Contrastacion de Hipotesis 2015 Ptp

8/15/2019 Contrastacion de Hipotesis 2015 Ptp

1/228

UNIVERSIDAD NACIONAL“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

Facultad de Economa ! Conta"#l#dad

Programa de Titulación Profesional

PTP-2014

CONTRASTACIONDE

$I%OTESIS


2/228

«Cada economista es un económetra, lo desee o no;

porque mientras no seamos capaces de exponer nuestros

argumentos en cifras, la voz de nuestra ciencia, aunque

ocasionalmente pude ayudar a dispersar errores

groseros, nunca será oída por los hombres prácticos

!on, por instinto, económetras todos, en su desconfianza

de las cosas no su"etas a una prueba exacta #oseph !chumpeter

%T%&'()* Econ+ ,OSE RODRIGUEZ $ERRERA

CONTRASTACION DE $I%OTESIS


3/228

$lo que com%nmente se denomina investigación

econom&trica es todo lo relativo al problema de

estimación de relaciones económicas' (lein, premio )obel de economía *+-




4/228

.a /conometría es la aplicación de m&todos matemáticos

y estadísticos a tablas de datos, que contienen

$unidades' 0de observación1 por características

observables de las mismas 0$variables'1, con el

propósito de dar contenido empírico a las teorías

económicas planteadas en modelos, verificándolas a

partir del estudio de la seme"anza entre unidades y la

relación entre variables, en un espacio y tiempo

específico




5/228

Las técnicas de análisis de datos se fundamentan en la Estadística.

Cualquiera sea el ámbito de actuación del investigador en economía, yasea que se dedique a las ciencias empresariales o ejera cualquier otrafunción que tenga que ver con la investigación económica, debeconocer las técnicas cuantitativas, para el análisis de la información.

!ing"n investigador puede ignorar los conocimientos fundamentales dela estadística. #sta proporciona las técnicas más apropiadas paraorganiar e interpretar los datos numéricos que se obtienen en censos,muestreo, encuestas, registros contables y registros de todo tipo.

La e$presión análisis cuantitativo de la información, en esencia, es untérmino abstracto, su importancia práctica queda demostrada por mediode la investigación empírica.



Análisis cuantitativo de la información


6/228

Relaciones entre el análisis de la información, la investigación

econométrica y otras disciplinas2eoría y t&cnicas contables.

• 3uditoría. Los auditores internos como e$ternos recurren a pruebasselectivas y a las técnicas de muestreo. !inguno de ellos puede %acer

lo que podría llamarse un e$amen completo y detallado de cadatransacción, debe estimarlas y e$plicarlas a través de investigacioneseconométricas. &or otro lado, para presentar la informacióncorrectamente, los Estados Contables deben cumplir con el principio

generalmente aceptado de 'exposición(. )e deberá %acer uso detécnicas no paramétricas de presentación de la información. Cuadros,gráficos, índices e informes deben cumplir con aquel principio y paraello el conocimiento de la estadística no paramétrica será de ayudaespecial.





7/228



• Contabilidad de Costos *anto en el presupuesto de venta como en elde costos, para el planeamiento de utilidades, se %ace uso de los

métodos econométricos, aplicando análisis de tendencia y decorrelación, estimación de demanda, etc. &ero también, se empleanlos costos en la toma de decisiones para la determinación de precios,en estos casos, es importante la contribución de los métodos

econométricos. +demás, el análisis estadístico proporciona la medidamás precisa de variabilidad de costo, a través del diagrama dedispersión que descubre la línea de tendencia.





8/228



• /n sindicatura. En el informe general, en la determinación del periodo de sospec%a y en la calificación de la conducta, establecida

legalmente, el !índico debe %acer uso del análisis de correlación,regresión, índices, etc., para %acer más objetiva su interpretación.





9/228


econométrica y otras disciplinas /conomía.

Los organismos p"blicos y privados divulgan ingentes cantidades deinformación numérica. La mayor parte de lo que sabemos sobre las

formas de las curvas de la teoría económica procede del cuidadosoanálisis estadístico de los datos reales y es de observar que las técnicasde análisis cuantitativo encuentran en el campo de la economía susaplicaciones más importantes. &or otra parte, es de destacar el carácter

acentuadamente analítico y cuantitativo del enfoque de las decisiones deinversión y financiación de una empresa. Esta orientación analítica ycuantitativa se desprende naturalmente de la importancia cada vemayor que se asigna al análisis matemático y estadístico de los estudiosfinancieros.





10/228


econométrica y otras disciplinasCiencias empresariales.

Es bien sabido el uso que de los modelos estadísticos, econométricos yde análisis multivariante %ace la mercadotecnia para cuantificar la

información del mercado con respecto a precios, productos, publicidad,necesidades, deseos y demanda de los consumidores.




Así, podemos diferenciar medición sin teoría y teoría sin

medición , si la medición sin teoría debe considerarse como uncamino erróneo de perfeccionamiento científico, también debe

ser radicalmente rechazada en el extremo opuesto la teoría no

sometida a medición, a contrastación.


11/228

La Econometría es la aplicación de métodos matemáticos y estadísticos

a tablas de datos, que contienen 'unidades( por característicasobservables de las mismas, con el propósito de dar contenido empírico alas teorías económicas planteadas en modelos, verificándolas a partir delestudio de la semejana entre unidades y la relación entre variables, en

un espacio y tiempo específico.La teoría econométrica y la investigación econométrica sustancialmenteson diferentes en que en la segunda, a veces llamada econometríaempírica, se interesa en la comprobación empírica de teoríaseconómicas, por lo que debemos ocuparnos de los sistemas deinformación y de la producción del dato. )in embargo, los que realianuna investigación econométrica deben formaliar la teoría y demostrar laaplicación de la misma a los efectos de colaborar con la interpretaciónsocioeconómica de los espacios, en tiempos determinados.



Econometría, sistemas de información y producción de datos


12/228

En los estudios econométricos empíricos, usamos el raonamiento

estadístico como una prueba subalterna de verificación de conceptos, por lo que, el trabajo de conceptualiación no se resume a contrastarasociaciones y correlaciones entre características medidas, sino que,además, incorporamos, a la interpretación de las informaciones

producidas, la consideración de las condiciones de producción de esainformación.

&or lo tanto, dos lecturas son posibles cuando se procede a interpretarvariables a partir de la observación de un fenómeno social

-/ la empírica, que determina la variable0 y,-1/ la contextual , que toma en cuenta una información que no figuraestrictamente en la variable. La manera de tener en cuenta el conte$tode la información es por medio de la construcción de modelos.



Econometría, sistemas de información y producción de datos


13/228

1. Los estudios exploratorios, su objetivo es e$aminar un problema

poco estudiado o que no %a sido abordado antes.. Los estudios descriptivos, el interés está enfocado en las

propiedades del objeto o de la situación y dan por resultadodiagnósticos. 2equiere gran conocimiento del área que se investiga

para formular las preguntas específicas que busca responder.!. Los estudios correlacionales, tienen como propósito medir el

grado de relación que e$ista entre dos o más variables en unconte$to particular.

". Los estudios explicativos dan respuesta a los porqué. )u interés secentra en e$plicar porqué ocurre un fenómeno y en qué condicionesse da éste, o porqué dos o más variables están relacionadas. 3anmás allá de la descripción de conceptos o fenómenos o delestablecimiento de relaciones entre conceptos.



#ipos de investigación


14/228

Para llevar a cabo una investigación económica empírica

se requiere, en la mayoría de los casos, la utilización demodelos econométricos. Estos se asocianfundamentalmente con la etapa de análisis de lainformación del proceso de investigación.

Las fuentes de información para elaborar las ipótesis deinvestigación son! fundamentalmente! en unainvestigación económica! la teor"a! la investigacióne#ploratoria $ la e#periencia. En cuanto a la teor"a abrá%ue considerar! principalmente! la teor"a económica $ la

teor"a estad"stica.

