Control Clasico y Moderno´ -...

Elizabeth Villota

Control Clasico y Moderno

– Notas de Clase MT221 –

27 de septiembre de 2012

Springer

Indice general

1. Modelado de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Conceptos en modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Contribucion al modelado de la mecanica y de la ingenierıa electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Modelos espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Ecuacion diferencial ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Ecuacion en diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Ejemplo: Control de rapidez (control crucero) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Mas sobre modelado de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Mas ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1. Ejemplo: Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2. Ejemplo: Motor DC y acoplamiento flexible . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.3. Ejemplo: Diagrama de bloques del motor DC . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4. Ejemplo: Doble filtro pasa-baja RC . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.5. Ejemplo: Horno electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1. Linealizando ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Ejemplo: Vehıculo aereo con impulsadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1. Modelo lineal del vehıculo aereo con impulsadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 222.3. Ejemplo: manipulador robotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2. Representacion espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.4. Ideas adicionales acerca del modelo . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Ejemplo: manipulador robotico - incluyendo la dinamica del cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.2. Representacion espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Sistemas Lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2. Invariancia en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Respuesta a la condicion inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1. Ejemplo: Integrador doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2. Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Respuesta entrada/salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1. Ecuacion de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 363.3.2. Respuesta en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. Polos, ceros y ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5. Otros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V

VI Indice general

4. Problemas propuestos y resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 434.1. Problemas Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Problemas Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3. Problemas Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A. Ecuaciones de Euler Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 61A.1. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.2. Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Capıtulo 1Modelado de sistemas

Un modelo es una representacion puntual de la dinamica del sistema y es usada con la finalidad de responderpreguntas mediante analisis y simulacion. El modelo que se elige depende del tipo de preguntas que sedesee responder,y como tal, existe mas de un tipo de modelo para un mismo sistema dinamico, con diferentes niveles de fidelidaddependiendo del fenomeno de interes.

1.1. Conceptos en modelado

Un modeloes una representacion matematica de un sistema fısico, biologico o de informacion. El modelo permiterazonar en relacion al sistema y hacer predicciones con respecto a como se comportara un sistema. En esta parte nuestrointeres es emplear modelos de sistemas dinamicos que describan el comportamiento entrada/salida de un sistema y paraesto adoptaremos la representacion en la forma espacio de estados.

En su forma mas elemental, unsistema dinamicoes aquel donde los efectos de las acciones (entradas) no se presen-tan inmediatamente. Por ejemplo, la rapidez de un vehıculo no cambia inmediatamente despues de presionado el pedaldel freno, asi como tampoco un dolor de cabeza desaparece justo despues de haber tomado una aspirina. Un ejemploen elambito financiero serıa que los beneficios de una inversion no se perciben a corto plazo, estos se presentan solo alargo plazo (si fue una buena inversion). Como caracterıstica fundamental todos estos ejemplos de sistemas dinamicospresentan un comportamiento que evoluciona en el tiempo.

1.1.1. Contribucion al modelado de la mecanica y de la ingenierıa electrica

En mecanica, el estudio de la dinamica surgio al intentar describir el movimiento planetario1. Uno de los triunfosde la mecanica Newtoniana fue la observacion de que el movimiento de los planetas podıa ser predecida en base a lasposiciones y velocidades actuales de todos los planetas. Elestadode un sistema dinamico es la coleccion de variablesque caracteriza completamente el movimiento de un sistema con el proposito de predecir el movimiento futuro. Alconjunto de todos los estados posibles se le denominaespacio de estados.

Un clase comun de modelos matematicos para sistemas dinamicos es representado por ecuaciones diferencialesordinarias (ODE, por sus siglas en ingles). En mecanica una de esas ecuaciones diferenciales es:

mq+c(q)+kq= u, (1.1)

dondeu representa el efecto de entradas externas. El modelo (1.1) es llamadoecuacion diferencial controladao forza-da. Cuandou = 0, el modelo se denominaecuacion diferencial libre. Este modelo puede facilmente representar unsistema dinamico tal como el sistema masa-resorte con amortiguamiento, ver Fig. 1.1. La variableq∈ R representa laposicion de la masam con respecto a su posicion de reposo. Se emplea ˙q para referirse a la derivada con respecto al

1 En base a la observacion detallada de los planetas realizada por Tycho Brahe y los resultados de Kepler, se encontro empiricamente quelasorbitas de los planetas podıan ser descritas por elipses.

1

2 1 Modelado de sistemas

tiempo deq (velocidad de la masa) y ¨q para representar a la segunda derivada (aceleracion). Decimos que elsistema esde segunda ordendado que la dinamica depende de las dos primeras derivadas deq.

c (q)

q

m

k

Figura 1.1 Masa-resorte con amortiguamiento

La evolucion de la posicion y la velocidad pueden ser descritos usando ya sea una grafica en el tiempo o un diagramadel plano de fase, ambos mostrados en Fig. 1.2. Lagrafica en el tiempomuestra los valores de los estados individual-mente como funcion del tiempo. Eldiagrama del plano de fasemuestra la evolucion de la velocidad en relacion a laposicion, permitiendo asi visualizar elcampo vectorialdel sistema (velocidad denotada por las flechas).

0 5 10 15−2

−1

0

1

2

Time t [s]

Positionq[m],velocityq[m/s]

Position

Velocity

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Position q [m]

Velocityq[m/s]

Figura 1.2 Ilustracion de un modelo de estados

El adicionar la entradau al sistema enriquece al sistema y permite que podamos respondar otras preguntas. Porejemplo, el efecto que los disturbios externos tienen en la trayectoria del sistema. En el caso de que se pueda manipularla variable de entradau de una forma controlada, es posible analizar si se puede llevar o no el sistema de un punto aotro en el espacio de estados a traves de una apropiada seleccion de la entrada.

La ingenierıa electricapresento una vision diferente del modelado, donde el diseno de amplificadores electronicosllevo a un enfoque tipo entrada/salida. Un sistema era un dispositivo que transformaba entradas en salidas, comomostrado en Fig. 1.3. La estructura entrada/salida se usa enmuchas disciplinas de la ingenierıa puesto que permitedescomponer un sistema en sus componentes individuales y conectarlos a traves de sus entradas y salidas. Ası sepuede tomar un sistema complicado como una radio o television y se descompone en piezas tales como el receptor,demodulador, amplificador, parlantes, etc. Cada una de estas piezas tiene un conjunto de entradas y salidas y, a travesde un diseno apropiado, se pueden interconectar para formar el sistema completo.

Cuando lateorıa de controlemergio como una disciplina en los 1940s, el abordaje adoptado estaba fuertementeinfluenciado por la vision de la ingenierıa electrica (entrada/salida). La segunda ola de desarrollo en control se vio in-fluenciada por la mecanica, donde se uso la perspectiva espacio de estados. El afan por realizar vuelos espaciales es unejemplo tıpico de como comenzaron a fusionarse estos dos puntos de vista hasta llegar a ser lo que hoy en dia se conocecomo la representacion espacio de estados de sistemas de entrada/salida. Especıficamente, uno de los problemas que sepresento fue el de controlar laorbita de un nave espacial. Ası, el desarrollo de modelos espacio de estados involucrabamodificar los modelos mecanicos para incluir sensores y actuadores y utilizar ecuaciones con formas mas generales.Luego el modelo dado por la ecuacion (1.1) fue reemplazado por:

1.2 Modelos espacio de estados 3

7+v

–v

vos adj

(+)

(–)

InputsOutput3

2

6

4

Q9

Q1 Q2

Q3 Q4

Q7

Q5

R1 R12

R8

R7 R9

R10

R11R2

Q6Q22

Q17

Q16

Q1830pF

Q15

Q14

Q20

Q8

SystemInput Output

Figura 1.3 Diagrama entrada/salida

dxdt

= f (x,u),

y = h(x,u),(1.2)

dondex es el vector de variables de estado,u es el vector de senales de control yy es un vector de (senales) medidas.El termino dx

dt representa la derivada dex con respecto al tiempo, ahora considerado un vector, yf y h son mapeamien-tos (posiblemente no lineales) de sus argumentos a vectoresde dimension apropiada. Para sistemas mecanicos, casosistema masa resorte con amortiguamiento, el estado consiste en la posicion y velocidad de la masa.

Para complementar la idea de modelado, cabe destacar que un desarrollo final en la construccion del problema conuna vision de la teorıa de control viene dado por la inclusion de disturbios e incertezas del modelo2.

Una observacion a destacar en el modelado para diseno de sistemas de control es que el sistema por realimentacionpuede ser a menudo analizado y disenado en base a modelos relativamente simples. La justificacion se encuentra en larobustez inherente que presentan los sistemas de control por realimentacion. Sin embargo, otro tipo de uso de modelosrequiere de mas complejidad y precision. Un ejemplo son las estrategias de control por alimentacion anticipada, dondeuno usa el modelo para precalcular las entradas que haran que el sistema responda de cierta forma. Otraarea es la devalidacion de sistemas.

1.2. Modelos espacio de estados

Esta seccion presentara dos formas principales de modelos a ser usadas en clase. Ambas hacen uso de nociones deestado, entrada, salida y dinamica para describir el comportamiento de un sistema.

1.2.1. Ecuacion diferencial ordinaria

El estado de un sistema es la coleccion de variable que resume el pasado de un sistema con el proposito de predecirel futuro. Para un sistema fısico el estado esta compuesto de las variables necesarias para el almacenamiento de masa,momento y energia. Una cuestion importante en el del modelado es el decidir cuan exacta debe ser la representacionde este almacenamiento. Las variables de estado son representadas por un vectorx∈ R

n llamado el vector de estados.Las variables de control son representadas por otro vectoru∈ R

p, y la senal medida por el vectory∈ Rq. Un sistema

se puede representar entonces por la ecuacion diferencial:

dxdt

= f (x,u),

y = h(x,u),(1.3)

2 Disturbios e incertezas del modelo son considerados elementos crticos en la teorıa de control.


donde f : Rn×Rp 7→ R

n y h : Rn×Rp 7→ R

q son mapeamientos suaves. Un modelo de esta forma se llamamodeloespacio de estados.

La dimension del vector de estados es llamadaordendel sistema. El sistema (1.4) es llamadoinvariante en el tiempoporquef y h no dependen explicitamente del tiempot; existen sistemas variantes en el tiempo mas generales donde lasfunciones si dependen del tiempo. El modelo consiste en dos funciones: la funcion f que provee la variacion del vectorde estados con respecto al tiempo en funcion del estadox y el controlu, y la funcion h que provee los valores medidocomo funcion del estadox y del controlu.

Un sistema se denomina sistema de espacio de estadoslineal si las funcionesf y h son lineales enx y u. Un sistemaespacio de estados lineal puede ser representado por:

dxdt

= Ax+Bu,

y =Cx+Du,(1.4)

dondeA, B,C y D son matrices. Si estas matrices son constantes, entonces sedice que tal sistema es lineal e invarianteen el tiempo, LTI por sus siglas en ingles. La matrizA es llamadamatriz dinamicao matriz de estados, la matrizB esllamada lamatriz de controlo matriz de entradas, la matrizC es llamadamatriz del sensoro matriz de salidas, y lamatrizD es llamada lamatriz del termino directo.

Generalizando la ecuacion dinamica de segundo orden estudiada en mecanica, resulta una ecuacion de la forma:

dnydtn

+an−1dn−1ydtn−1 + ...+aoy= u, (1.5)

dondet es la variable independiente,y(t) es la variable de (salida) dependiente yu(t) es la entrada. La notaciondkydtk

denota lak-esima derivada con respecto a tiempot, a veces denotada pory(k). La ecuacion diferencial controlada (1.5)se dice que es un sistema den-esima orden. Este sistema se puede convertir en la forma espacio estado definiendo:

x=

x1

x2...

xn−1

xn

=

ydy/dt

...dn−2y/dtn−2

dn−1y/dtn−1

, (1.6)

y la ecuacion espacio de estados resulta:

ddt

x1

x2...

xn−1

xn

=

x2

x3...

xn

−aox1− ...−an−1xn

+

00...0u

, y= x1. (1.7)

Con la definicion apropiada deA, B, C y D, esta ecuacion se puede definir en la forma espacio de estados lineal.Una forma aun mas general se obtiene dejando que la salida sea una combinacion lineal de los estados del sistema,

por ejemplo:y= b1x1+b2x2+ ...+bnxn+du. (1.8)

Este sistema puede ser modelado en espacio de estados como:

1.2 Modelos espacio de estados 5

ddt

x1

x2

x3...

xn

=

0 1 ... 0 0...

...0 0 1 00 0 ... 0 1

−a0 −a1 ... −an−2 −an−1

x+

00...01

u,

y=[b1 b2 ... bn

]x+du.

(1.9)

Esta forma particular de un sistema lineal en espacio de estados se llamaforma canonica controlable.La ecuacion (1.4) puede ser dibujada como un diagrama de bloques en la Fig. 1.4. Las dobles lineas indican que

cantidades vectoriales (multiples variables) son pasadas entre los bloques.

+

+

A

CB ∫x(t)u(t) x(t)· y(t)

D

++

Block diagram of a

general continuous linear

Figura 1.4 Diagrama de bloques de un modelo espacio de estados lineal contınuo general

1.2.2. Ecuacion en diferencias finitas

Muchas veces resulta mas natural describir la evolucion de un sistema en instantes de tiempo discretos en vez decontinuamente en el tiempo. Si uno se refiere a cada uno de estos tiempos usando un numero enterok = 0,1,2...,entonces se puede hacer la pregunta de como cambia el estado para cadak. Como se hizo en el caso de ecuacionesdiferenciales ordinarias, se define como estado a los conjuntos de variable que resumen el pasado del sistema parapropositos de prediccion de su futuro. Los sistemas que se describen de esa manera sedenominansistemas de tiempodiscretoo sistemas discretos.

La evolucion de un sistema discreto se puede escribir de la forma:

x[k+1] = f (x[k],u[k]),y[k] = h(x[k],u[k]),

(1.10)

dondex[k] ∈Rn es el estado del sistema en el tiempok, u[k] ∈R

p es la entrada yy[k] ∈Rq es la salida. Como antes,f y

h son mapeamientos suaves de dimension apropiada. La ecuacion (1.10) se denominaecuacion en diferenciasporquenos dice comox[k+1] difiere dex[k]. El estadox[k] puede ser una cantidad escalar o un vector; en caso de ser un vectorusaremosx j [k] para denotar alj-esimo elemento del vectorx (o j-esimo estado) en el instante de tiempok.

Como en el caso de ecuaciones diferenciales, a menudo las ecuaciones son lineales en el estado y la entrada, encuyo caso el sistema puede ser descrito por:

x[k+1] = Ax[k]+Bu[k],y[k] =Cx[k]+Du[k],

(1.11)

Como en el caso anterior, nos referimos a las matricesA, B, C y D como matriz de la dinamica, la matriz de control,matriz del sensor y matriz del termino directo.


1.3. Ejemplo: Control de rapidez (control crucero)

El control de rapidez de un vehıculo es un problema comun de sistema por realimentacion que encontramos ennuestro quehacer diario. El sistema intenta mantener una rapidez constante en la presencia de disturbios. El controlcompensa el efecto de los disturbios midiendo la rapidez delvehıculo y ajustando la valvula de alimentacion de com-bustible apropiadamente (para acelerar o desacelerar).

Para modelar el sistema tenemos el diagrama de bloques de la Fig. 1.5. Seav la rapidez del carro yvr la rapidez(deseada) referencia. El controlador recibe las senalesv y vr y genera la senal de controlu que es enviada al actuadorque controla la posicion de la valvula de alimentacion. La posicion de la valvula de alimentacion a su vez controla eltorque desarrollado por el motor, que es transmitido a traves de los engranajes y las ruedas, generando una fuerzaF quemueve el carro. Existen duerzas de disturbiosFd debido a las variaciones en la pendiente de la superficie, la resistenciaal deslizamiento de las ruedas y fuerzas aerodinamicas. El control de rapidez tambien tiene una interface humano-maquina que permite que el conductor establezca y modifique larapidez de referencia. Tambien existen funciones quedesconectan el control de rapidez cuando se presiona el freno.

