Control de Fricción en Robots Industriales · Antecedentes fricción Invención de la mÆquina...
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Control de Fricción en RobotsIndustriales
Juan C. Martınez-Rosas y Luis Alvarez-Icaza
[email protected], [email protected]
Universidad Autonoma de la Ciudad de Mexico UACM
Instituto de Ingenierıa UNAM
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 1
Presentación
• Antecedentes y efectos friccionales
• Modelos de fricción estáticos y dinámicos
• propiedades de modelo de fricción
• Control adaptable con fricción dinámica
• Resultados experimentales
• Conclusiones
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Antecedentes fricción
• Invención de la máquina para hacer fuego, 10,000 AC
Figura 1: Ignición mediante fricción.
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Antecedentes fricción
• Tribología (del griego tribos, "frotar o rozar") es la ciencia que estudia la fricción,
• La fricción se define como la reacción de fuerza tangencial entre dos superficiesen contacto.
• El desgaste es la erosión de la superficie de un material sólido por la acción deotro material sólido.
• Las tareas del especialista en tribología son las de reducir la fricción y desgastepara conservar y reducir energía, lograr movimientos más rápidos y precisos,incrementar la productividad y reducir el mantenimiento.
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Antecedentes fricción
• La fuerza de fricción es directamente proporcional al coeficiente de fricción y alpeso del cuerpo en movimiento.
• La fuerza de fricción depende del área (microscópica) real de contacto y no delárea aparente del cuerpo deslizante.
Figura 2: Leonardo Da Vinci (1452-1519).
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Antecedentes fricción
• Formulan y postulan las leyes de la fricción del movimiento por deslizamientoentre dos superficies.
• Guillaume Amontons (1663-1705)
• Robert Hooke (1635-1703)
• Isaac Newton (1643-1727)
• Charles Coulomb (1736-1806)
• Osborne Reynolds (1842-1912)
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Fuerzas de fricción
• Estudios actuales demuestran que la fuerza de resistencia que actúa en unadirección opuesta a la dirección del movimiento se conoce como Fuerza defricción. Existen dos tipos principales de fricción: Fricción estática y Friccióndinámica.
• Efectos físicos de la fricción:
• 1. interacción molecular (adhesión) de las superficies
• 2. la interacción mecánica entre las partes.
• 3. Desgaste, 75 % de las fallas mecánicas se deben al desgaste de las superficiesen rozamiento
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Efectos indeseables de fricción y desgaste
• Daños mecánicos por efectos de fricción y desgaste
Figura 3: Daño en componentes mecánicos.Control de Friccion en Robots Industriales– p. 8
Terminología de Fricción
• Fricción estática (Sticktion): Es la fuerza necesaria para iniciar movimiento apartirdel reposo.
• Fricción de Cinética (Fricción de Coulomb): Componente de la fricción que esindependiente de la magnitud de la velocidad.
• Fricción Viscosa: Componente de la fricción que es proporcional a la velocidad, yen particular tiende a cero a velocidad cero.
• Rompimiento (Break-A way): transición del reposo (fricción estática) al movimiento(friccón cinética).
• Fuerza de rompimiento (Break-A way Force): Cantidad de fuerza para superar lafricción estática.
• Efecto Dahl: Resulta de la deformación elástica de puntos de contacto entre dossuperficies bloqueadas por fricción estática.
• Efecto Stribeck: Resulta del uso de lubricación, la fricción decrece con el aumentode la velocidad.
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Máquinas Servocontroladas de alta presición
• Errores de seguimiento y posición, vibraciones, ciclos límite
• La fricción tiene un impacto en todos los regímenes de operación.
• Proporciona amortiguamiento a todas las frecuencias
• Afecta el tiempo de control óptimo
• Determina los límites de velocidad y de potecia.
Figura 4: Servomotor con transmisión harmónica.
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Compensación de efectos de Fricción
• Atenuación de efectos indeseables.