&e esta forma! el método de la econometría se de'necomo a%u(l %ue tiene por fnalidad corroborar hipótesis yteorías ormuladas por la teoría económica. Esta

veri'cación se ace con el au#ilio! imprescindible! de las%T%&'()* Econ+ ,OSE RODRIGUEZ $ERRERA


El -ent#do econom.t/#co del an0l#-#- en#n1e-t#2ac#3n


15/228

.os m&todos econom&tricos, entonces, utilian las técnicas de la

estadística matemática, fundamentada en la teoría de la probabilidad, para describir analíticamente una situación de la economía en un

espacio y tiempo determinado, para %acer pronósticos o analiar políticas probando o refutando empíricamente la valide de un modelo

económico.)e utilia el término $modelo econom&trico' para distinguirlo delmodelo económico. El modelo econométrico tiene en cuenta una partesistemática 4a veces determinista4 y una parte aleatoria.



El sentido econométrico del análisis en investigación


16/228

El modelo econométrico queda especificado por la siguiente ecuación

donde

, indica que se trata de unidades de observación temporales encontraposición con las espaciales -también llamadas de corte transversalv.g. /.

0 es la parte sistemática del modelo econométrico -también llamadadeterminista en el caso de que los coeficientes 0 no sean cambiantes oaleatorios/.

0 es la parte aleatoria del modelo econométrico.0 son las variables económicas o atributos de las unidades deobservación entre las que se quiere establecer alguna relación proveniente de la teoría económica.



El sentido econométrico del análisis en investigación


17/228

Modelos económicos modelos genéricos que son aplicables a sistemas

concretos0 recogen todos los aspectos de un sistema, en un espacio ytiempo determinado, se formulan matemáticamente.

Modelos econométricos0 modelos específicos para su aplicación asistemas reales, concretos y que generalmente se basan en un modelo

económico formaliado.



$odelos económicos y modelos econométricos


18/228

La conometría, entonces, se ocupa de estudiar modelos que permitan

e$plicar el comportamiento de una variable económica utiliando comocausas e$plicativas otra u otras variables económicas. &or ejemplo,e$plicar el comportamiento de la inflación tomando como variablese$plicativas la oferta monetaria y el nivel de consumo agregado.

En resumen el análisis econométrico consideraa/ la especificación de la estructura modelo econométrico

b/ el análisis de las propiedades estadísticas del modelo

c/ su estimación

d/ su utilización con fines predictivos o para el análisis de cuestiones de política económica de índole micro o macroeconómica.

5n modelo econométrico puede asumir diferentes formas seg"ncaracterísticas propias, n"mero de variables, n"mero de ecuaciones,

forma funcional, etc.%T%&'()* Econ+ ,OSE RODRIGUEZ $ERRERA




19/228

+ continuación presentamos una clasificación de los modelos

econométricos

5na ve especificados, los modelos deben ser estimados a partir dedatos muestrales o de fuentes secundarias. Este proceso de estimaciónse complementa con el proceso de inferencia, para posteriormente poderrealiar predicciones, esto es valores futuros de las variables delmodelo.





20/228

Los modelos que se establecen en los trabajos de investigación, son los

que se denominan !modelos de regresión lineal" y éstos se resuelvenmediante el m&todo de mínimos cuadrados ordinarios.

5n modelo cásico de regresión lineal -6C2L/ es de la siguiente forma

Esto significa que la variable '4 está en función( o 'depende( de otravariable ' 5 (.

6atemáticamente se escribe

Econométricamente

%#%&'1" Econ. ()*E R)+R-E/ 0ERRERA

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

$odelo clásico de regresión lineal


21/228

)in embargo, es muy raro que en un trabajo de investigación se plantee

una función bivariada -dos variables/0 generalmente, las funciones porresolver son 'multivariadas(0 es decir

3ariable dependiente &arámetros del modelo

Coeficiente del intercepto

3ariable independiente -e$plicativa/

&erturbación o error


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

$odelo clásico de regresión lineal


22/228

#upuesto $. 6odelo de regresión lineal El modelo de regresión es

lineal en los parámetros, aunque puede o no ser lineal en las variables.

#upuesto %. &alores fi'os de (, o valores de ( independientes del

término de error Los valores que toma la regresora 5 pueden

considerarse fijos en muestras repetidas -el caso de la regresora fija/, o%aber sido muestreados junto con la variable dependiente 4 -el caso dela regresora estocástica/. En el segundo caso se supone que la-s/variable-s/ 5 y el término de error son independientes, esto es,


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

*upuestos del modelo clásico de regresión lineal


23/228

#upuesto ). l valor medio de la perturbación es igual a cero 7ado

el valor de , la media o el valor esperado del término de perturbaciónaleatoria es cero. )imbólicamente, tenemos que

)i 5 no es estocástica,

#upuesto *. +omoscedasticidad o varianza constante de La varianadel término de error, o de perturbación, es la misma sin importar elvalor de 5 . En otras palabras, dado el valor de 5 , la variana de es lamisma para todas las observaciones

*écnicamente, la ecuación representa el supuesto de%omoscedasticidad, o igual -%omo/ dispersión -cedasticidad/, o igualvariana.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**



24/228

En términos llanos, la variación alrededor de la línea de regresión -la

línea de la relación promedio entre 5 y 4 / es la misma para todos losvalores de 5 0 no aumenta ni disminuye conforme varía 5 .

En contraste, cuando la variana condicional de la población 4 varíacon 5 , se conoce como heteroscedasticidad , o dispersión desigual, o

variana desigual. )imbólicamente, en esta situación, la ecuación seescribe como


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**



25/228

#upuesto . -o hay autocorrelación entre las perturbaciones 7ados

dos valores cualesquiera de 5 , 5i y 5" -i7"/, la correlación entre dos ycualesquiera -i7"/ es cero.

*écnicamente, éste es el supuesto de no correlación serial, o noautocorrelación. Esto significa que, dado , las desviaciones de dosvalores cualesquiera de 4 de sus valores promedio no muestran patronescomo los de la siguiente figura -a/ y -b/. En la figura -a/ se ve que las m

están correlacionadas positivamente, pues a una m positiva sigue una m positiva, o a una m negativa sigue una m negativa. En la figura -b/, lasm están correlacionadas negativamente, pues a una m positiva sigue unam negativa y viceversa.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**



26/228

#upuesto . -o hay autocorrelación entre las perturbaciones


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


)i las perturbaciones-desviaciones/ siguen patronessistemáticos, como los que de lasfiguras -a/ y -b/, %ay correlación

serial o autocorrelación, y lo querequiere el supuesto 8 es quedic%as correlaciones esténausentes. La figura -c/ muestra queno %ay un patrón sistemático paralas µ, lo que indica cerocorrelación.


27/228

#upuesto / l n0mero de observaciones n debe ser mayor 1ue el

n0mero de par2metros por estimar )ucesivamente, el n"mero deobservaciones n debe ser mayor que el n"mero de variablese$plicativas.

)i no se cumple este supuesto no %ay forma de estimar los dos

parámetros desconocidos, y . #upuesto 3/ La naturaleza de las variables ( !o todos los valores 5 en una muestra determinada deben ser iguales. *écnicamente, var051 debe ser un n"mero positivo. +demás, no puede %aber valores atípicosde la variable 5 , es decir, valores muy grandes en relación con el restode las observaciones.)i todos los valores de 5 son idénticos, lo que imposibilita laestimación de y, por consiguiente, de .


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**



28/228

Las estimaciones de mínimos cuadrados son función de los datos

muestrales, sin embargo, como es probable que los datos cambien entreuna muestra y otra, los valores estimados cambiarán ipso facto. &orconsiguiente, se requiere alguna medida de $confiabilidad' o precisiónde los estimadores y .

Esta precisión se mide por su error estándar -ee/. l error est2ndar noes más que la desviación estándar de los valores 4 alrededor de la líneade regresión estimada, la cual suele servir como medida para resumir

la !bondad del a'uste" de dicha línea.

