Universidad Catolica

“Nuestra Senora de la Asuncion”

Sede Regional Asuncion

Facultad de Ciencias y Tecnologıa

Departamento de Ingenierıa

Electronica e Informatica

Carrera de Ingenierıa Electronica

AutomatizacionIng. Enrique Vargas PhD.

Paredes, Javier <javier.90@gmail.com>Ramırez, Pedro <pedroramirez22@gmail.com>

TRABAJO FINAL

CONTROL DE LEVITACION NEUMATICA

11 de febrero de 2014

INDICE 2

Indice

1. Objetivo General 31.1. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Introduccion 3

3. El flujo de los fluidos 33.1. La tasa de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2. Ecuacion de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3. Numero de Reynolds,flujo laminar, flujo turbulento . . . . . . . . 4

3.3.1. Flujo Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3.2. Flujo Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3.3. Numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3.4. Numero de Reynolds Crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4. Fuerzas debido a los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4.1. Fuerza de Arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4.2. Ecuacion Integrodiferencial de la Planta . . . . . . . . . . 63.4.3. Caracterizacion de Constantes de la Ecuacion no−lineal . 73.4.4. Solucion de la Ecuacion no−Lineal con Matlab . . . . . . 9

4. Control Lugar de Raıces 104.1. Procedimiento de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2. Simulacion de la Respuesta al Step . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3. Respuesta con el Compensador Implementado . . . . . . . . . . . 144.4. Discusion sobre el valor del tiempo de muestreo . . . . . . . . . . 154.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Control PID 165.1. Procedimiento de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2. Sintonıa del Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3. Simulacion de la Respuesta al Step . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4. Respuesta con el Compensador Implementado . . . . . . . . . . . 195.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Control DeatBeat 206.1. Diseno del Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2. Implementacion del Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Control vıa ubicacion de polos 227.1. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1 Objetivo General 3

8. Control Estimador de Prediccion 238.1. Estimador de Prediccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.2. Procedimiento de Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.3. Implementacion del estimador de prediccion . . . . . . . . . . . . 258.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9. Control Kalman 269.1. Procedimiento de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.2. Implementacion del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1. Objetivo General

Comprender e implementar los controles clasicos y modernos.

1.1. Objetivos Especıficos

Modelado de una planta de levitacion neumatica.

Aplicar los controles clasicos y modernos para mejorar las respuestas aexcitaciones.

2. Introduccion

El efecto de que un cuerpo se suspenda en el aire sin contacto fısico sedenomina levitacion, la cual es el resultado de una fuerza que contrarresta el pesodel cuerpo u objeto levitante. En este caso de estudio, se tratara la levitacionneumatica. Esta clase de levitacion opera las variaciones en la presion ejercidapor gases, en este caso el aire, para mantener objetos suspendidos en posicionestable. Esta levitacion debe garantizar los siguientes efectos sobre el objeto:Una fuerza que contrarreste el peso del cuerpo (la fuerza de gravedad que actuasobre el objeto que levita) y para que se halle en suspension estable, es necesariauna fuerza adicional que contrarreste cada pequeno desplazamiento del objetoen levitacion.

3. El flujo de los fluidos

3.1. La tasa de flujo

La cantidad de fluido que pasa por un sistema por unidad de tiempo puedeexpresarse por medio de Q, El flujo volumetrico es el volumen de fluidoque circula en una seccion por unidad de tiempo, y se calcula con la siguienteecuacion:

Q = Aυ (1)

3.2 Ecuacion de Continuidad 4

donde A es el area de la seccion y υ es la velocidad promedio del flujo.

3.2. Ecuacion de Continuidad

El metodo de calculo de la velocidad de flujo en un sistema de ductos cerradosdepende del principio de continuidad. La cantidad de fluido que circula a travesde cualquier seccion en cierta cantidad de tiempo es constante, es decir:

Figura 1: Continuidad dentro de un tubo de radio variable suponiendo que elfluido es incomprensible(ρ1 = ρ2).

ρ1A1υ1 = ρ2A2υ2 (2)

Es valido para todos los fluidos, ya sean gases o lıquidos.

3.3. Numero de Reynolds,flujo laminar, flujo turbulento

3.3.1. Flujo Laminar

Es cuando el flujo parece suave y estable. La corriente tiene un diametro casiuniforme y hay poca o ninguna evidencia de que sus distintas partes se mezclan.A este se le denomina flujo laminar, termino derivado de la palabra lamina1,debido a que el fluido parece moverse en laminas continuas con poca o ningunamezcla de una capa con las adyacentes.

3.3.2. Flujo Turbulento

Ocurre cuando los elementos del fluido parecen mezclarse en forma caoticadentro de la corriente. Esta es la descripcion general de un flujo turbulento.

