Control Difuso vs. Control PID

UNIVERSIDAD AUTNOMA DEL ESTADO

DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERA

CONTROL DIFUSO Vs. CONTROL PID:

ANLISIS Y SIMULACIN NUMRICA

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TTULO DE

LICENCIADA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

P R E S E N T A

ADA HAZAEL RUIZ ALCNTARA

ASESORES DE TESIS:

DR. VIRGILIO LPEZ MORALES

DR. LUIS E. RAMOS VELASCO

PACHUCA DE SOTO, HGO. ABRIL DE 2007

Agradecimientos

Primeramente agradezco a Dios por la oportunidad de vivir, de caer y

levantarme, por las fuerzas que me da para superarme cada da, por confiar

en mi y por cumplir sus promesas en mi vida.

Agradezco al Dr. Virgilio Lpez Morales por compartir sus conocimientos, su

paciencia y su tiempo; a mis amigos que me aceptan como soy y que a pesar

de mis fallas, me brindan su amistad y perdn, su apoyo, palabras de aliento

y cario; a mis compaeros por sus experiencias y enseanzas; a mis

familiares por el soporte moral y a mi familia espiritual por sus oraciones ...

a todos ustedes por el apoyo en la culminacin de este proyecto.

En especial quiero dedicar este trabajo, a la lucecita que Dios me obsequi

para cuidar y protegerla. Hija ma, nunca te des por vencida aunque parezca

que no hay salida, confa en Dios y espera en l... te amo Kira.

Por cuanto en m ha puesto su amor, yo tambin lo librar: le pondr en alto,

por cuanto ha conocido mi nombre. Me invocar, y yo le responder; con l

estar yo, en la angustia; lo librar y le glorificar. Lo saciar de larga vida, y

le mostrar mi salvacin.

Salmos 91:14-16

ndice general

Resumen vii

1. Introduccin general 11.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Objetivo general: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Objetivos especficos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Justificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Organizacin de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Marco terico 52.1. Notacin bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Teora de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Operaciones sobre conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Operaciones en conjuntos difusos tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Linealizacin de un sistema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Controlador PID 293.1. Bases de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Ejemplo de modelado de un circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1. Caractersticas de los controladores P, I, y D . . . . . . . . . . . 333.3.2. Control en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.3. Mtodo Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Controlador difuso 414.1. Estructura general de un controlador difuso . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1. Interfaz de fuzificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.2. Base de reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.3. Base de conocimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.4. Mquina de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

ii NDICE GENERAL

4.1.5. Ejemplo de inferencia difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.6. Interfaz de defuzificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2. Ejemplo ilustrativo de defuzificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. Anlisis comparativo 575.1. Modelado del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1. Modelado matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.2. Modelado de simulacin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2. Sntesis del controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3. Sntesis del controlador difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4. Reglas del controlador difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.5. Anlisis del comportamiento del controlador difuso . . . . . . . . . . . 63

5.5.1. Evaluacin de las reglas activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.6. Clculo para la defuzificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.7. Implementacin de la simulacin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.7.1. Implementacin de la simulacin numrica del controlador PID . 725.7.2. Implementacin de la simulacin numrica del controlador difuso 75

5.8. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6. Conclusiones y perspectivas 816.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2. Perspectivas de trabajo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Bibliografa 85

ndice de tablas

2.1. Algunas T Normas parametrizadas y S Normas. . . . . . . . . . . 102.2. Operadores en conjuntos, en el lgebra booleana y la lgica tradicional. 112.3. Identidades bsicas de los conjuntos clsicos. . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1. Parmetros PID con mtodo de escaln de Ziegler-Nichols. . . . . . . . 363.2. Parmetros PID con mtodo frecuencial de Ziegler-Nichols. . . . . . . . 38

iii

ndice de figuras

2.1. Funciones de pertenencias para la estatura. . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Funciones de pertenencias para la estatura 165cm. . . . . . . . . . . . . 132.3. Interseccin de conjuntos Bajo y Mediano con el mnimo. . . . . . . . . 132.4. Interseccin de conjuntos Bajo y Mediano con el producto. . . . . . . . 142.5. Operacin unin de los conjuntos Bajo y Mediano empleando el mximo. 142.6. Operacin complemento del conjunto Bajo. . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7. Funcin de pertenencia difusa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8. Funciones de pertenencia para las variables de entrada. . . . . . . . . . 182.9. Funciones de pertenencia para las variables de salida. . . . . . . . . . . 192.10. Funciones de pertenencia para la salida con sus respectivos valores. . . 202.11. Funcin de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12. Sistema no lineal (tanque) bajo estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. Esquema de control de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2. Planta sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Modelo MatLab Simulink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4. Bloque PID en MatLab Simulink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Bloques elementales PID en MatLab Simulink. . . . . . . . . . . . . . . 343.6. Estructura de control realimentada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7. Respuesta del escaln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8. Periodo de oscilacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1. Estructura interna de un controlador difuso. . . . . . . . . . . . . . . . 424.2. Bloque de interfaz de fuzificacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3. Bloque de motor de inferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4. Bloque de interfaz de defuzificacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5. Evaluacin de la regla 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6. Evaluacin de la regla 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7. rea para realizar la defuzificacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.8. Primera funcin a calcular con la ecuacin (4.4). . . . . . . . . . . . . . 504.9. Segunda Funcin a calcular con la ecuacin (4.14). . . . . . . . . . . . . 51

5.1. Plataforma de trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

v

vi NDICE DE FIGURAS

5.2. Modelado numrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3. Parmetros del PID en MatLab Simulink. . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4. Relacin llenado-vaciado con respecto al error. . . . . . . . . . . . . . . 625.5. Funciones de pertenencia para el nivel del tanque. . . . . . . . . . . . . 645.6. Grados de pertenencia para la entrada de nivel 0.4. . . . . . . . . . . . 645.7. Funciones de pertenencia para la variable lingstica T_error. . . . . . 655.8. Funciones de pertenencia para la tasa de cambio del error. . . . . . . . 665.9. Funciones de pertenencia de Servovlvula. . . . . . . . . . . . . . . . . 665.10. Evaluacin de la Regla 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.11. Evaluacin de la Regla 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.12. Funciones activas en la Servovlvula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.13. Defuzificacin de la funcin Sin_cambios en Servovlvula. . . . . . . . 715.14. Modelo del tanque y los controladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.15. Modelo numrico del tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.16. Generador de seal de nivel de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.17. Parmetros del PID programados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.18. Error generado al utilizar el controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . 735.19. Seguimiento de la referencia al utilizar el controlador PID. . . . . . . . 745.20. Ley de control PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.21. Modelo difuso programado en ANFIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.22. Visualizacin de evaluacin de reglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.23. Reglas del sistema de inferencia difuso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.24. Funcin de membresa de E_nivel de lquido. . . . . . . . . . . . . . . 775.25. Funcin de membresa de T_error (velocidad de cambio). . . . . . . . . 775.26. Funcin de membresa de Servovlvula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.27. Grfica de la superficie de decisin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.28. Error de seguimiento de referencia con el controlador difuso. . . . . . . 795.29. Error de seguimiento con el controlador difuso. . . . . . . . . . . . . . . 795.30. Ley de control difuso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Resumen vii

Resumen

En este trabajo de tesis se presenta la evaluacin y anlisis de dos diferentes tiposde controladores, aplicados a la regulacin de nivel de lquido en un tanque, del cual sedrena de forma constante un cierto volmen de dicho lquido.

Al tanque se le alimenta el lquido por medio de una servovlvula, la cual es elelemento de control (actuador) para mantener el nivel en la referencia deseada por elusuario.

El primer controlador analizado consiste de un controlador que es extensamenteusado en la industria actual: el controlador PID. Para que este controlador funcionede una forma adecuada se tienen que sintonizar las ganancias proporcional, integral yderivativa.

El segundo controlador es un controlador difuso o inteligente, que realiza el controldel nivel de lquido en el tanque por medio de una serie de reglas y una mquina deinferencia, y se toman decisiones que normalmente aplicara un experto humano.

El control se realiza reduciendo el error entre la referencia deseada y la salida delsistema.

Captulo 1

Introduccin general

La mayora de los sistemas en la naturaleza tienen un comportamiento complejo,que no siempre puede ser capturado en un modelo matemtico de forma precisa. As,los sistemas sociales, biolgicos, econmicos, en redes interconectados, son altamentecomplejos y es necesario recurrir a la experiencia humana para comprender mejor elcomportamiento. Un sistema de control inteligente, como un controlador difuso puedecapturar este conocimiento del experto, e implementar por medio de una serie de reglas,y una mquina de inferencia, las decisiones que normalmente tomara en su lugar unexperto humano. Por otro lado, los procesos industriales cuentan en la gran mayoracon controladores clsicos de tipo Proporcional Integral Derivativo (PID), que realizanun buen trabajo para reducir el error del sistema, pero que muestran una clara defi-ciencia cuando al sistema completo se le presentan perturbaciones externas como ruido,interferencias, dinmicas no modeladas, cambios de parmetros, etc., que son comunesen un ambiente industrial. En este trabajo se presenta un anlisis basado en simulacinnumrica de estos dos tipos de controladores.

1.1. Objetivos

A travs del modelado, linealizacin, y puesta en marcha de los esquemas de controldifuso y PID, los objetivos de la presente tesis son los siguientes:

1.1.1. Objetivo general:

Analizar los resultados de simulacin numrica, entre dos diferentes tipos de con-troladores de un sistema no lineal: controlador difuso vs. controlador clsico.

1

2 1.2. Justificacin

1.1.2. Objetivos especficos:

Realizar el estado del arte para las tcnicas ms recientes para implementar uncontrolador difuso y un controlador PID.

Modelar una plataforma de pruebas de un sistema no lineal (tanque).

Implementar y simular numricamente los controladores sobre la plataforma depruebas.

Analizar los resultados de la simulacin numrica y obtener las conclusiones.

1.2. Justificacin

La mayora de los sistemas en la naturaleza tienen un comportamiento complejo,que no siempre puede ser capturado en un modelo matemtico de forma precisa. As,los sistemas sociales, biolgicos, econmicos, en redes interconectados, son altamentecomplejos y es necesario recurrir a la experiencia humana para comprender mejor elcomportamiento. Un sistema de control inteligente, como un controlador difuso puedecapturar este conocimiento del experto, e implementar por medio de una serie de reglas,y una mquina de inferencia, las decisiones que normalmente tomara en su lugar unexperto humano.

1.3. Contexto

En el sector industrial un sistema de control no lineal, como lo es un controladorde nivel de lquido de un tanque, es muy til ya que se ocupan en el control de niv-el de ciertos lquidos para fabricacin de productos como puede ser medicamentos osustancias para la realizacin de telas, comestibles, etc. Es importante que existan con-troladores que puedan garantizar la calidad del producto para el beneficio de la sociedad.

