiciones sobre 𝜑𝑛 una sucesión decreciente

no implican que converja.

Teorema: sea 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 y 𝜑𝑛: 𝐴 → ℝ una sucesión decreciente de funciones,

es decir 𝜑𝑛+1(𝜃) ≤ 𝜑𝑛(𝜃) para cada 𝜃 ∈ 𝐴 y todo n. Supóngase que existe

una constante M tal que |𝜑𝑛(𝜃) | ≤ 𝑀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴 y todo n. Si

∑ 𝑓𝑛(𝜃)∞𝑛=1 converge uniformemente en A, entonces también lo hace

∑ 𝜑𝑛(𝜃) ∙ 𝑓𝑛(𝜃)∞𝑛=1 .

Demostración: usaremos la fórmula de sumación parcial de Abel:

considérense dos sucesiones 𝑎1, 𝑎2, … y 𝑏1, 𝑏2, …de números reales y sea

𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ entonces, ∑ 𝑎𝑘𝑏𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑠𝑛𝑏1 + ∑ (𝑠𝑛 − 𝑠𝑘)(𝑏𝑘+1 − 𝑏𝑘)𝑛

𝑘=1 .

Sean 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 y 𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛

𝑘=1 . Por la fórmula de

sumación parcial de Abel tenemos que: 𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1



𝑟𝑛(𝜃) = 𝑠𝑛(𝜃)𝜑1(𝜃) + ∑(𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑘(𝜃))

𝑛

𝑘=1

(𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)) (1)

Por la fórmula de sumación parcial de Abel tenemos que

𝑟𝑚(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)

𝑚

𝑘=1

𝑟𝑚(𝜃) = 𝑠𝑚(𝜃)𝜑1(𝜃) + ∑(𝑠𝑚(𝜃) − 𝑠𝑘(𝜃))

𝑚

𝑘=1

(𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)) (2)

Luego hacemos 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 − ∑ 𝜑𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑚

𝑘=1

Reemplazamos (1) y (2) en la expresión anterior y suponiendo que 𝑛 ≥ 𝑚

obtenemos 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = [𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)]𝜑1(𝜃) + ∑ (𝑠𝑛(𝜃) −𝑛𝑘=𝑚+1

𝑠𝑘(𝜃)) (𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)) . De modo que: |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ |𝑠𝑛(𝜃) −

𝑠𝑚(𝜃)| ∙ |𝜑1(𝜃)| ∑ |𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑘(𝜃)|𝑛𝑘=𝑚+1 ∙ |𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)|

Por hipótesis 𝜑𝑛 es una sucesión decreciente de funciones, es decir

𝜑𝑘+1(𝜃) ≤ 𝜑𝑘(𝜃) para cada 𝜃 ∈ 𝐴 , por lo tanto |𝜑𝑘+1(𝜃) − 𝜑𝑘(𝜃)| =

𝜑𝑘(𝜃) − 𝜑𝑘+1(𝜃).

Dado un 휀 > 0 sea N tal que 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 implica |𝑠𝑛(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)| <𝜀

3𝑀 para

todo 𝜃 ∈ 𝐴.

Entonces para todo 𝜃 ∈ 𝐴,

|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| <𝜀

3𝑀∙ 𝑀 + (

𝜀

3𝑀) ∑ |𝜑𝑘(𝜃) − 𝜑𝑘+1(𝜃)|𝑛

𝑘=𝑚+1

Desarrollando la sumatoria obtenemos el primer y último término del

desarrollo, pues los términos intermedios se cancelan y de esta forma

conseguimos lo siguiente:

|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| <𝜀

3+ (

𝜀

3𝑀) |𝜑𝑚+1(𝜃) − 𝜑𝑛+1(𝜃)| ≤

𝜀

3+ (

𝜀

3𝑀) [|𝜑𝑚+1(𝜃)| +

|𝜑𝑛+1(𝜃)|]

|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤𝜀

3+ (

𝜀

3𝑀) |𝜑𝑚+1(𝜃)| + (

𝜀

3𝑀) |𝜑𝑛+1(𝜃)| ≤

𝜀

3+ (

𝜀

3𝑀) ∙ 𝑀 +

(𝜀

3𝑀) ∙ 𝑀 <

𝜀

3+

𝜀

3+

𝜀

3= 휀

Por lo tanto el criterio de Cauchy para series implica que

𝑟𝑛(𝜃) converge uniformemente.



Aplicación: mostraremos que ∑(−1)𝑛

𝑛𝑒−𝑛𝜃∞

𝑛=1 converge uniformemente en el

intervalo [0, +∞).

Sea 𝜑𝑛(𝜃) = 𝑒−𝑛𝜃 . Para cada 𝜃 ≥ 0, 𝜑𝑛 es decreciente y |𝑒−𝑛𝜃| ≤ 1. Por

otro lado recordemos que la serie alternante ∑(−1)𝑛

𝑛∞𝑛=1 converge y

entonces por el criterio de Abel, la serie ∑(−1)𝑛

𝑛𝑒−𝑛𝜃∞

𝑛=1 converge

uniformemente.

4.4.2 Criterio de Dirichlet

Teorema: sea 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑖(𝜃)𝑛𝑖=1 para una sucesión 𝑓𝑛: 𝐴 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ .

Supóngase que existe M constante tal que |𝑠𝑛(𝜃) | ≤ 𝑀 para todo 𝜃 ∈ 𝐴 y

todo n.