3.3.3. Numero de Reynolds

El comportamiento de un fluido, en particular en lo que se refiere a lasperdidas de energıa, depende de que el flujo sea laminar o turbulento.

Se demuestra en forma experimental y se verifica de modo analıtico, que elcaracter del flujo en un tubo redondo depende de cuatro variables: la densidaddel fluido ρ, su viscosidad η, el diametro del tubo D y la velocidad promediodel flujo υ.

1Layer

3.4 Fuerzas debido a los fluidos 5

Osbome Reynolds fue el primero en demostrar que es posible pronosticar elflujo laminar o turbulento si se conoce la magnitud de un numero adimensional,al que hoy se le denomina numero de Reynolds (NR). La ecuacion siguientemuestra la definicion basica del numero de Reynolds:

NR =υDρ

η=υD

ν(3)

donde, υ es la velocidad media del flujo, D el diametro del tubo, ρ es ladensidad del fluido, η es la viscosidad del fluido y ν es la viscosidad cinematicadel fluido.

Los flujos tienen numeros de Reynolds grandes debido a una velocidad el-evada y/o una viscosidad baja, y tienden a ser turbulentos. Aquellos fluidoscon viscosidad alta y o que se mueven a velocidades bajas, tendran numeros deReynolds bajos y tenderan a comportarse en forma laminar.

3.3.4. Numero de Reynolds Crıticos

Si el numero de Reynolds para el flujo es menor que 2000, este sera laminar.Si el numero de Reynolds es mayor que 4000, el flujo sera turbulento. En elrango de numeros de Reynolds entre 2000 y 4000 es imposible predecir que flujoexiste; por tanto, le denominaremos region crıtica.

Supondremos lo siguiente:Si NR < 2000, el flujo es laminar.Si NR > 4000, el flujo es turbulento.

3.4. Fuerzas debido a los fluidos

3.4.1. Fuerza de Arrastre

Arrastre es la fuerza sobre un cuerpo ocasionada por el fluido que oponeresistencia en la direccion del movimiento del cuerpo.

Por lo general, se expresan las fuerzas de arrastre en la forma:

FD = CD(ρυ2/2)A (4)

Los terminos en esta ecuacion son los siguientes:

CD es el coeficiente de arrastre. Se trata de un numero adimensional quedepende de la forma del cuerpo y su orientacion con respecto a la corriente defluido.

ρ es la densidad del fluido. Debido a que la densidad de los liquidos esbastante mayor que la de un gas, el orden general de magnitud de las fuerzasde arrastre sobre objetos que se mueven en el agua es mucho mas grande quepara los objetos que se mueven en el aire. La compresibilidad del aire afecta unpoco su densidad.

3.4 Fuerzas debido a los fluidos 6

υ es la velocidad de la corriente libre del fluido en relacion con elcuerpo. En general, no importa si el que se mueve es el cuerpo o el fluido.

A es algun area caracterıstica del cuerpo. El area de interes sea superficietransversal maxima del cuerpo, que suele recibir el nombre de area proyectada.

El termino combinado ρυ2/2 es la presion dinamica. Observe que lafuerza de arrastre es proporcional a la presion dinamica y, por tanto, es propor-cional al cuadrado de la velocidad.

3.4.2. Ecuacion Integrodiferencial de la Planta

Para hallar la ecuacion integro-diferencial que describe el movimiento de lapelota dentro del tubo, se aplica la segunda ley de Newton de las fuerzas queactuan sobre la misma, que son el Empuje, Fuerza de Arrastre y Peso.

E + FD −W = mpap (5)

E es el empuje o principio de arquımedes, dado por:

ρaVpg (6)

ρa es la densidad del aire, Vp es el volumen de la pelota(volumen del lıquidodesplazado) y g es la aceleracion de la gravedad.

FD es la fuerza de arrastre, dado en la ecuacion 4.W es el peso de la pelota, dado por:

W = mpg (7)

mp es la masa de la pelota, y g es la aceleracion de la gravedad.La ecuacion serıa entonces:

ρaVpg + CD(ρaυ2r/2)A−mpg = mpap (8)

υ2r es la velocidad relativa de la pelota con respecto al flujo de aire(ya queuna se mueve respecto a la otra, es decir hay movimiento tanto del flujo como dela pelota, por lo tanto no hay un valor absoluto, sino relativo), en otras palabras:

υr = υf − υp = υf −dx

dt(9)

dxdt es la velocidad de la pelota y υf es la velocidad del flujo.

3.4 Fuerzas debido a los fluidos 7

La ecuacion final quedarıa

ρaVpg +CD

2

[ρa

(υf −

dx

dt

)2]A−mpg = mp

d2x

dt2(10)

Como se puede ver, esta ecuacion es no-lineal, se debe resolver la ecuacionintegro-diferencial de la forma x = f(υf ) para poder hallar la funcion de trans-ferencia del sistema, En palabras simples, se debe tener la posicion de la pelotaen relacion a la velocidad del flujo que hay dentro del tubo.

