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Control de un robot manipulador aplicado a la reparación de tuberías hidrosanitarias Jorge Carlos Orozco Martínez Tutores Ing. Diego Alejandro Patiño Guevara, Ph.D Ing. Julián Colorado Montano, Ph.D Trabajo de grado para optar el título de Magister en Ingeniería Electrónica Pontificia Universidad Javeriana Facultad de Ingeniería Maestría en Ingeniería Electrónica Bogotá, noviembre de 2015
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Control de un robot manipulador aplicado a la reparación de tuberías
hidrosanitarias
Jorge Carlos Orozco Martínez
Tutores
Ing. Diego Alejandro Patiño Guevara, Ph.D
Ing. Julián Colorado Montano, Ph.D
Trabajo de grado para optar el título de Magister en Ingeniería Electrónica
Pontificia Universidad Javeriana
Facultad de Ingeniería
Maestría en Ingeniería Electrónica
Bogotá, noviembre de 2015
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Tabla de contenido
Tabla de figuras ................................................................................................................................... 3
Lista de Tablas ..................................................................................................................................... 4
CAPÍTULO 1 ......................................................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 5
Descripción general del diseño de la arquitectura de control para el robot manipulador. ........... 6
CAPÍTULO 2 ......................................................................................................................................... 8
ESTRUCTURA DEL ROBOT MANIPULADOR Y DISEÑO DE LA TRAYECTORIA ....................................... 8
2.1 Estructura del robot manipulador ............................................................................................. 8
2.1.1 Modelo en SimMechanics ................................................................................................ 11
2.2 Diseño de la trayectoria y cálculo de la referencia ................................................................ 11
2.2.1 Requerimientos de diseño de la trayectoria .................................................................... 11
2.2.2 Planeación de Trayectorias .............................................................................................. 13
2.2.3 Cálculo de la referencia .................................................................................................... 17
CAPITULO 3 ....................................................................................................................................... 19
ESTRATEGIA DE CONTROL ................................................................................................................. 19
3.1 Modelos Linealizados .............................................................................................................. 19
3.2 Diseño del controlador ............................................................................................................ 22
3.2.1 LPV-Control (Linear Parameter-Varying) mediante Gain Scheduling. ............................. 23
3.3. Desempeño de la estrategia de controlador.......................................................................... 27
3.3.1 Desempeño del controlador LQR ..................................................................................... 28
3.3.2 Desempeño del controlador LPV ..................................................................................... 33
3.4 Interfaz gráfica para el diseño y control de trayectoria .......................................................... 35
CAPÍTULO 4 ....................................................................................................................................... 37
INTEGRACIÓN DEL BRAZO MANIPULADOR CON INSPECTOR YNAMI Y ESTIMACIÓN DE
ACTUADORES .................................................................................................................................... 37
4.1 Integración del brazo manipulador con inspector Ynami. ...................................................... 37
4.2 Estimación de actuadores ....................................................................................................... 40
CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 45
Bibliografía ........................................................................................................................................ 47
3
Tabla de figuras Figura 1. Diagrama de bloques general del robot manipualdor con sistema de control. .................. 6
Figura 2. Izquierda (croquis de la base)-Derecha (base extruida)....................................................... 9
Figura 3.Izquierda (croquis de primer eslabón-Hombro)-Derecha (primer eslabón-Hombro
extruida). ............................................................................................................................................. 9
Figura 4. Izquierda (croquis de segundo eslabón-Codo)-Derecha (segundo eslabón-Codo extruida. 9
Figura 5. Izquierda (croquis de tercer eslabón-Muñeca)-Derecha (tercer eslabón-Muñeca extruida).
........................................................................................................................................................... 10
Figura 6. Modelo del brazo manipulador para desarrollar tareas de reparación de tuberías
hidrosanitarias. .................................................................................................................................. 10
Figura 7. Tarea de reparación (lijado) ............................................................................................... 12
Figura 8. Efector final (cepillo tipo brocha) [10]. .............................................................................. 12
Figura 9. Vista frontal y lateral de la trayectoria en el tubo. ............................................................ 14
Figura 10. Trayectoria muestreada. .................................................................................................. 14
Figura 11.Trayectoria spline [13]. ..................................................................................................... 15
Figura 12. Trayectoria en coordenadas cartesianas espaciales. ....................................................... 16
Figura 13. Trayectoria en la pared del tubo. ..................................................................................... 17
Figura 14. Jacobiano de un manipulador. ......................................................................................... 17
Figura 15. Valores articulares para trayectoria de la tarea de lijado y relleno. ................................ 18
Figura 16. Arquitectura de control. ................................................................................................... 19
Figura 17. Autovalores de los modelos lineales alrededor de cada punto de la trayectoria. ........... 21
Figura 18. Diagrama de Bode de los modelos lineales alrededor de cada punto de la trayectoria. 22
Figura 19.Esquema de control LPV. ................................................................................................... 24
Figura 20. Valores de la primera fila de la matriz K para los 173 controladores. ............................. 25
Figura 21.Valores de la segunda fila de la matriz K para los 173 controladores. ............................. 25
Figura 22. Valores de la tercera fila de la matriz K para los 173 controladores. .............................. 26
Figura 23. Superficie de ganancias K a interpolar. ............................................................................ 27
Figura 24.Superficie de ganancia K a interpolar................................................................................ 27
Figura 25. Esquema de control para implementar control LQR........................................................ 28
Figura 26. Respuesta del modelo lineal y del modelo mecánico en SimMechanics para la primera
articulación. ....................................................................................................................................... 29
Figura 27.Respuesta del modelo lineal y del modelo mecánico en SimMechanics para la segunda
articulación. ....................................................................................................................................... 29
Figura 28.Respuesta del modelo lineal y del modelo mecánico en SimMechanics para la tercera
articulación. ....................................................................................................................................... 29
Figura 29. Respuesta del sistema con ruido de +/- 2 mm en sensor lineal y +/- 1 grado en el sensor
rotacional. ......................................................................................................................................... 31
Figura 30. Traza de Nyquist para los tres estados controlados con masa de +25% del valor nominal
del robot. ........................................................................................................................................... 32
Figura 31. Traza de Nyquist para los tres estados controlados con masa de - 25% del valor nominal
del robot. ........................................................................................................................................... 32
4
Figura 32. Respuesta de las tres articulaciones para trayectoria diseñada. ..................................... 33
Figura 33. Respuesta del sistema en coordenadas XYZ. ................................................................... 34
Figura 34. Respuesta del sistema en coordenada XYZ con ruido de +/- 2 mm en sensor lineal y +/- 1
grado en el sensor rotacional. ........................................................................................................... 35
Figura 35. Pestaña para cálculo de trayectoria. ................................................................................ 35
Figura 36. Pestaña para calcular cinemática inversa. ....................................................................... 36
Figura 37. Pestaña de resultados. ..................................................................................................... 36
Figura 38. Brazo manipulador para reparación - Plataforma de inspección Ynami. ......................... 37
Figura 39. Integración de brazo manipulador con inspector Ynami. ................................................ 37
Figura 40. Área de cobertura de plataformas integradas. ................................................................ 38
Figura 41. Respuesta de las tres articulaciones del robot manipulador para trayectoria de Figura
12. ...................................................................................................................................................... 39
Figura 42. Trayectoria de referencia vs Trayectoria del TCP con plataformas integradas. .............. 39
Figura 43. Diagrama de movimientos del efector final [24]. ............................................................ 41
Figura 44. Delta de área del efector final [24]. ................................................................................. 41
Figura 45. Torque requerido por articulación muñeca. .................................................................... 43
Figura 46. Torque requerido por articulación codo. ......................................................................... 43
Figura 47. Torque requerido por articulación Muñeca. .................................................................... 44
Lista de Tablas Tabla 1. Características físicas del brazo manipulador PRP. ............................................................. 10
Tabla 2. Características efector final [10].......................................................................................... 13
Tabla 3. Resultados de la prueba de error tracking, tiempo de establecimiento y sobrepico. ........ 30
Tabla 4. Resultados prueba de robustez con ruido en el sensor. ..................................................... 31
Tabla 5. Características de la respuesta del control LPV. .................................................................. 34
Tabla 6. Característica de respuesta del brazo manipulador integrado con inspector Ynami. ........ 40
Tabla 7. Actuadores para articulaciones. .......................................................................................... 44
5
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
La salud estructural de las tuberías hidrosanitarias es de mucha relevancia para las empresas que
se encargan de su funcionamiento por la importancia de estos sistemas para el desarrollo de una
ciudad, por lo tanto requieren de inspección de forma periódica y reparación cuando sea
necesario. Estas labores de inspección y reparación ha sido posible desarrollarlas a través de los
años con la implementación de una serie de tecnologías, entre las que se destacan, los robots de
inspección de alcantarillado, tecnología en la que se ha centrado el desarrollo de estructuras de
inspección y reparación tanto a nivel nacional como a nivel internacional [1] .
Para la tarea de reparación se han desarrollado múltiples investigaciones y desarrollos como los
descritos en [2], [3], [4], [5], donde se proponen varias tecnologías de reparación de tuberías,
entre las que se encuentra: método de "encamisado". Esta es una de las primeras formas de
revestimiento estructural continuo donde se inserta un nuevo ducto de menor diámetro en la
tubería defectuosa y el anillo es cementado. Aplicación de sellos o resinas, esta reparación se
realiza mediante un robot que realiza la reparación de grietas y fisuras con la inyección de resinas
y emulsiones fluidas que posteriormente se endurecen. Además, de acuerdo con el tamaño,
profundidad y ubicación de las fisuras o grietas se utilizan resinas epóxicas, de poliuretanos,
minerales y orgánicas, pasta de cemento, entre otras para la reparación de tuberías. Otra
alternativa de reparación es la implementada cuando el tubo muestra signos leves de deterioro,
en estos casos es posible repararlos empleando una técnica llamada "Spray-en Lining".
En las investigaciones [2], [3], [4], [5], se expresa la necesidad de seguir desarrollando
investigaciones donde se propongan desarrollos de nuevas plataformas de reparación, necesidad
que también es expresada desde la industria, como se evidencia en el informe de avance del
proyecto Ynami [6], donde la empresa dedicada al mantenimiento de tuberías hidrosanitarias,
Hidráulica y Urbanismo Ltda (HyU Ltda), expresa la necesidad de desarrollar estructuras robóticas
para la reparación de tuberías hidrosanitarias.
Ante las necesidades de desarrollar estructuras de reparación de tuberías hidrosanitarias
expresadas anteriormente en [2], [3], [4], [5], [6], y ante la no existencia en el mercado de
estructuras de reparación de tuberías hidrosanitarias que sean lo más autónoma y lo más eficiente
posible, que puedan ser controladas desde sistemas de control tele-operados, que exista el uso
innovador de micro-sensórica, que cuente con características para desarrollar tareas específicas
previamente definidas, que lleven a implementar menor tiempo, mayor eficiencia y por ende
menor costo para las empresas que se beneficien de la plataforma robótica de exploración y
reparación de tuberías hidrosanitarias, la Pontifica Universidad Javeriana (PUJ) en convenio con la
empresa Hidráulica y Urbanismo Ltda (HyU Ltda), la Universidad Militar Nueva Granada (UMNG) y
COLCIENCIAS, deciden desarrollar una plataforma de inspección y reparación de tuberías
hidrosanitarias llamada Ynami.
