CONTROL ADAPTIVO POR MODELO DE REFERENCIA (MRAC) PARA UNA PLANTA DE SEGUNDO ORDEN

Universidad Nacional del Callao - FIEE 2011 -B

Laboratorio d e Control Avanzado 1

CONTROL ADAPTIVO POR MODELO DE

REFERENCIA (MRAC)

Cuya Solari, Omar Antonio

oacs_198 @hotmail.com

Flores Bustinza , Edwing Irwing

irwing _1988_ @hotmail.com

Torres Chavez, Jonathan Emmanuel

jonathan 260605 @hotmail.com
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]



I. - Objetivos

Aprender la tcnica de control adaptivo por modelo de referencia.

Comprobar los resultados del control en simulacin y tiempo real usando

la tarjeta NIDAQUSB -6009 de National Instruments y el software

LABVIEW.

II. - Modelamiento del sistema

Fig1 .-Planta prototipo de segundo orden

De la planta prototipo obtenemos las siguientes ecuaciones:

Despejando de las ecuaciones (1) y (2), e igualando obtenemos:

Despejando de la ecuacin (2) y reemplazndola en la ecuacin (4):



Ahora reemplazando la ecuacin (3):

Reemplazando las ecuaciones (3) y (6) en la ecuacin (5) se obtiene la siguiente

ecuacin diferencial de segundo orden:

Aplicando la transformada de LAPLACE y hallando la funcin de transferencia

obtenemos:

Sabemos que el sistema prototipo de segundo orden es:

Dndole la forma estndar de segundo orden a la ecuacin (7):

III. - Tcnica de control 1. - Control Adaptivo El termino adaptivo significa cambiar el comportamiento conforme a nuevas circunstancias . Un controlador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en respuesta a cambios en la dinmica del proceso y en las perturbaciones. El control adaptativo puede controlar sistemas con parmetros constantes sistemas con parmetros variables . La idea bsica del control adaptativo es estimar on -line las variaciones de los parmetros de la planta, basndose en la medida de las seales de entrada salida de la misma y utilizar los parmetros estimados para realizar los ajustes del controlador.



El control adaptativo, tanto para sistemas lineales no lineales, es esencialmente no lineal. La configuracin bsica del control adaptivo fue propuesta por Landau (1974). El mecanismo de adaptacin provee una solucin en el tiempo real al problema de d iseo para sistemas de parmetros desconocidos.

Fig 2 .- Diagrama de bloque de un controlador adaptivo en general

Esquema bsico del control adaptivo Existen dos clasificaciones principales de controladores adaptivos:

Sistemas con adaptacin en lazo cerrado (STR, MRAC).

Sistemas con adaptacin en lazo abierto (Ganancia programable). Para este labora torio se implement el algoritmo de control adaptivo por mod elo de referencia (MRAC) , para ello definiremos la t cnic a apara luego explicar el mtodo de a daptacin que sea ha logrado en esta experiencia: 2. - Algoritmo de Control Control Adaptivo con modelo de referencia (MRAC) para una Sistema de Segundo orden

En este controlado r la adaptacin MRAC se obtiene a partir de la seal de error que resulta de comparar la salida real del sistema con la esperada a partir de

un modelo de comportamiento establecido (modelo de referencia . El comportamiento ideal del modelo de referencia debera poder ser alcanzado por el sistema de control adaptativo . La teora de control dispone de varios mtodos que se pueden utilizar para obtener el mecanismo de adaptacin: regla de MIT, mtodo de Lyapunov, mtodo de hiperestabilidad, etc.



En cualquier caso, los resultados son semejantes pero todos los mtodos t iene un mismo objetivo, lograr que la planta original siga al modelo de referencia lo ms rpido posible y con un error que converga a cero o muy prximo . El diseo adaptivo, consiste en encontrar un controlador para manejar la respuesta de la planta para imitar la respuesta de la planta para imitar la respuesta ideal ( ). El diseador escoge el modelo de referencia, la

estructura del controlador, y luego sintoniza las ganancias para el mecanismo de ajuste o de adaptacin.