3.4.3. Caracterizacion de Constantes de la Ecuacion no−lineal

En el laboratorio se llevaron a cabo ciertos experimentos para hallar el valordel coeficiente de arrastre definido en 3.4.1, los pasos fueron:

1. Hallar el valor de revoluciones por minuto(RPM) del motor al cual lapelota quedaba en un lugar levitando.

2. Relacionar el valor de RPM del motor con la velocidad de flujo dentro deltubo (υf ).

El primer paso se pudo hallar sin problemas, dando por resultado 4389RPM, el datasheet del motor utilizado puede obtenerse en el siguiente LINKque puede girar hasta 9000RPM.

Ahora el problema era relacionar el valor de los RPMs del motor con lavelocidad del flujo, relacionar estos terminos es bastante complicado, pues haydemasiados parametros que hay que tener en cuenta, como la cantidad de aspasdel motor, la longitud, el angulo de ataque, etc. investigando se pudo hallar quehay relaciones generales de los motores los cuales sirven para nuestro problema,el documento se puede hallar pinchando en el siguiente LINK. La ecuacion autilizar serıa la siguiente:

CFM2 =RPM2

RPM1CFM1 (11)

Como sabemos, CFM (Cubic feet per minute, the volume of air moved perminute) o como definimos en este texto Q en otra unidad de medida, definidaen el apartado 3.1, como ademas sabemos, el flujo esta relacionado con el area yla velocidad del flujo, por lo tanto tenemos resuelto el problema, algunos datosobtenidos del datasheet del motor son.

Flujo Volumetrico del motor (Q = 2,991[m3/s]).

Diametro del tubo DT = 0,09[m]

En la seccion 3.2, se hablo de la ecuacion de continuidad, se repite aquı laexpresion para facilidad:

ρ1A1υ1 = ρ2A2υ2 (12)

3.4 Fuerzas debido a los fluidos 8

ρ1 = ρ2 = ρa que el la densidad del aire(fluido dentro del tubo). Por lo tanto,aplicando todas las ecuaciones mencionadas, se halla que el valor de la velocidaddel flujo a la cual la pelota queda levitando en una posicion determinada dentrodel tubo esta dado por:

υL = 7,8359[m/s] (13)

υL es llamado velocidad lımite. En la velocidad lımite, la bola experimentauna fuerza neta de cero, por lo tanto de la ecuacion 10, se tiene que el segundomiembro es cero, de aquı se puede hallar la expresion para la velocidad lımite,el cual es:

υL =

√2g(mp − ρaV )

CDρaA(14)

El unico termino que desconocemos aquı es CD, por lo tanto, al despejar yaplicar todos los valores conocidos, tenemos que:

CD = 3,03701 (15)

Una vez que tenemos este valor, nos queda un ultimo termino, el cual es elnumero de Reynolds, segun [4] Pag: 525, la expresion del coeficiente de arrastre(CD) en funcion del numero de Reynols para una esfera lisa, esta dado por lasiguiente aproximacion:

CD =24

NR+

2,6(NR

5 )

1 + (NR

5 )1,52+

0,411( NR

263000 )−7,94

1 + ( NR

263000 )−8+ (

N0,8R

461000) (16)

La curva graficada con Mathematica, es la siguiente:

0.1 10 1000 105

0.1

1

10

100

Figura 2: Coeficiente de Arrastre en funcion del numero de Reynolds.

Se puede ver que el numero de Reynolds es aproximadamente NR ≈ 15,5.

3.4 Fuerzas debido a los fluidos 9

Conclusion Se puede concluir de acuerdo al valor anterior y a la condicionde flujo laminar/turbulento dada en la seccion 3.3.4, la planta tiene las carac-terısticas de un flujo laminar.

3.4.4. Solucion de la Ecuacion no−Lineal con Matlab

La ecuacion no-lineal dada en 10, puede ser resuelta con simulink, medianteel siguiente esquematico.

Figura 3: Esquematico para Linealizar con Simulink

Donde se puede ver que no se tiene en cuenta la dinamica del motor, haciendocorrer el script dado en el siguiente LINK, dando los valores iniciales a losintegradores para trabajar en pequena senal (x0 = 0,35[m] y υL = 7,8359[m/s])el cual es el punto de equilibrio del sistema, la funcion de transferencia de laplanta serıa:

H(s) =X(s)

Vf (s)=

0,454

s(s+ 0,454)(17)

Mediante la herramienta del Ident del matlab, tambien se hallo la funcionde transferencia de la planta, considerando la dinamica del motor, el cual fue:

H(s) =0,79509

(s+ 1,411)2(s+ 0,4387)(18)

El cual se puede ver que el termino de 1/(s+1,411)2 pertenece a la dinamicade caida libre de la pelota, como la de un satelite que es de 1/s2, y el otrotermino, (s+ 0,4387) pertenece a la dinamica del motor, donde el motor puedeser representado como 1/(s+a)(s+b), en este caso aparece solo el polo dominantedel motor.