Razón por la cual la UMNG propone el desarrollo del modelo de un robot de reparación de
tuberías hidrosanitarias, que sirva como alternativa para dar solución a la plataforma de
reparación que se requiere en el proyecto Ynami. Estructura robótica que requiere de un
6
generador y control de trayectorias, lo que justifica el desarrollo del sistema de control propuesto
en este trabajo para el robot manipulador desarrollado en Ynami, y contribuir en gran medida a
dar solución con la necesidad que está presentando la empresa Hidráulica y Urbanismo Ltda (HyU
Ltda) y la industria del sector.
Descripción general del diseño de la arquitectura de control para el robot manipulador. En este apartado se presentan cada una de las etapas necesarias para dar solución al sistema de
control para la plataforma de reparación de tuberías hidrosanitarias propuesta en este trabajo.
Etapas que se muestran en la Figura 1.
.
Figura 1. Diagrama de bloques general del robot manipualdor con sistema de control.
La plataforma de reparación descrita en la Figura 1, está compuesta por una serie de etapas que
serán desarrolladas por capítulos a lo largo de todo este documento, pero que serán descritas de
una manera general a continuación, para tener una idea de cada una de ellas.
En el segundo capítulo de este documento, se describe el robot manipulador al que se le
implementó el sistema de control propuesto en este trabajo, así como también, el desarrollo de
los bloques de la Figura 1 correspondientes a: diseño de la trayectoria y cálculo de la referencia. El
diseño de la trayectoria parte de las tareas de reparación que debe desarrollar el brazo
Robot Manipulador
Diseño de la trayectoria
Calculo de Referencia
Control de referencia
Control de estados
Estados del sistema
Estados a controlar
Plataforma de inspección Ynami
Plataforma de reparación
Integración
Estimación de actuadores
7
manipulador, y el cálculo de la referencia sería, hallar el conjunto de ángulos y/o desplazamientos
articulares que darían como resultado la posición de efector final en la trayectoria deseada.
En el cuarto capítulo, se desarrollan los bloques correspondientes al sistema de control de
referencia y control de estados. Se propone una estrategia de control para el control de la
dinámica del brazo manipulador, y así, el TCP (Tool Center Point) pueda seguir una referencia que
se le indique. Además, se muestra una validación de la estrategia de control diseñada.
Finalmente, en el quinto capítulo se muestra el desarrollo del bloque correspondiente a
estimación de actuadores, se presenta la estimación de los actuadores que se requieren para el
diseño del robot manipulador propuesto. Además, se presenta la integración de la plataforma de
reparación descrita en este trabajo con la plataforma de inspección del proyecto Ynami en un
ambiente de simulación, para realizar la validación de estas dos plataformas integradas al
implementar el sistema de control desarrollado.
8
CAPÍTULO 2 ESTRUCTURA DEL ROBOT MANIPULADOR Y DISEÑO DE LA TRAYECTORIA
2.1 Estructura del robot manipulador
La estructura robótica utilizada para realizar la implementación del sistema de control propuesto
en este trabajo, es un modelo PRP(prismático, rotacional, prismático) planteado por parte de la
Universidad Militar Nueva Granada en el proyecto Ynami [6], dicha estructura requería de la
implementación de un sistema de control, para el control de una trayectoria que le permitiera al
robot realizar tareas de reparación en tuberías hidrosanitarias como el lijado de la pared del tubo
y la aplicación de resinas epóxica. A continuación se presenta una descripción de la estructura del
robot manipulador implementado en este trabajo. El brazo manipulador lo conforma una cadena
articular que está dividida en:
Base: permite movimiento traslacional sobre ella, para que el robot pueda desplazarse a lo largo
del tubo, la base se observa en la Figura 2. Izquierda (croquis de la base)-Derecha (base
extruida).Figura 2.
Primer eslabón (Hombro): desarrolla movimientos traslacionales sobre la base descrita en la
Figura 2 conformando así, el primer grado de libertad. Además, permite desarrollar movimientos
rotacionales por su eje rotacional en uno de sus extremos. Esta articulación se muestra en la
Figura 3.
Segundo eslabón (Codo): desarrolla movimientos rotacionales, utilizando como eje de rotación el
punto de rotación del primer eslabón, conformando así, el segundo grado de libertad, y poder
ubicarse en el ángulo requerido para alcanzar un punto en la pared del tubo Además, permite
movimientos traslacionales en uno de sus extremos. Esta articulación se muestra en la Figura 4.
Tercer eslabón (Muñeca): desarrolla movimientos traslacionales, utilizando como eje de traslación
el segundo eslabón, conformando así, el tercer grado de libertad para asegurar que el efector final
llegue a la pared del tubo de manera ortogonal y pueda desarrollar la tarea de lijado de manera
uniforme. Esta articulación se muestra en la Figura 5.
El modelo del robot manipulador fue suministrado como un modelo CAD en SolidWorks.
9
Base del brazo manipulador
Figura 2. Izquierda (croquis de la base)-Derecha (base extruida).
Primer Eslabón- Hombro
Figura 3.Izquierda (croquis de primer eslabón-Hombro)-Derecha (primer eslabón-Hombro extruida).
Segundo Eslabón- Codo
Figura 4. Izquierda (croquis de segundo eslabón-Codo)-Derecha (segundo eslabón-Codo extruida.
Tercer Eslabón- Muñeca
10
Figura 5. Izquierda (croquis de tercer eslabón-Muñeca)-Derecha (tercer eslabón-Muñeca extruida).
Siendo el robot manipulador utilizado en este proyecto el presentado en la ¡Error! No se
ncuentra el origen de la referencia..
Figura 6. Modelo del brazo manipulador para desarrollar tareas de reparación de tuberías
hidrosanitarias.
Las características físicas de robot manipulador son las presentadas en la Tabla 1.
Tabla 1. Características físicas del brazo manipulador PRP.
Eslabón Masa(Kg) Dimensiones (Cm) (largo X ancho)
Base 12.6862 59 X 15
Primer eslabón-hombro 3.73702 16.5 X 12
Segundo eslabón- codo 1.62412 14.5 X 7
Tercer eslabón-mano 0.480623 12.13 X 5
De acuerdo con la Tabla 1, el brazo manipulador retraído tiene una longitud vertical de 35.73 cm.
Además, cabe resaltar que le material con el que fue fabricado este robot fue acero inoxidable AISI
316L nitrurado con plasma porque la estructura diseñada debe cumplir con un nivel de protección
IP68, teniendo en un cuenta que el ambiente de trabajo es hostil como lo expresan en el informe
de Ynami [6], y en [7].
11
2.1.1 Modelo en SimMechanics
Luego de tener el modelo CAD en SolidWorks del brazo manipulador a controlar, se hace uso del
Toolbox SimMechanics de Simulink en Matlab, herramienta que permite exportar modelos CAD
desde SolidWoks al entorno de diagramas de bloques de Simulink. El modelo CAD del robot es
exportado a Simulink porque es un ambiente de simulación donde se puede realizar el análisis de
sus características físicas, dinámicas, estáticas entre otras, así como también, donde se puede
realizar la implementación del sistema de control que se propone en este trabajo. Requerimientos
que son de mucha utilidad para dar solución al trabajo propuesto.
2.2 Diseño de la trayectoria y cálculo de la referencia
Esta sección se divide en dos etapas, la primera corresponde a la planeación o diseño de la
trayectoria y la segunda, corresponde al cálculo de la referencia que tendrá el robot manipulador,
referencia calculada a partir de la trayectoria planeada.
2.2.1 Requerimientos de diseño de la trayectoria
Para el diseño de la trayectoria que el robot debe seguir se parte de una serie de requerimientos
entre los que se encuentran:
Diámetro de las tuberías en las que debe trabajar el robot
Tareas de reparación que debe realizar y grados de libertad
Tipo de trayectoria
Para el requerimiento del diámetro de la tubería en donde debe trabajar el brazo manipulador, se
estableció que el robot debe estar en capacidad de trabajar en tuberías entre 16 y 60 pulgadas de
diámetro como lo estable la empresa H&U en el informe de avance Ynami [6], donde expresa que
este rango de diámetros de tuberías es el de mayor uso para tuberías hidrosanitarias.
Seguidamente, se muestra el segundo requerimiento de diseño de la trayectoria: tareas de
reparación.
12
Tarea de lijado
Figura 7. Tarea de reparación (lijado)
La Figura 7 sirve como ilustración para la tarea de lijado. Esta tarea parte de tener una fisura en la
pared del tubo, fisura detectada teniendo en cuenta la normativa colombiana del acueducto de
Bogotá NS058 de inspección y detección de fallas en tuberías hidrosanitarias. La fisura puede ser
de tipo radial o longitudinal, y es necesario realizar un lijado a su alrededor, en una área
determinada, que permita remover todas las irregularidades o asperezas de diferentes alturas
como las intrusiones o incrustaciones que se generan por el flujo de aguas residuales, y que
impiden la correcta aplicación de resina epóxica para realizar la reparación, como lo sugiere el
informe de avance Ynami [6], el trabajo presentado en [8] por Carlos Pupo y el fabricante de resina
epóxica Sika en [9].
Para cumplir con los requerimientos de la tarea de lijado descrita anteriormente, es necesario la
implementación de un efector final que permita realizar la labor de fresado del área alrededor de
la fisura, para la elección de esta herramienta se tuvo en cuenta el concepto brindado en el
informe de avance Ynami [6] y otras sugerencias realizadas por los ingenieros a cargo del
desarrollo del proyecto Ynami. La herramienta seleccionada es un cepillo de alambre tipo brocha
de la marca Tenazit como el que se muestra en la Figura 8, y que tiene la características que se
muestran en la Tabla 2, características que sirven para el diseño de la trayectoria que se describe
más adelante.
Figura 8. Efector final (cepillo tipo brocha) [10].
13
Tabla 2. Características efector final [10]. Tipo de alambre Dimensiones Max Rpm
Diámetro Calibre alambre Vástago
4500 ondulado
1” (2.54cm)
0.0014 ¼”
(6.4 mm)
Tarea de relleno
Posterior a la tarea de lijado se desarrolla la tarea de relleno, esta tarea consiste en posicionar el
efector final en las coordenadas donde se encuentra la fisura, con la finalidad de inyectar una
resina o mortero epóxico en esta zona y así, realizar la reparación del tubo.
Teniendo en cuenta las condiciones ambientales en las que se debe realizar la aplicación de la
resina, así como lo presentado en [8] y las sugerencias hechas por los ingenieros de desarrollo del
proyecto Ynami, se establece que la resina adecuada para realizar el relleno de la fisura o grieta es
la “Sikadur-35 HI MOD LV” y la “Sikadur Injection Gel”, que para su correcta aplicación en la
inyección de grietas a presión es necesario la implementación de herramientas de inyección
automáticas como lo sugiere el fabricante Sika en [9] y [11].
