Control óptimo multivariable punto a punto de un robot ...
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MEMORIAS DEL XXVII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE DE 2021 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO
Tema A3b.Mecanismos y Robótica: Modelado aplicado a robótica
“Control óptimo multivariable punto a punto de un robot manipulador tipo SCARA”
Cesar Inchaurregui Marína, René Galindo Orozcoa.
aUniversidad Autónoma de Nuevo León, Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Av. Pedro de Alba S/N, San Nicolás de los Garza, N.L., México.
*Autores contacto, [email protected], [email protected], [email protected]
R E S U M E N
Los robots manipuladores han sido un área ampliamente estudiada, desde que se introdujeron en la industria para realizar
algunas tareas repetitivas o peligrosas para las personas. En este trabajo se propone una metodología para obtener la forma
cuadrática de la energía cinética y potencial para el desarrollo del modelo dinámico de un sistema robótico tipo SCARA.
En Matlab-SimMechanics se desarrolla un modelo dinámico CAD que tiene como referencia un sistema físico,
posteriormente se utiliza para diseñar una ley de control óptima y llevar el sistema de un punto de equilibrio asintótico a
otro, teniendo una compensación para las perturbaciones externas al modelo dinámico, como la dinámica del motor, fricción
y gravedad en cada grado de libertad.
Palabras Clave: Modelado, Control óptimo, modelo dinámico de CAD, manipulador SCARA
A B S T R A C T
Even with years of study focused on industrial robot manipulators, and due to advancement in computing capability, there
are many areas of opportunity and improvement in the study and implementation of control models. This work presents the
development and implementation of optimal control, through simulation, applied to a SCARA-type multivariable robotic
system. Where the physical prototype is used to obtain each of the parameters and variables that are subsequently introduced
in the simulation carried out with the dynamic model of the system, developed in the Matlab-SimMechanics environment.
The methodology shown allowed to obtain a control model that uses the quadratic form of the kinetic and potential energy
of the system to bring the end effector of the robot to an equilibrium point, and likewise, to cancel external disturbances such
as friction, gravity and dynamics of the motors in each degree of freedom.
Keywords: Modelling, optimal control, CAD dynamic models, SCARA manipulators.
1. Introducción
El control automático ha sido sumamente estudiado y
aplicado en robótica ya que, es la manera en que se logra
que el sistema realice los movimientos necesarios para
seguir una trayectoria y llegar a un punto de interés. Hay
diferentes maneras en las que se puede integrar una
técnica de control y dinámica del sistema, ya sea
mediante la cinemática directa e inversa del robot o bien,
como se ha hecho en este trabajo, haciendo uso de las
energías del robot de los modelos dinámicos de Euler-
Lagrange y su respectivo modelo CAD. Se implementa
una ley de control óptima, que utiliza el modelo dinámico
Euler-Lagrange del sistema, que define una estabilidad
asintótica de cada una de las articulaciones del sistema.
En la revisión de bibliografía se encuentra que el
diseño de sistemas de control para robots manipuladores
[1-4] ha sido un área de interés, para muchos
investigadores, desde que se han incorporado cada vez
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más los sistemas robóticos en nuevas tareas y disciplinas.
En [5] se desarrolla una ley de control óptima, para
sistemas dinámicos de Euler-Lagrange en lazo cerrado,
misma que se aplica en este trabajo, que logra llevar a
sistemas completamente actuados a una estabilidad
asintótica. En [5] también se muestra el funcionamiento
de la ley de control, mediante la simulación de un sistema
de un carro y un péndulo invertido. En [6] se diseña un
sistema de control proporcional, integral, derivativo
(PID) y controladores polinomiales, para cada
articulación independiente, haciendo uso de la
cinemática directa e inversa del sistema, con una
compensación del momento dinámico del sistema
afectando cada articulación durante el movimiento,
ejecutado en un robot manipulador PUMA-560. En [7] se
plantea un sistema de control, derivando funciones
estrictas de Lyapunov, enfocadas en controladores finitos
en el tiempo de robots manipuladores. En [8] se estudian
las capacidades de un sistema de control, en un robot
FANUC M-430iA/4FH, donde se propone un criterio de
calidad de control de posición en modo operativo del
robot; se utilizan dos métodos de control, siendo uno de
ellos un regulador lineal PID para el control de cada uno
de los grados de libertad y, por otro lado, se suscita el uso
de un sistema de control robusto DRC (Disturbance
Rejection Control System).