En este trabajo de tesis se presentan los resultados de simulacin numrica en unacomparacin de diferentes tcnicas entre un controlador difuso y un controlador clsico(PID). El controlador difuso, nos permite manejar y procesar informacin de manerasimilar a como lo hace un experto humano, a travs de la implementacin de una seriede reglas, y una mquina de inferencia. El controlador PID realiza un buen trabajo parareducir el error del sistema, pero muestra una clara deficiencia cuando se le presentanperturbaciones externas.

1. Introduccin general 3

1.4. Organizacin de la tesisEsta tesis consta de seis captulos que se encuentran organizados de la siguiente

manera:

En el Captulo 2, se establecen las bases mnimas y necesarias para el completoentendimiento de las tcnicas utilizadas en este trabajo. As tambin, se presenta elmodelado del sistema (tanque) que servir como plataforma de pruebas para el anlisiscomparativo de los dos controladores.

En el Captulo 3, se presenta el controlador PID y su sintonizacin para el sistemade tanque modelado en el Captulo 2. Se introducen diferentes perturbaciones externasal sistema para observar su desempeo.

En el Captulo 4, se presenta el controlador difuso y se implementa en la mismaplataforma de pruebas. Los mismos tipos de perturbaciones externas son introducidaspara su posterior anlisis.

En el Captulo 5, se presenta el anlisis comparativo de los dos controladores im-plementados en la plataforma de pruebas, as como el rendimiento y resultado de cadacontrolador.

En el Captulo 6 se analizaron cada uno de los controladores, aplicando el mis-mo sistema (tanque) y se pudo observar la forma en que trabajan cada uno de estoscontroladores.

Captulo 2

Marco terico

En este captulo se dan las bases tericas mnimas para poder entender y realizarlas operaciones con conjuntos difusos que aqu se muestran. As tambin sirve comouna base para la comprensin del modelado del sistema que nos servir de plataformade pruebas, hasta la realizacin en un paquete de software de simulacin numricacomercial (MatLab Simulink) de los dos tipos de controladores que se evalan en estetrabajo de tesis.

2.1. Notacin bsica

En las aplicaciones de la lgica difusa se encuentran soluciones a problemas decontrol industrial, en prediccin de series de tiempo, bsqueda en bases de datos, eninvestigacin de operaciones, en estrategias de mantenimiento predictivo y en otroscampos ms.

Las principales razones para la propagacin de estas aplicaciones quiz sea la sen-cillez conceptual de los sistemas basados en lgica difusa, su facilidad para adaptarsea casos particulares con pocas variaciones de parmetros, su habilidad para combinaren forma unificada expresiones lingsticas con datos numricos, y el no requerir dealgoritmos muy sofisticados para su implementacin.

2.1.1. Teora de conjuntos difusos

Para entender la teora de conjuntos difusos, es conveniente recordar algunos aspec-tos de la teora de conjuntos convencionales (que llamaremos conjuntos concretos), ya partir de all hacer una extensin a los conjuntos difusos. Para mayor informacinconsulte la bibliografa citada v. gr. [J. S.R. Jang et al., 1997].

Un conjunto concreto se define como una coleccin de elementos que existen dentrode un universo. As, si el universo consta de los nmeros enteros no negativos menoresque 10: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} entonces se puede definir algunos conjuntos como,

5

6 2.1. Notacin bsica

por ejemplo: A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {1, 4, 7}, etc.

Con estas definiciones se establece que cada uno de los elementos del universopertenecen o no a un determinado conjunto. Por lo tanto, cada conjunto puede definirsecompletamente por una funcin de pertenencia que opera sobre los elementos del uni-verso, y que le asigna un valor de 1 si el elemento pertenece al conjunto, y de 0 sino pertenece. Tomando como ejemplo el conjunto C enumerado arriba, su funcin depertenencia uC(x) sera de la siguiente forma:

uC(0) = 0, uC(1) = 1, uC(2) = 0,uC(3) = 0, uC(4) = 1, uC(5) = 0,uC(6) = 0, uC(7) = 1, uC(8) = 0,uC(9) = 0.

Un conjunto difuso se define de forma similar, con una diferencia conceptual im-portante: un elemento puede pertenecer parcialmente a un conjunto. De esta forma, unconjunto difuso D definido sobre el mismo universo U puede ser el siguiente:

D = {20%/1, 50%/4, 100%/7}

La definicin anterior significa que el elemento 1 pertenece en un 20% al conjuntoD (y por tanto pertenece en un 80% al complemento de D), en tanto que el elemento4 pertenece en un 50%, y el elemento 7 en un 100%.

En forma alternativa, diramos que la funcin de pertenencia uD(x) del conjunto Des la siguiente:

uD(0) = 0.0, uD(1) = 0.2, uD(2) = 0.0,uD(3) = 0.0, uD(4) = 0.5, uD(5) = 0.0,uD(6) = 0.0, uD(7) = 1.0, uD(8) = 0.0,uD(9) = 0.0.

Las primeras diferencias que se hacen evidentes entre los conjuntos concretos y losconjuntos difusos son las siguientes:

La funcin de pertenencia asociada a los conjuntos concretos slo puede tener dosvalores: 0 1, mientras que en los conjuntos difusos puede tener cualquier valorentre 0 y 1.

Un elemento puede pertenecer (parcialmente) a un conjunto difuso y simultnea-mente pertenecer (parcialmente) al complemento de dicho conjunto. Lo anteriorno es posible en los conjuntos concretos, ya que constituira una violacin al prin-cipio del tercer excluido.

2. Marco terico 7

Las fronteras de un conjunto concreto son exactas, en tanto que las de un con-junto difuso son, precisamente, difusas, ya que existen elementos en las fronterasmismas, y estos elementos estn a la vez dentro y fuera del conjunto.

2.1.2. Operaciones sobre conjuntos difusos

Las operaciones naturales definidas para conjuntos concretos pueden generalizarsepara trabajar con conjuntos difusos. Naturalmente, existe adems una gran cantidadde operadores nuevos, que no tienen correspondencia dentro de la teora de conjuntosconcretos [Oscar G., 2005].

Operadores de agregacin

La unin e interseccin de conjuntos concretos pueden verse desde un contexto msgeneral como operaciones de agregacin de conjuntos difusos.

Discutamos las operaciones interseccin y unin de los sistemas difusos, que se re-fieren a menudo como normas triangulares (T Normas) y conormas triangulares(S Normas), respectivamente. Las T-Normas son funciones de dos parmetros de laforma:

t : [0, 1] [0, 1] [0, 1],esto es

AB(x) = t[A(x), B(x)].

Interseccin: el resultado de efectuar la operacin de interseccin entre dos conjuntosdifusos A y B definidos sobre el mismo universo, y con funciones de pertenencia uA(x)y uB(x) respectivamente es un nuevo conjunto difuso A B definido sobre el mismouniverso, y con funcin de pertenencia uAB (x), dada por: uAB (x) = uA(x)()uB(x).

En donde el operador () debe satisfacer las siguientes propiedades:

1) Condiciones de frontera t(0, 0) = 0; t(A(x), 1) = t(1, A(x)) = A(x).2) Conmutativa t(A(x), B(x)) = t(B(x), A(x)).3) Monotona si A(x) C(x) y B(x) D(x), entonces

t(A(x), B(x)) t(C(x), D(x)).4) Asociativa t(A(x), t(B(x), C(x))) = t(t(A(x), B(x)), C(x)).5) Elemento neutro x()1 = x

(2.1)Todo operador que satisfaga las propiedades anteriores se conoce como una T

Norma, y representa la interseccin de dos conjuntos difusos.


Los operadores T Norma ms frecuentemente utilizados son:

Mnimo: T (a, b) = min(a, b)Producto algebrico: T (a, b) = abProducto acotado: T (a, b) = max(0, a+ b 1)

Producto drstico: T (a, b) =

a si b = 1b si a = 10 en otro caso

(2.2)

Una T Norma paramtrica representativa es la interseccin de Yager que es definidapor la funcin

tw(a, b) = 1min[1, ((1 a)w + (1 b)w) 1w ],

donde w (0,). Para w = 1, la interseccin de Yager se convierte en la ecuacindel producto acotado. Puede ser demostrado cuando w , tw(a, b) = min(a, b),y cuando w 0, tw(a, b) se convierte en el producto drstico. Es decir, la intersec-cin de Yager ocupa al operador mnimo cuando w . Se observa que el grado demembresa aumenta mientras que w aumenta. Por lo tanto, el parmetro w se puedeinterpretar como el grado de fuerza de la interseccin realizada. Algunas otras clases deT Normas paramtricas son demostradas en la Tabla 2.1. Para una mayor informa-cin Cf. [Yager, 1980].

Unin: el resultado de efectuar la operacin de unin entre dos conjuntos difu-sos A y B definidos sobre el mismo universo, y con funciones de pertenencia uA(x)y uB(x) respectivamente es un nuevo conjunto difuso A B definido sobre el mismouniverso, y con funcin de pertenencia uAB (x), dada por: uAB (x) = uA(x)(+)uB(x).

En donde el operador (+) debe satisfacer las siguientes propiedades:

1) Conmutatividad: x(+)y = y(+)x2) Asociatividad: (x(+)y)(+)z = x(+)(y(+)z)3) Monotona: si x < y y z < w entonces x(+)z < y(+)w4) Elemento neutro: x(+)0 = x

(2.3)

Todo operador que satisfaga las propiedades anteriores se conoce como una S Norma, y representa la unin de dos conjuntos difusos.

Los operadores S Norma ms frecuentemente utilizados son:

2. Marco terico 9

Mximo: S(a, b) = max(a, b)Suma algebrica: S(a, b) = a+ b abSuma acotada: S(a, b) = min(1, a+ b)

Suma drstica: S(a, b) =

a si b = 0b si a = 01 en otro caso

Una SNorma paramtrica tpica es la unin de Yager que es definida por la funcin:

sw(a, b) = min[1, (aw + bw)

1w ],

donde w (0,). Para w = 1, la unin de Yager se convierte en la ecuacin de lasuma acotada. Puede ser demostrado cuando w , sw(a, b) = max(a, b), y cuandow 0, sw(a, b) se convierte en la suma drstica. Se observa que el grado de membresadisminuye mientras que w aumenta. Algunas otras clases de SNormas paramtricastambin se demuestran en Tabla 2.1, con algunas intersecciones y uniones difusas, dondea A(x) y b B(x).Las relaciones entre las varias T Normas (intersecciones difusas) y las S Normas(uniones difusas) son caracterizadas por el teorema siguiente:

Teorema 2.1. Sean A y B sistemas difusos en el universo U . Las T Normas de lasecuaciones interseccin y producto drstico estn limitadas por las desigualdades,

tdp(a, b) = tmin(a, b) t(a, b) tmax(a, b) = min(a, b), (2.4)donde tdp(a, b) es el producto drstico en (2.4). Similares, son las S Normas ya quetambin estn limitadas por,

max(a, b) = smin(a, b) s(a, b) smax(a, b) = sds(a, b), (2.5)donde sds(a, b) es la suma drstica.

Se definen los operadores de unin e interseccin a partir de S y T respectivamentede la siguiente manera. Para todo conjunto concreto X,

(A S B)(x) = S(A(x), B(x))(A T B)(x) = T (A(x), B(x))

para todo x X y todo par de conjuntos difusos A y B sobre X.