Además, se estableció que el robot manipulador debe estar en capacidad de desarrollar
trayectorias de tipo rectilínea y curvilínea, teniendo en cuenta que el especio de trabajo es la
pared del tubo, la cual presenta características curvas y rectilíneas.
2.2.2 Planeación de Trayectorias
El objetivo que se busca con la planeación de la trayectoria es que dado un punto inicial del robot,
¿Qué camino debe seguir para llegar a su posición final? , cumpliendo con unas limitaciones
cinemáticas (rango de las articulaciones) y dinámicas (velocidades y aceleraciones).
Para el caso del trabajo propuesto, el camino que debe seguir el robot depende de las tareas de
reparación descritas en la sección 2.2.1. La primera tarea de reparación corresponde al lijado del
área donde se encuentra la fisura, el robot debe estar en capacidad de seguir una trayectoria con
el TCP que le garantice a la herramienta de fresado cubrir toda el área a lijar. Para determinar el
tamaño del área a lijar se tuvo en cuentan la existencia de algunas restricciones en cuanto a las
dimensiones de la fisura como lo presentan en el informe de avance Ynami en [6], donde se
expone que las dimensiones de las fisuras a reparar con esta propuesta, oscilan entre los 5 cm y
los 15 cm de longitud. A partir, de las dimensiones de la fisura y teniendo en cuenta las
sugerencias realizadas por los ingenieros de desarrollo del proyecto Ynami de acuerdo con su
experiencia, se estableció que el área a lijar alrededor de la fisura debe ser 20 cm x 20 cm.
Teniendo en cuenta el área a lijar y el área que cubre la herramienta de fresado (2.5 cm de
longitud), se estableció que la trayectoria debe tener la forma que se muestra en la Figura 9.
Estableciendo así, el camino que debe seguir el brazo manipulador.
14
Figura 9. Vista frontal y lateral de la trayectoria en el tubo.
Cabe resaltar que la trayectoria para la tarea de lijado es la misma que se utilizará para la tarea de
relleno, porque el área a cubrir es la misma. Definida la forma y dimensiones de la trayectoria, se
define qué tipo de trayectoria cartesiana es la más adecuada para satisfacer este requerimiento.
Se sabe que el robot debe mover su TCP desde un punto inicial a un punto final. Este movimiento
podría ser realizado según infinitas trayectorias espaciales. De todas ellas hay algunas que, bien
por su sencillez de implementación o bien por su utilidad y aplicación a diversas tareas, son las que
en la práctica incorporan los robots comerciales. De este modo, puede encontrarse que los robots
dispongan de trayectorias punto a punto o trayectorias continuas [12]. Para el caso de este
proyecto se implementarán trayectorias continuas por las tareas que se van a desarrollar (lijado y
relleno).
El paso siguiente es el muestreo de la trayectoria con el fin de obtener un número finito de puntos
en esa trayectoria en coordenadas (X, Y, Z). Para el trabajo propuesto el muestreo de la trayectoria
se realiza a partir de la posición de la fisura en coordenadas (X, Y, Z) en la pared del tubo, teniendo
en cuenta la forma circula del tubo, se hace uso de las funciones trigonométricas para ubicar los
puntos que muestrean la trayectoria alrededor de la fisura, pero garantizando la forma de Figura
9. Quedando la trayectoria muestreada como se muestra en la Figura 10.
Figura 10. Trayectoria muestreada.
0
5
10
15
20
5
10
15
20
25-10
-5
0
5
10
X(cm)Y(cm)
Z(c
m)
15
Con la trayectoria muestreada, es necesario interpolarla con la finalidad de unir los puntos
obtenidos en el muestreo para garantizar que la trayectoria sea continua. Para lograrlo se
seleccionó una función polinómica cuyos parámetros o coeficientes se ajustarán al imponer las
condiciones de contorno: posición, velocidades. El tipo de interpolador que se utilizó fue el
interpolador cúbico (spline), porque la pared del tubo es curva y los splines permiten tener
movimientos suavizados que se ajustan a la característica de la pared del tubo.
El interpolador cúbico spline consiste en un conjunto de polinomios concatenados, asegurando
que la trayectoria que une los puntos presenta continuidad en posición y velocidad. Describiendo
como se calcula la trayectoria con interpoladores a tramos (spline), se tiene que la expresión de la
trayectoria que une dos puntos adyacentes (𝑃𝑖, 𝑃𝑖+1) se define dada una función S (t) definida en
el intervalo de tiempo [to, tn] y un conjunto de nodos P0=to<t1 <....<tn =Pn [13], como se muestra
en la Figura 11.
Figura 11.Trayectoria spline [13].
El polinomio que describe la trayectoria entre un punto de control y otro es expresado como [13].
𝑆(𝑡) = 𝑎𝑖𝑡3 + 𝑏𝑖𝑡
2 + 𝑐𝑖𝑡 + 𝑑𝑖
(3.1)
Reformulando 𝑆(𝑡), se tiene:
𝑆𝑖(𝑡𝑖) = 𝑎𝑖ℎ𝑖3 + 𝑏𝑖ℎ𝑖
2 + 𝑐𝑖ℎ𝑖 + 𝑑𝑖
donde:
ℎ𝑖 = ∑𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
𝑛−1
𝑖=1
Siendo 𝑛 el número de puntos de control a interpolar.
𝑑𝑖 = 𝑃𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 0 𝑎 𝑛
𝑏𝑖 = 𝐴−1 ∗ 𝑓
donde:
16
𝑨 =
[ 2ℎ1 ℎ1 0 ⋯ 0ℎ1 2(ℎ1 + ℎ2) ℎ2 0 ⋮0 ⋱ ⋱ ⋱ 0⋮ ℎ𝑛−2 2(ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1) ℎ𝑛−10 ⋯ 0 ℎ𝑛−1 2ℎ𝑛−1]
𝑓 =
[
3
ℎ1(𝑑2 − 𝑑1) − 3𝑉0
3
ℎ2(𝑑3 − 𝑑2) −
3
ℎ1(𝑑2 − 𝑑1)
⋮
3
ℎ2−1(𝑑𝑛 − 𝑑𝑛−1) −
3
ℎ𝑛−2(𝑑𝑛−1 − 𝑑𝑛−2)
3𝑉𝑓 −3
ℎ2−1(𝑑𝑛 − 𝑑𝑛−1) ]
𝑎𝑖 =𝑏𝑖+1 − 𝑏𝑖
3ℎ𝑖
𝑐𝑖 =1
ℎ𝑖(𝑑𝑖+1 − 𝑑𝑖) −
ℎ𝑖3(2𝑏𝑖+ 𝑏𝑖+1)
Para el caso de la trayectoria diseñada, los puntos de control P, serían los puntos que muestrean la
trayectoria en la Figura 10. Quedando la trayectoria interpolada para desarrollar la tarea de lijado
como se muestra en la Figura 12.
Figura 12. Trayectoria en coordenadas cartesianas espaciales.
De acuerdo con la Figura 12, es posible decir que el interpolador spline, realiza la interpolación a
tramos de una manera adecuada teniendo en cuenta que el error entre la trayectoria muestreada
de la Figura 10 y la trayectoria interpolada de la Figura 12 es inferior al 1%. La trayectoria
desarrollada se vería en la pared del tubo como se muestra en la Figura 13.
0
5
10
15
20
5
10
15
20
25-10
-5
0
5
10
X (cm)Y (cm)
Z (
cm
)
17
Velocidades de las articulaciones (𝑞 1, 𝑞 2, … . . 𝑞 𝑛)
Velocidades del extremo del robot
(𝑥 , 𝑦, 𝑧 ,𝛼 ,𝛽, 𝛾 )
Posiciones de las articulaciones (𝑞1, 𝑞2, … . . 𝑞𝑛)
𝑋 = 𝐽(𝑞)𝑞
Integración numérica
𝑞 = 𝐽−1(𝑞)𝑋
𝑥 𝑦 𝑧 𝛼 𝛽 𝛾
Figura 13. Trayectoria en la pared del tubo.
2.2.3 Cálculo de la referencia
El cálculo de la referencia consiste en determinar los valores articulares que debe seguir el robot
propuesto en este trabajo para poder desarrollar una trayectoria que se desee. Razón por la cual
es necesario expresar la trayectoria calculada en la sección 2.2.2 en valores articulares. Para hallar
esos valores articulares, se implementó el método del jacobiano [14], método que se describe en
la
Figura 14.
Figura 14. Jacobiano de un manipulador.
donde:
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝛼, 𝛽, 𝛾) : son componentes de rotación y traslación de la matriz de transformación
homogénea
-30
-20
-10
0
10
20
30
-30
-20
-10
0
10
20
30
-20
0
20
X (cm)Y (cm)
Z (
cm
)
Trayectoria
Tubo
Posición Fisura
18
Como lo que interesa es el cálculo de los valores articulares para una posición del robot, es
necesario dar solución a:
𝑞 = 𝐽−1(𝑞)𝑋
Para luego integrar las velocidades (𝑞 1, 𝑞 2, … . . 𝑞 𝑛) y obtener las posiciones articulares. Por lo que:
[
𝑞 1𝑞 2𝑞 3
] = 𝐽−1 ∙ [𝑥 ⋮𝛾 ] 𝐽−1 =
[ 𝜕𝑓1
𝜕𝑥⋯
𝜕𝑓1
𝜕𝛾
⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥⋯
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝛾 ]
Cabe resaltar que el Jacobiano no fue desarrollado en este trabajo, para dar solución a este
método, se implementó la función Ikine del toolbox de robótica de Matlab [15]. Los parámetros de
entrada de la función Ikine son: el robot en parámetros Denavit Hartenberg, la matriz homogénea
que describa la posición a la que se desea llegar y un punto inicial en el que se encuentra el robot,
en este caso la matriz homogénea es una matriz identidad 4x4 con el vector de posición
modificado para describir la posición (x, y, z) de la trayectoria calculada en la sección 2.2.2, y el
punto inicial de trabajo para cada articulación fue de cero, obteniendo como valores articulares
para la trayectoria de la Figura 12, los mostrados en la Figura 15.
Figura 15. Valores articulares para trayectoria de la tarea de lijado y relleno.
Quedando como entrada de referencia para cada articulación del robot, los valores articulares de la Figura 15. Cumpliendo así, con la referencia para la tarea de lijado y tare de relleno.
0 50 100 1500
1
2
3
4
5
Muñeca
Time(seg)
Cm
0 50 100 150-60
-50
-40
-30
-20
-10
0Codo
Time (seg)
Gra
do
s
0 50 100 150-15
-10
-5
0
5
10
15Hombro
Time(seg)
Cm
19
CAPITULO 3
ESTRATEGIA DE CONTROL En este capítulo se presenta el sistema de control para el control de la referencia descrita en el
capítulo anterior. La arquitectura de control que se propone es la que se muestra en la Figura 16.