Existe una variedad de lecturas acerca de trabajos en
el desarrollo de sistemas y modelos de control, dirigidas
a robots manipuladores para diferentes tareas o enfoques.
Este trabajo se enfoca, principalmente, en el desarrollo
del modelo dinámico de un robot tipo SCARA. con el
objetivo de introducir una ley de control óptima
multivariable para el control de posición de punto a punto
del efector final del sistema. El control del robot
manipulador utilizado para este trabajo hace uso de las
energías cinética y potencial del modelo dinámico del
sistema, agregando una compensación de fricción,
gravedad y de la dinámica de sistemas físicos como los
motores en los grados de libertad rotacionales. Cabe
mencionar que las variables utilizadas tanto en el modelo
dinámico del sistema, como las variables usadas en los
modelos de sistemas físicos han sido tomadas del
prototipo real del robot.
2. Modelo Euler-Lagrange
Dado que la ley de control descrita en [1,5], tiene un
enfoque a sistemas dinámicos no lineales de Euler-
Lagrange, el sistema que se desea controlar debe cumplir
con la forma de la ecuación de Euler-Lagrange:
𝑀(𝑞)�̈� + 𝐶(𝑞, �̇�)�̇� + 𝐺(𝑞) + 𝐹(�̇�) + 𝜏𝑑(𝑡) = 𝜏(𝑡) (1)
Siendo en la ec. (1), 𝑀(𝑞) una matriz de inercia
generalizada, 𝐶(𝑞, �̇�) la matriz Coriolis generalizada,
𝐺(𝑞) el vector de gravedad generalizado del sistema,
𝐹(�̇�) la fricción generalizada, 𝜏𝑑(𝑡) una perturbación
externa acotada respecto al tiempo y 𝜏(𝑡) el vector de
entradas generalizadas. También 𝑞, �̈� 𝑦 𝑞 son los
vectores de posición, velocidad y aceleración
respectivamente. La matriz 𝑀(𝑞) se determina en la
siguiente sección, dado que 𝐺(𝑞), 𝐹(�̇�) y 𝜏𝑑(𝑡) son
establecidas mediante mediciones y parámetros físicos
del sistema.
2.1 Ley de control
Se considera un esquema de control donde las
perturbaciones externas, la fricción del sistema y la
gravedad son compensadas para estabilizar el sistema a
su punto de origen. Definiendo 𝑥1 = 𝑞 y 𝑥2 = �̇�, se
tiene la ley de cancelación:
𝜏(𝑡) = 𝑢 + 𝜏𝑑(𝑡) + 𝐹(𝑥2) + 𝐺(𝑥1) (2)
Y la ley de control óptima [5]:
𝑢∗ = −𝑥1
2−
𝑀(𝑥1)𝑥2
2 (3)
Que minimiza el criterio de la ec. (4):
𝐽 = ∫[𝑥1𝑇𝑄𝑥1 + 𝑢𝑇𝑅𝑢 + 𝑥2
𝑇𝑀(𝑥1)𝑅𝑢]𝑑𝑡 (4)
Donde 𝑅 = 𝑅𝑇 = (𝑀(𝑥1))−1 > 0 𝑦 𝑄 = 𝐼2.