Gears &

Actuator

vr

Controller

BodyThrottle &

Engine

Fd

v

cancel

resume/accel

set/decel

on/off

Driver

Interface

T F

u

Wheels

Figura 1.5 Diagrama de bloques del control de rapidez

Para comenzar a desarrollar un modelo matematico comenzamos con un balance de fuerzas para el cuerpo delvehiculo. Seav la rapidez del vehiculo,mes la masa total (incluyendo pasajeros),F es la fuerza generada por el motory Fd es la fuerza de disturbio debido a la aceleracion de la gravedad, friccion y arrastre aerodinamico. La ecuacion demovimiento del carro es:

mdvdt

= F −Fd. (1.12)

La fuerzaF es generada por el motor, cuyo torqueT es proporcional a la razon de inyeccion de combustible, que es asu vez proporcional a la senal de control 0≤ u≤ 1 que controla la posicion de la valvula de alimentacion. El torquedepende de la velocidad angular del motorω. El torque puede ser representado por la siguiente expresion:

T(ω) = Tm(1−β (ωωm

−1)2), (1.13)

dondeTm es el torque maximo obtenido a la velocidad angular del motorωm. Parametros tipicos sonTm = 190Nm,ωm = 420rad/s (para 4000 rpm) yβ = 0,4. Sean la razon de los engranajes yr el radio de la rueda.La velocidad delmotor es relacionada a la rapidez a trav’es de:

ω =nr

v= αnv, (1.14)

y la fuerzaF se puede escribir como:

F =nur

T(ω) = αnuT(αnv). (1.15)

Valores tıpicos deαn para engranajes del 1 al 5 sonα1 = 40,α2 = 25,α3 = 16,α4 = 12 y α5 = 10.La fuerza de disturbio tiene tres componentes principales:Fg, fuerzas debido a la accion de la gravedad;Fr , fuerza

debido a la resistencia al deslizamiento; yFa, fuerza del arrastre aerodinamico. Si asumimos una pendiente de lasuperficieθ , la gravedad dota de la fuerzaFg = mgsinθ , como mostrado en la Fig. 1.6, dondeg= 9,8m/s2. Un modelosimple de friccion es:

1.4 Mas sobre modelado de sistemas 7

Fr = mgCrsgn(v),

Cr = 0,01 es coeficiente de friccion, sgn es la funcion signo dev (±1) o cero siv= 0. Un valor tipico deCr es 0.01.Finalmente, el arrastre aerodinamico es proporcional al cuadrado de la rapidez:

Fa =12

ρCdAv2,

dondeρ = 1,3 kg/m3 es la densidad del aire,Cd = 0,32 es el coeficiente de arrastre aerodinamico que depende de laforma del vehiculo,A= 2,4m2 es elarea frontal del carro.

Resumiendo, encontramso que el carro puede ser modelado por:

mdvdt

= αnuT(αnv)+−mgCrsgn(v)− 12

ρCdAv2−mgsinθ .

El modelo es un sistema dinamico de primer orden. El estado es la rapidez del vehiculo, que tambien es la salida. Laentrada es la senalu que controla la posicion de la valvula de alimentacion, y el disturbio e sla fuerzaFd, que pedendede la pendiente de la superficie. El sistema es no lineal puesto que el torque se define como en (1.13), el terminorelacionado a la fuerza gravitacional y el caracter no lineal de la friccion y arrastre aerodinamico.

gF

mg

F

θ

Figura 1.6 Efecto de las fuerzas gravitacionales

1.4. Mas sobre modelado de sistemas

El principal objetivo del analisis de sistemas es la prediccion de la forma en la que el sistema respondera a variasentradas y comoestas respuestas cambian para diferentes valores de los parametros del sistema. En la ausencia delmodelado de sistemas, los ingenieros se ven forzados a construir prototipos del sistema para poder probarlos. Losdatos obtenidos en las pruebas de los prototipos fısicos son muy valiosos, sin embargo los costos en tiempo y dineropara obtener estos datos muchas veces no permiten su realizacion. Adicionalmente, los modelos matematicos soninherentemente mas flexibles que los prototipos fısicos y permiten un rapido refinamiento de los disenos del sistemapara optimizar varias medidas de desempeno. En consecuencia, uno de los objetivos del analisis de sistemas es elestablecer un modelo matematico adecuado que pueda ser usado para obtener informacion equivalente a la que sepodra conseguir de varios prototipos fısicos diferentes. De esta forma, aun si un prototipo final es construido paraverificar el modelo matematico, el modelador se ha ahorrado un tiempo y dinero significativos.

Un modelo matematico es un conjunto de ecuaciones que describe completamente las relaciones entre las variablesdel sistema. Es usado como una herramienta para desarrollardisenos y algoritmos de control, y la tarea principal para laque sera usado tiene implicaciones basicas para la eleccion del modelo del sistema. De ahi que los modelos del sistemadeben ser lo mas simples posible, y cada modelo debe ser desarrollado con alguna aplicacion especıfica en mente. Dehecho, de esta forma se tendra diferentes modelos construidos para diferentes usos del mismo sistema. En el caso demodelos matematicos, diferentes tipos de ecuaciones seran usadas para describir al sistema en sus varias aplicaciones.

La Tabla 1 clasifica a los modelos del sistema de acuerdo a los cuatro criterios mas comunes: aplicacion del principiode superposicion, dependencia en coordenadas espaciales ası como en el tiempo, variacion de los parametros en eltiempo, y continuidad de las variables independientes. En base a estos criterios, los modelos de sistemas dinamicos sonclasificados como lineales y no lineales, concentrados y distribuidos, estacionarios invariantes en el tiempo o variantes


en el tiempo, contınuos o discretos, respectivamente. Cada clase de modelo estambien caracterizada por el tipo deecuacion matematica empleada en la descripcion del sistema.

Tipo de modelo Criterio de clasificacion Tipo de ecuacion de modeloNolineal Principio de superposicion no aplica Ecuaciones diferenciales no linealesLineal Principio de superposicion aplica Ecuaciones diferenciales linealesDistribuido Variables dependientes son funcion de co-

ordenadas espaciales y el tiempoEcuaciones diferenciales parciales

Concentrado Variables dependientes son independi-entes de las coordenadas espaciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Variantes en el tiempoParametros del modelo varian en el tiem-po

Ecuaciones diferenciales con coeficientesque varian tiempo

Estacionario Parametros del modelo son constantes enel tiempo

Ecuaciones diferenciales con coeficientesconstantes

Contınuo Variables dependientes definidas sobrerango contınuo de variables independi-entes

Ecuaciones diferenciales

Discreto Variables dependientes definidas solo paradistintos valores de variables independi-entes

Ecuaciones por diferencias finitas

Cuadro 1.1 Clasificacion de modelos del sistema

1.5. Mas ejemplos

1.5.1. Ejemplo: Circuito RLC

Se desea formular un modelo donde el voltaje terminalv sea la entrada y el voltaje en el capacitorvC sea la salida.Las leyes de Ohm y Kirchoff permiten obtener la siguiente relacion para los voltajes:

Ri(t)+Ldi(t)dt

+vC(t) = v(t). (1.16)

Para el capacitor se sabe que:

CvC(t) = q(t)→CdvC(t)

dt=

dq(t)dt

= i(t). (1.17)

De estas ecuaciones se puede ver inmediatamente que:

i =−RL

i − 1L

vC+1L

v,

vC =1C

i.(1.18)

La dependencia del tiempo se ha omitido por simplicidad.

R L

C

vC

i

v

Figura 1.7 Circuito RLC

1.5 Mas ejemplos 9

El sistema puede ser descrito por las dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas mostradas en (1.18).Reescribiendo las ecuaciones en la forma de espacio de estados:

[i

vC

]

=

−RL

−1L

1C

0

[i

vC

]

+

[ 1L0

]

v. (1.19)

Si las variables de estado y las matrices del sistema son definidas como:

x=

[i

vC

]

, x=

[i

vC

]

,A=

−RL

−1L

1C

0

,B=

[ 1L0

]

,u= v,

la ecuacion (1.19) puede ser reescrita en forma compacta como:

x= Ax+Bu.

Un diagrama de bloques del sistema es mostrado en la Fig. 1.8.Notar que los elementos del vector de estadosx, i(t) y

∫R

L---

1

L---

1

C----

1

L--- ∫

v t( ) i t( ) i t( ) v·c t( ) vc t( )+

__

Figura 1.8 Diagrama de bloques del circuito RLC

vC(t), son salidas de los dos integradores en el diagrama de bloques.Dado que el voltaje del capacitor es la salida. Una segunda ecuacion debe ser aumentada a la descripcion del

problema, la ecuacion de salida:y= vC =

[0 1

]x. (1.20)

La combinacion de (1.19) y (1.20) es llamada el modelo espacio de estados del sistema.La transformada de Laplace de (1.18) lleva al modelo a la forma de funcion de transferencia del sistema:

G(s) =Vc(s)V(s)

=1

LCs2+RCs+1. (1.21)

1.5.2. Ejemplo: Motor DC y acoplamiento flexible

La Fig. 1.9 muestra un motor DC con acoplamiento flexible en eleje entre la inercia de la armadura del motor y lainercia de la carga.R y L son la resistencia y la inductancia del bobinado de la armadura respectivamente,k y b sonla constante de rigidez y el coeficiente de amortiguamiento (lineal) del acoplamiento flexible respectivamente y,Jm yJl son los momentos de inercia de la armadura del motor y carga respectivamente. El voltaje en la armadurau es laentrada del sistema y la posicion angular de la cargaθl es la salida.

Si las dos inercias son separadas una de la otra y los torques apropiados (Tk,Tb,Ta) aumentados como mostrado enla Fig. 1.10 (diagramas de cuerpo libre), usando la Segunda Ley de Newton (Momentos de Euler) en ambas inercias setiene:

Jmθm = Kai +k(θl −θm)+b(θl − θm)−bmθm, (1.22)

Jl θl =−k(θl −θm)−b(θl − θm)−bl θl , (1.23)


θm θl

k,b

R L

i

JlJm

u

Figura 1.9 Motor DC con acoplamiento flexible

dondeKa es la constante de torque,bm y bl son los factores de friccion de los rodamientos viscosos del motor y la cargarespectivamente.

θm θl

Jm Jl

State convention: θm < θl

θm < θl

· ·

Ta Tk , Tb Tk , Tb

Figura 1.10 Senal y convencion de estados para el sistema en Fig. 1.9

Las leyes de Ohm y Kirchhoff aplicadas al circuito electrico resulta en:

u= Ri+Ldidt

+keθm (1.24)

o

i =1L(u−keθm−Ri), (1.25)

dondeke es el coeficiente de induccion del bobinado de la armadura del motor.Un diagrama de bloques puede ser dibujado directamente de las ecuaciones (1.22), (1.23) y (1.25) como mostrado

en la Fig. 1.12.

1

L---

1

Jm

------

1

Jl

---- ∫∫

∫∫∫

R

b

ke

bm

Ka

k

+

_

_

+

++

_

+

_+

_

_ _

θ·

mu i·

i θm

··

θl

··θl

·

θm

θl

bl

_ x5

x1 x2x3

x4y

Figura 1.11 Diagrama de bloques del sistema motor DC con acoplamiento flexible

1.5 Mas ejemplos 11

Si se define el vector de estados de orden 5 como:

x=[

x1 x2 x3 x4 x5]T

=[

i θm θm θl θl]T

, (1.26)

y la ecuaciones de estado pueden ser escritas por inspeccion del diagrama de bloques:

x1 =−RL

x1−ke

Lx3+

1L

u,

x2 = x3,

x3 =Ka

Jmx1−

kJm

x2−b+bm

Jmx3+

kJm

x4−bJm

x5,

x4 = x5,

x5 =kJl

x2+bJl

x3−kJl

x4−b+bl

Jlx5.

(1.27)

En forma matricial la ecuacion se puede escribir como:

x=

−RL

0 −ke

L0 0

0 0 1 0 0,Ka

Jm− k

Jm−b+bm

Jm

kJm

bJm

0 0 0 0 1

0kJl

bJl

− kJl

−b+bl

Jl

x+

1L0000

u. (1.28)

La ecuacion de salida es entonces:y=

[0 0 0 1 0

]x. (1.29)

Se puede observar que el sistema motor DC con acoplamiento flexible es un sistema de orden 5: tiene 5 estados.

1

L---

1

Jm

------

1

Jl

---- ∫∫

∫∫∫

R

b

ke

bm

Ka

k

+

_

_

+

++

_

+

_+

_

_ _

θ·

mu i·

i θm

··

θl

··θl

·

θm

θl

bl

_ x5

x1 x2x3

x4y

Figura 1.12 Diagrama de bloques del sistema motor DC con acoplamiento flexible


1.5.3. Ejemplo: Diagrama de bloques del motor DC

El sistema electromecanico anterior tiene un acoplamiento flexible entre las dos inercias rotacionales. Si se omite laflexibilidad, esto significa que el acoplamiento es completamente rıgido, luego las ecuaciones del sistema tendran unaapariencia diferente al caso anterior.

Un acoplamiento rıgido significa que la constante de rigidez del resorte es infinita: k ≈ ∞. No se puede modificarlos elementos de las matrices (1.27, 1.28) directamente debido a que algunos de ellos serian muy grande y esto nopuede ser posible. Luego, se debe retornar al conjunto de ecuaciones en (1.22) y (1.23) y modicarlas. Es obvio que lasdos posiciones angulares ahora seran igualesθm = θl = θ y el momento de inercia y los factores de friccion de losrodamientos seran la suma:J = Jm+Jl y bb = bm+bl . Las dos ecuaciones se reducen a una sola ecuacion diferencialde segundo orden:

Jθ = Kai −bnθ . (1.30)

Las ecuaciones de la parte electrica seran las mismas que antes y el nuevo diagrama de bloques es mostrado en la Fig.1.13.

1

L---

1

J-- ∫∫∫

R

ke

bb

Ka+

_

_ + +

_

θ·

u i· i θ

··θ

x1 x2x3

y

Figura 1.13 Diagrama de bloques del sistema reducido

El numero de estados del sistema reducido es 3 y el vector de estados es como sigue:

x=[

x1 x2 x3]T

=[

i θ θ]T

, (1.31)

y las ecuaciones de estado y salida resultan:

x =

−RL

0 −ke

L0 0 1,

Ka

J0 −bb

J

x+

1L00

u

y =[

0 1 0]x.

(1.32)

1.5.4. Ejemplo: Doble filtro pasa-baja RC

A continuacion se mostrara como derivar un modelo espacio de estados de un la red electrica pasiva mostrada en laFig. 1.14. Usando la leyes de Ohm y Kirchhoff en los tres lazosde corriente resulta:

ei = R1i1+1

C1

∫

(i1− i2)dt,

0 =1

C1

∫

(i2− i1)dt+1

C2

∫

i2dt+R2i2

−eo =− 1C2

∫

i2dt

. (1.33)

1.5 Mas ejemplos 13

Arreglando las ecuaciones,

R1i1 = ei −1

C1

∫

(i1− i2)dt,

R2i2 =1

C1

∫

(i1− i2)dt− 1C2

∫

i2dt+

eo =1

C2

∫

i2dt

, (1.34)

se llega al diagrama de bloques de la Fig. 1.15.

C1 C2

R1 R2

ei eo

i3 = 0i2i1

Figura 1.14 Red electrica simple

Luego, derivando las ecuaciones de estado directamente deldiagrama:

x1 =1

C1

(1R1

(u−x1)−1R2

(x1−x2)

)

,

x2 =1

C2

(1R2

(x1−x2)

) , (1.35)

Acomodando el modelo espacio de estados es:

x =

R1+R2

C1R1R2

1C1R2

1C2R2

− 1R2C2

x+

1C1R1

0

u,

y =[

0 1]x

(1.36)

1

R1

------

1

R2

------

∫

∫

1

C1

------

1

C2

------

+

_

+

_

+

_

eo = y

ei = u

i1

i2

x1

x2

Figura 1.15 Diagrama de bloques del sistema en Fig. 1.14


1.5.5. Ejemplo: Horno electrico

La Fig. 1.16 muestra un horno aislado con calentamiento electrico que contiene un producto a ser calentado. Latemperatura del aire en el horno esTs, las temperaturas del producto, material de aislamiento y aire del ambiente sonTg, Tr y Ta respectivamente. Se asume que todas las temperaturas son uniformes. La potencia para calentamiento queprovee el elemento electrico esq, y las potencias que entran al producto y aislamiento sonqg y qr . El calor perdido enel aire del ambiente esqa.

q

qg

qr

qa

Ts

Tg

Ta

Tr

Controlled

power supply

Insulation

Product u

Figura 1.16 Horno calentado electricamente

La potencia del elemento electrico es controlada de forma lineal tal que:

q= ku, (1.37)

dondek es una constante de proporcionalidad.Se asume que el intercambio de energıa de calor es debido a conveccion y por lo tanto las potencias y las temperat-

uras estan relacionadas por:qg = kg(Ts−Tg),qr = kr(Ts−Tr),qa = ka(Tr −Ta),

(1.38)

donde los coeficientes-k son parametros de conveccion dependiendo delarea y la naturaleza fısica de las superficies.Si la capacidad de calentamiento total del aire en el horno, del producto y del aislamiento se denota porCs, Cg y Cr ,

se pueden formular las expresiones para la razon de variacion de la temperatura de las diferentes partes del sistema.Luego se tiene que:

CsdTs

dt= q−qg−qr ,

CgdTg

dt= qg,

CrdTr

dt= qr −qa.

(1.39)

Un diagrama de bloques del modelo se puede ver en la Fig.1.17.De la ecuacion diferencial (1.39) se puede determinar la siguiente eleccion de variables de estado:

x=

x1

x2

x3

=

Ts

Tg

Tr

(1.40)

Con entradau, el disturbiov= Ta y la saliday= Tg, se puede obtener el conjunto de ecuaciones del modelo espacio deestados. Realizando la sustotucion apropiada en (1.39). El resultado es:

1.5 Mas ejemplos 15

x1 =1Cs

(ku−kg(x1−x2)−kr(x1−x3)) ,

x2 =1

Cgkg(x1−x2),

x3 =1Cr

(kr(x1−x3)−ka(x3−v)) ,

(1.41)

o en la forma vectorial-matricial:

x =

−kg+kr

Cs

kg

Cs

kr

Cskg

Cg− kg

Cg0

kr

Cr0 −kr +ka

Cr

x+

kCs00

u+

00ka

Cr

v,

y =[

0 1 0]x

(1.42)

∫

∫

kg

kr

ka

∫

1

Cs

-----

1

Cr

-----

1

Cg

------

k

+

_

+

_

+

_

+

_ _

+

_

Ts

Tg

Tr

Ta

u

y

qg

qr

qa

Block diagram of

the oven production system

Figura 1.17 Diagrama de bloques del sistema en Fig. 1.16

Fuente: Capıtulos 2 y 3 del libroFeedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J.Astromy Richard M. Murray.