Por lo tanto, las operaciones mnimas y mximas estndares son, respectivamente,el lmite superior de las T Normas (la interseccin ms dbil) y el lmite ms bajode las S Normas (la unin ms fuerte). Segn lo mencionado antes, la interseccinde Yager y la unin de Yager se convierten en las mnimas estndar y las operaciones


Referencias T-Normas S-Normas Rango(Intersecciones difusas) (Uniones difusas)

Schweizer y max{0, ar + br 1} 1r 1 1max{0,(ac)r+(bc)r1} 1r

r DSklar [1961]Hamacher ab

+(1)(a+bab)a+b(2)ab1(1)ab 0

[1978]

Frank [1979] logs[1 +(sa1)(sb1)

s1 ] 1 logs[1 + (sac1)(sbc1)

s1 ] s 0Yager [1980] 1mn{1, ((ac)w + (bc)w) 1w } mn{1, (aw + bw) 1w } w 0Dubois y ab

max{a,b,}a+babmn{a,b,1}

max{ac,bc,} 01Prade [1980]Dombi [1982] 1

1+[( 1a1)+( 1

b1)] 1

1

1+[( 1a1)+( 1

b1)] 1

0Werners [1988] mn{a, b}+ (1)(a+b)

2max{a, b}+ (1)(a+b)

2 01

Zimmermann (ab)(1)[1 (ac)(bc)] El parmetro 01y Zysno [1980] indica la compensacin

entre la intersecciny la unin.

donde ac = 1 a, Dinf = (,),bc = 1 b, 0inf = (0,), 01 = (0, 1).

Tabla 2.1: Algunas T Normas parametrizadas y S Normas.

mximas, respectivamente, cuando w 0, se convierten en las operaciones de tmin ysmax, respectivamente, cuando w 0. Por lo tanto, las clases de Yager de intersec-cin y de unin difusas cubre la gama entera de las operaciones segn lo dado por lasdesigualdades dentro de (2.4) y (2.5).

Complemento: el resultado de efectuar la operacin de complemento representadopor el operador N , sobre un conjunto difuso A definido sobre un universo, y con funcinde pertenencia A(x) es un nuevo conjunto difuso A definido sobre el mismo universo,y con funcin de pertenencia A(x), dada por: A(x) = 1 A(x).

El operador N debe satisfacer las siguientes propiedades:

1) Lmite N(1) = 0; N(0) = 12) Orden inverso N(x) N(y) si x > y3) Involucin N(N(x)) = x

los cuales pueden ser verificados fcilmente (Cf. [Nieves and Domnguez, 1995]).

Los operadores de negacin ms frecuentemente utilizados son:

2. Marco terico 11

Negacin clsica: N(x) = 1Negacin de Sugeno : N(x) = 1x

1+sxs > 1

Negacin de Yager: N(x) = (1 xw) 1w w > 0La introduccin de un operador de negacin permite definir una ley general de De

Morgan que relaciona operadores T Norma y S Norma [Bruno, 1999].

Principios de lgica difusa. Es bien conocido que la teora de conjuntos, el lgebrabooleana y la lgica tradicional son isomorfas1 . La Tabla 2.2 muestra la corresponden-cia de algunos operadores.

Teora de conjuntos lgebra Booleana Lgica TradicionalInterseccin Conjuncin AND

Unin Disyuncin ORComplemento Complemento NOT

Tabla 2.2: Operadores en conjuntos, en el lgebra booleana y la lgica tradicional.

El razonamiento lgico consiste en la combinacin de proposiciones para producirnuevas proposiciones; as, la combinacin de las proposiciones (X es A) y (Y es B) me-diante el operador AND da como resultado la proposicin (X es A)AND(Y es B). LaTabla 2.2 sugiere que puede representarse esta combinacin mediante un operador an-logo a la interseccin de conjuntos. Lo anterior es posible porque en la lgica tradicionaltoda proposicin puede tener uno de dos valores: verdadero o falso, lo que correspondeen la teora de conjuntos concretos a los nicos dos valores que puede tomar la funcinde pertenencia para cualquier conjunto: 0 1.

En lgica difusa una proposicin puede representarse por un conjunto difuso: (X esA) corresponde a un conjunto A con funcin de pertenencia uA(x), mientras que (Y esB) corresponde a un conjunto B con funcin de pertenencia uB(y), y la combinacin deestas dos proposiciones con el operador AND, es decir la proposicin (X es A)AND(Yes B) corresponde a un nuevo conjunto difuso (A)AND(B) con funcin de pertenenciau(A)AND(B)(x, y) = min(uA(x), uB(y)).

En donde se ha utilizado el operadormin para efectuar la interseccin de los dos con-juntos, pero en general podra haberse utilizado cualquier T Norma[Oscar G., 2005].

1 Que tienen una estructura subyacente similar, y que por tanto las definiciones que se hagan encualquiera de las tres teoras se puede llevar a las otras dos, mediante transformaciones adecuadas.


Ejemplo [Bruno, 1999]: se desea clasificar a los miembros de un equipo de ft-bol segn su estatura en tres conjuntos: Bajo, Mediano y Alto. Se plantea que se esBajo si se tiene una estatura inferior a, 160 cm., que se es Mediano si la estatura essuperior o igual a 160 cm. e inferior a 180 cm., y se es Alto si la estatura es superi-or o igual a 180 cm. De esta manera se lograra una clasificacin en conjuntos concretos.

Sin embargo, qu tan grande es la diferencia que existe entre dos jugadores delequipo, uno con estatura de 179.9 cm. y otro de 180.0 cm. ? . Ese milmetro de diferenciaquiz no represente en la prctica algo significativo, y sin embargo los dos jugadoreshan quedado rotulados con etiquetas distintas: uno es Mediano y el otro es Alto.

Sin embargo, si se efecta la misma clasificacin con conjuntos difusos estos cambiosabruptos se evitaran, debido a que las fronteras entre los conjuntos permitiran cam-bios graduales en la clasificacin. Con conjuntos difusos la clasificacin de los conjuntos:Bajo, Mediano y Alto, quedan representados en la Figura 2.1.

0

1

150 170 190

Grados dePertenencia

Funciones de Pertenencia

ALTOBAJO MEDIANO

Estatura (cm.)

Figura 2.1: Funciones de pertenencias para la estatura.

El universo de discurso sera el conjunto continuo de todas las posibles estaturas(el intervalo [130cm.,210cm.] por ejemplo). Tomando como ejemplo a una persona de165cm. de altura, los grados de pertenencia para los conjuntos Bajo, Mediano y Alto,sera de 0.25, 0.75 y 0, respectivamente. Los grados de pertenencia se muestran en laFigura 2.2.

Las Figuras 2.3 y 2.4 muestra la interseccin de los conjuntos Bajo y Mediano, cuan-do se emplean los operadores mnimo y producto de los operadores de una T Norma.

2. Marco terico 13

0

1

150 170 190



ALTOBAJO MEDIANO

Estatura (cm.)

0.25

0.75

165

Figura 2.2: Funciones de pertenencias para la estatura 165cm.

Figura 2.3: Interseccin de conjuntos Bajo y Mediano con el mnimo.


Figura 2.4: Interseccin de conjuntos Bajo y Mediano con el producto.

La Figura 2.5 muestra la unin de los conjuntos Bajo y Mediano del ejemplo, cuandose emplea el operador mximo de un operador S Norma.

Figura 2.5: Operacin unin de los conjuntos Bajo y Mediano empleando el mximo.

La Figura 2.6 muestra el complemento del conjunto Bajo del ejemplo, ya que es unoperador que se utiliza tambin en conjuntos difusos.

De esta manera se distingue la diferencia que existe entre los conjuntos concretosy conjuntos difusos, ya que en los conjuntos difusos no es tajante al clasificar comoal jugador con estatura de 179.9 cm., tiene parte de dos conjuntos, con diferentes

2. Marco terico 15

Figura 2.6: Operacin complemento del conjunto Bajo.

grados de pertenencia, tanto para el conjunto mediano como para el conjunto Alto[Oscar G., 2005].

A continuacin se explicarn algunos conceptos importantes, que ayudarn a enten-der este enfoque, al relacionarlo al marco de trabajo de la vida cotidiana.

Conceptos de lgica difusa Los seres humanos nos comunicamos y coordinamosacciones con datos como "...eres demasiado joven para hacer eso..."; Cunto es de-masiado?; Qu es joven?.

Con los conjuntos difusos podemos definir sub-conjuntos, de una manera tal quecualquier elemento pueda pertenecer a ellos en diferentes grados. Con reglas difusas, esposible procesar las relaciones entre las variables difusas y producir salidas difusas. Apartir de esas salidas difusas, podemos proporcionar cantidades binarias y cantidadescontinuas, como el estado de un interruptor o una cantidad de dinero.

Variable lingstica: contiene, entre otras cosas, una coleccin de atributos quepuede adquirir la variable, y cada atributo est representado por un conjunto difuso.Estos atributos reciben el nombre de valores lingsticos. Para estas variables lings-ticas se utiliza un nombre y un valor lingstico sobre un universo. Adems, podrndar lugar a sentencias generadas por reglas sintcticas, a las que se les podr dar unsignificado mediante distintas reglas semnticas.Por ejemplo, la velocidad de un coche, Velocidad, es una variable lingstica si sus val-ores son, alta, no alta, baja, no baja, muy baja, y as sucesivamente.

Una etiqueta lingstica tal como muy, ms o menos, ligeramente, etc... puede con-


siderarse como un operador que acta sobre un conjunto difuso asociado al significadode su operando. Por ejemplo en el caso de un trmino compuesto muy alto, el operadormuy acta en el conjunto difuso asociado al significado del operando alto. Se consideraque las etiquetas lingsticas pueden clasificarse en dos categoras que informalmentese definen como sigue:

Las que pueden representarse como operadores que actan en un conjunto difuso:muy, ms o menos, mucho, ligeramente, altamente, bastante, etc.

Las que requieren una descripcin de cmo actan en los componentes del conjun-to difuso (operando): esencialmente, tcnicamente, estrictamente, prcticamente,virtualmente, etc.

Los conjuntos difusos pueden utilizarse para representar expresiones tales como:

X es PEQUEO

La velocidad es RPIDA

El ganso es CLARO

Las expresiones anteriores pueden dar lugar a expresiones lingsticas ms complejascomo:

X no es PEQUEO

La velocidad es RPIDA pero no muy RPIDA

El ganso es CLARO y muy ALEGRE

As, se pueden ir complicando las expresiones. Por ejemplo, la expresin "X no esPEQUEO" puede calcularse a partir de la original calculando el complemento de lasiguiente forma:

no-PEQUEO(x) = 1 - PEQUEO(x)

Tratando de esta forma los distintos modificadores lingsticos (muy, poco, rpido,lento...) pueden ir calculndose todas las expresiones anteriores.

