Control Automatic Oc 2
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Transcript of Control Automatic Oc 2
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CONTROL AUTOMATICO
CAPITULO II
MODELOS MATEMATICOS DE
LOS SISTEMAS
Ing. Juan F. del Pozo L.
-
08/11/2013 2
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Representacin grfica de un sistema en el dominio
del tiempo
Diagramas Funcionales
Seales
Bifurcacin de Seales
Punto de sumas de Seales
Inversin de Polaridad
Bloques de Transferencia
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Representacin grfica de un sistema en el dominio del
tiempo
Diagrama Funcional
Control de velocidad de un auto.
Fuerza debido al viento es
proporcional a la velocidad: fL
Fuerza debido a friccin de las
llantas es proporcional a la
velocidad: fR
Fuerza debido al peso en
direccin del movimiento, es
proporcional a la pendiente: fG
Fuerza de Empuje: fA
Fuerza Resultante: fres
0
0i i
L L
R R
G
res A L R G
F
f K x
f K x
f K z
f f f f f
-
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MODELOS
MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Representacin grfica de un sistema en el dominio del tiempo Diagrama Funcional
Control de velocidad de un auto. Torque Impulsor del Motor es
proporcional a la apertura de la Mariposa del Carburador (y) y a las Revoluciones del Motor (nM): mM
Torque en las Ruedas es proporcional al Torque Impulsor del Motor: mR
Fuerza de Empuje es proporcional al Torque en la Ruedas (mR): fA
Voltaje del Regulador de Velocidad es proporcional al Voltaje del Tacogenerador (ux) menos la Referencia (w) : uy
El voltaje del Tacogenerador es proporcional a las revoluciones del eje de la rueda del vehculo (x): nR
1 2
3
4
5
6
( )
M M
R M
A R
y x
x R
m K y K n
m K m
f K m
u K u w
u K n
-
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MODELOS
MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Representacin grfica de un sistema en el dominio del tiempo
Diagrama Funcional
Control de velocidad de un auto.
La Respuesta al Escaln de la
Bobina del Regulador corresponde
a un sistema de primer orden.
El desplazamiento (S2) es
proporcional a la Corriente de la
Bobina del Regulador (i).
El desplazamiento (S1) es
proporcional al desplazamiento
(S2) .
La apertura de la compuerta de la
mariposa del carburador es
proporcional al desplazamiento
negativo de (S1).
2 7 1 8 2
9 1
1;
;
y y
y
di L diu Ri L i u
dt R dt R
diT i Ku
dt
s K i s K s
y K s
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Representacin grfica de los sistemas en el dominio del tiempo
Diagrama Funcional
Control de velocidad de un auto.
La revolucin del eje de la rueda
del vehculo (nR) es proporcional a
la velocidad del vehculo (x).
La revolucin del eje del motor
(nM) es proporcional a la revolucin
del eje de la rueda del vehculo (nR).
De acuerdo a la ley de Newton la
velocidad (x) del vehculo es
proporcional a la integral de la
Fuerza Resultante (fres)
10 11;
1;
R M R
res res
n K x n K n
v x
dvf M x f dt
dt M
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Representacin grfica de los sistemas en el dominio del tiempo Diagrama Funcional
Control de velocidad de un auto.
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comportamiento Dinmico Diagrama Funcional
Ecuacin diferencial del sistema
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
;
; ;
( )
( ) (1 ) ( )
T m m K e T n n K m
e r c c n d K K K
TT n T T n n Ke
TT c T T c K c Kr TT d T T d d
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Modelo del sistema es el resultado del conocimiento referente a la transferencia, almacenamiento, conversin y disipacin de energa y en los mtodos de interconexin de los elementos.
1. Sistema Dinmico
2. Ecuaciones Diferenciales
3. Linearizacin
4. Transformada de Laplace (Funcin de Transferencia)
Sistemas fsicos:
Elctricos
Mecnicos de traslacin y rotacin
Hidrulicos
Trmicos
Neumticos
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Aproximacin lineal de un sistema fsico en estado estacionario. Desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la curva continua en
el intervalo de inters
NOTA: a partir de ahora los valores incrementales se los representar sin el delta
2 2
2
( )
( ) ( )( ) ...