Fuente: Capıtulo 1 del libroDynamic Modeling and Control of Engineering Systems, de B. Kulakowski, J. Gardnery L. Shearer.

Fuente: Capıtulo 2 del libroLinear Systems Control: Deterministic and Stochastic Methods, de E. Hendricks, O.Jannerup y P. Sorensen.

Capıtulo 2Linealizacion

El reemplazar un sistema no lineal por su aproximacion lineal se denominalinealizacion. Una motivacion parala linealizacion es que el comportamiento dinamico de muchos sistemas no lineales dentro de un rango de variablespuede ser aproximado a modelos de sistemas lineales. Siendoese el caso, podemos usar tecnicas bien desarrolladasde analisis y sıntesis de sistemas lineales para analizar un sistema no lineal. Cabe destacar que se debe tener muchocuidado cuando se realiza el analisis de sistemas linealizados ya que la intencion no es introducir errores al analizarsistemas no lineales.

Consideremos el caso de un sistema (elemento no lineal) con una variable de estadox y una variable de saliday queestan relacionadas por la siguiente ecuacion:

y= h(x), (2.1)

donde la funcionh : R 7→R es contınua y diferenciable; esto esh∈ C 1. Consideremosxo como el punto de operacion.Si expandemosh en la serie de Taylor alrededor del puntoxo se obtiene:

y = h(x),

= h(xo)+dh(xo)

dx(x−xo)+ terminos de alto orden.

(2.2)

La linealizacion deh(x) alrededor del puntoxo consiste en reemplazarh por una aproximacion lineal de la forma:

y = h(xo)+dh(xo)

dx(x−xo)

y = yo+dh(xo)

dx(x−xo),

(2.3)

dondeyo = h(xo). Si y= y−yo y x= x−xo. Luego, podemos reescribir (2.3) como:

y=dh(xo)

dxx, (2.4)

y sobre un rango pequeno dex, la linea (2.3) es una buena aproximacion de la curvay= h(x) en la vecindad del puntode operacion xo, ver Fig. 2.1 para una ilustracion de la aproximacion.

Si h : Rn 7→ R, esto es,y= h(x1,x2, ...,xn), que significa que la variable dependiente depende de variasvariables -se puede aplicar el mismo principio. Sea:

xo =[x1o x2o ... xno

]T(2.5)

el punto de operacion. La expansion de la serie de Taylor deh alrededor del punto de operacion xo resulta en:

y−h(xo) = ∇h(xo)T(x−xo)+ terminos de alto orden, (2.6)

donde:

∇h(xo)T =

[ ∂h∂x1

∣∣∣∣x=xo

∂h∂x2

∣∣∣∣x=xo

...∂h∂xn

∣∣∣∣x=xo

]

. (2.7)

17

18 2 Linealizacion

y

y0

x0

y h(x)

x

y y0 (x x0)dh(x0)

dx

Figura 2.1 Aproximacion lineal de la funcion y= h(x)

Geometricamente, la linealizacion deh alrededor dexo se puede pensar como el localizar un plano tangente sobre unasuperficie no lineal en el punto de operacion xo, como mostrado en la Fig. 2.2.

Tangent

plane

h(x0)

x0

x2

x1

y h(x)

Figura 2.2 Plano tangente como aproximacion lineal de una funcion de dos variables.

2.1. Linealizando ecuaciones diferenciales

Consideremos ahora un sistema dinamico modelado por un conjunto de ecuaciones diferencialesno lineales:

dx1

dt= f1(x1,x2, ...,xn,u1,u2, ...,um),

dx2

dt= f2(x1,x2, ...,xn,u1,u2, ...,um),

......

dxn

dt= fn(x1,x2, ...,xn,u1,u2, ...,um).

. (2.8)

Asumiendo que las funcionesfi , i = 1,2, ...,n, son contınuas y diferenciables. El conjunto de las ecuaciones arribamostradas se puede representar en la forma vectorial por:

dxdt

= f (x,u). (2.9)

2.1 Linealizando ecuaciones diferenciales 19

Seaue=[u1e u2e ... une

]Tuna entrada constante que fuerza al sistema (2.9) a que se asiente en unestado de equilibrio

xe =[x1e x2e ... xne

]T; esto es,ue y xe satisfacen:

f (xe,ue) = 0. (2.10)

Los estados de equilibrio son llamados tambien puntos estacionarios, puntos constantes o puntos de reposo, ya que siel sistema se ubica inicialmente enx= xe, luego permanecera enx(t) = xe para todo tiempot ≥ 0.

Por lo general cuando hablamos de la existencia de unue 6= 0 nos referimos a condiciones de operacion puesto queel sistema necesitarıa de esa inyeccion ya sea de fuerza (torque, etc.) para mantenerse en el puntode equilibrio.

Cuando analizamos la dinamica de un sistema no forzado, hacemosue = 0 y luego buscamos el punto de equilibrio

xe para el sistema dinamicodxdt

= f (x), es decir la solucion def (xe) = 0. En el caso de un sistema dinamico no forzado,

este puede presentar cero, uno o mas puntos de equilibrio.Para estudiar y analizar el comportamientolocal del sistema alrededor del punto de equilibrio (xe,ue), se supone que

tantox−xe comou−ue son pequenos, tal que perturbaciones no lineales pueden ser ignoradas en comparacion a losterminos lineales (de orden bajo). Este argumento es similara cuando usamos aproximaciones deangulos pequenos,reemplazando sinθ conθ y cosθ con 1 paraθ cerca a cero.

Si ahora perturbamos el estado de equilibrio haciendo:

x= xe+ x, u= ue+ u. (2.11)

La expansion de la serie de Taylor resulta en:

ddt

x = f (xe+ x,ue+ u),

= f (xe,ue)+∂ f∂x

(xe,ue)x+∂ f∂u

(xe,ue)u+ terminos de alto orden,(2.12)

donde:

∂ f∂x

(xe,ue) =

∂ f1∂x1

...∂ f1∂xn

......

∂ fn∂x1

...∂ fn∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x= xe,u= ue

y∂ f∂u

(xe,ue) =

∂ f1∂u1

...∂ f1∂um

......

∂ fn∂u1

...∂ fn∂um

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x= xe,u= ue

(2.13)

son las matrices Jacobianas def con respecto ax y u, evaluadas en el punto de equilibrio,(xe,ue). Notese que:

ddt

x=ddt

xe+ddt

x=ddt

x, (2.14)

porquexe es una constante. Adicionalmente,f (xe,ue) = 0, luego definiendoA ∈ Rn×n y B ∈ R

n×m de la siguienteforma:

A=∂ f∂x

(xe,ue) y B=∂ f∂u

(xe,ue). (2.15)

Finalmente, eliminando los terminos de orden alto, se llega a la siguiente aproximacion lineal:

ddt

x= Ax+Bu. (2.16)

De forma similar, si las salidas del modelo del sistema no lineal son de la forma:

y1 = h1(x1,x2, ...,xn,u1,u2, ...,um),y2 = h2(x1,x2, ...,xn,u1,u2, ...,um),

...yp = hp(x1,x2, ...,xn,u1,u2, ...,um).

. (2.17)

20 2 Linealizacion

o en notacion vectorial:y= h(x,u), (2.18)

entonces la expansion de la serie de Taylor puede ser usada nuevamente para llevar a la aproximacion lineal de laecuacion de salida del sistema. Sea:

y= ye+ y, (2.19)

luego obtenemos:y=Cx+Du, (2.20)

donde:

C=∂h∂x

(xe,ue) =

∂h1

∂x1...

∂h1

∂xn...

...∂hp

∂x1...

∂hp

∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x= xe,u= ue

∈ Rp×n, (2.21)

y,

D =∂h∂u

(xe,ue) =

∂h1

∂u1...

∂h1

∂um...

...∂hp

∂u1...

∂hp

∂um

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x= xe,u= ue

∈ Rp×m (2.22)

son las matrices Jacobianas deh con respecto ax y u, evaluadas en el punto de operacion (xe,ue).El hecho de que modelos lineales puedan ser usados para estudiar el comportamiento de un sistema no lineal cerca

a los puntos de operacion es bien importante. De hecho, lo que haremos en las proximas secciones es aprovechar estaaproximacion local lineal de un sistema no lineal para disenar leyes de control por realimentacion que mantenganal sistema cerca al punto de equilibrio (diseno de dinamica). Entonces la realimentacion se usara para hacer que lassoluciones del sistema controlado permanezcan cerca al punto de operacion, ver Fig. 2.3.

−2

−1

0

1

2

x1

x2

0 π/2 π 2π3π/2−2

−1

0

1

2

z1

z2

−π −π/2 0 π/2 π

Figura 2.3 Comparacion entre los planos de fase de un sistema no lineal (a) y su aproximacion lineal alrededor del origen (b). Notese quecerca al punto de equilibrio en el centro de las graficas , los planos de fase (y como consecuencia la dinamica) es practicamente identica.

2.2. Ejemplo: Vehıculo aereo con impulsadores

Considere el movimiento de el vehıculo aereo, tal como el Harrierjump jet mostrado en la Fig. 2.4. El Harrieres capaz de despegar verticalmente al redireccionar los impulsadores principales hacia abajo y a traves del uso de

2.2 Ejemplo: Vehıculo aereo con impulsadores 21

impulsadores pequenos de maniobra que estan localizados en sus alas. Un modelo simplificado es mostrado en laFig. 2.4(b) donde el enfoque del movimiento del vehıculo es en un plano vertical que corta las alas del vehıculo.Las ecuaciones de movimiento seran calculadas representando las fuerzas generadas por el impulsador principal y losimpulsadores de maniobra comoF1 y F2 (actuando a una distanciar por debajo del vehıculo).

(a) Harrier “jump jet”

r

x

y

θ

F1

F2

(b) Simplified model

Figura 2.4 (a) Vehıculo aereo con impulsadores y su (b) modelo simplificado donde el impulso neto ha sido descompuesto entre la fuerzahorizontalF1 y la fuerza verticalF2 actuando a una distanciar del centro de masa.

Sea(x,y,θ) la posicion y la orientacion del centro de masa del vehıculo. Seam la masa del vehıculo,J el momentode inercia,g la constante graviatacional yc el coeficiente de amortiguamiento. Luego las ecuaciones de movimientoson:

mx = F1cosθ −F2sinθ −cx,my = F1sinθ +F2cosθ +mg−cy,Jθ = rF1.

(2.23)

Se cree conveniente redefinir las entradas tal que el origen sea considerado el punto de equilibrio del sistema conentrada cero. Haciendou1 = F1 y u2 = F2−mg, las ecuaciones resultan:

mx =−mgsinθ −cx+u1cosθ −u2sinθ ,my = mg(cosθ −1)−cy+u1sinθ +u2cosθ ,Jθ = ru1.

(2.24)

Estas ecuaciones definen el movimiento del vehıculo como un conjunto de tres ecuaciones diferenciales acopladas.Describiendo la dinamica del vehıculo en la forma de espacio de estados:

dzdt

=

z4

z5

z6

−gsinz3−cm

z4+u1

mcosz3−

u2

msinz3

−g(cosz3−1)− cm

z5+u1

msinz3+

u2

mcosz3

u1

Jr

, (2.25)

dondez=[x y θ x y θ

]T.

22 2 Linealizacion

2.2.1. Modelo lineal del vehıculo aereo con impulsadores

Suponiendo queu1 = 0 y u2 = 0, la dinamica del sistema se simplica a:

dzdt

=

z4

z5

z6

−gsinz3− cmz4

−g(cosz3−1)− cmz5

0

. (2.26)

Los puntos de equilibrio del sistema estan dados cuando se hacen cero las velocidades ˙x, y y θ y escogiendo lassiguientes variables que satisfagan la siguiente ecuacion:

[00

]

=

[−gsinz3e

−g(cosz3e−1)

]

,→ z3e = θe = 0. (2.27)

Entonces, el punto de equilibrio corresponde a la posicion vertical del vehıculo. Notese quexe y ye no estan especifi-cados. Esto ocurre porque nosotros podriamos trasladar el sistema a una nueva posicion (mas arriba) y todavia obtenerun punto de equilibrio.

Calculando la matriz de estadosA y la matriz de entradaB:

A=∂ f∂z

∣∣∣∣ze

=

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0−g −c/m 0 00 0 0 0 −c/m 00 0 0 0 0 0

, (2.28)

B=∂ f∂u

∣∣∣∣ze

=

0 00 00 0

1/m 00 1/m

r/J 0

. (2.29)

Luego el sistema linealizado del vehıculo aereo con impulsores puede ser escrito como:

ddt

x=

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0−g −c/m 0 00 0 0 0 −c/m 00 0 0 0 0 0

x+

0 00 00 0

1/m 00 1/m

r/J 0

u (2.30)

2.3. Ejemplo: manipulador robotico

(El siguiente problema ha sido adaptado de Snyder, W.E.,Industrial Robots: Computer interfacing and control) Enla Fig. 2.5 se muestra el manipulador robotico θ − r. Un representacion esquematica del robot es presentada en la Fig.2.7 donde se asume una configuracion de masas concentradas. La masam1 = 10kg representa la masa del cilindroexterior y se ubica en el centro de masa del mismo. La constante r1 = 1m designa la distancia fija entre el centrode masa del cilindro exterior y el centro de rotacion. La masa de la carga es representada porm2 = 3kg y se asumeque esta localizada al final de un piston de un brazo telescopico cuya distancia radialr es medida a partir del centro

2.3 Ejemplo: manipulador robotico 23

de rotacion. El angulo de rotacion del brazo manipulador esθ . Se asume que las entradas al sistema son el torqueTθaplicado en el centro de rotacion en la direccion delanguloθ y la fuerza traslacional (radial)Fr aplicada en la direccionr. Despreciar la masa del cilindro interior. Usarg= 10m/sec2 como aceleracion de la gravedad.

Figura 2.5 Manipulador robotico θ − r Figura 2.6 Representacion esquematica manipuladorθ − r

Construiremos las ecuaciones de movimiento del sistema en base a las ecuaciones de Lagrange y luego las repre-sentaremos en la forma espacio de estados.

2.3.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange

Energıa cinetica (T) Primero encontramos la energia cinetica total del sistema. Para esto definimos las posiciones dela masam1:

x1 = r1cosθ ,y1 = r1sinθ .

Notese quer1 es una constante y que las posiciones de la masam1 hacen referencia al movimiento traslacional queexperimenta el centro de masa del cilindro externo (masa concentrada). Diferenciandox1 y y1 con respecto al tiempose obtiene:

x1 =−r1θsinθ ,y1 = r1θcosθ .

La magnitud del cuadrado del vector velocidad de la masam1 es:

v21 = x1

2+ y12 = r2

1θ 2sin2θ + r21θ 2cos2θ = r2

1θ 2.

Entonces, la energia cinetica de la masam1 es:T1 =12m1v2

1 =12m1r2

1θ 2.Ahora derivaremos una expresion para la energia cinetica de la segunda masa. La posicion de la masam2 es:

x2 = rcosθ ,y2 = rsinθ .

Notese quer no es una constante y que la posiciones de la masam2 hacen referencia al movimiento traslacional queexperimenta la masa de carga (masa concentrada). Diferenciandox2 y y2 con respecto al tiempo se obtiene:

x2 = rcosθ − r θsinθ ,y2 = rsinθ + r θcosθ .

La magnitud del cuadrado del vector velocidad de la masam2 es:

v22 = x2

2+ y22 = (rcosθ − r θsinθ)2+(rsinθ + r θcosθ)2 = r2+ r2θ 2.

24 2 Linealizacion

Entonces, la energıa cinetica de la masam2 es:T2 =12m2v2

2 =12m2(r2+ r2θ 2).

Energıa potencial (V) Ahora encontraremos la energıa potencial del sistema. La energıa potencial de la masam1 es:

V1 = m1gr1sinθ .

La energıa potencial de la masam2 es:V2 = m2grsinθ .

Ecuaciones de movimientoLa funcion Lagrangiana (o Lagrangiano) para el sistema es:

L = T −V =12

m1r21θ 2+

12

m2(r2+ r2θ 2)−m1gr1sinθ −m2grsinθ .

El manipulador posee dos grados de libertad (r y θ ). Luego, tenemos dos ecuaciones de movimiento para el sistema:

ddt

(∂L

∂ θ

)

− ∂L

∂θ= Tθ

ddt

(∂L

∂ r

)

− ∂L

∂ r= Fr

La primera ecuacion de movimiento resulta en:

m1r21θ +m2r2θ +2m2r r θ +gcosθ(m1r1+m2r) = Tθ .

La segunda ecuacion de movimiento viene a ser:

m2r −m2r θ 2+m2gsinθ = Fr .

2.3.2. Representacion espacio de estados

Definiendo las siguientes variables:

z1 = θ , z2 = θ , z3 = r, z4 = r.