Reglas de inferencia. El proceso de aplicar una relacin en particular para la in-terpretacin y evaluacin de una implicacin difusa se denomina proceso de inferenciao simplemente inferencia. Las reglas se expresan entonces en trminos de las variableslingsticas, y son similares a las que a continuacin se enuncian:

Preposicin simple:SI {antecedente} ENTONCES {consecuente}

2. Marco terico 17

Preposicin compuesta:SI {antecedente 1} CONECTIVO(Y, O, NO) {antecedente 2} ENTONCES{consecuente}

Por ejemplo,SI {Velocidad = Lento} Y {Origen = Lejos} ENTONCES {Gas = Incrementa}

Funcin de pertenencia o membresa. De manera intuitiva se tiene el conceptode conjunto como una coleccin bien definida de elementos, en la que es posible deter-minar para un objeto cualquiera, en un universo dado, si acaso ste pertenece o no alconjunto. La decisin, naturalmente, es s pertenece, o bien no pertenece.

El grado de pertenencia de un elemento a un conjunto se determina por una funcinde pertenencia, que puede tomar todos los valores reales comprendidos en el intervalo[0, 1]. La representacin de la funcin de pertenencia de un elemento a un conjuntodifuso se representa en la Figura 2.7.

Pertenencia dea en F

a

F

Figura 2.7: Funcin de pertenencia difusa.

Fuzificacin. Es la traduccin de valores del mundo real al ambiente difuso medianteel uso de funciones de pertenencia. Este proceso evala cada una de las reglas de infer-encia de la base de reglas para un valor especfico. Por ejemplo, si se quiere tener unamedida difusa de una medicin de velocidad de rotacin de un motor, las funciones depertenencia que traducen a la variable lingstica Velocidad, se muestra en la Figura 2.8.

Valor de referencia de la V elocidad = 55 Km/s.

Los valores difusos grados de pertenencia en las funciones de pertenencia son:Lento = 0.25, Medio = 0.75, Rpido = 0.


0

1

40 60 80



RPIDOLENTO MEDIO

Velocidad

0.15

0.75

55

Figura 2.8: Funciones de pertenencia para las variables de entrada.

Evaluacin de reglas de inferencia:Tome por ejemplo la siguiente regla:SI {Velocidad = Lento} Y {Origen = Lejos} ENTONCES {Gas = Incrementa}

Se toman los datos que se obtuvieron en la Figura anteriorLento = 0.15 y Lejos = 0.82.

La validez de la regla es 0.15 porque se utiliza una T Norma en este caso se utilizel mnimo valor de los dos que existan y la variable difusa Incrementa toma el valorde 0.15.

Se evala otra regla:SI {Velocidad = Medio} Y {Mas alta(higher)= Seguro } ENTONCES {Gas =

Incrementa}

Se asume en este caso, Medio = 0.75 y Seguro = 0.5.

La validez de la regla es 0.5 al igual que la anterior regla se utiliza una T Normay tambin se utiliza el mnimo valor y la variable difusa Incrementa toma el valor de 0.5.

De esta manera, nos encontramos con dos reglas involucrando a la variable difusaIncrementa. Se aplica una S Norma utilizando un "OR" entre los resultados de las

2. Marco terico 19

dos reglas, por lo que se toma el mximo valor entre los dos operandos, como resultado,se tiene Incrementa = 0.5.

Defuzificacin Despus de calcular las reglas de inferencia y evaluar las variableslingsticas, y tener como resultado salidas difusas, se necesita trasladar estos valoresnuevamente hacia el mundo real. Requeriremos entonces de una funcin de pertenenciapara cada una de las variables de salida, como se muestra en la Figura 2.9.

Figura 2.9: Funciones de pertenencia para las variables de salida.

Tomando en cuenta los valores calculados anteriormente,

Disminuir = 0.2 , Mantener = 0.8 , Incrementa = 0.5.

Cada funcin de pertenencia es truncada al valor de la respectiva variable difusa,tal como se muestra en la Figura 2.10.

Se construye ahora, una nueva funcin de pertenencia de salida, tomando para cadapunto en el eje horizontal, el mximo valor entre las tres funciones de pertenenciaanteriores. El resultado de esta operacin es mostrada en la Figura 2.11.

Para completar el proceso de defuzificacin, todo lo que resta por hacer es encontrarun punto de equilibrio. Una manera de realizar esto, es mediante el mtodo del centrode gravedad (COG),

COG =

baf(x)xdx b

af(x)dx

(2.6)

El resultado o valor final, COG = 2.6.


Figura 2.10: Funciones de pertenencia para la salida con sus respectivos valores.

Figura 2.11: Funcin de salida.

2. Marco terico 21

Por lo tanto podemos ver que en este ejemplo se realiza la fase de Fuzificacin altrasladar los valores del mundo real (referencia) a valores difusos por medio de funcionesde pertenencia. Una vez que se tiene un valor de referencia, cada una de las funciones depertenencia, participa en la evaluacin de este valor. En el momento en que se tienenlos grados de pertenencia para cada funcin evaluada, se pueden calcular los valoresde salida difusos por medio de una T Norma S Norma segn corresponda. Porltimo se tienen que transformar los valores de salida difusos en valores del mundo real,lo que se llama defuzificacin, existen diferentes mtodos para lograr esto, en el ejemploanterior se utiliz el centro de gravedad (COG). En el siguiente captulo se explicarcon detalle, este mtodo de defuzificacin.

A continuacin y una vez que se ha revisado los principios bsicos de la lgica difusa,se dan algunas definiciones que sern de utilidad posteriormente.

Definicin 2.1. Soporte:El soporte de un conjunto difuso A es el conjunto de todos los puntos x en X tal queA(x) > 0:

soporte(A) = {x|A(x) > 0} (2.7)Definicin 2.2. Centro:El centro de un conjunto difuso A es el conjunto de todos los puntos x en X tal queA(x) = 1:

centro(A) = {x|a(x) = 1} (2.8)Definicin 2.3. Normalidad:Un conjunto difuso A es normal si su centro es no vaco. En otras palabras, siempre sepuede encontrar un punto x X tal que A(x) = 1Definicin 2.4. Puntos de cruce:Un punto de cruce de un conjunto difuso A es un punto x X en el cual A(x) = 0.5:

puntodecruce(A) = {x|(x) = 0.5} (2.9)Definicin 2.5. Unielemento difuso:

Un conjunto difuso cuyo soporte es un punto en X con A(x) = 1 se le llamaunielemento difuso

Definicin 2.6. -corte y -corte fuerte:El -corte o conjunto de -nivel de un conjunto difuso A es un conjunto duro definido

22 2.2. Operaciones en conjuntos difusos tericos

por:

A = {x|A(x) } (2.10)-corte fuerte o conjunto -nivel fuerte se definen de forma similar como:

A = {x|A(x) > } (2.11)Usando la notacin para un conjunto de nivel, se puede expresar el soporte y el

centro de un conjunto difuso A como:

soporte(A) = A,0 (2.12)

ycentro(A) = A1 (2.13)

respectivamente.

Definicin 2.7. Anchos de banda de los conjuntos difusos normales:Para un conjunto difuso normal, el ancho de banda o amplitud est definida como ladistancia entre dos puntos de cruces nicos:

amplitud(A) = |x2 x1|, (2.14)donde A(x1) = (x2) = 0.5, donde |.| representa el valor absoluto.

2.2. Operaciones en conjuntos difusos tericosLa unin, la interseccin y el complemento son las operaciones ms bsicas en los

conjuntos clsicos. Sobre las bases de estas tres operaciones, un nmero de identidadespuede ser establecida como se ilustra en la Tabla 2.3. Estas identidades pueden ser verifi-cadas usando los diagramas de Venn, tomando a A,B y C como conjuntos duros, a A, By C como sus correspondientes complementos, X es el universo y es el conjunto vaco.

En correspondencia con las operaciones de conjuntos ordinarios de unin, intersec-cin, y complemento los conjuntos difusos tienen operaciones similares las cuales fueroninicialmente definidas en el artculo pionero de Zadeh [Zadeh, 1965]. Antes de introducirestas tres operaciones difusas, primero definiremos la notacin de contencin, la cualjuega un papel central tanto en los conjuntos ordinarios como en los difusos.

Definicin 2.8. Contencin o subconjunto:Un conjunto difuso A esta contenido en un conjunto difuso B (o de forma equivalente Aes un subconjunto de B o es ms pequeo que o igual que B) s y solo s A(x) B(x)

2. Marco terico 23

Ley de contradiccin A A =

Ley del medio excluido A A = X

Idempotencia A A = A, A A = A

Involucin A = A

Conmutatividad A B = B A, A B = B A

Asociatividad (A B) C = A (B C)(A B) C = A (B C)

Distributividad A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

Absorcin A (A B) = AA (A B) = A

Absorcin de complementos A (A B) = A BA (A B) = A B

Leyes de DeMorgan A B = A BA B = A B

Tabla 2.3: Identidades bsicas de los conjuntos clsicos.

24 2.2. Operaciones en conjuntos difusos tericos

para toda x.Es decir,

A B A(x) B(x) (2.15)Definicin 2.9. Unin (disjuncin):La unin de dos conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso C, que se escribe comoC = AB o C = AOB, cuya funcin de membresa est relacionada con las de A y Bpor

C(x) = max(A(x), B(x)) = A(x) B(x) (2.16)Como fue resaltado por Zadeh, una definicin ms intuitiva pero equivalente de la

unin es la de el conjunto difuso ms pequeo que contiene ambos A y B. De formaalterna, si D es cualquier conjunto difuso que contiene ambos A y B, entonces estetambin contiene A B. La interseccin de los conjuntos difusos puede ser definida deforma anloga:

Definicin 2.10. Interseccin (conjuncin):La interseccin de dos conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso C, que se escribecomo C = A B o C = AYB, cuya funcin de membresa est relacionada con las deA y B por

C(x) = mn(A(x), B(x)) = A(x) B(x) (2.17)Como en el caso de la unin, es obvio que la interseccin de A y B es el ms grande

conjunto difuso el cual esta contenida tanto en A como en B. sta se reduce a la ope-racin ordinaria de interseccin si tanto A como B son no difusos.

Definicin 2.11. Complemento (negacin): El complemento de un conjunto difusoA, denotado por A ( A, NO A), est definido como

A(x) = 1 A(x). (2.18)A continuacin se definen otras operaciones sobre los conjuntos difusos las cuales

son tambin generalizaciones directas de las operaciones sobre conjuntos ordinarios.

Definicin 2.12. Producto cartesiano y co-producto. Sean dos conjuntos difusosA y B en X y Y respectivamente. El producto cartesiano de A y B denotado por AB,es un conjunto difuso en el espacio producto X Y con la funcin de membresa

AB(x, y) = mn(A(x), B(x)) (2.19)

De forma similar el co-producto cartesiano A + B es un conjunto difuso con lafuncin de membresa

A+B(x, y) = max(A(x), B(x)) (2.20)

2. Marco terico 25

En la Seccin 2.3, se introduce de forma breve, la manera en que se puede linealizara un sistema no lineal para poderlo trabajar en un zona lineal. Esto es debido a queel controlador clsico que se compara en este trabajo de tesis es un controlador P.I.D.que funciona para sistemas lineales. Tambin, dado que la plataforma de pruebas de losesquemas de control analizados en este trabajo de tesis, es para el control de nivel deun lquido contenido en un tanque, se desarrolla la linealizacin precisamente para estetipo de sistemas.