Sea 𝑔𝑛: 𝐴 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ tal que 𝑔𝑛 → 0 uniformemente, 𝑔𝑛 ≥ 0 y 𝑔𝑛+1(𝜃) ≤

𝑔𝑛(𝜃). Entonces ∑ 𝑓𝑛(𝜃) ∙ 𝑔𝑛(𝜃)∞𝑛=1 converge uniformemente en A.

Demostración: usaremos la fórmula de sumación parcial de Abel:

considérense dos sucesiones 𝑎1, 𝑎2, … y 𝑏1, 𝑏2, …de números reales y sea

𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ entonces: ∑ 𝑎𝑘𝑏𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑠𝑛𝑏𝑛+1 − ∑ 𝑠𝑘(𝑏𝑘+1 − 𝑏𝑘)𝑛

𝑘=1 .

Sean 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 y 𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛

𝑘=1 . Por la fórmula

de sumación parcial de Abel tenemos que:

𝑟𝑛(𝜃) = ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)

𝑛

𝑘=1

= 𝑠𝑛(𝜃)𝑔𝑛+1(𝜃) − ∑ 𝑠𝑘(𝜃) ∙

𝑛

𝑘=1

(𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃)) (3)

Por la fórmula de sumación parcial de Abel tenemos que: 𝑟𝑚(𝜃) =

∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑚𝑘=1 = 𝑠𝑚(𝜃)𝑔𝑚+1(𝜃) − ∑ 𝑠𝑘(𝜃)𝑚

𝑘=1 ∙ (𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃)) (4)

Luego hacemos: 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑛𝑘=1 − ∑ 𝑔𝑘(𝜃)𝑓𝑘(𝜃)𝑚

𝑘=1

Reemplazamos (3) y (4) en la expresión anterior y suponiendo que 𝑛 ≥ 𝑚

obtenemos: 𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃) = 𝑠𝑛(𝜃)𝑔𝑛+1(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)𝑔𝑚+1(𝜃) −

∑ 𝑠𝑘(𝜃)𝑛𝑘=𝑚+1 (𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃))



De modo que: |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ |𝑠𝑛(𝜃)𝑔𝑛+1(𝜃) − 𝑠𝑚(𝜃)𝑔𝑚+1(𝜃)| +

∑ |𝑠𝑘(𝜃)|𝑛𝑘=𝑚+1 ∙ |𝑔𝑘+1(𝜃) − 𝑔𝑘(𝜃)|

Por hipótesis 𝑔𝑛 ≥ 0 y 𝑔𝑘+1(𝜃) ≤ 𝑔𝑘(𝜃) para cada 𝜃 ∈ 𝐴.

|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 𝑀|𝑔𝑛+1(𝜃) − 𝑔𝑚+1(𝜃)| + 𝑀 ∑ |𝑔𝑘(𝜃) − 𝑔𝑘+1(𝜃)|𝑛𝑘=𝑚+1

Aplicando la desigualdad triangular en el primer término de la derecha

|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 𝑀|𝑔𝑛+1(𝜃)| + 𝑀|𝑔𝑚+1(𝜃)| + 𝑀 ∑ |𝑔𝑘(𝜃) − 𝑔𝑘+1(𝜃)|

𝑛

𝑘=𝑚+1

Desarrollando la sumatoria

|𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 𝑀[𝑔𝑛+1(𝜃) + 𝑔𝑚+1(𝜃) + 𝑔𝑚+1(𝜃) − 𝑔𝑛+1(𝜃)]

= 2𝑀𝑔𝑚+1(𝜃)

Luego |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| ≤ 2𝑀𝑔𝑚+1(𝜃)

Dado un 휀 > 0 elegimos N tal que 𝑚 > 𝑁 implica 𝑔𝑚(𝜃) <𝜀

2𝑀 para todo 𝜃 ∈

𝐴.

Entonces si 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 implica |𝑟𝑛(𝜃) − 𝑟𝑚(𝜃)| < 휀, que es lo que queríamos

probar.

Aplicación: mostraremos que ∑𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃

𝑛∞𝑛=1 converge uniformemente en el

intervalo [𝛿, 2𝜋 − 𝛿] donde 0 < 𝛿 < 2𝜋.

Aplicaremos el criterio de Dirichlet con 𝑓𝑛(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 y 𝑔𝑛(𝜃) =1

𝑛. Primero

probaremos que se cumple la hipótesis 𝑠𝑛(𝜃) = ∑ 𝑓𝑖(𝜃)𝑛𝑖=1 y |𝑠𝑛(𝜃) | ≤ 𝑀

para todo 𝜃 ∈ 𝐴 y todo n.