1! 2!
( )( )
1!
( )
( ) ( )
; ; ;
o oo
x xo x xo
oo
x xo
o o
x xo
o o
y g x
x x dg x x d gy g x
dx dx
x x dgy g x
dx
y g x
dgm
dx
y y m x x
y m x y y x x y m x
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Aproximacin lineal de un sistema fsico Desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la curva
continua en el intervalo de inters
Si la variable dependiente depende de varias variables de excitacin
Para la aproximacin lineal de la serie de Taylor
1 2
1 1 2 21 2
1 2
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1
( , ,... )
( ) ( ) ( )( , ,... ) ...
1! 1! 1!
( , ,... )
( ) ( ) ( ) ... ( )
; ; ;
n
o o n noo o no
nx xo x xo x xo
o oo no
o o o n n no
i i i i i
i
y g x x x
x x x x x xg g gy g x x x
x x x
y g x x x
y y m x x m x x m x x
yy m x m y y x x
x
y m x
2 2 ... n nm x m x
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Aproximacin lineal de un sistema fsico Desarrollo de la serie de Taylor en el punto de operacin de la
curva continua en el intervalo de inters
Si la variable dependiente depende de varias variables de excitacin
Para la aproximacin lineal de la serie de Taylor.
( , )
u z
A Z Zo
A U Uo
y f u z
y K u K z
Y YuKu
U U
Y YzKz
Z Z
-
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Comportamiento Esttico de un Sistema Comportamiento esttico de un generador
Velocidad constante: n
Voltaje de referencia: Uo=100 Corriente de armadura: IAo=30 Corriente de excitacin: Ieo=0.6
Comportamiento del Regulador
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
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Comportamiento Esttico de un Sistema Comportamiento esttico de un
generador Operacin en lazo abierto: uR=0 v.
Voltaje Terminales lazo abierto:
IA=0 A, U=115 v.
IA=60 A, U=76 v.
Operacin en lazo cerrado: Voltaje de Referencia: Uo=100 v.
IA=0 A, U=104 v.
IA=60 A, U=93 v.
Factor de Regulacin: R R= U(lazo cerrado)/U(lazo
abierto)
R=(104-93)/(115-76)=0.28
R= 28%
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comportamiento esttico de un generador Obtencin del modelo a partir de la linearizacin de su Curva
Caracterstica . u = Ky.ie+Kz.iA
Ky= U/ie|IA=const. = (100-77)/(0.6-0) = 38.3 v./A
Kz= U/ia|Ie=const. = (100-77)/(30-60) = - 0.76 v./A. Constante del Regulador.
ie= KR.uR
KR= Ie/UR = (0.6-0)/(0-10)= - 0.06 A/v.
Detector de Error. ur = u uo ; pero uo = 0 debido a que U0 = constante
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comportamiento esttico de un generador Factor de Regulacin: R
R= u (lazo cerrado) / u (lazo abierto)
Lazo Abierto:
u (lazo abierto) = Ky.ie + Kz. iA = Kz. iA , debido a: ie = 0 Lazo Cerrado:
u (lazo cerrado) = Ky.ie + Kz. iA ur = u (lazo cerrado) uo = u (lazo cerrado) , debido a: uo = 0
ie = KR. u (lazo cerrado)
u (lazo cerrado) = Kz /(1-Ky. KR). iA
R = 1/(1-Ky. KR) = 1/(1+38.3*0.06) = 0.30 ; 30%
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comportamiento dinmico de un generador de
corriente continua
1;
;
(1 ) ( )
ee f e f
f
e e
f f
ee e e e
g e a a e r r
r o
ae e g r e g r o a e a
diu R i L
dt
LT V
R R
diT i V u
dt
u K i K i u K u
u u u
diduT V K K u V K K u K T i
dt dt
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comportamiento Esttico de un Sistema
Comportamiento del Regulador
Rango de Regulacin: Xh Rango de trabajo de la
seal a la entrada del Regulador.
