Resumen—En este artículo se muestran los principios fundamentales del Controlador PID, los métodos de sintonización y un ejemplo de implementación en la herramienta Stateflow de Matlab.

Índice de Términos—Cohen-Coon, Controlador, PID, Sintonización, Stateflow, Ziegler-Nichols.

I. INTRODUCCIÓN

N este documento se trata el tema del Controlador PID tomando en cuenta los siguientes tópicos: Acciones

básicas del controlador, Estructuras básicas, Métodos de sintonización, Características avanzadas, Implementación digital y consideraciones prácticas, Controladores PID industriales y Aplicaciones.

E

II.ACCIONES BÁSICAS DEL CONTROLADOR PID

La aplicación de una ley de Control PID consiste en ejecutar apropiadamente la suma de tres tipos de acciones de control:

1) Una Acción Proporcional2)Una Acción Integral3) Una Acción DerivativaTodo lo anterior asegura que el error en estado estacionario se haga cero.

A. Acción Proporcional

Es la proporción al error de control actual, en donde K es la Ganancia Proporcional.

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Fig. 1. Diagrama en bloques de un proceso con un controlador y realimentado.

B. Acción Integral

El control proporcional tiene la desventaja de que la variable de proceso a menudo se desvía del punto de consigna.

Esto se puede evitar haciendo la acción de control proporcional a la integral del error, donde ki es la ganancia

Jaime F. Ricardo B. es ingeniero Electrónico de la Universidad Pontificia Bolivariana (U.P.B. - Bucaramanga) y Especialista en Telecomunicaciones de la Universidad Autónoma de Bucaramanga (U.N.A.B.), actualmente desarrolla su proyecto de grado para la Maestría en Ingeniería Electrónica (U.P.B. - Bucaramanga) en temas de Control Multivariable.

integral.

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C.Acción Derivativa

Se basa en los valores futuros predichos del error de control (Hacia donde va el proceso); donde Kd es la ganancia derivativa.

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Fig. 2. Uso de la señal de error para el tiempo pasado (En la acción Integral), el tiempo presente (En la acción Proporcional) y el tiempo futuro (En la acción Derivativa).

El valor del error de control futuro se calcula mediante una Extrapolación Lineal:

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III. ESTRUCTURAS BÁSICAS

Hay tres formas diferentes del controlador PID:

1) Estándar o no interactuante (ISA o Ideal)2)Serie o interactuante3) Paralela

A. Forma estándar o no interactuante (ISA o Ideal)

El tiempo integral Ti no influye sobre la parte derivativa, y el tiempo derivativo Td no influye sobre la parte integral. Las partes son así no interactuantes.

Controlador PIDJaime F. Ricardo B.

Fig. 3. Forma estándar o no interactuante (ISA o Ideal).

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B. Forma serie o interactuante

Una versión ligeramente diferente es más común en controladores comerciales. Este controlador se describe por:

(7)El tiempo derivativo T’d influye sobre la parte integral.

Fig. 4. Forma serie o interactuante.

El controlador interactuante puede siempre representarse como un controlador no interactuante cuyos coeficientes están dados por:

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Un controlador no interactuante puede corresponder a un controlador interactuante solamente si:

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Entonces,

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C.Forma Paralela

Otra representación del algoritmo PID esta dada por:

(11)Los parámetros se relacionan con los parámetros de la

forma estándar a través de

(12)Esta representación es muy similar a la forma estándar; sin

embargo, los valores de los parámetros son bastante diferentes.

D.Filtraje de la acción derivativa

Una desventaja con la acción derivativa es que una derivada ideal tiene una ganancia muy elevada para señales de alta frecuencia. Esto significa que el ruido de medida de alta frecuencia generará grandes variaciones de la señal de control. Para ver esto, considérese una salida medida:

y = sen(t) + asen(ωt) (13)

en donde el primer término es la señal útil y el segundo término representa el ruido. La razón ruido – señal es a.

El término derivativo del controlador es entonces

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La amplitud de la señal es KTd La amplitud del ruido es KTdaωLa razón ruido – señal es aωEsta razón ruido – señal puede ser grande incluso si a es pequeña y la frecuencia es suficientemente alta.

El efecto del ruido de medida puede de alguna forma reducirse implementando el término derivativo como

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Actúa como una derivada para componentes de señales de baja frecuencia. La ganancia de alta frecuencia está limitada a KN.Valores típicos de N son de 2 a 20.

La función de transferencia de un controlador PID con la acción derivativa filtrada es:

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Fig. 5. Controlador PID con la acción derivativa filtrada.

La ganancia de alta frecuencia del controlador es K(1+ N). El ruido de medida de alta frecuencia puede así generar variaciones significativas en la señal de control; por lo tanto, es mejor utilizar una acción de filtrado más grande.

En lugar de filtrar sólo la derivada es posible filtrar la señal medida y aplicar la señal filtrada a un controlador PID ideal. La función de transferencia del controlador equivalente es:

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Fig. 6. Controlador PID con la acción derivativa filtrada.