La funcion de transferencia de la ecuacion 18 es la que se utilizara durantetodo el analisis del trabajo.

4 Control Lugar de Raıces 10

4. Control Lugar de Raıces

Resulta necesario investigar los efectos de la ganancia del sistema o del peri-odo de muestreo del sistema sobre la estabilidad absoluta y relativa del sistemaen lazo cerrado. Para estos fines, el metodo del lugar geometrico de raıces esmuy util.

La respuesta en lazo cerrado de la planta es:

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Figura 4: Respuesta en lazo abierto de la planta

Los parametros de la planta en lazo cerrado son:

Rise Time 5,74seg.

Setting Time 10,6seg.

Final Value 0,91.

Se puede ver que tiene un error en estado estable, lo que buscamos es bajarunas 4 veces el tiempo de establecimiento, para que la respuesta sea mas rapiday que el error en estado estable sea cero, que tenga un sobrepaso no mayor al5 % y que tenga un factor de amortiguamiento de ζ = 0,707.

4.1 Procedimiento de Diseno 11

4.1. Procedimiento de Diseno

1. Obtener la funcion de transferencia del sistema

2. Graficar el lugar geometrico de raıces (rlocus) de la planta original demanera a saber su comportamiento en lazo cerrado.

3. Graficar las lıneas de amortiguamiento constante ζ y de ωn constante demanera a establecer un area determinada de funcionamiento deseado. Parasistemas con dos polos dominantes, el area que cubre ζ y de ωn es suficientecriterio de diseno.

4. Ubicar los polos del sistema dentro del area deseada introduciendo uncontrolador adecuado.

Si el lugar geometrico de raıces pasa por el lugar deseado, darle laganancia necesaria de manera que los polos en lazo cerrado se ubiquenen ese punto.

Introduciendo un polo dominante en el sistema de manera a que seajuste al comportamiento.

Cancelar un polo no deseado con un cero del controlador y luegoubicar otro polo (del controlador) en el lugar deseado

5. Obtener la respuesta al escalon de manera a determinar la conformidaden el dominio del tiempo.

6. Ejecutar los dos pasos anteriores hasta obtener la respuesta temporal sat-isfactoria.

7. Implementar el controlador.

El punto por donde debe pasar el LR que cumple con las condiciones sepuede ver en la figura 5, las condiciones son las siguientes:

Tiempo de establecimiento 4 veces menor.

Zita ζ = 0,707.

Sobrepaso maximo de SM = 5 %.

Error en estado estable cero.

El compensador hallado esta dado por:

K(z − 0,9891)(z − 0,9653)2

(z − 1)(z − 0,8988)(z − 0,4768)Ts = 0,025seg. (19)

El valor de la ganancia para estas condiciones que pasa por el punto dadoen la grafica, esta dado por:

K = 170,5015 (20)

4.1 Procedimiento de Diseno 12

Figura 5: Punto por donde debe pasar el LR que cumple con todas las condi-ciones.

Lo que se realizo para hallar el compensador fue de tener un polo en z = 1eliminando uno de los polos dobles, para que la respuesta a un step tenga unerror en estado estable de cero, luego se iban jugando con las ubicaciones delos otros 2 polos para que cumpla con las condiciones dadas y ademas sea unpunto del LR, se ha debido mover 2 polos a la vez, ya que un solo polo no podıacumplir con todas las condiciones dadas a la respuesta del sistema.

4.2 Simulacion de la Respuesta al Step 13

4.2. Simulacion de la Respuesta al Step

La simulacion de la respuesta a un escalon esta de la planta con el compen-sador, esta dado por:

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: sistema_compensadorSettling time (seconds): 2.2

System: sistema_compensadorRise time (seconds): 0.927

System: sistema_compensadorPeak amplitude: 1.02Overshoot (%): 2.3At time (seconds): 1.98

Figura 6: Respuesta del Sistema con el Compensador al Step.

Se puede ver que la respuesta tiene los siguientes valores:

Rise Time 0,927seg.

Setting Time 2,2seg.

Final Value 1.

Overshoot 2,3 %.

Para hacer un poco mas rapida la respuesta se puede hacer ganar un pocomas al valor de K dado en 20 para obtener un sobrepaso mayor, pero se volverıamas oscilatoria la respuesta.

4.3 Respuesta con el Compensador Implementado 14

4.3. Respuesta con el Compensador Implementado

La respuesta de la planta con el compensador implementado puede verse enla grafica 7:

Figura 7: Respuesta a un Escalon de la Planta con el Compensador

Los valores de la respuesta serıan de aproximadamente:

Rise Time 1seg.