Figura 16. Arquitectura de control.
donde:
q_Ref: valores articulares de referencia
Kestado: ganancias para el control de los estados Kreferencia: ganancias para el control de la referencia
3.1 Modelos Linealizados
La linealización de los modelos es necesaria para el diseño del controlador Kestados y
Kreferencia de la Figura 20. El modelo que se utilizó fue en variables de estado, para lo que es
necesario obtener el modelo LTI del robot utilizando las siguientes ecuaciones:
𝑥 = Ax + Bu (3.1)
𝑦 = Cx + Du (3.2)
Para hallar las ecuaciones (3.1) y (3.2), es necesario establecer cuáles serán los estados, las
entradas y salidas del sistema. Como lo que se desea es controlar las posiciones articulares del
robot, se establece que las posiciones sean tres estados del sistema y a su vez las velocidad de
cada una de estas tres articulaciones, quedando el modelo del robot representado en seis
variables de estado, por lo que A en (3.1) seria de dimensiones (𝑁𝑥 x 𝑁𝑥), donde 𝑁𝑥= número de
variables de estado, o sea que A sería una matriz de 6x6. Las entradas son los torques aplicados a
cada articulación del robot, o sea que serían tres entradas teniendo en cuenta que el robot
diseñado tiene tres articulaciones, por lo tanto B en (3.1) sería una matriz de dimensiones
(𝑁𝑥 x 𝑁𝑢), donde 𝑁𝑢= número de entradas, quedando de 6x3. Para el caso de las salidas, se
estableció que fueran las tres posiciones articulares del robot y las tres velocidades, teniendo en
cuenta que con el valor de las posiciones articulares es que el robot alcanza la trayectoria deseada,
por lo tanto C en (3.1) sería una matriz de dimensiones (𝑁𝑦 x 𝑁𝑥), donde 𝑁𝑦= número de salidas,
q_out 1
𝑠
Kestados
Robot Kreferencia
- + +
-
error
𝑢
q_Ref
20
quedando de 6x6, finalmente, D es una matriz de ceros de dimensiones (𝑁𝑦 x 𝑁𝑢), que para el
caso del modelo del brazo manipulador propuesto es de dimensiones 6x3.
Teniendo en cuenta que el robot manipulador propuesto es un sistema no lineal, y se desea tener
un modelo lineal del robot para el diseño del controlador, se realizó la linealización del modelo
para cada punto de la trayectoria. La linealización se realizó implementando el método del
Jacobiano [16], expresando las matrices A, B, C, D de (3.1) y (3.2) como:
𝐴 =𝜕𝑓
𝜕𝑥(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒) 𝐵 =
𝜕𝑓
𝜕𝑢(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒) 𝐶 =
𝜕ℎ
𝜕𝑥(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒) 𝐷 =
𝜕ℎ
𝜕𝑢(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒)
donde:
𝐴 = 𝜕𝑓
𝜕𝑥(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒) =
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1
…𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1
…𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛]
𝑥 = 𝑥𝑒 , 𝑢 = 𝑢𝑒
𝐵 = 𝜕𝑓
𝜕𝑢(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒) =
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑢1
…𝜕𝑓1𝜕𝑢𝑚
⋮ ⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑢1
…𝜕𝑓𝑛𝜕𝑢𝑚]
𝑥 = 𝑥𝑒 , 𝑢 = 𝑢𝑒
𝐶 = 𝜕ℎ
𝜕𝑥(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒) =
[ 𝜕ℎ1𝜕𝑥1
…𝜕ℎ1𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋮𝜕ℎ𝑛𝜕𝑥1
…𝜕ℎ𝑛𝜕𝑥𝑛]
𝑥 = 𝑥𝑒 , 𝑢 = 𝑢𝑒
𝐷 = 𝜕ℎ
𝜕𝑢(𝑥𝑒 , 𝑢𝑒) =
[ 𝜕ℎ1𝜕𝑢1
…𝜕ℎ1𝜕𝑢𝑚
⋮ ⋮𝜕ℎ𝑛𝜕𝑢
…𝜕ℎ𝑛𝜕𝑢𝑚]
𝑥 = 𝑥𝑒 , 𝑢 = 𝑢𝑒
Para hallar A, B, C, D linealizados, se hace uso de la función de linealización “linmod” que nos
ofrece Matlab y Simulink, esta función toma el modelo del brazo manipulador que se exportó de
SolidWorks a Simulink y lo linealiza alrededor de un punto, implementado el método del
jacobiano.
Los modelos que se desean son los correspondientes para cada posición articular de la Figura 15,
con los que se describe la trayectoria de la Figura 12. Esta trayectoria está representada por 690
puntos en coordenadas XYZ y a su vez está representada por igual número de posiciones
articulares, pero para simplificar el diseño del controlador a partir de los modelos lineales, se
21
utilizaron 173 posiciones articulares que garantizaran cubrir toda la trayectoria, obtenido 173
modelos alrededor de cada uno de estos puntos. Luego de tener los modelos linealizados, se
procede con un análisis de estos, análisis realizado a partir de los autovalores de la matriz A de
cada modelo, con el fin de mirar que tanta variación existe entre un modelo y otro, y así,
determinar si con la sintonización de un solo controlador es posible realizar el control de toda la
trayectoria.
Figura 17. Autovalores de los modelos lineales alrededor de cada punto de la trayectoria.
Si se observa el diagrama de polos de la Figura 17 , es posible decir que los polos de los diferentes
modelos se encuentran concentrados alrededor de tres puntos sobre el eje real, están alrededor
del punto (-8.455, 0j), (8.455, 0j) (0, 0j). Para el caso del punto (0, 0j) no existe dispersión de los
polos alrededor de este punto. Para el caso de los puntos (-8.455, 0j), (8.455, 0j), la dispersión
existente es de (7.04 y 9.87) y (-7.04 y -9.87) respectivamente, lo que indica una variación entre
los modelos del 17%, variación significativa. Razón por la cual se propuso el diseño de un sistema
de control LPV de un porque las variaciones son muy grandes y no es posible usar un solo
controlador.
A continuación se presenta el diagrama de Bode, donde se observó la relación entre un estado y
otro.
Pole-Zero Map
Real Axis (seconds-1)
Imagin
ary
Axis
(seconds
-1)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
System: sys
Pole : 7.04
Damping: -1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/s): 7.04
System: sys
Pole : 9.87
Damping: -1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/s): 9.87
0.20.40.580.72
0.83
0.91
0.96
0.99
0.20.40.580.72
0.83
0.91
0.96
0.99
246810
22
Figura 18. Diagrama de Bode de los modelos lineales alrededor de cada punto de la trayectoria.
De acuerdo con la Figura 18, es posible decir que el tercer estado q3(hombro) no influye en los
estados q1(Muñeca) y q2(Codo).
3.2 Diseño del controlador
Para el diseño de controlador se parte de la arquitectura de control presentada en la Figura 17,
teniendo en cuenta que el sistema está en variables de estado, se propone el diseño de un
controlador por realimentación de estados.
El diseño del controlador parte de los modelos linealizados en la sección 3.1, por los valores
obtenidos de los autovalores para los diferentes modelos, es posible decir que los diferentes
sistemas son inestables porque hay autovalores en eje real positivo, justificando así, el diseño de
un controlador. Seguidamente, se establece si los diferentes modelos son controlables, la
controlabilidad se corroboró, comprando que las matrices de controlabilidad de cada modelo
fueran de rango completo. Al analizar cada modelo, se pudo establecer que las matrices de
controlabilidad eran de rango completo.
El controlador que se decide diseñar es un LQR (Linear Quadratic Regulator), la decisión de
diseñar este controlador se tomó teniendo en cuenta los buenos resultados obtenidos por Julián
Pareja en [17], donde expresa que este tipo de controladores presentan buen desempeño en el
control de trayectorias para brazos robóticos.
El método de control LQR (Linear Quadratic Regulator), es la solución óptima a un problema de
minimización con lo cual se asegura la estabilidad del sistema en lazo cerrado [18].
Como el sistema en cuestion es en tiempo continuo, la ley de control por realimentación esta dada
por:
u = −K [x; xi] (3.3)
donde:
𝑥: representa los estados
xi : es la salida del integrador
23
Esta ley de control asegura que la salida sigue la referencia 𝑟. Con esta ley de control se busca la
minimizacion de la siguiente función de costo [19].
𝐽(𝑢) = ∫ (𝑥𝑇𝑄𝑥 + 𝑢𝑇𝑅𝑢)𝑑𝑡∞
0
(3.4)
donde:
𝑄: corresponde a una matriz diagonal con los pesos asociados a los estados del sistema 𝑅: es una
matriz diagonal correspondiente a los pesos asociados a las señales de control del sistema.
Para determinar los pesos tanto para 𝑄 como para 𝑅 existe un criterio llamado regla de Bryson
[20], en la que se propone de manera general que:
𝑄𝑖𝑖 =1
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑥𝑖2 𝑖 ∈ {1,2,…… ,𝑁𝑥}
(3.5)
𝑅𝑗𝑗 =1
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑜𝑓 𝑢𝑖2 𝑗 ∈ {1,2,…… . ,𝑁𝑢}
(3.6)
Aunque la regla de Bryson a veces da buenos resultados, a menudo es sólo el punto de partida a
un procedimiento de diseño iterativo de ensayo y error dirigido a la obtención de propiedades
deseables para el sistema de lazo cerrado [21].
Teniendo en cuenta la arquitectura de control propuesta en la Figura 17, así como también la ley
de control descrita en (3.3), es necesario extender el sistema descrito en 3.1, para tener en cuenta
la acción integral del controlador que permitirá hacer seguimiento de las entradas de referencia,
por lo que:
[𝑋
𝑋 1] = [
𝐴 0−𝐶 0
] [𝑋𝑋1] + [
𝐵0] 𝑢
(3.7)
Seguidamente, haciendo uso del Toolbox de control óptimo de Matlab, se procede con obtener el
controlador LQR representado por K en (3.3).
Como se desea el control de una trayectoria, se calcula un controlador para cada posición que va
tomando el robot a medida que sigue la trayectoria deseada. Es necesario tener una superficie de
valores de K que vayan desde el mínimo valor posible para cada estado hasta el máximo valor
posible para cada estado e irlos interpolando y así, calcular el controlador para cada posición.
Razón por la cual a partir de controlador LQR diseñado, se implementó una arquitectura de control
LPV (Linear Parameter-Varying) con la que es posible realizar la interpolación y obtener los
controladores para cada punto de la trayectoria.
3.2.1 LPV-Control (Linear Parameter-Varying) mediante Gain Scheduling.
Los controladores LPV mediante Gain Scheduling son controladores que a menudo son diseñados
en varios puntos de operación utilizando modelos linealizados de la dinámica del sistema y son
programados en función de un parámetro o parámetros (estados del sistema) para el
funcionamiento en condiciones intermedias. Es un enfoque para el control de sistemas no lineales
24
q1
1
𝑠
Kestados
(q1) Muñeca
(q2) Codo
Manipulador
Kreferencia
Kr (q1, q2)
(q1) Muñeca (q2) Codo
- + +
-
e Ref
X
X
q2
q3
Ke (q1, q2)
Estados del sistema
(q1) Muñeca _Ref
(q2) Codo_Ref
(q3) Hombro_Ref
que utiliza una familia de controladores lineales, cada uno de los cuales proporciona un control
satisfactorio para un punto de funcionamiento diferente del sistema [22].