Las ecuaciones de estado son:
�̇�1 = 𝑥2
�̇�2 = (𝑀(𝑥1))−1[𝑢 − 𝐶(𝑥1, 𝑥2)𝑥2] (5)
En [1], se diseña la ley de control para llevar al sistema
a la estabilidad asintótica al origen. Sin embargo, en lugar
de 𝑞, se puede utilizar la forma:
𝛥𝑞(𝑡) = 𝑞(𝑡) − �̃� (6)
Donde �̃�, son las coordenadas donde se desea
estabilizar el efector final. Siendo 𝛥q, el nuevo punto de
equilibro del sistema, este punto es diferente al origen.
3. Modelo dinámico
En este trabajo se hace énfasis en el modelo dinámico
Euler-Lagrange con base en las energías cinéticas y
potenciales del mecanismo. Este enfoque nos permite un
mejor estudio de las propiedades dinámicas y el esquema
de control. Considerando la expresión de la energía
cinética [9]:
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𝐸𝑘 = 𝐸𝑘𝑡𝑟𝑎𝑠 + 𝐸𝑘𝑟𝑜𝑡 = 1
2�̇�𝑇𝑀(𝑞)�̇� (7)
Donde 𝑀(𝑞) es la matriz de inercia, 𝑞 el vector de
coordenadas generalizadas para rotación y traslación,
también se tiene que:
𝐸𝑘𝑡𝑟𝑎𝑠 = 1
2 ∑ 𝑚𝑖 (𝑣𝑖)
𝑇 𝑣𝑖 𝑛𝑖=1 (8)
𝐸𝑘𝑟𝑜𝑡 = 1
2 ∑ 𝑤𝑖
𝑇 𝐼𝑖 𝑤𝑖 𝑛𝑖=1 (9)
Siendo para la ec. (8), 𝑚𝑖 cada una de las masas del
sistema y 𝑣𝑖 son las velocidades tangenciales de los
centros de masas. Para la ec. (9), Ii es la matriz de inercias
de cada eslabón y 𝑤𝑖 denota las velocidades angulares
absolutas.
Dado que se ha utilizado un sistema físico como
referencia para la obtención de todas aquellas constantes
del sistema, se tiene que las matrices de inercias de cada
eslabón han sido determinadas mediante el modelo CAD
del sistema físico, teniendo la forma:
𝐼𝑖 = [
𝐼𝑋 𝐼𝑋𝑌 𝐼𝑋𝑍
𝐼𝑋𝑌 𝐼𝑌 𝐼𝑌𝑍
𝐼𝑋𝑍 𝐼𝑌𝑍 𝐼𝑍
] (10)
Donde IX, IY e Iz son los momentos de inercia y IXY,
IXZ e IYz son los productos de inercia.
3.1 Convención Denavit-Hartenberg
Haciendo uso de la convención Denavit-Hartenberg [10],
en la tabla 1, se desplaza el marco de referencia desde la
base del robot, pasando por cada uno de los centros de
masa, mostrados en el diagrama de CAD de la Fig. 1,
hasta la posición del efector final.
Figura 1 - Esquema del robot
En la Fig. 1, se muestra la configuración del robot y la
posición de sus centros de masa que posteriormente
servirán para el cálculo de las transformaciones
homogéneas, en función de las rotaciones y traslaciones
del marco de referencia correspondiente. Se sabe
mediante el modelo CAD, la posición de los centros de
masa de cada eslabón.
Tabla 1 – Parámetros Denavit - Hartenberg.
𝑻𝒊𝒊−𝟏 𝜽𝒊 𝒅𝒊 𝒂𝒊 𝜶𝒊
𝑻𝟎𝟏 𝜃1
∗ 𝑑1 0 0
𝑻𝟏𝟐 0 𝑑2
∗ 𝑎1 0
𝑻𝟐𝟑 0 0 𝑎2 0
𝑻𝟑𝟒 𝜃2
∗ 0 𝑎3 0
Donde 𝜃𝑖∗, 𝑑𝑖
∗, 𝑎𝑖∗ y 𝛼𝑖
∗, son las variables de traslación y
rotación del marco de referencia correspondiente a cada
transformación homogénea respecto al tiempo, y que 𝜃𝑖,
𝑑𝑖, 𝑎𝑖 y 𝛼𝑖 son datos ya conocidos del sistema físico.
