Controlador PI

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  Departamento de Ingeniería Eléctrica Sección Mecatrónica Ingeniería de Control Proyecto: Controlador PI Alumnos: Raúl Dalí Cruz Morales Gonzalo Hedain López Mera Juan Carlos Serrano Orozco

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Sintonización de un controlador PI para una planta de tercer orden.

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Departamento de Ingeniería Eléctrica

Sección Mecatrónica

Ingeniería de Control

Proyecto: Controlador PI

Alumnos:

Raúl Dalí Cruz MoralesGonzalo Hedain López MeraJuan Carlos Serrano Orozco

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2

CONTENIDO

1. RESPUESTA TRANSITORIA EN LAZO ABIERTO………………………………………………………….3

2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR……………………………………………..….6

2.1. LUGAR DE RAICES DEL SISTEMA……………………………………………………………….…..….9

2.2. Kp PARA ζ=0.7………………………………………………………………………………………………...13

2.3. RESPUESTA EN EL TIEMPO CON ζ=0.7……………………………………………………………...17

2.4. DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST…………………………………………………………..……….21

2.5. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST…………………………………………………..………25

2.6. MARGEN DE FASE Y GANANCIA………………………………………………………………….…..29

3. METODO DE ZIEGLER-NICHOLS……………………………………………………………………………...30

3.1. SISTEMA EN OSCILACIONES SOSTENIDAS…………………………………………………..…...33

3.2. VALORES DE Kp Y Ti……………………………………………………………………………………..….33

3.3. RESPUESTA EN EL TIEMPO CON CONTROLADOR AJUSTADO…………………………...34

4. CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………….…………….36

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3

Reporte

1. RESPUESTA EN EL TIEMPO EN LAZO ABIERTO

Construya el circuito que se muestra en la Fig. A. Dicho circuito simula una planta de

tercer orden. El primer amplificador operacional forma la suma de las dos señales de

entrada de la planta: la entrada de la planta y la de perturbación sobre la entrada de

la planta .

Figura A

Haciendo la señal de perturbación igual a cero volts ( = 0), introduzca una señal de

entrada tipo escalón de amplitud igual a 6 volts ( = 6) y obtenga la respuesta

transitoria de la planta ().

Respuesta transitoria de la planta con la entrada tipo escalón de 6 volts ( = 6).

Fig.1.1 Respuesta transitoria en el osciloscopio.

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4

Fig.1.2. Datos de la respuesta transitoria graficados en MATLAB.

Una vez que la respuesta de la planta ha llegado a un estado estacionario (con =6) introduzca una señal de perturbación tipo escalón de amplitud igual a 3 volts

( = 3) y obtenga la respuesta transitoria de la planta ().

Fig.1.3. Respuesta transitoria en el osciloscopio.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

0

1

2

3

4

5

6

7

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5

Fig.1.4. Datos de la respuesta transitoria graficados en MATLAB.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

4

6

8

10

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6

2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR

Considere ahora los circuitos mostrados en la Figura B que representan un comparador yun controlador PI (proporcional integral), respectivamente. Suponiendo nuevamente

amplificadores operacionales ideales y condiciones iniciales nulas, encuentre la relación

entre = ℒ y las señales = ℒ y = ℒ para el

comparador ( es la señal de error, es la señal de referencia y es la salida

de la planta simulada con el circuito de la Fig. 1). También encuentre la función de

transferencia del controlador junto con las expresiones para las constantes y .

Figura B

Función de transferencia del controlador.

= −

= − + 1

= − + 1

Si la función de un controlador PI es:

! = "1 + 1#

se hará la función de transferencia del controlador lo más parecida posible a la función

general de un PI.

= + 1 =

+ 1 =

+ 1

=

"1 +

1# =

"1 + 1

#

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7

De donde podemos ver que:

=

% 1

= 1

Función de transferencia de la planta de tercer orden.

La planta de tercer orden se puede dividir en tres partes iguales que constan de:

Fig.2.1 Componente de la planta

La función de transferencia de este sistema de un amplificador operacional es:

=

+ = &

&

= +

=1

+ 1

= 1

+ 1

Parte 1

' = 11 0 × 1 0&2 2 × 1 0* + 1 = 1

0.22+1

Parte 2

' = 14.7×10&2 2 × 1 0* + 1 = 1

0.1034+1 = '&

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8

La función de transferencia de la planta completa se obtiene al multiplicar las 3 partes.