Para mostrar esto usaremos la siguiente identidad trigonométrica

𝑠𝑒𝑛 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =1

2{cos(𝐴 − 𝐵) − cos(𝐴 + 𝐵)}, Donde 𝐴 = 𝑙𝜃 y 𝐵 =

1

2𝜃

2𝑠𝑒𝑛 (𝑙𝜃) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (1

2𝜃) = cos [(𝑙 −

1

2) 𝜃] − cos [(𝑙 +

1

2) 𝜃]

Haciendo variar l desde 1 a n y sumando obtenemos una suma telescópica

de modo que: |2 𝑠𝑒𝑛 (1

2𝜃) ∙ (𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + ⋯ + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)| =

|cos (1

2𝜃) − cos (𝑛 +

1

2𝜃)|



Aplicando en la última expresión módulo del producto y desigualdad

triangular se obtiene: |2 𝑠𝑒𝑛 (1

2𝜃)| ∙ |𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + ⋯ +

𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤ |cos (1

2𝜃)| + |cos (𝑛 +

1

2𝜃)| ≤ 2

Así pues |𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + ⋯ + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤1

|𝑠𝑒𝑛 1

2𝜃|

Lo que da una cota para ∑ 𝑓𝑖(𝜃)𝑛𝑖=1 , la cual sirve mientras 𝑠𝑒𝑛

1

2𝜃 se

mantenga lejos de cero. Por ejemplo en [𝛿, 2𝜋 − 𝛿] obtenemos dicha cota.

5. Lema de Riemann-Lebesgue

Necesitaremos, antes de demostrar el Lema, recordar lo siguiente:

Definición: una función f es uniformemente continua en un intervalo I si para

cada 휀 > 0 existe un 𝛿 > 0, dependiendo en general de 휀 pero no de 𝜃, tal

que

|𝑓(𝜃1) − 𝑓(𝜃2)| < 휀 siempre que 𝜃1 y 𝜃2 estén en I, y |𝜃1 − 𝜃2| < 𝛿.

Teorema: si 𝑓(𝜃) es continua en un intervalo cerrado 𝑎 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏, entonces

es uniformemente continua en ese intervalo.

Enunciado del Lema de Riemann-Lebesgue: si g es continua por tramos en el

intervalo [𝑎, 𝑏] , entonces lim𝜆→∞

∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏

𝑎=

lim𝜆→∞

∫ 𝑔(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏

𝑎= 0

Demostración: debido a que la demostración es semejante para ambas

funciones trabajaremos solamente para 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) . En este caso

definimos

𝐼(𝜆) = ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏

𝑎

(1)

Tomando un 휀 > 0 probaremos que existe una constante 𝜆0 tal que |𝐼(𝜆)| <

휀 para todo 𝜆 > 𝜆0 . Para ello se considerara por el momento, que g es

continua y haremos la sustitución 𝜃 = 𝑡 +𝜋

𝜆 en (1), y teniendo en cuenta que

𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃) = −𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃 + 𝜋), obtenemos



𝐼(𝜆) = − ∫ 𝑔 (𝑡 +𝜋

𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑡) 𝑑𝑡

𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎−𝜋𝜆⁄

Haciendo cambio de variable 𝑡 = 𝜃 tenemos

𝐼(𝜆) = − ∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋

𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃

𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎−𝜋𝜆⁄

(2)

Sumando (1) y (2) obtenemos

2𝐼(𝜆) = ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏

𝑎

− ∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋


𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎−𝜋𝜆⁄

2𝐼(𝜆) = − ∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋


𝑎

𝑎−𝜋𝜆⁄

+ ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏

𝑏−𝜋𝜆⁄

+ ∫ [𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋

𝜆)] 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃

𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎

En consecuencia si M indica el valor máximo de la función |𝑔| en el intervalo

[𝑎, 𝑏] , y si 𝜋

𝜆≤ 𝑏 − 𝑎 entonces tomando modulo en ambos miembros

obtenemos

|2𝐼(𝜆)| = |∫ 𝑔 (𝜃 +𝜋


𝑎

𝑎−𝜋𝜆⁄

+ ∫ 𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃𝑏

𝑏−𝜋𝜆⁄

+ ∫ [𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋

𝜆)] 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜃) 𝑑𝜃

𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎

|

2|𝐼(𝜆)| ≤ 𝑀 ∫ |𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| 𝑑𝜃𝑎

𝑎−𝜋𝜆⁄

+ 𝑀 ∫ |𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| 𝑑𝜃𝑏

𝑏−𝜋𝜆⁄

+ ∫ |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋

𝜆)|

𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎

|𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| 𝑑𝜃

Recordando que |𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝜃)| ≤ 1

2|𝐼(𝜆)| ≤2𝑀𝜋

𝜆+ ∫ |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +

𝜋

𝜆)|

𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎

𝑑𝜃

|𝐼(𝜆)| ≤𝑀𝜋

𝜆+

1

2∫ |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +

𝜋

𝜆)|

𝑏−𝜋𝜆⁄

𝑎

𝑑𝜃



Por hipótesis, sabemos que g es uniformemente continua en el intervalo

[𝑎, 𝑏] y por definición existe una constante 𝜆0 tal que |𝑔(𝜃) − 𝑔 (𝜃 +𝜋

𝜆)| <

𝜀

𝑏−𝑎 para toda 𝜆 > 𝜆0 y toda 𝜃 ∈ [𝑎, 𝑏] . Por teorema previo g es

uniformemente continua, además se supone que 𝜆0 se escoge de modo

que, al mismo tiempo 𝑀𝜋

𝜆<

𝜀

2 siempre que 𝜆 > 𝜆0. Entonces |𝐼(𝜆)| <

𝜀

2+

𝜀

2=

휀 para todo 𝜆 > 𝜆0 como queríamos probar.

