Control II Clase 2

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

FACULTAD INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA

CONTROLES II

Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

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3. ANALISIS MATRICIAL

3.1. RELACION ENTRE FUNCION DE TRANSFERENCIA Y

LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Recordemos que una variable de estado describe el estado de un

sistema o de uno de sus componentes, ya sea al comienzo, al final

o durante un periodo de tiempo.

Para aclarar un poco esto

Utilizaremos el smil

hidrodinmico para ilustrar el

sentido de las variables. En la

figura se representan tres

depsitos en los que se

acumulan tres niveles , y

.

Las variaciones de los niveles son determinadas por las actuaciones

sobre ciertas vlvulas (llaves) que regulan los caudales que

alimentan a cada uno de los depsitos. La decisin sobre la

apertura de stas vlvulas se toma teniendo como nica

informacin los valores alcanzados por los niveles, en cada uno de

los depsitos, en el instante de tiempo considerado, lo cual est

representado en la figura con la presencia de un observador, an

cuando en el sentido estricto debera existir un observador por cada

una de las vlvulas.

Con los conceptos sobre variables de estado aclarados, podemos

decir que el anlisis en el espacio de estados, para un sistema de




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una entrada y una salida se centra en estos tres tipos de variables:

la entrada, la salida y las variables de estado.

)),(),(()(

)),(),(()(

ttutxhty

ttutxftx

Y si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, estas ecuaciones

se simplifican a:

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

Donde:

A: Matriz de evolucin del sistema:

Orden (n,n), donde n es el nmero de variables de estado

B: Matriz de aplicacin del control:

Orden (n,m), donde m es el nmero de entradas (en nuestro caso

una)

C: Matriz de observacin:

Orden (q,n), donde q es el nmero de salidas

D: Matriz de transicin directa de control:

Orden (q,m), por tanto en nuestro estudio D siempre ser un

escalar, y en general para nuestros propsitos ser igual a cero.




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Estas ecuaciones se pueden visualizar en un diagrama de bloques

de la siguiente manera:

Como ya hemos dicho, consideramos una sola entrada y una sola

salida. De las ecuaciones del espacio de estados, podemos tomar la

transformada de Laplace:

))()(

)()()0()(

DUssCXsY

sBUsAXxssX

Definimos la funcin de transferencia como el cociente entre la

transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace

de la entrada. Asimismo suponemos condiciones iniciales nulas, por

lo que .

Despejando tenemos:

)()()( 1 sBUAsIsX

Y sustituyendo esta ecuacin en la ecuacin de salida:

]U(s))([)( 1 DBAsICsY




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De esta ltima ecuacin podemos despejar la relacin entre la

entrada y la salida y llegamos a la conclusin de que:

DBAsI

AsIadjCDBAsIC

sU

sYsG

)()(

)(

)()( 1

EJEMPLO 1

Determine la funcin de transferencia, las ecuaciones de estado y el

diagrama en variables de estado para el sistema

Notemos que

; ; ; D=0

Para el sistema dado

sera

=

=

. Investigue sobre la matriz adjunta y el

determinante de una matriz de orden mayor a .




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Por lo tanto

, otra forma para escribirlo sera:

La funcin de transferencia es

es la funcin de transferencia final.

Donde puede apreciarse que los polos de son aquellos que

hacen:

0 AsI

O lo que es lo mismo:

|sI-A| es igual al polinomio caracterstico de G(s).

Los valores propios de A son idnticos a los polos de G(s)

Veamos ahora como hacerlo con Matlab:

]U(s))([)( 1 DBAsICsY




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Definimos las matrices:

>> A=[0 1 ; -2 4]

>> B=[0 ; 3]

>> C=[1 0]

>> D=0

Generamos el numerador y el denominador:

>> [num, den]=ss2tf(A, B, C, D)

Generamos la funcin de transferencia:

>> sys=tf(num, den) o con un nombre >> f=tf(num,den)

Los ceros, los polos y la ganancia se pueden determinar as:

>> [ceros, polos, gan] = tf2zp (num, den)

Ahora determinaremos las ecuaciones en variables de estado.

Recordemos que el sistema viene dado por

Resolviendo las matrices tenemos

El diagrama de bloques correspondiente es




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Los modelos matemticos pueden adoptar muchas formas distintas.

Dependiendo del sistema del que se trate y las circunstancias

especficas, un modelo matemtico puede ser ms conveniente que

otro. Por ejemplo, en problemas de control ptimo, es provechoso

usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los

anlisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia

de sistemas lineales con una entrada y una salida invariante en el

tiempo, la representacin mediante la funcin de transferencia

puede ser ms conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un

modelo matemtico de un sistema, se usan diversos recursos

analticos, as como computadoras.

