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Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

Continuación numérica de ciclos límites en

osciladores electrónicos

Autor: Luis Gómez de la Herrán Ramírez

Tutor: Javier Ros Padilla

Dep. de Matemática Aplicada II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

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Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

Continuación numérica de ciclos límites en

osciladores electrónicos

Autor:

Luis Gómez de la Herrán Ramírez

Tutor:

Javier Ros Padilla

Profesor titular

Dep. de Matemática Aplicada II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

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Índice general

1. Introducción ................................................................................................. 7

2. Sistemas Dinámicos .................................................................................... 8

2.1. Definición .............................................................................................. 8

2.2. Ciclos límites y su estabilidad ............................................................... 8

2.2.1. Estabilidad estructural .................................................................. 10

2.3. Bifurcación .......................................................................................... 11

2.3.1. Bifurcaciones locales .................................................................... 11

2.3.2. Bifurcación Silla-nodo ................................................................... 12

2.3.3. Bifurcación Pitchfork ..................................................................... 13

2.3.4. Bifurcación de Hopf ...................................................................... 15

2.3.5. Bifurcaciones globales .................................................................. 17

2.3.6. Bifurcación de ciclos límites (Silla-Nodo) ...................................... 17

2.3.7. Bifurcación Homoclina .................................................................. 18

2.3.8. Bifurcación Toro o Neimark-Sacker .............................................. 19

2.3.9. Duplicación de Periodo o Flip ....................................................... 20

2.4. Condiciones Simples de Bifurcaciones ............................................... 21

2.5. Osciladores electrónicos ..................................................................... 23

2.6. Circuitos electrónicos con modelado lineal a trozos ............................ 23

3. Análisis del sistema dinámico y continuación ............................................ 25

3.1. Descripción del sistema ...................................................................... 25

3.2. Análisis de órbitas periódicas mediante ecuaciones de cierre ............ 27

3.2.1. Órbitas periódicas bizonales ......................................................... 27

3.2.2. Órbitas periódicas trizonales ........................................................ 29

3.3. Continuación ....................................................................................... 31

3.3.1. Continuación paramétrica natural ................................................. 31

3.3.2. Método de pseudo longitud de arco .............................................. 32

3.3.3. Pasos a seguir en el método pseudo longitud de arco de Keller .. 34

3.4. Matriz Jacobiana ................................................................................. 37

4. Oscilador electrónico BVP ......................................................................... 41

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4.1. Obtención del sistema modelado del oscilador electrónico ................. 41

4.2. Estudio de equilibrios (estabilidad) ...................................................... 43

4.2.1. Análisis de órbitas periódicas ....................................................... 43

4.2.2. Estabilidad del origen ................................................................... 45

4.2.3. Estabilidad de los equilibrios no triviales ...................................... 46

4.2.4. Existencia de los equilibrios no triviales ........................................ 47

4.3. Estudio básico de bifurcaciones .......................................................... 49

4.4. Análisis de las bifurcaciones ............................................................... 57

4.5. Continuación de curvas de bifurcación ................................................ 59

4.5.1. Curvas Silla-Nodo de ciclos límite trizonales ................................ 62

4.5.2. Curvas Silla-Nodo de ciclos límites Bizonales .............................. 69

4.5.3. Curva Duplicación de Periodo ...................................................... 72

4.5.4. Curva bifurcación Toro ................................................................. 75

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1. Introducción

El presente proyecto tiene como objetivo determinar mediante continuación

numérica algunas de las curvas de bifurcación y ciclos límites de un oscilador

electrónico Bonhoeffer-Van der Pol, en los casos de ciclos límite bizonales y

trizonales. Entre las curvas de bifurcación continuadas, se encontrarán los

casos de Silla-Nodo, Toro y duplicación de periodo.

Dicho análisis pretende completar el trabajo realizado por Carlos Vallet

Burguillos en su proyecto fin de carrera, ”Análisis de la dinámica de un

oscilador electrónico tipo Bonhoeffer-Van der Pol”, tutelado por Javier Ros

Padilla. Para completar dicho análisis se partirá de una serie de valores fijos en

los parámetros del oscilador y se tomará como parámetro de bifurcación el

mismo que en dicho proyecto, para así completar el diagrama de bifurcaciones

obtenido anteriormente. El método de continuación y las simulaciones se

realizarán con el software Matlab, donde se utilizando un código para la

continuación desarrollado por Javier Ros.

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2. Sistemas Dinámicos

2.1. Definición

El concepto de sistema dinámico puede entenderse como una formalización matemática del concepto general de proceso determinístico. En un proceso determinístico, cualquier estado futuro de un sistema puede predecirse conociendo su estado actual y la ley (o leyes) que gobiernan su evolución. Si se representa por un punto x un estado del sistema, el conjunto X que contiene todos los posibles estados se llamará espacio de estados. Es decir,

X = {x : x es un estado del sistema dinámico}.

La evolución de un sistema dinámico significa un cambio en su estado en un tiempo t (t∈T). La naturaleza del conjunto T, que contiene todos los tiempos t, define dos tipos de sistemas dinámicos: aquellos en los que el tiempo es un número real (T = R), llamados sistemas dinámicos continuos, y aquellos en los que el tiempo es un número entero (T = Z), llamados sistemas dinámicos discretos. La ley de evolución determina el estado xt de un sistema en un tiempo t, dado por su estado inicial x0. La forma más general de definir la evolución es asumir que para cada tiempo t > 0 se define una relación (o función) φt en el espacio de estados X, que aplica cada estado actual x0 en un único estado (futuro) φt x0.

φt : X —> X : xt —> φt x0

La relación φt se conoce como operador de evolución o flujo del sistema dinámico. Los operadores de evolución tienen dos propiedades naturales que reflejan el carácter determinístico del comportamiento de los sistemas dinámicos: i) φ0 = id, donde id es el operador identidad del espacio de estados X.

ii) φs+t = φs o φt, donde φs+t x = φt(φs x) para todo x∈X. Formalmente un sistema dinámico se define como un par {X, φt }, donde X es un espacio de estados y φt : X —> X es una familia de operadores de evolución que satisfacen las dos propiedades naturales i) y ii) antes descritas.

2.2. Ciclos límites y su estabilidad

De los sistemas no lineales es importante mencionar que existen soluciones

periódicas que se caracterizan por tener estados invariantes en el tiempo. La

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solución periódica es una respuesta dinámica caracterizada por una frecuencia

básica F. Matemáticamente, la solución 𝑥(𝑡) es periódica para todo tiempo t, si

existe algún T que satisface:

𝑥(𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑡) 0 < 𝑡 < 𝑇

A una solución periódica se le llama ciclo límite si no existen otras soluciones

periódicas cercanas a ella (es decir que se encuentra aislada). Siendo los

ciclos límite inherentemente un fenómeno de los sistemas no lineales.

De forma similar a los puntos de equilibrio, la estabilidad de los ciclos límites

puede ser estable o inestable.

Un ciclo límite es asintóticamente estable si todas las órbitas, comenzando

cerca de éste, alcanzan el ciclo límite conforme el tiempo incrementa. Un

ejemplo claro es la imagen 2.1 donde se ve que las órbitas convergen al ciclo

límite estable.

Imagen 2. 1 Ciclo límite estable

Un ciclo límite es inestable si todas las órbitas comenzando cerca de éste, se

alejan o divergen del mismo. Esto se muestra en la figura 2.1 donde se muestra

cómo se alejan las órbitas.

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Imagen 2. 2 Ciclo límite inestable

2.2.1. Estabilidad estructural

Un sistema es estructuralmente estable si su dinámica no cambia de manera

cualitativa bajo pequeñas perturbaciones. Es decir que la topología de las

trayectorias en el plano de fases del sistema, a pesar de las perturbaciones,

sigue cualitativamente igual.

El fin del análisis de este concepto es su relación con la teoría de bifurcaciones,

que a continuación se describe brevemente. Se parte de un sistema no lineal

de la forma 𝑥 = 𝑓(𝑥, λ) , donde λ es un parámetro del sistema dependiente

del tiempo. En el caso de que se presenten cambios cualitativos en el plano de

fase del sistema por pequeñas variaciones en este parámetro, el sistema es

cualitativamente inestable. Siendo un fenómeno de la teoría de bifurcaciones;

es decir, cuando se pierde la estabilidad estructural en el sistema ocurre una

bifurcación.

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2.3. Bifurcación

Frecuentemente dentro de las ecuaciones dinámicas existen parámetros que

son constantes. Que en ciertas circunstancias se desea conocer cómo será el

comportamiento dinámico del sistema conforme estos parámetros autónomos

cambian de valor ligeramente.

Una forma de solucionar este tipo de problema es por medio del concepto de

bifurcaciones. Una bifurcación indica un cambio cualitativo en las

características topológicas del flujo del sistema. Estos cambios cualitativos

están asociados al cambio en el número, tipo y estabilidad de los puntos de

equilibrio u órbitas periódicas del sistema; conforme se presentan cambios

pequeños de uno o más de sus parámetros de control λ.

Las bifurcaciones pueden ser locales o globales. Bifurcaciones locales se

refieren al cambio de la estabilidad que sucede en el plano de fase en las

cercanías de una solución periódica o punto fijo del sistema. Las bifurcaciones

globales ocurren normalmente en mayores conjuntos invariantes del sistema,

los cuales "colisionan" entre ellos o con los puntos de equilibrio del sistema.

Por tanto, no pueden ser detectados de forma exclusiva mediante un análisis

de los puntos de equilibrio..

Las bifurcaciones locales solo pueden ocurrir cuando un cambio en los valores

de los parámetros de control conviertan al punto de equilibrio en no hiperbólico.

Entonces, una forma sencilla de establecer cuando está ocurriendo una

bifurcación local consiste en determinar los valores paramétricos que

produzcan que el Jacobiano asociado al sistema linealizado tenga un autovalor

0 o un par de autovalores complejos puramente imaginarios.

A continuación, se detalla de manera más amplia las características que

presenta el plano de fase cuando acontecen algunas bifurcaciones locales y

globales.

2.3.1. Bifurcaciones locales

Es claro que solo estas bifurcaciones están relacionadas con el cambio de

estabilidad en un punto de equilibrio al existir cambios significativos antes y

después de un punto de equilibrio no hiperbólico. La pérdida de estabilidad

puede ser provocada por medio de cualquiera de las siguientes bifurcaciones:

Bifurcación Silla-Nodo (o punto de silla), Bifurcación Transcrítica, Bifurcación

Pitchfork y Bifurcación Hopf. Las tres primeras bifurcaciones son llamadas

bifurcaciones estáticas porque a ellas solo convergen soluciones asociadas a

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puntos de equilibrio; es decir, soluciones estáticas. Por el contrario, en la

bifurcación Hopf convergen a soluciones estáticas y soluciones periódicas, por

lo que se denomina bifurcación dinámica.

2.3.2. Bifurcación Silla-nodo de equilibrios

Esta bifurcación se asocia con la aparición y desaparición de puntos de

equilibrio conforme cambia el parámetro λ. En el caso de la ecuación diferencial

no lineal �̇� = −x2 − λ se tienen las soluciones mostradas en la siguiente

figura:

Imagen 2. 3 Destrucción de los puntos de equilibrio

Cuando el parámetro de bifurcación λ es menor que cero, existen dos puntos

de equilibrio en el sistema, uno estable y otro inestable; es decir, coexisten

diversas soluciones que satisfacen la ecuación x2 − λ = 0. En el caso de que

el parámetro λ sea igual a cero, los puntos de equilibrio estable en inestable

chocan, y se produce el punto de bifurcación Silla-Nodo (o punto de silla ya que

tiene forma de silla de montar). En la cual el Jacobiano del sistema se vuelve

singular, 𝐽(𝑥∗) = 0 ,y no es posible obtener una solución de x2 − λ = 0. Por

último, si el parámetro de control es mayor que cero no existen puntos de

equilibrio, lo cual implica que nunca se obtendrá una solución del sistema

algebraico no lineal. De acuerdo a lo anterior, la ecuación diferencial �̇� =

−x2 − λ , tiene una respuesta en base a un valor inicial del parámetro λ como

se muestra en la siguiente figura:

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Imagen 2. 4 Diagrama de una bifurcación Silla Nodo

De la gráfica anterior debe mencionarse que la línea negra representa a los

puntos de equilibrio estables, mientras que las líneas discontinuas representan

a los puntos de equilibrio inestables. Este tipo de bifurcaciones existe siempre

que se cumpla las siguientes condiciones matemáticas:

𝑓(𝑥, λ) = 0 𝜕𝑓

𝜕𝑥⌋𝑥∗= 0

𝜕𝑓

𝜕λ≠ 0

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2⌋𝑥∗≠ 0

La primera ecuación implica que la solución es un punto de equilibrio. La

segunda ecuación prueba que este punto es no hiperbólico. La tercera significa

que coexiste en el punto de bifurcación (𝑥∗, λ) una función continua

diferenciable λ = h(x) , que se intersecta con la línea 𝑥 = 𝑥∗ de manera

transversal. Por último, la cuarta ecuación significa que el punto de equilibrio

permanece de manera local a un lado de la línea λ = λ0 .Estas dos últimas

ecuaciones se denominan condiciones de transversabilidad.