La bondad del ajuste de la línea de regresión a un conjunto de datosconsiste en determinar cuán 'bien( se ajusta la línea de regresión a losdatos. La siguiente figura muestra el criterio de los mínimos cuadradosen la que e$iste una serie de datos y una línea de regresión.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

%recisión o errores estándar de las estimaciones de mínimos cuadrados

) A* A ) ) * *


29/228


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


)i todas las observaciones cayesen

en la línea de regresión,tendríamosun ajuste ' perfecto(, pero rara vese presenta este caso. &or logeneral %ay algunas positivas y

otras negativas. )e tiene laesperana de que estos alrededorde la línea de regresión sean lomás peque9os posibles. /lcoeficiente de determinación es

una medida que dice cuán bien sea"usta la línea de regresión

muestral a los datos.

3erbalmente, mide la proporción o el porcenta"e de la variación total en4 explicada por el modelo de regresión

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


30/228


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

La gráfica adjunta es conocida

como el diagrama de &enn o de 4allentine, que ilustra esta bondad de ajuste. El círculo 4 representa la variación en la

variable dependiente 4 , y elcírculo 5 , la variación en lavariable e$plicativa 5 .

La intersección de los dos círculos -el área sombreada/ indica la medidaen la cual la variación en 4 se e$plica por la variación en 5 . Entre

mayor sea la medida de la intersección, mayor será la variación en 4 que se e$plica por 5 . es tan sólo una medida numérica de estaintersección. Cuando no %ay intersección, 0 si , pues ciento por ciento dela variación en 4 se e$plica por 5 .


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


31/228

5na cantidad estrec%amente relacionada con pero conceptualmente

muy diferente es el coeficiente de correlación, el cual, es una medidadel grado de asociación entre dos variables. )e calcula a partir de

+lgunas propiedades de son las siguientes

. &uede tener signo positivo o negativo.1. Cae entre los límites de .

:. Es simétrico por naturalea0 es decir, el coeficiente de correlaciónentre 5 y 4 -/ es el mismo que entre 4 y 5 -/.

;. Es independiente del origen y de la escala0 es decir, si definimos

donde a


32/228



)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


33/228

&or "ltimo, dados los supuestos del 6C2L, las estimaciones de

mínimos cuadrados poseen algunas propiedades óptimas que estáncontenidas en el famoso teorema de -auss&$ar3ov.

)e dice que un estimador, por ejemplo, el estimador es el mejorestimador lineal insesgado -6EL>/ de si se cumple lo siguiente

* /s lineal , es decir, función lineal de una variable aleatoria, como lavariable dependiente 4 en el modelo de regresión.

8 /s insesgado, es decir, su valor promedio o esperado, es igual al valorverdadero, .

9 2iene varianza mínima dentro de la clase de todos los estimadoreslineales insesgados0 un estimador insesgado con variana mínima seconoce como estimador eficiente.

En el conte$to de regresión puede probarse que los estimadores de6C? son 6EL>, es decir, tienen variana mínima.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


34/228

La inferencia estadística consta de dos ramas estimación y pruebas de

hipótesis. 2especto a la estimación ya %emos visto que los estimadoresde parámetros del modelo de regresión lineal deben satisfacer varias propiedades estadísticas como el insesgamiento y la variana mínima0 envista de que son estimadores, sus valores cambiarán de muestra en

muestra. &or consiguiente, tales estimadores son variables aleatorias.&ero la estimación es sólo la mitad de la batalla. Las pruebas de %ipótesisconstituyen la otra mitad. *enga presente que, en el análisis de regresión,nuestro objetivo no sólo consiste en estimar la función de regresiónmuestral -@26/, sino también en utiliarla para obtener inferencias

respecto de la función de regresión poblacional -@2&/. +sí, esconveniente saber qué tan cerca está del verdadero valor de , o qué tancerca está del verdadero .


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

24ERE2A E*#A+*#A

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


35/228

Entonces, como son variables aleatorias, es necesario averiguar sus

distribuciones de probabilidad, pues sin conocerlas no es posiblerelacionarlas con sus valores verdaderos.

En general, afirmamos que la distribución de probabilidad de dependerádel supuesto respecto de la distribución de probabilidad de . A como se

requiere conocer las distribuciones de probabilidad de los estimadoresde 6C? para obtener las inferencias sobre sus valores poblacionales, lanaturalea de la distribución de probabilidad de desempe9a un papelimportante en las pruebas de %ipótesis.

En el conte$to de regresión se supone, por lo general, que las tienen ladistribución de probabilidad normal . )i a los supuestos del modeloclásico de regresión lineal -6C2L/ se a9ade el supuesto de normalidad para , obtenemos lo que se conoce como modelo cl2sico de regresiónlineal normal -$RL2/.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

24ERE2A E*#A+*#A

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


36/228

El modelo clásico de regresión lineal normal supone que cada está

normalmente distribuida con6edia

3ariana

Estos supuestos se e$presan en forma más compacta como

donde el símbolo significa distribuido y ) significa distribución normal,y donde los términos entre paréntesis representan los dos parámetros de

la distribución normal la media y la variana.&ara dos variables normalmente distribuidas, una covariana ocorrelación cero significa independencia entre las dos variables.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

EL *%E*#) +E 2)R$AL+A+ +E

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


37/228

&or consiguiente, con el supuesto de normalidad, la ecuación significa

que y no sólo no están correlacionadas, sino que también estánindependientemente distribuidas.

&or tanto, se escribe como

donde -56 significa normal e independientemente distribuido.Entre otras raones, si empleamos el supuesto de normalidad ytrabajamos con una muestra finita o peque9a, -== o menosobservaciones/, la suposición de normalidad desempe9a un papel

relevante. !o sólo contribuye a derivar las distribuciones de probabilidad e$actas de los estimadores de 6C?, sino también permiteutiliar las pruebas estadísticas t , : y 8 para los modelos de regresión.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

EL *%E*#) +E 2)R$AL+A+ +E

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


38/228

En muestras grandes, los estadísticos t y : pueden seguir aplicándose

con valide. &or tanto, el supuesto de normalidad puede no ser tancrucial en conjuntos grandes de datos.

)i se supone que sigue una distribución normal, los estimadores de6C? tienen las propiedades descritas anteriormente además de las

siguientes$. #on insesgados, es decir, su valor promedio o esperado, es igual alvalor verdadero, .

%. 7iene varianza mínima dentro de la clase de todos los estimadores

lineales insesgados0 un estimador insesgado con variana mínima es unestimador eficiente.

). 8resentan consistencia0 es decir, a medida que el tama9o de lamuestra aumenta indefinidamente, los estimadores convergen %acia susverdaderos valores poblacionales.


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

EL *%E*#) +E 2)R$AL+A+ +E

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


39/228

*. 9al ser una función lineal de : est2 normalmente distribuida con

Entonces, de acuerdo con las propiedades de la distribución normal, lavariable


40/228

. 9al ser una función lineal de : est2 normalmente distribuida con

Como en el caso anterior,

también sigue una distribución normal estándar.

. est2 distribuida como la distribución ; % 9'i cuadrada: con n


41/228

=. tienen varianza mínima entre todas las clases de estimadores

insesgados, lineales o no lineales. Lo que significa que los estimadoresde mínimos cuadrados son los mejores estimadores insesgados -6E>/0 esdecir, tienen variana mínima en toda la clase de los estimadoresinsesgados.

&ara resumir, lo importante es que el supuesto de normalidad permitederivar las distribuciones de probabilidad, o muestrales, de 0ambasnormales1, y de 0relacionada con "i cuadrada1


)2 * )2 ) * *

EL *%E*#) +E 2)R$AL+A+ +E

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


42/228

La estimación y las pruebas de hipótesis constituyen las dos ramas principales de la inferencia clásica.

La teoría de la estimación consta de dos partes estimación puntual yestimación por intervalos. *odo lo estudiado en los ítems anteriores se

refiere a la estimación puntual, a%ora estudiaremos la estimación porintervalos y posteriormente la prueba de %ipótesis.

l ob'etivo de la estimación es obtener una apro$imación al valor decierto parámetro de la población y el de la prueba de hipótesis es decidirsi una afirmación acerca de una característica de la población esverdadera.

