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Control Automático Compensador de adelanto en el lugar de las raíces
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Control Automático
Compensador de adelanto en el lugar de
las raíces
Contenido
◼ Estrategia para la síntesis de reguladores rlocus
◼ Algoritmo para el diseño usando el plano complejo
◼ Cálculo del compensador de adelanto en el plano S
◼ Por ubicación del cero(s) o cancelación de polo(s)
◼ Método de la bisectriz
◼ Cálculo del compensador de adelanto en el plano Z
◼ Por ubicación del cero(s) o cancelación de polo(s)
◼ Método de la bisectriz
◼ Ejemplos y ejercicios
◼ Resumen
◼ Referencias
Cálculo del regulador K(s)
◼ En la práctica, un regulador K(s) exacto y único no puede ser calculado por dos razones:
◼ En general el lazo de regulación no es de segundo orden.
◼ Por razones prácticas, los valores de sobreimpulso y de tiempo de estabilización no son establecidos de forma exacta; sino, por valores límite
Estrategia para la síntesis de
reguladores en el plano complejo
1. Atacar el problema por partes:
◼ Primero, si es necesario, estabilizar el sistema,
◼ Segundo, buscar satisfacer los criterios de sobreimpulso y tiempo de subida,
◼ Tercero y final, satisfacer los requisitos de error de estado estacionario.
2. Para la satisfacción de requisitos de sobreimpulso máximo y de error de estado estacionario para la perturbación, se trabaja primero con la respuesta directa.
Algoritmo para el diseño con
ayuda del lugar de las raíces
1. Graficar el lugar de las raíces para la
función de transferencia de lazo abierto
GO().
2. Encontrar las regiones para la ubicación
deseada del par de polos dominantes.
3. Determinar la ubicación cualitativa del par
de polos dominantes introduciendo un
compensador o regulador .)(ˆ K
Algoritmo para el diseño con
ayuda del lugar de las raíces (2)
4. Graficar para la nueva función de
transferencia de lazo abierto, ,
el lugar de las raíces.
5. Encontrar el valor de la ganancia K que
ubica los polos dominantes en la región
deseada.
6. Simular el comportamiento en el tiempo
del lazo de regulación
)()(ˆ OGKK
1. Graficar el lugar de las raíces para
GO(s)
◼ Ubicar los polos y ceros en el plano complejo
◼ Encontrar y graficar las regiones del eje real
que pertenecen al lugar de las raíces
◼ Encontrar el centroide y las asíntotas
◼ Encontrar los ángulos de partida y de llegada
◼ Graficar cada asta del lugar de las raíces
2. Encontrar las regiones para la
ubicación del par de polos dominantes
◼ Convertir las especificaciones del dominio
del tiempo en especificaciones de
frecuencia natural n y amortiguamiento
relativo .
◼ Graficar las especificaciones de frecuencia
natural y amortiguamiento relativo.
◼ Seleccionar la región donde se cumplen las
especificaciones del dominio del tiempo.
Ejemplo de regiones para la ubicación de
los polos dominantes de lazo cerrado en el
planos S
plano s
s
j
0
n mín., (tr máx.)
n máx.
xmín., M máx.
xmáx.
E. Interiano 10
Ejemplo de regiones para la ubicación de
los polos dominantes de lazo cerrado en
el planos z
Se muestra un sistema con los límites de la zona en la que se deben ubicar los polos de lazo cerrado para valores de
> 0.6
ωnT > 0.288
T = 0.1s.
3. Determinar la ubicación cualitativa
del par de polos dominantes
◼ Seleccionar el compensador o regulador
adecuado de acuerdo a los criterios
conocidos.
◼ Iniciar con los reguladores más simples
(con pocos polos y ceros).
4. Graficar el lugar de las raíces para la
nueva función de transferencia de lazo
abierto
◼ Realizar el producto K()*GO()
◼ Ubicar los polos y ceros en el plano complejo
◼ Encontrar y graficar las regiones del eje real que pertenecen al lugar de las raíces
◼ Encontrar el centroide y las asíntotas
◼ Encontrar los ángulos de partida y de llegada
◼ Graficar cada asta del lugar de las raíces
5. Encontrar el valor de la ganancia K que
ubica los polos dominantes en la región
deseada
◼ Seleccionar la ubicación final para los polos
dominantes en la región deseada
◼ Comprobar que efectivamente existe un par
de polos dominantes y que la influencia de
los polos restantes es despreciable.
◼ Calcular la ganancia K para esa ubicación.
Esto corresponde a la parte proporcional del
controlador.
