control 2 adicion de polos y ceros
42
DISEÑO DE CONTROLADORES
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adición de polos y ceros en funciones de transferencia respuesta en el tiempo e importancia de la compensacion
Transcript of control 2 adicion de polos y ceros
-
DISEO DE CONTROLADORES
-
Contenido
-
Introduccin
El objetivo de esta seccin es presentar los procedimientos para el diseo y la compensacin de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo
La compensacin es la modificacin de la dinmica del sistema, realizada para satisfacer las especificaciones determinadas
PlantaCR
PlantaControlador(actuador)R C
-
Especificaciones de desempeo
Tareas especficas y requerimientos impuestos sobre el sistema de control, parmetros de desempeo. - precisin - estabilidad relativa - velocidad de respuesta -
Compensacin y compensador El diseo o adicin de un dispositivo apropiado se denomina
compensacin Compensador modifica el desempeo, dficit del sistema original
-
Sistema compensado
SistemaLTI
Controlador(actuador)
Sensor
?
-
Compensacin del sistema
Diagrama de bloques de compensacin
-
Tipos de compensacin
Compensacin en serie
Compensacin en realimentacin o paralelo
G(s)Gc(s)
H(s)
G2(s)
Gc(s)
G1(s)
H(s)
Naturaleza de las seales Niveles de potencia Componentes disponiblesExperiencia del diseadorConsideraciones econmicas
-
Compensadores Redes de adelanto Redes de atraso Redes de atraso adelanto
Pueden ser segn el sistema: electrnicos Elctricas mecnicas neumticas hidrulicas combinacin de ellas, etc
El compensador es un dispositivo fsico
que se debe hallar su funcin de
transferencia.
-
LGR para el diseo de un sistema de control
En la prctica, una grfica del lugar geomtrico de las races de un sistema indica que el desempeo deseado no puede obtenerse con slo el ajuste de la ganancia
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50.070.140.220.320.42
0.56
0.74
0.9
0.070.140.220.320.420.56
0.74
0.9
1
2
3
4
1
2
3
4
5
Root Locus
Real Axis
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-
Modificacin de la ganancia
La modificacin de la ganancia puede hacer que la respuesta en el tiempo mejore
Root Locus
Real Axis
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
System: g1Gain: 2.99Pole: -1.5 + 3.12iDamping: 0.434Overshoot (%): 22.1Frequency (rad/sec): 3.46
0.050.110.180.250.340.48
0.64
0.86
0.050.110.180.250.340.48
0.64
0.86
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
40 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
-
Efectos de la adicin de polos.
La adicin de un polo a la funcin de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar geomtrico de las races a la derecha
Tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema Tiende aumentar el tiempo de asentamiento de la respuesta.
-
Ejemplo 2.1
Analizar la funcin de transferencia siguiente
4
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.50.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.511.522.533.54
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
-
4
-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
2500.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
50100150200250300
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysgm
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
gcgm
-
4
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
500.680.8
0.91
0.975
0.140.280.420.560.680.8
0.91
0.975
102030405060
0.140.280.420.56
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysgm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
gcgm
-
4
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
200.140.30.440.580.72
0.84
0.92
0.98
0.140.30.440.580.72
0.84
0.92
0.98
510152025
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysgm
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
gcgm
-
Ejemplo 2.2
Sistema con 1 polo adicional
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-3
-2
-1
0
1
2
30.50.760.880.940.9680.986
0.994
0.999
0.50.760.880.940.9680.986
0.994
0.999
24681012141618
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
-
Ejemplo 2.2
Sistema con 1 polo adicional
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-6
-4
-2
0
2
4
6
0.97
0.992
0.240.460.640.780.870.93
0.97
0.992
246810121416
0.240.460.640.780.870.93
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
g1g3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g3
-
Ejemplo 2.3
Sistema con 2 polos adicionales
4
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.50.978
0.991
0.998
0.450.70.850.920.960.978
0.991
0.998
24681012
0.450.70.850.920.96
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
g1g3
0 1 2 3 4 5 6 70
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g3
-
4
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
100.84
0.92
0.98
0.160.30.460.60.720.84
0.92
0.98
2468101214
0.160.30.460.60.72
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
g1g3
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g3
-
Efectos de la adicin de ceros.