La prueba de %ipótesis, también conocida como dócima o contraste de%ipótesis, proporciona una e$celente oportunidad para analiar lainformación.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#R)+52

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


43/228

Cuando un %allago interesante y empírico emerge del análisis deinformación basado en una muestra, una %ipótesis sencilla pero relevanteque debe ocurrírsele a todo investigador es >epresenta el hallazgoempírico sólo un accidente de muestreo?

Ejemplo)e desea determinar si afirmaciones como las siguientes son ciertas

. 5n productor de desayunos afirma que, en promedio, el contenido decada caja pesa al menos 1== gramos. &ara verificar esta afirmación, se

pesa el contenido de una muestra aleatoria y se infiere el resultado a partir de la información muestral.

1. 5na compa9ía recibe un gran cargamento de pieas. El envío se aceptasólo si no %ay más de 8 de pieas defectuosas. La decisión de aceptar laremesa puede basarse en el e$amen de una muestra aleatoria de pieas.%#%&'1" Econ. ()*E R)+R-E/ 0ERRERA

#E)RA +E LA E*#$A)2

2#R)+52

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


44/228

:. 5n profesor está interesado en valorar la utilidad de realiarregularmente pruebas cortas en un curso de estadística. La asignaturaconsta de dos partes y el profesor realia esta prueba sólo en una deellas. Cuando acaba el curso, compara los conocimientos de los

estudiantes en las dos partes de la materia mediante un e$amen final yanalia su %ipótesis de que las pruebas cortas aumentan el nivel mediode conocimientos.

Estos ejemplos tienen algo en com"n La %ipótesis se formula sobre la población, y las conclusiones sobre la valide de esta %ipótesis se basan

en la información muestral.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#R)+52

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


45/228

@na hipótesis estadística es una con"etura con respecto a uno o más parámetros poblacionales -enunciado o afirmación sobre una o máscaracterísticas poblacionales como un parámetro, la distribución de probabilidad de una población, etc/0 y, el método de contraste es el que

permite tomar decisiones en base a datos muestrales y riesgos conocidos. !unca se sabe con absoluta certea la verdad o falsedad de una %ipótesisestadística, a no ser que se e$amine toda la población. En su lugar, setoma una muestra aleatoria de la población de interés y se utilian losdatos que contiene tal muestra para proporcionar evidencias que

confirmen o no la %ipótesis.La evidencia de la muestra que es inconsistente con la %ipótesis planteadaconduce a un rec%ao de la misma, mientras que la evidencia que apoyala %ipótesis conduce a su aceptación.


#E)RA +E LA E*#$A)2

0%5#E** E*#A+6*#A

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


46/228

La prueba de hipótesis, o contraste de hipótesis, consiste en/

. @ormular %ipótesis nula, = =1. @ormular %ipótesis alternativa, = :. Establecer nivel de confiana para =

=;. 7efinir estadístico de contraste

8. +plicar regla de decisión


#E)RA +E LA E*#$A)2

0%5#E** E*#A+6*#A

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


47/228

>ndica que en la población no se han producido cambios. Es la %ipótesisque se considera cierta a no ser que se produca suficiente evidencia encontra. Es la %ipótesis que se plantea para jugar si puede ser o norec%aada. En general, se enuncia como %ipótesis nula lo que se viene

aceptando, creyendo o asumiendo como lo que es cierto con anterioridadal estudio.

3firmación que enfrenta lo establecido por la hipótesis nula. )e opone ala = = y afirma que ésta es falsa. En = se enuncia lo que se presume queestá sucediendo y que %a cambiado con respecto a lo que se suponíacomo verdadero. Esta es la %ipótesis de interés para el investigadordebido a que representa la proposición %ipotética que desea probar.


#E)RA +E LA E*#$A)2

. Dipótesis nula = =

1. Dipótesis alternativa =

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


48/228

En el conte$to del contraste de %ipótesis clásico, la %ipótesis nula se

considera cierta inicialmente. La tarea de persuadirnos de lo contrariocorresponde a los datos de la muestra.

La aceptación de una hipótesis nula implica tan sólo que los datos de lamuestra no proporcionan evidencia suficiente para rec%aarla.

&or otro lado, el rechazo implica que la evidencia muestral la refuta.


#E)RA +E LA E*#$A)2

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


49/228

)e pueden tener las siguientes combinaciones. = =? @ A @ = vs. = ? @ B @ = =ipótesis nula simple y 3lternativa unilateral

1. = =? @ A @ = vs. = ? @ @ = =ipótesis nula simple y 3lternativa unilateral

:. = =

? @ A @ =

vs. =

? @ 7 @ =

=ipótesis nula simple y 3lternativa bilateral

;. = =? @ D @ = vs. = ? @ B @ = =ipótesis nula compuesta y 3lternativaunilateral

8. = =? @ E @- vs. = ? @ @ = =ipótesis nula compuesta y 3lternativa

unilateral ?bsérvese que en la %ipótesis nula siempre se encuentra la posibilidad dela igualdad del planteamiento. Esto se debe a que la %ipótesis nulainicialmente se considera cierta. +demás, la especificación de las %ipótesisnula y alternativa apropiadas depende del problema.


#E)RA +E LA E*#$A)2

:. *ipos de = = y =


50/228

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


51/228

&or otro lado, la F0Cometer /rror 2ipo >>1 B β , es decir, la probabilidad deaceptar una %ipótesis nula falsa se denota por β . *ambién puede verse

F - 3ceptar = - H= - es falsa/ B β

Entonces, la probabilidad de rec%aar una = - falsa es -β/, y se llama

potencia del contraste. 3isto como una probabilidad condicional, F0Gechaza = - H= - es falsa1 A *I β


#E)RA +E LA E*#$A)2

;. *ipos de errores que se pueden cometer en un constraste de %ipótesis

+E*)2E* *)7RELA 0%5#E** 2LA

*#A52 REAL

D= 3E27+7E2+ D= @+L)+

AE%#AR 0'7ecisión correcta

&robabilidad B F

Error *ipo >>

&robabilidad B G

RE0A/AR 0'Error *ipo >

&robabilidad B F

7ecisión correcta

&robabilidad B G

La *abla siguienteresume las situaciones

posibles en uncontraste de %ipótesisal tomar la decisiónsobre la %ipótesisnula.

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


52/228

Lo ideal sería que las probabilidades de los dos tipos de error fuesen lomás peque9as posible. )in embargo, %ay una clara compensación entrelas dos. Cuando se %a tomado una muestra, cualquier modificación de laregla de decisión que %aga menos probable rec%aar una %ipótesis nula

cierta, se traducirá en mayor probabilidad de aceptar esta %ipótesiscuando es falsa. Es decir, cuando α decrece, β aumenta y viceversa.

La "nica manera de disminuir simultáneamente las dos probabilidadesde error será obtener más información sobre la verdadera media de la población, tomando una muestra mayor.

Lo que se %ace en la práctica es fijar la probabilidad de cometer un errorde *ipo > -nivel de significación α /. Esto determina, entonces, la regla dedecisión adecuada, que a su ve determina la probabilidad de un error de*ipo >>. Este procedimiento se ilustra en la siguiente figura


#E)RA +E LA E*#$A)2

8. >nfluencia de las &robabilidades J y K sobre una prueba de %ipótesis

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


53/228

+l usar el criterio de fijar la probabilidad de error *ipo >, α , paraencontrar una regla de decisión, implícitamente se está considerando a

este error más grave que el error *ipo >>. +l fijar α en un valor peque9o,se está controlando directamente la probabilidad de cometer un error*ipo >. &or tal raón, al plantear las %ipótesis siempre %ay que %acerlotomando en cuenta que 'rechazar la hipótesis nula cuando es cierta( esun error más grave que 'aceptar la hipótesis nula cuando es falsa(.


#E)RA +E LA E*#$A)2

8. >nfluencia de las &robabilidades J y K sobre una &rueba de Dipótesis

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


54/228

stadístico de ontraste 9o de 8rueba: Es aquella función de lasobservaciones muestrales que se usa para determinar si la %ipótesis nuladebe ser aceptada o rec%aada.

>egla de 6ecisión 7efine las condiciones que llevan a la aceptación o

rec%ao de la %ipótesis nula. >egión de Aceptación Es un rango de valores, tal que si el estadísticode prueba queda dentro, la %ipótesis nula se declara aceptable.

