CONTROL DE PROCESOS

VARIABLES DE ESTADO

- 2011 -

Balance para el tanque 2

2

12222 ;

R

hhq

dt

dhAqq iie

1

11

1111 ;

R

hq

dt

dhAqqq ssie

Balance para el tanque 1

qe2 qe1

A2 A1R2

R1

qs1qi

h2 h1

Recordando que

Se puede representar como:

2e22221212

2

1e12121111

1

qbhahadt

dhh'

qbhahadt

dhh'

2e

1e

2

1

2

1

2221

1211

2

1

q

q

0

0

h

h

aa

aa

h'

h'

b

b

Indicando a la integral por 1/s

qe1

qe2

b1 1/s 1h1

b2 1/s 1

h2

a11

a22

a21a12

t),u,...,u,u,x,...,x,(xfx'

............................................................

t),u,...,u,u,x,...,x,(xfx'

t),u,...,u,u,x,...,x,(xfx'

r21n21nn

r21n2122

r21n2111

t),u,...,u,x,....,(xgy

.............................................

t),u1,...,u,x,....,(xgy

r1n1mm

rn111

rnr11nnnn22n11nn

rr1111n12221111

ub...ubxa....xaxax'

...................................................................

ub....ubxna...xaxax'

rmr11mnmn2m21m1m

rr1111nn12121111

ud...udxc...xcxcy

..........................................................

ud...udxc...xcxcy

r

1

nr1n

r111

n

1

nn1n

n111

n

1

u

..

u

b..b

......

b..b

x

..

x

a..a

......

a...a

x'

..

x'

X’=AX+BU

r

1

mr1m

r1111

mn1m

n111

m

1

u

..

u

d..d

......

d..d

..

c..c

......

c..c

y

..

y

nx

x

Y=CX + DU

El uso de la representación en espacio de estado es que permite representar el modelo de sistemas tanto continuos como discretos, lineales o no lineales variables o invariantes en el tiempo, siempre en notación matricial.Pudiendo representar al sistema como:

DBAIsCsG 1)(

D

B dt CU Yx’ x

A

x’=Ax+Bu

y=Cx+Ducon salida

y función de transferencia

Veremos distintas formas de representación de sistemas Sea un sistema con función de transferencia:

012

23

3

2210

)()(

(asasasa

sbsbbsXsY

sF

Por fórmula de Mason:

...1)(

jii

kk

LLL

CPsF

Por lo tanto, si podemos llevarla a la misma forma nos será mas fácil poder representarla.

330

23132

322

313

3

1)(

saasaasaasabsabsab

sF o

330

23132

322

313

3

1)(

saasaasaasabsabsab

sF o

A partir de la misma podemos determinar los lazos, caminos directos y cofactores. Especificando primero que todos los lazos pasen por x’3

saaL 321

2312 saaL

3303 saaL

3301 sabP

2312 sabP

sabP 323

11 C

12 C 13 C

u x3’ x3 x2’ x2 x1’ x1 y11 1/s 1/s 1/s1-a2/a3

-a1/a3

-a0/a3

b2/a3

b1/a3

b0/a3

Escribiendo las ecuaciones de estado, obtenemos:x1’= x2

x2’= x3

x3’= -(a0/a3) x1 - (a1/a3) x2 - (a2/a3) x3 + u

Como en forma matricial sabemos que x’=Ax+Bu y=Cx+Du

323130

100

010

aaaaaa

A

1

0

0

B

323130 abababC 0D

Si ahora querenos que todos los lazos toquen x1:

saaL 321

2312 saaL

3303 saaL

3301 sabP

2312 sabP

sabP 323

11 C

12 C

13 C

u x3’ x3 x2’ x2 x1’ x1 y1/s 1/s 1/s1 1 1

b2/a3

b1/a3

b0/a3

-a2/a3

-a1/a3

-a0/a3

Escribiendo las ecuaciones de estado, obtenemos:x1’= - (a2/a3) x1 + x2 + 0 x3 + (b2/a3) ux2’= - (a1/a3) x1 + 0 x2 + x3 + (b1/a3) ux3’= - (a0/a3) x1 + 0 x2 + x3 + (b0/a3) u

Como en forma matricial sabemos que x’=Ax+Bu y=Cx+Du

00

10

01

30

31

32

aa

aa

aa

A

001C

30

31

32

ab

ab

ab

B

0D

En la siguiente configuración, todos los lazos se tocan en x1 , pero los caminos se unen a la salida:

Debemos encontrar los valores de los para que se verifique la misma funciónde transferencia.