5.1 Núcleo de Dirichlet

Nuestro objetivo es estudiar la convergencia puntual de la

sucesión de funciones 𝑆𝑁𝑓(𝜃) =𝑎0

2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)𝑁

𝑛=−𝑁

Conviene representar la suma parcial de una forma más

manejable. Para ello sustituimos los coeficientes 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 por sus expresiones

integrales y obtenemos

𝑆𝑁𝑓(𝜃) =1

2𝜋∫ 𝑓(𝜙)

𝜋

−𝜋

𝑑𝜙 +1

𝜋∑ ∫ 𝑓(𝜙)

𝜋

−𝜋

𝑁

𝑛=−𝑁

[cos 𝑛𝜙 cos 𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃] 𝑑𝜙

=1

𝜋∫ 𝑓(𝜙)

𝜋

−𝜋

[1

2+ ∑ cos 𝑛(𝜃 − 𝜙)

𝑛

𝑛=−𝑁

] 𝑑𝜙 =1

𝜋∫ 𝑓(𝜙)

𝜋

−𝜋

𝐷𝑁(𝜃 − 𝜙) 𝑑𝜙

Donde hemos utilizado la notación 𝐷𝑁(𝜙) =1

2+ cos 𝜙 + cos 2𝜙 +

… + cos 𝑛𝜙 y llamamos a esta función el núcleo de Dirichlet.

Podemos escribir para representar la suma parcial N-ésima de la

serie de Fourier de f como 𝑆𝑁𝑓(𝜃) =1

𝜋∫ 𝑓(𝜙)

𝜋

−𝜋𝐷𝑁(𝜃 − 𝜙) 𝑑𝜙

Definición: la función núcleo de Dirichlet se denota por

𝐷𝑁(𝜃) =1

2+ ∑ cos 𝑛𝜃

𝑁

𝑛=1

o bien 𝐷𝑁(𝜃) = ∑ 𝑒𝑖𝑛𝜃

𝑁

−𝑁

, para todo 𝑛 ∈ ℤ

5.1.1 Propiedades del núcleo de Dirichlet:

𝐷𝑁(𝜃) es par

𝐷𝑁(𝜃) función periódica con periodo 2𝜋, es decir 𝐷𝑁(𝜃) = 𝐷𝑁(𝜃 + 2𝜋)



1

𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)𝑑𝜃

𝜋

−𝜋= 1

𝐷𝑁(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 (𝑁+

1

2)𝜃

2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃

2)

, con 𝜃 ≠ 0, ±2𝜋, ±4𝜋, …

Demostración de 1): 𝐷𝑁(−𝜃) =1

2+ ∑ cos(−𝑛𝜃)𝑁

𝑛=1

Como cos(−𝑛𝜃) = cos 𝑛𝜃, entonces

𝐷𝑁(−𝜃) =1

2+ ∑ cos(𝑛𝜃)

𝑁

𝑛=1

= 𝐷𝑁(𝜃)

Demostración de 2): 𝐷𝑁(𝜃 + 2𝜋) =1

2+ ∑ cos 𝑛(𝜃 + 2𝜋)𝑁

𝑛=1

=1

2+ ∑ cos(𝑛𝜃 + 2𝑛𝜋)

𝑁

𝑛=1

Como cos(𝑛𝜃 + 2𝑛𝜋) = cos 𝑛𝜃, entonces

𝐷𝑁(𝜃 + 2𝜋) =1

2+ ∑ cos 𝑛𝜃

𝑁

𝑛=1

= 𝐷𝑁(𝜃)

Demostración de 3)

1

𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

=1

𝜋∫ [

1

2+ ∑ cos 𝑛𝜃

𝑁

𝑛=1

]

𝜋

−𝜋

𝑑𝜃

=1

𝜋[∫

1

2

𝜋

−𝜋

𝑑𝜃 + ∑ ∫ cos 𝑛𝜃𝜋

−𝜋

𝑁

𝑛=1

𝑑𝜃]

La integral del segundo término se anula, entonces

1

𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)

𝜋

−𝜋

𝑑𝜃 =1

𝜋∫

1

2

𝜋

−𝜋

𝑑𝜃 =1

𝜋∙ [

1

2𝜃]

−𝜋

𝜋

1

𝜋∫ 𝐷𝑁(𝜃)

𝜋

−𝜋

𝑑𝜃 =1

𝜋∙ 𝜋 = 1

Demostración de 4) 𝐷𝑁(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 (𝑁+

1

2)𝜃


2)




2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 +

1

2) 𝜃

De la definición de núcleo, trabajando el primer miembro de la igualdad:


2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 2 𝑠𝑒𝑛 (

𝜃

2) ∙ [

1

2+ ∑ cos 𝑛𝜃

𝑁

𝑛=1

]


2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 2 𝑠𝑒𝑛 (

𝜃

2) ∙

1

2+ 2 𝑠𝑒𝑛 (

𝜃

2) ∙ ∑ cos 𝑛𝜃

𝑁

𝑛=1

= 𝑠𝑒𝑛 (𝜃

2) + ∑ 2 𝑠𝑒𝑛 (

𝜃

2) ∙ cos 𝑛𝜃

𝑁

𝑛=1

Haciendo uso de la igualdad siguiente: 2 𝑠𝑒𝑛 𝐴 ∙ cos 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) −

𝑠𝑒𝑛 (𝐵 − 𝐴)


2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (

1

2𝜃) + ∑ {𝑠𝑒𝑛 (

1

2𝜃 + 𝑛𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃 −

1

2𝜃)}

𝑁

𝑛=1

Haciendo variar n=1, 2, …N obtenemos:

𝑠𝑒𝑛 (𝜃

2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (

1

2𝜃) + 𝑠𝑒𝑛 (

1

2𝜃 + 𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 −

1

2𝜃) +

+ 𝑠𝑒𝑛 (1

2𝜃 + 2𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (2𝜃 −

1

2𝜃) +. . +

+𝑠𝑒𝑛 (1

2𝜃 + 𝑁𝜃) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑁𝜃 −

1

2𝜃)


2) ∙ 𝐷𝑁(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (

1

2𝜃 + 𝑁𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (

1

2+ 𝑁) 𝜃

Por lo tanto 𝐷𝑁(𝜃) =𝑠𝑒𝑛 (𝑁+

1

2)𝜃


2)

Observación: La primera propiedad permite cambiar el intervalo de

integración a cualquier otro de longitud 2𝜋. Como además f es de periodo

2𝜋, podemos escribir


𝜋∫ 𝑓(𝜃 + 𝜙)

𝜋

−𝜋

𝐷𝑁(𝜙) 𝑑𝜙



Y por la propiedad 4) también se puede expresar como


𝜋∫ 𝑓(𝜃 + 𝜙)

𝜋

−𝜋

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 +12)𝜃

2 𝑠𝑒𝑛 (𝜃2)

𝑑𝜙 (3)

Gráfico del núcleo de Dirichlet de 𝐷𝑁(𝜃) para N=6

6. Convergencia puntual de las series de Fourier

La serie de Fourier converge puntualmente al promedio del salto

en una discontinuidad. El ejemplo más utilizado para su contextualización es en

una función escalonada.

Teorema: sea f continua por tramos en ℝ con periodo 2𝜋, y suponemos que:

𝑓(𝜃) =1

2[𝑓(𝜃+) + 𝑓(𝜃−)] para todo 𝜃. Entonces, el desarrollo en serie de

Fourier para f converge a 𝑓(𝜃0) en cada punto 𝜃0 donde f tenga una

derivada por la derecha y por la izquierda. En particular si f tiene primera

derivada continua por tramos, su serie de Fourier converge a 𝑓(𝜃) para todo

𝜃.



Demostración: por hipótesis f tiene derivadas por derecha y por izquierda

en 𝜃0, lo cual requiere que existan los limites

limℎ→0+

𝑓(𝜃0 + ℎ) − 𝑓(𝜃0+)

ℎ y lim

ℎ→0−

𝑓(𝜃0 + ℎ) − 𝑓(𝜃0−)

ℎ

Recordamos que la suma parcial N-ésima de la serie de Fourier para f es por

(3)


𝜋∫ 𝑓(𝜃 + 𝜙) ∙

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙

2 𝑠𝑒𝑛 (𝜙

2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

−𝜋

Y por propiedad del núcleo de Dirichlet 1

𝜋∫

𝑠𝑒𝑛 (𝑁+12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

−𝜋= 1 , lo cual

podemos escribir 1

𝜋∫

𝑠𝑒𝑛 (𝑁+12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

0=

1

𝜋∫

𝑠𝑒𝑛 (𝑁+12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

0

−𝜋=

1

2

Debemos demostrar que la diferencia 𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0) tiende a cero cuando

N tiende a infinito.

𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0) =1

𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

−𝜋

− 𝑓(𝜃0) ∙ 1

=1

𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

−𝜋

−1

2𝑓(𝜃+)

−1

2𝑓(𝜃−)𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0)

=1

𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

0

+1

𝜋∫ 𝑓(𝜃0 + 𝜙) ∙

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

0

−𝜋

+

−𝑓(𝜃+)1

𝜋∫

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

0

− 𝑓(𝜃−)1

𝜋∫

𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 12⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

0

−𝜋



=1

𝜋∫ [𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0

+)] ∙𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1

2⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

0

+1

𝜋∫ [𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0

−)] ∙𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1

2⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

0

−𝜋

Trabajando el primer término se obtiene lo siguiente

1

𝜋∫ [𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0

+)] ∙𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1

2⁄ )𝜙


2⁄ )𝑑𝜙

𝜋

0

=1

𝜋∫ [

𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0+)

𝜙∙

𝜙2⁄

𝑠𝑒𝑛 (𝜙

2⁄ )] ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1

2⁄ )𝜙 𝑑𝜙𝜋

0

Para 𝜙 ∈ [0, 𝜋] , sea 𝑔(𝜙) = (𝑓(𝜃0+𝜙)−𝑓(𝜃0

+)

𝜙) ∙ (

𝜙2⁄

𝑠𝑒𝑛 (𝜙

2⁄ ))

Por hipótesis existen las derivadas por derecha e izquierda de f en 𝜃0 y

lim𝜙→0

𝑔(𝜙) existe al cual lo llamaremos 𝑔(0). Luego g es continua a trozos en

[0, 𝜋].

En consecuencia, por el lema de Riemann-Lebesgue,

lim𝑁→∞

1

𝜋∫ (

𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0+)


2⁄ )) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1

2⁄ )𝜙 𝑑𝜙𝜋

0

= 0

De manera análoga se prueba que

lim𝑁→∞

1

𝜋∫ (

𝑓(𝜃0 + 𝜙) − 𝑓(𝜃0−)


2⁄ )) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑁 + 1

2⁄ )𝜙 𝑑𝜙0

−𝜋

= 0

Por lo tanto lim𝑁→∞

[𝑆𝑁𝑓(𝜃0) − 𝑓(𝜃0)] = 0, como queríamos demostrar.