Fig 3 .- Diagrama de bloque s del MRAC a implementar

Donde:

El controlador de Ajuste: Debe cumplir la condicin de hacer posible que el conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia. Suele ser necesario dependiendo la planta original.

El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinmico estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar. ste modelo, estable o marginalmente estable segn la utilidad que el queramos dar.

La ley de adaptacin: Es el bloque encargado del ajuste de los nuevos

modelo de referencia propuesto. Esta s e puede obtener por diferentes mtodos: Mtodo de sensibilidad, mtodo de Lyapunov y mtodo de hiperestabilidad.

Regla de MIT



Los si stemas adaptivos con modelo de referencia basan su ley de control en

mtodos que garanticen su rpida adaptacin o ajuste a lo deseado, la regla de

MIT constituye uno de ellos y fue propuesto por Whitaker del MIT (Massachussets

Institute of Technology) en 1958 .

La regla de MIT basa su aplicacin en el planteamiento de la funcin de costo que

debe ajustar el error a ce ro rpidamente, por ello se define matemticamente

como:

Considerando el error como:

Para minimizar J es razonable cambiar los parmetros en la direccin de la

gradiente negativa de J, como se muestra en la siguiente ecuacin conocida como

la regla de MIT:

Donde:

: Coeficiente de Adaptacin o parmetro de sintona.

J : Funcin de costo .

Derivada de sensitividad .

: Parmetros de adaptacin .

El signo menos evidencia una reduccin o minimizacin del tiempo de adaptacin

coeficiente netamente de simulacin ya debe existir un equilibrio en su eleccin

(normalmente es pequeo) es crucial para la razn de convergencia y estabilidad ,

aqu una g rafica de su influencia en la adaptacin:



Fig 4 .- Simulacin de la eleccin del coeficiente de adaptacin

Adems se muestra una grfica que evidencia la tendencia de los parmetros de

adaptacin hasta la estabili dad:

Fig 5 .- Convergencia de los parmetros de adaptacin

Luego de la definicin de la regla de MIT se define la ley de control para nuestro

sistema prototipo de segundo orden como:

Tal que la planta (Gp(s)) y el modelo de referencia (Gm(s)) estn definidos por:

(A lo que se quiere llegar)

Con las ecuaciones anteriores escribimos representamos el algoritmo MRAC

simplificado como en la figura. Las relaciones que se calcularn sern de acuerdo

a ese diagrama a partir de ahora.



Fig 6 .- Diagrama de bloques MRAC simplificado

Ahora denotaremos la ecuacin del error y trabajaremos en funcin a las

relaciones anteriores despejadas :

Entonces el error quedar:

=

Luego de la funcin de costo de la regla de MIT , se obtuvo :

Ahora:

Pasaremos a definir la variacin de los parmetros de adaptacin se tiene que de

la ecuacin del error se obtiene:

En la convergencia K = , entonces:



3.- Planta Prototipo de segundo orden

Nuestra planta se define a travs de la siguiente funcin de transferencia:

Donde:

: Coeficiente de amortiguamiento .

: Frecuencia de oscilacin .

Este prototipo es estable cuando la frecuencia tiende a cero es decir en el

estacionario, la s planta s implementada s para esta experiencia son:

3.a. - Primera Planta

a.- Modelo de la planta

Tenemos los siguiente s valores a considerar:

Ahora procedemos a encontrar el modelo de referencia al cual nuestra planta se

va a adaptar:

Llevando a ecuaciones diferenciales la planta y el modelo de referencia tenemos:

Planta:

Modelo de Referencia:

Si restamos - en el espacio estacionario debe resultar cero:



Recordemos que nuestra planta posee un sobrepaso del 14% y un coeficiente de

amortiguamiento de 0.527. Entonces tenemos como funcin de transferencia de

la planta:

b.- Modelo de Referencia

Para este punto tenemos que tener bien en claro que estamos empleando la

misma planta a la cual se le realiz el control por linealizacin exacta por

realimentacin de estados. Entonces aprovechando el algoritmo del laboratorio

anterior implementado en MATLAB mediante el cual podamos obtener matrices

de realimentacin y una nueva planta con polos deseados, podemos nuevamente

emplearlo con l a finalidad de obtener un modelo de referencia al cual se le

adaptar nuestra planta 1. Las modificaciones bsicas radican en anular los

comandos de la matriz de realimentacin K puesto que no la necesitamos.