Efectuando la multiplicación de las matrices de
transformaciones homogéneas compuestas de las
rotaciones y de los vectores de posición; definidos en la
convención de Denavit-Hartenberg, mostrados en la
Tabla 1. Se obtienen las transformaciones homogéneas
con la forma:
𝑇𝑖 𝑖−1 = [𝑅0
𝑖 𝜊0𝑖
0 1] (11)
Donde 𝑅0i denota la orientación y 𝜊0
𝑖 la posición del
marco de referencia respecto al tiempo.
3.2 Velocidades tangenciales
Usando como referencia la forma de la transformación
homogénea, sabemos que se obtiene la velocidad
tangencial mediante �̇�𝑜𝑖 . Se sabe, por la ec. (8), que la
velocidad utilizada para calcular la energía cinética
traslacional se determina mediante la ec. (12).
𝑣𝑖 = �̇�𝑜𝑖 (12)
Aplicando la ec. (12) para cada centro de masa, se
obtuvieron las velocidades angulares (13)-(15).
𝑣1 = 0 (13)
𝑣2 = 𝑎12�̇�1
2 + �̇�12 (14)
𝑣3 = (𝑎1 + 𝑎2)2�̇�1
2 + 𝑎32(�̇�1 + �̇�2)
2 + 2𝑎3(𝑎1 +
𝑎2)𝐶𝜃2(�̇�1
2 + �̇�1�̇�2) + �̇�22 (15)
Haciendo uso de las velocidades tangenciales, y
aplicando la ec. (8), se determina la energía cinética
traslacional del sistema:
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𝐸𝑘𝑡𝑟𝑎𝑠 =1
2 𝑚2(𝑎1
2�̇�12 + �̇�1
2) +1
2 𝑚3((𝑎1 + 𝑎2)
2�̇�12 +
𝑎32(�̇�1 + �̇�2)
2 + 2𝑎3(𝑎1 + 𝑎2)𝐶𝜃2(�̇�1
2 + �̇�1�̇�2) + �̇�22)
d (16)
3.3 Velocidades angulares
En esta sección, se calculan las velocidades angulares de
cada centro de masa, respecto a un marco de referencia
fijo, según las ecs. (17) y (18) descritas en [10].
𝑊0𝑖 = 𝜌1𝑤0
1 + 𝜌2𝑅01𝑤1
2 + ⋯+ 𝜌𝑖𝑅0𝑖−1𝑤𝑖−1
𝑖
𝑊0𝑖 = 𝜌1𝐽𝑤1�̇�1 + 𝜌2𝐽𝑤2�̇�2 + ⋯ + 𝜌𝑖𝐽𝑤𝑖�̇�𝑖 (17)
𝑊𝑖 = (𝑅0𝑖 )𝑇𝑊0
𝑖 (18)
Donde 𝜌𝑖 = 1 para rotación y 𝜌𝑖 = 0 para
traslación, 𝐽𝑤𝑖�̇�𝑖 = [0 0 �̇�𝑖]𝑇 si el eje de giro es z y
𝐽𝑤𝑖�̇�𝑖 = [�̇�𝑖 0 0]𝑇 si el eje de giro es x, 𝑊0𝑖 es la
velocidad angular resultante debido a la rotación relativa
de varios marcos de coordenadas. La ec. (18) nos sirve
para el cálculo de las velocidades angulares absolutas de
los centros de masa, donde 𝑅0𝑖 denota la matriz de
orientación de la transformación homogénea 𝑇0𝑖 y 𝑊0
𝑖
denota la velocidad angular relativa de los centros de
masa. Aplicando la ec. (17), se consiguen las velocidades
angulares relativas:
𝑊01 = [
00�̇�1
] ,𝑊02 = [
00
�̇�1 + �̇�2
] (19)
Utilizando la ec. (18), se obtienen las velocidades
absolutas:
𝑊1 = [
00�̇�1
] , 𝑊2 = [
00
�̇�1 + �̇�2
] (20)
Se hace notar que en, este caso, las velocidades
angulares relativas y absolutas del sistema son idénticas.