Luego podemos escribir:

ddt

z1

z2

z3

z4

︸︷︷︸

dzdt

=

z2−2m2z2z3z4−gcosz1(m1r1+m2z3)+u1

m1r21+m2z2

3z4

z22z3−gsinz1+

u2

m2

︸︷︷︸

f (z,u)

, (2.31)

dondeu1 = Tθ y u2 = Fr . Asumiendo que la salida esta dada por la posicion de la masa de carga,v1 = x2 = rcosθ yv2 = y2 = rsinθ se tiene:

[v1

v2

]

︸︷︷︸

v

=

[z3cosz1

z3sinz1

]

︸︷︷︸

h(z,u)

, (2.32)

2.3 Ejemplo: manipulador robotico 25

2.3.3. Linealizacion

Para encontrar el modelo linealizado del manipulador robotico debemos calcular primero los puntos (estados) deequilibrio.Puntos de equilibrio para entradas nulasConsiderando entradas nulas (u1 = 0 y u2 = 0), el modelo del sistemaresulta en:

dzdt

=

z2−gcosz1(m1r1+m2z3)

m1r21+m2z2

3z4

−gsinz1

, (2.33)

e igualando las derivadas a cero, la ecuacion que debemos resolver es la siguiente:

[00

]

=

−gcosz1(m1r1+m2z3)

m1r21+m2z2

3−gsinz1

, (2.34)

como no existe unz1 tal que cosz1 = 0 y sinz1 = 0 simultaneamente, esto significa que el modelo no forzado que hemosconsiderado para el manipulador robotico no presenta puntos de equilibrioze; es decir, el sistema dinamico analizadono presenta condiciones inicialesz(0) que tal que el sistema permanecera en ese puntoz(0) indefinidamente (¿coincideesto con lo que te dice tu intuicion?).Punto de operacion (entradas constantes)Considerando entradas constantes (u1 = u1e y u2 = u2e) e igualando lasderivadas a cero resulta:

0000

=

z2e−gcosz1e(m1r1+m2z3e)+u1e

m1r21+m2z2

3z4e

−gsinz1e+u2e

m2

, (2.35)

Luego, el modelo del sistema sera linealizado alrededor del punto de equilibrio:

ze =[

z1e 0 z3e 0]T

,

dondez1e y z3e satisfacen las siguientes ecuaciones:

cosz1e =u1e

g(m1r1+m2z3e)

sinz1e =u2e

gm2

.

Calculando los elementos de las matrices Jacobianas del sistema no lineal definido en (2.31) tenemos:

∂ f1∂z1

= 0∂ f1∂z2

= 1

∂ f1∂z3

= 0∂ f1∂z4

= 0

∂ f2∂z1

=gsinz1(m1r1+m2z3)

m1r21 +m2z2

3

∂ f2∂z2

=−2m2z3z4

m1r21 +m2z2

3∂ f2∂z3

=−m2(2z2z4+gcosz1)(m1r2

1 +m2z23)− (−2m2z2z3z4−gcosz1(m1r1+m2z3)+u1)(2m2z3)

(m1r21 +m2z2

3)2

∂ f2∂z4

=−2m2z2z3

m1r21 +m2z2

3∂ f3∂z1

= 0∂ f3∂z2

= 0

∂ f3∂z3

= 0∂ f3∂z4

= 1

∂ f4∂z1

=−gcosz1∂ f4∂z2

= 2z3

∂ f4∂z3

= z22

∂ f4∂z4

= 0

(2.36)

26 2 Linealizacion

y,∂ f1∂u1

= 0∂ f1∂u2

= 0

∂ f2∂u1

=1

m1r21+m2z2

3

∂ f2∂u2

= 0

∂ f3∂u1

= 0∂ f3∂u2

= 0

∂ f4∂u1

= 0∂ f4∂u2

=1

m2

(2.37)

Adicionalmente, para la matriz de salida (2.32):

∂h1

∂z1=−z3sinz1

∂h1

∂z2= 0

∂h1

∂z3= cosz1

∂h1

∂z4= 0

∂h2

∂z1= z3cosz1

∂h2

∂z2= 0

∂h2

∂z3= sinz1

∂h2

∂z4= 0

, (2.38)

y,∂h1

∂u1= 0

∂h1

∂u2= 0

∂h2

∂u1= 0

∂h2

∂u2= 0

, (2.39)

Evaluando las matrices Jacobianas en(ze,ue) tenemos:

∂ f∂x

(ze,ue) =

0 1 0 0ue2(m1r1+m2z3e)

m2(m1r21+m2z2

3e)0

−m2u1e

(m1r21+m2z2

3e)(m1r1+m2z3e)0

0 0 0 1

− u1e

m1r1+m2z3e2z3e 0 0

, (2.40)

∂ f∂u

(ze,ue) =

0 11

m1r21+m2z2

3e

0

0 0

01

m2

, (2.41)

∂h∂x

(ze,ue) =

−z3ue2

gm20

u1e

g(m1r1+m2z3e)0

z3eu1e

g(m1r1+m2z3e)0

ue2

gm20

, (2.42)

y∂h∂u

(ze,ue) =

[0 00 0

]

. (2.43)

Modelo lineal en la forma espacio de estadosUsando las matrices Jacobianas arriba mencionadas y definiedo:

∂ f∂z

(ze,ue) = A y∂ f∂u

(ze,ue) = B

∂h∂z

(ze,ue) =C y∂h∂u

(ze,ue) = D

Luego las matrices correspondientes para la representacion espacio de estados lineal alrededor del punto de operacion(ze,ue) son:

2.4 Ejemplo: manipulador robotico - incluyendo la dinamica del cuerpo rıgido 27

A=

0 1 0 0ue2(m1r1+m2z3e)

m2(m1r21+m2z2

3e)0

−m2u1e

(m1r21+m2z2

3e)(m1r1+m2z3e)0

0 0 0 1

− u1e

m1r1+m2z3e2z3e 0 0

, B=

0 11

m1r21+m2z2

3e

0

0 0

01

m2

, (2.44)

y:

C=

−z3ue2

gm20

u1e

g(m1r1+m2z3e)0

z3eu1e

g(m1r1+m2z3e)0

ue2

gm20

, D =

[0 00 0

]

, (2.45)

La representacion espacio de estados lineal queda de la siguiente forma:

dzdt

=

0 1 0 0ue2(m1r1+m2z3e)

m2(m1r21 +m2z2

3e)0

−m2u1e

(m1r21 +m2z2

3e)(m1r1+m2z3e)0

0 0 0 1

− u1e

m1r1+m2z3e2z3e 0 0

z+

0 11

m1r21 +m2z2

3e

0

0 0

01

m2

u (2.46)

v=

−z3ue2

gm20

u1e

g(m1r1+m2z3e)0

z3eu1e

g(m1r1+m2z3e)0

ue2

gm20

z+

[0 00 0

]

u. (2.47)

2.3.4. Ideas adicionales acerca del modelo

Si asumimos quer = cte= r1 y que el objetivo es mantenerθ = π/2, entonces el problema del manipuladorrobotico se puede interpretar como un pendulo invertido con masam1+m2. ¿Que pasa cuandoθ = π/2 y r = cte> r1,que sistema tenemos?.

Otra simplificacion del modelo se puede dar cuando se consideraθ = 0 y r variable, en ese caso podemos hablar detraslacion de la masa de carga en la direccion horizontal.

2.4. Ejemplo: manipulador robotico - incluyendo la dinamica del cuerpo rıgido

(El siguiente problema ha sido adaptado de Snyder, W.E.,Industrial Robots: Computer interfacing and control) Enla Fig. 2.7 se muestra el manipulador robotico θ − r. Un representacion esquematica del robot es presentada en la Fig.2.8. La masamo = 10kg representa la masa del cilindro exterior y se ubica en elcentro de masa del cilindro exterior,Iorepresenta el momento de inercia del cilindro exterior con respecto a su centro de masa. La constantero

2 = 1m designala distancia fija entre el centro de masa del cilindro exterior y el centro de rotacion. La masa de la carga es representadapor ml = 3kg y se asume que esta localizada al final de un piston de un brazo telescopico cuya distancia radialr esmedia a partir del centro de rotacion. El angulo de rotacion del brazo manipulador esθ . El cilindro interno del brazotelescopico tiene masami = 2kg y momento de inercia igual aIi . Asuma que las entradas al sistema son el torqueTθaplicado en el centro de rotacion en la direccion delanguloθ y la fuerza traslacional (radial)Fr aplicada en la direccionr. Usarg= 9,8m/sec2 como aceleracion de la gravedad.

Construiremos las ecuaciones de movimiento del sistema en base a las ecuaciones de Lagrange y luego las repre-sentaremos en la forma espacio de estados.

28 2 Linealizacion

Figura 2.7 Manipulador robotico θ − r

Io , mo , ro

Ii , mi , ro

ml

Figura 2.8 Representacion esquematica manipuladorθ − r

2.4.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange

Energıa cineticaPrimero encontramos la energia cinetica total del sistema. La energia cinetica traslacional es obtenidadefiniendo las posiciones de los centros de masa de los cilindros externo e interno con masasmo y mi , y la posicion dela masa de cargaml :

xo =12rocosθ ,

yo =12rosinθ .

xi = (r − 12ro)cosθ ,

yi = (r − 12ro)sinθ .

xl = rcosθ ,yl = rsinθ .

Notese quero es una constante, mientras quer no lo es. Diferenciandox ey con respecto al tiempo se obtiene:

xo =−ro12θsinθ ,

yo = ro12 θcosθ .

xi =12 rcosθ − 1

2r θsinθ + 12roθsinθ ,

yi =12 rsinθ + 1

2r θcosθ − 12roθcosθ .

xl = rcosθ − r θsinθ ,yl = rsinθ + r θcosθ .

La magnitud del cuadrado del vector velocidad de los centrosde masa de los cilindros exterior e interior, y de lamasa de la carga es:

v2o = xo

2+ yo2 =

r2o

4θ 2sin2θ +

r2o

4θ 2cos2θ = r2

o14

θ 2.

v2i = x2

i + y2i =

14(rcosθ +(ro− r)θsinθ)2+

14(rsinθ − (ro− r)θcosθ)2 =

14

r2+14(ro− r)2θ 2.

v2l = xl

2+ yl2 = (rcosθ − r θsinθ)2+(rsinθ + r θcosθ)2 = r2+ r2θ 2.

Entonces, la energia cinetica traslacional de los cilindros y masa de carga respectivamente es:

Tto =12

mov2o =

12

14

mo(r2oθ 2).

Tti =12

miv2i =

12

14

mi(r2+(ro− r)2θ 2).

2.4 Ejemplo: manipulador robotico - incluyendo la dinamica del cuerpo rıgido 29

Ttl =12

ml v2l =

12

ml (r2+ r2θ 2).

Considerando que los cilindros son cuerpos rıgidos, debemos adicionar su energıa cinetica rotacional a la energiacinetica total del sistema. Este no es el caso para la masa de carga, que es considerada como una masa concentrada(partıcula). La energia cinetica rotacional de los cilindros se obtiene usando:

Tro =12

Ioω2

Tri =12

Iiω2

Asumiendo que el cilindro interno es una varilla, su momentode inercia con respecto al centro de gravedad esIi =112mir2. Para el caso del cilindro externo hueco se puede considerarqueIo = 1

12mo(3t2+ r2o), dondet depende de los

radios internos y externos del cilindro hueco. Sabiendo queω = θ , se obtiene:

Tro =12

112

mo(3t2+ r2o)θ 2

Tri =12

112

mir2oθ 2

Sumando las energıas cineticas resulta:T = Tt +Tr

T =12

(14

mo(r2oθ 2)+

14

mi(r2+(ro− r)2θ 2)+ml (r

2+ r2θ 2)+112

mir2oθ 2+

112

mo(3t2+ r2o)θ 2

)

T =12

(

mo(13

r2oθ 2+

14

t2)+mi(14

r2+13

r2θ 2+14

r2oθ 2− 1

2ror θ 2)+ml (r

2+ r2θ 2).

)

Energıa potencialAhora encontraremos la energıa potencial del sistema. La energıa potencial de los centros de masade los cilindros (mo y mi) y la masa de cargaml :

Vo =12

mogrosinθ .

Vi =12

mig(r −12

ro)sinθ .

Vl = ml grsinθ .

Luego la energia potencial total es:

V =

(12(moro+mi(r −

12

ro))+ml

)

gsinθ .

Ecuaciones de movimientoLa funcion Lagrangiana (o Lagrangiano) para el sistema es:

L = T −V = 12

(mo(

13r2

oθ 2+ 14t2)+mi(

14 r2+ 1

3r2θ 2+ 14r2

oθ 2− 12ror θ 2)+ml (r2+ r2θ 2)

)

−(

12(moro+mi(r − 1

2ro))+ml r)

gsinθ .

El manipulador posee dos grados de libertad (r y θ ). Luego, tenemos dos ecuaciones de movimiento para el sistema:

ddt

(∂L

∂ θ

)

− ∂L

∂θ= Tθ

ddt

(∂L

∂ r

)

− ∂L

∂ r= Fr

La primera ecuacion de movimiento resulta en:

30 2 Linealizacion

13mor2

oθ + 13mir2θ + 1

4mir2oθ − 1

2mirroθ − 12miror θ + 2

3mir r θ +ml r2θ +2ml r r θ+gcosθ

(12(moro+mi(r − 1

2ro))+ml r)= Tθ .

La segunda ecuacion de movimiento viene a ser:

14

mi r +ml r −13

mir θ 2+14

miroθ 2−ml r θ 2+(12

mi +ml )gsinθ = Fr .

2.4.2. Representacion espacio de estados

Definiendo las siguientes variables:

z1 = θ , z2 = θ , z3 = r, z4 = r,

se puede escribir:

ddt

z1

z2

z3

z4

︸︷︷︸

dzdt

=

z2

−23miz2z3z4−2ml z2z3z4+

12miroz2z4−gcosz1(

12moro+

12mi(z3− ro

2 )+ml z3)+u113mor2

o+13miz2

3+14mir2

o− 12miz3ro+ml z2

3z4

13miz2

2z3+ml z22z3− (1

2mi +ml )gsinz1+u2

ml +14mi

︸︷︷︸

f (z,u)

, (2.48)

dondeu1 = Tθ y u2 = Fr . Asumiendo que la salida esta dada por la posicion de la masa de carga,v1 = xl = rcosθ yv2 = yl = rsinθ se tiene:

[v1

v2

]

︸︷︷︸

v

=

[z3sinz1

z3cosz1

]

︸︷︷︸

h(z,u)

, (2.49)

Fuente: Capıtulos 1 del libroSystems and Controlde Stanislaw H. Zak (2002).Fuente: Capıtulos 2 y 3 del libroFeedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J.Astrom

y Richard M. Murray.Fuente: Capıtulos 1 del libroSystems and Controlde Stanislaw H. Zak (2002).Fuente: Capıtulos 2 y 3 del libroFeedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J.Astrom

y Richard M. Murray.

Capıtulo 3Sistemas Lineales

En esta parte del curso nos centraremos en el caso de sistemaslineales invariantes en el tiempo y analizaremos elefecto de las condiciones iniciales y las entradas en las salidas. Los conceptos centrales de matriz exponencial y laecuacion convolucion nos permitiran caracterizar completamente el sistema.

Durante las clases anteriores hemos visto varios ejemplos donde los sistemas son modelados usando ecuacionesdiferenciales lineales. En general, varios sistemas dinamicos pueden ser modelados de forma precisa usando ecuacionesdiferenciales lineales. Ası, sistemas mecanicos y circuitos electricos son ejemplos donde los modelos lineales puedenser usados efectivamente. En muchos casos, nosotros creamos sistemas con una respuesta de entrada/salida lineal.Por ejemplo, casi todos los sistemas modernos de procesamiento de senales, ya sean analogicos o digitales, usanrealimentacion para producir caracterısticas de entrada/salida lineales o casi-lineales. Para estos sistemas, a menudoesutil representar las caracterısticas de entrada/salida como lineales, ignorando los detalles internos requeridos paraobtener la respuesta lineal. Para otros sistemas, sin embargo, las no linealidades no pueden ser ignoradas, especialmentesi uno se importa en el comportamiento global del sistema. Sin embargo, si solo nos importa lo que pasa cerca del puntode equilibrio, es suficiente aproximar la dinamica no lineal por su linealizacion local.

3.1. Definiciones basicas

3.1.1. Linealidad

Considerando el sistema en la forma espacio de estados y su correspondiente ecuacion de salida:

dxdt

= f (x,u), y= h(x,u), (3.1)

dondex∈ Rn, x∈ R

p y y∈ Rq. Sean(xe,ue) 6= 0 las condiciones de operacion, y definiendo:

x= x−xe, u= u−ue, y= y−ye. (3.2)

podemos reescribir las ecuaciones de movimiento usando como punto de equilibrio del sistema al origen ˜x= 0 y u= 0.Luego tenemos:

ddt

x = f (xe+ x,ue+ u) = f (x, u),

y = h(xe+ x,ue+ u)−ye = h(x, u).(3.3)

En el nuevo conjunto de variables, el origen es un punto de equilibrio con salida cero. Una vez realizado el analisisen este nuevo conjunto de variables, las respuestas obtenidas seran trasladadas de vuelta a las coordinadas inicialesusandox= xe+ x, u= ue+ u y y= ye+ y.