>egión de >echazo Es un rango separado de valores, tal que si el

estadístico de prueba queda dentro, la %ipótesis nula se rec%aa.


#E)RA +E LA E*#$A)2

H. *erminología adicional en el contraste de Dipótesis

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


55/228

&alor9es: rítico9s: Los valores críticos son los n"meros que definenlas fronteras de la región de rec%ao. Los valores críticos pertenecen a laregión de rec%ao. ICómo establecer los valores críticosJ 3a a dependerde


#E)RA +E LA E*#$A)2


. nivel de significación, α .1. tipo de distribución de probabilidad del estadístico decontraste

:. tipo de %ipótesis alternativa quese esté contrastando -bilateral ounilateral/

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


56/228

Los términos aceptar -no rechazar / y rechazar no reflejan adecuadamentelas consecuencias de un procedimiento en el que se fija el nivel designificación y no se controla la probabilidad de un error de *ipo >>.2ecuerde que la %ipótesis nula tiene estatus de %ipótesis mantenida, que se

considera cierta salvo que los datos contengan suficiente evidencia encontra. +demás, al fijar el nivel de significación en alguna probabilidad peque9a, se está asegurando que el riesgo de rec%aar una %ipótesis nulacierta sea peque9o.

Con esta estructura, una peque9a cantidad de datos no será suficiente para

poderse colocar en posición de rec%aar una %ipótesis nula, aunque seacompletamente errónea. Cuando aumenta el n"mero de observaciones-aumenta el tama9o de la muestra/, también lo %ace la capacidad de latécnica de contraste para detectar una %ipótesis nula falsa.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


57/228

&or tanto, al 'aceptar ( una %ipótesis nula, no se está asegurandonecesariamente, que %aya muc%o en su favor. 5na afirmación más precisa sobre la situación es 'los datos disponibles no proporcionan suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula( en lugar de ' se

acepta la hipótesis nula(.)e seguirá usando 'aceptar ( como una manera eficiente de e$presar estaidea, pero es importante tener en cuenta la interpretación de la frase. Enel conte$to del contraste de %ipótesis clásico, la %ipótesis nula seconsidera cierta inicialmente. La tarea de persuadir de lo contrario

corresponde a los datos de la muestra.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


58/228

)upongamos que en un ejercicio cualquiera, se %a obtenido que es unacifra puntual estimada del valor poblacional desconocido de . .a pregunta es? LMu& tan confiable es esta estimaciónN.

En estadística, la confiabilidad de un estimador puntual se mide por su

error estándar -ee/. &or tanto, en lugar de depender de un solo estimador puntual, se puede construir un intervalo alrededor del estimador puntual, por ejemplo, dentro de dos o tres errores estándar a cada lado delestimador puntual, tal que este intervalo tenga, por ejemplo, K8 de probabilidad de incluir al verdadero valor del parámetro. #sta es, a

grandes rasgos, la idea básica de la estimación por intervalos.


#E)RA +E LA E*#$A)2

E*#$A)2 %)R 2#ER8AL)*

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


59/228

&ara ser más específico, supongamos que se desea encontrar qué tan'cerca( está, de . Con este fin, se trata de encontrar dos n"meros positivos, δ y α , este "ltimo situado entre = y , de modo que la probabilidad de que el intervalo aleatorio contenga al verdadero sea -

α /. )imbólicamente,

*al intervalo se conoce como intervalo de confianza0

se le denomina coeficiente de confianza0

se conoce como nivel de significancia -=α /.Los e$tremos del intervalo de confiana se conocen como límites deconfianza -también denominados valores críticos/, con como límite deconfiana inferior y como límite de confiana superior.


#E)RA +E LA E*#$A)2

E*#$A)2 %)R 2#ER8AL)*

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


60/228

En la práctica, y suelen e$presarse en forma porcentual.La ecuación muestra que un estimador de intervalo, en contraste con unestimador puntual, es un intervalo construido de manera que tenga una probabilidad específica de contener en sus límites al valor verdadero del

parámetro. &or ejemplo, si JB=.=8 -8/, la ecuación0

debe leerse la probabilidad de que el intervalo 0aleatorio1 que allíaparece incluya al verdadero es de -+O, o +OP El estimador porintervalo proporciona así una gama de valores dentro de los cuales puede encontrarse el verdadero .


#E)RA +E LA E*#$A)2

E*#$A)2 %)R 2#ER8AL)*

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


61/228

Es muy importante conocer los siguientes aspectos de la estimación porintervalos. La ecuación no afirma que la probabilidad de que se encuentre

entre los límites dados sea . Como se supone que , aunque se

desconoce, es un n"mero fijo, se dice 1ue est2 o no est2 dentro delintervalo. La ecuación

establece que la probabilidad de construir un intervalo que contengaes F.

1. El intervalo es un intervalo aleatorio0 es decir, variará de unamuestra a la siguiente debido a que se basa en , el cual es aleatorio.


#E)RA +E LA E*#$A)2

E*#$A)2 %)R 2#ER8AL)*

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


62/228

:. Como el intervalo de confiana es aleatorio, los enunciados debenentenderse en el sentido de largo plao0 es decir, para muestreorepetido. Entonces, significa si se construyen muchos intervalos deconfianza como el anterior con base probabilística de *IJ, a la

larga, en promedio, tales intervalos contendrán, en *QJ de loscasos, el valor verdadero del parámetro

;. El intervalo es aleatorio siempre y cuando sea desconocido. 5nave que se obtenga un valor numérico específico de , el intervalodeja de ser aleatorio y queda fijo0 por lo tanto, ya no se puede

afirmar que la probabilidad de que el intervalo fijo dado incluya alverdadero sea F. En esta situación, está en el intervalo fijo ofuera de él. &or consiguiente, la probabilidad será o =.


#E)RA +E LA E*#$A)2

E*#$A)2 %)R 2#ER8AL)*

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


63/228

Líneas arriba afirmamos que con el supuesto de normalidad de losestimadores y son normalmente distribuidos con medias y varianasallí establecidas. &or consiguiente, por ejemplo, la variable

puede escribirse

En donde


64/228

&or tanto, se puede utiliar la distribución normal para %acer afirmaciones probabilísticas sobre , siempre que se conoca la verdadera variana poblacional . )i se conoce , una propiedad importante de una variablenormalmente distribuida con media R y variana es que el área bajo la

curva normal entre R M S es cercana a HN, entre R M 1S es alrededor deK8, y que entre los límites R M :S es cercana a KK.O.&ero pocas veces se conoce y, en la práctica, está determinada por elestimador insesgado . )i se reemplaa S por , podemos %acer lassiguientes transformaciones

donde se refiere a%ora al error estándar estimado.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


65/228

La variable t , así definida, sigue la distribución t con n 1 gl . &orconsiguiente, en lugar de utiliar la distribución normal, se puede utiliarla distribución t para construir un intervalo de confiana para de lasiguiente forma

donde el valor t en el centro de esta doble desigualdad es el valor t dado por

y donde es el valor de la variable t obtenida de la distribución t para un

nivel de significancia de FP1 y n1 gl0 a menudo se denomina el valorcrítico t a un nivel de significancia FP1.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


66/228

Combinando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene

2eorganiamos esta ecuación y obtenemos

Esta "ltima ecuación nos proporciona un intervalo de confiana para de==- F/, que se escribe en forma más compacta como

7e manera análoga, el intervalo de confiana para , se escribe


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


67/228

?bserve que, en ambos casos

la amplitud del intervalo de confiana es proporcional al error estándardel estimador. Es decir, entre más grande sea el error estándar, másamplio será el intervalo de confiana. E$presado de otra forma, mientrasmás grande sea el error estándar del estimador, mayor será la

incertidumbre de estimar el verdadero valor del parámetro desconocido.+sí, el error estándar de un estimador suele describirse como unamedida de la precisión del estimador -es decir, con qué precisión mide elestimador al verdadero valor poblacional/.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


68/228

EjemploLa tabla adjunta proporciona datos sobreel nivel de estudios -medido en a9os deescolaridad/, el salario promedio por

%ora devengado por las personas pornivel de escolaridad y el n"mero de personas en un nivel de estudios.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


69/228

Ejemplo+l traar el salario promedio en función del grado de escolaridad, seobtiene la gráfica adjunta.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

La gráfica muestra la

variación de los salarios promedio de acuerdo conel grado de escolaridad0 por lo general, aquéllos seincrementan a la par que el

grado de escolaridad.