• Es uno de los principales problemas de investigación en control deservomecanismos en las últimas décadas.
• Afecta directamente el desempeño del control de movimiento
• La fricción es un fenómeno difícil de modelar
• Para lograr un diseño de compensación adecuado de fricción, es importantecontar con un modelo de fricción conveniente (Canudas de Wit y Lischinsky 1997 ).
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 11
Modelos de fricción estáticos
• Modelo viscoso más de Coulomb (Memoryless Model).
f(q) = fv q + fcsgn(q), (1)
Figura 5: Respuesta de fricción de un motor de d.c. Vs modelo de fricción estática.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 12
Modelos de fricción estáticos
• Modelo Armstrong.
f(q) = fv q + fcsgn(q) + [fs − fc]sgn(q)e(q/vs)2 , (2)
Figura 6: Respuesta de fricción de un motor de d.c. Vs modelo de fricción estática.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 13
Modelos de fricción dinámicos
• Modelo LuGre, Captura características estáticas y dinámicas de fricción
z = − |q|g(q)
z + q g(q) =1
σ0
[
fc + [fs − fc]e(q/vs)2
]
(3)
F = Fcsign(q) + σq + (Fs − Fc)e(q/vs)2sign(q) (4)
Figura 7: Respuesta de fricción de un motor de d.c. Vs modelo de fricción dinámica.Control de Friccion en Robots Industriales– p. 14
Principales dificultades de los modelos dinámicos
• No linealidad en los parámetros.
• Identificación bajo movimiento restringido
• Identificación con modelo parcialmente conocido
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Por qué desarrollar nuevos esquemas de fricción
• La evaluación de modelos de fricción mediante pruebas analíticas, dinámicas yestáticas es limitada en la literatura.
• La mayoría de los modelos de fricción en la literatura asumen conocimientoparamérico total o parcial. condiciones de operación.
• Diseño de un modelo de fricción dinámico que permita estimar y compensarfricción bajo diferentes condiciones de operación.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 16
Nuevo modelo dinámico de fricción
F = σ0Fcz + σ1z + σ2q + σ0(Fs − Fc)y + αy, (5)
z = q − σ0|q|z, (6)
y = −y +1
σ0sign(q)e−n|q|m (7)
• Fc > 0 es la fuerza de fricción de Coulomb
• Fs > 0 es la fricción estática friction force
• σi > 0; i = 0, 1, 2, parámetros de rigidéz y amortiguamiento viscoso
• z es el estado de fricción interna, se relaciona con la fricción de Coulomb
• y es un estado de fricción interno, se relaciona con el efecto Stribeck
• q es la velocidad relativa de las superficies en contacto
• α > 0
• n = |1/qs|m, con qs como la velocidad Stribeck, y m = 2.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 17
Modelo dinámico extendido
F = σ0Fcz + σ1q − σ0σ1|q|z + σ2q + σ0(Fs − Fc)y + α
[
−y +1
σ0sign(q)e−n|q|m
]
.
(8)
Para calcular la respuesta en estado pseudo-estacionario, es necesario fijar q y colocarz = 0 y y = 0, entonces el equilibrio respectivo para el estado z y y es
z =1
σ0sign(q), (9)
y =1
σ0sign(q)e−n|q|m . (10)
La sustitución de (9) y (10) en (8) con z = 0 y y = 0 resulta en la solución en estadoestacionario presentada en el modelo LuGre.