2.3.3. Bifurcación Pitchfork de equilibrios

En este tipo de bifurcación conforme se varía el parámetro de control un punto

de equilibrio estable se convierte en inestable, y al mismo tiempo se originan

dos puntos de equilibrio estables; de manera que la forma de la bifurcación se

asemeja a un tridente. Existen dos diferentes tipos de esta bifurcación, una

llamada Subcrítica y otra Supercrítica.

La bifurcación Supercrítica está directamente relacionada a la creación de dos

puntos de equilibrio estables a partir de otro que se volvió inestable conforme

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variaba el parámetro de bifurcación λ, tal como se muestra en la siguiente

figura:

Imagen 2. 5 Creación de dos puntos fijos estables a partir de otro estable.

Cuando el parámetro λ < 0, solo existe un punto de equilibrio estable. Cuando

λ = 0, este punto de equilibrio es críticamente estable dado que la linealización

se desvanece; pero sigue siendo estable. Sin embargo, para valores de λ > 0, el punto de equilibrio se convierte en inestable, y además se tienen dos puntos

de equilibrio estables de forma simétrica. Un ejemplo numérico de la

bifurcación Pitchfork supercrítica se muestra en el diagrama de bifurcación

dado en la figura inferior, correspondiente a la ecuación �̇� = λx− x3. Los

puntos de equilibrio estables corresponden a las líneas gruesas y los inestables

a la línea delgada y discontinua.

Imagen 2. 6 Diagrama de una bifurcación Pitchfork supercrítica

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De forma que para λ < 0, el punto de equilibrio es inestable.

Para valores de λ > 0, el punto de equilibrio se vuelve estable y además se

tienen dos puntos de equilibrio inestables de forma simétrica.

2.3.4. Bifurcación de Hopf

Este tipo de bifurcaciones involucra a un punto de equilibrio y un ciclo límite. En

este caso la bifurcación tiene dos autovalores complejos conjugados que

cruzan el eje imaginario dando origen a la bifurcación de Hopf. Esto se observa

en la figura inferior para los autovalores complejos conjugados:

Imagen 2. 7 Movimiento de los autovalores complejos conjugados

Matemáticamente, existen dos condiciones para que aparezca una bifurcación

de Hopf:

1. El jacobiano tiene un par de autovalores imaginarios puros en el valor

crítico de bifurcación 𝛾(λb) = α(λb) ± jω(λb), entonces, α(λb) = 0 y

ω(λb) > 0.

2. 𝑑𝑅𝑒{γ(λ)}

𝑑λ|λ=λb

=𝑑𝛼(λ)

𝑑λ|λ=λb

≠ 0. (Condición de

transversalidad)

La primera condición indica que se tiene un punto de equilibrio no hiperbólico.

La segunda indica el cruce de los autovalores complejos conjugados hacia el

lado derecho del plano complejo. La parte importante de este tipo de

bifurcaciones es que después de que cambia la estabilidad del punto de

equilibrio, se origina una órbita periódica (o ciclo límite) de pequeña amplitud al

variar el parámetro de control. Al seguir variando λ, las variables que

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determinan el estado del sistema oscilarán de manera estable o inestable,

dependiendo si la bifurcación Hopf es Supercrítica o Subcrítica.

El caso de la bifurcación Hopf supercrítica acontece cuando el punto de

equilibrio pierde estabilidad y se convierte en un ciclo límite estable para

valores más grandes que el punto de bifurcación. En la imagen 2.8 se muestran

los planos de fases característicos de este tipo de bifurcaciones.

Imagen 2. 8 Planos de fase de la bifurcación Hopf supercrítica

Las bifurcaciones de Hopf subcríticas aparecen cuando el punto de equilibrio

estable se transforma en un ciclo límite inestable. Los planos de fase de estas

bifurcaciones se observan en la figura inferior. Este tipo de bifurcaciones es

muy peligrosa ya que puede llevar el comportamiento del sistema a un estado

caótico conforme se varía el parámetro de control.

Imagen 2. 9 Planos de fase de la bifurcación Hopf subcrítica

La bifurcación análoga a la de Hopf en los sistemas lineales a trozos la

denominaremos de forma descriptiva como FCCL foco-centro-ciclo límite.

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2.3.5. Bifurcaciones globales

Estas bifurcaciones son de tipo global porque implican fenómenos de carácter

global como la creación o destrucción de ciclos límites; al contrario de las

anteriores que se trataba de la creación o destrucción de puntos de equilibrio.

Este tipo de bifurcaciones es más difícil de encontrar ya que su búsqueda debe

realizarse en toda la región del plano de fase, en lugar pequeñas regiones

alrededor de los puntos de equilibrio.

2.3.6. Bifurcación Silla-Nodo de ciclos límites

Esta bifurcación ocurre por la destrucción de ciclos límites, uno estable y el otro

inestable, tal como se observa en los planos de fase siguientes:

Imagen 2. 10 Planos de fase de la bifurcación Silla-Nodo.

Para valores del parámetro de bifurcación menor a λc , solo existe un punto de

equilibrio estable. En el instante en que el parámetro toma el valor crítico se

tiene un ciclo límite semiestable. Por último, en rangos de valores del

parámetro de control 0 < λ < λc ,del ciclo límite semiestable se originan dos

ciclos límite uno estable y otro inestable. En la imagen 2.10 se muestra el

diagrama de bifurcación de este tipo, donde los ciclos límite estables están

representados en trazo continuo y los inestables con trazo discontinuo. Debido

a que siempre coexiste un doble ciclo, cada uno de distinto comportamiento,

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recibe el nombre de pliegue o fold.

Imagen 2. 11 Diagrama de una bifurcación Silla-Nodo

En el caso de la gráfica anterior se aclara que los círculos rellenos representan

a respuestas periódicas estables, mientras que los círculos vacíos representan

respuestas periódicas inestables.

Imagen 2. 12 Bifurcación Silla nodo de ciclos límites

2.3.7. Bifurcación Homoclina

Este tipo de bifurcaciones acontece cuando una órbita periódica se encuentra

con un punto de equilibrio tipo silla. Una órbita homoclina es una trayectoria

que une un punto de equilibrio tipo silla con él mismo, esta trayectoria está en

la intersección de la variedad inestable y la variedad estable del equilibrio. Este

tipo de órbitas se muestran en la siguiente figura:

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Imagen 2. 13 Planos de fase de una bifurcación Homoclina

En el caso de que el parámetro de bifurcación es λ < λc sobre un espacio, se

genera una órbita estable que pasa muy cerca de un punto de equilibrio

inestable, sin llegar a él (figura A). Al acercarse el parámetro de control al valor

crítico λc sobre un espacio, la órbita se agranda cerca del punto de equilibrio

Silla (figura B). Sin embargo, si el parámetro toma el valor crítico λ = λc sobre

un espacio, la órbita llega al punto de Silla (figura C) y se forma una órbita

Homoclina. Cuando el parámetro λ > λc, ver figura (D), el ciclo límite

desaparece.

2.3.8. Bifurcación Toro o Neimark-Sacker

La bifurcación de Toro se puede entender como una Bifurcación Hopf de

órbitas periódicas, donde la oscilación de las variables del sistema tiene una

doble frecuencia; por ejemplo, una primera órbita periódica es rodeada en

forma de espiral por una segunda órbita periódica, como se observa en la

figura inferior:

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Imagen 2. 14 Bifurcación Toro

Estas bifurcaciones pueden ser de dos tipos: supercrítica (de forma que se

atraen ambos ciclos) y subcrítica (de forma que se repelen ambos ciclos).

Imagen 2. 15 Bifurcación Neimar-Sacker de ciclos límites

2.3.9. Duplicación de Periodo o Flip

Al contrario del tipo Silla-Nodo donde existen solo dos ciclos límites, estas

bifurcaciones empiezan por tener un ciclo límite estable para un determinado

valor inicial del parámetro de bifurcación dentro de un plano de fases. En el

instante en el que se presenta una variación en el parámetro, las órbitas

asociadas a las variables del sistema comienzan a dividirse en un par de

órbitas, formándose una primera bifurcación de periodo doble. Pero si el

parámetro sigue cambiando, en el sistema pueden ocurrir otras bifurcaciones

de periodo doble; es decir, que de las dos anteriores órbitas, cada una de ellas

se volverá a dividir en dos órbitas, originándose cuatro órbitas. Al seguir

variándose el parámetro de bifurcación se pueden seguir formando más pares

de órbitas en cascada dentro del sistema; conduciendo al sistema a un estado

caótico.

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Imagen 2. 16 Atractor extraño del sistema de Lorenz

Imagen 2. 17 Bifurcación flip de ciclos límite

En la imagen 2.17 aparece una bifurcación de duplicación de periodo típica.

Para el valor crítico de bifurcación 𝛼 = 0 existe un ciclo límite estable, que

corresponde a un punto fijo estable de la aplicación de Poincaré (nodo). Para

𝛼 > 0, el punto fijo pierde la estabilidad y se convierte en un punto de silla,

correspondiendo a un ciclo límite inestable mientras aparece un ciclo límite

estable de periodo doble. Para 𝛼 < 0 el ciclo límite desaparece.

2.4. Condiciones Simples de Bifurcaciones

En este apartado incorporamos varias definiciones del libro [3].

Consideramos un sistema dinámico discreto en el tiempo dependiente de un

parámetro

𝑥−→ 𝑓(𝑥, 𝛼), 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝛼 ∈ ℝ1.

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Donde la aplicación f es diferenciable respecto a x y 𝛼. A veces escribiremos el

sistema como

�̃� = 𝑓(𝑥, 𝛼), 𝑥, �̃� ∈ ℝ𝑛, 𝛼 ∈ ℝ1,

donde �̃� denota la imagen de x bajo la acción de f. Sea x=x0 un punto fijo

hiperbólico del sistema para 𝛼 = 𝛼0. Observamos este punto fijo y sus

multiplicadores cuando varían los demás parámetros. Es claro que existen,

generalmente, sólo tres caminos para que la condición de hiperbolicidad pueda

ser violada. El primer caso es el de un multiplicador real simple positivo que

alcanza el círculo unidad en cuyo caso tenemos 𝜇1 = 1, ver figura 2.18.

Imagen 2. 18 Casos críticos

Otro caso corresponde a un multiplicador real simple negativo que alcanza el

círculo unidad en cuyo caso tenemos 𝜇1 = −1.Finalmente, un par de

multiplicadores complejos conjugados alcanza el círculo unidad y tenemos

𝜇1,2 = 𝑒±𝑖𝜃0 , 0 < 𝜃0 < 𝜋, para algún valor del parámetro.

Definición: La bifurcación asociada a la aparición de 𝜇1 = 1 se llama

bifurcación fold.

Observación: Esta bifurcación también se refiere a un punto límite, bifurcación

silla-nodo.

Definición: La bifurcación asociada a la aparición de 𝜇1 = −1, se conoce

como flip (o duplicación de periodo).

Definición: La bifurcación asociada a la presencia de

𝜇1,2 = 𝑒±𝑖𝜃0 , 0 < 𝜃0 < 𝜋, se conoce como Neimark-Sacker (o toro).

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2.5. Osciladores electrónicos

Los osciladores autónomos presentan oscilaciones de amplitud y periodo fijos sin excitación exterior, una vez transcurrido el régimen transitorio inicial, y puede que independientemente de las condiciones iniciales. Además, estas oscilaciones existen para rangos de los parámetros del sistema suficientemente amplios. En los sistemas lineales, la amplitud de las oscilaciones depende de las condiciones iniciales del circuito, y se necesitarían componentes electrónicos cuyos parámetros tuvieran un valor exacto para fijar la amplitud de las mismas. Por tanto, los sistemas autónomos lineales no pueden presentar oscilaciones periódicas aisladas y robustas, y el funcionamiento de los osciladores electrónicos autónomos sólo puede explicarse en el marco de los sistemas no lineales. Los circuitos electrónicos no lineales incluyen, además de algunos dispositivos lineales (resistencias, bobinas y condensadores), ciertos dispositivos no lineales usualmente basados en materiales semiconductores (diodos, transistores y amplificadores operaciones principalmente). Mientras que los dispositivos lineales no presentan ninguna dificultad y pueden modelarse mediante ecuaciones algebraicas o diferenciales lineales bien conocidas, para los dispositivos no lineales es necesario establecer unos modelos matemáticos adecuados que describan su funcionamiento de forma suficientemente aproximada.