El controlador LPV que se diseñó, utiliza como puntos de operación los puntos de la trayectoria
donde se linealizó el sistema en la sección 3.1 y para el funcionamiento en condiciones
intermedias, o sea para modelos intermedios entre un punto de operación y otro, se programaron
los controladores en función de los estados correspondientes a la posición de articulación Codo
(salida o estado dos) y posición de la articulación Muñeca (salida o estado uno), teniendo en
cuenta que estos dos estados son los que presenta relación como se observa en la Figura 18.
Quedando la arquitectura de control LPV como se muestra en la Figura 19.
Figura 19.Esquema de control LPV.
Como se observa en la Figura 19 en el esquema de control LPV, el valor del controlador K para los
estados y del controlador K para la referencia queda en función de los estados q1 (Muñeca) y
q2(Codo), k=k(q). Para lo que será necesario realizar la interpolación de los valores de K en función
de los estados descritos. Interpolación que se hace en un rango comprendido desde el mínimo
valor posible en la articulación Codo y mínimo valor posible en la articulación Muñeca hasta
máximo valor posible en la articulación Codo y máximo valor posible en la articulación Muñeca.
Los valores de K para construir la superficie de interpolación, se obtuvieron a partir de los modelos
linealizados obtenidos en la sección 3.1, con los que se solucionó el controlador LQR descrito en la
sección 3.2 para obtener K. antes de crear la superficies de interpolación, se realizó una análisis
para determinar que valores de la matriz K cambian entre un modelo y otro, porque los valores de
K que no cambien entre un modelo y otro a lo largo de la trayectoria no es necesario interpolarlos.
Los valores de se agruparon de la siguiente mantera.
25
𝐾𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 =
[ K1(1,1) k2(1,1) … ki(1,1)
K1(1,2) K2(1,2) … Ki(1,2)⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮
K1(n,m) K2(n,m) … Ki(n,m)]
La matriz K es de dimensiones 3x9, tres entradas y nueve estados, seis estados del sistema y tres
estados que agrega el integrador para el seguimiento de la referencia.
Quedando n=1,..3 m=1,…9 i=1,……número de controladores de los modelos linealizados.
Graficando cada fila de la matriz Kcontroladores para mirar como varía cada posición K entre un
controlador y otro, se tiene:
Figura 20. Valores de la primera fila de la matriz K para los 173 controladores.
Figura 21.Valores de la segunda fila de la matriz K para los 173 controladores.
0 50 100 150 2005.0277
5.0277
5.0277
5.0277x 10
5 K11
K
0 50 100 150 2000
2
4
6K12
K
0 50 100 150 200
-0.5
0
0.5
x 10-10 K13
K
0 50 100 150 200695.478
695.478
695.478K14
K
0 50 100 150 2000
1
2
3x 10
-3 K15
K
0 50 100 150 200-2
-1
0
1x 10
-12 K16
K
0 50 100 150 200-2
-2
-2
-2x 10
6 K17
K
0 50 100 150 200-2
-1
0
1K18
K
0 50 100 150 200-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-9 K19
K
0 50 100 150 2000
2
4
6
8K21
K
0 50 100 150 2001.438
1.44
1.442
1.444
1.446x 10
4 K22
K
0 50 100 150 200-4
-2
0
2
4x 10
-11 K23
K
0 50 100 150 2000
0.005
0.01
0.015
0.02K24
K
0 50 100 150 20015
20
25
30
35K25
K
0 50 100 150 200-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-12 K26
K
0 50 100 150 200-10
0
10
20K27
K
0 50 100 150 200-5.7296
-5.7296
-5.7296
-5.7296
-5.7296x 10
4 K28
K
0 50 100 150 200-5
0
5x 10
-10 K29
K
26
Figura 22. Valores de la tercera fila de la matriz K para los 173 controladores.
Observando cómo varía cada valor de las posiciones de la matriz K entre un controlador y otro, es
posible decir de acuerdo con la Figura 20, Figura 21, Figura 22, que las ganancias que presenta
variaciones significativas son K12, K15, K18, K21, K24, K25, K27, estas deben ser interpoladas y por
lo tanto es necesario crear una superficie de interpolación con los valores de estas posiciones de la
matriz K. Para crear las superficies de interpolación, se tuvo en cuenta los valores articulares
máximos y mínimos para la articulación Muñeca y Codo, los cuales son: para la articulación
Muñeca el valor mínimo es 4.1 cm y el máximo es 12, y para la articulación Codo el valor mínimo
es -108° y el máximo es 108°, estableciendo así, un rango de operación para estas articulaciones,
se hace necesario que los valores de K a interpolar en función de los estados estén calculados en
estos dos rangos de las articulaciones Codo y Muñeca, porque se asegura que para cualquier valor
que tomen estas articulaciones, habrá un valor de K que permita el control en esa posición.
La interpolación es posible desarrollarla de múltiples maneras, pero para este caso se realiza
aplicando el método de interpolación lineal. Este método consiste en que dado dos puntos
(q1minimo, q2 mínimo) y (q1maximo, q2maximo) con un respectivo valor de ganancia, se desea
conocer el valor de la ganancia en un punto intermedio (q1intermedio, q2intermedio). Como la
interpolación es realizada para cumplir con los requerimientos del control LPV y este controlador
está siendo implementado en Matlab, se hace uso de la función interp2 de Matlab, función que
desarrolla la interpolación lineal descrita.
Los valores de K a interpolar en función de los estados posición de Codo y posición de Muñeca,
quedan representados por las superficies de interpolación que se muestran a continuación.
0 50 100 150 200-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-11 K31
K
0 50 100 150 200-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-12 K32
K
0 50 100 150 200
1.6672
1.6672
1.6672
1.6672x 10
4 K33
K
0 50 100 150 200
-0.5
0
0.5
x 10-14 K34
K
0 50 100 150 200-2
-1
0
1
2x 10
-15 K35
K
0 50 100 150 200441.355
441.355
441.355
441.355
441.355K36
K
0 50 100 150 200-4
-2
0
2
4x 10
-9 K37
K
0 50 100 150 200-2
-1
0
1
2x 10
-10 K38
K
0 50 100 150 200-6
-6
-6
-6x 10
4 K39
K
27
Figura 23. Superficie de ganancias K a interpolar.
Figura 24.Superficie de ganancia K a interpolar.
La suavidad de las superficies representadas por los valores de las ganancias K que se muestran
en la Figura 23 y Figura 24, permiten que los valores de K que se vayan obteniendo en función de
los estados, presenten variaciones mínimas, lo que hace tener un control que permita realizar
movimientos continuos y sin sobresaltos en el desplazamiento del brazo manipulador.
3.3. Desempeño de la estrategia de controlador En esta etapa se evalúa el desempeño de la estrategia de control diseñada utilizando Matlab y
Simulink, y va estar dividida en dos partes, la primera parte es la evaluación del desempeño del
controlador LQR que se diseñó y la segunda etapa es la evaluación del desempeño del controlador
LPV.
-2000
200
0
10
20-10
0
10
Codo-Grados
K12
Muñeca-Cm
Gain
K
-2000
200
0
10
20-5
0
5
x 10-3
Codo-Grados
K15
Muñeca-Cm
Gain
K
-2000
200
0
10
20-2
0
2
Codo-Grados
K18
Muñeca-Cm
Gain
K
-2000
200
0
10
20-5
0
5
Codo-Grados
K21
Muñeca-Cm
Gain
K
-2000
200
0
10
20-0.02
0
0.02
Codo-Grados
K24
Muñeca-Cm
Gain
K
-2000
200
0
10
2025
30
35
Codo-Grados
K25
Muñeca-Cm
Gain
K
-2000
200
0
10
20-20
0
20
Codo-Grados
K27
Muñeca-Cm
Gain
K
28
3.3.1 Desempeño del controlador LQR
Para realizar la evaluación del controlador LQR, se utilizó el esquema de control de la Figura 25.
Figura 25. Esquema de control para implementar control LQR.
La evaluación del desempeño del controlador LQR se divide en dos partes, la primera consiste en
evaluar el sobrepico, error de tracking, tiempo de establecimiento ante una entrada tipo paso
utilizando el modelo linealizado en un punto de la trayectoria y para el modelo mecánico de
SimMechanics. La segunda prueba consiste en un análisis de robustez del controlador,
implementado el modelo mecánico de SimMechanics.
Primera prueba (sobrepico, error de tracking, tiempo de establecimiento)
Para la evaluación del sobrepico, error de tracking, tiempo de establecimiento se utiliza una
entrada tipo paso para cada una de las tres entradas de referencia, entradas de referencia con
amplitud equivalente a los valores articulares del punto de la trayectoria (5.1934 cm, −𝟐𝟔. 𝟑𝟕°, -
10 cm). El modelo lineal que se utiliza en esta prueba fue linealizado alrededor del mismo punto
de la trayectoria que se tomó como entrada de referencia, obteniendo como resultado de esta
prueba, los resultados que se muestran en la Figura 26, Figura 27, Figura 28, Tabla 3.
Robot Manipulador
Kestados
Kreferencia + -
1
𝑠 +
-
q1(Muñeca)
q2(Codo)
q3(Hombro)
Vq1
Vq2
Vq3
q1(Muñeca)_Ref
q2(Codo)_Ref
q3(Hombro)_Ref
Ref
29
Figura 26. Respuesta del modelo lineal y del modelo mecánico en SimMechanics para la primera articulación.
Figura 27.Respuesta del modelo lineal y del modelo mecánico en SimMechanics para la segunda articulación.
Figura 28.Respuesta del modelo lineal y del modelo mecánico en SimMechanics para la tercera articulación.
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
Time (seconds)
Cm
Muñeca-modelo lineal
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
Time (seconds)
Cm
Muñeca-modelo Mecánico
Posición referencia
Posición salida
Posición referencia
Posición salida
0 2 4 6 8 10-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
Time (seconds)
Gra
dos
Codo-modelo lineal
0 2 4 6 8 10-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
Time (seconds)
Gra
dos
Codo-modelo Mecánico
Posición referencia
Posición salida
Posición referencia
Posición salida
0 2 4 6 8 10-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Time (seconds)
Cm
Hombro-modelo lineal
0 2 4 6 8 10-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Time (seconds)
Cm
Hombro-modelo Mecánico
Posición referencia
Posición salida
Posición referencia
Posición salida
30
Tabla 3. Resultados de la prueba de error tracking, tiempo de establecimiento y sobrepico.
