control y optimizacion

ModeladoAnálisisControl

Observadores

Optimización y Control

Ignacio Delgado, Ignacio Gómez, J. M. Perales, J. M. Vega

Escuela de Ingeniería Aeronáutica y del EspacioPrograma: Grado en Ingeniería Aeronáutica

Curso 2011-2012Ejemplo: Marcelino. El robot equilibrista



Observadores

Index1 Modelado

DescripciónEcuaciones del sistemaLinealización

2 AnálisisEstabilidadRespuesta

3 ControlControlabilidadRespuesta simuladaPole placementLinear Quadratic Regulator

4 ObservadoresObservadoresFiltro de Kalman



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1 ModeladoDescripciónEcuaciones del sistemaLinealización






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Proceso de diseño

Modelo dinámico no

lineal

Modelo dinámico lineal

Trimado y Linealización

Sistema real

Ensayos

Técnicas analíticas

Controlador lineal

Controlador No lineal

Técnicas de diseño de controladores lineales

Técnicas de diseño de controladores no lineales

Especificaciones de diseño



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MARCELINO



Observadores


ESQUEMATICAMENTE



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PARÁMETROS

g = 9,8 Aceleración de la gravedad (m/s2).m = 0,03 Peso de la rueda (kg).R = 0,03 Radio de la rueda (m).Jw = m.R2/2 Momento de inercia de la rueda (kg.m2).M = 0,6 Peso del robot (kg).W = 0,14 Ancho del robot (m).D = 0,04 Espesor del robot (m).H = 0,144 Altura del aparato (sin ruedas) (m).L = H/2 Distancia del centro de masas al eje de las ruedas (m).Jψ = M(H2)/3 Momento de inercia de cabeceo (kg.m2).Jm = 10−5 Momento de inercia del DC motor (kg.m2).Rm = 6,69 Resistencia eléctrica del DC motor (Ω)

Kb = 0,468 Constante del motor (V.s/rad).Kt = 0,317 Constante de par del motor (N.m/A).fm = 0,0022 Coeficiente de fricción entre el motor y el aparato.



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RELACIONES GEOMÉTRICAS

Traslación del eje de las ruedas:

(x , z) = (Rθ,R) (x , z) =(

Rθ,0)

Traslación del cuerpo (CG):

(xb, zb) = (x + L sinψ, z + L cosψ) = (Rθ + L sinψ,R + L cosψ)

(xb, zb) =(

Rθ + Lψ cosψ,−Lψ sinψ)

Rotaciones:Ruedas: θ Cuerpo: ψ Motor: θm = θ − ψ



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ENERGÍAS

Energía cinética de traslación:

T1 = 212

m(x2 + z2)+ 1

2M(x2

b + z2b)

Energía cinética de rotación:

T2 = 212

Jw θ2 +

12

Jψψ2 + 212

Jm(θ − ψ)2

Energía potencial:

U = 2mgz + Mgzb



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ECUACIONES DE LAGRANGE

Lagrangiano:L = T1 + T2 − U

Ecuaciones de Lagrange:

d

dt

(∂L

∂θ

)−∂L

∂θ= Fθ

d

dt

(∂L

∂ψ

)−∂L

∂ψ= Fψ

Derivando:[(2m + M) R2 + 2Jw + 2Jm

]θ + (MLR cosψ − 2Jm) ψ − MLRψ2 sinψ = Fθ

(MLR cosψ − 2Jm) θ +(

ML2 + Jψ + 2Jm)ψ − MgL sinψ − ML2

ψ2 sinψ cosψ = Fψ



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MOMENTOS: MODELADO DEL MOTOR DC

V = Rmi + L ddt i + e siendo e = Kbθm

En el equilibrio: ddt i(t) = 0⇒ i = V

Rm− Kb θm

Rm

Par efectivo del motor: T = Kt i − fmθm. En el equilibrio:

T = Kt VRm− Kt Kb θm

Rm− fmθm = αV −β(θ− ψ) α = Kt

Rmβ = Kt Kb

Rm+ fm

Fuerzas generalizadas: Fθ = −Fψ = 2T = 2(αV − β(θ − ψ))



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SISTEMA COMPLETO

Vector de estado: X = θ, θ, ψ, ψ

Vector de control: U = V

Ecuaciones:

[(2m + M) R2 + 2Jw + 2Jm

]θ + (MLR cosψ − 2Jm) ψ − MLRψ2 sinψ = 2(αV − β(θ − ψ))

(MLR cosψ − 2Jm) θ +(

ML2 + Jψ + 2Jm)ψ − MgL sinψ − ML2

ψ2 sinψ cosψ = −2(αV − β(θ − ψ))



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MATLAB: SISTEMA DINÁMICO

function XD = IGPwayNL( XV, UV )