Setting Time 2,5seg.

Overshoot 1,0 %.

Se puede ver que el valor de la salida tiende al del set. point, pero que oscilaalrededor del mismo, esto es por el error del sensor de ultrasonido, que segunel datasheet serıan de cerca de 2cm. La respuesta cumple bastante bien con lascondiciones para este tipo de control clasico.

4.4 Discusion sobre el valor del tiempo de muestreo 15

4.4. Discusion sobre el valor del tiempo de muestreo

De acuerdo a la grafica dada en 4 se puede hallar el tiempo de subida delmismo, en la pag. 215 de [2], dice lo siguiente “se debe muestrear de ocho adiez veces durante un ciclo de las oscilaciones senoidales amortiguadas de lasalida del sistema en lazo cerrado, si es que este esta sub-amortiguado. Parasistemas sobre-amortiguados, pruebe de ocho a diez veces durante el tiempo delevantamiento de la respuesta escalon”., ademas a esto hay que agregar quenuestro sensor de ultrasonido el cual se puede ver el datasheet pinchando enel siguiente LINK, tiene un retardo grande el cual metera dentro del lazo, losvalores medidos ya deben “estar actualizados” para cuando el micro-controladoracceda a los datos, para no “leer” valores falsos, como la longitud del tubo esde 0,7[m] la distancia total que recorrera la senal ultrasonica sera el doble dela longitud del tubo (en el peor caso), el tiempo que tardarıa esta senal serıadel orden de unos 4500µs o 4,5ms, ademas del codigo adicional que corre en elmicro-controlador.

Como nuestro sistema es uno sobre-amortiguado, y el tiempo de subida esde aproximadamente 10 segundos, se opto por utilizar un valor de tiempo demuestreo de:

Ts = 0,025s (21)

Si bien segun lo explicado anteriormente el tiempo de Ts = 0,1 bastarıa(10veces el tiempo de subida), probando este valor en el laboratorio se podıa notarque el control no le podıa “seguir” a la dinamica de la planta, es decir que seaplicaba el esfuerzo de control en intervalos de tiempo muy grandes y la pelotaoscilaba bastante(obviamente agrandar el tiempo de muestreo hace que el sis-tema tienda a ser inestable), por lo tanto bajando un poco el tiempo de muestreose utilizo el ya mencionado, esto sı, teniendo en cuenta que esta limitado porlos retardos del sensor y el tiempo procesamiento del micro-controlador.

4.5. Conclusiones

Se pudo ver que se obtuvo una respuesta bastante buena, con el tiempo deestablecimiento deseado, solo que la bola oscilaba un poco en torno el set point,esto es por la incertidumbre del error que tiene el sensor de ultrasonido, pero sepudo ver que seguıa bastante bien a la senal de entrada, con respecto al tiempode muestreo se pudo ver que al aumentar, los polos de la planta tendıan a z = 1,y para este caso el valor de K para ubicar los polos en el punto donde cumplelas condiciones era muy elevado, es decir se necesitaba un esfuerzo de controlmuy grande, por lo tanto se pudo hallar el valor de Ts donde el esfuerzo no seademasiado y que ademas se pueda seguir a la dinamica de la planta.

5 Control PID 16

5. Control PID

El principio basico del PID es actuar sobre la variable a ser manipulada atraves de una apropiada combinacion de las tres acciones de control: proporcional(P), donde la accion de control es proporcional a la senal de error, la cual es ladiferencia entre la entrada y la senal de realimentacion; integral (I), donde laaccion de control es proporcional a la integral de la senal de error y la accionderivativa (D), donde la accion de control es proporcional a la derivada de lasenal de error.

El controlador PID es un caso especial de controlador de adelanto−atraso defase. La accion del control PD, que afecta la region de alta frecuencia, aumen-ta el angulo del adelanto de fase y mejora la estabilidad del sistema, ası comotambien incrementa el ancho de banda del sistema (lo que mejora la velocidadde respuesta). Esto es, el controlador PD se comporta de una manera similaral compensador de adelanto de fase. La accion de control PI afecta la parte debaja frecuencia y, de hecho, aumenta la ganancia en baja frecuencia al mejorarla precision en estado permanente. Por lo tanto, el controlador PI actua como uncompensador de atraso de fase. La accion de control PID es una combinacionde las acciones de control PI y PD. Las tecnicas de diseno para los contro-ladores PID basicamente siguen los correspondientes a los compensadores deadelanto−atraso de fase.

Un controlador proporcional KP tiene efecto reduciendo el tiempo de subida,si bien lo reduce, no elimina el error en estado estable por completo. Un con-trol integral KI tendra dicho efecto, o sea, eliminara el error en estado estable,pero empeorara la respuesta transitoria. Un control derivativo KD tendra efec-to aumentando la estabilidad del sistema, reducira el sobrepaso y mejorara larespuesta transitoria, pero el controlador se vera mayormente afectado por elruido de medida.