2.6. Circuitos electrónicos con modelado lineal a

trozos

Los sistemas lineales a trozos aparecen a menudo en el modelado matemático

de ciertos problemas de la ingeniería, y en particular cuando aparecen

fenómenos en los que se producen saturaciones en los dispositivos

involucrados, como pueden ser sistemas electrónicos, sistemas de control y

dispositivos con regímenes de funcionamiento con zonas de activa y de corte.

Los modelos lineales a trozos pueden considerarse como la agregación de

varios sistemas lineales diferentes, cada uno de los cuales representa la

dinámica del sistema en una región del espacio de fases. Dentro de cada

región, la dinámica es muy simple, pero la dinámica global puede ser de gran

complejidad y a menudo caótica.

El análisis de la bifurcación de los sistemas lineales a trozos puede ser una

difícil tarea puesto que hay una falta de resultados generales para este tipo de

sistemas y es necesario tener en cuenta la contribución de cada región del

espacio de fase a la dinámica global. En particular, no se pueden aplicar los

teoremas de bifurcación de Hopf a estos sistemas debido a su baja

diferenciabilidad. De todos modos, los sistemas lineales a trozos pueden

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presentar bifurcaciones que tienen similitudes (pero también discrepancias) con

las bifurcaciones de los sistemas diferenciables.

25

3. Análisis del sistema dinámico y continuación

3.1. Descripción del sistema

El estudio de los ciclos límites de un sistema diferenciable es un problema importante en el análisis cualitativo de sistemas dinámicos. Diferentes herramientas provenientes de la teoría de bifurcación están disponibles para garantizar la existencia de ciclos límites y la bifurcación en sistemas lineales, sin embargo en este proyecto, trataremos sistemas lineales a trozos no diferenciables, que aparecen en las aplicaciones de osciladores electrónicos. Consideramos el sistema de la familia de sistemas lineales a trozos escritos en la forma de Luré:

�̇� = 𝐴𝑅𝑥 + 𝑏𝑠𝑎𝑡(𝑥). (3.1.1)

Donde 𝑥 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑇 ∈ ℝ3 y la función de saturación viene dada por:

𝑠𝑎𝑡(𝑥) = {1 𝑠𝑖 𝑥 > 1 𝑥 𝑠𝑖 |𝑥| = 1−1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

.

La matriz 𝐴𝑅 queda definida por:

𝐴𝑅 = (𝑡 −1 0𝑚 0 −1𝑑 0 0

) y 𝑏 = (𝑇 − 𝑡𝑀 −𝑚𝐷 − 𝑑

). (3.1.2)

Para |𝑥| ≤ 1 la dinámica del sistema viene determinada por:

�̇� = 𝐴𝐶𝑥.

Donde 𝐴𝐶 viene definido por:

𝐴𝐶 = (𝑇 −1 0𝑀 0 −1𝐷 0 0

). (3.1.3)

Donde las matrices 𝐴𝐶 y 𝐴𝑅 corresponden a la dinámica en las zonas central y

externas, y los coeficientes t, m, d, T, M, D son los invariantes lineales de

𝐴𝑅 𝑦 𝐴𝐶 (traza, suma de los adjuntos de los elementos de la diagonal principal

y determinante).

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Se observa que 𝐴𝐶 = 𝐴𝑅 + be1T donde e1

T = (1,0,0)𝑇. Para cada sistema

dado de la forma (3.1.1) podemos obtener las matrices de la forma (3.1.2) y

(3.1.3) mediante algunos cambios de variables.

En este trabajo consideramos una estructura general de los autovalores para realizar el análisis dinámico, introduciendo ε como el parámetro de bifurcación

de forma que los tres autovalores de la matriz 𝐴𝐶 son 𝜆(휀) autovalor real y

𝜎(휀) ± 𝑖𝑤(휀) una pareja de autovalores complejos conjugados. Los

parámetros 𝜆, 𝜎, 𝜔 tienen las siguientes expresiones:

𝜆(휀) = 𝜆0 + 𝜆1휀 + 𝑂(휀2),

𝜎(휀) = 𝜎1휀 + 𝑂(휀2),

𝑤(휀) = 𝑤0 +𝑤1휀 + 𝑂(휀2).

Donde 𝑤0 > 0 y 𝜎1, 𝜆1 no se anulan para evitar mayor degeneración. Cuando

휀 se anule, un par de autovalores complejos cruzan el eje imaginario que es

una hipótesis para la bifurcación de Hopf. La traza, la suma de los adjuntos de

la diagonal principal y el determinante de 𝐴𝐶 quedan definidos como:

𝑇(휀) = 𝜆(휀) + 2𝜎(휀),

𝑀(휀) = 2𝜆(휀)𝜎(휀) + 𝜎2(휀) + 𝑤2(휀),

𝐷(휀) = 𝜆(휀)[𝜎2(휀) + 𝑤2(휀)],

de donde tenemos que :

𝑇0 = 𝑇(0) = 𝜆0,

𝑀0 = 𝑀(0) = 𝑤02,

𝐷0 = 𝐷(0) = 𝜆0𝑤02.

Con lo cual 𝐷0 −𝑀0𝑇0 = 0.

Sabemos que ante las siguientes transformaciones no se verá afectado el sistema propuesto, conservándose invariante:

(x, y, z, 𝜏, t,m, d, 휀) → (x,−y, z, −𝜏, t,m,−d,−휀)

Esta propiedad simétrica es útil para simplificar el análisis de este tipo de

sistemas.

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3.2. Análisis de órbitas periódicas mediante

ecuaciones de cierre

3.2.1. Órbitas periódicas bizonales

Asumimos la existencia de una órbita periódica que intersecta transversalmente

la frontera x=1 en dos puntos que tienen la siguiente expresión:

𝑋0 = (1𝑦0𝑧0

), 𝑋1 = (1𝑦1𝑧1

).

Como se muestra en la figura inferior, se representan los puntos 𝑋0 𝑦 𝑋1 , del

ciclo límite bizonal y sus tiempos de vuelo en la parte izquierda (𝜏𝑐), y derecha

(𝜏𝑅) al plano frontera x=1.

Imagen 3. 1

Definido el sistema como �̇� = {𝐴𝑅𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 𝐴𝐶𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1

,

procedemos a hallar la solución en la zona C con condición inicial 𝑋1 directamente mediante:

28

𝑥(𝜏) = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑋1. (3.2.1)

Por lo tanto se tiene que:

𝑋0 = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐𝑋1.

Cuando el sistema �̇� = 𝐴𝑅𝑥 + 𝑏 = 0 es compatible y 𝑋𝑅 es una solución del

mismo, y por tanto, equilibrio del sistema en la zona R podemos transformar

dicho sistema en un sistema homogéneo mediante una translación para

solucionarlo y posteriormente deshacer la translación. La solución tiene la

siguiente forma:

𝑥(𝜏) = 𝑋𝑅 + 𝑒𝐴𝑅𝜏(𝑋0 − 𝑋𝑅). (3.2.2)

De forma que para el tiempo de vuelo 𝜏𝑅 se tiene

𝑋1 = 𝑋𝑅 + 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅(𝑋0 − 𝑋𝑅).

Por consiguiente, tenemos el sistema

{𝑋0 = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐𝑋1,

𝑋1 = 𝑋𝑅 + 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅(𝑋0−𝑋𝑅).

Queremos reducir el sistema sin perder información ya que ahora tenemos las

incógnitas 𝑦0 𝑧0 𝑦1 𝑧1 𝜏𝑐 𝜏𝑅. Despejando 𝑋1 de la primera ecuación

obtenemos 𝑋1 = 𝑒−𝐴𝑐𝜏𝑐𝑋0 que sustituyendo en la segunda ecuación del

sistema obtenemos la segunda ecuación descrita en el sistema inferior. Por

otra parte, multiplicando la primera ecuación por 𝑒1𝑇 obtenemos la primera

ecuación del sistema reducido que se muestra a continuación:

{

𝑒1

𝑇𝑒−𝐴𝑐𝜏𝑐 (1𝑦0𝑧0

) − 1 = 0

𝑋𝑅 − 𝑒−𝐴𝑐𝜏𝑐 (

1𝑦0𝑧0

) + 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅 ((1𝑦0𝑧0

) − 𝑋𝑅) = 0 .

De donde se tiene un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas que son

𝑦0 𝑧0 𝜏𝑐 𝜏𝑅 .

29

3.2.2. Órbitas periódicas trizonales

Asumimos la existencia de una órbita periódica que corta con los planos frontera x = −1 y x = 1 en cuatro puntos que tienen la siguiente expresión:

𝑋0 = (1𝑦0𝑧0

), 𝑋1 = (1𝑦1𝑧1

), 𝑋2 = (−1𝑦2𝑧2

), 𝑋3 = (−1𝑦3𝑧3

).

Como se muestra en la figura, se representan los puntos 𝑋0, 𝑋1, 𝑋2 y 𝑋3 del

ciclo límite trizonal y sus tiempos de vuelo en la parte central (𝜏𝑐), en la parte izquierda (𝜏𝐿) y en la parte derecha (𝜏𝑅).

Imagen 3. 2

La simetría de la órbita periódica trizonal del sistema implica que:

𝑋2 = −𝑋0, 𝑋3 = −𝑋1.

Por lo tanto es suficiente estudiar la trayectoria de 𝑋0 a 𝑋2

Zona central:

En la zona central tenemos que �̇� = 𝐴𝑐𝑥 → 𝑥(𝜏) = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑥(0) donde 𝑥(0)

es una condición inicial.

Tomando los puntos 𝑋1 y 𝑋2 y sustituyendo nos queda la ecuación

30

𝑋2 = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐𝑋1.

Desarrollando la ecuación anterior queda:

−(1𝑦0𝑧0

) = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐 (1𝑦1𝑧1

).

Zonas externas:

Supongo que hay equilibrio en las zonas externas, por tanto, se cumplirá:

�̇� = 0 = 𝐴𝑅𝑥𝑅̅̅ ̅ + 𝑏 con lo que 𝑥𝑅̅̅ ̅ = −𝐴𝑅−1𝑏

Podemos homogeneizar el sistema tal que 𝑌 = 𝑋 − 𝑥𝑅̅̅ ̅,

�̇� = �̇� = 𝐴𝑅(𝑌 + 𝑥𝑅̅̅ ̅) + 𝑏 = 𝐴𝑅𝑌 luego tengo 𝑌(𝜏) = 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑦(0)

que deshaciendo el cambio obtenemos la siguiente expresión:

𝑥(𝜏) = 𝑥𝑅̅̅ ̅ + 𝑒𝐴𝑅𝜏(𝑥(0) − 𝑥𝑅̅̅ ̅) , utilizando el tiempo de vuelo 𝜏𝑅 que es el

que emplea la trayectoria en ir de 𝑋0 𝑎 𝑋1 y sustituyendo en la expresión

anterior queda la ecuación:

𝑋1 = 𝑥𝑅̅̅ ̅ + 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅(𝑋0 − 𝑥𝑅̅̅ ̅), (3.2.1)

que junto con la ecuación de la zona central

𝑋2 = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐𝑋1, (3.2.2)

forman dos ecuaciones de cierre vectoriales de tres componentes, teniendo

como incógnitas 𝑦0 𝑧0 𝑦1 𝑧1 𝜏𝑐 𝜏𝑅.

Queremos reducir el sistema sin perder información, para ello sustituimos la

integración de 𝑋1 𝑎 𝑋2 por la equivalente simétrica de 𝑋3 𝑎 𝑋0 :

𝑋0 = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐𝑋3 = 𝑒

𝐴𝑐𝜏𝑐(−𝑋1) de donde despejamos 𝑋1 = −𝑒−𝐴𝑐𝜏𝑐𝑋0 y lo

sustituimos en la ecuación (3.2.1) quedando:

𝑥𝑅̅̅ ̅ + 𝑒−𝐴𝑐𝜏𝑐 (

1

𝑦0

𝑧0

) + 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅 ((

1

𝑦0

𝑧0

) − 𝑥𝑅̅̅ ̅) = 0 con lo que se obtiene un

sistema con 3 ecuaciones y 4 incógnitas (𝑦0 𝑧0 𝜏𝑐 𝜏𝑅). Faltaría una ecuación

adicional que se obtiene quedándonos con la primera componente de 𝑋1:

31

𝑒1𝑇𝑋1 = 1

⇒ −𝑒1

𝑇𝑒−𝐴𝑐𝜏𝑐 (1𝑦0𝑧0

) = 1, con lo que queda un sistema de 4

ecuaciones y 4 incógnitas.

{

𝑥𝑅̅̅ ̅ + 𝑒

−𝐴𝑐𝜏𝑐 (1𝑦0𝑧0

) + 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅 ((1𝑦0𝑧0

) − 𝑥𝑅̅̅ ̅) = 0

𝑒1𝑇𝑒−𝐴𝑐𝜏𝑐 (

1𝑦0𝑧0

) + 1 = 0.