Modelo linealizado con entrada tipo paso
Tiempo de
establecimiento
Error de tracking Sobrepico
Articulación Muñeca 1.66 segundos 0.05% -
Articulación Codo 1.6 segundos 0.07% -
Articulación Hombro 1.66segundos 0.001% -
Modelo mecánico con entrada tipo paso
Tiempo de
establecimiento
Error de tracking Sobrepico
Articulación Muñeca 1.66 segundos 0.07% -
Articulación Codo 1.6 segundos 0.08% -
Articulación Hombro 1.66 segundos 0.01% -
Ante los resultados de la prueba de desempeño es posible decir que el controlador quedó bien
sintonizado, porque es posible seguir la referencia que se le indica al robot manipulador en un
tiempo relativamente corto (inferior a 2 segundos) y con un error de tracking inferior al 1%,
garantizando un buen controlador para el seguimiento de la trayectoria, debido a que el diseño
del control LPV parte de la sintonización del controlador LQR. Además, es posible decir que los
modelos lineales que se obtuvieron en la sección 3.1 representan el brazo manipulador porque la
respuesta del modelo lineal difieren en la respuesta del modelo mecánico con un error inferior al
0.1%.
Segunda prueba (análisis de robustez)
Para el análisis de robustez se utilizó el modelo mecánico en SimMechanics del brazo manipulador.
Esta prueba es desarrollada con la finalidad de comprobar que tan robusto es el sistema de control
diseñado y así, garantizar un control para el seguimiento de la trayectoria deseada que funcione
de manera eficiente, esta prueba se divide en dos partes, una prueba de robustez ante ruido
aditivo en la media y otra prueba es realizando variaciones paramétricas al sistema.
Prueba con ruido aditivo en la medida: esta prueba consiste en aplicar un ruido aditivo de
amplitud limitada sobre la señal que se está midiendo, y corroborar que tanto afecta en el tiempo
de estabilización y en el error de seguimiento de la trayectoria.
Para el desarrollo de esta prueba se utilizara un entra tipo paso para cada una de las tres entradas
de referencia, entradas de referencia con amplitud equivalente a los valores articulares del punto
de la trayectoria (5.1934 cm, −26.37°, -10 cm). Los resultados obtenidos se presentan en la Figura
29 y Tabla 4.
31
Figura 29. Respuesta del sistema con ruido de +/- 2 mm en sensor lineal y +/- 1 grado en el sensor rotacional.
Tabla 4. Resultados prueba de robustez con ruido en el sensor.
Articulación Muñeca
Tiempo de estabilización Error de seguimiento
Ruido de +/- 2mm en sensor 1.5 segundos 0.014%
Ruido de +/- 4mm en sensor 1.5 segundos 0.018%
Ruido de +/- 6mm en sensor 1.5 segundos 0.021%
Articulación Codo
Tiempo de estabilización Error de seguimiento
Ruido de +/- 1 grado en sensor 1.5 segundos 0.022%
Ruido de +/- 2 grados en sensor 1.5 segundos 0.028%
Ruido de +/- 3 grados en sensor 1.7 segundos 0.028%
Articulación Hombro
Tiempo de estabilización Error de seguimiento
Ruido de +/- 2mm en sensor 1.5 segundos 0.019%
Ruido de +/- 4mm en sensor 1.5segundos 0.021%
Ruido de +/- 6mm en sensor 1.5 segundos 0.022%
De acuerdo con la Figura 29, y la Tabla 4, es posible decir que el sistema de control implementado
responde satisfactoriamente ante la aplicación de un ruido aditivo de amplitud limitada en la
medida de las posiciones articulares, porque los tiempos de estabilización son cortos y no se
alteran de una manera significativa el seguimiento de la referencia deseada, así como también, el
error de seguimiento es inferior al 1%, mostrando así, la robustez del controlador ante
comportamientos no ideales en el funcionamiento del sistema.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
0
2
4
6
Time (seconds)
Cm
Muñeca
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30
-20
-10
0
10
Gra
dos
Codo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15
-10
-5
0
5
Time (seconds)
Cm
Hombro
Time(seconds)
32
Prueba ante variaciones paramétricas: con el desarrollo de esta prueba, se busca analizar la
estabilidad del lazo, asumiendo que la masa del brazo manipulador es un parámetro incierto que
varía +/-25% alrededor de su valor nominal. Con el análisis de la función de transferencia entre la
referencia y error, se está evaluando el sistema realimentado. Como en este sistema se están
controlando tres variables (tres articulaciones), se evalúan los tres lazos, uno para cada
articulación, y así, corroborar la estabilidad de todo el sistema ante las variaciones paramétricas.
Para la evaluación de la estabilidad, se implementa el criterio de Nyquist, el cual dice que, un
sistema continuo realimentado es estable si y solamente si, el contorno Tp en el plano P(s) en la
Figura 34 no rodea el punto (-1 +j0) cuando el número de polos de P(s) en la parte derecha del
plano s es cero (sistema de fase mínima). A continuación se muestra la traza de Nyquist de los tres
lazos realimentados, que corresponden a las tres posiciones que se están controlando, para
variaciones de la masa del robot de +25% y -25%.
Figura 30. Traza de Nyquist para los tres estados controlados con masa de +25% del valor nominal del robot.
Figura 31. Traza de Nyquist para los tres estados controlados con masa de - 25% del valor nominal del robot.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
0
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
0
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
0
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
TpP(s)
P(s)
P(s)
Tp
Tp
Muñeca -
Codo -
Hombro -
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
0
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
0
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
0
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
TpP(s)
P(s)
P(s)
Tp
Tp
Muñeca -
Codo -
Hombro -
33
De acuerdo con la Figura 30 y Figura 31, es posible decir que ante variaciones de +/-25% de la
masa del robot manipulador alrededor de su valor nominal, el lazo entre la referencia y el error
sigue siendo estable, porque la traza de Nyquist Tp, en ninguno de los dos casos rodea el punto (-
1, j0). Comprobando así, la robustez del controlador LQR diseñado.
3.3.2 Desempeño del controlador LPV
Para evaluar el desempeño de este controlador, se implementó el esquema de control de la Figura
19. Esta prueba está dividida en dos etapas, una primera etapa donde se busca determinar el
tiempo de establecimiento de la respuesta del sistema y el error de tracking, y una segunda etapa
donde se determinar el error de tracking ante ruido aditivo en la medida.
Para la primer etapa, la prueba fue realizada bajo las siguientes condiciones: teniendo en cuenta
que este controlador es diseñado para sistemas no lineales, el modelo que se utiliza para realizar
la prueba es el modelo mecánico de SimMechanics, con condiciones iniciales para cada
articulación de cero, las señales de referencia corresponden a los valores articulares de la Figura
15 con los cuales el robot debe estar en capacidad de seguir la trayectoria diseñada en la sección
3.1, la trayectoria es realizada en un tiempo de 120 segundos. Los resultados obtenidos se
presentan en la Figura 32, Figura 33 y Tabla 5.
Figura 32. Respuesta de las tres articulaciones para trayectoria diseñada.
0 20 40 60 80 100 1200
2
4
6
8
Cm
Muñeca
0 20 40 60 80 100 120-60
-40
-20
0
Gra
dos
Codo
0 20 40 60 80 100 120-20
-10
0
10
20
Time (seconds)
Cm
Hombro
Posición referencia
Posición salida
34
Figura 33. Respuesta del sistema en coordenadas XYZ.
Tabla 5. Características de la respuesta del control LPV.
Tiempo de establecimiento
Error de tracking Sobrepico
Articulación Muñeca 1.66 segundos 0.38% -
Articulación Codo 1.6 segundos 2% -
Articulación Hombro 1.66segundos 3% -
Trayectoria XYZ - 2% -
De acuerdo con la Figura 32, Figura 33, Tabla 5, es posible decir que el controlador LPV diseñado le
permite al robot manipulador seguir la referencia con un error del 2.28%, error obtenido a partir
de la multiplicación de los errores en cada articulación que indica que el sistema de control
diseñado está respondiendo ante los requerimiento que se le exigen, como lo es el seguimiento de
una trayectoria de referencia para que brazo manipulador pueda desarrollar las tareas de
reparación descritas en la sección 2.2.1.
La segunda etapa de la prueba se realizó aplicando un ruido aditivo en la señal medida (posición
de las articulaciones de robot), la señal de referencia que se utilizó corresponden a los valores
articulares de la Figura 15 con los cuales el robot debe estar en capacidad de seguir la trayectoria
diseñada en la sección 2.2.2. La respuesta del sistema se observa en coordenadas XYZ y se muestra
en la Figura 34.
35
Figura 34. Respuesta del sistema en coordenada XYZ con ruido de +/- 2 mm en sensor lineal y +/- 1 grado en el sensor
rotacional.
De acuerdo con la Figura 34, es posible decir que ante un ruido aditivo en la medida de las señales
controladas, el sistema de control le permite al brazo manipulador seguir el Set Point establecido,
con un error de alrededor del 3%, lo que indica el buen desempeño que tiene el sistema de control
ante un ruido aditivo en la medida.
3.4 Interfaz gráfica para el diseño y control de trayectoria
Para facilitar la operación del brazo manipulador, se desarrolló una interfaz gráfica en Matlab que
permite el cálculo de la trayectoria a realizar por el robot para la tarea de lijada, cálculo realizado
a partir de la posición del brazo manipulador y de la posición de la fisura a reparar en el tubo. A
continuación se muestran cada una de las pestañas que tiene la interfaz gráfica y, cuál es la acción
que se realiza en cada una de ellas.
Figura 35. Pestaña para cálculo de trayectoria.
36
Figura 36. Pestaña para calcular cinemática inversa.
Figura 37. Pestaña de resultados.
En la Figura 35, Figura 36 y Figura 37, se muestran cada una de las pestañas que conforman la
interfaz gráfica que permite el control del brazo manipulador desde un entorno de simulación en
Matlab y Simulink. En la Figura 35, se muestra la pestaña correspondiente al cálculo de la
trayectoria, en esta ventana de la interfaz gráfica es posible realizar el cálculo de la trayectoria
deseada, a partir de la posición del robot y de la posición de la fisura en el tubo. Además, es
posible variar el diámetro del tubo, permitiendo el cálculo de la trayectoria para diferentes
diámetros de tubería. Por otro lado, en la pestaña de la interfaz gráfica que se muestra en la
Figura 36, es posible realizar el cálculo de la cinemática inversa para obtener los valores articulares
que le permiten al robot desarrollar la trayectoria calculada en la Figura 35. Finalmente, en la
pestaña de la Figura 37, es posible observar los resultados de la acción de control, se evidencia el
seguimiento que realiza el brazo manipulador a partir de la señal de referencia en valores
articulares, así como también, el seguimiento a la trayectoria en coordenadas XYZ, teniendo en
toda la interfaz, el control y la verificación del funcionamiento del robot manipulador.
37
CAPÍTULO 4 INTEGRACIÓN DEL BRAZO MANIPULADOR CON INSPECTOR YNAMI Y ESTIMACIÓN DE
ACTUADORES
4.1 Integración del brazo manipulador con inspector Ynami.
Como se describió en el capítulo uno, el proyecto Ynami consta de dos etapas, una etapa donde se desarrolló una plataforma robótica para la inspección de tuberías hidrosanitaria y, una segunda etapa que consiste en la construcción de una plataforma robótica que permita desarrollar de tareas de reparación, razón por la cual surge el proyecto descrito en este documento. Luego de desarrollar el brazo manipulador para las tareas de reparación, se propone realizar una
integración de la plataforma de inspección Ynami con la de reparación, todo esto en un ambiente
de simulación, integración que se realiza con el fin de evaluar el funcionamiento de estas dos
plataformas en conjunto. Las dos plataformas a integrar son las que se muestran en la Figura 38.