F = Fcsign(q) + σ2q + (Fs − Fc)sign(q)e−n|q|m , (11)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 18
Propiedades y comportamiento dinámico del modelo
• Propiedades de Pasividad
• Propiedades de Linealidad en parámetros
• Desplazamiento Predeslizante
• Comportamiento de Histéresis
• Movimiento frenado deslizamiento
• Ciclos Límites y Control PID
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 19
Propiedades de pasividad
Proposition 1 Si Fs ≥ Fc, el modelo dinámico de fricción descrito en (5) define unoperador estrictamente pasivo Σ : L2e → L2e : q → F , esto es, a lo largo de lassoluciones (5)-(7), con condiciones iniciales cero (Barabanov y Ortega 2000),
I(0, T ) =
∫ T
0qFdt > 0, (12)
I1(0, T ) =
∫ T
0(σ1z + σ2q) q dt > 0, (13a)
I2(0, T ) = σ0Fc
∫ T
0zq dt > 0, (13b)
I3(0, T ) = α
∫ T
0yq dt > 0, (13c)
I4(0, T ) = σ0(Fs − Fc)
∫ T
0yq dt > 0, (13d)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 20
Propiedad de estructura lineal en parámetros
Del modelo extendido se observa que el la estructura resultante es lineal en susparámetros con estructura
F = Uθ, (14)
donde
U =[
z, −|q|z, q, y, −y, sign(q)e−|q|m]
∈ R1×6, (15)
θ =
σ0Fc
σ0σ1
σ1 + σ2
σ0(Fs − Fc)
α
ασ0
=
θ1
θ2
θ3
θ4
θ5
θ6
∈ R6×1. (16)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 21
Simulación del modelo dinámico de fricción
Parámetros del modelo usados en simulación
σ0 105 [ 1m
]
σ1√
σ0 [ Nm/seg
]
σ2 0,4 [ Nm/seg
]
FC 1 [N ]
FS 1,5 [N ]
vs 0,001 [m/seg]
α 109 [N/(m/seg)]
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 22
Desplazamiento predeslizante
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 23
Desplazamiento predeslizante
DynamicFrictionModel (1)
1m
1s
1s
u
-Fn x
0 5 10 15 20 25−2
−1
0
1
2Fuerza externa
[a] tiempo [sec]
[N]
−2 −1 0 1 2 3 4 5
x 10−5
−2
−1
0
1
2
[b] Desplazamiento [m]
Fuer
za d
e fri
cció
n [N
]
Comportamiento de desplazamiento predeslizante
LuGreModelo(1)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 24
Comportamiento de Histéresis
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
[a] tiempo[sec]
Vel
.[m/s
]
Trayectoria de entrada
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2
−1
0
1
2x 10−5
[b] tiempo[sec]
[m]
Estado interno "z" en modelo (1)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 25
Comportamiento de Histéresis
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2
0
2
4x 10−11
[a] tiempo[sec]
[m]
Estado interno "y" en modelo (1)
−0.01 −0.005 0 0.005 0.01−2
−1
0
1
2
[b] velocity [m/s]
Fue
rza
de fr
icci
ón[N
]
Comportamiento de Histéresis en modelo LuGre y modelo (1)
LuGreModelo (1)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 26
Comportamiento de frenado-deslizado
0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
[a] tiempo [seg]
Fue
rza
de e
ntra
da[N
]
Fuerza externa
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2x 10−9
[a] velocidad [m/s]
y[m
]
Estado interno "y" en Modelo (1)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 27
Comportamiento de frenado-deslizado
0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
tiempo [s]
F. e
xt.[N
]
Fuerza externa
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
tiempo [sec]
Pos
ició
n[m
]
Posición de masa y resorte (rojo) en Modelo LuGre
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
tiempo [sec]
Pos
ició
n[m
]
Posición de masa y resorte (rojo) en Modelo (1)
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2x 10−9
velocidad [m/s]
y[m
]
Estado interno "y" en Modelo (1)
0 5 10 15 20 25 30−0.5
0
0.5
1
1.5
tiempo [s]
Fuerza de Fricción y velocidad (rojo) en Modelo LuGre
Fuerza de Fricción [N] Velocidad[m/s]
0 5 10 15 20 25 30−0.5
0
0.5
1
1.5
tiempo [s]
Fuerza de fricción y velocidad (rojo) en Modelo (1)
Fuerza de fricción[N] Velocidad[m/s]
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 28
Ciclos límites y Control PID
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 29
Ciclos límites y Control PID
0 20 40 60 80 100
0.8
1
1.2
1.4
Control PID en Modelo LuGre y Model (1)
tiempo [s]
Pos
ició
n [m
]
xdLuGreModelo (1)
0 20 40 60 80 100−0.5
0
0.5Error de seguimiento
tiempo [s]
Pos
ició
n [m
]
LuGreModelo (1)6.5cm=65% error
1x10−3cm=4% error
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 30
Comentarios
• Se presenta un nuevo modelo dinámico de fricción de segundo orden.