Que se conoce como las ecuaciones de cierre del sistema y que

posteriormente se utilizarán para su continuación numérica.

3.3. Continuación

Consideramos el cálculo de familias uniparamétricas de equilibrios de

𝑥′(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝜇) o sea, soluciones de: 𝑓(𝑥, 𝜇) = 0.

A un continuo de soluciones de esta clase se le llama una rama de soluciones.

Con μ∈ℝ y X = X(x, μ), la ecuación se puede escribir como: 𝑓(𝑋) = 0

donde f : ℝn+1→ ℝn. Una solución X0 = (x0, μ0) de 𝑓(𝑋) = 0 se llama regular si

𝑓𝑥(𝑥0, 𝜇0) tiene rango máximo, o sea, si rank(𝑓𝑥(𝑥0, 𝜇0) = 𝑛 . Se verifica que

cerca de una solución regular no existe sino una única rama de soluciones.

3.3.1. Continuación paramétrica natural

Tomamos μ como parámetro de continuación. Supongamos que tenemos una

solución x0 de 𝑓(𝑥, 𝜇) = 0 en μ0, así como sus derivadas �̇�0 con respecto al

parámetro μ, y que queremos calcular la solución x1 en 𝜇1 = 𝜇0 + ∆𝜇 (véase la

imagen 3.3 para la interpretación grafica)

32

Imagen 3. 3

Para encontrar x1, resolvemos 𝑓(𝑥1, 𝜇1) = 0 para x1 por el método de

Newton:

𝑓𝑥(𝑥1(𝑘), 𝜇1)∆𝑥1

(𝑘) = −𝑓(𝑥1(𝑘), 𝜇1)

𝑥1(𝑘+1) = 𝑥1

(𝑘) + ∆𝑥1(𝑘) 𝑘 = 0,1,2, …

Con 𝑥1(0) = 𝑥0 + ∆𝜇𝑥0̇ . Si 𝑓𝑥(𝑥1, 𝜇1) es no singular y ∆𝜇 suficientemente

pequeño, la teoría del método de Newton garantiza que éste esquema iterativo

convergerá. Después de la convergencia, el nuevo vector derivada 𝑥1̇ se puede

obtener resolviendo:

𝑓𝑥(𝑥1, 𝜇1)𝑥1̇ = −𝑓𝜇(𝑥1, 𝜇1)

Esta ecuación resulta de derivar 𝑓(𝑥(𝜇), 𝜇) = 0 con respecto a 𝜇 en

𝜇 = 𝜇1.

3.3.2. Método de pseudo longitud de arco de

Keller

Este método permite la continuación de cualquier solución regular y

considerado geométricamente, es el método de continuación más natural.

Supongamos que tenemos una solución (x0, μ0) de 𝑓(𝑥, 𝜇) = 0, así como del

33

vector de dirección normalizado (�̇�𝑜 , μ̇𝑜) de la rama de soluciones en (x0, μ0).

El método consiste en resolver las siguientes ecuaciones para x1 y μ1:

Imagen 3. 4 Interpretación gráfica del método de Keller

𝑓(𝑥, 𝜇) = 0, (𝑥1 − 𝑥0)�̇�𝑜 + (μ1 − μ0)μ̇𝑜−∆𝑠 = 0.

Resolviendo por método de Newton:

((𝑓𝑥1)(𝑘) (𝑓μ

1)(𝑘)

�̇�𝑜 μ̇𝑜)(∆𝑥1

(𝑘)

∆μ1(𝑘)) = −(

𝑓(𝑥1(𝑘), μ

1(𝑘))

(𝑥1(𝑘) − 𝑥0)�̇�𝑜 – (μ1

(𝑘) − μ0)μ̇𝑜 − ∆𝑠

)

Se determina el siguiente vector de dirección resolviendo:

(𝑓𝑥1 𝑓μ

1

�̇�𝑜 μ̇𝑜)(�̇�1 μ̇1) = (

01).

Y normalizándolo. La orientación se conserva si ∆𝑠 es suficientemente

pequeño. El nuevo vector de dirección se reescala para que sea unitario �̇�1 2 +

μ̇12 = 1 En la práctica, el paso ∆𝑠 se actualiza durante el cálculo de la rama

de soluciones. En el caso más simple, la elección del nuevo paso ∆𝑠 se basa

en la convergencia de la iteración de Newton.

34

3.3.3. Pasos a seguir en el método pseudo

longitud de arco de Keller

Primero nos hacen falta unos valores x0 y 𝜇0 tales que 𝑓(𝑥0, 𝜇0) = 0. A partir

de las series proporcionadas en trabajos como [1], [2] obtenemos

aproximaciones a 𝑥0 𝑦 𝜇0. A partir de ellas y usando el método de Newton se

pueden obtener valores fiables para 𝑥0 𝑦 𝜇0.

Imagen 3. 5 Valores de 𝒙𝟎 𝒚 𝝁𝟎 obtenidos con el método de Newton

Con dicho punto y añadiendo una pequeña variación en la coordenada 𝜇, (𝜇 +

ℎ) volvemos a aplicar el método de Newton en este paso, para así obtener un

segundo punto X01. Con estos dos puntos calculados, pasamos a calcular el

vector V0 de la siguiente manera:

V0= (X01- X00)/h y posteriormente se normaliza V0= V0/norm(V0). Este primer

vector no es el que usaremos en el método de continuación, pero es necesario

calcularlo por primera vez para el cálculo de un vector dirección con el cual se

irá realizando el algoritmo.

35

Imagen 3. 6 Cálculo del vector V0.

El vector al que llamamos V0 se corresponde en el apartado anterior con �̇�𝑜 =

(�̇�𝑜 , μ̇𝑜), que se añadirá como fila extra al Jacobiano para el cálculo del nuevo

vector dirección V= (�̇�1 , μ̇1) en las ecuaciones descritas en el método pseudo

longitud de arco.

(𝑓𝑥1 𝑓μ

1

�̇�𝑜 μ̇𝑜) (�̇�1 μ̇1) = (

01).

1. Predicción

Con todo esto, definimos el nuevo punto cercano a la curva que llamaremos

“predicción” como:

Predicción= X00+ paso-de-continuación* V y calculamos la nueva matriz

Jacobiana en este punto y su última fila será el vector V, esto corresponde a la

primera matriz de la siguiente ecuación:

((𝑓𝑥1)(𝑘) (𝑓μ

1)(𝑘)

�̇�𝑜 μ̇𝑜)(∆𝑥1

(𝑘)

∆μ1(𝑘)) = −(

𝑓(𝑥1(𝑘), μ

1(𝑘))

(𝑥1(𝑘) − 𝑥0)�̇�𝑜 – (μ1

(𝑘) − μ0)μ̇𝑜 − ∆𝑠

).

36

Imagen 3. 7 Cálculo del vector “predicción”

2. Corrección

En este paso de corrección el objetivo es calcular la corrección

(corrección=predicción – incremento) y para ello necesitamos calcular el

incremento (∆𝑥1

(𝑘)

∆μ1(𝑘)).

El valor (𝑥1(𝑘) − 𝑥0)�̇�𝑜 – (μ1

(𝑘) − μ0)μ̇𝑜 − ∆𝑠 se determina a partir de los

valores 𝑥1(𝑘) μ1

(𝑘) de la predicción y del paso-de-continuación ∆𝑠. Entonces la

resolución de este sistema de ecuaciones lineales

((𝑓𝑥1)(𝑘) (𝑓μ

1)(𝑘)

�̇�𝑜 μ̇𝑜)(∆𝑥1

(𝑘)

∆μ1(𝑘)) = −(

𝑓(𝑥1(𝑘), μ

1(𝑘))

(𝑥1(𝑘) − 𝑥0)�̇�𝑜 – (μ1

(𝑘) − μ0)μ̇𝑜 − ∆𝑠

)

nos proporciona el incremento (∆μ1(𝑘), ∆μ1

(𝑘)), para el posterior cálculo de la

corrección, (corrección=predicción – incremento). Esta operación corresponde

a la resolución por el método de Newton, lo cual se va acercando en cada

iteración más a la curva de bifurcación. Para el proceso iterativo, se actualiza la

predicción en cada iteración con el valor de la corrección mientras no estemos

en el punto 1 de la curva de bifurcación (ver imagen 3.8).Una implementación

práctica del control del paso de la continuación es la siguiente, si el número de

iteraciones es menor que 3 el paso de continuación aumenta al doble y si el

número de iteraciones es mayor que 5, el paso de continuación disminuye a la

mitad. Una vez finalizadas las iteraciones estaremos colocados sobre el punto

1 de la figura 3.8 que pertenece a la curva de bifurcación.

37

Imagen 3. 8 Se obtiene el valor X1 después de realizar el proceso iterativo

Las siguientes predicciones se determinarán resolviendo

(𝑓𝑥1 𝑓μ

1

�̇�𝑜 μ̇𝑜) (�̇�1 μ̇1) = (

01).

Que nos proporciona el nuevo vector de dirección. A partir de aquí se repite el

ciclo corrección-predicción mientras se recorre la curva de bifurcación.

Como se aprecia en la figura superior, la predicción utiliza la dirección de la

tangente a la curva y la corrección se hace sobre el hiperplano ortogonal a

dicha tangente.

3.4. Matriz Jacobiana

Todo sistema de m ecuaciones con m incógnitas se puede expresar como la

ecuación 𝑓(𝑥) = 0 donde f es un campo de m componentes y x es un vector

de m componentes. Al ser f un campo de m componentes, cada una de ellas

será función de m variables (x1, x2,…, xm) que agruparemos en el vector x, y x*

satisface que 𝑓(𝑥∗) = 0 , sabemos entonces que, para x cercano a x* se tiene

el desarrollo de Taylor siguiente,

0 = 𝑓(𝑥∗) = 𝑓(𝑥) + 𝐷𝑓(𝑥)(𝑥∗ − 𝑥) + 𝐷2𝑓(𝑥, 𝑥∗)(𝑥∗ − 𝑥, 𝑥∗ − 𝑥) (2.6)

38

Donde 𝐷𝑓(𝑥) es la matriz diferencial de f en x, que, si denotamos como

𝑓(1), … , 𝑓(𝑚) las m componentes del campo f, podemos escribir como

𝐷𝑓(𝑥) = [𝜕𝑥1𝑓(𝑥),… , 𝜕𝑥𝑚𝑓(𝑥)] = [𝜕𝑥1𝑓

(1)(𝑥) ⋯ 𝜕𝑥𝑚𝑓(1)(𝑥)

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑥1𝑓

(𝑚)(𝑥) … 𝜕𝑥𝑚𝑓(𝑚)(𝑥)

].

Y las m componentes de 𝐷2𝑓(𝑥, 𝑥∗)(𝑥∗ − 𝑥, 𝑥∗ − 𝑥) vienen dadas por

(𝑥 − 𝑥∗)𝑇 (∫ (1 − 𝑠)1

0

𝐷2𝑓(𝑗)((1 − 𝑠)𝑥 + 𝑠𝑥∗)𝑑𝑠) (𝑥 − 𝑥∗), 𝑗 = 1,… ,𝑚

Siendo 𝐷2𝑓(𝑗) la matriz Hessiana del campo escalar 𝑓(𝑗),

𝐷2𝑓(𝑗)(𝑥) = [𝜕2𝑥1𝑥1𝑓

(𝑗)(𝑥) ⋯ 𝜕2𝑥1𝑥𝑚𝑓(𝑗)(𝑥)

⋮ ⋱ ⋮𝜕2𝑥𝑚𝑥1𝑓

(𝑗)(𝑥) … 𝜕2𝑥𝑚𝑥𝑚𝑓(𝑗)(𝑥)

].

Si x está lo suficientemente cerca del cero x* de f, como para que

‖𝑥∗− 𝑥‖2 ≪ ‖𝑥∗− 𝑥‖

De modo que podamos escribir (2.6) como

0 = 𝑓(𝑥∗) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝐷𝑓(𝑥)(𝑥∗ − 𝑥)

Sin cometer un error excesivo, multiplicando por la inversa de la matriz

diferencial

𝐽 = 𝐷𝑓(𝑥).

Tenemos entonces que

(𝑥∗ − 𝑥) ≈ −𝐽−1𝑓(𝑥) ⇒ 𝑥∗ ≈ 𝑥 − 𝐽−1𝑓(𝑥)

Esta aproximación es la base del método de Newton para varias variables.

La segunda cuestión que comentamos es qué hacer cuando, pudiéndose

calcular (o aproximar) f(x), no se dispone de un procedimiento para obtener su

jacobiano. Una solución consiste en aproximarlo mediante cocientes

39

incrementales. Comentamos aquí como elegir en la práctica los incrementos.

Comenzamos con su elección para el cálculo de una derivada.