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


70/228

Como %ay : observaciones, los gradosde libertad - gl / son . )i suponemos queJB8, -coeficiente de confiana a K8/,entonces la tabla t muestra que para gl el valor crítico t

JP1B1.1=. +l sustituir

estos valores, se verifica que el intervalode confiana para K 1 a K8 es elsiguiente


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


71/228

La interpretación de este intervalo deconfiana es Tado el coeficiente deconfianza de +OP, en +O de cada *--

casos, el intervalo contendrá al

verdadero valor de K 1 Fero no se puede

afirmar que la probabilidad de que este

intervalo contenga al verdadero K 1 sea

de +OP,


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

porque este intervalo es ahora fi"o y no aleatorio; por consiguiente, K 1 se

encontrará o no dentro de &l? la probabilidad de que el intervalo fi"oespecífico incluya al verdadero valor de K 1 es por consiguiente o =

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


72/228

Ejemplo7e acuerdo a los resultados obtenidos de la regresión, el intervalo deconfiana para K a K8 en este ejemplo es

En K8 de cada == casos, el intervalo contendrá al verdadero valor de

K 0 la probabilidad de que este intervalo fijo en particular incluya alverdadero K es de o =.


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA 9

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


73/228

La variana S 1 se estima mediante la fórmula

7onde

es el estimador de la verdadera pero desconocida S 1.

-nQ1/ es el n"mero de grados de libertad 0gl10 es la suma de los valores residuales al cuadrado o la suma decuadrados de los residuos 9#>: .


#E)RA +E LA E*#$A)2

2#ER8AL)* +E )24A2/A %ARA

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


74/228

La raí cuadrada positiva de

se conoce como el error est2ndar de estimación o el error est2ndar dela regresión -ee/. !o es más que la desviación estándar de los valores 4

alrededor de la línea de regresión estimada, la cual suele servir comomedida para resumir la 'bondad del a"uste( de dic%a línea.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


75/228

)eg"n el supuesto de normalidad,la variable

sigue la distribución con n1 gl .

Con la distribución se establece elintervalo de confiana para


#E)RA +E LA E*#$A)2


7onde y son los valores críticos obtenidos de la tabla "i cuadrada para n1 gl de manera que ellos cortan ==-JP1/ de las áreas de lascolas de la distribución , como se muestra en la figura adjunta.

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


76/228

+l reorganiar los términos, obtenemos

que da el intervalo de confiana a ==- F/ para .

En nuestro ejemplo se calcula de la siguiente manera

)i seleccionamos F de 8, la tabla "i cuadrada para gl da lossiguientes valores críticos


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


77/228

Estos valores muestran que la probabilidad de que un valor "icuadrada sea superior a 1.K1== es1.8, y la de :.N8O es KO.8. &orconsiguiente, el intervalo entreestos dos valores es el intervalo de

confiana para a K8, como seaprecia en el diagrama de la figuraadjunta. -?bserve la característicaasimétrica de la distribución "icuadrada./


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


78/228

+l sustituir los datos del ejemplo en

El intervalo de confiana para a K8 es

Este intervalo se interpreta )i establecemos límites de confiana a K8sobre y se afirma a priori que entre estos límites caerá el verdadero ,

acertaremos, a la larga, K8 de las veces.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


79/228

A. 8rueba bilateral o de dos colasEn nuestro ejemplo el coeficiente de pendiente .

)upongamos que se postula que

= =? β 1A =.8 = ? β 17=.8

es decir, el verdadero coeficiente de la pendiente es =.8 seg"n la %ipótesisnula, pero menor o mayor que =.8 seg"n la %ipótesis alternativa.

:Es el o;servado compati;le con + '< &ara responder, consultemos elintervalo de confiana

)abemos que, a la larga -es decir, en muestreo repetido/, los intervaloscomo -=.8O==, =.NON=/ contendrán al verdadero G1 con una probabilidadde K8.


#E)RA +E LA E*#$A)2

%RE7A +E 0%)#E**= $étodo del intervalo de confian>a

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


80/228

A. 8rueba bilateral o de dos colas

En consecuencia, tales intervalos proporcionan un recorrido o límitesdentro de los cuales puede encontrarse el verdadero K 1 con un

coeficiente de confiana de K8. +sí, el intervalo de confiana proporciona un conjunto de %ipótesis nulas posibles. &or consiguiente,si el K 1 en = = se encuentra dentro del intervalo de confiana ==- F/, no se rec%aa la %ipótesis nula0 si se encuentra por fuera delintervalo, se puede rec%aar.

Lo anterior nos lleva a la siguiente regla de decisiónonstruya un intervalo de confianza para B % a $CC9$DE:F. #i el B % en

+ C se encuentra dentro de este intervalo de confianza, no rechace + C ,

pero si est2 fuera del intervalo, rechace + C .


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


81/228

A. 8rueba bilateral o de dos colasEn estadística, cuando se rechaza la hipótesis nula, se dice que elhallazgo es estadísticamente significativo. &or otra parte, cuando no sehace, se dice que el resultado no es estadísticamente significativo.

+lgunos autores utilian frases como 'muy significativo desde un puntode vista estadístico( para referirse a que, cuando rec%aan la %ipótesisnula, la probabilidad de cometer un error tipo > -por ejemplo, F/ es unn"mero peque9o, usualmente . &ero es mejor dejar que elinvestigador califique el %allago estadístico como ' significativo(,

'moderadamente significativo( o 'muy significativo(.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**


82/228

4. 8rueba unilateral o de una cola+lgunas veces tenemos una e$pectativa a priori o teórica sólida -oe$isten e$pectativas basadas en alg"n trabajo empírico previo/ de quela %ipótesis alternativa es unilateral o unidireccional, en lugar de ser

bilateral o de dos colas, como acabamos de analiar. +sí, para elejemplo de los salarios y el nivel de escolaridad, se puede postular que

= =? β 1D =.8 = ? β 1B=.8

Quiá la teoría económica o el trabajo empírico previo indiquen que la pendiente es mayor que =.8. El procedimiento para probar esta%ipótesis se e$plica mejor en términos del m&todo de prueba de significancia siguiente


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


83/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba t Este es un enfoque alterno pero complementario al de intervalos deconfiana para probar %ipótesis estadísticas. En términos generales, una prueba de significancia es un procedimiento 1ue utiliza los resultados

muestrales para verificar la verdad o falsedad de una hipótesis nula.La idea básica de las pruebas de significancia es la de un estadístico de prueba -un estimador/ y su distribución muestral seg"n la %ipótesis nula.

La decisión de aceptar o rec%aar = = se toma con base en el valor delestadístico de prueba obtenido con los datos disponibles.


#E)RA +E LA E*#$A)2

%RE7A +E 0%)#E**= Enfo?ue de la prue;a de significancia

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


84/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba t 2ecuerde que, seg"n el supuesto de normalidad, la variable

)i el valor del verdadero β 1 se especifica con la %ipótesis nula, el valor t se

calcula fácilmente a partir de la muestra disponible y, por consiguiente,sirve como estadístico de prueba que sigue una distribución t con n41 gl

es el valor de β 1 en = =. son los valores críticos de t para un nivel de

significancia -FP1/ y n1 gl.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


85/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba t Entonces, reorganiamos la "ltima ecuación

que da el intervalo en el cual se encontrará con probabilidad , dado β 1B

En el lenguaje de pruebas de %ipótesis, el intervalo de confiana a==-F/ establecido se conoce como la región de aceptación 0de la = = 1, y la región que queda fuera del intervalo de confianza se llama

región de rechazo 0de = = 1 o región crítica

Como ya mencionamos, los límites de confiana dados por los puntose$tremos del intervalo de confiana se llaman también valores críticos.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


86/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba t La cone$ión entre los enfoques de intervalo de confiana y prueba designificancia para realiar pruebas de %ipótesis se evidencia al comparar

Con

En el procedimiento de intervalo de confiana se trata de establecer unrango o intervalo que tenga una probabilidad determinada de contener al

verdadero aunque desconocido , mientras que en el enfoque de prueba designificancia se somete a %ipótesis alg"n valor de y se ve si el calculadose encuentra dentro de límites -de confiana/ raonables alrededor delvalor sometido a %ipótesis.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


87/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba t En el ejemplo de los salarios y el nivel de escolaridad. )abemos que

)uponiendo que y = =? β 1AA=.8 = ? β 17=.8

La ecuación se convierte en

Que se muestra en la siguiente figura


#E)RA +E LA E*#$A)2



88/228

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


89/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba t En la práctica, no %ay necesidad de estimar e$plícitamente.