6. Simular el comportamiento en el
tiempo del lazo de regulación
◼ Verificar si se cumplen las especificaciones dadas para el sistema completo
◼ Si no se cumplen las especificaciones volver al punto 5 e iterar.
◼ Si aun no se cumplen todas las especificaciones con el regulador escogido, volver al punto 3., escoger otro punto o seleccionar otro regulador más complejo (P, PD, PI, PID); o agregar otro regulador, y repetir el procedimiento.
Compensadores y reguladores en
tiempo continuo y discreto
◼ Compensador de adelanto
◼ Compensador de atraso
◼ Compensador adelanto-atraso
◼ Compensador de filtro de muesca
n
Cleadp
zkK
−
−=
0
0)(
( )( )1
1)(p
zKlag
−
−=
npnpp
nznzzCnotch kK
22
22
2
2)(
++
++=
00 zp
11 zp
Desarrollo de las ecuaciones del
compensador de cancelación
◼ La condición de fase
con el compensador
agregado
◼ Agrupamos el ángulo
del cero del
compensador con los
ángulos de la planta
◼ Despejamos el ángulo
del polo del
compensador y
evaluamos para los
primeros valores de
+=
−+−
=
==
)1*2()(
)(
11
1
00l
O
ii
G
n
i
p
q
i
zpz
+=−++−
=
==
)1*2(
)(ˆˆ
11
1
00l
O
ii
G
n
i
p
q
i
zzp
)(ˆº180ˆ)1*2( 10 Op Gl −=−+=−
)(ˆº180 10 Op G+=
l La variable representa a s o z
)tan(
ImRe
0
110
p
ssp
−=
Compensador de adelanto por el
método de cancelación de polo
10
)(ˆ180ss
Op sG=
+=
)()()(ˆxOO pssGsG −=
1
)()(ˆ
1
ssOlead
C
sGsK
k
=
=
0
0
ps
zskK Clead
−
−=
0Re
ImPlano s
La cancelación no
puede ser exacta.
No cancelar polos
inestables.
x
ps 01Re −
0p
1s
0z
xpz =0
0p
E. Interiano 18
)tan(
ImRe
0
110
p
zzp
−=
Compensador de adelanto por el
método de cancelación de polo
10
)(ˆ180zz
Op zG=
+=
)()()(ˆxOO pzzGzG −=
1
)()(ˆ
1
zzOlead
C
zGzK
k
=
=
Im
0
0)(pz
zzkzK Clead
−
−=
Rexpz =0
0p
1z
1
0p
1
Plano z
x
pz 01Re −Este es un caso particular del
método de ubicación del
cero. Puede ser resuelto con
las ecuaciones de ese
método; pero, de esta forma,
es aplicable para realizar un
filtro de muesca
0z
Compensador de adelanto por el
método de ubicación del cero
−−= )( 010zsp
1
)(180ssO sG
=−=
0p 0z
1s
0p
x
ps 01Re −
0z
0Re
Im
1
)()(ˆ
1
ssOlead
C
sGsK
k
=
=
0
0
ps
zskK Clead
−
−=
arbitrarioz =0
)tan(
ImRe
0
110
p
ssp
−=
Plano s
E. Interiano 20
Compensador de adelanto por el
método de ubicación del cero
−−= )( 010zzp
)tan(
ImRe
0
110
p
zzp
−=
1
)(180zzO zG
=−=
1
)()(ˆ
1
zzOlead
C
zGzK
k
=
=
0p 0z
1z
1
0p
1
Re
Im
Plano z
0
0
pz
zzkK Clead
−
−=
x
pz 01Re −
01 zz −
arbitrarioz =0
Ejemplo 1
◼ Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga
ante una entrada escalón una respuesta con:
◼ un sobreimpulso MP entre el 3% y el 10%
◼ un tiempo de estabilización tS5% < 3 s
◼ Escoja para punto s1 un valor de entre los siguientes:
a) -1.0 +/- j 1.6 b) -1.15 +/- j 1.25
c) -1.25 +/- j 1.0 d) -1.15 +/- j 2.0
Ejemplo 1: Solución
◼ Escogemos el punto s1 = -1.15 +/- j 1.25
◼ Su parte real es menor de -1, lo cual cumple con el tiempo de estabilización menor a 3 segundos, (tS5% = 3/(n))
◼ Su parte imaginaria lo coloca entre los límites para el sobreimpulso entre el 3% y el 10% dados por: 0.591 < < 0.745
◼ Cancelamos el polo en -1.5 con z0 = -1.5
◼ El ángulo de la planta reducida en el polo en s = -1.5, , evaluada en el punto s1 es: -152.63º
)(ˆ sG
Ejemplo 1: Cálculo
◼ El ángulo a agregar es:
p0 = ±180º + = [27.37º, -332.63º]
◼ Escogemos el valor p0 = 27.37º ya que éste se encuentra entre ±180º.