2.3. Linealizacin de un sistema no linealSuponga por el momento que se desea linealizar una planta hipottica de control de

nivel, como se muestra en la Figura 2.12.

Figura 2.12: Sistema no lineal (tanque) bajo estudio.

El modelo dinmico de esta planta, es un modelo no lineal. En este proceso, sedispone de un controlador de nivel (L.C.) y un controlador de flujo (F.C.) para regularel nivel de agua en el depsito cilndrico con base de rea A(A = 1m2). El controladorde nivel compara la respuesta del medidor de nivel (L.T.):Vh(t) = 5h(t), con una tensinde referencia: Vr(t). Su salida se combina con la del medidor de flujo (F.T.): Vq(t) =1.56q2(t) en el controlador de flujo, cuya respuesta acta sobre la vlvula de entrada deagua al tanque, la funcin de transferencia de esta vlvula es:

(s)

V (s)=

0.2

1 + 25s

Siendo (t) la abertura de la vlvula. El caudal de entrada resultante es: qe(t) =4(t) en 1/s. El caudal de salida podemos asumirlo en la forma:

qs(t) = K(t)h(t),

26 2.3. Linealizacin de un sistema no lineal

donde se incluye una aproximacin del rea de la seccin de apertura de la vlvula, (t),la velocidad de salida del lquido y una constante K que depender de la geometra dela vlvula (que tomaremos K = 4 en nuestro caso). Si definimos un punto de equilibriodel sistema en Vro = 7v y 0 = 0.5 vamos a estudiar para variaciones en Vr(t) y (t)el comportamiento del mismo. En nuestro caso, las ecuaciones que definen al sistemasern:

Caudal de entrada:

qe(t) = 4(t)

Ecuacin diferencial derivada de la funcin de transferencia de la vlvula neumti-ca de entrada:

(t) + 25d(t)

dt= 0.2V (t) (2.21)

Caudal de salida:qs(t) = K(t)

h(t) (2.22)

Medidor de nivel (L.T.):

Vh(t) = 5h(t)

Controlador de nivel (L.C.):

Vn(t) = 1.25(Vr(t) Vh(t))

Medidor de flujo (F.T.):

Vq(t) = 1.56q2s(t) (2.23)

Controlador de flujo (F.C.):

V (t) = Vn(t) + 0.016Vq(t)

Ecuacin de continuidad en el tanque:

qe(t) qs(t) = Adh(t)dt

(2.24)

2. Marco terico 27

A continuacin procederemos a evaluar las distintas variables en el punto de equi-librio, asumiendo que las derivadas nulas en las ecuaciones (2.21) y (2.24), resulta:

qeo = 4oo = 0.2Voqso = Ko

ho

Vho = 5hoVno = 1.25(Vro Vho)Vqo = 1.56q

2so

Vo = Vno + 0.016Vqoqeo qso = 0

(2.25)

con Vro = 7v y Bo = 0.5, y utilizando las ecuaciones anteriores, resulta en:

(0.00624K2 6.25)2h2o + [17.5(0.00624K2 6.25) 0.3906K2]ho + 76.56 = 0Que particularizado para K = 4, se obtiene la siguiente ecuacin:

37.82h2o 113.87ho + 76.56 = 0De donde resultan dos soluciones de equilibrio:

h01 = 1.99716 2m; h02 = 1.0135 1mPara la segunda solucin, se tienen los siguientes valores en el equilibrio:

ho = 1m; Vo = 2.5v; Vho = 5v; qeo = 21s ; Vqo = 6.24v; Vno = 2.484v

Para obtener un modelo lineal en torno a este punto de equilibrio, finalizamos lasecuaciones (2.22) y (2.23) como sigue:

(qs, , hs) = qs Kh = 0

(Vq, qs) = Vq 1.56q2s = 0(2.26)

Para pequeas variaciones alrededor del punto definido anteriormente se tendr:

qs|oqs(t) +

|o(t) +

h|oh(t) = 0

qs|oqs(t) +

Vq|oVq(t) = 0

Esto es, las correspondientes ecuaciones linealizadas sern:

qs(t) = k1(t) + k2h(t); k1 = Kho y k2 = 0.5K2ho

Vq(t) = k3qs(t); k3 = 3.12qso

Para el valor de K = 4, las ecuaciones (2.22) y (2.23) linealizadas son:

qs(t) = 4(t) + h(t);

Vq(t) = 6.24qs(t)

28 2.4. Comentarios

2.4. ComentariosEn este captulo se explicaron todas las bases para entender de forma general que

es la lgica difusa, sus conceptos bsicos como la fuzificacin que es la traduccin devariables que comprendemos como seres humanos a un mundo difuso y la defuzificacinque es la traduccin de las variables difusas que se obtuvieron como resultado de lasreglas de inferencia evaluadas, al mundo real un valor concreto para activar un sistema.Tambin se explic brevemente el modelado de un sistema que ser el que se analizaren este trabajo de tesis.

En el siguiente captulo se explicar especficamente el funcionamiento del contro-lador PID, los bloques que contiene este controlador, el funcionamiento de estos bloquesy se darn ejemplos, para su comprensin.

Captulo 3

Controlador PID

El objetivo de este captulo es el de familiarizar al lector y profundizar en elconocimiento de la estructura de control PID, usada en el mundo industrial. Para ellose emplear como plataforma de simulacin numrica, el software de simulacin de sis-temas dinmicos Simulink, asociado al paquete de computacin tcnica MatLab 7.0. Ladescripcin del control PID y los puntos a tratar se expresan en los siguientes apartados.

El control automtico desempea un papel importante en los procesos de manufac-tura, industriales, navales, aeroespaciales, robtica, econmicos, biolgicos, etc. Tam-bin el control automtico va ligado a, prcticamente, todas las ingenieras (elctrica,electrnica, mecnica, sistemas, industrial, qumica, etc.)

3.1. Bases de control

El controlador PID existe desde hace mucho tiempo y de hecho muchos sistemasindustriales utilizan estos controladores clsicos.

A continuacin se definen algunos trminos bsicos de la Teora de Control, paratener una base mmima de desarrollo.

Planta o sistema a controlar: entidad fsica que se desea controlar. Consiste enun conjunto de elementos que actan coordinadamente para realizar un objetivo deter-minado.

Una planta o sistema puede ser: un motor, un horno, un sistema de disparo,un sistema de navegacin, un tanque de combustible, etc.

Proceso: operacin que conduce a un resultado determinado.

29

30 3.1. Bases de control

Seal de salida: es la variable que se desea controlar (posicin, velocidad, presin,temperatura, etc.). Tambin se denomina variable controlada. Para nuestro ejemplo dela Figura 3.1, es el voltaje que se desea obtener del capacitor Vs.

CONTROLADOR 1LCS 2 + RCS + 1Ve VsR

+-

E

Figura 3.1: Esquema de control de un sistema.

Seal de referencia: es el valor que se desea que alcance la seal de salida. Eneste caso dado por R.

Error: es la diferencia entre la seal de referencia y la seal de salida real. En estecaso dado por E.

Seal de control: es la seal que produce el controlador para modificar la variablecontrolada de tal forma que se disminuya, o elimine, el error. En este caso dado por C.

Seal anloga: es una seal continua en el tiempo.

Seal digital: es una seal que solo toma valores de 0 y 1. La PC solo enva y/orecibe seales digitales.

Conversor anlogo/digital: es un dispositivo que convierte una seal analgicaen una seal digital (0 y 1).

Conversor digital/anlogo: es un dispositivo que convierte una seal digital enuna seal analgica (corriente o voltaje).

Perturbacin: es una seal que tiende a afectar una medicin del sistema, desvin-dola del valor real. Pueden existir perturbaciones a la salida, a la entrada as como dentrodel sistema, es decir internas.

Sensor: es un dispositivo que convierte el valor de una magnitud fsica (presin,flujo, temperatura, etc.) en una seal elctrica codificada ya sea en forma analgicao digital. Tambin es llamado transductor. Los sensores, o transductores, analgicosenvan, por lo regular, seales normalizadas de 0 a 5 voltios, 0 a 10 voltios o 4 a 20 mA.

Sistema de control en lazo cerrado: es aquel en el cual continuamente se estmonitoreando la seal de salida para compararla con la seal de referencia y calcular

3. Controlador PID 31

la seal de error, la cual a su vez es aplicada al controlador para generar la seal decontrol y tratar de llevar la seal de salida al valor deseado. Tambin es llamado controlrealimentado.

Sistema de control en lazo abierto: en estos sistemas de control la seal desalida no es monitoreada para generar una seal de control.

3.2. Ejemplo de modelado de un circuito RLCSe muestra en la Figura 3.2 un sistema en el cual tiene un voltaje de entrada Ve,

y una corriente i que pasa por una bobina L, por una resistencia R y un capacitor C,obtenindose un voltaje de salida Vs.

Ve

L R

C

i

Vs

Figura 3.2: Planta sistema.

Suponga que,

1. Solo est la resistencia R entonces Ve = Ri

2. Solo est la bobina L entonces Ve = Ldidt

3. Solo est el capacitor C entonces Ve = 1Cidt.

Ahora suponga que los tres elementos RLC estn conectados,

Ve = Ri+ Ldi

dt+

1

C

i dt (3.1)

y tomamos como voltaje de salida, el voltaje en el capacitor,

Vs =1

C

i dt. (3.2)

32 3.3. Controlador PID

Para obtener la relacin entre la entrada y la salida, se realiza

VsVe

=1C

i dt

Ri+ Ldidt+ 1

C

i dt

. (3.3)

La ecuacin de transferencia temporal (3.3) no es til debido a que los operadoresde diferenciacin e integracin se encuentran con respecto al tiempo y se necesitan queestn con respecto a la frecuencia.

Para poder transformar los operadores de diferenciacin e integracin con respectoa la frecuencia se aplica la transformada de Laplace en este caso a (3.1) y (3.2).

Con la ecuacin (3.1), se hace la transformada del voltaje de entrada,

Ve(S) = Ri(S) + LSi(S) +1

C

i(S)

S. (3.4)

Con la ecuacin (3.2), se hace la transformada del voltaje de salida,

Vs(S) =1

C

i(S)

S. (3.5)

Para poder encontrar la llamada funcin de transferencia, es necesario obtener larelacin entre el voltaje de entrada y salida,

VsVe

=1Ci(S)S

Ri(S) + LSi(S) + 1Ci(S)S

, (3.6)

y de aqu se obtiene

VsVe

=1

LCS2 +RCS + 1. (3.7)

La ecuacin (3.6) es la unin de las dos ecuaciones de voltaje de entrada y salidatransformadas, ahora si podemos continuar, porque los operadores de diferenciacin eintegracin se encuentran en la frecuencia.