• Permite conservar la misma base intuitiva de su modelo precusor LuGre.
• Destaca una nueva descripción del efecto Stribeck, el cual ahora es determinadomediante una ecuación diferencial no lineal de primer orden.
• El modelo concentra un conjunto de propiedades típicas correspondientes a unbuen modelo de fricción.
• Se realiza un extenso análisis matemático y de simulación para demostrar que lanueva descripción captura los fenómenos más importantes durante el contacto dedos cuerpos en movimiento.
• Extendible en aplicaciones de control adaptable donde los parámetros cambiancon el tiempo.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 31
Nueva motivacion
• El control adaptable de robots industriales con fricción dinámica es compejo y laliteratura en este tópico es limitada.
• La mayoría de los modelos de fricción asumen conocimiento paramétrico total oparcial.
• Diseñar un nuevo modelo de fricción dinámica para compensar y estimar fricciónen un robot industrial.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 32
Estructura paramétrica lineal
El nuevo modelo propuesto contiene una estructura lineal en sus parámetros
F = U P, (17)
donde
F =[
z, −|q|z, q, y, (−y + sign(q)e−n|q|m)]
σ0Fc
σ0σ1
σ1 + σ2
Fs − Fc
α
(18)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 33
Modelo de un robot manipulador
H(q)q + C(q, q)q + g(q) + F = τ , (19)
• q ∈ Rn es el vector de coordenadas articulares generalizadas
• H(q) ∈ Rn×n es la matriz inercial simétrica positiva definida
• C(q, q)q ∈ Rn es el vector de coriolis u fuerzas centrífugas
• g(q) ∈ Rn es el vector de torques gravitacionales
• F = U1 P 1 ∈ Rn son las fuerzas de fricción actuando independientemente
en cada articulación
• τ ∈ Rn es el vector de torques actuando en las articulaciones.
H(q)q + C(q, q)q + g(q) + F = U2(q, q, q)P 2
(20)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 34
Observador adaptable y ley de adaptación
Observador adaptable propuesto para estimar z, y y los parámetros del modeloP = [P 1, P 2]T , utilizando el regresor U = [U1, U2]
˙z = q − |q|z, (21a)
˙y = −y + sign(q)e−n|q|m , (21b)
˙P = −ΓU
Ts, (21c)
z = z − z y = y − y (22)
P = P − P F = F − F (23)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 35
Controlador adaptable
q = q − qdi qr = qdi − Λq (24)
s = q − qr Λi = kiI ∈ Rni×ni (25)
τ = H(q)qr + C(q, qr)qr + g(q) + F − KDs (26)
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 36
Controlador adaptable
Proposition 2 Considere el sistema dinámico del robot (19), el observador adaptableen (21) y la ley de control en (26) en lazo cerrado, los errores de seguimiento q, erroresde observación z, y y las señales s, UP tenderan asintóticamente a cero.