◼ El orden del compensador de adelanto es entonces 1
◼ El polo del compensador de adelanto:
p0 = -3.56
◼ La ganancia estática del compensador de adelanto es kC = 1.72
Ejemplo 1: Gráficas
(s + 1.5)
Klead(s) = 1.72 --------------
(s + 3.56)
Cancelando el polo en -2
𝑘𝑙𝑒𝑎𝑑 𝑠 = 4.4512𝑠 + 2
(𝑠 + 9.225)
Cancelando el polo en -1.5
𝑘𝑙𝑒𝑎𝑑 𝑠 = 1.7246𝑠 + 1.5
(𝑠 + 3.564)
Cancelando el polo en -1
𝑘𝑙𝑒𝑎𝑑 𝑠 = 1.0695𝑠 + 1
(𝑠 + 2.204)
+
−
−=
2cos
2cos
10
sp
Compensador de adelanto por el
método de la bisectriz en el plano s
1
1
11 180Re
Imtan s
s
s−=
= −
1
)(180ssO sG
=−=
−
+
−=
2cos
2cos
10
sz
0
0
ps
zskK Clead
−
−=
1
)()(ˆ
1
ssOlead
C
sGsK
k
=
=
Plano s
0
E. Interiano 29
+
−
−−=
2cos
2cos
11 10
zp
Compensador de adelanto por el
método de la bisectriz
−= −
1
11
Re1
Imtan
z
z
1
)(180zzO zG
=−=
−
+
−−=
2cos
2cos
11 10
zz
1
)(ˆ
1
zzOlead
C
zGK
k
=
=
0
0
pz
zzkK Clead
−
−=
0p 0z
1z
1
1Re1 z−
1
Re
Im
Plano z
Ejemplo 2: Realimentación no
unitaria
◼ Sintetice un regulador que haga que el
sistema tenga ante una entrada escalón una
respuesta con:
◼ Un sobreimpulso MP entre el 5 % y el 10%
◼ Un tiempo de estabilización del 2%, tS2% < 2 s
Ejemplo 2: Solución
◼ Calculamos que el amortiguamiento relativo debe satisfacer 0.59 ≤ ≤ 0.69
◼ Calculamos que el producto ωn > 2
◼ Escogemos el punto s1 = -2.5 +/- j 3
◼ El ángulo de la planta evaluada en el punto s1 es: 162.9°
◼ El ángulo a agregar es:
◼ Escogemos el valor = 17.1º ya que éste se encuentra entre ±180º.
−=−−
=−=
9.3429.162180
1.179.162180
Ejemplo 2: Selección del punto s1
◼ Con los parámetros encontrados seleccionamos la
zona , y el ella el punto s1 = -2.5 +/- j 3
Ejemplo 2: Selección del punto s1
◼ Calculamos un compensador por el método de la
bisectriz, con = 50.2°
−
+
−=
2cos
2cos
10
sz
1180 s−=
+
−
−=
2cos
2cos
10
sp 5.4
2
2.501.17cos
2
2.501.17cos
)35.2( −=
+
−
+−−= j
4.3
2
2.501.17cos
2
2.501.17cos
)35.2( −=
−
+
+−−= j
)(*)(ˆ
1
11 sGsKk
Olead
C = 5.23
)3)(1(
5.0*
)5.4(
)4.3(
1
111
1
=
+++
+=
sss
s
Ejemplo 2: Lugar de las raíces
◼ Con el compensador de adelanto aplicado obtenemos
5.4
4.35.23)(
+
+=s
s sKlead
E. Interiano 35
Ejemplo 3: Compensador de
adelanto
Encuentre para el sistema en tiempo discreto cuya planta G(z) se muestra a continuación, con T = 0.1 s
a) El punto z1 en el cual el sistema tiene un valor de amortiguamiento relativo = 0.75 y una frecuencia natural ωn = 4 rad/s.
b) El compensador digital de adelanto, por el método de cancelación de polo, que sitúe los polos de lazo cerrado del sistema en z1 = 0.65 ± 0.2i.