Despus de haber obtenido el modelo matemtico se obtiene su modelado numrico,se muestra en la Figura 3.3, utilizando la herramienta MatLab Simulink.

3.3. Controlador PIDEl controlador PID es una estructura de control en la que la seal de control del

proceso se expresa en funcin del error, e(t) = yref (t)y(t), segn la expresin estndar:

u(t) = Kp

[e(t) +

Kie()d +Kd

de(t)

dt

](3.8)


Ue 1LCS 2 + RCS + 1

entrada scope

Figura 3.3: Modelo MatLab Simulink.

donde Kp, Ki y Kd corresponden respectivamente a las constantes: Proporcional, Inte-gral y Derivativa del controlador.

La expresin anterior puede igualmente expresarse como la siguiente funcin detransferencia del controlador PID, aplicando la trasformada de Laplace:

K(s) =U(s)

E(s)= Kp

[1 +

Kis+Kds

]. (3.9)

Esta funcin de transferencia puede programarse en MatLab Simulink 7.0 de dosmodos distintos:

1. Empleando el bloque PID que proporciona el software para este controlador quepuede encontrarse en Simulink Extras ->Additional Linear.

Pulsando dos veces sobre este bloque obtenemos la ventana de dilogo donde pode-mos introducir los parmetros del controlador arriba indicados, como se muestraen la Figura 3.4.

2. Tambin es posible construir la estructura del PID partiendo de bloques elemen-tales de Simulink del modo como se muestra en la Figura 3.5.

Esta segunda estructura ser la que emplearemos en este trabajo de tesis. Para ma-yor informacin consulte [Vivas-Venegas, 1999].

3.3.1. Caractersticas de los controladores P, I, y D

Un controlador proporcional (Kp) tendr el efecto de reducir el tiempo de elevaciny reducir, sin jams eliminar, el error de estado estacionario.

Un control integral (Ki) tendr el efecto de eliminar el error de estado estacionario,pero puede empeorar la respuesta transitoria.

Un control derivativo (Kd) tendr el efecto de incrementar la estabilidad del sis-tema, reduciendo el sobrepico, y mejorando la respuesta transitoria y sirve comopredictor.


Figura 3.4: Bloque PID en MatLab Simulink.

Figura 3.5: Bloques elementales PID en MatLab Simulink.


3.3.2. Control en lazo cerrado

Para comprobar la influencia del controlador PID en el sistema propuesto se cons-truir la siguiente estructura de control realimentada (Ver Figura 3.6):

+

-

0.1 0

0

1s

dudt

+

+

+

20.5s + 1

+

+Referencia

Kp Ki

Kd

Integrator

Derivative

Transfer Fnc TransportDelay

Perturbacin

Scope

Figura 3.6: Estructura de control realimentada.

Esta estructura representa un control PID clsico que incluye el controlador en lacadena directa del sistema.

Para que este controlador funcione se tiene que sintonizar los parmetros, existenvarios mtodos de sintonizacin como el de la respuesta al escaln.

A continuacin se explica el ajuste del controlador PID por medio del mtodo deZiegler-Nichols.

3.3.3. Mtodo Ziegler-Nichols

Para un ajuste inicial del controlador anterior, emplearemos las conocidas reglas deZiegler- Nichols [Wikipedia, 2007].

a) Primer mtodo de Ziegler-NicholsLas caractersticas del sistema estudiado permite emplear el mtodo de respuesta a

escaln de Ziegler-Nichols que caracteriza un sistema mediante dos parmetros, L y T ,obtenidos a partir de la respuesta a lazo abierto del mismo como representa la Figura3.7.

Segn este procedimiento de sintonizacin los parmetros del controlador puedenobtenerse de acuerdo con las expresiones de la Tabla 3.1.

De este modo a partir de la respuesta a lazo abierto del sistema, calcularemos loscontroladores P ,PI y PID apropiados para nuestro sistema.

Para cada uno de los tres controladores anteriores se pide:


Figura 3.7: Respuesta del escaln.

Controlador Kp Ki Kd

P TL

0 0

PI 0.9TL

0.3L

0

PID 1.2TL

12L

0.5L

Tabla 3.1: Parmetros PID con mtodo de escaln de Ziegler-Nichols.


1. Calcular las respuesta en el dominio temporal y caracterizar la respuesta segnla ganancia esttica a lazo cerrado (K0), sobreoscilacin (SO), tiempo de subida(ts), tiempo de establecimiento (te) y tasa de decaimiento (rd).

2. Modificar los parmetros de cada controlador para un ajuste fino de la respuestaanotando la influencia del aumento o disminucin de cada parmetro en la res-puesta temporal.

b) Segundo mtodo de Ziegler-NicholsEl segundo mtodo de Ziegler-Nichols, o mtodo de respuesta en frecuencia es un

mtodo alternativo de sintonizacin de un PID que puede describirse como sigue:

1. es necesario ajustar las ganancias integral y derivativa a cero, esto es Ki = 0 yKd = 0.

2. partiendo de un valor bajo de la ganancia proporcional, Kp, se va aumentandosta gradualmente hasta conseguir un comportamiento oscilatorio mantenido enla respuesta del sistema tal como muestra la Figura 3.8. A sta ganancia la lla-maremos KU .

3. El otro parmetro que nos hace falta es el periodo de oscilacin del sistema parasta ganancia, que llamaremos TU , y que se calcula como muestra en la Figura 3.8.

4. Con los valores de KU y TU y al revisar la Tabla 3.2 de Ziegler-Nichols se calculanlos parmetros correspondientes.

Para cada uno de los tres controladores, P , PI y PID, se pide: calcular la respuestaen el dominio temporal y caracterizarla segn la ganancia esttica en lazo cerrado (K0),sobreoscilacin (SO), tiempo de subida, (ts), tiempo de establecimiento (te) y tasa dedecaimiento (rd).

3.4. Comentarios

En este captulo se explicaron las bases de un controlador automtico, para poderentender la funcin de un controlador PID, as como la nomenclatura que se utiliza estecontrolador para una mayor comprensin.

38 3.4. Comentarios

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

Sa

lida

Tu

Figura 3.8: Periodo de oscilacin.

Controlador Kp Ki Kd

P 0.5KU 0 0

PI 0.45KU 1.2TU 0

PID 0.6KU 2TU 0.125TU

Tabla 3.2: Parmetros PID con mtodo frecuencial de Ziegler-Nichols.


Como se explic en este captulo, cuando se obtiene el modelo matemtico del sis-tema a controlar, se puede realizar diferentes pruebas, simulando el modelo en diferentesplataformas. Una de ellas es la plataforma MatLab Simulink, que se revis brevementeen una de las secciones.

Para que el controlador PID, tenga el mejor funcionamiento, es importante que susganancias sean sintonizadas correctamente, por lo que se explic el mtodo de Ziegler-Nichols para poder sintonizar las ganancias de proporcin, integracin y derivacin, enlazo cerrado y lazo abierto.

En el siguiente captulo se explicar y se aplicarn estos conocimientos al sistemaa controlar (tanque), a travs del controlador PID. Se sintonizarn las ganancias delcontrolador PID, con uno de los mtodos mencionados en este captulo, para obtenerun resultado satisfactorio para el buen desempeo de este controlador.

Captulo 4

Controlador difuso

En este captulo se explica que es un controlador difuso, as como su estructurageneral y cada una de las funciones que realiza cada bloque que forma parte de uncontrolador difuso como lo es la interfaz de fuzificacin, la mquina de inferencia y lainterfaz de defuzificacin. Se dan algunos ejemplos para la comprensin de la funcinque tiene cada fase de un controlador difuso.

Los controladores difusos se basan en un conjunto de reglas heursticas donde lasvariables lingsticas de las entradas y salidas se representan por conjuntos difusos.

Las funciones de membresa sirven para particionar el espacio de entrada por mediode intervalos numricos relacionados con las variables lingsticas.

4.1. Estructura general de un controlador difuso

Un controlador basado en un modelo difuso puede verse como un sistema no linealde mltiples entradas concretas y mltiples salidas concretas [Tanaka and Wang, 2001,Wang, 1997]. Cada una de las variables concretas de entrada o salida se representa den-tro del sistema de lgica difusa por medio de una variable lingstica.

La Figura 4.1 muestra la estructura general de un controlador difuso[Prez, 1997].

4.1.1. Interfaz de fuzificacin

Permite obtener los valores de pertenencia de la seal de entrada a cada uno de losconjuntos difusos de la entrada, transformando las p variables de entrada del modelo envariables difusas. Para esta interfaz se deben tener definidos los rangos de variacin delas variables de entrada y los conjuntos difusos asociados con sus respectivas funcionesde pertenencia [Sez, 2002].

41

42 4.1. Estructura general de un controlador difuso

Figura 4.1: Estructura interna de un controlador difuso.

Este bloque recibe las mltiples entradas concretas que llegan al sistema de lgicadifusa, y produce un conjunto difuso por cada una de ellas como se muestra en la Figura4.2. Cada conjunto difuso producido por este bloque est definido sobre el universo dediscurso de la variable lingstica respectiva, est centrado en el valor concreto deentrada, y tiene una funcin de pertenencia cuya forma puede ser distinta para cadavariable de entrada.

Figura 4.2: Bloque de interfaz de fuzificacin.

4.1.2. Base de reglas

Es un conjunto de m reglas, cada una de las cuales es de la forma:

Ri: IF (E1 esta en CD1 AND E2 esta en CD2 AND......AND Ep esta en CDp) THEN(S1 esta en CMI1 AND S2 esta en CMI2 AND......AND Sq esta en CMIq)

4. Controlador difuso 43

En donde la i-sima regla Ri, 1 i m, contiene a CDj, 1 j p, el cual es unode los valores lingsticos que puede tomar la variable de entrada j.

Si las m reglas cubren todas las posibles combinaciones de valores lingsticos delos antecedentes, se dice que la base de reglas esta completa. En ningn caso puedepermitirse que existan dos reglas con el mismo antecedente [Prez, 1997].

Existen varias formas de derivar las reglas, entre las que destacan las basadas en:

La experiencia de expertos y el conocimiento de ingeniera de control. La basede reglas se determina a partir de entrevistas con el operador o a travs delconocimiento de la dinmica del proceso.

La modelacin del proceso. Los parmetros de la base de conocimiento se obtienena partir de datos de entrada y salida del proceso [Sez, 2002].

4.1.3. Base de conocimientos

Contiene las reglas lingsticas del control y la informacin referente a las funcionesde pertenencia de los conjuntos difusos.

Esta base de conocimientos contiene la informacin necesaria para las operacionesde difusin, inferencia y concrecin realizadas por el controlador. Para una implantacindel controlador difuso segn la estructura bsica mostrada se dispone de diversas al-ternativas que van desde configuraciones basadas en hardware hasta las desarrolladasfundamentalmente en software. El anlisis dinmico del control difuso presenta un am-plio panorama de cuestiones por determinar, como la estabilidad del sistema sobre todoconsiderando la no-linealidad introducida por el controlador difuso en el sistema.