)e calcula el valor de t del centro de la doble desigualdad dada en

y se ve si cae entre los valores críticos t o fuera de ellos.

valor que con claridad se encuentra en la región crítica de la figurasiguiente. La conclusión es rec%aar = =.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


90/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba t


#E)RA +E LA E*#$A)2



91/228

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


92/228

A. 8rueba de significancia de los coeficientes de regresión/ la prueba Gt La utiliación de una prueba de significancia de una o dos colas dependeráde la forma como se formule la %ipótesis alternativa, la cual, a su ve, puede depender de algunas consideraciones a priori o de e$periencia

empírica previa.En la tabla siguiente se presenta un resumen del método de la prueba t designificancia para pruebas de %ipótesis.


#E)RA +E LA E*#$A)2


#ipo de@ipótesis

0'= 0ipótesis

nula

01= 0ipótesis

alternativa

Regla dedecisión=

rec@a>ar 0' si=+os colas

ola derec@a

ola i>?uierda

#ipo de@ipótesis

0'= 0ipótesis

nula

01= 0ipótesis

alternativa

Regla dedecisión=

rec@a>ar 0' si=+os colas

ola derec@a

ola i>?uierda

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


93/228

4. 8rueba de significancia de / la prueba ; Como otro ejemplo de la metodología de las pruebas de significancia,considere la siguiente variable

Que sigue una distribución con n1 gl .&ara nuestro ejemplo y gl B. )i se postula que = = σ

1B=.H frente a = σ 1S=.H, la ecuación proporciona el estadístico de prueba para = =. +lsustituir valores se descubre que BH.:N;8. )i suponemos que FB8,

los valores críticos 1

son :.N8O8 y 1.K1==. Como el valor 1

calculado cae dentro de estos límites, los datos apoyan la %ipótesis nulay no la rec%aamos. Este procedimiento de prueba se denomina pruebade significancia 'i cuadrada.


#E)RA +E LA E*#$A)2



94/228

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


95/228

A. #ignificado de aceptar o rechazar una hipótesis)i, con base en una prueba de significancia, por ejemplo, la prueba t ,decidimos $aceptar' la hipótesis nula, todo lo que se afirma es que,con base en la evidencia dada por la muestra, no existe razón para

rechazarla; no se sostiene que la hipótesis nula sea verdadera conabsoluta certeza. H8or 1ué? &ara responder esto, regresemos alejemplo de los salarios y los niveles de escolaridad y supongamos que = = . +%ora, el valor estimado de la pendiente es con un . En seguida,con base en la prueba t , se obtiene


#E)RA +E LA E*#$A)2

%RE7A +E 0%)#E**= Algunos aspectos prácticos

que no es significativo, por ejemplo,en FB8. &or consiguiente, se diceque 'aceptamos( = =.

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


96/228

A. #ignificado de aceptar o rechazar una hipótesis&ero a%ora supongamos que = = . +l aplicar de nuevo la prueba t , seobtiene

que tampoco es estadísticamente significativo y se dice que'aceptamos( esta = =. ICuál de estas dos %ipótesis nulas es la'verdadera(J !o sabemos.

&or consiguiente, al 'aceptar ( una %ipótesis nula siempre se debe tener

presente que puede e$istir otra %ipótesis nula igualmente compatiblecon los datos. Es preferible, por tanto, decir que se puede aceptar lahipótesis nula en lugar de decir 1ue la aceptamos.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


97/228

. -ivel exacto de significancia/ valor GpIEl talón de +quiles del método clásico de la prueba de %ipótesis es suarbitrariedad al seleccionar TJV. 5na ve obtenido un estadístico de prueba Tt U en un ejemplo dado, Ipor qué no tan sólo consultar la tablaestadística adecuada y encontrar la probabilidad real de obtener unvalor del estadístico de prueba tan grande o mayor que el obtenido en elejemploJ Esta probabilidad se denomina valor p -es decir, valor de probabilidad/, también conocido como nivel observado o exacto designificancia, o probabilidad exacta de cometer un error tipo 5 . 6ás

técnicamente, el valor p se define como nivel de significancia m2sba'o al cual puede rechazarse una hipótesis nula.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


98/228

. -ivel exacto de significancia/ valor GpI&ara ilustrar, volvamos al ejemplo de los salarios y el nivel de escolaridad.Con la %ipótesis nula de que el verdadero coeficiente del nivel deescolaridad es =.8, se obtuvo el siguiente valor de t

Hu2l es el valor p de obtener un valor t igual o superior a ).%%? En latabla t se observa que, para gl , la probabilidad de obtener tal valor t debe estar muy por debajo de =.==8 -una cola/ o =.== -dos colas/.

)i se usan los paquetes estadísticos )tata o E3ieVs, se calcula que el valor

p de obtener un valor t igual o mayor que :.1 es de =.====, es decir, muy peque9o. #ste es el valor p del estadístico observado t . Este nivel e$acto designificancia del estadístico t es muc%o menor que el nivel de significanciaque se fija de manera convencional y arbitraria, como , 8 o =.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


99/228

. -ivel exacto de significancia/ valor GpIEn realidad, si se utiliara el valor p recién calculado y se rec%aara la%ipótesis nula de que el verdadero coeficiente de escolaridad es =.8, la probabilidad de cometer un error tipo > sería más o menos de sólo en==,===.

En otras palabras, para un tama9o de muestra dado, a medida queaumenta Rt R, el valor p se reduce y, por consiguiente, se rec%aa la%ipótesis nula con mayor confiana.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


100/228

J. #ignificancia estadística y significancia pr2ctica


#E)RA +E LA E*#$A)2


Consideremos lossiguientes datos querelaciona el consumo

personal -WC&/ con el&X>, ambas variablesse miden en millonesde dólares del 1===.

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


101/228

J. #ignificancia estadística y significancia pr2ctica


#E)RA +E LA E*#$A)2


*eóricamente, esta es unafunción consumo y en laregresión observamos que la

propensión marginal aconsumir -&6C/, es decir, elconsumo adicional que produce un dólar adicional deingreso -medido por el &>X/

es de alrededor de =.O1, o O1centavos.

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


102/228

J. #ignificancia estadística y significancia pr2cticaEl intervalo de confiana a K8, considerando ;; gl , para la &6C es

Como %ay ;; gl en este problema, no contamos con un valor crítico t preciso para estos gl . En consecuencia, el intervalo de confiana a K8se calcula con la regla práctica 1t .

)uponga que alguien afirma que la verdadera &6C es =.O;. IEsta cifradifiere de =.O1J #í , si nos apegamos estrictamente al intervalo deconfiana establecido.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


103/228

J. #ignificancia estadística y significancia pr2ctica&ero, Icuál es el significado práctico del %allagoJ Iqué diferencia %ayentre asignar a la &6C un valor de =.O; o uno de =.O1J IEs ladiferencia de =.=1 entre las dos &6C muy importante en la prácticaJ

La respuesta depende de lo que en realidad se %aga con estasestimaciones. &or ejemplo, de la macroeconomía se sabe que elmultiplicador del ingreso es P- &6C/. &or tanto, si la &6C es =.O1,el multiplicador es :.8O, pero será :.N; si la &6C es igual a =.O;.