clear all ; close all ; clc

R1=10e3;

R2=29.74e3;

C2=100e- 9;

C1=470e- 9;

wn=sqrt(1/(C1*C2*R1*R2))

delta=((R1+R2)/2)*sqrt(C2/(R1*R2*

C1))

if (delta



Mientras que el modelo de referencia tienes la siguiente notacin, con un Mp=5%

y un ts=0.02 :

Adems sabemos que:

Hallamos la s derivadas de la sensitivi dad:

Adems el modelo de referencia es la planta en lazo cerrado, que puede ser

aproximado por:

Siendo sus sensibilid ades:

Finalmente tenemos:



IV. - Simulaciones 1 .- Caso Primera Planta 1. a.- Matlab Para este punto debemos tomar en consideracin el algoritmo implementado en el

laboratorio pasado. La razn fundamental es que la programacin nos permite

obtener modelos de referencia dependiendo de los parmetros de ts y Mp que

deseamos para nuestra plan ta, no debemos olvidar que el algoritmo est diseado

para procesos de repuesta subamortigada.

Podemos apreciar en la Figura 7 que la funcin de transferencia obtenida es la

misma a la obtenida de manera matemtica en el modelamiento, adems de

acuerdo a los valores deseados obtendremos el modelo de referencia para realizar

el control:

Fig7 .- Ventana de comandos de MATLAB mostrando resultados del

algoritmo

Funcin de Transferencia del

sistema en lazo abierto


Modelo de Referencia

Parmetros para determinar el




Fi g 8 .- Seal de respuesta en Lazo Abierto

Fig 9 .- Seales de respuesta inicial y controlada

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

3

4

5

6Sistema Subamortiguado

t(s)

Sali

da

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

1

2

3

4

5

6Comparacion de Y y Yc

t(s)

Sali

da

Planta L.A

Entrada

Planta L.C



1. b.- Labview Para implementar el algoritmo de diagrama de bloque empleamos la plataforma LABVIEW. En la siguiente figura se describen bsicamente 4 etapas:

Ley de Control .- Recordemos segn lo mencionado en la teora de control que la seal de control depende de 2 parmetros:

Debemos mencionar adems que dependiendo de la planta se suele adicionar a la seal de control un controlad or P, PI o PID con la finalidad

de garantizar que sea capaz de adaptar nuestro modelo al de referencia.

Modelo de Referencia: modelo que pretendemos que sirva de referencia para el control de la planta en lazo cerrado:

Planta Anloga: planta o sistema dinmico que va a adaptarse al modelo de referencia en el tiempo:

Mecanismo de Control .- Comprende la etapa se configuran y controlan

los parmetros de y que dependen de un factor de adaptacin, del

error del sistema y de la salida y entrada del sistema, adems estn

constituidas por estructuras semejantes al modelo de referencia.

Adems podemos apreciar que en la etapa de sintonizacin de los

parmetros encontramos el modelo de referencia pero con algunas

variaciones. Bsicamente se le ha adicionado un cero con la finalidad de

que se asemeje al sistema real, sin embargo la eleccin de ese cero es de

cuidado puesto que puede significar cambios en la adapta cin del sistema.

En teora debe ser de esta forma: , pero para nuestra planta se

ha acercado un poco ese cero considerando : en vez de



Ahora mediante la plataforma Labview en su Panel Frontal podemos observar la

simulacin del controlador y la respuesta de la Planta ante un estmulo de

amplitud de 5 voltios.