Esto se debe a la configuración del robot manipulador
tipo SCARA, ya que ambas rotaciones están sobre el
plano horizontal, causando que la posición del efector
final sea el resultado de �̇�1 + �̇�2.
𝐸𝑘𝑟𝑜𝑡 = 1
2 𝐼𝑍1�̇�1
2 + 𝐼𝑍2�̇�12 + 𝐼𝑍3(�̇�1 + �̇�2)
2 (21)
3.4 Modelo dinámico de Euler-Lagrange
Como se mencionó en la sección 2, la ley de control
adoptada hace uso de la energía cinética del sistema, para
introducir la matriz de inercias generalizadas a la ley de
control. Con las ecs. (7), (16) y (21), se llega a la energía
cinética total señalada en la ec. (1).
Se sabe que M(q), es una matriz simétrica [1] y que es
la representación cuadrática de la energía cinética del
modelo dinámico Euler-Lagrange del sistema. Entonces:
1
2�̇�𝑇𝑀(𝑞)�̇� = [
�̇�1
�̇�2
�̇�2
]
𝑇
[
𝑀11 𝑀12 𝑀13
𝑀21 𝑀22 𝑀23
𝑀31 𝑀32 𝑀33
] [
�̇�1
�̇�2
�̇�2
] (22)
Donde:
𝑀11 = 𝑚₂𝑎₁² + 𝑚₃(𝑎₁ + 𝑎₂)² + 𝑚₃𝑎₃² + 2𝑚₃𝑎₃(𝑎₁ +
𝑎₂)𝑐𝑜𝑠 (𝜃2) + 𝐼𝑧1 + 𝐼𝑧2 + 𝐼𝑧3
𝑀13 = 𝑚3𝑎32 + 𝑚3𝑎3(𝑎1 + 𝑎2)𝑐𝑜𝑠 (𝜃2) + 𝐼𝑍3
𝑀22 = 𝑚2 + 𝑚3
𝑀31 = 𝑚3𝑎32 + 𝑚3𝑎3(𝑎1 + 𝑎2)𝑐𝑜𝑠 (𝜃2) + 𝐼𝑍3
𝑀33 = 𝑚3𝑎32 + 𝐼𝑍3
𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀23 = 𝑀32 = 0
En la sección 5, se hace uso de la matriz M(q) en la
simulación del sistema, incorporada en la ley de control
óptima dada en la ec. (3).
4. Modelo de motores DC
Se agregó al modelo de control una compensación de la
dinámica de los motores en las uniones rotacionales. Se
considera un motor DC como un sistema de primer orden,
de esta manera se desprecia la inductancia de armadura.
Figura 2 - Modelo del motor
Donde 𝑣 es el voltaje aplicado, K denota la ganancia
de la función de transferencia y 𝜏 denota la constante de
tiempo. Aplicando el Teorema del valor final [11], 𝐾 = 𝑤(𝑠𝑠) /𝑣(𝑠𝑠) , donde 𝑤(𝑠𝑠) y 𝑣(𝑠𝑠) denotan valores en
estado estacionario y que al sistema le toma 5𝜏 en llegar
a su velocidad nominal en estado estacionario, entonces
𝜏 = 5𝜏/5.
Se realizaron mediciones para obtener el valor de 5𝜏
y la zona muerta (𝑣(𝑑𝑧)) de arranque que se tiene en los
motores. Todas estas mediciones se llevaron a cabo con
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una respuesta a la entrada en escalón y se han utilizado
para recrear el comportamiento real de la dinámica de los
motores. Además, se considera una saturación (𝑣(𝑠𝑎𝑡))
para la entrada de 𝑣(𝑠𝑠) que ha sido tomada de la hoja de
especificaciones del fabricante y se integra en la
simulación mostrada en secciones posteriores.