Figura 38. Brazo manipulador para reparación - Plataforma de inspección Ynami.
La integración se realizó, ensamblando la el brazo robótico con la plataforma de inspección.
Quedando la integración de las dos plataformas, como se muestra en la Figura 39.
Figura 39. Integración de brazo manipulador con inspector Ynami.
38
Luego de realizar la integración del brazo manipulador con el inspector Ynami, se procede con la
evaluación de dicha integración en aspectos como: seguimiento de la trayectoria del brazo
manipulador, movimientos y área de cobertura al interior del tubo.
La evaluación de movimiento se realiza teniendo en cuenta los movimientos requeridos para
realizar la trayectoria necesaria para las tareas de lijado y relleno descritas en la sección 2.1.
Para analizar la cobertura del brazo manipulador integrado con la plataforma de inspección Ynami,
se parte de la Figura 40, donde se observa el área que cubre el brazo manipulador, cabe resaltar
que por las dimensiones de la plataforma de inspección y del brazo manipulador, el diámetro
mínimo de la tubería con la que es posible trabajar es de 24” pulgadas.
Figura 40. Área de cobertura de plataformas integradas.
A partir de la Figura 40 y, luego de realizar un análisis del movimiento de cada una de las
articulaciones del brazo manipulador al estar integrado el inspector Ynami es posible decir que, el
diámetro mínimo de la tubería en el que se trabaja en estas condiciones es de 24” pulgadas y un
máximo de 26” pulgadas, diámetro que cambian con respecto a los iniciales de 16 y 18 pulgadas
por las dimensiones que tiene el robot inspector, el cual tiene una altura de ocho pulgas. Además,
el máximo movimiento de la articulación rotacional codo es de −108° a 108° y el movimiento de
la articulación traslacional Muñeca es de 4 cm a 12 cm.
Para el análisis de seguimiento de una trayectoria por parte del brazo manipulador estando
integrado con el inspector Ynami, se implementó el controlador LPV descrito en la sección 3.2.1,
con el esquema de control de la Figura 19. Las señales que se utilizaron como referencia
para cada articulación del robot manipulador son las mostradas en la Figura 15, referencia
que le permite al robot realizar la trayectoria de la Figura 16, obteniendo como resultado
lo que muestra en la Figura 41, Figura 42, Tabla 6.
39
Figura 41. Respuesta de las tres articulaciones del robot manipulador para trayectoria de Figura 12.
Figura 42. Trayectoria de referencia vs Trayectoria del TCP con plataformas integradas.
0 20 40 60 80 100 1200
2
4
6
8
Cm
Muñeca
0 20 40 60 80 100 120-60
-40
-20
0
Gra
dos
Codo
0 20 40 60 80 100 120-20
-10
0
10
20
Time (seconds)
Cm
Hombro
Posición referencia
Posición salida
40
Tabla 6. Característica de respuesta del brazo manipulador integrado con inspector Ynami.
Tiempo de establecimiento
Error de tracking Sobrepico
Articulación Muñeca 1.66 segundos 0.7% -
Articulación Codo 1.6 segundos 2.5% -
Articulación Hombro 1.66segundos 3% -
Trayectoria XYZ - 5% -
De acuerdo con la Figura 41, Figura 42, Tabla 6, es posible decir que en las condiciones de
integración de Ynami con brazo manipulador, el brazo manipulador sigue las referencia que se le
indica con un error del 5%, lo que indica que el sistema de control responde bien en estas
condiciones.
Además, es posible decir que el brazo manipulador integrado con el inspector Ynami sigue una
trayectoria bajos las siguientes condiciones: la tubería donde puede operar debe ser entre 24 y 26
pulgadas de diámetro, la plataforma de inspección debe estar en estado de reposo, el diseño de la
trayectoria se debe realizar a partir de la posición del robot inspector.
4.2 Estimación de actuadores
En esta sección se realiza la estimación de los pares de fuerza para los actuadores del robot
manipulador para la posterior selección de los motores. Los motores a seleccionar deben cumplir
con un nivel de protección IP68 y que su tamaño y peso se ajuste a las características de los
eslabones que constituyen el brazo manipulador propuesto.
Dinámica del robot mediante formulación Newton-Euler
Para la estimación de los actuadores, se implementó el modelo dinámico inverso mediante
formulación Newton Euler, lo que se busca con este modelo es calcular los pares de fuerza que
requieren las articulaciones del robot para que la posición 𝑞, velocidad w=𝑞 y aceleración w=�̈� de
las articulaciones puedan seguir la trayectoria de la Figura 12. Este modelo dinámico está
representado por la ecuación 4.1.
𝜏 = Μ(𝑞)�̈� + 𝐶(𝑞, 𝑞 )𝑞 + 𝑔(𝑞) + 𝐹(𝑞, 𝑞 ) (4.1)
Siendo 𝜏 = [𝜏1… . . 𝜏𝑛]𝑇 los pares ejercidos por los actuadores en las 𝑛 articulaciones, 𝑞 =
(𝑞1…… , 𝑞𝑛) el vector de variables articulares, 𝑀(𝑞) la matriz 𝑛 × 𝑛 de masas del manipulador,
𝐶(𝑞, 𝑞 ) los pares debido a las fuerzas centrifugas y de Coriolis, 𝐹(𝑞, 𝑞 ) los pares debidos a las fricciones y 𝑔(𝑞) los pares debidos a la gravedad [23].
Los pares debidos a las fricciones 𝐹(𝑞 ) , son fricciones externas causadas por el roce que tiene el efector final del brazo manipulador con la superficie de contacto, que este caso es la pared del tubo, quedando representado por un vector de seis dimensiones como se muestra a continuación.
𝐹 = [𝐹𝑥, 𝐹𝑦, 𝐹𝑧, 𝑀𝑥, 𝑀𝑦,𝑀𝑧]
41
Siendo 𝐹𝑥 , 𝐹𝑦, 𝐹𝑧 las tres componentes de fuerza y 𝑀𝑥,𝑀𝑦, 𝑀𝑧 los momentos sobre el efector final.
Fue necesario implementar un modelo de fuerzas, que permite el cálculo de las fuerzas de fricción que actúan sobre el brazo manipulador mientras realiza la trayectoria en la pared del tubo con la herramienta de fresado.
La Figura 46 sirve como ilustración para interpretar el movimiento de la herramienta de fresado, asumiendo que el efector final es un disco de masa md y de radio R. El centro del disco se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del disco, con velocidad angular ω.
Figura 43. Diagrama de movimientos del efector final [24].
De acuerdo con la Figura 43, es posible decir que el vector velocidad de un punto P que dista r del centro y cuya posición angular es θ, es:
VP = (𝑣 − 𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)i + (𝜔𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)j (4.2)
Existe una fuerza de rozamiento dF que actúa sobre el elemento de masa dm (herramienta de fresado), fuerza que se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es en sentido contrario a la velocidad v. Quedando esa fuerza de fricción o de rozamiento expresada de la siguiente manera.
𝑑𝐹 = 𝜇 ∙ 𝑑𝑚 ∙ 𝑔𝑉𝑝𝑣𝑝
(4.3)
Teniendo en cuenta que una porción de toda el área del disco seria:
Figura 44. Delta de área del efector final [24].
Como md es la masa del disco, la masa dm contenida en el elemento de área es (𝑟. 𝑑𝜃)dr, quedando dm.
42
dm =md. r. d𝜃. 𝑑𝑟
𝜋𝑅2
(4.4)
Las resultantes de fuerzas que actúan sobre el efector final serían, las componentes del vector dF sobre dicho elemento.
𝑑𝐹𝑥 = −𝑚𝑑
𝜋𝑅2𝜇𝑔
𝑣 − 𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
(4.5)
𝑑𝐹𝑦 = −𝑚𝑑
𝜋𝑅2𝜇𝑔
𝜔𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
(4.6)
Pero, como las fuerzas actúan sobre toda el área de contacto de la herramienta de fresado con la
pared del tubo, la cual es en forma de disco, se requiere integrar la ecuación 5.5 y la ecuación 5.6
para todo el radio y para toda la circunferencia de la herramienta de fresado, quedando las fuerzas
de fricción como se presenta a continuación.
𝐹𝑥 = −𝑚𝑑
𝜋𝑅2𝜇𝑔∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
∫𝑣 − 𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅
0
𝑟𝑑𝑟
(4.7)
𝐹𝑦 = −𝑚𝑑
𝜋𝑅2𝜇𝑔∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
∫𝜔𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅
0
𝑟𝑑𝑟
(4.8)
Además, es necesario aclarar que por la posición de trabajo que tendrá el efector final del brazo
manipulador no se debe tener en cuenta los efectos de la gravedad, pero si se debe tener en
cuenta la fuerza que genera el último eslabón del brazo manipulador (Muñeca), sobre la pared del
tubo, observaciones que se tuvieron en cuenta cuando se implementó la ecuación 4.7 y 4.8.
Seguidamente, se presenta el modelo que representa los momentos de las fuerzas de fricción que actúan entre efector final (herramienta de fresado) y la pared del tubo.
𝑑𝑀 = 𝑟 × 𝑑𝐹 = 𝑟 × (−𝜇 ∙ 𝑑𝑚 ∙ 𝑑𝑉
𝑣) = −𝜇 ∙ 𝑑𝑚 ∙ 𝑔(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝐢 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝐣) ×
(𝑣 − 𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 i +
𝜔𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐣)
(4.9)
𝑑𝑀 = −𝜇 ∙ 𝑑𝑚 ∙ 𝑔 (𝜔𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 −
𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑣 − 𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 )
(4.9.1)
𝑑𝑀 = −𝑚𝑑
𝜋𝑅2𝜇𝑔 (
𝑟(𝜔𝑟 − 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃)
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 ) 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
(4.9.2)
Pero, como los momentos actúan sobre toda el área de contacto de la herramienta de fresado
con la pared del tubo, la cual es en forma de disco, se requiere integrar la ecuación 4.9.2 para
todo el radio y para toda la circunferencia de la herramienta de fresado, quedando los momentos
de las fuerzas como se presenta a continuación.
43
𝑀 = −𝑚𝑑
𝜋𝑅2𝜇𝑔∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
∫ (𝑟2(𝜔𝑟 − 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃)
√𝑣2 +𝜔2𝑟2 − 2𝑣𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 )
𝑅
0
𝑟𝑑𝑟
(4.10)
Finalmente, teniendo en cuenta la dirección del movimiento del efector final sobre la pared del tubo, dirección de movimiento que se describen en la Figura 43, es posible decir que las resultantes de fuerzas que actúan son en las componentes X, Y, y para el momento de las fuerzas es solo sobre la dirección del eje Z, eje de rotación del efector final, y su sentido es contrario al de la velocidad angular del efector final (herramienta de fresado). Quedando la componente 𝐹(𝑞, 𝑞 ) de la ecuación 4.1 de la siguiente manera.