6.1 Contextualización de la convergencia puntual en series de Fourier

Dada la función 𝑓(𝑥) estudiaremos la convergencia del desarrollo

en serie de Fourier de dicha función

𝑓(𝑥) = {

0 𝑠𝑖 – 𝜋 < 𝑥 < 01

2⁄ 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 𝜋

1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋

La gráfica de la función es la siguiente:

Al observar la gráfica de f la misma presenta discontinuidades de

salto. Por el teorema de convergencia puntual, para 𝑥 = 0.𝑓(0+) = 1 𝑓(0−) = 0

𝑓(0) =1

2[𝑓(0+) + 𝑓(0−)] =

1+0

2=

1

2 Por el teorema de convergencia puntual, para

𝑥 =𝜋

2. 𝑓 (

𝜋

2

+) = 1, 𝑓 (

𝜋

2

−) = 1 𝑓 (

𝜋

2) =

1

2[𝑓 (

𝜋

2

+) + 𝑓 (

𝜋

2

−)] =

1+1

2= 1

Por el teorema de convergencia puntual, para 𝑥 = −𝜋

2,

𝑓 (−𝜋

2

+) = 0, 𝑓 (−

𝜋

2

−) = 0, 𝑓 (−

𝜋

2) =

1

2[𝑓 (−

𝜋

2

+) + 𝑓 (−

𝜋

2

−)] =

0+0

2= 0

A continuación, calcularemos la serie de Fourier para la función

𝑎0 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)

𝜋

−𝜋 𝑑𝑥 =

1

𝜋∫ 0

0

−𝜋 𝑑𝑥 +

1

𝜋∫

1

2

0

0 𝑑𝑥 +

1

𝜋∫ 1

𝜋

0 𝑑𝑥, 𝑎0 =

1

𝜋[0 + 0 + 𝜋] = 1

Luego calculamos 𝑎𝑛 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)

𝜋

−𝜋cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =

1

𝜋∫ 0 cos 𝑛𝑥

0

−𝜋 𝑑𝑥 +

1

𝜋∫

1

2

0

0cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 +

1

𝜋∫ 1 cos 𝑛𝑥

𝜋

0 𝑑𝑥, 𝑎𝑛 =

1

𝑛𝜋𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋)|0

𝜋 = 0



Por otro lado 𝑏𝑛 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥

𝜋

−𝜋 𝑑𝑥 =

1

𝜋∫ 0

0

−𝜋𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 +

1

𝜋∫

1

2

0

0𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 +

1

𝜋∫ 1𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥

𝜋

0 𝑑𝑥 ; 𝑏𝑛 =

1

𝑛𝜋 [−cos(𝑛𝑥)]|0

𝜋 =1

𝑛𝜋[− cos(𝑛𝜋) −

(−cos 0)]; 𝑏𝑛 =1

𝑛𝜋[1 − cos(𝑛𝜋)]; 𝑏𝑛 =

1

𝑛𝜋[1 − (−1)𝑛] para n=1, 2, 3, ……

Por lo tanto la serie de Fourier correspondiente a f viene dada por

la expresión: 𝑆[𝑓(𝑥)] =1

2+ ∑

1

𝜋∞𝑛=1 (

1−(−1)𝑛

𝑛) 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥)

𝑆[𝑓(𝑥)] =1

2+

2

𝜋(𝑠𝑒𝑛 𝑥 +

𝑠𝑒𝑛 3𝑥

3+

𝑠𝑒𝑛 5𝑥

5+

𝑠𝑒𝑛 7𝑥

7+

𝑠𝑒𝑛 9𝑥

9+ ⋯ )

Calcularemos el desarrollo en serie de Fourier para 𝑥 = 0

𝑆[𝑓(0)] =1

2+

2

𝜋(𝑠𝑒𝑛 0 +

𝑠𝑒𝑛 (3 ∙ 0)

3+

𝑠𝑒𝑛 (5 ∙ 0)

5+

𝑠𝑒𝑛 (7 ∙ 0)

7+

𝑠𝑒𝑛 (9 ∙ 0)

9+ ⋯ . )

𝑆[𝑓(0)] =1

2+

2

𝜋∙ 0 =

1

2 que coincide con 𝑓(0).

Calcularemos el desarrollo en serie de Fourier para𝜃 =𝜋

2

𝑆[𝑓(𝜋2⁄ )] =

1

2+

2

𝜋(𝑠𝑒𝑛 𝜋

2⁄ +𝑠𝑒𝑛 (3∙𝜋 2⁄ )

3+

𝑠𝑒𝑛 (5∙𝜋 2⁄ )

5+

𝑠𝑒𝑛 (7∙𝜋 2⁄ )

7+

𝑠𝑒𝑛 (9∙𝜋 2⁄ )

9+ ⋯ . )

𝑆[𝑓(𝜋2⁄ )] =

1

2+

2

𝜋∙ (1 −

1

3+

1

5−

1

7+

1

9− ⋯ . . ) =

1

2+

2

𝜋∙

𝜋

4=

1

2+

1

2= 1

que coincide con 𝑓(𝜋2⁄ ).