2 1

u 1 x3́ 1 /s x3 1 x2́ 1/s x2 1 x 1́ 1/s x1 0Y

- a0 / a3 - a1 / a3 - a2 / a3

Si buscamos los caminos, lazos y cofactores, obtenemos:

saaL 321

2312 saaL

3303 saaL

212 sP

sP 23

11 C

saaC 322 1

231323 1 saasaaC

301 sP

Como vemos en este caso los cofactores NO son unitarios, lo que lleva a aumentar la complejidad de la resolución.

Y(s) b0 + b1 s + b2 s 2

F(s) = = = U(s) a3 s

3 + a2 s

2 + a1 s + a0

0/ s3 + 1 /s

2 ( 1 + a2 / a3 s)+ 2 s ( 1 + a2/a3s + a1 / a3 s2 )

= 1 + a2 /a3 s + a1 /a3 s

2 + a0 /a3 s3

0 a3+ 1 ( a3s + a2 )+ 2 ( a3 s2 + a2 s + a1 )

= a3 s

3 + a2 s

2 + a1 s + a0

Distribuyendo y comparando los términos de igual orden, obtenemos:

bo = 0a3 + 1a2 +2a1

b1 = 1a3 + 2a2

b2 = 2a3

3 ecuaciones con 3 incógnitas, podemos resolverlo , obteniendo:

2 = b2/a3

1 = b1/a3 - (b2/a3)a2

0 = b0 - [b1/a3 - (b2/a3)a2] - b2

En términos de variables de estado obtenemos:

x1’= - (a2/a3) x1 + x2 + 0 x3 + 0 ux2’= - (a1/a3) x1 + 0 x2 + x3 + 0 ux3’= - (a0/a3) x1 + 0 x2 + x3 + 1 u

u

x

x

x

aa

aa

aa

x

x

x

*

1

0

0

3

2

1

*

00

10

01

'3

'2

'1

30

31

32

ux

x

x

y 0

3

2

1

*210

El siguiente ejemplo descompone a la función de transferencia en fracciones parciales:(Sistema desacoplado)

)()()()()(

(3

3

2

2

1

1

012

23

3

2210

pspspsasasasasbsbb

sXsY

sF

x1´ 1/s x1

p1

1 1

1 x2´ 1/s x2 2

u y p2

1 3

x3´ 1/s x3

p3

En término de variables de estado, obtenemos:

x1’ = p1x1 + ux2’ = p2x2 + ux3’ = p3x3 + u

u

x

x

x

p

p

p

x

x

x

*

1

1

1

3

2

1

*

00

00

00

'3

'2

'1

3

2

1

La salida viene dada por y=Cx+Du :

ux

x

x

y 0

3

2

1

*321

Caso donde la función de transferencia tiene un par de polos complejos conjugados:

Podemos considerar al bloque como:

)()2(

1(

3

322

21

3012

23

3

2210

pswnwnsss

aasasasasbsbb

sF

)/()2(1)2( 22

221

2221

swnswnss

wnwnsss

)/(1)( 3

3

3

3

sps

ps

Por lo tanto el diagrama en flujo queda de la forma:

1/sx2’ x2 x1’ x11/s11/a3

-2wn

2

1

yu

-wn2

1/s

p3

x3’ x3

3

1/a3

En término de variables de estado, obtenemos:

x1’ = x2

x2’ = -wn2x1 - 2wnx2 + (1/a3)ux3’ = p3x3 + (1/a3)u

u

a

a

x

x

x

p

wnwn

x

x

x

*

/1

/1

0

3

2

1

*

00

02

010

'3

'2

'1

3

3

3

2

La salida viene dada por y=Cx+Du :

ux

x

x

y 0

3

2

1

*321