función candidata de Lyapunov
V =1
2sT H(q)s +
1
2P
TΓ−1P +
γ1
2z2 +
γ2
2y2. (27)
V ≤ −δ‖s‖2 − δ‖y‖2 − δ‖z‖2 − PT
UT
UP ≤ 0. (28)
con δ > 0.Finalmente, es posible mostrar que conforme t → ∞
z → 0 , y → 0 , s → 0 , UP → 0
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 37
Resultados experimentales
• Tiempo de muestreo Tm = 8ms
• Solo las primeras tres articulaciones del robot han sido activadas en losexperimentos
Figura 8: Robot CRS A465 of six degrees of freedom.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 38
0 10 20 30 40 50 60 70−100
0
100
q d1 [d
eg]
[a]
0 10 20 30 40 50 60 700
100
q d2 [d
eg]
[b]
0 10 20 30 40 50 60 70−20
0204060
[c] t [s]
q d3 [d
eg]
Figura 9: Desired trajectory.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 39
Errores de seguimiento
0 10 20 30 40 50 60 70-1
0
1
[deg]
[a]
Adapt Fricc Non Adapt Fricc Lugre fricc. model
0 10 20 30 40 50 60 70
-4
-2
0
2
[deg]
[b]
0 10 20 30 40 50 60 70
-2
-1
0
1
[c] time [s]
[deg]
Avr = 0.0836Avr = 0.3389Avr = 0.2331
Avr = 0.1059Avr = 0.6957Avr = 0.8319
Avr = 0.1004Avr = 0.6966Avr = 0.3618
Figura 10: Tracking error.Control de Friccion en Robots Industriales– p. 40
0 20 40 60−0.02
0
0.02
0.04
ye1
[deg
/s]
Estimation of y
0 20 40 60−0.05
0
0.05
ye2
[deg
/s]
0 20 40 60−0.02
0
0.02
0.04
ye3
[deg
/s]
t [s]
0 20 40 60−0.5
0
0.5
ze1
[deg
/s]
Estimation of z
0 20 40 60−0.5
0
0.5
ze2
[deg
/s]
0 20 40 60−0.5
0
0.5ze
3 [d
eg/s
]
t [s]
Figura 11: Estimated of y and z.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 41
0 10 20 30 40 50 60 70
0
20
40
t [s]
σ0i
Fciσ
01F
c1σ
02F
c2σ
03F
c3
0 10 20 30 40 50 60 70−4−2
0246
t [s]
σ0i
2 σ01
2 σ02
2 σ03
2
0 10 20 30 40 50 60 700
100
200
t [s]
σ0i
+σ2iσ
01+σ
21σ
02+σ
22σ
03+σ
23
Figura 12: Estimated of friction parameters [σ0iFci, σ0i2, σ0i + σ2i]
T for each joint.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 42
0 10 20 30 40 50 60 700
2
4
6
8
10
12
t [s]
Fsi
−FciF
s1−F
c1F
s2−F
c2F
s3−F
c3
0 10 20 30 40 50 60 70−2
0
2
4
6
8
t [s]
α1
α2
α3
Figura 13: Estimated of friction parameters [Fsi − Fci, αi]T for each joint.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 43
0 5 10 15
1
2
q d1 [d
eg]
[a]
Desired position
0 5 10 15
91
92
q d2 [d
eg]
[b]
0 5 10 15
1
1.5
2
2.5
[c] t [s]
q d3 [d
eg]
0 5 10−1
0
1
[deg
]
[d]
Tracking error
Non adapt FAdapt F
0 5 10−4
−2
0
2
[deg
] [e]
0 5 10−2
−1
0
1
[f] time [s]
[deg
]
Figura 14: Desired position (Regulation) and Tracking error.
Control de Friccion en Robots Industriales– p. 44
Conclusiones
• nueva estructura dinámica para compensación de fricción en robots
• Permite nueva descripción del efecto Stribeck
• Los resultados confirman la compensación-estimación en línea
• posibilidad de identificación de todos los parámetros relevantes en TR (mejorandoel Tm)
• Extendible en aplicaciones de control donde los parámetros cambian con eltiempo.
Controlador promedio I[q] =√
1T
∫ T0 ‖q‖2dt
. . . + F − KDs 0.1681 [deg]
. . . − KDs 1.0413 [deg]
. . . + FLugre − KDs 0.9366 [deg]
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