De acuerdo a la figura que se muestra encontramos 2 seales: la de color azul

que es el modelo de referencia del sistema, y la de rojo que es la planta que se va

adaptando a medida que pasa el tiempo. Tambin podemos visualizar las

matrices del Modelo de Referencia de la Planta en lazo abierto, as como los

parmetros: Factor de Adaptacin, Periodo y Amplitud de la seal de referencia.

Para el factor de adaptacin hemos considerado uno de 0.5, por la experiencia se

conoce que el factor de adaptacin debe ser mayor a cero y menor a cinco; el

motivo de la eleccin es pue sto que la planta con este factor de 0.5 va

adaptndose de manera suave sin que se altere demasiado la seal de control y

sin que la respuesta de la planta se vea altera abruptamente.

Adems debemos apreciar que la seal de control est siendo limitada en tre 0 y 5

voltios puesto que la idea de realizar esta simulacin es de establecer la etapa

previa para luego pasar a realizar el CONTROL EN TIEMPO REAL; y como

sabemos la tarjeta de adquisicin NIDAQ 6009 que se emplear arroja tensiones

entre 0 y 5 voltio s.



Ahora debemos encontrar el tiempo en el cual se logra la adaptacin suficiente

para garantizar el adecuado control de la planta. Segn el simulador y el

siguiente grfico podemos apreciar que la planta se est adaptando al modelo de

referencia de mane ra ptima a los 25 segundos de iniciado el proceso. Este

tiempo podra mejorar si se aplica un control previo PID a nuestra seal de

control luego de ser sintonizada por los parmetros teta, sin embargo esto

tambin depende de la respuesta que pretendamos obtener con el modelo de

referencia, pues si realizamos una sintonizacin de Ziegler Nichols para este

modelos, los parmetros Kp, Ki y Kd no seran los suficientemente adecuados

pues el modelo de referencia es subamortiguado con un 2% de Mp.



2. - Caso Segunda Planta

2.a. - Matlab

Nos propusimos obtener del cdigo anterior del Matlab el modelo de referencia

pero con unos requerimientos ms exigentes de ts=0.0045 seg y Mp =0.2% y

obtuvimos la funcin de transferencia del modelo de referencia para nuestra

planta, no debemos olvidar que el algoritmo est diseado para procesos de

repuesta subamortigada. Ver figura ().

Fig 10 .- Ventana de comandos de MATLAB con los modelos hallados

Se obtiene el modelo de referencia:

Con lo cual se obtienen los siguientes polteos:


sistema en lazo abierto



Parmetros para determinar el




Fig 11 .-Respuesta en Lazo Abierto

Fig 12 .- Seales d e respuesta inicial y controlada

a.- Controlador de Ajuste

Seguidamente elegiremos el controlador de ajuste que garantizara la adaptacin

rpida del modelo planta, en este caso con ayuda del mod elo de referencia ya

hallado de la figura anterior, haremos un PID con sintonizacin Zieger Nichols,y

para ello haremos uso de este cdigo Matlab para el mtodo de la recta de



mxima pendiente en el trazo de la curva de reaccin , para el modelo de

referencia:

% funcion de transferencia % parametros n = 9920; d = [1 177.8 9920]; sys = tf(n,d); Gp = tf(n,d); t = 0:0.001:1; y = step(sys,t); plot(t,y, 'r' , 'linewidth' ,2) title( ' \ bf Respuesta del Modelo

de referencia Gm(s)' ) axis([0 0.12 0 1])

t1 = 0:0.001:0.12; y = step(sys,t1);

t = t1 - t1(1); y = y - y(1);

N = length(t1);

% busqueda de la pendiente maxima

Pmax = 0; imax = 0;

for i = 1:N - 1 P = (y(i+1) - y(i ))/(t1(i+1) -

t1(i)); if P>Pmax; Pmax = P; imax = i; end end

ymax = [y(imax) y(imax+1)]; tmax = [t1(imax) t1(imax+1)];

%hallando los parametros K,L,T K = median (y(N - 3:N));

%trazando recta de mayor

pendiente P = polyfit( tmax,ymax,1); R = polyval(P,t1);