/ = " 10.22+1# " 1

0.1034+1#

= " 10.22+1# " 1

10.691×10*& +0.2068+1#

/ = 12.352×10*&& +56.187×10*& +0.4268+1

Al interconectar los circuito de las figuras 1 y 2, y utilizando las funciones de transferenciaencontradas arriba, se obtiene el sistema retroalimentado de la Fig. 3. Para este sistema,

haciendo = 0 y con 1 ⁄ =2.0, encuentre el lugar de raíces del sistema con

respecto a . A partir de este diagrama diga para que valores de , los polos del sistema

en lazo cerrado se encuentran sobre el eje imaginario (estabilidad crítica). Utilizando

también el lugar de raíces, encuentre el valor de que permite obtener un sistema en

lazo cerrado con razón de amortiguamiento igual a 0.7.

Con 1 ⁄ =2.0 podemos tener la función de transferencia del controlador en términos de

.

Si:

1

= 1

entonces

2 = 1

y proponiendo un capacitor de 22µF

2 = 12 2 × 1 0* → = 1

22 2 × 1 0* =22727.27≅22Ω

Siendo la función de transferencia del controlador.

/;;<; = "1 + 12 2 × 1 0&2 2 × 1 0*# = "1 + 2.066

# = "+2.066 #

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9

Y la función de transferencia en lazo abierto del sistema completo es:

/;;<; ∙ / = +2.0662.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 +

2.1 Lugar de las raíces del sistema.

/ = +2.0662.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 +

/ = +2.066+4.5455+9.7518+9.5918

El sistema tiene 4 polos y 1 cero, todos reales y negativos.

? = 4, A = 1, ? − A = 3

Centro de Asíntotas.

B = − ∑ 'D − ∑ ED? − A

Para 0

B = − 0+4.5455+9.7518+9.5918 − 2.0663 =−7.2734

Ángulos de Asíntotas.

G = 2 H + 1180°? − A H = 0 , 1 , … , ? − A − 1

Para el caso de este sistema H=0,1 ,2. Hay 3 asíntotas.

G = 20 + 1180°3 =60°

G = 21 + 1180°3 =180°

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G& = 22 + 1180°3 =300°

Puntos de Ruptura.

K 1BL + '

D= K 1

BL +

E

D

1BL

+ 1BL +4.5455 + 1

BL +9.7518 + 1BL +9.5918 = 1

BL +2.066

4BL& +71.6673BL +362.9263BL +425.1738BL> +23.8891BL& +181.46361BL +425.1738BL

= 1BL +2.066

BL> +23.8891BL& +181.46361BL +425.1738BL

= BL +2.0664BL& +71.6673BL +362.9263BL +425.1738

BL> +23.8891BL& +181.46361BL +425.1738BL

= 4BL> +79.9313BL& +510.9909BL +1174.9795BL +878.40907

3BL> +56.0422BL& +329.52729BL +749.8057BL +878.40907=0

Las raíces de esta ecuación son los puntos de ruptura.

BL = −9.6724 BL = −6.0883 BL& = −1.4550+M1.6873 BL> = −1.4550−M1.6873

Los ángulos de partida y llegada no se calcularon ya que todos los polos y ceros están

sobre el eje real.

Punto de ruptura en el L. de R.

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El diagrama de Lugar de Raíces queda de la siguiente forma.

Fig.2.2. Lugar de Raíces del Sistema

Para encontrar el valor de en el cual los polos del sistema están en el eje imaginario

utilizaremos el polinomio característico del sistema.

/; L; =

+2.066

2.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 +

/; <; = +2.0662.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 + N + 1O +2.066

' =2.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 + N + 1O +2.066

-20 -15 -10 -5 0 5-15

-10

-5

0

5

10

15Lugar de las raíces del sistema

Real Axis (seconds-1)

I m a g i n a r y A x i s ( s e c o n d s - 1 )

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' MP =2.352×10*&

MP>

+56.187×10*&

MP&

+0.4268 MP

+ MPN + 1O+2.066

' MP =2.352×10*&P> −M56.187×10*&P& −0.4268P +MP +MP+2.066

Parte Real

2.352×10*&P> −0.4268P +2.066

Parte Imaginaria

MN−56.187×10*&P& + P + PO

Construyamos un sistema de ecuaciones igualando ambas partes del PC a cero

2.352×10*&P> −0.4268P +2.066 = 0 (1)

−56.187×10*&P& + P + P = 0 (2)

de la ecuación (2)

= Q 56.187×10*&P& − P =56.187×10*&P − 1 (3)

Sustituyendo (3) en (1)

2.352×10*&P> −0.4268P +2.06656.187×10*&P − 1 = 0

2.352×10*&

P>

−0.3108P

− 2 . 0 6 6 = 0

Las raíces de esta ecuación son:

P = -11.768P = 11.768P& = 0+j2.5185P> = 0-j2.5185

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Aquí se utilizan

Py

Pque sustituidos en

=56.187×10*&

P

− 1nos da:

=56.187×10*&11.768 − 1 = 6 . 7 8

que es la ganancia crítica del sistema.