Para el sistema (3.1), asumiendo, sin perdida de generalidad, que el origen es el punto de equilibrio de interes,escribiremos la saliday(t) correspondiente a la condicion inicialx(0) = xo y entradau(t) comoy(t;xo,u). Usando estanotacion, un sistema de entrada/salida es lineal si las siguientescondiciones son satisfechas:

31

32 3 Sistemas Lineales

i) y(t;αx1+βx2,0) = αy(t;x1,0)+βy(t;x2,0)ii) y(t;αxo,δu) = αy(t;xo,0)+δy(t;0,u)iii ) y(t;0,δu1+ γu2) = δy(t;0,u1)+ γy(t;0,u2).

(3.4)

Luego definimos que un sistema eslineal si las salidas son conjuntamente lineales en la respuesta a las condicionesiniciales (u= 0) y la respuesta forzada (x(0) = 0). La propiedadiii ) esta relacionada alprincipio de superposicion: larespuesta de un sistema lineal a la suma de dos entradasu1 y u2 es la suma de las salidasy1 y y2 correspondientes acada entrada.

La forma general del sistema lineal en la forma de espacio de estados, con correspondiente ecuacion de salida, es:

dxdt

= Ax+Bu, x(0) = xo

y =Cx+Du,(3.5)

dondeA∈Rn×n, B∈R

n×p, C∈Rq×n y D ∈R

q×p. La ecuacion (3.5) es un sistema de ecuaciones diferenciales linealesde primer orden con entradau, estadox y saliday. Es facil mostrar que dos soluciones dadasx1(t) y x2(t) para estesistema de ecuaciones, satisfacen las condiciones de linealidad.

Definiendoxh(t) como la solucion con entrada cero (solucion homogenea) y la solucionxp(t) como la solucion concondiciones iniciales igual a cero (solucion particular). La Fig. 3.1 ilustra como dos soluciones individuales se puedensuperponer para formar la solucion completa.

0 20 40 60−2

0

2

Homogeneous

Input u

0 20 40 60−2

0

2

0 20 40 60−2

0

2Output y

0 20 40 60−2

0

2

Particular

0 20 40 60−2

0

2

0 20 40 60−2

0

2

0 20 40 60−2

0

2

Complete

Time t [sec]0 20 40 60

−2

0

2

Time t [sec]0 20 40 60

−2

0

2

Time t [sec]

State x1, x2

Figura 3.1 Superposicion de soluciones particulares y homogeneas.

Respuesta total = respuesta a entrada cero + respuesta a condiciones iniciales cero

3.1.2. Invariancia en el tiempo

Invariancia en el tiempo es un concepto importante que se usapara describir un sistema cuyas propiedades nocambian en el tiempo. Mas precisamente, para un sistema invariante en el tiempo, sila entradau(t) resulta eny(t), luegomoviendo el tiempo en el que se aplica la entrada por una constantea, u(t+a), la salida resulta eny(t+a). Los sistemasque son lineales e invariantes en el tiempo a menudo se denominan sistemas LTI (linear time invariant, por sus siglasen ingles) y poseen una propiedad interesante: su respuesta a una entrada arbitraria esta completamente caracterizadapor sus respuesta a entradas del tipo escalon o sus respuestas a impulsos cortos. Ver mas detalle a continuacion.

3.2 Respuesta a la condicion inicial 33

Descripcion entrada-salida, sistema LTI

Suponiendo que el sistema se encuentra inicialmente en el punto de equilibrio (respuesta a las condiciones inicialeses cero), la respuesta a una entrada se puede obtener al superponer las respuestas a una combinacion de entradas tipoescalon. Un ejemplo de este calculo esta dado en la Fig.??. La Fig.??(a) muestra una entradau(t) lineal por partes(suma de funciones escalon). SeaH(t) la respuesta a un escalon unitario aplicado en el tiempo 0. La respuesta al primerescalon es entoncesH(t − to)u(to), la respuesta al segundo escalon esH(t − t1)(u(t1)− u(to)), y ası sucesivamente.Luego, podemos encontrar la respuesta completa del sistemasiendo dada por:

y(t) = H(t − to)u(to)+H(t − t1)(u(t1)−u(to))+ ...= (H(t − to)−H(t − t1))u(to)+(H(t − t1)−H(t − t2))u(t1)+ ...

=∞

∑n=0

(H(t − tn)−H(t − tn+1))u(tn)

=∞

∑n=0

(H(t − tn)−H(t − tn+1))

tn+1− tnu(tn)(tn+1− tn),

(3.6)

como mostrado en la Fig.??(b). La respuesta a una senal contınua se obtiene tomando el lımite cuandotn+1− tn → 0,que resulta en:

y(t) =∫ ∞

0H ′(t − τ)u(τ)dτ , (3.7)

dondeH ′ es la derivada de la respuesta al escalon, tambien llamadarespuesta impulsiva h. Luego, la respuesta deun sistema LTI a cualquier entrada puede ser calculada a partir de la respuesta al escalon. Notese que la salida solodepende de la entrada pues consideramos que el sistema esta en reposo al inicio,x(0) = 0).

Siendo el sistemacausal(sistema donde la salida depende de las entradas pasadas o actuales pero no de entradasfuturas), se tiene que la salida para todo sistema LTI causalen reposo al inicio esta descrita por:

y(t) =∫ t

0h(t − τ)u(τ)dτ =

∫ t

0h(τ)u(t − τ)dτ , (3.8)

La segunda igualdad puede ser facilmente verificada haciendo un cambio de variable (t − τ = σ ). La integracion en(3.8) es llamada unaintegracion convolucion.

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Input

(u)

u(t0)

u(t1)

u(t1)−u(t0)

0 5 10 15

−0.5

0

0.5

1

Time (sec)

Outp

ut

(y)

Complete

Steps

Figura 3.2 (a) Respuesta a entradas contınuas por partes y (b) salida resultante de la suma de entradas individuales.

3.2. Respuesta a la condicion inicial

La ecuacion (3.7) muestra que la salida de un sistema lineal se puede expresar como un integral sobre todas lasentradasu(t). En esta seccion derivaremos una formula mas general, que incluye las condiciones iniciales diferentesde cero.

En esta seccion calcularemos la solucion de un sistema de la forma:


dxdt

= Ax, x(0) = xo. (3.9)

Para la ecuacion diferencial escalar se tiene:

dxdt

= ax, x∈ R,a∈ R (3.10)

y la solucion esta dada por:x(t) = eatx(0). (3.11)

Generalizando para cuandoA se convierte en una matriz. Definimos elexponencial de matricescomo una serie infinita:

eX = I +X+12

X2+13!

X3+ ...=∞

∑k=0

1k!

Xk, (3.12)

dondeX ∈ Rn×n es una matriz cuadrada yI es la matriz identidadn×n.

ReemplazandoX en (3.9) porAt, dondet ∈ R, tenemos que:

eAt = I +At+12

A2t2+13!

A3t3+ ...=∞

∑k=0

1k!

Aktk, (3.13)

luego diferenciando la expresion en (3.13) con respecto al tiempo resulta en:

ddt

eAt = A+A2t +12

A3t2+ ...= A∞

∑k=0

1k!

Aktk = AeAt. (3.14)

Multiplicando porx(0) por la derecha, encontramos quex(t) = eAtx(0) es la solucion a la ecuacion diferencial (??) concondiciones inicialesx(0). La matrizΦ(t) = eAt es denominadamatriz de transicion.

Tomando la transformada de Laplace en (3.14), sabiendo queL [dh(t)/dt] = sL [h(t)]−h(0), tenemos:

sL (eAt)−e0 = AL (eAt)

(sI−A)L (eAt) = I .

Entonces, siA no tiene autovalores en el eje imaginario, obtenemos:

L (eAt) = (sI−A)−1. (3.15)

3.2.1. Ejemplo: Integrador doble

Un sistema lineal muy simple que puede ser usado para enteubnder conceptos basicos es la ecuacion diferencial desegunda orden dada por:

q= u, y= q.

El sistema es llamado deintegrador dobleporque su entradau es integrada dos veces para determinar la saliday. En laforma espacio de estados, escribimosx=

[q q

]Ty:

dxdt

=

[0 10 0

]

x+

[01

]

u.

La matriz dinamica de un integrador doble es:

A=

[0 10 0

]

,

y por calculo directo encontramos queA2 = 0 y entonces:

3.3 Respuesta entrada/salida 35

Φ(t) = eAt =

[1 t0 1

]

.

Entonces, la solucion homogenea (u= 0) para un integrador doble es dada por:

x(t) =

[1 t0 1

][x1(0)x2(0)

]

=

[x1(0)+ tx2(0)

x2(0)

]

.

3.2.2. Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento

Un modelo simple de oscilador, tal como el sistema masa-resorte sin amortiguamiento es:

q+ω2oq= u.

Poniendo el sistema en la forma de espacio de estados, la matriz dinamica del sistema puede ser escrita como:

A=

[0 ωo

−ωo 0

]

y eAt =

[cosωot sinωot−sinωot cosωot

]

.

Esta expresion paraΦ(t) = eAt se puede verificar por diferenciacion:

ddt

eAt =

[−ωosinωot ωocosωot−ωocosωot −ωosinωot

]

,

=

[0 ωo

−ωo 0

][cosωot sinωot−sinωot cosωot

]

= AeAt.

Luego la solucion esta dada por:

x(t) = eAtx(0) =

[cosωot sinωot−sinωot cosωot

][x1(0)x2(0)

]

.

Si el sistema tiene amortiguamiento:q+2ζ ωoq+ω2

oq= u,

la solucion es mas complicada, pero se puede mostrar que la matriz exponencial es de la forma:

e−ωoζ t

ζeiωdt −ζe−iωdt

2√

ζ 2−1+

eiωdt +e−iωdt

2eiωdt −e−iωdt

2√

ζ 2−1e−iωdt −eiωdt

2√

ζ 2−1

ζe−iωdt −ζeiωdt

2√

ζ 2−1+

eiωdt +e−iωdt

2

,

dondeωd = ωo

√

ζ 2−1. Notese queωd y√

ζ 2−1 pueden ser real o complejo, pero la combinacion de terminossiempre proveera un valor real para los elementos del exponencial de la matriz.

3.3. Respuesta entrada/salida

En esta seccion derivaremos la ecuacion convolucion, que incluye entradas y salidas.


3.3.1. Ecuacion de convolucion

Volviendo al sistema general de entrada/salida en la ecuacion (3.5). Usando la matriz exponencial , la solucion de laecuacion (3.5) se puede escribir como:

Teorema 1La solucion de la ecuacion diferencial lineal:

dxdt

= Ax+Bu, x(0) = xo

y =Cx+Du.(3.16)

esta dada por:

x(t) = eAtx(0)+∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ)dτ (3.17)

⋄Demostracion: Diferenciando ambos lados en (3.17) y usando la propiedad (3.13) de la matriz exponencial. Luego,

por sustitucion directa1, tenemos:

dxdt

= AeAtx(0)+∫ t

0AeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Bu(t) = Ax+Bu, (3.18)

que prueba el resultado. ⋄De las ecuaciones en (3.16) y (3.17) la relacion entrada/salida para un sistema lineal esta dado por:

y(t) =CeAtx(0)+∫ t

0CeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Du(t). (3.19)

La ecuacion (3.19) se denominaecuacion de convolucion y representa la forma general de solucion de un sistemade ecuaciones diferenciales lineales acopladas. Esta ecuacion y la ecuacion (14) han sido directamente calculadas en eldominio del tiempo. Tambien podemos calcular las soluciones en el dominio de la frecuencia usando la transformadade Laplace. Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion (3.18) resulta:

X(s) = (sI−A)−1[x(0)+BU(s)]

Y(s) =C(sI−A)−1x(0)+ [C(sI−A)−1B+D]U(s)(3.20)

Respuesta impulsiva

La respuesta impulsiva de un sistema vendrıa a ser la salida correspondiente a tener un impulso como entrada en(3.19):

y(t) =∫ t

0CeA(t−τ)Bδ (τ)dτ +Dδ (t) =CeAtB+Dδ (t), (3.21)

donde la segunda igualdad sigue del hecho queδ (t) es cero en cualquier lugar excepto el origen y su integral esidenticamente igual a 1. Notese que existe una limitacion en el calculo de la respuesta impulsiva cuandoD 6= 0 ya queDδ (t) se hace infinito ent = 0. En la practica, se ignora la matrizD y la respuesta impulsiva viene dada por:

y(t) = h(t) =∫ t

0CeA(t−τ)Bδ (τ)dτ =CeAtB. (3.22)

Escribiendo la ecuacion de convolucion en terminos de la respuesta a las condiciones iniciales y la integral convolucion(3.8) de la respuesta impulsivah(t) y la senal de entradau(t), se tiene:


0h(t − τ)u(τ)dτ , (3.23)

1 ∂∂ t

∫ tto f (t,τ)dτ = f (t,τ)|τ=t +

∫ tto

∂∂ t f (t,τ)dτ.

3.3 Respuesta entrada/salida 37

ası la respuesta de un sistema lineal es la superposisicion de la respuesta a un conjunto infinito de impulsos cuyasmagnitudes estan dadas por la entradau(t).

El uso de pulsos como aproximaciones de la funcion impulso se puede visualizar en la Fig. 3.3.

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

u

Time t

(a) Pulse and impulse functions

0 10 20 30 400

0.5

1

t

y

Pulse responses

Impulse response

(b) Pulse and impulse responses

Figura 3.3 Respuesta de un sistema a entradas del tipo impulso representado como la suma de diferentes anchos de pulso. (a) Funcionespulso e impulso. b) Respuestas a los pulsos e impulso.

3.3.2. Respuesta en estado estacionario

Dada el sistema lineal de entrada/salida:

dxdt

= Ax+Bu, x(0) = xo

y =Cx+Du.

la forma general de su solucion esta dada por (3.19), reescrita aqui por conveniencia:


0CeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Du(t),

que muestra que la respuesta total del sistema consta de la respuesta a las condiciones iniciales y la respuesta a laentrada. La respuesta a la entrada esta compuesta por los dosultimos terminos de (3.19)- esta respuesta a su vez tienedos componentes - larespuesta transientey la respuesta en estado estacionario, ver Fig 3.4. La respuesta transienteocurre en el primer periodo de tiempo despues de que la entrada ha sido aplicada y refleja la diferencia entre lascondiciones iniciales y la solucion en estado estacionario. La respuesta en estado estacionario es la porcion de larespuesta en la salida que refleja el comportamiento del sistema a largo plazo bajo la accion de ciertas entradas. Paraentradas periodicas la respuesta en estado estacionario tambien sera periodica, y para entradas constantes la respuestasera a menudo constante.

0 20 40 60 80−1

0

1

Time t [sec]

Inputu

(a) Input

0 20 40 60 80−0.1

0

0.1

Transient Steady State

Time t [sec]

Outputy

(b) Output

Figura 3.4 Respuesta transiente versus respuesta en estado estacionario.


Respuesta al escalon unitario

La funcion escalon unitario esta definida como:

u= S(t) =

0 t = 0,1 t > 0,

y representa un cambio abrupto de un valor a otro valor.La respuesta a un escalon unitario del sistema (3.5) esta definido como la saliday(t) comenzando de las condiciones

iniciales cero (o el punto de equilibrio apropiado) y dada una entrada del tipo escalon. Calculando la respuesta a unescalon unitario de un sistema lineal usando la ecuacion convolucion, parax(0) = 0, tenemos:

y(t) =∫ t

0CeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Du(t) =C

∫ t

0eA(t−τ)Bdτ +D

=C∫ t

0eAσ Bdσ +D = C(A−1eAσ B)

∣∣σ=tσ=0+D

=CA−1eAtB−CA−1B+D.

(3.24)

Luego, reescribiendo la solucion tenemos:

y(t) =CA−1eAtB︸︷︷︸

transiente

+ D−CA−1B︸︷︷︸

estado estacionario

. (3.25)

El primer termino es la respuesta transiente que decae a cero a medida que t → ∞. El segundo termino es la respuestaal estado estacionario y representa el valor de la salida para despues de transcurrido un tiempo grande.

Respuesta a una entrada senoidal. Respuesta en la frecuencia

Una senal de entrada comun es del tipo senoidal (o combinacion de senos). La respuesta en la frecuencia de unsistema de entrada/salida mide la forma en la que el sistema responde a una excitacion senoidal. Dado que la solucionasociada a una excitacion senoidal es a su vez un senoide a la misma frecuencia, luegonos limitamos a comparar lamagnitud y la fase de la salida senoidal.

Evaluando al ecuacion convolucion (3.19) parau= cosωt. En particular notando que:

cosωt =12(eiωt +e−iωt).

Dado que el sistema es lineal, es suficiente calcular la respuesta del sistema a una entrada compleja de la formau(t) = est y luego podemos reconstruir la salida a un senoide mediante el promedio de las respuestas correspondienteas= iωt y s=−iωt.