La adicin de un cero a la funcin de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geomtrico de las races hacia la izquierda:
Tiende a ser ms estable Acelera el asentamiento de la respuesta.
-
Ejemplo 2.3
Sistema
4
4
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0.98
0.160.30.460.60.720.84
0.92
0.98
2468101214
0.160.30.460.60.720.84
0.92
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sys
-
Sistema con 1 cero aumentado
4
4
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
100.720.84
0.92
0.98
0.160.30.460.60.720.84
0.92
0.98
2468101214
0.160.30.460.6
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
-
Sistema con 1 cero aumentados diferente
4
4
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
400.040.080.130.180.260.36
0.52
0.8
0.040.080.130.180.260.36
0.52
0.8
5
10
1520
25
30
35
510
15
20
2530
35
40
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
-
Sistema con 1 cero aumentados diferente
4
4
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
4000.0180.040.0650.0950.13
0.19
0.3
0.55
0.0180.040.0650.0950.13
0.19
0.3
0.55
50100
150200
250300
350
50100
150200
250300
350
400
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
-
Grafica mostrando 03 lugares de races
4
4
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
4000.0180.040.0650.0950.13
0.19
0.3
0.55
0.0180.040.0650.0950.13
0.19
0.3
0.55
50100
150200
250300
350
50100
150200
250300
350
400
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
-
Ejemplo 2.4
Dado el sistema de lazo abierto aadir diferentes polos y ceros y ver elcomportamiento del lugar geomtrico de races, respuesta en el tiempo.
Solucin Funcin de transferencia de lazo abierto
Funcin de transferencia de lazo cerrado
4
4
4
4
4
4
4
-
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.50.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.511.52
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sys
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1
-
Adicin de polos al sistema
Dadas las funciones de transferencia de lazo abierto y cerrado
En s=-5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
-
-20 -15 -10 -5 0 5-15
-10
-5
0
5
10
150.560.70.82
0.91
0.975
0.140.280.420.560.70.82
0.91
0.975
2.557.51012.51517.520
0.140.280.42
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4
-
En s=-10
En s=-20
4
4
4
4
4
4
4
4
4 4
-
-40 -30 -20 -10 0 10 20-30
-20
-10
0
10
20
30
0.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
510152025303540
0.160.340.50.640.76
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4
-
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
500.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
10203040506070
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4
-
El LGR de los tres sistemas con diferentes polos a partir de la FTLA.
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
500.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
10203040506070
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3sysg3sysg3
-
Respuesta en el tiempo de los tres sistemas con diferentes polos a partir de la FTLC.
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4g1g4g1g4
-
Adicin de ceros
En s=-5
En s=10
4
4
4
4
4
4
4
6
4
4 4
4 4
6 4
-
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50.30.540.720.830.910.95
0.98
0.995
0.30.540.720.830.910.95
0.98
0.995
246810121416
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4
-
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
100.96
0.984
0.996
0.350.580.760.860.920.96
0.984
0.996
5101520253035
0.350.580.760.860.92
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4
-
En s=-20
4
4
4
6
-
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
200.860.920.96
0.984
0.996
0.350.580.760.860.920.96
0.984
0.996
10203040506070
0.350.580.76
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4
-
El LGR de los tres sistemas con diferentes ceros a partir de la FTLA.
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
200.350.580.760.860.920.96
0.984
0.996
0.350.580.760.860.920.96
0.984
0.996
10203040506070
Root Locus
Real Axis (seconds -1)
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
(
s
e
c
o
n
d
s
-
1
)
sysg3sysg3sysg3
-
Respuesta en el tiempo de los tres sistemas con diferentes polos a partir de la FTLC.
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
g1g4g1g4g1g4
-
Ejemplos
SISOTOOL Conclusiones