Es decir, si el gobierno incrementara su gasto en dólar para sacar la

economía de una recesión, el ingreso aumentaría :.8O dólares, si la&6C fuese =.O1, pero lo %ará :.N; dólares si la &6C es =.O;. A esadiferencia puede ser crucial para reactivar la economía.


#E)RA +E LA E*#$A)2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


104/228

Estudiaremos, a%ora, el análisis de regresión desde el punto de vista delanálisis de variana, para ver una forma complementaria el problema dela inferencia estadística.

+nteriormente %abíamos elaborado la siguiente identidad

es decir, la suma de cuadrados total -)C*/ tiene dos componentes lasuma de cuadrados e$plicada -)CE/ y la suma de cuadrados deresiduos -)C2/.


#E)RA +E LA E*#$A)2

A2AL** +E RE-RE*)2 9 A2AL** +E 8ARA2/A

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


105/228

El estudio de estos componentes de )C* se conoce como an2lisis devarianza 9A-K&A: desde el punto de vista de la regresión.

+sociados con toda suma de cuadrados están sus gl , es decir, el n"merode observaciones independientes en las que se basa. La )C* tiene n gl porque se pierde gl en el cálculo de la media muestral. La )C2tiene n1 gl . 7ebemos advertir que estos es válido para el modelo deregresión con dos variables con presencia del intercepto K . )CE tiene gl -válido sólo para el caso de dos variables/, lo cual se deduce de que

sea una función sólo de pues se conoce .


) * )2


)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


106/228

2eorganicemos las sumas de cuadrados y sus gl asociados en la tabla,que es la forma estándar de la tabla +!?3+.



4uente de variación * gl*uma de cuadrados

promedio B*%C

+e;ido a la regresión*E

+e;ido a los residuos*R

*#

n41

n4

4uente de variación * gl*uma de cuadrados

promedio B*%C+e;ido a la regresión*E

+e;ido a los residuos*R

*#

n41

n4

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


107/228

Con la información de la tabla, consideremos la siguiente variable

)i suponemos que las perturbaciones µ i están normalmente distribuidasy si la %ipótesis nula - = =/ es que K 1B=, puede demostrarse que la

variable de esta ecuación satisface la distribución : con gl en elnumerador y -n1/ gl en el denominador.

La raón : constituye una prueba de la %ipótesis nula = =? K 1B=. Laraón : constituye un estadístico de prueba para verificar la = = de que

el verdadero β2=0. )ólo debe calcularse la raón : y compararla con elvalor crítico : obtenido de las tablas : en el nivel de significanciaseleccionado, u obtener el valor p del estadístico : calculado.




108/228

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


109/228

El valor : B=N.:=1H. El valor p de este estadístico : correspondiente a y N gl no puede obtenerse de la tabla : , pero con tablas estadísticaselectrónicas se demuestra que el valor pB=.======, una probabilidadmuy peque9a. &or tanto, si rec%aamos la %ipótesis nula = =?K 1B=, la

probabilidad de cometer un error tipo > es muy peque9a. &ara todo fin práctico, la muestra no pudo provenir de una población con un valor K 1B=, y se puede concluir con gran confiana que 5 , la educación, síafecta 4 , el salario promedio.

&ara el modelo con dos variables, en realidad no es necesario recurrir ala prueba : . )in embargo, en la regresión m"ltiple la prueba : tienediversas aplicaciones que la %acen un método muy "til y efica parademostrar %ipótesis estadísticas.




110/228

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


111/228

&or tanto, para gl , la probabilidad de obtener un valor t igual omayor que =.:;1N es de =.====K, o prácticamente cero.

+l observar los valores p de los t estimados, también se aprecia el nivele$acto de significancia de cada valor t estimado. +sí, conforme a la = = de

que el verdadero valor de la pendiente poblacional es cero -es decir, que elnivel de escolaridad no produce ning"n efecto en el salario promedio/, la probabilidad e$acta de obtener un valor t igual o mayor que =.:;1N es prácticamente cero. Cuanto menor sea el valor p, menor será también la probabilidad de cometer un error si se rec%aa la %ipótesis nula.


24)R$E +E RE*L#A+)* +EL A2AL** +E RE-RE*)2

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


112/228

?btenidos los resultados del análisis de regresión del ejemplo desalarios y niveles de escolaridad cabe cuestionar la bondad del modeloajustado. Hué tan !bueno" es el modelo a'ustado? !ecesitamosciertos criterios para responder esta pregunta.

8rimero, Iestán los signos de los coeficientes estimados de acuerdocon las e$pectativas teóricas o previasJ + priori, K 1 en el ejemplo de lossalarios y el nivel de escolaridad debe ser positivo. En el ejemplo, lo es.

#egundo, si la teoría sostiene que la relación no debe ser sólo positiva sino

también estadísticamente significativa, Ies el caso en nuestro ejemploJ Losresultados muestran que el coeficiente del nivel de escolaridad no sólo es

positivo, sino también estadísticamente significativo, es decir, diferente decero0 el valor p del valor t estimado es muy peque9o. 3alen los mismoscomentarios para el coeficiente del intercepto.


E8ALA)2 +E L)* RE*L#A+)* +EL A2AL** +ERE-RE*)2

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


113/228

7ercero, Iqué tan bien e$plica el modelo de regresión la variación en elejemploJ )e puede responder con r 1. En nuestro ejemplo, r 1 es dealrededor de =.K=, un valor muy alto si consideramos que r 1 puede sermá$imo .

+sí, parece muy bueno el modelo escogido para e$plicar elcomportamiento de los salarios promedio. &ero antes de comprometersecon él, sería interesante averiguar si satisface los supuestos del 6C2L!.&or la simplicidad del modelo, sólo %ay un supuesto que se puede

verificar, a saber, el de normalidad del término de perturbación, µ i.2ecuerde que las pruebas t y : requieren que el término de error siga unadistribución normal. 7e lo contrario, el procedimiento de prueba no seráválido en muestras peque9as, o finitas.



)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


114/228

A. 8rueba de normalidad

+unque se %an estudiado diversas pruebas de normalidad en la teoría, sóloconsideraremos dos

/ Distograma de residuos

:/ &rueba Yarque4Xera.



)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


115/228


A.1 0istograma de residuos

Es un simple dispositivo gráfico para saber algo sobre la forma de lafunción de densidad poblacional -@7&/ de una variable aleatoria. En el eje

%oriontal se dividen los valores de la variable de interés -por ejemplo, losresiduos de 6C?/ en intervalos convenientes, y sobre cada intervalo declase se construyen rectángulos cuya altura sea igual al n"mero deobservaciones -es decir, la frecuencia/ para ese intervalo de clase. )imentalmente se coloca la curva de distribución normal en forma decampana sobre el %istograma, se tendrá cierta idea sobre la pertinencia ono de la apro$imación normal -@7&/. En la figura siguiente se presenta el%istograma de residuos correspondiente a la regresión de salarios y nivelde escolaridad.



)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


116/228


A.1 0istograma de residuos



0

1

2

3

4

5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Series: RESID

Sample 1 13Observations 13

ean 1.25e-15

e!ian 0.12"5#3

a$im%m 1.31&'0&

inim%m -1.5"3#04

St!. Dev. 0.'&'#40

S(e)ness -0.3&3#'#

*%rtosis 2.04"253

+ar,%e-era 0.'2'"&&

robabilit/ 0.""0##0

Este diagrama muestra que losresiduos no tienen distribuciónnormal perfecta0 para una variabledistribuida normalmente, la

asimetría -una medida de lasimetría/ debe ser cero, y lacurtosis -que mide si la distribuciónnormal es alta o baja/, 1.=;H.)iempre es aconsejable traar el%istograma de los residuos decualquier regresión como métodoapro$imado y rápido para probar elsupuesto de normalidad.

)2#RA*#A)2 +E 0%)#E**

#E)RA +E LA E*#$A)2


117/228


A. %rue;a de (ar?ue&7eraC

Contrastacion de Hipotesis 2015 Ptp

Documents

Transcript of Contrastacion de Hipotesis 2015 Ptp