2.2 Kp PARA ζ=0.7

Para encontrar la ganancia a la cual el sistema tiene un factor de amortiguamiento igual a

0.7 se utilizará una aproximación de nuestro sistema a un sistema de segundo orden.

Fig.2.3. Ubicación de los polos para ζ=0.7 en un sistema de segundo orden

Lugar de las raíces del sistema

Real Axis (seconds-1)

I m a g i n a r y A x i s ( s e c o n d s - 1 )

-20 -15 -10 -5 0 5-15

-10

-5

0

5

10

15

System: Gla

Gain: 0.612

Pole: -4.24 + 4.33i

Damping: 0.7

Overshoot (%): 4.6

Frequency (rad/s): 6.06

System: Gla

Gain: 0.612

Pole: -4.24 - 4.33i

Damping: 0.7

Overshoot (%): 4.61

Frequency (rad/s): 6.06

System: Gla

Gain: 0.612

Pole: -0.984

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 0.984

0.7

0.7

51015

System: Gla

Gain: 0.612

Pole: -14.4

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 14.4

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La ganancia para esta aproximación es de 0.612, sin embargo se observa que existe un

polo dominante en el eje real para el valor de esta ganancia. Este polo ocasiona que la

respuesta en el tiempo del sistema sea similar a la respuesta en el tiempo de un sistema

de primer orden. La respuesta en el tiempo del sistema con esta ganancia es:

Fig.2.4. Respuesta del sistema con la ganancia Kp=0.612

Este tipo de aproximaciones no son útiles en este caso ya que el sistema en este caso es

de cuarto orden, no de segundo orden.

Para tener una respuesta adecuada del sistema con un factor de amortiguamiento de 0.7

se busca la ganancia a la cual el sistema produzca un sobredisparo de 5%

aproximadamente.

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

Respuesta en el tiempo del sistema

Tiempo (seconds)

V r

( V o l t s )

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La ganancia a la cual se obtiene el 5% de sobredisparo de este sistema es 1.57.

Fig.2.5. Respuesta del Sistema con una Kp=1.57

En la siguiente figura se muestra como los polos complejos se vuelven dominantes a

medida que la ganancia aumenta.

Respuesta en el t iempo del sistema

Tiempo (seconds)

V r

( V o l t s )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

System: untitled1

Peak amplitude: 6.3

Overshoot (%): 5.06

At time (seconds): 0.572

System: untitled1

Final Value: 6System: untitled1

Settling Time (seconds): 1.45

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16

Fig.2.6. Ubicación de los polos para Kp=1.57 en el sistema

Lugar de las raíces del sistema

Real Axis (seconds-1)

I m a g i n a r y A x i s ( s e c o n d s - 1 )

-20 -15 -10 -5 0 5-15

-10

-5

0

5

10

15System: Gla

Gain: 1.57Pole: -2.86 + 6.63i

Damping: 0.396

Overshoot (%): 25.8

Frequency (rad/s): 7.22

System: GlaGain: 1.57

Pole: -2.86 - 6.64i

Damping: 0.395

Overshoot (%): 25.9

Frequency (rad/s): 7.23

System: Gla

Gain: 1.57

Pole: -1.54

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency ( rad/s): 1.54

0.7

0.7

51015

System: Gla

Gain: 1.57

Pole: -16.6

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency ( rad/s): 16.6

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2.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO CON ζ=0.7

Con el valor

que permite tener un sistema en lazo cerrado con factor de

amortiguamiento igual a 0.7 (1 ⁄ sigue siendo igual a 2.0):

• Muestre la respuesta en el tiempo del sistema en lazo cerrado , a partir de la

condición inicial 0 = 0 cuando es una señal tipo escalón con magnitud

igual a 6 v y con = 0 para toda ≥ 0.

Fig.2.7. Simulación en MATLAB para una Kp=1.57

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7Respuesta del sistema sin perturbación

V r

( V o l t s )

Tiempo (s)

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Fig.2.8. Datos obtenidos en el osciloscopio para una Kp=1.57

Fig.2.9. Datos graficados en MATLAB para una Kp=1.57

0 5 10 15 20 25-1

0

1

2

3

4

5

6

7

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19

• Muestre nuevamente la respuesta en el tiempo del sistema en lazo cerrado ,

a partir de la condición inicial 0 = 0 con la misma señal (una señal tipo

escalón con magnitud inicial a 6 v) pero ahora haga = 3 en = 10 . Digaque pasa con la señal cuando aparece la señal de perturbación .