5. Modelo de control implementado
A manera de formular la ley de control para el
mecanismo robótico de interés, se aplican las ecs. (2) y
(3) en la ec. (22). Se tiene la ley de control:
[
𝜏1
𝜏2
𝜏3
] =
[ −
1
2𝜃1 − (𝑀11�̇�1 + 𝑀11�̇�2 + 𝑀11�̇�2) + 𝑏1�̇�1
−1
2𝑑2 − (𝑀21�̇�1 + 𝑀22�̇�2 + 𝑀23�̇�2) + 𝑏2�̇�2 + 𝐸𝑝
−1
2𝜃2 − (𝑀31�̇�1 + 𝑀32�̇�2 + 𝑀33�̇�2) + 𝑏3�̇�2 ]
j (23)
En la ec. (23), se aprecia la ley de control que
estabilizará al sistema al origen. Donde Ep = 𝑔(𝑚2 +𝑚3), en las ecs. (23) y (24).
[
𝜏1
𝜏2
𝜏3
] =
[ −
1
2𝛥𝜃1 − (𝑀11�̇�1 + 𝑀11�̇�2 + 𝑀11�̇�2) + 𝑏1�̇�1
−1
2𝛥𝑑2 − (𝑀21�̇�1 + 𝑀22�̇�2 + 𝑀23�̇�2) + 𝑏2�̇�2 + 𝐸𝑝
−1
2𝛥𝜃2 − (𝑀31�̇�1 + 𝑀32�̇�2 + 𝑀33�̇�2) + 𝑏3�̇�2 ]
j (24)
Como se menciona en la sección 2, a la ec. (24), se le
ha hecho el cambio de variable que permitirá estabilizar
al robot manipulador del origen a un punto de interés.
Para realizar la atenuación de la dinámica de los motores
CD, se tiene un esquema de cancelación como se muestra
en la Fig. 3, donde 𝐺(𝑠) = 𝐾/(𝜏𝑠 + 1). Para establecer
este esquema en la simulación, al ser el resultado la
inversa de la función de transferencia del motor de primer
orden, se utiliza un controlador PD.
Figura 3 – Esquema de compensación simplificado
Integrando la cancelación de la dinámica del motor al
sistema, tenemos un esquema de control [5], como se
observa en la Fig. 4. Donde 𝑢∗ es la ley de control,
“Robot” es la planta del sistema, 𝐺(𝑥1) el vector de
gravedad generalizado y 𝐹(𝑥2) el vector de fricción.
Figura 4 – Esquema de control
Este esquema de control ha sido ejecutado en la
siguiente sección.
6. Simulación
La simulación se realizó con las herramientas MATLAB-
Simulink y SolidWorks. Con el toolbox Simpscape
multibody, se logró exportar el modelo 3D del sistema
desde SolidWorks a un entorno de Simulink. Dentro de
este entorno se llevó a efecto, inicialmente, la ley de
control de la ec. (23) para estabilizar los grados de
libertad del robot al punto de origen, posteriormente se
realizó el cambio de variable, para estabilizar cada grado
de libertad en una posición deseada mediante la ley de
control (24). En la Fig. 4, se muestra el esquema de
control óptimo para un robot manipulador tipo SCARA.