Observe que para una función real de variable real el desarrollo de Taylor y un

análisis del error de redondeo muestra que

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= 𝑓′(𝑥) +

ℎ

2𝑓′′(𝜉) +

𝜖1 − 𝜖2ℎ

.

Vemos ahora que junto al error de truncamiento ℎ

2𝑓′′(𝜉) , tenemos ahora un

segundo término de error correspondiente al error de redondeo y

representación en un sistema de coma flotante (donde 𝜖1 𝑦 𝜖2 son los errores

de representación de 𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑦 𝑓(𝑥)), cuyo valor absoluto se incrementa al

disminuir h. Por otro lado si tomamos h demasiado grande para no incrementar 𝜖1−𝜖2

ℎ , es el valor absoluto de

ℎ

2𝑓′′(𝜉) el que se incrementa. Por ello en la

práctica se intenta equilibrar una cota de ambas fuentes de error. Para ello

dado que

|𝜖1−𝜖2

ℎ| ≤ 2

𝜖

ℎ, donde 𝜖 es la precisión de la máquina, y con frecuencia no se

conoce el tamaño de 𝑓′′ , se suele tomar

ℎ = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑥)√𝜖 ,

(lo del signo es para evitar cancelación numérica) pues en este caso

|ℎ

2𝑓′′(𝜉)| =

1

2𝑓′′(𝜉)√𝜖 , 𝑦 |

𝜖1 − 𝜖2ℎ

| ≤ 2√𝜖 ,

(ambos términos proporcionales a √𝜖 ). En la práctica, para evitar errores de

cancelación al sumar números de muy diferente magnitud, se toma

h = max(1, |𝑥|) 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑥)√𝜖 .

Para una función de m componentes y m variables, podemos aproximar

entonces cada una de las columnas de su Jacobiano 𝐽 = 𝐷𝑓(𝑥)

𝐽 = [𝜕𝑥1𝑓(𝑥),… , 𝜕𝑥𝑚𝑓(𝑥)]

Como 𝜕𝑥𝑘𝑓(𝑥) ≈𝑓(𝑥+𝛼𝑘ℎ𝑒𝑘)−𝑓(𝑥)

𝛼𝑘ℎ , k=1,…,m

donde e1,…,em son los vectores coordenados de ℝm ,

40

𝛼𝑘 = 𝛿𝑘max (1, |𝑥𝑘|), k=1,…,m, y ℎ = √𝜖

Siendo 𝛿𝑘 = {𝑠𝑖𝑔(𝑥𝑘) 𝑥𝑘 ≠ 0 1 𝑥𝑘 = 0

Y 𝜖 una cota del error cometido en el cálculo de f.

41

4. Oscilador electrónico BVP

4.1. Obtención del sistema modelado del oscilador

electrónico

Para la aplicación de los resultados teóricos de los capítulos anteriores,

consideramos el oscilador electrónico de Bonhoeffer-Van der Pol, que consta

de dos condensadores (C1 y C2 de igual capacitancia C), una inductancia (L),

una resistencia (r) y una conductancia no lineal (g), como se muestra en la

siguiente figura.

Imagen 4. 1 Oscilador electrónico Bonhoeffer-Van der Pol

La dinámica del oscilador viene definida por las siguientes ecuaciones diferenciales :

𝐶1𝑑𝑣1

𝑑𝑡= −𝑖 − 𝑔(𝑣1), 𝐶2

𝑑𝑣2

𝑑𝑡= −𝑖 −

𝑣2

𝑟, 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝑣1 − 𝑣2.

donde 𝑣1 y 𝑣2 son las tensiones referidas a los condensadores 𝐶1 y 𝐶2, i es la

corriente que circula por la inductancia L. La característica tensión-corriente v − i del elemento no lineal resistivo se puede escribir como: g(v) = −av−b sat(cv), donde a, b, c > 0. Realizando diversas operaciones, se llega a su forma normalizada:

{�̇� = −𝑧 + 𝛼𝑥 + 𝑠𝑎𝑡(𝛽𝑥)

�̇� = 𝑧 − 𝛾𝑦�̇� = 𝑥 − 𝑦

.

Donde el punto representa la derivada respecto del nuevo tiempo 𝜏

42

𝜏 =1

𝐿𝐶𝑡, 𝛼 = 𝑎

√𝐿

𝐶, 𝛽 = 𝑏𝑐

√𝐿

𝐶, 𝛾 =

1

𝑟√𝐿

𝐶,

𝑥 =𝑣1

𝑏√𝐶

𝐿, 𝑦 =

𝑣2

𝑏√𝐶

𝐿, 𝑧 =

𝑖

𝑏.

Haciendo el cambio de variables 𝛽𝑥 = 𝑋 obtenemos el sistema en la forma de Luré :

�̇� = (

𝛼 0 −𝛽0 −𝛾 11/𝛽 −1 0

)𝑥 + (𝛽00)𝑠𝑎𝑡(𝑒1

𝑇𝑥).

Renombrando X a x, por simplicidad en la anotación y aplicando un cambio lineal de las variables dado por la matriz P:

𝑃 = 1/𝛽 (

𝛽 0 0

𝛾2 − 1 𝛾 1𝛾 1 0

).

Se puede escribir el sistema en la forma de Liénard:

�̇� = (𝛼 − 𝛾 −1 02 − 𝛼𝛾 0 −1𝛼 − 𝛾 0 0

)𝑥 + (

𝛽−𝛽𝛾𝛽) 𝑠𝑎𝑡(𝑥).

Donde los invariantes de las matrices de las distintas zonas T, M, D, t, m, d quedan definidos con:

𝑇 = 𝛼 + 𝛽 − 𝛾, 𝑡 = 𝛼 − 𝛾, 𝑀 = 2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽), 𝑚 = 2 − 𝛼𝛾, 𝐷 = 𝛼 + 𝛽 − 𝛾, 𝑑 = 𝛼 − 𝛾. Se observa que T y D son iguales, lo cual hace necesario añadir una ecuación extra para los autovalores. Teniendo en cuenta la estructura de T y D se debe

imponer para los valores de 휀 : 𝑇(휀) − 𝐷(휀) = 𝜆0(1 − 𝜔0

2) + (𝜆1 − 𝜆1𝜔02 + 2𝜎1 − 2𝜆0𝜔1𝜔0)휀 + 𝑂(휀

2) = 0.

Tomamos 𝛾(휀) como único parámetro de bifurcación, dejando fijos 𝛼 y

𝛽. Nótese que esta elección es la más realista pues equivale a variar r en el

circuito, lo que se puede hacer fácilmente con un potenciómetro (resistencia variable). Con los invariantes definidos, podemos escribir las ecuaciones de cierre descritas en el capítulo 2 en función de los parámetros del circuito, para así aplicar el método de continuación y trazar diferentes curvas

43

4.2. Estudio de equilibrios (estabilidad)

4.2.1. Análisis de órbitas periódicas

Proposición (Puntos de equilibrio)

El sistema �̇� = {

𝐴𝑅𝑥 − 𝑏, 𝑥1 < −1,

𝐴𝐶𝑥, | 𝑥1| ≤ −1,𝐴𝑅𝑥 + 𝑏, 𝑥1 > 1,

tiene

Un punto de equilibrio en el origen si det(𝐴𝐶) ≠ 0 y

det(𝐴𝐶)det(𝐴𝑅) ≥ 0. Tres equilibrios (el origen y un par de puntos simétricos) si

det(𝐴𝐶)det(𝐴𝑅) < 0. Si det(𝐴𝐶) = 0, entonces existe un segmento hecho de

equilibrios en la zona C. Además,

- Si det(𝐴𝑅) = 0, hay un par de semirrectas simétricas de

equilibrios en la zona L y R.

- Si det(𝐴𝑅) ≠ 0, no hay más puntos de equilibrio en la zona L

y R.

El origen siempre es equilibrio del sistema.

Escribimos los invariantes de la matriz 𝐴𝑅 de la siguiente forma:

𝑇(휀) = 휀(2𝜌 − 1),

𝑀(휀) = 𝜌휀2(𝜌 − 2) + 𝜔2,

𝐷(휀) = −휀[𝜌2 +𝜔2].

Donde los autovalores son del tipo 𝜆 = −휀 para el autovalor real y 𝜌휀 ±𝜔𝑖

para el par complejo imaginario, donde 휀 es un parámetro de bifurcación.

Proposición:

Para el sistema descrito de la forma �̇� = {

𝐴𝑅𝑥 − 𝑏, 𝑥1 < −1,

𝐴𝐶𝑥, | 𝑥1| ≤ −1,𝐴𝑅𝑥 + 𝑏, 𝑥1 > 1,

con

𝜌 ≠ 0 𝑦 𝜔 > 0 se dan las siguientes afirmaciones:

(a) Si 𝑑휀 < 0 el único punto de equilibrio es el origen.

44

(b) Si 𝑑휀 > 0 entonces los equilibrios del sistema son el origen y los dos

puntos:

𝑥𝜀+ =

(

1 −𝐷(휀)

𝑑

𝑇(휀) − 𝑡𝐷(휀)

𝑑

𝑀(휀) − 𝑚𝐷(휀)

𝑑 )

, 𝑥𝜀− = − 𝑥𝜀

+

(c) Si 휀 = 0 entonces todos los puntos del segmento

{𝜇[1,0, 𝜔2]𝑇 𝑐𝑜𝑛 |𝜇| ≤ 1} son equilibrios del sistema con los

siguientes subcasos:

(c1) Si d=0 entonces los puntos de las dos semirrectas

𝑥(𝜇) = 𝜇 [1𝑡𝑚] +

𝜇

|𝜇|[

0𝑇(0) − 𝑡𝑀(0) − 𝑚

] , 𝑐𝑜𝑛 |𝜇| > 1, son puntos de equilibrio

del sistema.

(c2) Si 𝑑 ≠ 0 entonces el sistema no tiene puntos de equilibrio para |𝑥| > 1.

Imagen 4. 2 (Pitchfork degenerada de equilibrios correspondiente al caso d>0 de la proposición anterior)

45

4.2.2. Estabilidad del origen

El origen es estable si se cumplen las condiciones de Hurwitz, esto significa

que se tienen que dar los siguientes resultados:

{𝑇 < 0𝐷 < 0

𝑀𝑇 − 𝐷 < 0.

Sustituyendo los valores de T, M y D en función de los parámetros del circuito,

nos quedan las siguientes condiciones:

𝑇 = 𝛼 + 𝛽 − 𝛾 = 𝐷, 𝑀 = 2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽).

De la primera expresión 𝑇 = 𝐷 < 0 sacamos la 1 condición:

𝛼 + 𝛽 − 𝛾 < 0 − −→ 𝛼 + 𝛽 < 𝛾.

De la tercera condición 𝑀𝑇 − 𝐷 < 0 obtenemos lo siguiente:

[2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽)](𝛼 + 𝛽 − 𝛾) − 𝛼 + 𝛽 − 𝛾 < 0.

Que sacando factor común y operando llegamos a la expresión

(𝛼 + 𝛽 − 𝛾)[1 − 𝛾(𝛼 + 𝛽)] < 0.

Por un lado, el término (𝛼 + 𝛽 − 𝛾) debe de ser negativo, con lo que el otro

término [1 − 𝛾(𝛼 + 𝛽)] debe ser positivo para que el producto sea negativo y

cumpla así la condición 𝑀𝑇 − 𝐷 < 0.

Con lo cual, desarrollando la condición [1 − 𝛾(𝛼 + 𝛽)] > 0, obtenemos la

siguiente curva :

1 − 𝛾(𝛼 + 𝛽) > 0 − − −−→ 𝛾 <1

𝛼 + 𝛽 .

Uniendo ambas condiciones y representándolas, nos sale la siguiente gráfica

donde el área sombreada pertenece a la zona de estabilidad en el origen.

46

Imagen 4. 3 Área sombreada corresponde a la zona de estabilidad en el origen

4.2.3. Estabilidad de los equilibrios no triviales

Para este apartado, se estudia de forma análoga al anterior el equilibrio en las

zonas externas, es decir para la matriz 𝐴𝑅. Para ello aplicamos las condiciones

de Hurwitz de la siguiente manera:

{𝑡 < 0𝑑 < 0

𝑚𝑡 − 𝑑 < 0.

Como sabemos, para nuestro oscilador 𝑡 = 𝑑 = 𝛼 − 𝛾, como esta expresión

debe ser negativa, nos queda la primera condición en el plano (𝛼,𝛾)

𝛼 < 𝛾.

De la tercera ecuación, 𝑚𝑡 − 𝑑 < 0 sustituyendo los valores de los

invariantes, obtenemos la siguiente expresión:

(2 − 𝛼𝛾)(𝛼− 𝛾)− (𝛼− 𝛾) < 0.

Que sacando factor común (𝛼 − 𝛾) nos queda:

(𝛼 − 𝛾)(2 − 𝛼𝛾 − 1) < 0.