4.1.4. Mquina de inferencia

Se encarga de aplicar el mecanismo de inferencia seleccionado a las reglas, almace-nadas en la base de reglas. Realiza la tarea de calcular las variables de salida a partirde las variables de entrada, mediante las reglas del controlador y la inferencia difusa,entregando conjuntos difusos de salida. Es decir, la mquina de inferencia recibe los pconjuntos difusos producidos por la interfaz de fuzificacin, y los aplica a cada una delas m reglas de la Base de reglas, para producir m q conjuntos difusos (un conjuntodifuso por cada variable de salida en cada una de las reglas) definidos sobre los universosde discurso de las variables lingsticas de salida como se muestra en la Figura 4.3.


Figura 4.3: Bloque de motor de inferencia.

La forma en que se define la funcin de pertenencia de cada uno de los m q con-juntos difusos producidos es la siguiente:

Se supone que el fuzificador produce p conjuntos difusos CD1, CD2,... CDp, confunciones de pertenencia uCD1(x1), uCD2(x2),... uCDp(xp),

Adems que la regla nmero i es de la forma:

IF (E1 es CD1 AND E2 es CD2 AND....AND Ep es CDp) THEN (S1 es CMI1 ANDS2 es CMI2 AND......AND Sq es CMIq).en donde los conjuntos CDk y CMIj tienen las siguientes funciones de pertenencia

uCD1(x1), uCD2(x2), ...uCDp(xp), uCMI1(y1), uCMI2(y2), ...uCMIq(yq).

El conjunto Bij es uno de los m q conjuntos difusos generados por la mquina deinferencia, correspondiente a la Ri y a la variable de Sj. Dicho conjunto Bij tiene porfuncin de pertenencia:

uBij(yj) =composicin(uCD(x), uImp(x, yj))uBij(yj) = maxx(uCD(x)()uImp(x, yj)),en donde x corresponde a un vector de las p variables de entrada x1, x2, ...xp; (*) corres-ponde a un operador T Norma, y uCD(x), uImp(x, yj) se definen a continuacin:

uCD(x) = uCD1(x1) AND uCD2(x2) AND ... AND uCDp(xp)uImp(x, yj) = (uAntecedente(x) uConsecuente(yj))uAntecedente(x) = uCD1(x1) AND

uCD2(x2) AND ... AND uCDp(xp)uConsecuente(yj) = uCMIj(xj),

en donde el operador AND corresponde a un operador T Norma, y el operador


corresponde a una implicacin.

En caso de que la regla i sea de la forma

IF (E1 es [muy/poco(mod1)] CD1 AND E2 es [muy/poco(mod2)] CD2 AND....ANDEp es [muy/poco(modp)] CDp) THEN (S1 es CMI1 AND S2 es CMI2 AND......AND Sqes CMIq), el nico cambio que debe hacerse para la determinacin de las funciones depertenencia es el siguiente: uAntecedente(x) = (uCD1(x1))mod1 AND (uCD2(x2))mod2 AND... AND (uCDp(xp))modp.

Ciertos algoritmos de concrecin efectan la unin o la interseccin de los m conjun-tos difusos; cuando esto es as, debe observarse si el operador de implicacin empleadopor la mquina de inferencia es una unin OR o una interseccin AND; en el primerode los casos el algoritmo deber emplear un operador S Norma y en el segundo casouna T Norma [Prez, 1997].

4.1.5. Ejemplo de inferencia difusa

Por ejemplo, si se tienen dos entradas con una base de conocimientos de m reglas yuna sola salida del tipo, es decir:

Ri: IF E1 es Ai AND E2 es Bi THEN y es Ci.

La secuencia de clculos que realiza la mquina de inferencia incluye:

Determinar el grado de cumplimiento Wi de cada regla a partir de los grados depertenencia de las variables de entrada obtenidos en la etapa de fuzificacin, esdecir,Wi = min(uAi, uBi)

debido a que las premisas de la reglas estn unidos por operadores AND, definidoscomo la interseccin de conjuntos difusos.

Para cada regla se tiene una consecuencia y es Ci, que tiene asociado una funcinde pertenencia uCi. Por lo tanto, se tiene un conjunto de salida C i, cuya funcinde pertenencia es: uCi = min(Wi, uCi) donde Wi es el grado de cumplimientopara la regla i.

Para evaluar el conjunto total de reglas, se unen los conjuntos difusos C i resul-tantes de cada regla, generndose un conjunto de salida con la siguiente funcinde pertenencia: uC = max(uCi) i = 1, ...,m.

De esta forma, se obtiene una salida difusa del controlador, con una funcin depertenencia uC .


4.1.6. Interfaz de defuzificacin

La interfaz de defuzificacin obtiene el valor concreto de la seal de control. Esteelemento provee salidas discretas y determinsticas a partir de los conjuntos difusosobtenidos como resultado de la inferencia [Sez, 2002].

El bloque de concrecin recibe los mq conjuntos difusos generados por el motor deinferencia, y produce q valores concretos correspondientes a cada una de las variablesde salida del sistema de lgica difusa como se muestra en la Figura 4.4.

Figura 4.4: Bloque de interfaz de defuzificacin.

En general, para producir cada uno de los q valores concretos, el defuzificador tomalos m conjunto difusos correspondientes a cada variable de salida, y mediante algnalgoritmo produce un valor concreto [Prez, 1997].

Ciertos algoritmos de concrecin efectan la unin o la interseccin de los m conjun-tos difusos; cuando esto es as, debe observarse si el operador de implicacin empleadopor el motor de inferencia es una implicacin IF THEN o una implicacin AND; enel primero de los casos el algoritmo deber emplear una interseccin (una T Norma)y en el segundo caso una unin (una S Norma).

Existen diferentes mtodos de defuzificacin, algunos de los cuales se describen acontinuacin:

Mtodo del mximo: La salida corresponde al valor para el cual la funcin depertenencia uC alcanza su mximo.

Media del mximo: La salida es el promedio entre los elementos del conjunto C que tienen un grado de pertenencia mximo.


Centro de rea centroide (COG): Genera como salida el valor correspondienteal centro de gravedad de la funcin de pertenencia del conjunto de salida C [Sez, 2002].

Ejemplo [Sez, 2002]: Con el fin de ilustrar la secuencia de pasos que se sigue parasintetizar un controlador difuso, considere el siguiente ejemplo numrico, el cual con-tiene dos reglas para un sistema con una entrada y una salida.

Reglas: Se definen las siguientes dos reglas con dos entradas x y y una salida z,estas reglas como se mencion se encuentran en la base de reglas.

R1: IF x es A1 OR y es B1 THEN z es C1,

R2: IF x es A2 OR y es B2 THEN z es C2.

Para el caso en donde una entrada x es igual a 10 y la siguiente entrada y es iguala 26, se calcula a continuacin el valor de la nica salida z.

Estas variables lingsticas, tienen ahora valores concretos, entran al bloque de fu-zificacin, y este realiza la transformacin para definir a que conjunto difuso pertenececada variable, esto lo hace con la base de reglas que ya se definieron y la base deconocimiento que tiene el sistema. Consulte la Figura 4.6 para visualizar la serie depasos que se explican a continuacin:

1. Evaluacin de la primer regla R1: cuando x = 10 y y = 26, x pertenece solo alconjunto A1 por lo que el grado de pertenencia para el conjunto A2 es de cero. Setoma el grado de pertenencia del conjunto A1 si x perteneciera al conjunto A1 yal conjunto A2 entonces se utilizara una operacin T Norma para calcular elresultado, para este ejemplo solo se toma el grado de pertenencia del conjunto A1.Para los conjunto B1 y B2 se ve algo diferente ya que y pertenece al conjunto B2solamente porque su grado de pertenencia para el conjunto B1 es cero. Pero comose esta evaluando la regla R1, el cumplimiento de la condicin y es B1 es cero ydada la operacin de unin entre x es A1 OR y es B1, entonces el resultado es elmximo de estos dos grados de pertenencia. Debido a que la conclusin implicasobre C1, el resultado solo se encontrar en el conjunto C1, como se muestra enla Figura 4.5.

2. Evaluacin de la segunda regla R2: cuando x = 10 y y = 26, como ya se explicque x tiene un grado de pertenencia solamente en el conjunto A1, y este valoren la condicin de la regla R2, x es A2 es cero. Pero y pertenece al conjunto B2solamente, y para el conjunto B1 su grado de pertenencia es cero. Se cumple lacondicin de la regla R2, y es B2 entonces el resultado se encuentra en el conjuntoC2 como se muestra en la Figura 4.6.

48 4.2. Ejemplo ilustrativo de defuzificacin

010

100 x

A1 A2

0 10 z

C1 C2

Figura 4.5: Evaluacin de la regla 1.

-5026

50 y

B1 B2

0 10 z

C1 C2

Figura 4.6: Evaluacin de la regla 2.

3. Concatenar el resultado de los dos conjuntos C1 y C2: debido a que en ste ejemplose activan las dos reglas, existen resultados en los conjunto C1 y C2, y entoncespara obtener el resultado final se tiene que unir los dos conjuntos como se muestraen la Figura 4.7 y calcular el resultado concreto por medio de cualquiera de losmtodos de defuzificacin mencionados anteriormente.

4.2. Ejemplo ilustrativo de defuzificacin

Una vez que se tienen las salidas en conjuntos difusos, se tiene que obtener un valorconcreto, como se mencion anteriormente, existen diferentes mtodos de defuzificaciny uno de ellos es el centro de gravedad centroide (COG)(4.1), el cual se utiliza pararesolver este problema:

COG =

baf(x)xdx b

af(x)dx

. (4.1)

Para el ejemplo anterior (ver Figura 4.7), se desarrolla con los siguientes intervalosque se muestran en la ecuacin (4.2)


0 10 z

C=?0.3

0.8

Figura 4.7: rea para realizar la defuzificacin.

COG =

100f(x)xdx 10

0f(x)dx

. (4.2)

Como se puede observar, en la ecuacin (4.3) se divide a la Figura 4.7, en dosintervalos para los resultados obtenidos en el paso anterior (ver Figura 4.8). A esta figurala llamaremos primera funcin. El conjunto restante que complementa el resultado seilustra en la Figura 4.9. A esta otra figura la llamaremos segunda funcin.

COG =

50f(x)xdx+

105f(x)xdx 5

0f(x)dx+

105f(x)dx

(4.3)

Las ecuaciones (4.4) y (4.5), para las dos funciones, respectivamente, se dividen enlos intervalos que se describen, dada la forma que tienen las rectas. 5

0

f1(x)xdx =

10

f11(x)xdx+

51

f12(x)xdx (4.4)

para la primer funcin, y 105

f2(x)xdx =

6.55

f21(x)xdx+

7.56.5

f22(x)xdx+

107.5

f23(x)xdx (4.5)

para la segunda funcin.

A continuacin se desarrolla la ecuacin (4.4) de la primera funcin. De la Figura4.8, se distingue una recta, con sus coordenadas. Para obtener la funcin de la recta, sedebe de calcular la pendiente de esta, ya que la ordenada al origen es cero.