Los datos utilizados para la simulación son: 𝑚1 = 1,
𝑚2 = 0.40, 𝑚3 = 0.12, 𝐼𝑧1 = 0.0029, 𝐼𝑧2 = 0.0040,
𝐼𝑧3= 0.0008, 𝑎1 = 0.15, 𝑎2 = 0.15, 𝑎3 = 0.15, 𝑏1 =0.1, 𝑏2 = 0.1, 𝑏3 = 0.1, 𝑔 = 9.81, 𝜏 = .0374, 𝑘 =0.0872, 𝑣(𝑑𝑧) = ±0.47, 𝑣(𝑠𝑎𝑡) = ±12𝑣. Todos los
datos han sido tomados del prototipo físico, exceptuando
el coeficiente de fricción utilizado en la ec. (2) y las
matrices de inercia de cada eslabón, ya que se intenta
realizar una simulación apegada al sistema físico.
Se encuentra en las Figs. (5-7), que el sistema se
estabiliza al punto de origen desde una condición inicial
diferente a este (90,20,30). Se presenta una respuesta
suave para la primera rotación y el prismático, siendo la
segunda rotación, de la Fig. 7, la que presenta una
perturbación debida al movimiento de la primera
rotación. Sin embargo, la ley de control logra atenuar esta
perturbación y logra la estabilidad asintótica del sistema
en lazo cerrado.
En las Figs. (9-11), se muestra el comportamiento del
sistema al llevarlo a una posición deseada (45, 20, 80),
desde una condición inicial (0, 0, 0). Se examina un
funcionamiento satisfactorio de la ley de control, al llevar
al punto de equilibro sin mostrar un comportamiento con
sobre impulsos o alguna otra anomalía. Pese a esta
perturbación generada por la primera rotación, la ley de
control logra disminuirla y llegar a la posición deseada
en la segunda rotación.
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Figura 5 – Ángulo respecto al tiempo con punto inicial diferente al
origen
Figura 6 – Posición respecto al tiempo con punto inicial diferente
al origen
Figura 7 – Ángulo respecto al tiempo con punto inicial diferente al
origen
En las Figs. (8) y (12), se aprecia que la ley de control
tiene respuestas suaves, a excepción de 𝜏3, y sin
sobrepasar los niveles de saturación del sistema. Además,
se observa que se minimiza el criterio descrito en la ec.
(4).
En la Fig. 13, se aprecia el diagrama en Simulink
utilizado para efectuar la simulación de la ley de control
óptima en el modelo SimMechanics del sistema robótico
de tipo SCARA. Dentro de la ley óptima de control, se
tienen las ecs. (23) y (24) para tener una estabilidad
asintótica al origen, o bien, una estabilidad a un punto
establecido que no converge en el origen del sistema.
Figura 8 – Comportamiento de la ley de control con punto inicial
diferente al origen
Figura 9 – Ángulo respecto al tiempo, punto de equilibro deseado
Figura 10 – Posición respecto al tiempo, punto de equilibro
deseado
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Figura 11 – Ángulo respecto al tiempo en condición inicial
diferente al origen
Figura 12 – Comportamiento de la ley de control, punto de
equilibro deseado
7. Conclusiones
Con este trabajo se muestra el comportamiento de un
control óptimo multivariable aplicado a un modelo
dinámico de Lagrange, basado en un prototipo físico que
proporciona las constantes y parámetros para realizar la
simulación. El comportamiento del sistema ha sido
satisfactorio, ya que se ha logrado llevar a cada eslabón
del robot manipulador al punto de equilibro deseado con
una trayectoria suave y sin sobre impulsos. Teniendo una
ley de control que si bien, al inicio muestra una pequeña
variación y sobre impulsos, logra atenuar todas las
perturbaciones externas y llegar a converger
asintóticamente en cero o en un punto de equilibrio
deseado.
Una metodología de este tipo puede dar grandes
beneficios al momento de desarrollar un sistema en el
cuál, se implemente un modelo de control unificado, es
decir, no se requiere la calibración o programación de un
control independiente en cada una de las articulaciones.
También da paso al uso del modelo dinámico de nuestros
sistemas, y así integrar una compensación de
perturbaciones ajenas al sistema que en otros modelos de
control podrían no integrarse de una manera sencilla.
Figura 13 – Diagrama en simulink del sistema y la ley de control óptima
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