47

Como (𝛼− 𝛾) debe ser negativo debido a la primera condición, esto significa

que para que el total de la expresión sea negativo, el segundo término debe ser

positivo o dicho matemáticamente:

(2 − 𝛼𝛾 − 1) > 0 − −−→ (1 − 𝛼𝛾) > 0.

Que despejando 𝛾 nos lleva a la condición 𝛾 <1

𝛼.

Resumiendo, nos quedan las siguientes condiciones para la estabilidad de los

equilibrios no triviales:

𝛾 <1

𝛼, 𝛾 > 𝛼.

Que a continuación se representa en una misma gráfica y sombreado:

Imagen 4. 4 Área sombreada representa la estabilidad de los equilibrios no triviales

4.2.4. Existencia de los equilibrios no triviales

A continuación, vamos a buscar la zona correspondiente a tres equilibrios, esto

quiere decir que se debe dar la condición det(𝐴𝐶) det(𝐴𝐿) < 0, o lo que es lo

mismo dD < 0.

Si desarrollamos esta inecuación sustituyendo los invariantes por parámetros

del oscilador, obtenemos la siguiente inecuación:

48

(𝛼+𝛽− 𝛾)(𝛼− 𝛾) < 0

Para que esta inecuación se cumpla, tenemos dos opciones:

La primera opción sería que el primer término de la ecuación sea positivo con

lo cual el segundo debería ser negativo, mientras que la segunda opción sería

al contrario, es decir, que el primer término fuera negativo mientras que el

segundo sea positivo. Matemáticamente se escribe de la siguiente manera:

a) (𝛼+𝛽− 𝛾) > 0, (𝛼− 𝛾) < 0.

Estas dos condiciones implican 𝛼 < 𝛾 < 𝛼 + 𝛽. b) (𝛼+𝛽− 𝛾) < 0, (𝛼− 𝛾) > 0.

Para este caso vemos que 𝛼 > 𝛾, y a su vez (𝛼+𝛽) < 𝛾 lo que es

imposible ya que 𝛽 > 0. Dicho esto descartamos esta opción y nos

quedamos con las condiciones dadas en la opción a).

Reescribiendo todo lo deducido anteriormente, quedan las siguientes

expresiones:

𝛾 < 𝛼 + 𝛽, 𝛾 > 𝛼.

Representando dichas condiciones y escribiendo los equilibrios en cada caso,

se obtiene la siguiente imagen 4.5.

Imagen 4. 5 Zonas de existencia de equilibrios

49

Los tres equilibrios tienen la expresión estudiada en el apartado anterior (4.2.2),

que son de la forma:

𝑥𝜀+ =

(

1 −𝐷(휀)

𝑑

𝑇(휀) − 𝑡𝐷(휀)

𝑑

𝑀(휀) − 𝑚𝐷(휀)

𝑑 )

, 𝑥𝜀− = − 𝑥𝜀

+.

Que corresponde a dos equilibrios y el tercero sería el origen.

Como se ha visto en la proposición Puntos de equilibrio, hay una bifurcación

Pitchfork degenerada de equilibrios sobre la recta 𝛾 = 𝛼 + 𝛽 donde se pasa

de 1 a 3 equilibrios al disminuir el valor de 𝛾. Sobre la recta 𝛾 = 𝛼 se produce

la misma bifurcación pero en sentido creciente de 𝛾.

Para este oscilador, los puntos de equilibrio se calculan sustituyendo el valor de

los invariantes y operando, llegando a la siguiente expresión:

𝑥𝜀+ =

(

𝛽

𝛼 − 𝛾0

𝛽(2 − 𝛾2)

𝛼 − 𝛾 )

, 𝑥𝜀

− = − 𝑥𝜀+.

4.3. Estudio básico de bifurcaciones

En este apartado, estudiamos las condiciones básicas de varias bifurcaciones

del sistema en el plano (𝛼,𝛾). Para ello utilizaremos las propiedades que

deben cumplir las matrices 𝐴𝐶 𝑦 𝐴𝑅 para que se den las distintas curvas de

bifurcación, (Hopf del infinito, FCCL, Hopf Zero del origen y Hopf zero del

infinito).

FCCL (Foco Centro Ciclo Límite asociada al origen):

Para este caso, analizaremos la matriz = (𝑇 −1 0𝑀 0 −1𝐷 0 0

) donde se debe dar

la condición T=D/M, con M>0 ver Teorema 1.1 de [8], para que 𝐴𝐶 tenga un

50

autovalor real 𝜆 y dos complejos conjugados y 𝜎 ± 𝑖𝑤 que cruzan el eje

imaginario para el valor crítico de la bifurcación.

Los valores de T, M y D están descritos en el apartado anterior según los

parámetros del circuito, con lo cual haciendo uso de la condición T=D/M

obtenemos la siguiente ecuación:

𝛼 + 𝛽 − 𝛾 =𝛼 + 𝛽 − 𝛾

2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽) ,

que despejando el denominador y simplificando los numeradores en cada lado de la igualdad obtenemos la siguiente expresión:

2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽) = 1 − − −−−−→ 𝛾 =1

(𝛼 + 𝛽).

Para la condición M>0, se obtiene la siguiente ecuación:

2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽) > 0 − − −−−→ 𝛾 <2

(𝛼 + 𝛽).

Esta condición se cumple trivialmente cuando se cumple la primera.

Además, el coeficiente de no degeneración, ver Teorema 1.1 de [8],

𝛿 = 𝐷(𝑀 −𝑚) +𝑀(𝑑 −𝑀𝑡) = (𝛼 + 𝛽 − 𝛾)(−𝛽𝛾) + (2 − 𝛾(𝛼 +

𝛽))(𝛼 − 𝛾 − [2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽)](𝛼 − 𝛾)), es distinto de cero sobre toda la

curva de bifurcación 𝛾 =1

(𝛼+𝛽) exceptuando el punto 𝛼 = 1 − 𝛽, 𝛾 = 1.

Por otro lado, dicho Teorema 1.1 establece que el Ciclo límite existe para

𝛿 (𝑇 −𝐷

𝑀) > 0 condición que numéricamente se ha comprobado que se

verifica para valores de 𝛾 por encima de la curva 𝛾 =1

(𝛼+𝛽), para 𝛼 ≠ 1 − 𝛽.

Representando sobre la gráfica dichos puntos, se obtiene el siguiente

esquema:

51

Imagen 4. 6 Curva bifurcación FCCL y ciclos límites existentes en sus cercanías

Donde los puntos marcados como “1” indica que existe un ciclo límite y “0” que

no hay ciclos límites, como se explica en el teorema anteriormente citado.

𝛿 (𝑇 −𝐷

𝑀) > 0 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1 𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒,

𝛿 (𝑇 −𝐷

𝑀) < 0 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒.

Hopf del infinito:

La bifurcación Hopf en el infinito, aparece asociado al cruce de un par de

autovalores complejos conjugados de la matriz de las zonas externas a través

del eje imaginario del plano complejo.

Para este caso, analizaremos la matriz 𝐴𝑅 = (𝑡 −1 0𝑚 0 −1𝑑 0 0

) donde se debe

dar la condición t=d/m, con m>0 según las hipótesis del Teorema 5.10 de [4].

Para que el sistema tenga un autovalor real 𝜆 y dos complejos conjugados 𝜎 ±

𝑖𝑤 que cruzan el eje imaginario para el valor crítico de la bifurcación.

52

Los valores de t, m y d están descritos en el apartado anterior según los

parámetros del circuito, con lo cual haciendo uso de la condición t=d/m

obtenemos la siguiente ecuación:

𝛼 − 𝛾 =𝛼 − 𝛾

2 − 𝛾𝛼 ,

que despejando el denominador y simplificando los numeradores en cada lado de la igualdad obtenemos la siguiente expresión:

2 − 𝛾𝛼 = 1 − −−−− −→ 𝛾 =1

𝛼.

Para la condición m>0, se obtiene la siguiente ecuación:

2 − 𝛾𝛼 > 0 − −−−→ 𝛾 <2

𝛼.

Esta condición se cumple trivialmente cuando se cumple la primera.

Además, el coeficiente de no degeneración, ver teorema 1 de [7],

𝛿 = 𝑑(𝑚 −𝑀) +𝑚(𝐷 −𝑚𝑇) = (𝛼 − 𝛾)(𝛽𝛾) + (2 − 𝛾𝛼)(𝛼 + 𝛽 − 𝛾 −

−[2 − 𝛼𝛾](𝛼 + 𝛽 − 𝛾)), es distinto de cero sobre toda la curva de

bifurcación 𝛾 =1

𝛼 exceptuando el punto 𝛼 = 1, 𝛾 = 1.

Por otro lado, dicho teorema 1 establece que el Ciclo límite existe para

𝛿 (𝑡 −𝑑

𝑚) > 0 condición que numéricamente se ha comprobado que se

verifica para valores de 𝛾 por debajo de la curva 𝛾 =1

𝛼, para 𝛼 ≠ 1.

Representando sobre la gráfica dichos puntos, se obtiene el siguiente

esquema:

53

Imagen 4. 7 Curva Hopf del infinito y existencia de ciclos límites en sus cercanías

Donde los puntos marcados como “1” indica que existe un ciclo límite y “0” que

no hay ciclos límites, como se explica en el teorema anteriormente citado.

𝛿 (𝑡 −𝑑

𝑚) > 0 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1 𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒,

𝛿 (𝑡 −𝑑

𝑚) < 0 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒.

Hopf zero del origen:

Para este caso, analizaremos la matriz 𝐴𝐶 = (𝑇 −1 0𝑀 0 −1𝐷 0 0

) que está

asociada a la zona central.

Para estudiar esta bifurcación consideramos la siguiente estructura de

autovalores para 𝐴𝐶 , siguiendo la hipótesis de [2].

𝜆 = −휀 para el autovalor real y 𝜌휀 ±𝜔𝑖 para el par complejo imaginario,

donde 휀 es un parámetro de bifurcación. Los invariantes T,M y D de la matriz

𝐴𝐶 para esta estructura de autovalores resulta ser:

𝑇(휀) = 휀(2𝜌 − 1),

𝑀(휀) = 𝜌휀2(𝜌 − 2) + 𝜔2,

54

𝐷(휀) = −휀[𝜌2 +𝜔2].

Cuando el parámetro 휀 toma el valor 0, esto corresponde al cruce por el eje

imaginario de los tres autovalores, que implica que T=D=0 y M>0 para el valor

crítico de la bifurcación. Por tanto, para los parámetros del circuito se tendrá:

𝛼 + 𝛽 − 𝛾 = 0 − −−−−→ 𝛾 = 𝛼 + 𝛽,

2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽) > 0 − − −−−→ 𝛾 <2

(𝛼 + 𝛽) .

Combinándolas se obtiene: 𝛾 = 𝛼 + 𝛽 < √2.

Hopf zero del infinito:

Para este caso, analizaremos la matriz 𝐴𝑅 = (𝑡 −1 0𝑚 0 −1𝑑 0 0

) donde se debe

dar la condición t=d=0 y m>0, por analogía al caso anterior.

Los valores de t, m y d están descritos en el apartado anterior según los

parámetros del circuito, con lo cual haciendo uso de la condición obtenemos la

siguiente ecuación:

𝛼 − 𝛾 =𝛼 − 𝛾

2 − 𝛾𝛼 .

Que despejando el denominador y simplificando los numeradores en cada lado de la igualdad obtenemos la siguiente expresión:

𝛼 − 𝛾 = 0 − −−−−→ 𝛾 = 𝛼

2 − 𝛼𝛾 > 0 − −− −−→ 𝛾 <2

𝛼 .

Que combinándolas proporciona: 𝛾 = 𝛼 < √2.

55

Triple zero del origen:

Para este caso, imponemos la condición de que los tres autovalores de 𝐴𝐶

pasen por el origen del plano complejo para el valor crítico de la bifurcación, lo

que implica, que los invariantes de la matriz 𝐴𝐶 = (𝑇 −1 0𝑀 0 −1𝐷 0 0

) sean igual

a 0, es decir T=M=D=0. Utilizando las ecuaciones de T, M y D según los

parámetros del sistema obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{

𝛼 + 𝛽 − 𝛾 = 0

2 − 𝛾(𝛼 + 𝛽) = 0𝛼 + 𝛽 − 𝛾 = 0 .

Despejando 𝛼 + 𝛽 = 𝛾 de la primera ecuación y sustituyéndola en la 2

ecuación, obtenemos: 𝛾 = √2 , (obviamos el valor negativo de 𝛾).

Para dicho valor 𝛾 = √2 obtenemos el valor 𝛼 = √2 − 𝛽 , donde 𝛽 en

nuestro caso particular toma el valor 0.2. Con todo esto, el punto triple zero del

origen situado en nuestro diagrama (𝛼,𝛾) se coloca en la coordenada

(√2−𝛽,√2). Es interesante representar la curva auxiliar que sale de la segunda ecuación

del sistema 𝛾 =2

(𝛼+𝛽), para el posterior análisis de las curvas Silla-Nodo.