0.8187)-(z 0.9048)-(z
0.9048)+(z 0.004528)( =zG
E. Interiano 36
Solución al ejemplo 3
a) El punto z1 para = 0.75, ωn = 4 rad/s, T = 0.1
En el tiempo continuo encontramos el punto s1
adecuado y lo convertimos con z = esT
s1= -ωn + ωn*j(1- 2)½
s1 = -3.0 + j2.646
z1 = es1*T = 0.715 + j0.194
E. Interiano 37
Solución al ejemplo 3 (2)
b) Cancelando el polo en 0.8187
z0 = 0.8187, z1 = 0.65 ± j0.2 , T = 0.1
−
=+=
=
º54.314
45.46
0.9048)-(z
0.9048)+(z 0.004528180
1
0
zz
p
0.4532)tan(45.46º
0.2 0.65
)tan(
ImRe
0
110 =−=−=
p
zzp
12.805
)(4532.0
8187.0
1
1
=
−
−=
=zz
C
zGz
zk
4532.0
8187.012.805)(
−
−=
z
zzKlead
E. Interiano 38
Solución al ejemplo 3 (3)
Se muestra la zona ,
para las condiciones
> 0.75 y ωn > 4 rad/s,
y dentro el punto z1 de
la parte a).
Lugar de las raíces
compensado por el
método de
cancelación de polo,
para el punto z1 dado
en b).
E. Interiano 39
Ejemplo 4: Compensador de adelanto
por el método de la bisectriz
Encuentre para el sistema en tiempo discreto del ejemplo 1, con la planta G(z), con T = 0.1 s
a) El compensador digital de adelanto, por el método de la bisectriz, que haga que la respuesta de lazo cerrado ante un escalón tenga como características dinámicas:
◼ Un sobreimpulso MP ≤ 10%
◼ Un tiempo de estabilización del 2% tS ≤ 1.4 s
Use un punto z1 de los siguientes:
1) 0.675 ± j0.5 2) 0.675 ± j0.25 3) 0.7 ± j0.3 4) 0.8 ± j2
0.8187)-(z 0.9048)-(z
0.9048)+(z 0.004528)( =zG
E. Interiano 40
Solución al ejemplo 4
a) MP ≤ 10% 0.59, tS 2% ≤ 1.4 s n 2.857,
T = 0.1 s, n 4.84 rad/s, r = 0.7515
Escogemos por lo tanto al punto z1 = 0.675 j0.25 que cumple con las condiciones de quedar dentro del área delimitada por el radio r = 0.75 y el amortiguamiento relativo = 0.6
63.5º)(º1801
=−==zz
zG
37.57º675.01
25.0tan
Re1
Imtan 1
1
11 =
−=
−= −−
z
z
E. Interiano 41
Solución al ejemplo 4:
compensador de adelanto
Calculamos un compensador de adelanto por el método
de la bisectriz.
0.7325
2
5.6357.37cos
2
5.6357.37cos
j0.25 0.67511
2cos
2cos
11 10 =
−
+
+−−=
−
+
−−=
zz
0.3714
2
5.6357.37cos
2
5.6357.37cos
j0.25 0.67511
2cos
2cos
11 10 =
+
−
+−−=
+
−
−−=
zp
20.73
)(3714.0
7325.0
1
1
=
−
−=
=zz
C
zGz
zk
3714.0
7325.073.02)(
−
−=
z
zzKlead
E. Interiano 42
Solución al ejemplo 4: lugar de
las raíces
Lugar de las raíces
compensado por el
método de la bisectriz,
para el punto z1
escogido.
Se muestra la zona ,
para las condiciones,
de la parte a) 0.59
y n 2.857; r = 0.75
E. Interiano 43
Solución al ejemplo 4 Respuesta ante
un escalón para el sistema compensado
0.3714)(
0.7325)(20.73)(
−
−=
z
zzK
E. Interiano 44
Análisis de resultados para el
ejemplo 4
◼ Se puede observar en la figura anterior, que se cumple el valor pedido para el tiempo de estabilización; únicamente el sobreimpulso está ligeramente mayor que el 10%.
◼ El problema principal parece ser que el tiempo de muestreo TS = 0.1 s es muy grande respecto a la constante de tiempo dominante del sistema 0.3 s, esto afecta al sobreimpulso pues la salida tiene cambios muy grandes en cada periodo de muestreo. Se puede reducir el sobreimpulso, en este caso, reduciendo el tiempo de muestreo a TS ≤ 0.035 s.
