Control Ecuaciones diferenciales
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U. DE SANTI AGO DE CHILE DEP. DE MATEMATICA Y C.C. . PAUTA CONTROL 3T ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA Segundo Semes tre 2013 Pregunta 1 Usando series de potencias encuentre la solución general alrededor de x 0 = 0 de la ecu aci ón : (1 x)y 00 + y 0 = 0 sujeta a las condiciones y 0(0) = 0; y(0) = 1: Solución.- Puesto que p(x) = 1 1x y q (x) = 0 , son analiticas en x 0 = 0, entonces existe una solución de la forma: y(x) = P 1 n=0 c n x n , luego; ...................................................................................................0.2 y(x) = 1 X n=0 c n x n = ) y 0 (x) = 1 X n=1 nc n x n1 ; y 00 (x) = 1 X n=2 n(n 1)c n x n2 0 = (1 x)y + y0 = (1 x) 1 X n=2 n(n 1)c n x n2 + 1 X n=1 nc n x n1 ...................................................................................................0.6 entonces: 2c 2 + c 1 + 1 X n=1 [(n + 1)nc n+1 + ( n + 2)(n + 1)c n+2 + ( n + 1)c n+1 ]x n = 0 2c 2 + c 1 + 1 X n=1 [(n + 1)(n + 1)c n+1 + ( n + 2)(n + 1)c n+2 ]x n = 0 ...................................................................................................0.4 de lo que deducimos que 2c 2 + c 1 = 0 (n + 1)(n + 1)c n+1 + ( n + 2)(n + 1)c n+2 = 0 ...................................................................................................0.4 c 2 = c 1 2 c n+2 = (n 1) n + 2 c n+1 ; n 1 ; ...................................................................................................0.6 1
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U. DE SANTIAGO DE CHILE DEP. DE MATEMATICA Y C.C. .PAUTA CONTROL 3T
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERASegundo Semestre 2013
Pregunta 1Usando series de potencias encuentre la solucin general alrededor de x0 = 0de la ecuacin :
(1 x)y00 + y0 = 0sujeta a las condiciones y0(0) = 0; y(0) = 1:Solucin.-Puesto que p(x) = 11x y q(x) = 0 , son analiticas en x0 = 0, entoncesexiste una solucin de la forma: y(x) =
P1n=0 cnx
n , luego;
...................................................................................................0.2
y(x) =1Xn=0
cnxn =) y0(x) =
1Xn=1
ncnxn1; y
00(x) =
1Xn=2
n(n 1)cnxn2
0 = (1 x)y + y0 = (1 x)1Xn=2
n(n 1)cnxn2 +1Xn=1
ncnxn1
...................................................................................................0.6entonces:
2c2 + c1 +
1Xn=1
[(n+ 1)ncn+1 + (n+ 2)(n+ 1)cn+2 + (n+ 1)cn+1]xn = 0
2c2 + c1 +1Xn=1
[(n+ 1)(n+ 1)cn+1 + (n+ 2)(n+ 1)cn+2]xn = 0
...................................................................................................0.4de lo que deducimos que
2c2 + c1 = 0
(n+ 1)(n+ 1)cn+1 + (n+ 2)(n+ 1)cn+2 = 0
...................................................................................................0.4c2 = c1
2
cn+2 =(n 1)n+ 2
cn+1; n 1;
...................................................................................................0.6
1
-
c2 = c12
c3 = 0c2 = 0;
de donde concluimos:
ci = 0 todo i 3...................................................................................................0.6y(x) = c0 + c1(x x22 ), la solucin particular es y = 1:
...................................................................................................0.2Pregunta 2
Usando el mtodo de Frobenius, resuelva la ecuacinen torno al punto sin-gular regular x = 0:
x2 y00 +1
2xy0
1
2+ x2
y = 0
Solucin.-El polinomio indicial se esta ecuacin es
q(r) = r(r 1) + 12r 1
2= (r 1)
r +
1
2
:
Hacemos (x) = xr1Xn=0
anxn de donde se obtiene
0(x) = xr11Xn=0
(n+ r)anxn; 00(x) = xr2
1Xn=0
(n+ r)(n+ r 1)anxn
Reemplazando en la ecuacin, y factorizando por xr:
xr
" 1Xn=0
(n+ r)(n+ r 1)anxn +1Xn=0
1
2(n+ r)anx
n 1Xn=0
1
2anx
n 1Xn=0
anxn+2
#= 0
...................................................................................................0.4Reescribimos lo anterior como
xr
" 1Xn=0
(n+ r)(n+ r 1)anxn +1Xn=0
1
2(n+ r)anx
n 1Xn=0
1
2anx
n 1Xn=2
an2xn#= 0
Extrayendo los dos primeros trminos en la primera, segunda y tercera seriede la expresin anterior y agrupando trminos semejantes se obtiene
xrr(r 1) + 1
2r 1
2
a0 +
(r + 1)r +
1
2(r + 1) 1
2
a1x
2
-
+1Xn=2
(n+ r)(n+ r 1) + 1
2(n+ r) 1
2
an an2
xn
#= 0
...................................................................................................0.4en trminos del polinomio indicial, esto ltimo es equivalente a
xr
"q(r)a0 + q(r + 1)a1x+
1Xn=0
(q(n+ r)an an2)xn#= 0
Si r es raz del polinomio indicial, podemos considerar a0 6= 0; por otro ladoq(r + 1) 6= 0, lo que implica que a1 = 0.Adems an =
an2q(n+ r)
; 8n 2 N; n 2....................................................................................................0.4Haciendo a0 = 1,
a2 =1
q(r + 2)
a3 =a1
q(r + 3)= 0
a4 =1
q(r + 4)=
1
q(r + 2)q(r + 4)
a5 =a3
q(r + 5)= 0
a6 =1
q(r + 6)=
1
q(r + 2)q(r + 4)q(r + 6)Se deduce entonces
a2n(r) =
1
q(r + 2)q(r + 4)q(r + 6) q(r + 2n) ; a2n+1 = 0; 8n 2 N; n 1 ()
...................................................................................................0.6es decir
a2n(r) =
1
(r + 1)r + 52
(r + 3)
r + 92
(r + 2n 1) r + 4n+12 ...................................................................................................0.2Para r = 1
2
a2n=
112+ 1
12+5
2
12+ 3
12+9
2
12+ 2n 1
12+4n+ 1
2
o sea
a2n=
112
252
492
4n32 (2n) = 1n! 1 5 9 13 (4n 3)3
-
Nuestra primera solucin queda entonces
1(x) = jxj1=2 1 +
1Xn=1
1
n! 1 5 9 (4n 3)x2n
!...................................................................................................0.6Para obtener la segunda solucin, volvemos a la expresin (), y reem-
plazamos ah r = 1, y desarrollando en este caso queda:
a2n=
1
n! 7 11 (4n+ 3)y la segunda solucin
2 = jxj1 1 +
1Xn=1
1
n! 7 11 15 (4n+ 3)x2n
!...................................................................................................0.4
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