Las bifurcaciones descritas anteriormente, se ilustran en la siguiente gráfica

Imagen 4. 8 Curvas de bifurcación para 𝜷 = 𝟎. 𝟐 y curva auxiliar.

56

Donde se ha tomado un rango de valores para 𝛼 𝑦 𝛾 igual a [0,2] y un 𝛽 fijo

que es igual a 0,2 para todos los cálculos.

Triple zero de los equilibrios no triviales:

Para este caso, analizaremos la matriz 𝐴𝑅 = (𝑡 −1 0𝑚 0 −1𝑑 0 0

) donde se debe

dar la condición t=d=m=0, por analogía al caso anterior.

Utilizando las expresiones de t, m y d en función de los parámetros del circuito

e igualándolas a cero se obtienen las siguientes expresiones:

𝛼 − 𝛾 = 0 − −−−−→ 𝛾 = 𝛼

2 − 𝛼𝛾 = 0 − −−−−→ 𝛾 =2

𝛼.

Igualando ambas expresiones, obtenemos la solución 𝛼 = √2, 𝛾 = √2 que

corresponde al corte de ambas curvas. Para el posterior análisis de las curvas

Silla-Nodo representamos también la curva auxiliar 𝛾 =2

𝛼. Con ello queda

determinado el diagrama de bifurcaciones de la siguiente manera:

Imagen 4. 9 Curvas de bifurcación y curvas auxiliares

57

4.4. Análisis de las bifurcaciones

Con el estudio realizado en el apartado 4.2 y en el apartado 4.3 pasamos a

analizar con más detalle la bifurcación Foco Centro Ciclo Límite y Hopf zero del

origen del oscilador la Bonhoeffer-Van der Pol, utilizando resultados teóricos

conocidos de [1].

Concretamente partiendo de la proposición 3 que estudia este mismo oscilador,

vamos a determinar las zonas que poseen ciclos límites.

Considerando el sistema

�̇� = (𝛼 − 𝛾 −1 02 − 𝛼𝛾 0 −1𝛼 − 𝛾 0 0

)𝑥 + (

𝛽−𝛽𝛾𝛽) 𝑠𝑎𝑡(𝑥).

Con 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 𝑦 𝛾0 =1

𝛼+𝛽 fijo, se tiene:

a) Para 𝛾 = 𝛾0, se produce una bifurcación Foco Centro Ciclo Límite.

b) Para 𝛾 > 𝛾0 y suficientemente pequeño aparece un ciclo límite. En

particular si 𝛼 + 𝛽 < 1, entonces 𝛾0 > 1 y el ciclo límite que bifurca es

asintóticamente estable.

Imagen 4. 10 Ciclos límites bifurcantes correspondientes a la bifurcación FCCL y puntos de equilibrio del sistema.

De la Proposición 4 se obtienen las siguientes afirmaciones:

58

Considerando el sistema

�̇� = (𝛼 − 𝛾 −1 02 − 𝛼𝛾 0 −1𝛼 − 𝛾 0 0

)𝑥 + (

𝛽−𝛽𝛾𝛽) 𝑠𝑎𝑡(𝑥).

Con 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 𝑦 1 ≠ 𝛾0 = 𝛼 + 𝛽 < √2 y fijo, se tiene:

a) Para 𝛾 > 𝛾0, el origen es el único equilibrio del sistema. Además si

𝛾𝛾0 < 1, el origen es asintóticamente estable.

b) Para 𝛾 = 0, el sistema experimenta una bifurcación propia de los

sistemas lineales a trozos de los sistemas diferenciables, análoga a la bifurcación Hopf-zero.

c) Para 𝛾 < 𝛾0 y suficientemente pequeño en valor absoluto, aparecen

tres ciclos límites simultáneamente (uno de ellos es trizonal y otros dos son bizonales) acompañados conjuntamente de dos puntos de equilibrio adicionales.

Además, Si 𝛾0 < 1, el ciclo límite producido por la bifurcación trizonal

es estable mientras el ciclo límite de la bifurcación bizonal sea inestable.

Si (1 < 𝛾0 < √2), el ciclo límite producido por la bifurcación trizonal es

inestable mientras el ciclo límite de la bifurcación bizonal es estable. Los puntos de equilibrio que bifurcan serán estables para el primer caso

(𝛾0 < 1) siempre y cuando 𝛾0 < 1. Para el segundo caso

(1 < 𝛾0 < √2) los puntos de equilibrio serán estables siempre y

cuando 𝛾0 <1

𝛼.

Imagen 4. 11 Ciclos límites correspondientes a las bifurcaciones FCCL, Hopf del infinito, Hopf Zero del origen, Hopf Zerp del Infinito y puntos de equilibrio.

59

Nota: En la figura superior, el número 3,1 ó 0 indica el número de ciclos límites que tiene lugar en la región debido a las citadas bifurcaciones, mientras que la indicación 1 eq ó 3 eq se refiere al número de puntos de equilibrios existentes. Las flechas indican el sentido de la generación de ciclos límite.

En la siguiente figura se muestra la superficie 𝛾 =1

(𝛼+𝛽) donde tiene lugar la

bifurcación FCCL (Foco Centro Ciclo Límite) y el plano 𝛾 = (𝛼 + 𝛽) donde se

da la bifurcación Hopf-zero del origen. La línea roja representa

𝛾 = (𝛼 + 𝛽) = √2 donde 𝑇 = 𝑀 = 𝐷 = 0 que representa la bifurcación

triple-zero

Imagen 4. 12 Bifurcaciones FCCL ,Hopf zero del origen y esquema tridimensional de triple zero (rojo)

4.5. Continuación de curvas de bifurcación

En este apartado explicaremos cómo se detectan curvas de bifurcación y

desarrollaremos los resultados obtenidos en los siguientes subapartados.

Las curvas de bifurcación se buscarán basándonos en la teoría expuesta en el

apartado 2.4 Condiciones simples de bifurcación, y que para sistemas lineales

a trozos los multiplicadores de un ciclo límite de dos zonas están incluidos

entre los autovalores del producto de matrices 𝑀 = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐 × 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅 ver Prop. 3

de [7], mientras que para ciclos límites simétricos de tres zonas están incluidos

entre los autovalores de 𝑀 = 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐 × 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅 × 𝑒𝐴𝑐𝜏𝑐 × 𝑒𝐴𝑅𝜏𝑅 ver Prop. 3.2

de [8]. Uno de los autovalores de M vale siempre 1 mientras los otros dos

autovalores son los multiplicadores característicos del ciclo límite. Sean los

autovalores (𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) los autovalores de M, la ecuación correspondiente a

cada bifurcación a continuar que hay que añadir a las ecuaciones de cierre es

la siguiente:

60

Bifurcación Silla-Nodo: En este caso los autovalores de M toman el valor

(𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) = (1,1, 𝜆3).

El determinante y la traza del producto de las exponenciales se describen de la

siguiente forma:

det(M) = 𝜆1𝜆2𝜆3 = 𝜆3,

traza(M) = 𝜆1+ 𝜆2 + 𝜆3 = 2 + 𝜆3.

Así pues, tenemos que la ecuación que debe cumplirse para que esta

bifurcación se produzca viene determinada por:

det(𝑀) − 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑀) + 2 = 0.

Bifurcación Duplicación de periodo: En este caso los autovalores de M

toman el valor (𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) = (1,−1, 𝜆3).

El determinante y la traza del producto de las exponenciales se describen de la

siguiente forma:

det(M) = 𝜆1𝜆2𝜆3 = −𝜆3,

traza(M) = 𝜆1+ 𝜆2 + 𝜆3 = 𝜆3.

Así pues, tenemos que la ecuación que debe cumplirse para que esta

bifurcación se produzca viene determinada por:

det(𝑀) − 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑀) = 0.

Bifurcación Toro: En este caso los autovalores de M toman el valor

(𝜆1, 𝜆2, 𝜆3) = (1, 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 − 𝑏𝑖). Donde a2+b2=12=1 ya que este par

complejo se encuentra sobre del círculo unidad.

El determinante del producto de las exponenciales se describe de la siguiente

forma:

det(M) = 𝜆1𝜆2𝜆3 = 𝑎2 + 𝑏2,

Aplicando el remark 13 de [2], tenemos que la ecuación que debe cumplirse

para que esta bifurcación se produzca viene determinada por:

det(𝑀) − 1 = 0.

Además de comprobar que |𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑀) − 1| < 2.

Existen condiciones adicionales que deben cumplir las soluciones de las

ecuaciones de cierre para verificar que realmente corresponden a ciclos límite

61

del sistema dinámico. El algoritmo utilizado para su detección y posterior

continuación de las curvas de bifurcación sería el siguiente.

Primero partimos de un punto perteneciente a un ciclo límite y deseamos

continuarlo moviendo sólo el parámetro 𝛾 manteniendo 𝛼 constante, es decir

movernos de manera vertical sobre el plano (𝛼,𝛾). Para ello utilizamos el método de pseudo longitud de arco descrito en el apartado 3.3, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

1. Los tiempos de vuelo deben ser positivos, es decir, 𝜏1 = 𝜏𝐶 > 0,

𝜏2 = 𝜏𝑅 > 0.

2. El Jacobiano no debe cambiar de signo.

3. Las órbitas periódicas bizonales no pueden invadir la tercera zona,

es decir, para la órbita de dos zonas que atraviesa la frontera x=1 se

debe cumplir −1 < 𝑥(𝜏), para 𝜏 correspondiente entre 0 y el tiempo

de vuelo 𝜏𝐶 . 4. La trayectoria del ciclo límite debe recorrerse en sentido positivo, es

decir, para la órbita que partiendo de la zona central alcanza la

frontera x=1 debe cumplirse que �̇�|𝑥=1 > 0. Teniendo en cuenta

que �̇� = (𝑇 −1 0𝑀 0 −1𝐷 0 0

)(xyz) = (

Tx − y……

), y sustituyendo para

x=1 nos queda la condición �̇�|𝑥=1 = 𝑇 − y0 > 0.

5. Control del producto M. Esta condición comprueba si los autovalores

distintos de 1 están dentro o fuera del círculo unidad y cuándo lo

cruzan.

Matemáticamente, para que los multiplicadores estén dentro del

círculo unidad, ver remark 13 de [2], se debe cumplir que:

|det(𝑀)| < 1 𝑦 |𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑀) − 1| < 1 + det(𝑀). En el momento en que los autovalores cruzan el círculo unidad, la

continuación se para y se analiza el valor de dichos autovalores. En

función de dicho valor, se clasifica según el criterio ya explicado en el

apartado 2.4 en una curva de bifurcación u otra. Con esta

información, se añadirá una ecuación más de cierre al sistema que

es la que determinará la curva de bifurcación buscada y se

continuará partiendo del punto en que el autovalor sale del círculo

unidad mediante el método de pseudo longitud de arco.

62

4.5.1. Curvas Silla-Nodo de ciclos límite

trizonales

Para el cálculo de estas curvas, utilizamos el algoritmo de detección de curvas

de bifurcación descrito en el apartado 4.5, pero teniendo en cuenta que

estamos buscando ciclos límites trizonales, la condición 3 no se tiene en

cuenta. La zona en la que decidimos estudiar las posibles curvas de bifurcación

fueron las siguientes:

1. Para un valor de 𝛼 = 0,9, y 𝛾 ligeramente por debajo de la curva 𝛾 =

𝛼 + 𝛽. En esta zona se continuará un ciclo límite de tres zonas que ha

sido generado por la bifurcación Hopf zero que se produce sobre la recta

𝛾 = 𝛼 + 𝛽. Una vez situados en dicho punto se empieza la

continuación del ciclo límite en el eje vertical dejando fijo el valor de 𝛼, y

cuyo objetivo es detectar una curva de bifurcación. En este caso

detectamos un cambio de valor de los autovalores en el que un

autovalor cruza el círculo unidad por la parte positiva del eje real, es

decir estamos ante una bifurcación Silla-Nodo correspondiente a la nariz

de la curva de continuación (ver imagen 4.13). Si representamos el ciclo

límite continuado hacia la derecha y hacia la izquierda, obtenemos la

siguiente gráfica:

Imagen 4. 13 Continuación de ciclo límite trizonal

63

Los ejes de la gráfica son 𝛾 el eje horizontal y 𝜏𝑅 el eje vertical.