5.1. Procedimiento de Diseno

Existen varios metodos de diseno y sintonıa del PID, algunos de ellos son elmetodo de Zieger-Nichols (Z-N) y metodos basados en la curva de reaccion loscuales estan limitados para cierto tipo de plantas. Consisten en la obtencion deparametros de la respuesta al escalon del sistema en lazo cerrado y lazo abiertorespectivamente, para luego aplicar formulas empıricas y obtener las constantesdel PID. Una vez obtenidas, se implementa el controlador y se hacen ajustes sifuesen necesarios.

5.2. Sintonıa del Controlador PID

Control PID de plantas [1] Es posible aplicar diversas tecnicas de disenocon el fin de determinar los parametros del controlador que cumpla las especi-ficaciones del transitorio y del estado estacionario del sistema de lazo cerrado.

El proceso de seleccionar los parametros del controlador que cumplan conlas especificaciones de comportamiento dadas se conoce como sintonıa del con-

5.2 Sintonıa del Controlador PID 17

−+ Compensador PID Planta

1

Figura 8: Control PID de una planta.

trolador. Ziegler y Nichols sugirieron reglas para sintonizar los controladoresPID(esto significa dar valores a Kp, Ti y Td) basandose en las respuestas deescalon experimentales o en el valor de Kp que produce estabilidad marginalcuando solo se usa la accion de control proporcional.

El metodo consiste en la respuesta de la planta ante un escalon unitario, seobtiene de manera experimental, si la planta no contiene integradores ni poloscomplejos conjugados, la curva de respuesta escalon unitario puede tener laforma de S.

La curva en forma de S se caracteriza por dos parametros: el tiempo deretardo L y la constante de tiempo T .

Tipo de controlador Kp Ti Td

P TL ∞ 0

PI 0,9TL

L0,3 0

PID 1,2TL 2L 0.5L

Cuadro 1: Regla de sintonıa de Ziegler-Nichols basada en respuesta escalon dela planta.

Zieglers y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdoa la formula que se muestra en la Tabla 1.

5.3 Simulacion de la Respuesta al Step 18

5.3. Simulacion de la Respuesta al Step

Ajustando los parametros del PID se obtuvo la siguiente respuesta:

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Time offset: 0

Figura 9: Respuesta Simulada de la Planta con controlador PID

Los valores de las constantes del PID fueron las siguientes:

Kp = 0,6

Ti = 2

Td = 5

Se puede ver que tiene un tiempo de establecimiento de aproximadamente10 segundos, y un error en estado estable de cero.

5.4 Respuesta con el Compensador Implementado 19

5.4. Respuesta con el Compensador Implementado

La respuesta al escalon de la planta con el controlador PID esta dado por lasiguiente grafica:

Figura 10: Respuesta al escalon de la planta con Controlador PID

Con esta respuesta se puede ver que tiene un valor de tiempo de establec-imiento de alrededor de 9 segundos, y un error bastante pequeno pero oscilatorioen torno a la referencia.

5.5. Conclusion

Se pudo ver que la respuesta en estado estacionario seguıa muy bien a lareferencia, pero oscilaba un poco en torno al mismo, por lo ya dicho del errorque posee el sensor de ultrasonido, se fueron ajustando los valores de cadaparametro hasta obtener una respuesta, esta es un poco mas lenta del controlpor lugar de raıces, pero tambien se ajusta muy bien a este tipo de controlclasico, no se implemento el anti-windup. Aparte del metodo de Ziegler-Nicholspara el ajueste, empıricamente se probo, ajustando primeramente la gananciaproporcional, hasta obtener una respuesta rapida pero no tan oscilatoria, conun pequeno error en estado estable, luego se ajusto la ganancia integral hastaobtener un error en estado estable ınfimo, y por ultimo la ganancia derivativapara evitar un poco las oscilaciones de la respuesta, el compensador PID es uncontrolador bastante bueno y con un ajuste bastante rapido, hasta sin conocerla dinamica del sistema se puede obtener un ajuste tan fino con una respuestabastante precisa.

6 Control DeatBeat 20

6. Control DeatBeat

Este control obligara la secuencia de error, cuando este sujeta a un tipoespecıfico de entrada en el dominio del tiempo, para llegar a cero despues deun numero finito de perıodos de muestreo y, de hecho, a convertirse en cero ymantenerse en cero despues del numero mınimo posible de perıodos de muestreo.