La pendiente se calcula con la formula siguiente:


0 10 z

0.3

1 5

0.3 (1,0.3)

(0,0)

Figura 4.8: Primera funcin a calcular con la ecuacin (4.4).

m =y2 y1x2 x1 . (4.6)

Tomando las coordenadas de la Figura 4.8 y sustituyendo los valores en (4.6), seobtiene el valor de la pendiente.

m1 =0.3 01 0 =

0.3

1= 0.3 (4.7)

Por lo tanto, la ecuacin de la nica recta en la primera funcin cumple con la formageneral dada por:

f1(x) = m1x+ b. (4.8)

Se sustituyen los valores calculados anteriormente, para obtener la funcin f(x)como se muestra en (4.9):

f1(x) = 0.3x (4.9)

Para poder resolver (4.4), solo resta conocer el valor de f12(x), definida en el inter-valo de 1 a 5, la cual es una constante igual a 0.3 (Cf. 4.8).

Ahora, se puede resolver la integral de la ecuacin (4.4) con la funcin obtenida en(4.9) y el valor de f12(x) = 0.3.

As, para el primer intervalo, 10

f11(x)xdx =

10

(0.3x)xdx =

10

0.3x2dx = 0.3

10

x2dx. (4.10)


Es decir, 10

f11(x)xdx = 0.3

10

x2dx = 0.3[x3

3]10 = 0.3[

(1)3

3 (0)

3

3] = 0.09 (4.11)

y para el 2o intervalo de la primera funcin se tiene, 51

f12(x)xdx =

51

(0.3)xdx = 0.3

51

xdx = 0.3[x2

2]51 = 0.3[

(5)2

2 (1)

2

2] = 3.6 (4.12)

Finalmente, uniendo los dos resultados de las ecuaciones (4.11) y (4.12), de laecuacin general (4.4), el resultado es el siguiente: 5

0

f(x)xdx = 0.09 + 3.6 = 3.69 (4.13)

Este valor es el rea bajo la curva de la primera funcin que se muestra en la Figura4.8.

Ahora se debe calcular el rea bajo la curva de la segunda funcin (Figura 4.9) y laecuacin (4.14). As,

105

f2(x)xdx =

6.55

f21(x)xdx+

7.56.5

f22(x)xdx+

107.5

f23(x)xdx (4.14)

0 10 z

0.8

(5,0.3)

(6.5,0.8) (7.5,0.8)

(10,0)

7.56.5

0.8

0.3

5

Figura 4.9: Segunda Funcin a calcular con la ecuacin (4.14).

Se realiza el mismo procedimiento anterior para calcular la pendiente de las rectas,para el intervalo de 5 a 6.5 de la ecuacin (4.14), y se obtiene que la primer recta delintervalo 5 a 6.5 esta dada por f21(x) = 0.3x 1.15, con lo cual se obtiene


6.55

f21(x)xdx =

6.55

(0.3x 1.15)xdx = 6.55

0.3x2dx+

6.55

1.15xdx. (4.15)

Para resolver (4.15), se puede dividir en dos partes. De la primera integral, se obtieneel siguiente resultado, 6.5

5

0.3x2dx = 0.3

6.55

x2dx = 0.3[x3

3]6.55 = 0.3[

(6.5)3

3 (5)

3

3] = 14.96. (4.16)

De la segunda integral, se obtiene: 6.55

1.15xdx = 1.15 6.55

xdx = 1.15[x2

2]6.55 = 1.15[

(6.5)2

2 (5)

2

2] = 9.91

(4.17)Uniendo los resultados de (4.16) y (4.17), se obtiene: 6.5

5

f21(x)xdx =

6.55

(0.3x 1.15)xdx = 14.96 9.91 = 5.05. (4.18)

Para el intervalo 6.5 a 7.5, observe que es una constante igual a 0.8. De la ecuacin(4.14): 7.56.5

f22(x)xdx =

7.56.5

0.8xdx = 0.8

7.56.5

xdx = 0.8[x2

2]7.56.5 = 0.8[

(7.5)2

2 (6.5)

2

2] = 5.6.

(4.19)Finalmente, a continuacin se resuelve el intervalo 7.5 a 10, en donde se tiene que

calcular la pendiente y la ordenada al origen, para obtener la funcin f23(x). El resultadoes f23(x) = 0.32x+ 4. As, 10

7.5

f23(x)xdx =

107.5

(0.32x+ 4)xdx = 107.5

0.32x2dx+ 107.5

4xdx. (4.20)

De forma similar, dividiendo en dos partes la solucin, el siguiente resultado es dela primera integral, 10

7.5

0.32x2dx = 0.32 107.5

x2dx = 0.32[x3

3]107.5] = 0.32[

(10)3

3 (7.5)

3

3] = 61.66.

(4.21)La segunda integral se resuelve y se obtiene el siguiente resultado: 10

7.5

4xdx = 4

107.5

xdx = 4[x2

2]107.5] = 4[

(10)2

2 (7.5)

2

2] = 87.5. (4.22)

Uniendo los resultados anteriores de (4.21) y (4.22), se obtiene: 107.5

(0.32x+ 4)xdx = 61.66 + 87.5 = 25.84 (4.23)


El resultado total de la segunda funcin se muestra a continuacin: 105

f(x)xdx = 5.05 + 5.6 + 25.84 = 36.49 (4.24)

Ahora, para poder resolver (4.2) es necesario obtener el resultado del denominador.Las siguientes ecuaciones utilizan los mismos intervalos anteriores, se toman las

funciones de la ecuacin (4.14) para el denominador con el intervalo 0 a 10.La siguiente ecuacin es del intervalo 0 a 5: 5

0

f1(x)dx =

10

f11(x)dx+

51

f12(x)dx. (4.25)

La siguiente ecuacin es del intervalo 5 a 10: 105

f2(x)dx =

6.55

f21(x)dx+

7.56.5

f22(x)dx+

107.5

f23(x)dx. (4.26)

De la ecuacin (4.25) del intervalo 0 a 1, se obtiene lo siguiente: 10

f11(x)dx =

10

(0.3x)dx =

10

0.3xdx = 0.3

10

xdx. (4.27)

Resolviendo la integral de (4.27), se obtiene el siguiente resultado: 10

f11(x)dx = 0.3[x2

2]10 = 0.3[

(1)2

2 (0)

2

2] = 0.15. (4.28)

De la ecuacin (4.25) del intervalo 1 a 5, se obtiene: 51

f12(x)dx =

51

0.3dx = 0.3

51

dx = 0.3[x]51 = 0.3[5 1] = 1.2 (4.29)

El resultado total de (4.25), uniendo las ecuaciones (4.28) y (4.29) es: 50

f1(x)dx = 0.15 + 1.2 = 1.35 (4.30)

De la ecuacin (4.26) del intervalo 5 a 10, se obtiene la siguiente ecuacin: 105

f2(x)dx =

6.55

(0.3x 1.15)dx+ 7.56.5

0.8dx+

107.5

(0.32x+ 4)dx (4.31)

Resolviendo las integrales de (4.31), del intervalo 5 a 6.5 se obtiene la siguienteecuacin: 6.5

5

f21(x)dx =

6.55

(0.3x 1.15)dx = 0.3 6.55

xdx 1.15 6.55

dx (4.32)

54 4.3. Comentarios

El resultado obtenido del intervalo 5 a 6.5 de la ecuacin (4.32) es el siguiente: 6.55

(0.3x 1.15)dx = 0.3[x22]6.55 1.15[x]6.55 = 2.58 1.72 = 0.86 (4.33)

Resolviendo las integrales de la ecuacin (4.31), del intervalo 6.5 a 7.5 se obtiene elsiguiente resultado: 7.5

6.5

0.8dx = 0.8

7.56.5

dx = 0.8[x]6.57.5 = 0.8[7.5 6.5] = 0.8 (4.34)

Resolviendo las integrales de la ecuacin (4.31), del intervalo 7.5 a 10 se obtiene lasiguiente ecuacin: 10

7.5

(0.32x+ 4)dx = 107.5

0.32xdx+ 107.5

4dx = 0.32 107.5

xdx+ 4

107.5

dx (4.35)

El resultado obtenido del intervalo 7.5 a 10 de la ecuacin (4.35) se muestra acontinuacin, 10

7.5(0.32x+ 4)dx = 0.32[x2

2]107.5 + 4[x]

107.5 = 0.32[ (10)

2

2 (7.5)2

2] + 4[10 7.5]

= 7 + 10 = 3(4.36)

El resultado total del intervalo 5 a 10, uniendo los resultados de las ecuaciones(4.33), (4.34) y (4.36), resulta en: 10

5

f(x)dx = 0.86 + 0.8 + 3 = 4.66 (4.37)

Sustituyendo los resultados obtenidos en cada funcin y en cada intervalo el resul-tado final concreto es el siguiente:

COG =3.69 + 36.49

1.35 + 4.66=

40.33

6.31= 6.685 (4.38)

4.3. Comentarios

En este captulo se explic la estructura de un controlador difuso, sus bloques quecontiene, as como la funcin que tiene cada uno de ellos. De esta forma, la interfazde fuzificacin se encarga de recibir las variables de entrada y enviar a la mquina deinferencia dichas variables. Esta mquina de inferencia, con ayuda de la base de reglasy la base de conocimientos, manda los conjuntos difusos ya evaluados, a la interfaz dedefuzificacin, para que ste por medio de un mtodo de defuzificacin transmita unasalida concreta al sistema.


Se explic el procedimiento anterior de forma breve, a travs de un ejemplo, parauna mayor comprensin. Cabe sealar que para obtener un resultado concreto (de-fuzificacin), existen diferentes mtodos para lo cual, se necesita resolver varios tiposde operaciones bsicas tales como integrales, sumas, restas, divisiones.

En este captulo se ilustr el funcionamiento del controlador difuso, para que msadelante se comparen los dos sistemas de control aqupropuestos, (PID y Difuso) y sepuedan analizar sus ventajas y desventajas del uno con respecto al otro.

Captulo 5

Anlisis comparativo

En este captulo se realizar un anlisis comparativo de los dos controladores men-cionados en los captulos anteriores, el controlador difuso y el controlador PID. Laplataforma de pruebas elegida para comparar dichos controladores es la de un tanquede agua. Se analizarn los resultados arrojados por estos controladores.

5.1. Modelado del sistema

Para una fcil lectura de este trabajo es necesario un mnimo de conocimiento dematemticas y MatLab [Glue, 2007], ya que se utilizan en esta plataforma para la si-mulacin del tanque. Para mayor informacin consulte [Universidad de las Palmas, 1999].

Es importante mencionar que en la eleccin de esta plataforma de pruebas (tanquecon medicin de nivel) se tom en cuenta que, en el sector industrial ste tipo de sistemaes muy til ya que se ocupan en contenedores en los cuales se controla el nivel de ciertoslquidos para la fabricacin de productos como telas, comestibles, etc. Tambin en laindustria farmacutica el clculo adecuado de diferentes sustancias, es de suma impor-tancia ya que en la elaboracin de medicamentos, debe existir una supervisin y clculoexacto, para que no exista algn peligro

Control Difuso vs. Control PID

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