𝐹 = [𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 0, 0,0,𝑀𝑧]
A partir, de lo anteriormente descrito y, teniendo en cuenta la ecuación 4.1, ecuación 4.8 y ecuación 5.10, y haciendo uso del Toolbox de robótica de Matlab, se procede con el cálculo de los pares para cada articulación, para realizar la trayectoria de la Figura 12, mediante un script de Matlab, teniendo como resultado lo que se presenta en la Figura 45, Figura 46 Figura 47.
Figura 45. Torque requerido por articulación muñeca.
Figura 46. Torque requerido por articulación codo.
0 50 100 150-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (seg)
N
Torque hombro
0 50 100 150-15
-10
-5
0
5
10
15Hombro
Time(Seg)
Cm
0 50 100 1505
6
7
8
9
10
11
12
13
Time (seg)
N*m
Torque codo
0 50 100 1500
10
20
30
40
50
60
70Codo
Time(seg)
Gra
do
s
44
Figura 47. Torque requerido por articulación Muñeca.
A partir de los pares de fuerzas obtenidos para cada articulación, se seleccionan los actuadores
para cada articulación. Los actuadores a utilizar son eléctricos porque la alimentación del sistema
será eléctrica.
De acuerdo con la Figura 45, para la articulación (Hombro), el actuador a utilizar debe tener la
capacidad de generar un torque entre 0 N y 1 N aproximadamente. Cabe resaltar que esta
articulación es prismática por lo que el actuador a utilizar debe ser lineal.
Para la articulación Codo, se muestra en la Figura 46 que el actuador a utilizar debe tener la
capacidad de generar un torque entre 6 N*m y 12 N*m aproximadamente. Actuador rotacional.
Para la articulación Muñeca, el actuador debe tener la capacidad de generar un torque entre 1 N y
4.3 N aproximadamente, como se muestra en la Figura 47. Actuador lineal.
Para la selección de los actuadores, se tiene en cuenta los máximos valores de los pares de fuerza
en cada articulación, incrementados en un 10% para asegurar que cumplan con los pares
requeridos para desarrollar la trayectoria que permite la tarea de lijado y la tarea de relleno.
Luego de realizar la búsqueda en catálogos de fabricantes de motores que se justen a los pares de fuerza mostrados en la Figura 45, Figura 46, Figura 47, se seleccionaron los que muestran en la Tabla 7. Los actuadores que no alcancen el torque requerido, será necesario adicionar un reductor que permita aumentar el torque al valor necesario.
Tabla 7. Actuadores para articulaciones.
0 50 100 1500.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Time (seg)
N
Torque Muñeca
0 50 100 1500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Muñeca
Time (seg)
Cm
Marca Modelo Torque Alimentación Peso
Motor articulación Hombro IAE ISWA/ISPWA 63.7N 24 VDC -
Motor articulación Codo IGUS MOT-AP-S-060-013-056-K-A-
AAAI
1.3 N 24VDC 1.47 Kg
Motor articulación Muñeca SMC LEPY 7 N 24VDC -
45
CONCLUSIONES
. El robot es capaz de seguir las trayectorias que se diseñaron para realizar las tareas de reparación
propuestas, cumpliendo así con el propósito de diseñar un brazo manipulador que fuera capaz de
realizar trayectorias en la pared de un tubo para realizar tareas de reparación como el lijado y
relleno de la pared del tubo.
Teniendo en cuanta que la superficie donde el robot realiza la trayectoria presenta características
curvas (pared del tubo), es posible decir que los interpoladores splines para el diseño de la
trayectoria muestran buen desempeño, porque la trayectoria diseñada se ajusta a la curvatura del
tubo y es realizable por el robot manipulador diseñado.
La buena linealización de los modelos del brazo manipulador alrededor de un punto de operación
es de vital importancia para obtener buenos resultados de la estrategia de control implementada.
El buen desempeño presentado por el sistema de control implementado en este trabajo, permiten
decir que la función “linmod” implementada para la linealización de los modelos del brazo
manipulador alrededor de un punto de la trayectoria muestra un buen resultado.
El buen desempeño presentado por el controlador LRQ diseñado ante las diferentes pruebas
realizadas, permite decir que este tipo de controladores tienen buena respuesta ante el control de
las articulaciones de modelos mecánicos como el robot manipulador.
El seguimiento de la trayectoria con errores inferiores al 2.5%, permiten decir que la estrategia de
control utilizada LPV responde adecuadamente ante el control de sistemas No lineales. Además,
cabe resaltar que para el buen funcionamiento de esta estrategia de control es de vital
importancia que el controlador utilizado para obtener los puntos intermedios de operación para
modelos lineales presente buen desempeño, como el desempeño mostrado por el controlador
LQR diseñado en este trabajo.
El robot manipulador diseñado no garantiza cubrir todo la pared del tubo, teniendo en cuenta que
solo alcanza el 60% de la pared del tubo, lo que permite decir que es necesario seguir con el
diseño de otros prototipos que garanticen un área de cobertura de la pared del tubo mayor a la
del robot propuesto en este trabajo.
La integración del robot manipulador con la plataforma de inspección Ynami, muestra buen
desempeño pero con algunas limitaciones, tales como: la tubería donde puede operar debe ser
entre 24 y 26 pulgadas de diámetro, la plataforma de inspección debe estar en estado de reposo,
el diseño de la trayectoria se debe realizar a partir de la posición del robot inspector.
46
Trabajos fututos
Los resultados obtenidos en este trabajo permiten proponer algunas alternativas de desarrollo
futuras entre las que se encuentran:
Proponer otras estrategias control, para el control de trayectorias de un robot bajo las condiciones
de trabajo descritas en este documento.
Proponer el diseño de otro tipo de trayectorias para cumplir con las tareas de lijado y relleno.
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Bibliografía
[1] H. Alireza y M. Gholamhossein, «Developing a Sewer Inspection Robot through a
Mechatronics Approach,» International Conference on Mechanical, Automotive and Materials
Engineering (ICMAME'2012), pp. 187-191, 2012.
[2] H. Roth, K. Schilling, U. Weigele y M. Reisch, «Inspection- and Repair Robots for Waste Water
Pipes -,» IEEE, pp. 476-478, 1998.
[3] O. Duran, K. Althoefer y L. Seneviratne, «State of the Art in Sensor Technologies for Sewer
Inspection,» IEEE Sensors Journal, vol. 2, nº 2, pp. 73-81, 2002.
[4] O. Alfredo, «Aplicación de las metodologías de CCTV y los sistemas de información
geográficos (SIG) en la rehabilitación sin zanja de redes de alcantarillado,» Revista EMP, nº 6,
pp. 42-57, 2012.
[5] G. Martínez, S. Jáquez, J. Rivera y R. Sandoval, «Diseño propio y Construcción de un Brazo
Robótico de 5 GDL,» Revista de Ingenieía Eléctrica, Electrónica y Computación, vol. 4, nº 1, pp.
9-15, 2008.
[6] PUJ, UMNG, H&U_LTDA y COLCIENCIAS, «Diseño y construcción de una plataforma robótica
de exploración y reparación de tuberias hidrosanitarias, operada remotamente.,» Bogotá,
2013.
[7] L. Nosei, S. Farina, M. Avalos, L. Nachez, B. Gómez y J. Feugeas, «Comportamiento Frente a La
Corrosión del Acero Inoxidable AISI 316L Nitrurado por Plasma,» de Congreso
SAM/CONAMET, San Nicolas, 2007.
[8] C. Pupo, Metodologia para la selección de obras de ingeniería para la rehabilitación de redes
troncales de alcantarillado., Bogota, 2014.
[9] Sika_Colombia_S.A, Sikadur-35 Hi Mod LV, Tocancipá, Colombia, 2015.
[10] Tenazit_Abrasivos_especiales_S.A., Folleto cepillo de alambre, Mexico D.F, 2008.
[11] Colombia_S.A., Sika_, Sikadur®Injection Gel, Tocancipá, Colombia, 2015.
[12] A. Barrientos, Fundamentos de Robótica 2da. Edición, Madrid (España): McGraw-Hill.
[13] J. Colorado, Planeación de trayectorias -Pontifica Universidad Javeriana, Bogotá, 2014.
[14] Universidad Nacional Abiera y a Distancia, Matriz Jacobian del Manipualdor, Bogota.
48
[15] P. Corke, Robotic Toolbox for MATLAB, 2015.
[16] E. Cerna, Control Moderno y Óptino, Lima, 2009.
[17] J. Pareja, Desarrollo de estrategia de control para un brazo mecánico reparador de tuberías
hidrosanitarias, Bogotá, Colombia, 2015.
[18] P. Mauricio, V. Edilberto y R. Carol, «Modelamiento Dinámico y Control LQR de un
Quadrotor,» AVANCES Investigación en Ingeniería, nº 13, pp. 71-85, 2010.
[19] MathWorks, «MathWorks,» 2015. [En línea]. Available:
http://es.mathworks.com/help/control/ref/lqr.html. [Último acceso: 03 06 2015].
[20] G. Franklin, Feedback control of dynamic systems 4th edicion, upper saddle river: Prentice
Hall, 2002.
[21] J. Hespanha, Topics in Undergraduate Control Systems Design, Santa Barbara, 2014.
[22] Wikipedia, «Wikipedia,» 28 agosto 2015. [En línea]. Available:
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_parameter-varying_control. [Último acceso: 13 octubre
2015].
[23] A. Ollero, Robótica. Monipuladores y robots móviles, México D.F: Marcombo, alfaomega
grupo editores, S.A., 2007.
[24] A. Garcia, «Fisica con ordenador,» Diciembre 2010. [En línea]. Available:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/mov_general/aro_disco/aro_disco.htm. [Último
acceso: 21 10 2015].
[25] L. A. Sánchez y M. S. Saavedra, Curso Interuniversitario “Sociedad, Ciencia, Tecnología y
Matemáticas” - Matemáticas y robótica, Laguna, 2005.
[26] A. O. Baturone, ROBÓTICA. Manipuladores y robots móviles, Barcelona(España): MARCOMBO,
S.A., 2007.
[27] «Folleto informativo de operación y mantenimiento del alcantarillado Limpieza e inspección
de tuberías,» EPA, 1999.
[28] Y. K. Zheng Liu, «State of the art review of inspection technologies for condition assessment,»
Measurement, vol. 46, pp. 1-15, 2012.
[29] C. P. Duarte, Estado del arte de las tecnologías de inspección de sistemas de alcantarillado,
2008.
49
[30] «PureRobotics™ - Robots de inspección de tuberías,» 2012. [En línea]. Available:
http://www.puretechltd.com/espanol/services/robotics/.
[31] P. l. Corke., «A Robotics Toolbox for MATLAB,» IEEE Robotics &Automation Magazine, pp. 24-
32, 1996.
[32] R. Featherstone, Rigid Body Dinamics Algorithms, New York: Springer, 2008.
[33] R. Aquilino, Célula MPS-C, Estación Robot RV2-AJ. Manual de Funcionamiento, Festo, 2003.
[34] S. Abdalá y Ñ. Raul, Caracterizacion de un robot manipulador articulado, Cuernavaca, Morelo.,
México, 2003.