Si la respuesta de un sistema de control en lazo cerrado a una entrada escalonmuestra el tiempo de asentamiento mınimo posible (es decir, cuando la salidaalcanza su valor final en un tiempo mınimo y se queda ahı), sin error en esta-do permanente y ninguna componente oscilatoria entre instantes de muestreo,entonces este tipo de respuesta se conoce comunmente como respuesta con os-cilasciones muertas. Se desea disenar un controlador digital GD(z) tal que elsistema de control en lazo cerrado muestre el tiempo de asentamiento mınimoposible, con un error en estado permanente de cero, en respuesta a un entradaescalon.

Se define la funcion de transferencia pulso en lazo cerrado deseado comoF (z):

C(z)

R(z)=

GD(z)G(z)

1 +GD(z)G(z)= F (z) (22)

Lo que se busca es que la funcion de transferencia pulso GD(z) satisfaga laecuacion anterior, es decir:

GD(z) =F (z)

G(z)[1− F (z)](23)

Las condiciones para que sean fısicamente realizbles pueden enunciarse comsigue:

1. El grado del numerador de GD(z) debe ser igual o menor que el grado deldenominador.

2. Si la planta Gp(s) incluye en atraso de transporte eLs, entonces el sistemaen lazo cerrado disenado debe involucrar por lo menos la misma magnitudde atraso de transporte.

3. Si G(z) se expande a una serie en z−1, el termino elevado a la potenciamenor de la expansion serial de F (z) en z−1 debe ser por lo menos igualde grande que el correspondiente a G(z).

La funcion de transferencia pulso del controlador digital no debera incluirpolos inestables para cancelar ceros de la planta que ocurran fuera del cırculounitario.

6.1 Diseno del Compensador 21

6.1. Diseno del Compensador

Cumpliendo todas las condiciones anteriores, se hallo la funcion de transfer-encia del compensador con oscilasciones muertas.

8184,1z(z − 0,9571)(z − 0,8684)2

z(z + 3,441)(z − 1)(z + 0,2469)(24)

6.2. Implementacion del Compensador

La respuesta obtenida del compensador disenado es el siguiente:

Figura 11: Respuesta de la planta con el compensador con el metodo de oscila-ciones muertas.

6.3. Conclusion

Se puede ver que la respuesta con el control de oscilaciones muertas es lento,porque se necesitaba demasiado esfuerzo de control para obtener la respuestaen la cantidad mınima de pasos. lo cual era imposible realizarlo fısicamente.

Tambien se tuvo problemas en la ganancia, donde se tuvo que modificar unpoco para que el sistema no sature, la respuesta es bastante buena como sepuede ver en la grafica, el valor en estado estacionario sigue a la referencia.

7 Control vıa ubicacion de polos 22

7. Control vıa ubicacion de polos

Este metodo consiste en disenar y ubicar los polos del sistema en lazo cerradoen localizaciones deseadas en el plano z. Para eso, se debe cumplir el concepto decontrolabilidad, solo entonces sera posible seleccionar los polos en lazo cerradodeseados en el plano z o las raıces de la ecuacion caracterıstica en las ubicacionesdeseadas.

El diseno de ubicacion de polos se reduce a la determinacion de la matrizde ganancia de realimentacion de estado deseada. Se deben elegir localizacionesadecuadas para los polos en lazo cerrado y luego, determinar aquella matriz deganancia de realimentacion de estado que de como resultado los polos en lazocerrado especificados.

Esta matriz de realimentacion de estado se lleva a cabo mediante el usode variables de estado estimadas mas que con las variables de estado reales.Sin embargo, a modo de demostracion del metodo, se supone que todas lasvariables de estado son medibles y se encuentran disponibles para realizar larealimentacion.

7.1. Conclusion

Este metodo de control no se puede implementar, ya que lo que se mide es laposicion de la pelota, se deberıa tener estados como la velocidad de la pelota yla aceleracion, si bien esto se puede hallar con la primera y segunda derivada dela posicion de la pelota, serıa mejor utilizar un control con estimador de estados,que se vera en las secciones siguientes, es decir no se dispone de sensores paratener el valor de la velocidad de la pelota y la aceleracion por ejemplo, por lotanto no cumple con la condicion ya mencionada.

8 Control Estimador de Prediccion 23

8. Control Estimador de Prediccion

En los sistemas reales de control, no todas las variables de estado estarandisponibles para su realimentacion, entonces, para poner en practica un disenobasado en realimentacion de estado, sera necesario estimar las variables de es-tado no medibles, la cual puede ser efectuada mediante el uso de estimadoresde estado.

Un estimador de estado es un subsistema del sistema de control que lleva acabo una estimacion de las variables de estado, a partir de las mediciones delas variables de salida y de control. Un diagrama de bloques de un sistema decontrol con estimador se puede observar en forma de diagrama de estados en laFigura .

Figura 12: Sistema de variables de estado con estimador.