REPRESENTACION EN VARIABLES DE

ESTADO

REPRESENTACION MEDIANTE LA FUNCION

DE TRANSFERENCIA




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EJERCICIOS

Realizando un anlisis matricial, determine la funcin de

transferencia de cada sistema:

a.

Cxy

BuAxx, donde

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10A ,

2

0B y 01C .

b.

c.

d.

4. SOLUCIN DE LA ECUACIN MATRICIAL DE ESTADO

Los modelos en espacio de estado describen el comportamiento del

sistema para cualquier conocidos el vector de estado en el

instante inicial y las entradas al sistema para .

Definiciones:

Variables de estado: es el conjunto ms pequeo de

variables que determinan el estado de un sistema




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Orden del sistema n: es el menor nmero de variables de

estado necesario para su descripcin.

Vector de estado: vector n-dimensional cuyas

componentes son las variables de estado.

Espacio de estado: espacio n-dimensional cuyos ejes

coordenados representan los valores numricos de las

variables de estado .

Su descripcin matemtica no es nica, y se presenta en forma de

n ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden combinarse

en una ecuacin diferencial vectorial-matricial de primer orden.

La matriz de transicin de estado se representa por y viene

dada por .

Hay que recordar que

EJEMPLO 1

Supongamos que deseamos saber el comportamiento del sistema

para cada variable de estado del sistema siguiente:




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En ella encontramos que:

Para cada caso se debe encontrar

,

,

y

.

Recurriendo a fracciones parciales se tiene que

Por lo tanto

Esta matriz de transicin de estado se puede calcular tambin

utilizando Matlab.

Definimos primero la variable s:

>> syms s




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Introducimos la funcin que queremos antitransformar:

>> f=s/(s^2-4*s+2) o tambin >> f=s/(s*s-4*s+2)

Utilizamos el comando ilaplace de Matlab

>> ilaplace(f)

Esto se hace para cada funcin.

Una vez calculada la matriz de transicin de estado, la respuesta

temporal del sistema para diferentes condiciones iniciales y seales

de entrada puede calcularse mediante la ecuacin:

es una matriz vertical de condiciones iniciales.

Donde representa un adelanto en el tiempo de valor de la

funcin . Evidentemente, si se conocen las condiciones iniciales

, la entrada y la matriz de transicin , puede calcularse

numricamente la solucin de la ecuacin de estado o respuesta

temporal del vector de estado. Cuando el sistema no est forzado

y esto se simplifica ms.

Veamos por ejemplo cuando Se tiene que:




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Estas ecuaciones son las que representan la salida de cada una de

las variables de estado.

Sus graficas se pueden obtener a partir de cualquier graficador o

desde Matlab.




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EJERCICIOS

Para cada uno de los sistemas dados, determine la matriz de

transicin de estados y encuentre la respuesta para la condicin

Para sistemas de tercer orden

utilice Matlab.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.




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MONTAJE No. 1

VARIABLES DE ESTADO

Objetivo: Simular sistemas de control en el espacio de estados en

tiempo continuo.

Materiales:

Protoboard, Amp-Op LM741, Resistencias varias, Capacitores

varios, Fuente DC, Multmetro, Osciloscopio.

Procedimiento:

Tome el sistema de segundo orden que le fue asignado. Considrelo

de la forma

donde es la entrada y es la salida.

a. Para el sistema dado, determine las ecuaciones de estado.

b. Realice un diagrama en variables de estado y simlelo en

Simulink.

c. Escriba el sistema en forma matricial determinando las

matrices A, B, C y D.

d. Utilizando un protoboard monte el sistema en variables,

teniendo en cuenta utilizar una circuitera adecuada para




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integradores, amplificadores y comparadores como se

muestra ms abajo.

e. Simule el circuito y verifique que los resultados se

satisfacen.

Circuitera: Set-Point:

Salida de voltaje R(s) que oscile entre los 0V y 5V.

Integrador:

La funcin de transferencia de este circuito es

. Si quisiramos

disear por ejemplo la planta con funcin de transferencia

,

tendramos que hacer la igualacin

. Si le damos al capacitor un valor

de , la resistencia tomara un valor de . Como la funcin de

transferencia es negativa, requerimos de un inversor con ganancia unitaria.

El circuito quedara por ejemplo as colocando los valores adecuados para

cada componente:




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Amplificador:

Un amplificador tiene como funcin de transferencia

. El

valor de la ganancia depender de los valores que se le d a y a

El circuito tendra la forma siguiente donde la relacin

nos

genera la ganancia y

debe ser la unidad.

Comparador:

Como circuito comparador podemos usar un circuito sumador

inversor y hacer un anlisis para la asignacin de signos para

entrada, su funcin de transferencia es de la forma

,

y el circuito correspondiente es

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