Aplicando la ecuacion convolucion a la entradau= est tenemos:


0CeA(t−τ)Besτdτ +Dest

=CeAtx(0)+CeAt∫ t

0Ce(sI−A)τBdτ +Dest

(3.26)

Asumiendo que ninguno de los autovectores deA es igual as= ±iω, luego la matrizsI−A es invertible y podemosescribir:

y(t) =CeAtx(0)+ CeAt(

(sI−A)−1e(sI−A)τB)∣∣∣

t

0+Dest

=CeAtx(0)+CeAt(sI−A)−1(

e(sI−A)t − I)

B+Dest

=CeAtx(0)+C(sI−A)−1estB−CeAt(sI−A)−1B+Dest,

(3.27)

y obtenemos:

3.4 Polos, ceros y ganancia 39

y(t) =CeAt (x(0)− (sI−A)−1B)

︸︷︷︸

transiente

+(C(sI−A)−1B+D

)est

︸︷︷︸

estado estacionario

, (3.28)

Nuevamente tenemos una solucion que consiste de un componente transiente y uno estado estacionario. El componentetransiente decae a cero si el sistema es asintoticamente estable y el componente estado estacionario es proporcional ala entrada (compleja)u= est.

La respuesta en estado estacionario se puede reescribir como:

yss(t) = Meiθ est = Mest+iθ ,

donde:Meiθ =C(sI−A)−1B+D, (3.29)

con M y θ representando la magnitud y la fase de un numero complejoC(sI−A)−1B+D. El numero complejoC(sI−A)−1B+D se denominafuncion de transferencia. Cuandons= iω, decimos queM es la ganancia yθ es lafase del sistema para cierta frecuencia de excitacion ω. Usando linealidad y combinando las soluciones des=+iω ys=−iω, podemos mostrar que si tenemos una entradau= Ausin(ωt +ψ) y una saliday= Aysin(ωt +ϕ), entonces:

ganancia(ω) =Ay

Au= M, fase(ω) = ϕ −ψ = θ .

La solucion en estado estacionario para un senoideu= cosωt esta dada por:

yss(t) = Mcos(ωt +θ),

como presentado en la Fig. 3.5. Si la faseθ es positiva se dice la salida esta adelantada a la entrada, de otra formadecimos que la salida esta atrasada a la entrada.

0 5 10 15 20−2

−1

0

1

2

Time [sec]

Input, output

∆T

T

Input Output

Au

Ay

(a) Input/output response

10−3

10−1

101

Gain

0.5 5−270

−180

−90

0

Phase [deg]

Frequency [rad/s]

(b) Frequency response

Figura 3.5 Respuesta de un sistema lineal a un senoide. a) Respuesta entrada/salida. b) Respuesta en frecuencia.

Una propiedad de la respuesta en frecuencia es que la ganancia del sistema cuandoω = 0 se denominaganancia enla frecuencia ceroy corresponde a la relacion entre una entrada constante y la salida estacionaria:

Mo =−CA−1B+D.

En Ingenierıa Electrica la ganancia de frecuencia cero es denominadaDC gain.

3.4. Polos, ceros y ganancia

La funcion de transferenciaG(s) = C(sI−A)−1B+D tiene interpretaciones muyutiles y sus caracterısticas son amenudo asociadas a propiedades importantes del sistema. Tres de las caracterısticas mas importantes son la gananciay la ubicacion de polos y ceros.


La ganancia en la frecuencia cero(o ganancia DC) esta dada por la magnitud de la funcion de transferencia ens= 0.Representa la relacion del estado estacionario a la salida del sistema con respecto a una entrada del tipo escalon (quepuede ser representado poru= est cons= 0). Para una representacion de espacio de estados, calculamos la gananciaen la frecuencia cero usando la siguiente ecuacion:

G(0) =−CA−1B+D. (3.30)

Para un sistema escrito como una ecuacion diferencial lineal:

dnydtn

+a1dn−1ydtn−1 + ...+any= bo

dmudtm

+b1dm−1udtm−1 + ...+bmu,

si asumimos que la entrada y la salida del sistema (en estado estacionario) son constantesyo y uo, luego encontramosqueanyo = bmuo. Luego la ganancia en la frecuencia cero es:

G(0) =yo

uo=

bm

an. (3.31)

Considerando el sistema lineal con la siguiente funcion de transferencia racional:

G(s) =b(s)a(s)

. (3.32)

las raices del polinomioa(s) son llamadospolosdel sistema, y las raices del polinomiob(s) son llamados loscerosdelsistema. Si los polos del sistema pertenecen al semiplano complejo izquierdo abierto (Co

−) se dice que la funcion detransferencia esestable. Si los ceros del sistema pertenecen al semiplano complejo izquierdo abierto (Co

−) se dice queel sistema es defase mınima, en caso contrario los ceros son defase no mınima2.

Para un sistema espacio de estados con funcion de transferenciaG(s) =C(sI−A)−1B+D, los polos de la funcionde transferencia son los autovalores de la matriz dinamicaA (sistema conrealizacion mınima). Una forma de ver estoes notando que el valor deG(s) tiende a infinito cuandoses un autovalor de la matriz dinamica del sistema puesto ques es precisamente el conjunto de puntos donde el polinomio caracterısticoλ (s) = det(sI−A) = 0 (y luego(sI−A) noes invertible). Se puede destacar que los polos del sistema en la forma de espacio de estados solo depende de la matrizA, que representa la dinamica intrınseca del sistema. Decimos que una funcion de transferencia es establesi todos suspolos tienen parte real negativa.

Para encontrar los ceros de un sistema en la forma de espacio de estados, observamos que los ceros son numeroscomplejoss tal que la entradau(t) = uoest resulta en salida igual a cero. Insertando una respuesta puramente exponen-cial x(t) = xoest y y(t) = 0 en:

x= Ax+Bu, y=Cx+Du,

resulta:sestxo = Axoest+Buoest, 0=Cestxo+Destuo

que puede ser escrito como:[−sI+A B

C D

][xo

uo

]

= 0. (3.33)

Esta ecuacion tiene una solucion conxo 6= 0, uo 6= 0 solo si la matriz a la izquierda no tiene rango completo. Loscerosdel sistema (llamados tambienceros de transmision, en caso de una realizacion mınima) son entonces aquellos valoresdes tal que la matriz.

[−sI+A B

C D

]

, (3.34)

pierde rango o det

([−sI+A B

C D

])

=0.

Siendo que los ceros dependen deA, B, C y D, ellos dependen de como las entradas y salidas son acopladascon losestados. Notese que en particular si la matrizB tiene rango completo, luego la matriz en (3.34) tienen filas linealmente

2 Por ejemplo, el sistemag(s) = −s+as+a con cero en el semiplano derecho ens= a tiene una ganancia constante de 1, pero su fase es

−2arctan(ω/a) rad y no 0 rad como serıa para el sistema de fase mınimag(s) = 1 con ganancia similar.

3.5 Otros 41

independientes para todos los valores des. Similarmente hayn columnas linealmente independientes si la matrizCtiene rango completo. Eso significa que los sistemas dondeB y C son de rango completo no tienen ceros. En particularesto significa que un sistema no tiene ceros si es totalmente posible actuar enel (cada estado puede ser controladoindependientemente) o si todos los estados son medidos. Para cuando consideramos sistemas sin igual numero deentradas y salidas, el calculo de los ceros usando (3.34) se hace inadecuado. Para este caso se trabaja directamente conla matriz de funciones de transferencia, como descrito a continuacion.

POR COMPLETAR

3.5. Otros

Ancho de bandaEl concepto de ancho de banda es importante en el entendimiento de los beneficios y desventajas alaplicar control por realimentacion. El ancho de banda esta relacionado a la velocidad de respuesta. En general, un anchode banda grande corresponde a un tiempo de levantamiento pequeno, esto debido a que las senales de alta frecuenciason pasadas mas facilmente hacia las salidas. Un ancho de banda grande tambien indica que el sistema es mas sensibleal ruido y a las perturbaciones parametricas. Por otro lado, si el ancho de banda es pequeno, el tiempo de respuestasera por lo general grande, y el sistema usualmente sera mas robusto.

POR COMPLETAR

Fuente: Capıtulos 5 y 8 del libroFeedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J.Astromy Richard M. Murray (2008).

Fuente: Capıtulo 4 del libroMultivariable Feedback Controlde S. Skogestad y I. Postlethwaite (2006).

Capıtulo 4Problemas propuestos y resueltos

4.1. Problemas Capıtulo 1

Problema 1.1: Velero

Un velero de masam y velocidadv(t) (el viento con una velocidad constantevw

empuja al velero desde la parte trasera), desarrolla una fuerza impulsora igual a:

Fa(t) = k1(vw−v(t))2A(t),

dondeA(t) es elarea de la vela. La fuerza de resistencia que el velero debe superarcuando viaja en el agua se puede aproximar por:

Fw(t) = k2v2(t).

v(t)w

A(t)v

(1.1) Velero

1. Derivar las ecuaciones de movimiento para el velero. Escribir la representacion espacio de estados para la entradaA(t) y la salidav(t).Usando la 2da Ley de Newton se obtiene la ecuacion de movimiento del velero:

→ ∑F = mdvdt

Fa(t)−Fw(t) = mdvdt

k1(vw−v(t))2A(t)−k2v2(t) = mdvdt

Ecuacion de movimiento: mdvdt

−k1(vw−v(t))2A(t)+k2v2(t) = 0. Escribiendo la ecuacion de movimiento en la

forma de espacio de estados, siendo quev(t) es la variable de estado,A(t) es la variable de entrada yv(t) es tambienla variable de salida.

ddt

v=k2

mv2(t)− k1

m(vw−v(t))2A(t)

y= v.

La dinamica del sistema presenta una representacion espacio estados de la forma ˙x= f (x,u) ya que estamos lidiandocon un sistema no lineal.

2. ¿Que tan grande debe ser elarea de la velaA(t) para mantener la nave a una velocidad constantevo < vw?

Si la velocidad del velero es constante, se debe cumplirdvdt

= 0. Luego de la representacion espacio de estados se

tiene que:

43

44 4 Problemas propuestos y resueltos

ddt

v= 0=k2

mv2

o−k1

m(vw−vo)

2A(t).

Entonces:

Ao =k2v2

o

k1(vw−vo)2 .

3. ¿Cual deberıa ser elarea de la vela para llegar a un velocidad constantevo = vw?Si la velocidadv es constante e igual avw, entonces de la expresion anterior se tiene que:

A(t)vo→vw = l ımvo→vw

k2v2o

k1(vw−vo)2 → ∞.

Problema 1.2: Oscilador Van der Pol

Considere el circuito simpleR,L,C de la Fig.(1.2) conL y C siendo elementos lineales yRsiendo un resistor no lineal (no cumple la ley deOhmVC = iRR, en su lugariR= f (vC)). La figuraa la derecha muestra la caracterıstica del resistor.

(1.2) Circuito de oscilacion Van der Pol

1. Elegir como estados a la corriente en el inductoriL y el voltaje del capacitorvC y calcular la representacion espaciode estados del sistema.Para modelar el circuito electrico usamos la ley de Kirchhoff para corrientes:

iC = iR+ iL.

CdvC

dt=−vC+v3

C+ iL.

Despejando en funcion de la variable de estadovC:

dvC

dt=− 1

CvC+

1C

v3C+

1C

iL.

Tambien sabemos que en un circuito que tiene elementos conectadosen paralelo se cumple que:

vC = LdiLdt

.

Despejando en funcion de la variable de estadoiL:

diLdt

=1L

vC.

Siendo los estadosiL y vC, la representacion espacio de estado del sistema es:

ddt

[i lvC

]

=

1L

vC

− 1C

vC+1C

v3C+

1C

iL

.

La dinamica del sistema presenta una representacion espacio estados de la forma ˙x= f (x,0) ya que estamos lidiandocon un sistema no lineal.

4.1 Problemas Capıtulo 1 45

Problema 1.3: Preguntas variasResponder segun se pida.

1. Control feedforwardLa Fig. (1.3) muestra una aplicacion tıpica de control feedforward.

El tanque de mezcla contınua posee una temperaturacontrolada por realimentacion. Control feedforward esempleado para suprimir rapidamente los disturbios enel flujo de alimentacion.

a) Destacar en la figura que lazos corresponden a re-alimentacion y feedforward, respectivamente. Justi-ficar.

b) Presentar el diagrama de bloques del sistema. (1.3) Control de temperatura.

2. Elementos basicos del sistema de controlLa Fig. (1.4) muestra un vehıculo de exploracion espacial (rover), ejemplode un sistema de control embebido. Los sistemas de control embebido emplean computadoras digitales de uso-especıfico abordo como componente fundamental en el lazo de control por realimentacion.

(1.4) Un rover usando un sistema de control embebido en el lazo de control.

a) Identificar cada uno de los elementos basicos del sistema de control. Presentar el diagrama de bloques del sistemaincluyendo cada componente destacado en la figura.

b) ¿Cree Ud que unaunica ley de control sera responsable del movimiento del rover? Justifique.

3. Puntos de equilibrioLa Fig. (1.5) presenta al pendulo incluyendo dos magnetos de igual fuerza han sido adicionadoscerca a la la parte inferior del arco de oscilacion del pendulo.Ayuda:La ecuacion del pendulo simple es:

ml2θ +bθ +mglsinθ = 0,


a) Bosquejeel diagrama de plano de fase del sistema del sistemapendulo sin considerar los magnetos. Considereθ ∈ [−2π,2π].Explique el grafico realizado.

b) Si bien la ecuacion de movimiento del sistema incluyendo losmagnetos es compleja en su calculo, bosquejecomo lucirıa el di-agrama de plano de fase del sistema. Considereθ ∈ [−π/2,π/2].¿Cuales son los puntos de equilibrio de este sistema? (1.5) Pendulo con dos magnetos.

dondeθ es elangulo hecho por el pendulo con la vertical,g es la aceleracion de la gravedad yb > 0 el amor-tiguamiento del sistema. Las variables de estado sonθ y θ .

Problema 1.4: Modelado de sistemas

Encontrar formas de realizar operaciones de manipu-lacion/reparacion en el espacio es un problema que recibe bas-tante atencion - por ejemplo, para el ensamblaje de la estacionespacial internacional y para la recuperacion de satelites. En laactualidad el trabajo lo vienen realizando sistemas de manip-ulacion remota; sin embargo, un nuevo metodo considerandopartes inflables del manipulador viene siendo estudiado debidoa la gran reduccion en peso. La Fig. (1.6a) muestra la construc-cion de una estructura espacial desde un transbordador y la Fig.(1.6b) muestra un modelo del manipulador flexible dondeJ esla inercia del motor conductor,I es la inercia de la carga medi-da en su centro de masa,u es el torque generado el motor,mesla masa de la carga,l es la distancia al centro de gravedad dela carga,φ y θ son losangulos de rotacion del motor y la car-ga respectivamente, yk es la rigidez torsional del eje flexible.Considerarw como un torque externo que afecta a la carga.

(1.6) Sistema de manipulacion remota

1. Presentar un modelo mecanico traslacional, analogo al modelo mecanico torsional presentado en la Fig. (3b).2. Calcular las ecuaciones de movimiento del sistema. Considerar el efecto de la fuerza gravitatoria (aun siendoesta

pequena).3. Derivar la representacion espacio de estados del sistema introduciendo las variables de estado (normalizadas)x1 =

θ − φ ,x2 =θ − φ

ωo, dondeωo =

√

k(J+ I +ml2)J(I +ml2)

. Considerar aceleracion de la gravedadg = 0, solo para esta

pregunta.


Problema 1.5: Suspension de un vehıculoLos vehıculos usan suspension activa y/o pasiva para permitir un paseo confortable en caso se presenten desniveles enlas carreteras. La Fig. (1.7) -derecha- muestra un diagramaesquematico del vehıculo con un sistema de suspension.El modelo representa un cuarto del modelo del vehıculo; el vehıculo es aproximado por dos masas, una representa un

(1.7) Suspension del vehıculo

cuarto del cuerpo del vehıculo y la otra una rueda (incluyendo frenos y parte del sistema de suspension). El actuadorejerce una fuerzaF entre la rueda y el cuerpo que es calculada en base a la realimentacion de la distancia entre elcuerpo y la rueda. Seanxb, xw y xr las alturas del cuerpo, rueda y superficie de la carretera medidas todas desde elequilibrio. Representar la masa del cuerpo, masa de la rueday rigidez de la rueda pormb, mw y kt , respectivamente.

Calcular lo que se pide:

1. Determinar las ecuaciones de movimiento. Incluir diagramas de cuerpo libre.Nota: Las ecuaciones de movimiento deben de quedar en funcion de la fuerzaF .

2. Un sistema de suspension convencional consiste en un resorte y un amortiguador, derigidezk y coeficiente de amor-tiguamientoc respectivamente, luego se tieneF = k(xw− xb)+ c(xw− xb). Escribir las ecuaciones de movimientopara el sistema de suspension convencional en la forma espacio de estados. Detallar cual es el vector de estados, lamatriz dinamica, la matriz de entrada y la entrada.

3. ¿Cual seria la(s) salida(s) de interes del sistema? ¿Por que? Escribir la ecuacion de salida en su representacionespacio de estados.