Rango de Ajuste: Yh Rango de trabajo de la
seal de salida del Regulador.
Rango Proporcional: XP 1% XP 500%
Regulador
Y
X
Yh
Xh
a
Xh Yh
100%
100%
P
h
hR
hP
h R
aX
X
YK
a
YX
X K
-
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Funcin de Transferencia de un Sistema Un sistema de control puede ser descrito mediante
ecuaciones diferenciales
Coeficientes constantes
Condiciones iniciales cero
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Sistema
x(t) y(t)
g(t)
X(s)
G(s)
Y(s)
Dominio del tiempo: Ecuaciones Diferenciales
Dominio del plano s: Ecuaciones Algebraicas
Transformada
directa de
Laplace
Transformada
inversa de
Laplace
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Funcin de Transferencia de un Sistema Un sistema de control puede ser descrito mediante
ecuaciones diferenciales
Coeficientes constantes
Condiciones iniciales cero
xBdt
dxB
dt
xdByA
dt
dyA
dt
ydA o1
m
m
mo1n
n
n ......
1 1( ... ) ( ) ( ... ) ( )n mn o m oA s A s A Y s B s B s B X s
Transformada
de Laplace
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Funcin de Transferencia de un Sistema
1
1
( ) ...( )
( ) ...
mm o
nn o
Y s B s B s BG s
X s A s A s A
)().()( sXsGsY
)(*)()( txtgty
Transformada
inversa
de Laplace
Multiplicacin
Convolucin
-
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Aproximacin lineal de un sistema fsico La gran mayora de sistemas fsicos se comportan
como lineales dentro de algn intervalo de las variables.
Cuando el sistema est en reposo, para ser considerado lineal debe cumplir:
Con el teorema de superposicin y homogeneidad
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Sistema
x(t)
x1(t)+x2(t)
bx(t)
y(t)
y1(t)+y2(t)
by(t)
-
MODELOS
MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua El estator, inductor
Carcasa
Polos principales y auxiliares
Devanado inductor
El rotor, inducido Colector, delgas
Devanado inducido
Ncleo del inducido
Las escobillas.
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-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua Motor ideal, sin prdidas.
Potencia elctrica desarrollada igual a la potencia mecnica
El voltaje contraelectromotriz es proporcional al flujo y velocidad angular.
El flujo es proporcional a la corriente de campo.
( ). ( )b ae t i t
( ). ( ) ( ). ( )b a me t i t T t t
Motor CC ( ). ( )mT t t
1( ) ( ) ( )be t K t t
( ) ( )f ft K i t
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua 1( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
m a
f f
ff f f f
m L d
L
aa a a a b
b
T t K t i t
t K i t
di tv t R i t L
dt
T t T t T t
d tT t J b
dt
di tv t R i t L e t
dt
e t K t t
d tt
dt
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua Motor ideal, sin prdidas.