Calcularemos ahora el desarrollo en serie de Fourier para 𝑥 = −𝜋

2

𝑆[𝑓(− 𝜋2⁄ )] =

1

2+

2

𝜋(𝑠𝑒𝑛 (− 𝜋

2⁄ ) +𝑠𝑒𝑛 (−3∙𝜋 2⁄ )

3+

𝑠𝑒𝑛 (−5∙𝜋 2⁄ )

5+

𝑠𝑒𝑛 (−7∙𝜋 2⁄ )

7+

𝑠𝑒𝑛 (−9∙𝜋 2⁄ )

9+ ⋯ . )

𝑆[𝑓(− 𝜋2⁄ )] =

1

2+

2

𝜋∙ (−1 +

1

3−

1

5+

1

7−

1

9+ ⋯ . . ) =

1

2+

2

𝜋∙ (−1) (1 −

1

3+

1

5−

1

7+

1

9− ⋯ . . )

𝑆[𝑓(− 𝜋2⁄ )] =

1

2−

2

𝜋∙

𝜋

4=

1

2−

1

2= 0 , que coincide con el valor de 𝑓(− 𝜋

2⁄ ).



Gráfica de la función 𝑓(𝑥) y 𝑆𝑁𝑓(𝑥) para N=20, donde el color

negro representa a 𝑓(𝑥) y el color azul a 𝑆𝑁𝑓(𝑥), se observa al compararlas la

convergencia puntual.

La serie de Fourier de f, por el teorema de convergencia puntual,

converge puntualmente a la función f.

Sin embargo la serie de Fourier no puede converger

uniformemente a f pues cada 𝑆𝑁𝑓(𝑥) es continua, y si 𝑆𝑁𝑓(𝑥) → 𝑓(𝑥)

uniformemente, f seria continua lo cual no es cierto.

7. Convergencia uniforme de series de Fourier

Una vez establecida la convergencia puntual para los desarrollos

en serie de Fourier de funciones suaves por tramos, determinaremos ahora las

condiciones bajo las cuales esta convergencia es uniforme en un intervalo cerrado

[a,b]. En el teorema que veremos a continuación se exige solamente que las

funciones sean continuas para garantizar tanto la uniformidad como la

convergencia absoluta. Esta condición es más débil y más sencilla de demostrar,

pero es muy útil en la práctica.

Teorema: sea f una función continua en los reales con periodo 2𝜋, es decir

𝑓(𝜋) = 𝑓(−𝜋), y suponemos que f tiene una primera derivada continua por

tramos. Entonces, la serie de Fourier para f converge uniformemente y

absolutamente a f en cada intervalo cerrado del eje 𝜃.



Demostración: sean 𝑓(𝜃) =𝑎0

2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)∞

𝑛=1

𝑓´(𝜃) =𝑎´0

2+ ∑ (𝑎´𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏´𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)∞

𝑛=1 , las series de Fourier para f y f´.

Entonces por hipótesis f es periódica con periodo 2𝜋, buscamos la forma

de los coeficientes 𝑎´𝑛 y 𝑏´𝑛

𝑎´0 =1

𝜋∫ 𝑓´(𝜃) 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋=

1

𝜋[𝑓(𝜃)]−𝜋

𝜋 =1

𝜋[𝑓(𝜋) − 𝑓(−𝜋)] = 0

Por otro lado para n>0 tenemos 𝑎´𝑛 =1

𝜋∫ 𝑓´(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

Haciendo integración por partes llamando 𝑢 = cos 𝑛𝜃 y 𝑑𝑣 = 𝑓´(𝜃)𝑑𝜃

𝑎´𝑛 =1

𝜋[𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃|−𝜋

𝜋 + 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 𝑑𝜃𝜋

−𝜋] =

1

𝜋∙ 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

𝑎´𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑏𝑛 (𝐴)

Por otro lado 𝑏´𝑛 =1

𝜋∫ 𝑓´(𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋

Haciendo integración por partes llamando 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 y 𝑑𝑣 = 𝑓´(𝜃)𝑑𝜃

𝑏´𝑛 =1

𝜋[𝑓(𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃|−𝜋

𝜋 − 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃𝜋

−𝜋]

𝑏´𝑛 = −1

𝜋. 𝑛 ∫ 𝑓(𝜃) cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋 ; 𝑏´𝑛 = −𝑛 ∙ 𝑎𝑛 (𝐵)

Por la desigualdad de Bessel para números reales sabemos que se verifica

∑ |𝑓´|2∞𝑛=1 ≤ ‖𝑓´‖2 < ∞ ; ∑ (𝑎´𝑛

2 + 𝑏´𝑛2 )∞

𝑛=1 ≤1

𝜋∫ 𝑓´(𝜃)2 𝑑𝜃

𝜋

−𝜋< ∞

Por (A) y (B) tenemos que ∑ (𝑛√𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛

2)2

∞𝑛=1 < ∞

Entonces podemos decir que la sucesión {𝑛√𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛

2} , donde

n=1,2,… pertenece al espacio euclidiano l2 de todas las sucesiones de cuadrado

sumable de números reales. Por otro lado la sucesión {1

𝑛}, donde n=1,2,… también

pertenece a l2 por lo tanto el producto interno de estas dos sucesiones existe, y se

sigue que ∑ (1

𝑛∙ 𝑛√𝑎𝑛

2 + 𝑏𝑛2)∞

𝑛=1 = ∑ √𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛

2∞𝑛=1 debe converger.