8.1 Estimador de Prediccion 24

8.1. Estimador de Prediccion

A fin de poder estimar dichas variables de estado, el estimador debe sercapaz de obtener x(k + 1) en terminos de y(k), y(k − 1), ..., y(k − n + 1) yu(k), u(k − 1), ..., u(k − n + 1), esto es, estimar el siguiente estado midiendolas variables de salida y la de control. En otras palabras, el sistema debe sercompletamente observable.

Es conveniente que el estado real x(k) y el estimado x(k) sean tan proximoscomo posible.

8.2. Procedimiento de Diseno

Considerando el sistema de control de variables de estado. Se supone que elsistema es de estado completamente controlable y observable. Se disena un esti-mador de estados de modo a poder llevar a cabo en la practica la realimentacionde estados.

1. Disenar primeramente los polos deseados en lazo cerrado del sistema.

2. Seleccionar los polos del observador deseados.

3. Determinar la matriz Ke dependiendo del estimador que se desee uti-lizar, de manera a obtener estos polos. Es posible utilizar la formula deAckerman modificada para el calculo de la matriz de realimentacion delestimador, Ke.

4. Implementar el controlador.

8.3 Implementacion del estimador de prediccion 25

8.3. Implementacion del estimador de prediccion

La respuesta del sistema al diseno del control por estimador de estados es:

Figura 13: Respuesta Estimador de Prediccion

8.4. Conclusion

La respuesta del sistema por este metodo es bastante mas precisa que encontrol clasico, se puede ver como las oscilaciones que tenıan en los controlesanteriores son casi totalmente eliminados, ademas se mejora el tiempo de asen-tamiento del sistema.

Tambien se realizo varias matrices de ganancia de realimentacion del ob-servador Ke basandonos en varias ecuaciones caracterısticas deseadas distintas.Para cada una de las matrices diferentes, se llevo a cabo pruebas de simulaciona fin de evaluar el desempeno resultante del sistema. La seleccion de la mejormatriz Ke se reduce a un punto intermedio entre una respuesta rapida y lasensibilidad a perturbaciones y ruido.

9 Control Kalman 26

9. Control Kalman

El filtro de Kalman es un conjunto de ecuaciones matematicas que provee unasolucion computacional eficiente del metodo de los mınimos cuadrados. Es muypotente en varios aspectos: soporta estimacion del pasado, presente y aun de losestados futuros y puede seguir haciendolo aun cuando la naturaleza precisa delsistema modelado es desconocida.

Se considera la planta discreta:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k) +B1w(k) (25)

con ecuacion de medida:

y(k) = Cx(k) + v(k) (26)

Donde el ruido del proceso w(k) y de medida v(k) son procesos aleatorioscon media cero.

Esto es, εw(k) = εv(k) = 0 y no tienen correlacion temporal o ruido blanco,poseen covarianza o niveles de ruido cuadratico definidos por:

εw(k)wT (k) = Rw εv(k)vT (k) = Rv (27)

El filtro estima el proceso en un tiempo y obtiene la realimentacion de lamedida (con ruido) en otro. Los procesos son llamados actualizacion entre lasmedidas y actualizacion en el tiempo de medida. La actualizacion entre lasmedidas es la encargada de proyectar el siguiente estado considerando el ruidode la planta y la actualizacion en el tiempo de medida es responsable de larealimentacion, incorporando la medida actual junto con la salida estimada parade nuevo volver a la actualizacion entre las medidas.

9.1. Procedimiento de diseno

Se supone que el sistema es de estado completamente controlable y observ-able. Se disena un estimador de estados optimo de modo a poder llevar a caboen la practica la realimentacion de estados optima.

1. Disenar las matrices de peso Q1 y Q2 de modo a determinar la gananciaK optima del sistema de realimentacion de estados.

2. Dar valores a Rw y Rv y calcular la matriz de realimentacion optima L.

3. Implementar el controlador.

9.2 Implementacion del Controlador 27

9.2. Implementacion del Controlador

La respuesta del sistema con el control con el filtro de kalman, esta dadopor:

Figura 14: Respuesta del sistema con el Control con el filtro de Kalman

9.3. Conclusion

La respuesta del compensador es bastante buena, como se puede ver la salidatiene una oscilacion con respecto a la referencia, se tuvo dificultad para dar lospesos, se hallo el valor pico maximo en el sensor de ultrasonido y de acuerdo aeso se pudo definir v(k), el error de medida.

Referencias

[1] Ingenierıa de Control Moderna, 4o Edicion, Katsuhiko Ogata, Prentice Hall.

[2] Sistemas de Control en Tiempo Discreto, 2o Edicion, Katsuhiko Ogata,Prentice Hall.

[3] Evaluacion de Algoritmos de Control Digital Industrial, Tesis, Piero CodasMorselli.

[4] Mecanica de Fluidos, 6o Edicion, Robert L. Mott.