Filtro de segundo orden con amortiguamiento relativo ζ = 1/√2. La constante de tiempo del filtro Tf se escoge típicamente como Td/N para control PID. N va desde 2 a 20.

La Ganancia del controlador va a cero para las altas frecuencias. Esta propiedad se llama caída de alta frecuencia, garantiza que el ruido de medida de alta frecuencia no generará grandes señales de control. La caída de alta frecuencia también aumenta la robustez del sistema en lazo cerrado.

IV. MÉTODOS DE SINTONIZACIÓN

A. Ziegler-Nichols (Con Lazo Abierto)

En este método se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta al aplicar un escalón unitario.

Fig. 7. Respuesta de una planta frente a una señal de entrada tipo Escalón Unitario.

Fig. 8. Extracción de los datos de la respuesta de una planta frente a una señal de entrada tipo Escalón Unitario.

La siguiente ecuación representa la función de una planta en el dominio de S (Laplace); de primer orden y con tiempo muerto (FODT)

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TABLA IPARÁMETROS PARA SINTONIZAR EL CONTROLADOR PID EN LAZO ABIERTO

B. Ziegler-Nichols (Con Lazo Cerrado)

Ti = ∞ y Td = 0 y usando solamente la acción del controlador proporcional, tal como muestra en la siguiente figura, se incrementa Kp desde cero hasta un valor crítico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este método.

Fig. 9. Primeras oscilaciones sostenidas al variar Kp.

TABLA IIPARÁMETROS PARA SINTONIZAR EL CONTROLADOR PID EN LAZO CERRADO

Criterio de Root-Hurwitz

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Fig. 10. Respuesta del Sistema con Lazo Cerrado.

Fig. 11. Respuesta del Sistema con Lazo Cerrado.

C.El Método de Cohen-Coon

Para un sistema de Primer Orden con Tiempo muerto (FODT) según la siguiente ecuación:

(24)Y obteniéndose una respuesta del sistema frente a una entrada tipo escalón unitario, se puede obtener una respuesta como la mostrada en la figura 7, y de allí extraer datos para calcular los parámetros de sintonía del controaldor PID con el método de Cohen-Coon

Fig. 12. Extracción de datos mediante el método de Cohen-Coon.

Realizando las mediciones gráficas respectivas, se hallan los siguientes valores:

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TABLA IIIPARÁMETROS PARA SINTONIZAR EL CONTROLADOR

V. CARACTERÍSTICAS AVANZADAS

A. Wind-Up

Todos los actuadores tienen limitaciones: un motor tiene una velocidad limitada, una válvula no puede estar más que totalmente abierta o totalmente cerrada, etc. Para un sistema de control con un amplio rango de condiciones operativas, puede suceder que la variable de control alcance los límites del actuador. Cuando esto sucede el lazo de realimentación se rompe y el sistema opera como un sistema en lazo abierto porque el actuador permanecerá en su límite

independientemente de la salida del proceso. Si se utiliza un controlador con acción integral, el error puede continuar siendo integrado si el algoritmo no se diseña adecuadamente. Esto significa que el término integral puede hacerse muy grande o, coloquialmente realiza un ”wind-up”. Se requiere entonces que el error tenga signo opuesto durante un largo período antes de que las cosas retornen a la normalidad.

En la siguiente figura se presenta una forma de lograr el Anti Wind-Up

Fig. 13. Diagrama en bloques de un controlador PID con Anti Wind-Up.

B. Ponderación de la Consigna (Set Point)

Seguir el Set Point o Rechazar Perturbaciones, se logra mediante el uso de las siguientes ecuaciones

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En la siguiente figura se presentan sus ubicaciones dentro del sistema realimentado

Fig. 14. Diagrama en bloques de un controlador PID con Filtro de Ponderación del la Consigna (Set-Point).

VI. IMPLEMENTACIÓN

A. PI con Amplificadores Operacionales

Fig. 15. Controlador PI con Amplificadores Operacionales.

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B. PD con Amplificadores Operacionales

Fig. 16. Controlador PD con Amplificadores Operacionales.

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C.PID con Amplificadores Operacionales

Fig. 16. Controlador PD con Amplificadores Operacionales.

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D.PID Discreto

Fig. 17. Curva de respuesta frente a una entrada tipo escalón para un sistema térmico.

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Fig. 18. Diagrama en bloques del Algoritmo para el Controlador PID Discreto.

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VII. EJEMPLO DE CONTROLADOR INDUSTRIAL YOKOGAWA.

Funciones de Transferencias del Controlador PID incorporado:

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Filtros para la parte derivativa:

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VIII.IMPLEMENTACIÓN EN STATEFLOW DE MATLAB

Fig. 19. Diagrama en Simulink del Sistema.

Fig. 20. Código en Stateflow del Controlador PID Con Anti Wind-Up.

Fig. 21. Gráficas de la Variable Controlada (Temperatura), Salida del Controlador (U), Entrada del Controlador (Señal de Error) .