% Ponemos a cada variable su nombre para entender mejor las ecuacionestheta=XV(1);thetadot=XV(2);psi=XV(3);psidot=XV(4);

V=UV;

%% VALOR DE LOS PARAMETROS DEL SISTEMAg = 9.81;m = 0.03;R = 0.04;Jw= m * R^2/2.0;M = 0.6;W = 0.14;D = 0.04;Hs = 0.144;L = Hs/2.0;Jpsi = M*Hs^2 /3;Jm = 1E-5;Rm = 6.69;Kb = 0.468;Kt = 0.317;fm = 0.0022;



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MATLAB: SISTEMA DINÁMICO II

%% MATRICESalpha = Kt/Rm;beta = (Kt*Kb)/Rm + fm;

E = zeros(2); % Vector de ceros para no usar dimension dinámicaE(1,1) = (2*m+M)*R^2 + 2*Jw + 2*Jm;E(1,2) = M*L*R*cos(psi) - 2*Jm;E(2,1) = M*L*R*cos(psi) - 2*Jm;E(2,2) = M*L^2 + Jpsi + 2*Jm;

F = zeros(2,1); % Vector de ceros para no usar dimension dinámicaF(1,1) = M*L*R*psidot^2*sin(psi)+2*alpha*V-2*beta*(thetadot-psidot);F(2,1) = M*g*L*sin(psi)-M*L^2*psidot^2*sin(psi)*cos(psi)-2*alpha*V+2*beta*(thetadot-psidot);

%% SISTEMA% E*(thetadotdot; Psidotdot) = F

temp=E\F; % despejar derivadas segundas

%% SALIDAXD = zeros(4,1); % Vector de ceros para no usar dimension dinámica

XD(1) = thetadot;XD(2) = temp(1);XD(3) = psidot;XD(4) = temp(2);



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MATLAB: SISTEMA EN BUCLE ABIERTO



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TRIMADO

trim Solves for steady-state parameters that satisfy certain input,output and state conditions.

[X,U,Y,DX]=trim(’SYS’)

Set the state derivatives, DX, of the system ’SYS’ to zero. trim uses aconstrained optimization technique.

[X,U,Y,DX]=trim(’SYS’,X0,U0,Y0,IX,IU,IY)

Fixes X, U and Y to X0(IX), U0(IU) and Y0(IY). The variables IX, IUand IY are vectors of indices. If IX is not empty, but does not includeall the states, then the states not indexed in IX are free to vary.Similarly, if IU is not empty and does not include all the inputs, thenthe inputs omitted from IU are free to vary.

[X,U,Y,DX]=trim(’SYS’,X0,U0,Y0,IX,IU,IY,DX0,IDX)

Added continuous derivatives indexed by IDX to DX(IDX). Derivativesnot indexed are free to vary.



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TRIMADO DE MARCELINO

>> [Xtrim,Utrim,Ytrim,DXtrim]=trim(’IGPwayNL’)

Warning: Using a default value of 0.02 for maximum step size. The simulationstep size will be equal to or less than this value. You can disable thisdiagnostic by setting ’Automatic solver parameter selection’ diagnostic to’none’ in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog

Xtrim = 1.0e-18 *0.0033

-0.00000.1536

-0.0003

Utrim = -9.7430e-19

Ytrim = 1.0e-18 *0.0033

-0.00000.1536

-0.0003

DXtrim = 1.0e-15 *-0.0000-0.1788-0.00000.0636



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LINEALIZACIÓN

linmod Obtains linear models from systems of ord. diff. equations(ODEs).

[A,B,C,D]=linmod(’SYS’)

Obtains the state-space linear model of the system of ordinarydifferential equations described in the block diagram ’SYS’ when thestate variables and inputs are set to the defaults specified in the blockdiagram.

[A,B,C,D]=linmod(’SYS’,X,U)

Allows the state vector, X, and input, U, to be specified. A linearmodel will then be obtained at this operating point.



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LINEALIZACIÓN

[A,B,C,D]=linmod(’IGPwayNL’,Xtrim,Utrim)

A = 0 1.0000 0 00 -83.2381 -137.5394 83.23810 0 0 1.00000 26.2342 90.5119 -26.2342

B = 0161.8068

0-50.9968

C = 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

D = 0000



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LINEALIZACIÓN

>> C=[0 0 1 0];>> D=0;>> IGPwayLIN=ss(A,B,C,D);>> minreal(IGPwayLIN)1 state removed.

a = x1 x2 x3x1 -83.24 -137.5 83.24x2 0 0 1x3 26.23 90.51 -26.23

b = u1x1 161.8x2 0x3 -51

c = x1 x2 x3y1 0 1 0

d = u1y1 0

Continuous-time state-space model.


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