Se presentan dos casos:
Mantener constante la corriente de
campo, control de armadura
Mantener constante la corriente de
armadura, control de campo
1( ) ( ) ( )m f f a amaT t K K I i t K i t
1( ) ( ) ( )m f a f fmfT t K K I i t K i t
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ), ( ))
( ) ( ) ( )
m a
m f f af f
m a f
m mf f ma a
T t K t i t
t K i t T t K K i t i t
T t f i t i t
T t K i t K i t
-
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua controlado por Campo
( ) constante
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
a a
ff f f f
m mf f
m L d
L
i t I
di tv t R i t L
dt
T K i t
T t T t T t
d tT t J b
dt
d tt
dt
1( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1( ) ( )
1( ) ( )
f f
f f
m mf f
L m d
L
I s V sR sL
T s K I s
T s T s T s
s T sb sJ
s ss
L
-
08/11/2013 28
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua controlado por Campo
Ia constante
Funcin de transferencia
1( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
mff d
f f
mf f f f d
f f
Ks V s T s
s R sL b sJ s b sJ
K V s R sL T s
s R sL b sJ
-
08/11/2013 29
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua controlado por Armadura
( ) constante
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
f f
aa a a a b
m ma a
m L d
L
b f bf
i t I
di tv t R i t L e t
dt
T K i t
T t T t T t
d tT t J b
dt
e t K K I t K t
d tt
dt
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1( ) ( )
( )
1( ) ( )
a a b
a a
m ma a
L m d
L
b b
I s V s E sR sL
T s K I s
T s T s T s
s T sb sJ
E K s
s ss
L
-
08/11/2013 30
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Motor de Corriente Continua controlado por Armadura
If constante
Funcin de transferencia
2
( ) ( ) ( )( ) ; 0
( ) )
( ) ( )( )
; ;
( ) ( )( )
1
ma a a a da
a a a a ma b
ma a a d
a a ma b
a ma a
m da ma a ma a ma
m a d d
K V s R sL T ss L
s L Js L b R J s R b K K
K V s R T ss
s R Js R b K K
R J K RK K
R b K K R b K K R b K K
K V s K T ss
s s
-
08/11/2013 31
Amplificador Rotativo de dos Etapas, Amplidina NOTA: El flujo de reaccin de armadura es compensado por el
flujo de la bobina Ld
1( ) ( )
( ) ( )
1( ) ( )
( ) ( )
0
( ) ( )
( ) ( )
c c
c c
q c
q q
q q
d d q
d
d d
dd c
c c q q
I s V sR sL
E s K I s
I s E sR sL
E s K I s
L
V s E s
K KV s V s
R sL R sL
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
-
08/11/2013 32
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Regulador Hidrulico, servomotor hidrulico
Q Caudal del aceite
P Diferencia de presin
x Desplazamiento de la vlvula de control
y Desplazamiento del cilindro de potencia
, ,
, ,
( , )
( ) ( )
;
o o o
xo Po xo Po
x p
xo Po xo Po
x p
Q f x P
Q QQ Q x x P P
x P
Q QK K
x P
q K x K p
-
08/11/2013 33
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Regulador Hidrulico, servomotor hidrulico A Superficie del pistn de
La Funcin de Transferencia:
2
2
1 x
p p
Kp q x
K K
dyq A
dt
d y dyF M b
dt dt
F A p
1( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
p p
KP s Q s X s
K K
Q s A sY s
F s s sM b Y s
F s A P s
L
2
( )
( ) ( ) ( 1)
x
p p
Y s A K K K
X s s sM K b K A s s s
-
08/11/2013 34
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Regulador Hidrulico, servomotor hidrulico
Encuentre la Funcin de Transferencia Y(s)/E(s).
Observe que la barra ABC es flotante, no tiene punto fijo.
La Funcin de Transferencia del servomotor hidrulico puede se aproximada en: Y(s)/X(s)= K/s.
Observe que el desplazamiento en x es: x = f(e,y),
Aplique superposicin:
X(s) = Ke.E(s) + Ky.Y(s).
( ) ( )
e
Y cont
y
E cont
e
y
X bK
E a b
X aK
Y a b
KKY s E s
s KK
-
08/11/2013 35
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Sistema de engranajes Sistema ideal, potencia de entrada es igual a
la potencia de salida, no tiene prdidas
Los dos engranajes recorren la misma
distancia lineal
El tamao de los dientes es igual en ambos
engranajes
La velocidad angular es proporcional al
desplazamiento angular en cada engranaje
m m L LT T
2
1
2
1
22
11
r
r
N
N
r2N
r2N
1 2m Lr r
m
L
L
m
m
L
T
T
r
r
N
N
2
1
2
1
-
08/11/2013 36
Sistema de engranajes Se incluye la friccin viscosa y la inercia
Referir el sistema al eje del motor
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
)()()()(
)()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
1111
122
122
1
122111
2111
11
2
12
22
2
11
2222
1111
sTsBsJssT
snTsBnBJnJsssT
sTsnBsJsnsBsJssT
snTsBsJssT
nN
N
nTTN
NT
sTsBsJssT
sTsBsJssT
eqeqeqm
Lm
Lm
m
L
m
-
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Sistema Hidrulico Sistema ideal, potencia
de entrada es igual a la
potencia de salida.