4. Presente el diagrama de bloques (diagrama de simulacion)correspondiente al sistema de suspension convencional.

Problema 1.6: Paseo dominguero en bicicletaUna pareja sale a pasear en bicicleta un dia domingo. El muchacho (que pesa 200 libras) maneja una bicicleta vieja ypesada, y la esposa (que pesa 100 libras) maneja una bicicleta de carrera, ligera, con ruedas de alta presion, rayos dealuminio, etc. Ambos van paseando juntos cuando de pronto alcanzan una pendiente y deciden no pedalear ni frenaren esta pendiente. Al final, el muchacho llega bien adelante de la esposa. Ambos quedan confundidos; ¡para que gastar$1000 en una bicicleta tan lujosa si esto es lo que va a pasar!

Usted debe explicar este hecho analizando la dinamica del sistema como se pide a continuacion.

1. Obtenga un modelo para la bicicleta + conductor pendienteabajo. En otras palabras, grafique la bicicleta + conductorbajando la pendiente. Su grafica debe incluir los parametros del sistema: masas, momentos de inercia, dimensiones,angulos, etc.

2. Dibujar el diagrama de cuerpo libre para la bicicleta + conductor que muestre todas las fuerzas que actuan en elsistema.

3. Escribir una ecuacion de movimiento del sistema de primer orden. Considere la inercia de las ruedas, estructura yconductor como una sola inercia de masa.

4. Escribir la representacion espacio de estados del sistema descrito en el paso anterior. Senalar el/los estados y la/lasentradas. Adicionar la ecuacion de salida, especificando la/las salidas (Ud define las salidas).

5. Calcular el velocidad de equilibriove del sistema para el caso cuando la bicicleta es manejada en una pendiente coninclinacion θ (θe = θ ).


6. (2 ptos) Escriba la aproximacion lineal del sistema en torno al punto de equilibrio (ve,θe).7. En base a la descripcion de las bicicletas y de los conductores, usar el modelo linealizado para mostrar por que el

muchacho, de mayor peso y conduciendo la bicicleta vieja, termina llegando primero al final de la pendiente.Sugerencia: Resolver la ecuacion diferencial para el caso ˜v(0) = 0.

Despues de todo este analisis, ¿cual serıa la ventaja de poseer una bicicleta mas ligera?Respuesta:la ventaja semanifiesta cuando se maneja cuesta arriba!

Problema 1.7: Microscopio de fuerza atomica (AFM, por sus siglas en Ingles)El AFM es una de las principales herramientas en generacion de imagenes, medidas y manipulacion de materia enla nanoescala. La informacion es colectada “palpando” la superficie de la muestra (sample) con una sonda mecanica(viga voladiza -cantilever). Elementos piezoelectricos ejecutan pequenos y precisos movimientos generados por uncomando electronico.

Una diagrama esquematico del AFM se muestra en la figura de la izquierda. Una viga voladiza (cuya longitudusualmente varia entre 50-200µm) con una punta conica es colocada cerca de la muestra. La muestra puede ser movidavertical y horizontalmente usando un elemento piezoelectrico. Cuando la muestra se acerca a la punta de la viga, fuerzasde interaccion entre la muestra y la punta conllevan a una deflexion de la viga voladiza. La deflexion es medida usandoun rayo laser reflejado desde la parte superior de la viga voladiza hacia un arreglo de fotodiodos. La deflexion de laviga es controlada por realimentacion usando un actuador piezolectrico que controla la posicion vertical de la muestra.

En base a experimentos se captura la dinamica del sistema piezoelectrico-viga voladiza y se obtiene un modelomecanico simple del sistema (figura de la derecha). El sistema puede ser modelado como dos masas separadas porun piezoelectrico ideal. La masam1 es la mitad del sistema piezoelectrico, y la masam2 es la otra mitad del sistemapiezoelectrico mas la masa del apoyo. Se asume que el piezoelectrico genera una fuerzaF entre las masas y que hayamortiguamientosc1 y c2 en los resortes. Sean las posiciones de los centros de masaz1 y z2.

82

Amplifier Amplifier

Sample

Cantilever

x,y z

LaserPhotodiode

Controller

Piezodrive

Deflection reference

Sweepgenerator

(a) Schematic diagram(1.8a) Diagrama esquematico del AFM

m1

k1

m2

c1

k2c2

F

F

Show that the dynamics can be written as(1.8b) Modelo mecanico del AFM con piezoelectrico

pre-cargado (F)

1. Determinar las ecuaciones de movimiento del sistema piezoelectrico - viga voladiza. Asumir que el sistema partedel equilibrio estatico (no incluir fuerza gravitacional). Presentar diagramas de cuerpo libre

2. Sea la elongacion del elemento piezoelectricol = z1−z2 la variable de control y sea la deflexion de la viga voladizaz1 la variable de salida, eliminar la variableF en las ecuaciones anteriores y reescribir las ecuaciones enfuncion delas variablesl y z1

3. Usando las ecuaciones linealesl = k3u y y = k4z1, escribir el modelo del sistema relacionando la saliday con susenal de controlu. La saliday corresponde a la deflexion amplificada y la senal de controlu corresponde al voltajeaplicado al piezoelectrico

4. Calcular la representacion espacio de estados del sistema anterior. ¿Cuales son los estados, la/las entrada/as y salidadel sistema?

5. Obtener la funcion de transferencia del sistema piezoelectrico-viga voladiza,G(s) = Y(s)U(s) .

6. Calcular la dinamica normalizada del sistema y su correspondiente representacion espacio de estados.Sugerencia:

Definir las variables adimensionalesx = yL y τ = ωt, dondeω =

√km, y seleccionar la entrada de controlv de la

forma mas conveniente

Problema 1.8: Preguntas variadasResponda segun sea el caso. Argumente en las respuestas.


1. La Fig. (1.9) muestra la respuesta en el tiempo de un sistema con control crucero a un cambio en la rapidez de 25m/s a 30 m/s. Las 3 curvas corresponden a masas del vehıculo diferentes, entre 1000 y 3000 kg, ¿que propiedad delsistema controlado se demuestra en esta grafica?

a) Realimentacion.b) Robustez.c) Estabilidad.d) Desempeno.

Compute

Actuate

Throttle

Sense

Speed

0 5 10

25

30

Speed[m/s]

Time [s]

m

(1.9) Sistema de control por realimentacion para controlar la rapidez del vehıculo.

2. Demostrar que el sistema masa-resortemq+kq= u posee la representacion espacio de estados descrita abajo cuandose consideran las variables adimensionalesx= q/l y τ = ωot,

ddτ

[x

dx/dτ

]

=

[0 1−1 0

][x

dx/dτ

]

+

[01

]

v,

dondel es la amplitud de oscilacion deq y ω2o = k/m. ¿Cual es el valor dev?

3. Usando las respuestas en el tiempo de la Fig. (1.10b), explicar que es lo fısicamente esta sucediendo con el vehıculo.Fundamente con ecuaciones, diagramas de cuerpo libre, etc.

gF

mg

F

θ

(a) Effect of gravitational forces

0 10 20 30

19

20

Time t [s]

Vel

oci

ty v

[m

/s]

0 10 20 300

1

Time t [s]

Th

rott

le u

(b) Closed loop response

(1.10a) Ent = 5s el vehıculo con control crucero encuentra una pendiente. (1.10b)Respuesta en lazo cerrado.

4. La representacion en lazo cerrado del sistema de control de vuelo de una moscase puede dividir en varios bloques:la dinamica del cuerpo y aerodinamica del cuerpo como la planta, a la aerodinamica del ala como el actuador, algiroscopio neuromecanico como el saturador, al sistema de vision como el sensor y el sistema sensoriomotor comoel controlador. Ubicar estos componentes del sistema de control en el diagrama de bloques de la Fig. (1.11).

Problema 1.9: Modelado1. Calcular la ecuacion de movimiento de la bola de poliestireno a lo largo del ejex de la region de entrampamiento.

Usar la 2da Ley de Newton.2. Si se trabaja con una bola de poliestireno de 1µm de diametro, la masa resultante serıa m≈5.5 10−10mg, la misma

que se puede considerar despreciable. Para el caso de masa despreciable, representar la ecuacion de movimiento dela bola en la forma espacio de estados. Asumir que se puede medir el desplazamientox de la bola mas un ruidon.

3. Determinar el (los) punto(s) de equilibrio para cuando laposicion central del laser es ¯u. ¿Sera que todos los puntosde equilibrio calculados son puntos validos?


(1.11) Vision como mecanismo compensatorio para atenuacion de disturbios tipo vientovw.

Un microscopio de pinzasopticas es un instrumento cientıfico capaz de manipularpartıculas dielectricas (dimensiones en nm oµm) mediante la aplicacion de fuerzas(en el orden de pN) via un rayo laser focalizado. Este microscopio es muy usadoen el estudio de sistemas biologicos, ver Fig.1 donde se realiza un estiramiento dela molecula de ADN para determinar sus propiedades fısicas; los extremos de lamolecula de ADN estan pegados a unas bolas de poliestireno.La Fig.(1.12) muestra el punto mas estrecho del haz de laser, el cual posee ungradiente de campo electrico muy fuerte que atrae a las partıculas dielectricas,formandose una especie de trampa. Cuando la bola es movida del centro de la tram-pa debido a una fuerza externa, el haz de laser es deflectado; esta deflexion se midecon un fotodiodo detector de posicion. El objetivo de control consiste en reducir lasvariaciones en la posicion de la bola debido a la accion de fuerzas externas.La bola de poliestireno posee masam y su desplazamiento en la direccion +x esdebido a las siguientes fuerzas:

Fo: fuerza de entrampamientooptico (fuerza restauradora), dondeu es la posi-cion central del laser focalizado y viene a ser la entrada de control, yα1,α3 > 0.

Fo =

α3(x−u)3−α1(x−u), para|x−u|< R=

√α1

α30, otro caso

,

Fd: fuerza de arrastre viscoso.Fd =−β x, β > 0.Ft : fuerza termica.Fe: otras fuerzas externas que dependen de las condiciones delexperimento.

Fig.(1.12) Diagrama esquematico de un experimentode estiramiento de una molecula de ADN.

Fig.(1.13) Desplazamiento en el ejex de la bola depoliestireno atrapada por el rayo laser.

4. Escribir la representacion lineal del sistema en torno a un punto de equilibrio apropiadamente elegido.5. ¿Es el sistema estable, controlable, observable?



Problema 2.1: Oscilador Van der Pol

Considere el circuito simpleR,L,C de laFig.(2.1) conL y C siendo elementos lineales yRsiendo un resistor no lineal (no cumple la ley deOhmVC = iRR, en su lugariR= f (vC)). La figuraa la derecha muestra la caracterıstica del resistor.

(2.1) Circuito de oscilacion Van der Pol

1. Elegir como estados a la corriente en el inductoriL y el voltaje del capacitorvC y calcular la representacion espaciode estados del sistema.Siendo los estadosiL y vC, la representacion espacio de estado del sistema es:

ddt

[iLvC

]

=

1L

vC

− 1C

vC+1C

v3C+

1C

iL

.

2. Encontrar el(los) punto(s) de equilibrio del sistemaLos puntos de equilibrio se encuentran al igual a cero las derivadas con respecto al tiempo en la representacionespacio de estados. Entonces:

ddt

[iLe

vCe

]

=

[00

]

=

1L

vCe

− 1C

vCe+1C

v3Ce+

1C

iLe

.

Las ecuaciones que se deben resolver para calcular los puntos de equilibrio son:

vCe= 0 y − 1C

vCe+1C

v3Ce+

1C

iLe = 0

Luego el punto de equilibrio es:(iLe,vCe) = (0,0).3. Seleccionar un punto de equilibrio y calcular la representacion lineal del sistema en torno al punto de equilibrio

seleccionado.La dinamica linealizada del sistema en torno al punto de equilibrio antes calculado:

ddt

[iLvC

]

=

1L

vC

− 1C

vC+1C

v3C+

1C

iL

=

[f1(iL,vC)f2(iL,vC)

]

.

ddt

[iLvC

]

=

∂ f1∂ iL

∂ f1∂vC

∂ f2∂ iL

∂ f2∂vC

∣∣∣∣∣∣∣ iL = iLe

vC = vCe

[iLvC

]

[iLvC

]

=

01L

1C

− 1C+3

1C

v2C

∣∣∣∣∣∣∣ iL = iLe

vC = vCe

[iLvC

]

.


[iLvC

]

=

01L

1C

− 1C

[iLvC

]

.

4. ¿Que puede decir sobre la estabilidad del sistema en torno al punto de equilibrio seleccionado?La estabilidad del sistema lineal se calcula resolviendo para los autovalores del sistema:

λ (A) = λ

01L

1C

− 1C

=− 1

2C± 1

2C

√

1+4CL

Como√

1+4CL > 1, entonces existe un autovalor deA con parte real negativa, esto significa que el punto de

equilibrio (0,0) es inestable.

Problema 2.2: Aeronave PVTOL

Considere una aeronave de despegue y aterrizaje vertical (PVTOL), como mostrado en laFig.(2.2). Los estados son las posicionesy,z del centro de masa, elangulo de alabeoφ , ylas velocidades correspondientes, ˙y, z, φ . Las entradas de control,ut y um, son el empujeaplicado en el centro de masa y el momento de alabeoen torno al centro de masa de laaeronave, respectivamente. Adicionalmente,ε > 0 es un coeficiente pequeno relacionadoal acoplamiento entre el momento de alabeo y la aceleracion lateral de la aeronave. Final-mente,g denota la fuerza gravitacional.En el modelo de la aeronave PVTOL, desprecie el efecto de flexion en las alas o fuselaje yconsidere a la aeronave como un cuerpo rıgido.

(2.2) Aeronave PVTOL

1. Calcular las ecuaciones de movimiento del PVTOL. Masa de la aeronave,m, y momento de inercia con respecto alcentro de masa de la aeronave y a lo largo del fuselaje esJ.Las ecuaciones de movimiento para un prototipo PVTOL son:

my= sinφut −cosφεum

mz= −cosφut −sinφεum+mgJφ = um

2. Escribir las ecuaciones de movimiento usando las siguientes variable normalizadas:Y =yg,Z =

zg,Um =

um

J,Ut =

ut

mg,Ξ =

εJmg

.

Usando las variables normalizadas se obtiene:

Y = sinφUt −cosφΞUm

Z = −cosφUt −sinφΞUm+1φ = Um

Luego, el sistema en su representacion espacio de estados es:

ddt

YZφYZφ

=

YZφ

sinφUt −cosφΞUm

−cosφUt −sinφΞUm+1Um


donde

YZφYZφ

es el vector de estados y

[Ut

Um

]

es el vector de entradas de control.

3. Determinar el/los punto/s de operacion del PTVOL. ¿Cual es la implicancia del punto de operacion?Para calcular los puntos de equilibrio igualamos a cero las derivadas, asi:

ddt

YZφYZφ

= 0=

Ye

Ze

φe

sinφeUte−cosφeΞUme

−cosφeUte−sinφeΞUme+1Ume

.

Lo que resulta en:Ye = 0Ze = 0φe = 0

Ume= 0→Ume= 0sinφeUte−cosφeΞUme= 0→ sinφeUte = 0

−cosφeUte−sinφeΞUme+1= 0→ cosφeUte = 1

Si elegimosUte = 0→ de cosφeUte = 1→ 0= 1? (inconsistente!). Luego launica opcion es que cosφe = 1, lo cualse cumple paraφe = kπ, k∈ Z.