Fig.2.10. Simulación en MATLAB para una Kp=1.57 y perturbación

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8Respuesta del sistema con perturbación

V r

( V o l t s )

Tiempo (s)

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20

Fig.2.11. Datos obtenidos en el osciloscopio para una Kp=1.57 y perturbación

Fig.2.12. Datos graficados en MATLAB para una Kp=1.57 y perturbación

0 5 10 15 20 25-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

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21

2.4 DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST

Para el sistema retroalimentado de la Fig. C y haciendo

= 0y con

1 ⁄ =2.0:

• Muestre el comportamiento en la frecuencia de la función de transferencia

sinusoidal de lazo abierto. Considere que 0. Dibuje el diagrama de Bode

asintótico para el HSTU del módulo y para la fase, así como para el diagrama de

Nyquist aproximado.

Figura C

Diagrama de Bode.

La función de transferencia del sistema en lazo abierto es la siguiente:

/; L; = +2.0662.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 +

Tomando el valor de =1.57

/; L; = 1.57+2.066+4.5455+9.5918+9.7518

/; L; = 1.57+2.0664.5455 V

4.5455

+ 1W 9.5918 V

9.5918

+ 1W 9.7518 V

9.7518

+ 1W

/; L; = 0.00764V 2.066 + 1W

V 4.5455 + 1 W V

9.5918 + 1 W V 9.7518 + 1W

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Factor de Ganancia.

=0.00764

XYT?Z[\ = 20logU

`Ya=0°

Factor Integral.

*

XYT?Z[\ = −20 logU P

∠MP=−90°

Factores lineales.

V c.U + 1W

XYT?Z[\ = 20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY

XYT?Z[\=20logU P YHY efa[a?ZY

P =

1

=2.066

∠ M P = 0 ° P = 0

∠ M P = 4 5 ° P = P

∠ M P = 9 0 ° P = ∞

V c>.j>jj + 1W*

XYT?Z[\=−20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY

XYT?Z[\=−20logU P YHY efa[a?ZY

P = 1 =4.5455

∠ M P = 0 ° P = 0

∠ M P = − 4 5 ° P = P

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23

∠ M P = − 9 0 ° P = ∞

V ck.jk + 1W*

XYT?Z[\=−20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY

XYT?Z[\=−20logU P YHY efa[a?ZY

P = 1 =9.5918

∠ M P = 0 ° P = 0

∠ M P = − 4 5 ° P = P

∠ M P = − 9 0 ° P = ∞

V ck.mj + 1W*

XYT?Z[\=−20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY

XYT?Z[\=−20logU P YHY efa[a?ZY

P = 1 =9.7518

∠ M P = 0 ° P = 0

∠ M P = − 4 5 ° P = P

∠ M P = − 9 0 ° P = ∞

La siguiente figura es el diagrama de Bode para la magnitud y fase del sistema. Este

diagrama se obtuvo con la ganancia =1.57 que da al sistema un factor de

amortiguamiento de 0.7.

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24

Fig.2.13. Diagrama de Magnitud y Fase del sistema.

-150

-100

-50

0

50

M a g n i t u d e ( d B )

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

P h a s e ( d e g )

Diagrama de Bode en el factor de amortiguamiento de 0.7

Frequency (rad/s)

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25

2.5 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST

• A partir del diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto, y

utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, determine el rango el rango de

que asegura que el sistema en lazo cerrado es estable. Diga si el valor de que

permite tener una razón de amortiguamiento igual a 0.7 para el sistema en lazo

cerrado está dentro de este rango.

El criterio de Nyquist es un método para determinar la estabilidad de sistemas lineales en

tiempo continuo, sin involucrar la solución de las raíces. Este criterio es un método semigráficoque provee información sobre la diferencia entre el número de polos y ceros de la función de

transferencia en lazo cerrado que están en semiplano derecho del planos mediante la observación

del comportamiento de la gráfica de Nyquist de la función de transferencia de lazo.

Teniendo la función de transferencia en lazo que describe al sistema, como:

ss= ps+2.0062.352*&> +56.187*&& +0.4268 +

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Diagrama de Nyquist en el factor de amortiguamiento de 0.7

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

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La traza de Nyquist de G(s)H(s) obtenida con ayuda de la computadora a través del programa

MATLAB es:

Entonces aplicando la condición de magnitud el rango de kp, en el punto crítico (-1, j0) ,

evaluando:

p = |uvwx| = U.>j =6.875

Por lo tanto el valor de kp que asegura que el sistema en lazo cerrado es estable es kp< 6.875, el

cual asegura una estabilidad absoluta de sistema. El siguiente diagrama muestra la traza de

Nyquist evaluada en el valor kp obtenido para el punto crítico, en el cual se puede observar que la

traza en ningún instante rodea al punto (-1, j0), en tal caso de que la traza rodeara al punto crítico,

tendríamos que agregar un cero dentro del sistema el cual se encuentre en el plano derecho s el

cual nos permita mantener la estabilidad del sistema, por tal nos limitaremos a no utilizar un kp

mayor al obtenido anteriormente.