Con esta información, añadimos la ecuación de curva Silla-Nodo a las ecuaciones de cierre del sistema y continuamos desde el punto de detección de la gráfica tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, utilizando el método de pseudo longitud de arco de Keller y obtenemos el siguiente resultado:

Imagen 4. 14 Continuación curva bifurcación Silla-Nodo

Que representándola junto a las demás obtenemos el siguiente esquema:

Imagen 4. 15 Diagrama de bifurcaciones

64

2. El siguiente ciclo límite que estudiamos, fue partiendo de un punto

cercano a la degeneración triple zero, en este caso fue para :

(𝛼, 𝛾) = (√2 − 𝛽, √2). Que nos dio la siguiente curva:

Imagen 4. 16 Continuación ciclo límite

Nuevamente estamos representando el ciclo límite, las variables 𝜏𝑅 frente a 𝛾.

Imagen 4. 17 Continuación ciclo límite

65

Y en esta segunda imagen 4.17, representamos el ciclo límite también, pero

ahora la variable 𝜏𝐶 frente a 𝛾.

Antes de representar la curva de bifurcación Silla-Nodo encontrada, analizamos

el ciclo límite para el valor x = [63.60, 0.156, -0.26, 5.913, 1.364] cuyas

posiciones significan x = [𝜏𝐶, z0, y0, 𝜏𝑅 , 𝛾], este punto corresponde al centro de

la espiral en la figura 4.16, lo representamos en (x, y, z) utilizando las

expresiones (3.2.1) y (3.2.2) (página 28), variando 𝜏 entre 0 y 𝜏𝐶 en (3.2.1) y

entre 0 y 𝜏𝑅 en (3.2.2). Obteniendo la siguiente imagen:

Imagen 4. 18 Simulación de ciclo límite en el punto citado

Con esta información se conjetura que el límite de la espiral de la curva de

continuación de la Imagen 4.16 es una órbita homoclina tipo Shilnikov. Estas

órbitas son trayectorias que parten de un punto de equilibrio Silla-foco, con

unos autovalores específicos, y vuelven a dicho punto después de un tiempo

infinito (esta evolución también se da a la inversa). Ya que están íntimamente

conectadas con la existencia de caos y la existencia de un número finito de

órbitas periódicas infinitas, es importante entender su bifurcación en el espacio

paramétrico. Estas órbitas homoclinas están conectadas a la dinámica caótica

de sistemas de diferentes áreas, como caos químico, intermitencia de las

arterias de los conejos, fenómeno del ruido inducido y osciladores

electroquímicos.

La existencia de una órbita homoclina de Shilnikov implica la presencia de una

herradura de Smale en las cercanías de esta órbita, y por consiguiente, caos.

66

Para entender la evolución del ciclo límite, simulamos la órbita periódica para el

punto x = [11.826, .416e-1, -.116, 5.24, 1.39] cuyas posiciones significan x =

[𝜏𝐶, z0, y0, 𝜏𝑅 , 𝛾], este punto corresponde al extremo derecho de la espiral en

la figura 4.16. Ésta órbita evolucionará posteriormente al ciclo límite de la

Imagen 4.18 cercano a la órbita homoclina. Se obtiene la siguiente imagen:

Imagen 4. 19 Simulación de ciclo límite para curva de bifurcación Silla-Nodo.

Por otra parte, continuando el análisis de la curva Silla-nodo y añadiendo la

ecuación de Silla-Nodo al conjunto de ecuaciones de cierre, se obtuvo la

siguiente gráfica, representada en el plano (𝛼, 𝛾).

Imagen 4. 20 Continuación curva bifuración Silla-Nodo

67

Que representándola junto a las demás obtenemos el siguiente esquema:

Imagen 4. 21 Diagrama de bifurcaciones

3. Por último, se estudió un último ciclo límite para un valor de

(𝛼, 𝛾) = (0.9,1.028). A partir de este punto y realizando la

continuación hacia la derecha y hacia la izquierda se obtuvo el siguiente

ciclo límite en el plano (𝜏𝑅 , 𝛾).

Imagen 4. 22 Continuación ciclo límite

68

Añadiendo la ecuación de Silla-Nodo al conjunto de ecuaciones de cierre, se

obtuvo la siguiente gráfica, representada en el plano (𝛼, 𝛾).

Imagen 4. 23 Continuación curva de bifurcación Silla-Nodo

Que representándola sobre el conjunto de curvas de bifurcación del sistema

obtenemos el siguiente esquema:

Imagen 4. 24 Diagrama de bifurcaciones

69

Una vez obtenida la información de curvas de bifurcación Silla-Nodo trizonales,

podemos mejorar el análisis realizado respecto a la existencia de ciclos límites

en dicha zona. Partiendo de la imagen 4.11 y representando las curvas de

bifurcación obtenidas en este apartado, tenemos el siguiente esquema:

La zona que indica 3 ciclos límites, dos de ellos son bizonales como se explicó

en el apartado 4.4. El número “2” se refiere a dos ciclos límites trizonales, un

ciclo límite trizonal de esa zona de “3” y a otro generado por la bifurcación

FCCL o la bifurcación Hopf del infinito.

4.5.2. Curvas Silla-Nodo de ciclos límites

Bizonales

Para el cálculo de estas curvas, utilizamos el algoritmo de detección de curvas

de bifurcación descritos en el apartado 4.5. La zona en la que decidimos

estudiar las posibles curvas de bifurcación fue para un valor de 𝛼 = 0,9, y 𝛾

ligeramente por debajo de la curva 𝛾 = 𝛼 + 𝛽. En esta zona se continuará un

ciclo límite de dos zonas que ha sido generado por la bifurcación Hopf zero del

origen que se produce sobre la recta 𝛾 = 𝛼 + 𝛽. Una vez situados en dicho

punto se empieza la continuación del ciclo límite en el eje vertical dejando fijo el

70

valor de 𝛼, y cuyo objetivo es detectar una curva de bifurcación. En este caso

detectamos un cambio de valor de los autovalores en el que un autovalor cruza

el círculo unidad por la parte positiva, es decir estamos ante una bifurcación

Silla-Nodo coincidiendo con la nariz de la curva de continuación. Si

representamos el ciclo límite continuado hacia la derecha y hacia la izquierda,

obtenemos la siguiente gráfica:

Imagen 4. 25 Continuación ciclo límite

Los ejes de la gráfica son 𝛾 el eje horizontal y 𝜏𝑅 el eje vertical.

Con esta información, añadimos la ecuación de curva Silla-Nodo a las ecuaciones de cierre del sistema y continuamos desde el punto de detección de la gráfica tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, utilizando el método de pseudo longitud de arco de Keller y obtenemos el siguiente resultado:

71

Imagen 4. 26 Continuación curva bifurcación Silla-Nodo

Que representándola junto al resto de curvas de bifurcación obtenemos el siguiente esquema:

Imagen 4. 27 Diagrama de bifurcaciones

En esta imagen podemos observar que la curva Silla nodo de ciclos límites bizonales está ligeramente por encima de la curva Silla nodo de ciclos límites trizonales.

72

4.5.3. Curva Duplicación de duplicación de

Periodo

Imagen 4. 28 Simulación de ciclo límite en los ejes x,y,z

Para el cálculo de estas curvas, utilizamos la misma idea desarrollada para la

detección de curvas de bifurcación Silla-Nodo. La zona en la que decidimos

estudiar las posibles curvas de bifurcación fue para un valor de 𝛼 = 1,2, y 𝛾

ligeramente por debajo de la curva 𝛾 = 𝛼 + 𝛽. En esta zona se continuará un

ciclo límite de dos zonas que ha sido generado por la bifurcación Hopf zero que

se produce sobre la recta 𝛾 = 𝛼 + 𝛽. Una vez situados en dicho punto se

empieza la continuación del ciclo límite en el eje vertical dejando fijo el valor de

𝛼, y cuyo objetivo es detectar una curva de bifurcación. En este caso

detectamos un cambio de valor de los autovalores en el que un autovalor cruza

el círculo unidad por la parte negativa, para el valor 𝛾 = 1.399, es decir

estamos ante una bifurcación de Duplicación de Periodo. Si representamos el

ciclo límite continuado hacia la derecha y hacia la izquierda, obtenemos la

siguiente gráfica:

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Imagen 4. 29 Continuación ciclo límite

Los ejes de la gráfica son 𝛾 el eje horizontal y 𝜏𝑅 el eje vertical.

Con esta información, añadimos la ecuación de curva Duplicación de periodo a las ecuaciones de cierre del sistema y continuamos desde el punto de detección de la gráfica tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, utilizando el método de pseudo longitud de arco de Keller y obtenemos el siguiente resultado:

Imagen 4. 30 Continuación curva bifurcación de duplicación de periodo

74

Que añadiendo dicha curva al esquema general de bifurcaciones obtenemos el

siguiente esquema

Imagen 4. 31 Diagrama de bifurcaciones

Nótese que esta curva se da por finalizada en el algoritmo porque el ciclo límite

crece y pasa de pertenecer a dos zonas para pertenecer a tres zonas, cerca

del punto (𝛼, 𝛾) = (1.3, 1.32) , esto es debido posiblemente a la existencia

de otros ciclos límites en dicha región que interactúan con la curva de

bifurcación estudiada. Posiblemente esta curva muera en el punto triple zero de

los equilibrios no triviales, pero en este proyecto no se desarrollará dicha idea.

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4.5.4. Curva bifurcación Toro

Imagen 4. 32 Simulación de ciclo límite en los ejes x,y,z.

En este caso, la zona en la que decidimos estudiar las posibles curvas de

bifurcación fue para un valor de 𝛼 = 1,1, y 𝛾 ligeramente por debajo de la

curva 𝛾 = 𝛼 + 𝛽. En esta zona se continuará un ciclo límite de dos zonas que

ha sido generado por la bifurcación Hopf zero que se produce sobre la recta

𝛾 = 𝛼 + 𝛽. Una vez situados en dicho punto se empieza la continuación del

ciclo límite en el eje vertical dejando fijo el valor de 𝛼, y cuyo objetivo es

detectar una curva de bifurcación. En este caso detectamos un cambio de valor

de los autovalores, para 𝛾 = 1.20, en el que dos autovalores cruzan el círculo

unidad como se da en la bifurcación Toro. Si representamos el ciclo límite

continuado hacia la derecha y hacia la izquierda, obtenemos la siguiente

gráfica:

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Imagen 4. 33 Continuación ciclo límite

Los ejes de la gráfica son 𝛾 el eje horizontal y 𝜏𝑅 el eje vertical.

Con esta información, añadimos la ecuación de bifurcación Toro a las ecuaciones de cierre del sistema y continuamos desde el punto de detección de la gráfica tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, utilizando el método de pseudo longitud de arco de Keller y obtenemos el siguiente resultado:

Imagen 4. 34 Continuación de curva bifurcación Toro

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Que añadido al esquema general de bifurcaciones obtenemos la siguiente

gráfica:

Imagen 4. 35 Diagrama de bifurcaciones

Esta curva empieza saliendo de la curva de bifurcación Silla-Nodo de dos

zonas y la Hopf Zero del origen para terminar en la curva de Duplicación de

Periodo de dos zonas.

Haciendo zoom para ver las zonas de las curvas con más detalle, obtenemos la

imagen 4.35.

Como se puede observar, la dinámica del sistema muestra cómo van variando

los ciclos límites a medida que se varía el parámetro de bifurcación y van

adquiriendo la forma de las distintas curvas de bifurcación de manera

progresiva. Esto puede ayudarnos a entender la evolución de la dinámica del

sistema y con ello la estabilidad del circuito en según qué zonas queramos

trabajar. Éste análisis no comprende todas las posibles curvas de bifurcación

de dicha región y por ello es conveniente trabajar cerca de las zonas

analizadas para evitar posibles errores.

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Imagen 4. 36 Diagrama de bifurcaciones ampliado

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Bibliografía

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[2] Enrique Ponce, Javier Ros, Elísabet Vela. Unfolding the fold-Hopf bifurcation in piecewise linear continuous differential systems with symmetry. Physica D 250 (2013) 34-46. [3] Yuri A. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcation Theory,Second Edition. Springer [4] Tesis Javier Ros Padilla. Estudio del comportamiento dinámico de sistemas autónomos tridimensionales lineales a trozos (2003). [5] Tesis Miguel Roque Vásques. Análisis de inestabilidad de voltaje en

sistemas eléctricos de potencia (2008).

[6] PFC Carlos Vallet. Análisis de la dinámica de un oscilador electrónico tipo

Bonhoeffer-Van der Pol (2014).

[7] V. Carmona, E. Freire, E. Ponce, J. Ros, F. Torres, Limit cycle bifurcation in

3D continuous piecewise linear systems with two zones. Application to Chua’s

circuit, Internat. J. Bifur. Chaos, Vol 15 No.10 (2005) 3153-3164.

[8] E. Freire, E. Ponce, J. Ros, The focus-center-limit cycle bifurcation in symmetric 3D piecewise linear systems, SIAM J. Appl. Math. 65 (2005) 1933–1951. [9] Rene O.Medrano-T. Basic structures of the Shilnikov homoclinic bifurcation sceneario. Chaos 15, 033112 (2005).