%calculo del parametro L L = roots(P); %calculo del parametro T Tx = roots(P - [0 K]); T = Tx - L;

figure plot (t1,y, 'k' , 'linewidth' ,2); hold plot (t1,R, 'r -- ' , 'linewidth' ,2); axis([0 0.1 - 0.3 1.5]); h=title( ' \ bf curva del modelo de

referencia para el PID' ); legend( 'respuesta Ym' , 'recta max

pendiente' ) set(h, 'fontname' , 'courier' , 'fonts

ize' ,14) xlabel( ' \ bf t(seg)' ); ylabel( ' \ bf amplitud' ); grid disp( 'K L T' ) disp([K L T])

%controlador ziegler - N

Tc = 4*L; m = K*L/T; a = K*L/T; Kc = 2/(m*L); Kp = 0.6/a Ti = T; Td = 0.5*L; Ki = Kp/Ti Kd = Kp*Td disp([Kp Ki Kd])

Luego de este c digo se obtendr n los ploteos respectivos del modelo a evaluar y

de la recta de mxima pendiente para obtener parmet ros de sintona para el PID

en cuestin.



Fig 13 .- Modelo de referencia para sintonizacin

Fig 14 .- Curva de reaccin Zieger Nichols y recta de mxima pendiente

Luego se obtienen las siguientes constantes para el PID

Kp = 5.0862

Kd = 200.5846

Ki = 0.0076 (Sujeto a variacin)



2.b. - LabView

Para la implementacin del algoritmo MRAC para una plant a de segundo orden

se tienen el siguiente diagrama de bloques detallado implementado en LabView:



Se ha insertado la funcin de transferencia de esta segunda planta:

Fig 15 .- Configuracin de la planta en lazo abierto con 50% de Mp

Luego se obtienen la seal MRAC que es la que se est adaptando al modelo de

referencia, a travs del panel frontal del LabView:

Fig 16 .- Inicio de la adaptacin



Fig 17 .-Planta adapt ndose

Fig 18 .-Planta adaptada al modelo de referencia



V.- Control en Tiempo Real

1.- Materiales y equipos:

Dentro de los materiales a emplear para esta experiencia podemos mencionar de

que se tratan de componentes electrnicos como:

- Tarjeta NIDAQ USB 6009 6008.

- Resistencia de 1k y de 10k

-

- Condensadores de 2.2 uF y de 100nF.

- OPAMP TL082

- Fuente Simtrica de voltios.

Fig 19 .- Circuito y equipos a emplear.

2.- Caso Segunda Planta

2. a.- Configuracin de puertos en la tarjeta interfaz NIDAQ USB 6009

Como se mencion antes las simulaciones constituyen la base para llegar a esta

etapa del control en tiempo real. Ahora haremos uso de la planta en fsico y del

algoritmo de control implementado en Labview, teniendo como interface entre la

PC y el circuito la tarjeta de adquisicin de National Instruments NIDAQ 6009.

Los componentes a emplear se mencionaron en el punto anterior; entonces lo que

resta hacer es adaptar el algoritmo en Labview mediante el Toolkit NI -DAQmx;

para lo cual tenemos que realizar la siguiente configuracin de los puertos de la

tarjeta:



Fig 20 .- Diagrama de Pines de la NI -DAQ 6009

Para este caso emplearemos los puertos de entrada y salida anl ogos, de entrada

utilizaremos los ai0 (pin Y) y para la salida el ao0 (pin X). No debemos olvidar de

conectar la tierra de la tarjeta a la tierra de nuestro circuito. A travs de la salida

ao0 podremos extraer la seal de control de la PC que ingresar a n uestra planta,

y mediante la entrada ai0 visualizaremos la respuesta de la planta ante los

estmulos que le brindemos desde el software pudiendo as variar el periodo o la

amplitud de la seal de referencia.

En cuanto a la configuracin de la tarjeta se re alizar siguiendo los siguientes

pasos:

Fig 21 .- Configuracin de la NI -DAQ como entrada



Fig 22 .- Configuracin de los parmetros de la seal que vamos a obtener

Fig 23 .- Configuracin de la NI -DAQ como salida

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