INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTECálculo I

CONTINUIDADDocente: Carlos Andres Vélez

Decir que una función f es continua en x = c significa que su gráfica no sufre interrupción en c, que ni se rompe ni tiene saltos ni huecos.

La continuidad de una función en x = c se destruye por alguna de las siguientes causas:

➢ la función no esta definida en x = c.➢ El límite de f(x) en x = c no existe.➢ El límite de f(x) en x = c existe, pero no coincide con f(c).

Continuidad en un punto. Una función f se dice continua en c si se verifican las condiciones:

1. f(c) está definido.

2. lim f x xc

existe

3. lim f x = f cxc

Continuidad en un intervalo abierto. Una función f se dice continua en un intervalo (a,b) si lo es en todos los puntos de ese intervalo.

Se dice que f es discontinua en c si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás en c) y f no es continua en c. existen dos categorías de discontinuidad: evitables y no evitables. Se dice que una discontinuidad en x = c es evitable si f puede hacerse continua redefiniéndola en x = c.

La existencia de un límiteSi f es una función y c, L números reales, entonces:

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lim f x =Lxc

sí y solo si

lim f x = f cxc−

y lim f x = f cxc

Definición de continuidad en un intervalo cerradoSi f está definida en un intervalo cerrado [a,b], continua en (a,b) y

lim f x = f axa

y

lim f x = f bxb−

se dice que f es continua en [a,b].

Propiedades de las funciones continuasSi b es un número real y f, g continuas en x = c, también son continuas en c las funciones:

1. Múltiplo escalar: bf

2. Producto: fg

3. Suma y diferencia: f ± g

4. Cociente: fg

si g(c) ≠ 0

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Tabla de funciones continuasLas siguientes funciones son continuas en todo punto de su dominio:

1. Polinomios: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

2. Racionales: r(x) = p(x) / q(x), q(x) ≠ 0

3. Radicales : f x = n x4. Trigonométricas: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x

Continuidad de una función compuestaSi g es continua en c y f lo es en g(c), la función compuesta dada por f○g(x) = f(g(x)) es continua en c.

Teorema del valor intermedioSi f es continua en [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c entre a y b tal que f(c) = k.

Definición de límites infinitos

La afirmación lim f x =∞xc

significa que para cada M > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) > M siempre que 0 < |x-c| < δ.

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La afirmación lim f x =−∞xc

significa que para cada N <> 0 existe un δ > 0 tal que f(x) < N siempre que 0 < |x-c| < δ.

Asíntotas verticalesDefinición: Si f(x) tiende a + ∞ (o - ∞) cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha, diremos que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Sean f y g continuas en un intervalo abierto conteniendo a c. Si f(c) ≠ 0, g(c) = 0, y existe un intervalo abierto conteniendo a c tal que g(x) ≠ 0 para todo x ≠ c en el intervalo, entonces la gráfica de la función dada por

F x= f xg x

tiene una asíntota vertical en x = c.

Propiedades de los límites infinitosSi c, L son números reales y f, g son funciones tales que

lim f x =∞xc

y lim g x=Lxc

entonces las siguientes propiedades son válidas:

1. Suma o diferencia: lim [ f x±g x]=∞x c

2. producto: lim [ f x g x]=∞x c

, L > 0

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lim [ f x g x]=−∞x c

L < 0

3. Cociente: lim g xf x

=0x c

propiedades similares aplican si lim f x =−∞xc

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