4. Elija un punto de operacion para la linealizacion del sistema. Represente el sistema linealizado en su forma espaciode estados.Elegimos el punto de operacion (Ye,Ze,φe,Ye, Ze, φe,Ute,Ume) = (Ye,Ze,0,0,0,0,0,1).Identificamos apropiadamente a las funciones que usaremos para las derivadas:

ddt

YZφYZφ

=

YZφ

sinφUt −cosφΞUm

−cosφUt −sinφΞUm+1Um

=

f1(Y,Z,φ ,Y, Z, φ)f2(Y,Z,φ ,Y, Z, φ)f3(Y,Z,φ ,Y, Z, φ)f4(Y,Z,φ ,Y, Z, φ)f5(Y,Z,φ ,Y, Z, φ)f6(Y,Z,φ ,Y, Z, φ)

Derivando apropiadamente para formar las matricesA y B:

ddt

YZφ˜Y˜Z˜φ

=

∂ f1∂Y

∂ f1∂Z

∂ f1∂φ

∂ f1∂Y

∂ f1∂ Z

∂ f1∂ φ

∂ f2∂Y

∂ f2∂Z

∂ f2∂φ

∂ f2∂Y

∂ f2∂ Z

∂ f2∂ φ

∂ f3∂Y

∂ f3∂Z

∂ f3∂φ

∂ f3∂Y

∂ f3∂ Z

∂ f3∂ φ

∂ f4∂Y

∂ f4∂Z

∂ f4∂φ

∂ f4∂Y

∂ f4∂ Z

∂ f4∂ φ

∂ f5∂Y

∂ f5∂Z

∂ f5∂φ

∂ f5∂Y

∂ f5∂ Z

∂ f5∂ φ

∂ f6∂Y

∂ f6∂Z

∂ f6∂φ

∂ f6∂Y

∂ f6∂ Z

∂ f6∂ φ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y =Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

YZφ˜Y˜Z˜φ

+

∂ f1∂Ut

∂ f1∂Um

∂ f2∂Ut

∂ f2∂Um

∂ f3∂Ut

∂ f3∂Um

∂ f4∂Ut

∂ f4∂Um

∂ f5∂Ut

∂ f5∂Um

∂ f6∂Ut

∂ f6∂Um

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y =Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

[Ut

Um

]


Luego:

ddt

YZφ˜Y˜Z˜φ

=

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 cosφUt +sinφΞUm 0 0 00 0 sinφUt −cosφΞUm 0 0 00 0 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y =Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

YZφ˜Y˜Z˜φ

+

0 00 00 0

sinφ −cosφΞ−cosφ −sinφΞ

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y =Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

[

Ut

Um

]

y:

ddt

YZφ˜Y˜Z˜φ

=

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0−Ξ 0 0 00 0 0 0 0 0

YZφ˜Y˜Z˜φ

+

0 00 00 00 −Ξ−1 00 1

[Ut

Um

]

Problema 2.3: masa-resorte-amortiguador

Para el sistema masa-resorte no lineal-amortiguador nolineal mostrado en la Fig.(2.3) se pide:

1. Calcular el punto de equilibrio del sistema parafe=16.

2. Escribir la representacion lineal del sistema con re-specto al punto de equilibrio antes calculado.

LINEARIZATION EXAMPLE

(2.3) masa-resorte no lineal-amortiguador

La ecuacion de movimiento del sistema es:

Mx+B(x3+ x)+K|x|x= 16+cosωt

La correspondiente representacion espacio de estados es:

ddt

[xx

]

=

[x

− BM(x3+ x)− K

M|x|x+ 16

M+

1M

cosωt

]

Representacion lineal del sistema en relacion a una excitacion promediof (t) = 16:

En el punto de equilibrio se cumple:ue = 16, |xe|xe =16K→ xe =

4√K

ddt

[x˙x

]

=

[0 1

−2KM

|x| − BM(3x2+1)

]∣∣∣∣∣pto equilibrio

[x˙x

]

+

[01M

]

cosωt

Luego:

ddt

[x˙x

]

=

0 1

−8√

KM

− BM

[x˙x

]

+

[01M

]

cosωt


con: ˙x(0) = 0 y x(0) = x(0)−xe(0) = 0− 4√K

=− 4√K

Problema 2.4: circuito no lineal

Para el sistema mostrado en la Fig.(2.4) sepide:

1. Calcular el punto de equilibrio del sis-tema paraVe = 2.

2. Escribir la representacion lineal delsistema con respecto al punto de equi-librio antes calculado.

STATE-SPACE LINEARIZATION EXAMPLE (Close, Frederick & Newell, Example 9.9)

(2.4) circuito no lineal

Problema 2.5: Control de rapidez

La dinamica del sistema de control es:

mdvdt

= αnuT(αnv)︸︷︷︸

F

+−mgCrsgn(v)− 12

ρCdAv2−mgsinθ︸︷︷︸

Fd

,

dondeF representa la fuerza generada por el motor yFd representa la friccion alrodamiento, el arrastre aerodinamico y la fuerza gravitacional, ver Fig.(5). El torqueT(αnv) = T(ω) = Tm(1− β ( ω

ωm− 1)2), dondeTm es el torque maximo obtenido

a la velocidad angular del motorωm. Parametros tipicos sonTm = 190Nm,ωm =420rad/s (para 4000 rpm) yβ = 0,4. Otros valores tıpicos:α4 = 12,ρ = 1,3 kg/m3,Cr = 0,01,Cd = 0,32,A= 2,4m2, m= 1000kg.

gF

mg

F

θ

(2.5) Vehıculo sobre una pendiente, modelo paracontrol crucero

1. Existe un punto de equilibrio (ve,ue,θe) donde la fuerza aplicada por el motor balancea las fuerzas de disturbio.Calcular la entradaue para un viaje en cuarta conve = 25m/s,θe = 0. Rpta: ue = 0,1687.

2. Para el punto (ve,ue,θe), verificar que el modelo lineal esta resulta:dvdt

=−0,0101v+1,32u−9,8θ .

3. Definir la salidav para el sistema lineal antes calculado.4. Si se cierra el lazo de control con ˜u=−0,5v−0,1z, donde ˙z= v. Mostrar el diagrama de bloques del sistema (como

representarıa esta ley de control en Matlab/Simulink).5. Escribir la representacion espacio de estados del sistema controlado, con estados ˜v y z. Incluir la ecuacion de salida.

Problema 2.6: LinealizacionSe cumple 0=Cm(0,0, δe), δe =cte. Responder segun corresponda:

1. Presentar el diagrama de bloques del sistema autopiloto destacando los elementos basicos del sistema de control.Incluir todas las variables dadas.A continuacion el diagrama de bloques del sistema.

2. Escribir la ecuacion de movimiento rotacional (cabeceo) de la aeronave en su forma espacio de estados. Incluir laecuacion de salida.Escribiendo la dinamica rotacional del sistema:

Jθ = MJθ = 1

2CmρV2ScJθ = 1

2Cm(θ , θ ,δe)ρV2Sc

Representacion espacio de estados:

ddt

[θθ

]

=

[θ

12J

Cm(θ , θ ,δe)ρV2Sc

]

y = f (θ)


La Fig. (2.6) muestra el lazo de control del cabeceo (pitch) de un sistemaautopiloto. El sistema de control recibe una senal y del giroscopio. La senaly es una funcion f (θ), dondeθ es la desviacion de la aeronave a partir de lacondicion predefinida del cabeceo. La presencia de una senal y produce unarotacionδe en el elevador (actuador) de la aeronave. La rotacion del elevadorproduce una tasa de variacion en el cabeceo de la aeronave igual ae, la mismaque es retornada como mostrado en la figura.SeaJ el momento de inercia de la aeronave respecto al eje de rotacion quepasa porO y seaM = 1

2CmρV2Sc el momento neto del cabeceo, conCm =

Cm(θ , θ ,δe) el coeficiente de momento del cabeceo,V la velocidad de laaeronave,S la superficie del ala, ¯c la longitud de la cuerda aerodinamica yαel angulo de ataque. (2.6) Sistema autopiloto (cabeceo).

(2.7) Diagrama de bloques sistema autopiloto (cabeceo).

3. Calcular la representacion lineal del movimiento rotacional de la aeronave. ¿Que punto de equilibrio empleo para lalinealizacion?.Calculo de los ptos de equilibrio:

[00

]

=

[θ

12J

Cm(θ , θ ,δe)ρV2Sc

]

Se sabe queCm(0,0, δe) = 0. Luego un punto de equilibrio esxe =

[00

]

, ue = δe.

La representacion lineal del sistema para el punto de equilibrio elegido es:

ddt

[θ˙θ

]

=

0 1

αo∂Cm(0,0, δe)

∂θαo

∂Cm(0,0, δe)

∂ θ

[θ˙θ

]

+

0

αo∂Cm(0,0, δe)

∂δe

δe

y =

[

∂ f (0)∂θ

0

][θ˙θ

]

dondeαo =12J

ρV2Sc.



Problema 3.1: Analisis sistemas linealesResponder segun corresponda:

1. Sea el sistema:dxdt

=

[0 10 0

]

x+

[10

]

u

y =[

1 0]x

, con ley de control:u=−Kx+kr r.

Demostrar que los polos del sistema en lazo cerrado no puedenser asignados arbitrariamente.2. Considerar el sistema mostrado en la Fig. (3.1).

La dinamica de cada uno de los subsistemas se puede escribir como:

dxdt

= Ax+Bu1

y1 =Cx,

dzdt

= Az+Bu2

y2 =Cz.

Demostrar que el sistema formado por los dos subsistemas identicos, con entradau=

[u1 u2

]Ty salida igual ay= y1+y2, no es observable. (3.1) Salida formada por la suma de salidasy1 y y2

Problema 3.2: Control de posicion de cuchilla

Maquinas tipo torno son controladas automaticamente(ver Fig.(3.2)). Considerando un eje, la posicion desea-da de la cuchilla se compara con la posicion actual yesta informacion es usada para activar una bobina, lacual controla la presion dentro del actuador hidraulico.

El sistema actuador-cuchilla esta descrito por:

Gxy(s) =X(s)Y(s)

=1

s(0,5s+1).

El voltaje de salida del amplificador es:

Eo(s) = AE(s) = A[Rd(s)−X(s)]

128 INTRODUCTION TO CONTROL ENGINEERING

Eo i

RL

Differenceamplifier

A

Spring, K

rd

yFluid supply

Position feedback x

Cutting tool

Work piece

(a)

G(s)+– Tool position

R (s)d A 1R + sL

E (s)o I(s)– KK2

F(s) Y(s) X(s)

(b)

Fig. P4.7 (a) Tool position control, (b) Block diagram

(3.2) Control de posicion de la cuchilla

donderd(t) es la posicion deseada de la cuchilla ye(t) es el error entre la posicion deseada y la posicion medida. Lafuerza en el eje actuador es proporcional a la corrientei(t) tal queF = K2i(t) dondeK2 = 2,0. La fuerza es balanceadacontra el resorte,F =−Ky(t), dondeK = 1,2 es la constante del resorte, yR= 10 Ω y L = 0,5 H. SeaA= 6,95.

1. Graficar el diagrama de bloques del sistema de control de posicion de cuchilla.2. Expresar la funcion de transferencia actuador-cuchilla en su forma canonica modal.3. Calcular la matriz de transicioneAt = L −1(sI−A)−1 para la representacion espacio de estados antes calculada.4. Para el sistema en lazo cerrado (entradard(t), salidax(t)), determinar la correspondiente forma canonica contro-

lable.


Problema 3.3: Efecto integral

Un velero de masamse encuentra inicialmente en reposo,v(0) = 0. En el tiempot = 0, se presentaun fuerte viento de magnitudVo = 10 m/s.Asumir que la fuerza del viento sobre las velas es en la direccion del viaje y esta dado porFw(t) =bw[Vo−v(t)]. Asumir que el arrastre viscoso del agua sobre el velero esta dado porFd(t) = bdv(t). (3.3) Diagrama del velero

1. Escribir la ecuacion de movimiento del velero en la forma de espacio de estados.Usar como variable de estado a lavelocidadv(t). Asumir que se puede medirv(t).

2. Para las condiciones dadas en el enunciado del problema, calcular la velocidad del velero en estado estacionario.¿Es la velocidad del velero menor que 10 m/s?

Ayuda. Sea el sistema:

x = Ax+Bu, x(0) = xo

y =Cx+Du, si u(t) =

0 t = 0,

u= cte t > 0,, la salida del sistema esta dada por:

y(t) =CeAtx(0)+CA−1eAtBu+D−CA−1Bu.

3. Si el objetivo es mover el velero a una velocidadvr(t), ¿que modificacion debemos realizar a la ecuacion demovimiento? Mostrar que con control integral es posible seguir una velocidad de referenciavr(t) =cte.

Problema 3.4: Preguntas variadas

1. ¿Cual es la principal ventaja de un diseno de control por realimentacion de estados en relacion a un diseno de controlproporcional o proporcional derivativo (PD) usado en control clasico?

2. Defina cada termino en las expresiones dadas abajo.

Sea el sistema:


y =Cx+Du, la solucion y la salida estan dadas por:

x(t) = eAtx(0)︸︷︷︸

?

+∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ)dτ

︸︷︷︸

?


0CeA(t−τ)B︸︷︷︸

?

u(τ)dτ

3. Mencione dos formas de obtener la matriz de funciones de transferencia del sistema


y =Cx+Du.

Explique que representa la funcion de transferencia.

4. Pruebe que, para el sistema


y =Cx+Du, los autovalores de la matrizA son los polos del sistema.

5. Pruebe que, para una realizacion espacio de estados de ordenn en la forma canonica modal, la matriz de controla-bilidad es de la forma:

Wc =

.. ....

......

0 0 1 . . .0 1 −an−1 . . .1 −an−1 −a2

n−1−an−2 . . .


dondea1,a2, . . . son los coeficientes del polinomio caracterıstico sn + an−1sn−1 + an−2sn−2 + . . . . Asuma que elsistema solo tiene una entrada.

6. ¿Existe alguna limitacion practica en los valores seleccionados para las gananciasK del control por realimentacionde estadosu=−Kx? En otras palabras, analice que pasa con la senal de controlu si se eligen polos en lazo cerradomuy alejados del eje imaginario.

Apendice AEcuaciones de Euler Lagrange

Las ecuaciones de Lagrange son una de las tecnicas mas comunes para derivar las ecuaciones de movimiento sesistemas con multiples grados de libertad (GDL).

ddt

∂L

∂ qi− ∂L

∂qi= Qi , i = 1,2, ..n.

SiendoL = T −V, conT siendo la energıa cinetica yV la energıa potencial,qi son las coordenadas generalizadas yQi son las fuerzas generalizada. Ciertas restricciones se aplican a la eleccion de estas cantidades generalizadas:

Las coordenadas generalizadas deben ser linealmente independientes.Las fuerzas generalizadasQi deben realizar el mismo trabajo que las fuerzas no conservativas considerando undesplazamiento virtualδqi , ası:

δW =n

∑i=1

Qiδqi .

En la figura abajo, los requerimientos antes mencionados sonsatisfechos cuando:q1 = z1, q2 = z2, Q1 = F1 yQ2 = F2.

Figura A.1 Sistema masa-resorte con dos GDL

Las energıas cineticaT y potencialV respectivas seran:

T =12

m1z21+

12

m2z22

61

62 A Ecuaciones de Euler Lagrange

V =12

k1z21+

12

k2(z2−z1)2.

Y el Lagrangiano sera:

L =12

m1z21+

12

m2z22−

12

k1z21−

12

k2(z2−z1)2

Luego, realizando las correspondientes sustituciones en las ecuaciones de Lagrange:

ddt(

∂L

∂ z1) =

ddt(m1z1) = m1z1

∂L

∂z1= k1z1−k2(z2−z1) = (k1+k2)z1−k2z2

ddt(

∂L

∂ z1)− ∂L

∂z1= F1

m1z1+(k1+k2)z1−k2z2 = F1

ddt(

∂L

∂ z2) = d

dt (m2z2) = m2z2

∂L

∂z2= k2(z2−z1) =−k2z1+k2z2

ddt(

∂L

∂ z2)− ∂L

∂z2= F2

m1z2−k2z1+k2z2 = F2

En forma matricial:[

m1 00 m2

]z1

z2

+

[k1+k2 −k2

−k2 k2

]z1

z2

=

F1

F2

A.1. Problema

El deslizador (1) de masam1 se puede mover horizontalmente y esta en contacto con dos resortes (3) de rigidezk.La esfera (2) de masam2 y radior forma un cuerpo rıgido con la masa despreciable (4). Todo el movimiento esta en elplano vertical. El momento de la esfera con respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad esI = 2

5m2r2.

Figura A.2 Sistema deslizador-pendulo con dos GDL

En el instantet = 0, el sistema es posicionado tal que:Hallar las ecuaciones diferenciales de movimiento.

A.2. Solucion

El sistema tiene dos grados de libertad, por tanto dos coordenadas generalizadasx y ϕ. La energıa cineticaT sera:

A.2 Solucion 63

T = T1+T2 =12

m1x2+12

m2v2G+

12

I ϕ2

La velocidad y la posicion absoluta del centro de masa de la esfera seran:

rG= (x+Rsenϕ)i+(−Rcosϕ)j

vG= rG= (x+Rϕ cosϕ)i +(Rϕ senϕ)j

El cuadrado de la velocidad sera:

v2G = (x+Rϕ cosϕ)2+(Rϕ senϕ)2 = x2+2xRϕ cosϕ +R2ϕ2

La energıa cinetica total sera:

T =12

m1x2+12

m2(x2+2xRϕ cosϕ +R2ϕ2)+

12

I ϕ2

= 12(m1+m2)x2+m2xRϕ cosϕ + 1

2(m2R2+ I)ϕ2

La energıa potencial total sera debido a la energıa almacenada en los resortes y a la energıa gravitacional:

V = 212

kx2−m2gRcosϕ

Luego el Lagrangiano resulta:

L =12(m1+m2)x

2+m2xRϕ cosϕ +12(m2R2+ I)ϕ2−kx2+m2gRcosϕ

Aplicando las ecuaciones de Lagrange:ddt(

∂L

∂ x)− ∂L

∂x= 0

ddt(

∂L

∂ ϕ)− ∂L

∂ϕ= 0

donde:ddt(

∂L

∂ x) =

ddt((m1+m2)x+m2Rϕ cosϕ)

= (m1+m2)x+m2Rϕ cosϕ −m2Rϕ2senϕ

∂L

∂x= 2kx

Figura A.3 m1 =2kg,m2 =1kg,R= 0,1m, r = 0,05m,k=1000N/m,a= 0,01m

64 A Ecuaciones de Euler Lagrange

El sistema tiene 2 grados de libertad, por tanto 2 coordenadas generalizadas x y φ. LFigura A.4 Sistema deslizador-pendulo con dos GDL

ddt(

∂L

∂ ϕ) =

ddt(m2Rxcosϕ +(m2R2+ I)ϕ)

= (m2R2+ I)ϕ +m2Rxcosϕ −m2Rxϕ senϕ

∂L

∂ϕ=−m2Rxϕ senϕ −m2gRsenϕ

Usando las ecuaciones de Lagrange:

(m1+m2)x+m2Rϕ cosϕ −m2Rϕ2senϕ +2kx= 0(m2R2+ I)ϕ +m2Rxcosϕ +m2gRsenϕ = 0

Control Clasico y Moderno´ -...

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