La presin hidrulica es
la misma, principio de
Pascal.
08/11/2013 37
1 1 2 2
1 1 2 2/ /
F v F v
F dx dt F dx dt
1 1 2 2/ /P F A F A
-
08/11/2013 38
Detector de Error utilizando Potencimetros Potencimetros de 360o, sin tope
MODELOS
MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
)()()(
)()()(
)()()()()(
ssKsV
ss360
EsV
360
Rr
360
Rr
srsrR
EsEsEsV
21s2
21o
o2
2o
2
1o
1
21o
212
-
08/11/2013 39
Tacmetro (tacogenerador)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
( ) ( )
a a a a b
b
a
a
a
V s R sL I s E s
E s K s
R
L
V s K s
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
-
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Sistema Trmico La variacin de la temperatura de salida
alrededor de su punto de operacin podr ser
debida a un cambio en el calor suministrado
por el calentador o por un cambio en la
temperatura del fluido entrante.
Balance Energtico
qe(t) Calor suministrado por calentador
qi(t) Calor del fluido entrante
ql(t) Calor absorvido por fluido
qs(t) Calor a traves de paredes
Ct Capacidad trmica kcal/C
Rt Resistencia trmica C.s/kcal
F Flujo lquido kg/s
c Calor especfico kcal/kg.C
08/11/2013 40
-
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Sistema Trmico Balance Energtico
08/11/2013 41
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
1( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1( ) [ ( ) ( ) ( )
1
e i l s
ol t
s o a
t
i e
ot o e e a
t t
ot t o t e t e a
o e e a
q t q t q t q t
dT tq t C
dt
q t T t T tR
q t c F T t
dT tC T t q t c F T t T t
dt R R
dT tR C T t R q t c F R T t T t
dt
T s K Q s K T s T ss
1 2] ; ; ;t t t tR C K R K c F R
-
08/11/2013 42
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Control de Velocidad Motor de Corriente Continua controlado por armadura
Seal de entrada: Valor incremental de velocidad en voltios
Seal de salida: Valor de la velocidad en rpm
Sensor de velocidad mediante tacmetro
Considere el efecto de una perturbacin de torque en el eje del motor
-
08/11/2013 43
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Control de Velocidad Motor de Corriente Continua controlado por armadura
-
08/11/2013 44
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Control de Posicin Motor de Corriente Continua controlado por armadura
Seal de entrada: Posicin eje de entrada
Seal de salida: Posicin eje de salida
Detector de error a base de potencimetros
Considere el efecto de la inercia y friccin de la carga conectada al eje del motor mediante engranajes
-
08/11/2013 45
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Control de Posicin Motor de Corriente Continua
controlado por armadura
Simulacin del sistema utilizando
MATLAB y SIMULINK
Incluya el efecto de una
perturbacin de torque
-
08/11/2013 46
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Control de Posicin Motor de Corriente Continua controlado
por armadura
-
08/11/2013 47
Modelos de diagramas de bloques
Los diagramas de bloques son bloques operacionales y unidireccionales que representan la funcin de transferencia de las variables de inters
Para representar un sistema con diferentes variables bajo control, se utiliza una interconexin de bloques
La transformaciones de diagramas de bloques y las tcnicas de reduccin se las obtiene aplicando el algebra de las variables del diagrama
MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Modelos de diagramas de bloques Los diagramas de bloques son bloques operacionales y unidireccionales que
representan la funcin de transferencia de las variables de inters
Para representar un sistema con diferentes variables bajo control, se utiliza una interconexin de bloques
La transformaciones de diagramas de bloques y las tcnicas de reduccin se las obtiene aplicando el algebra de las variables del diagrama
Ejemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos mltiples
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Modelos de diagramas de bloques Ejemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos mltiples
Aplicacin de la regla 4 en el primer grfico
Aplicacin de las reglas 1 y 6 en el segundo grfico
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Modelos de diagramas de bloques Ejemplo de sistema de control con retroalimentacin de circuitos
mltiples
Aplicacin de la regla 6
Aplicacin de las reglas 1 y 6, la Funcin de Transferencia
resultante.