E. Interiano 45
Ejemplo 5: Compensador de
filtro de ranura (notch filter)
Encuentre para el sistema en tiempo discreto, con la
planta G(z), con un tiempo de muestreo T = 0.05 s, el
compensador en tiempo discreto, que haga que la
respuesta de lazo cerrado ante un escalón tenga
las características dinámicas siguientes:
◼ Un sobreimpulso MP ≤ 10%
◼ Un tiempo de estabilización del 2% tS ≤ 3 s
0.9231) + 1.885z - (z
0.9737)+(z 0.019)(
2=zG
E. Interiano 46
Solución al ejemplo 5
a) MP ≤ 10% 0.59, tS 2% ≤ 3 s n 1.33,
T = 0.05 s, n 2.26 rad/s, r = 0.9355
Encontramos que el punto s1 = -1.34 ± j1.8 es la intersección de las condiciones dadas. Transformamos al plano z y obtenemos el punto z1 = 0.9314 j0.0841. Escogemos entonces el punto z1 = 0.91 j0.08 que cumple con las condiciones de quedar dentro del área delimitada por el radio r = 0.9355 y el amortiguamiento relativo = 0.6.
El ángulo total a agregar con los polos es calculado como:
−=−+==
=+==
177.57º
º43.1820.9231) + 1.885z (z)(º1802
)(ˆ con ;180
1
2
110
1
zG
zG
p
zz
E. Interiano 47
Solución al ejemplo 5:
compensador de filtro de muesca
Calculamos un compensador de filtro de muesca por el método de
cancelación de polos. Ya que el ángulo será aportado por dos
polos, entonces el ángulo de cada polo será la mitad.
Calculamos el valor del polo doble
Calculamos la ganancia estática del compensador
0.179
)()9117.0(
0.9231) + 1.885z - (z
1
1
2
2
=
−
=
=zz
C
zGz
k
2
2
)9117.0(
0.9231) + 1.885z - (z*0.179)(
−=
zzKnotch
9117.0114.47
08.091.0
)tan(
ImRe
0
110 =
−−=−=
p
zzp
91.21º/2182.42º/20
=== p
E. Interiano 48
Solución al ejemplo 5: lugar de
las raíces
Lugar de las raíces
compensado con un
filtro de muesca, para
el punto z1 escogido.
Se muestra la zona ,
para las condiciones,
de la parte a) 0.6 y
n 1.33; r = 0.936
E. Interiano 49
Solución al ejemplo 5: Respuesta ante
un escalón para el sistema compensado
2
2
)9117.0(
0.9231) + 1.885z - (z0.179)(
−=
zzKnotch
E. Interiano 50
Análisis de resultados para el
ejemplo 5
◼ Se puede observar en la respuesta ante escalón, quese cumplen los valores pedidos para elsobreimpulso, el tiempo de estabilización.
◼ El periodo de muestreo T = 0.05s parece ser muypequeño para el sistema. Existen aproximadamente22 muestreos en un periodo de oscilación. Se puedehacer T = 0.1s con toda confianza.
Resumen
◼ Se parte de que el sistema es de segundo
orden
◼ Se emplea una estrategia que evita al
máximo los efectos secundarios de cada
parte sobre las otras
◼ El procedimiento debe tomar en cuenta que
el modelo es inexacto y que las
especificaciones no pueden ser tampoco
exactas y recurrir a la iteración
Ejercicio
◼ Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga
ante una entrada escalón una respuesta con:
◼ un sobreimpulso menor al 5%
◼ un tiempo de estabilización tS2% < 0.8 s
◼ Escoja un punto s1 de entre los siguientes:
a) -5.25 +/- j 5.75 b) -4.5 +/- j 3.75 c) -5.25 +/- j 5.25
d) -2.25 +/- j 4 e) -1,5 +/- j 2.25
E. Interiano 53
Ejercicios
1) Resuelva el ejemplo 3 por el método de ubicacióndel cero en Re{z1}
2) Resuelva el ejemplo 3 por el método de ubicaciónde cero en el polo +0.8187
3) Calcule el ejemplo 4 por el método de la bisectriz,con un tiempo de muestreo TS = 0.035 s
Referencias
◼ Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed., Madrid.
◼ Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de
control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall,
2005, España.
![Lugar geométrico de las raíces (Root-Locus)dea.unsj.edu.ar/control2/Clase04b_LR.pdf · lugar geométrico de las raíces L=tf(zpk([],[-1 -2 -3],6)) RLocusGui(L) % RLocusGui es una](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/601869c44ae12a6b6758bbbb/lugar-geomtrico-de-las-races-root-locusdeaunsjeduarcontrol2clase04blrpdf.jpg)