Por otro lado, dado cualquier par de números reales a y b, la

desigualdad de Cauchy-Schwarz en ℝ2 aplicada a los vectores 𝑎 ∙ 𝑖 + 𝑏 ∙ 𝑗 y cos 𝑛𝜃 ∙

𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 ∙ 𝑗, siendo 𝑖 y 𝑗 la base canónica, implica que: |𝑎 ∙ cos 𝑛𝜃 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤

√𝑎2 + 𝑏2 ∙ √𝑐𝑜𝑠2𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝑛𝜃; |𝑎 ∙ cos 𝑛𝜃 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃| ≤ √𝑎2 + 𝑏2 , para toda 𝜃.

Esto permite comparar la serie |𝑎0

2| + ∑ |𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃|∞

𝑛=1



con la serie de constantes positivas |𝑎0

2| + ∑ √𝑎2 + 𝑏2∞

𝑛=1 , y por el criterio M de

Weierstrass implica que: 𝑎0

2+ ∑ (𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃)∞

𝑛=1 es uniforme y

absolutamente convergente en cualquier intervalo cerrado del eje 𝜃.

Finalmente, por el teorema de convergencia puntual, se sabe que

esta serie converge por puntos a f, de esta manera se completa la demostración.

Solo podemos esperar convergencia uniforme en series de Fourier

hacia funciones continuas.

7.1 Contextualización de la convergencia uniforme en series de Fourier

A continuación buscamos el desarrollo en series de Fourier de la

función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , − 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 y estudiaremos si dicho desarrollo obtenido

converge uniformemente a f(x) en [−𝜋, 𝜋].

Solución: 𝑎0 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)

𝜋

−𝜋 𝑑𝑥 =

1

𝜋∫ 𝑥2𝜋

−𝜋 𝑑𝑥 =

1

𝜋[

1

3𝑥3|

−𝜋

𝜋

] ; 𝑎0 =2

3𝜋2

Por otro lado 𝑎𝑛 =1

𝜋∫ 𝑓(𝑥)

𝜋

−𝜋cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =

1

𝜋∫ 𝑥2 ∙

𝜋

−𝜋cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑛 =2

𝜋∫ 𝑥2 ∙

𝜋

0cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =

2

𝜋[

1

𝑛𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥|0

𝜋 +2

𝑛2 𝑥 ∙ cos 𝑛𝑥|0𝜋 −

2

𝑛3 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥|0𝜋]

𝑎𝑛 =4

𝑛2 cos 𝑛𝜋 = {−1 𝑠𝑖 𝑛 = 1,3,5, …1 𝑠𝑖 𝑛 = 2,4,6, …

𝑎𝑛 =4

𝑛2 ∙ (−1)𝑛

En este caso f es una función par en el intervalo [−𝜋, 𝜋]. Por esta

razón al calcular 𝑏𝑛 = 0 para todo n.

Por lo tanto, la serie de Fourier de la función f es

𝑆[𝑓(𝑥)] =𝜋2

3+ ∑

4

𝑛2∙ (−1)𝑛∞

𝑛=1 ∙ cos 𝑛𝑥

La función f es continua en [−𝜋, 𝜋] y 𝑓´es continua en (−𝜋, 𝜋) ,

luego hay convergencia uniforme.



Gráfica de f (negro) y de 𝑆𝑁𝑓(𝑥), para N=4 (rojo) y N=6 (rosado)

CONCLUSIONES

En el presente artículo se presentó un material de estudio que

puede ser utilizado como una introducción al Análisis de Fourier en donde se

trabajan los siguientes tópicos: Series trigonométricas, Series de Fourier;

Convergencia puntual y convergencia uniforme.

Los tópicos presentados se apoyan en gráficos, además se

desarrollan ejemplos en forma detallada y ordenada. Una vez que este material sea

trabajado en el aula lo que se espera es:

Motivar a los alumnos hacia el estudio del análisis armónico.

Conseguir que entiendan los desarrollos matemáticos rigurosos de los

tópicos planteados para poder comprender los resultados clásicos.



REFERENCIAS

Apostol, Tom M., Análisis Matemático, Segunda Edición, Reverté S.A., 1979.

Muro Ursia, Claudia Rosario; Significación de la serie de Fourier en el contexto del

proceso de transferencia de masa, Tesis, Pachuca, Hidalgo; 2000.

Pinsky, M. A., Introducción al Análisis de Fourier y las Ondoletas, Thomson, 2003.

Almira J. M., Cuerdas vibrantes y calor: La génesis del Análisis de Fourier,

Matematicalia, 4 (1) (2008). http://www.matematicalia.net.

http://www4.ujaen.es/~jmalmira/origenes_analisis_fourier.pdf

Bombal Fernando. Las series de Fourier y el desarrollo del análisis en el siglo XIX,

Universidad Complutense de Madrid.

http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/9_Seri

es_de_Fourier/Historia%20Series%20de%20Fourier.pdf

Duoandikoetxea Javier. Lecciones sobre las series y transformadas de Fourier .

http://www.busateo.es/busateo/Matematicas/176.pdf

http://www.matematicalia.net/

http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/9_Series_de_Fourier/Historia%20Series%20de%20Fourier.pdf

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http://www.busateo.es/busateo/Matematicas/176.pdf

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