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Grficos de Flujo de Seal Una grfica de flujo de seales puede definirse como un mtodo grfico
para representar las relaciones entrada-salida entre las variables de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.
Es una representacin causa y efecto de los sistemas lineales.
En los grficos de flujo de seales se usan puntos de enlace o nodos para representar las variables y se los interconecta mediante segmentos lineales llamados ramas de acuerdo a las ecuaciones de causa y efecto.
Las ramas tienen ganancia y direccin asociadas a ellas.
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x1 x2
a
2 1x a x
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
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Grficos de Flujo de Seal Representacin causa y efecto de los sistemas lineales.
Los sistemas pueden ser o no ser bidireccionales.
Una resistencia, bidireccional
Un amplificador, (amplificador operacional ideal ), direccional
Ganancia infinita, impedancia de entrada infinita, impedancia de salida cero.
2 1
2 1
1/
/2
1
) . ;
1) ;
;
R
R
R R
o in in o
v v v
a v R i i v
b i v v iR
Rv v v v
R
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
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Grficos de Flujo de Seal Definiciones:
Nudo Un punto que representa una seal
Transmitancia Una ganancia entre dos puntos
Rama Une dos nudos y tiene direccin
Nudo de Entrada Solo tiene ramas que salen
Nudo de Salida Solo tiene ramas que entran
Nudo Mixto Tiene ramas que entran y salen
Lazo Es un camino cerrado
Lazos Distintos No tiene nudos comunes
Trayecto Directo Va desde nudo de entrada al nudo de salida pasando una sola vez por cada nudo
Ganancia de Trayecto Directo Producto de las transmitancias de las ramas del trayecto directo
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G1(s )
H(s)
G2(s )
R(s) C(s)
N(s)
B(s)
E(s) F(s ) I(s)
+
-
+
-
R(s)
B(s)
E(s) F(s ) C(s)1
1-I(s)
N(s)
1-
G1(s ) G2(s )
H(s)
1
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Grfico de Flujo de Seales a partir de un Diagrama de Bloques Darle nombre a todas las variables
Por cada variable se identifica un Nodo
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
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Grfico de Flujo de Seales a partir de un Diagrama de Bloques Reducir mediante la eliminacin de Nodos no necesarios
La Funcin de Transferencia
C(s)
N(s)
1-
G2(s )G1(s )E(s)
1R(s)
I(s)
H(s)-
1 2 2
1 2 1 20 0
21
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ; ( )
1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
R N
R N
N R
C s G s R s G s N s
G s G s G sG s G s
G s G s H s G s G s H s
G sC s G s R s N s
G s G s H s
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Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
x a x a x r
x a x a x r
22 1 12 21 22 1 12 2
11 22 12 21
11 2 21 12 11 2 21 1
11 22 12 21
(1 ) 1 1(1 )
(1 )(1 )
(1 ) 1 1(1 )
(1 )(1 )
a r a rx a r a r
a a a a
a r a rx a r a r
a a a a
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Consideremos el siguiente ejemplo:
El sistema se lo puede describir mediante el siguiente conjunto de ecuaciones
Empleando la regla de Cramer
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Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason En forma general, la ganancia lineal Tij entre la variable independiente
xi (variable de entrada) y una variable dependiente xj (variable de salida) est dada por la siguiente expresin, frmula de Mason:
n Nmeros de trayectos directos entre la entrada xi y la salida xj Pijk Ganancia de la trayectoria directa k
Determinante del grafo
ijk Cofactor del trayecto directo Pijk (es el determinante del grafo en el que se han removido los elementos del trayecto directo k)
1
1j nij ijk ijkk
i
xT P
x
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fedfed
cbcb
aa
fedfedcbcbaa
LLL
LL
L
LLLLLL1
,,
,
,,, ...
Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason
Determinante del grafo
Sumatoria de todas las ganancias de lazo
Sumatoria del producto de las ganancias de todas las combinaciones posibles de los lazos distintos de dos en dos.
Igual que el caso anterior pero para los lazos distintos de tres en tres.
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
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Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason
Consideremos el siguiente sistema
Se desea obtener la Funcin de Transferencia Y(s)/R(s)
Nmero de caminos directos: 3
Nmero de lazos: 8
Nmero de lazos distintos: 4
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Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason
Caminos directos: 3
P1=G1G2G3G4G5G6 P2=G1G2G7G6 P3=G1G2G3G4G8
Lazos: 8
L1= -G2G3G4G5H2 L2= -G5G6H1 L3= -G8H1 L4= -G2G7H2 L5= -G4H4 L6= -G1G2G3G4G5G6H3 L7= -G1G2G7G6H3 L8= -G1G2G3G4G8H3
Lazos distintos: 4
L3= -G8H1 con L4= -G2G7H2 L5= -G4H4 con L7= -G1G2G7G6H3 L5= -G4H4 con L4= -G2G7H2
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Resolucin de Grficos de Flujo de Seales mediante el mtodo de Mason
El determinante del sistema:
=1-(L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8)+(L3L4+L5L7+L5L4)
Los cofactores:
Para P1 es 1=1
Para P2 es 2=1-L5
Para P3 es 3=1
Finalmente, la Funcin de Trasferencia:
3221 PPP
sR
sCsT
)(
)()(
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Comandos de MATLAB Generacin de una funcin de
transferencia
Suma de funciones de transferencias
Obtencin de los Polos
Obtencin de los Ceros
Grfico de los Polos y Ceros
Ejemplo 2.16
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SISTEMAS
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comandos de MATLAB Obtencin de los Polos
Obtencin de los Ceros
Grfico de los Polos y Ceros
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comandos de MATLAB Cascada de dos funciones de
transferencia
Sistema de realimentacin unitario
Funcin de transferencia del sistema de realimentacin unitaria
Ejercicio 2.17
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comandos de MATLAB Cascada de dos funciones de
transferencia
Sistema de realimentacin unitario
Funcin de transferencia del sistema
de realimentacin unitaria
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Comandos de MATLAB Simplificacin de Diagramas de Bloques
Aplicar las reglas de reduccin
Primer reduccin, mover H2 delante de G4 Segunda reduccin, resolver lazo G3, G4 y H1 Tercera reduccin, resolver lazo G2, G de la segunda reduccin y G de la
primer reduccin
Cuarta reduccin, resolver lazo de G1, G de la tercer reduccin y H3
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
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Comandos de MATLAB Simplificacin de Diagramas de
Bloques
Aplicar las reglas de reduccin
Ejercicio 2.20 Primer reduccin, mover H2
delante de G4 Segunda reduccin, resolver
lazo G3, G4 y H1 Tercera reduccin, resolver
lazo G2, G de la segunda reduccin y G de la primer reduccin
Cuarta reduccin, resolver lazo de G1, G de la tercer reduccin y H3
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
SISTEMAS
Comandos de MATLAB Simplificacin de Diagramas de Bloques
Aplicar las reglas de reduccin
Primer reduccin, mover H2 delante de G4 Segunda reduccin, resolver lazo G3, G4 y H1 Tercera reduccin, resolver lazo G2, G de la segunda reduccin y G de
la primer reduccin
Cuarta reduccin, resolver lazo de G1, G de la tercer reduccin y H3
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MODELOS MATEMATICOS DE LOS
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Comandos de MATLAB Simplificacin de Diagramas de Bloques
Aplicar las reglas de reduccin
Simplificacin de la funcin de transferencia al eliminar los polos y ceros de igual valor.
Uso de la funcin minreal