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

System: aReal: -0.145Imag: -3.77e-005Frequency (rad/s): -11.9

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27

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

System: GkReal: -0.999Imag: -0.00049Frequency (rad/s): -11.9

-1.05 -1.04 -1.03 -1.02 -1.01 -1 -0.99 -0.98 -0.97 -0.96 -0.95

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Diagrama de Nyquist al borde de la estabilidad

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

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Como se observa en el diagrama de Nyquist que sigue, el valor de =1.57 que permite

tener una razón de amortiguamiento de 0.7, se encuentra dentro del rango de que

permite que el sistema sea estable.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Diagrama de Nyquist en el factor de amortiguamiento de 0.7

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

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2.6 MARGEN DE FASE Y GANANCIA

• Con el valor de

que permite tener una razón de amortiguamiento igual a 0.7

encuentre le margen de fase y el margen de ganancia del sistema en lazo cerrado.

M. de Fase y Ganancia para el sistema con razón de amortiguamiento de 0.7

Bode Diagram

Gm = 12.8 dB (at 11.8 rad/s) , Pm = 61.2 deg (at 4.52 rad/s)

Frequency (rad/s)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

System: Glakp

Frequency (rad/s): 4.52

Phase (deg): -119 P h a s e ( d e g )

-150

-100

-50

0

50

System: Glakp

Frequency (rad/s): 11.8

Magnitude (dB): -12.8

M

a g n i t u d e ( d B )

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3. METODO DE ZIEGLER-NICHOLS

De acuerdo a la gráfica obtenida en el punto 2, y con ayuda del método de Ziegler-Nichols, ajuste

el controlador PI. Es decir, obtenga y , y a partir de estos últimos, valores , y .

Conecte los circuitos de las figuras 1 y 2 en lazo cerrado como se muestra en la figura 4 y haga los

mismos experimentos que en el punto 2. Compare y discuta los resultados obtenidos en los

puntos 2 y 3.

Método Ziegler-Nichols para sintonizar controladores.

Este es un método experimental que sugirieron Ziegler y Nichols después de analizar el

comportamiento de los controladores, basados en las respuestas escalón o en el valor de

Kp que produce estabilidad marginal cuando sólo se usa la acción de control proporcional.

A pesar de que este es un método experimental, que es más conveniente usar cuando no

se conocen los modelos matemáticos de la planta también se puede aplicar al diseño de

sistemas de modelos matemáticos conocidos.

Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia

proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, basándose en las

características de respuesta transitoria de una planta dada.

Tal determinación de los parámetros de los controladores o sintonía de los controladores,se realiza experimentalmente sobre la planta.

El objetivo de esta sintonización, es obtener con un sobre paso máximo de un 25% a una

respuesta escalón unitario de la planta.

Hay dos métodos los cuales se pueden usar para determinar estos valores, los cuales

explicaremos brevemente y diremos porque escogimos uno en lugar de otro.

Primer Método de sintonización.

En el primer método se debe introducir a la planta una entrada escalón unitario paraobtener una respuesta de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni

polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al escalón unitario se

asemeja a la forma de una S.

La curva en forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la

constante de tiempo T. El tiempo de retardo y a constante de tiempo se determinan

dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y

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determinando las intersec

c(t)=K.

Al tomar esos valores e

encuentran los valores de

Tipo de controladorP

PI

PID

Segundo método de sinton

En el segundo método, bá

donde la salida presente

mide experimentalmente

crítica Kcr midiéndola dire

ciones de esta tangente con el eje del tie

perimentalmente, se sustituyen en la ta

p, Ti y Td.

Kp Tiy

0.9

y

y

0.3

1.2

y

2L

ización.

icamente se lleva al controlador al punto d

scilaciones sostenidas, al tener las oscilaci

el periodo de oscilación Pcr y se puede o

tamente.

Punto de

inflexión

31

mpo y con la línea

bla siguiente y se

Td0

0

0.5L

estabilidad crítica,

ones sostenidas, se

btener la ganancia

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Ziegler y Nichols estableci

fórmulas de la siguiente ta

Tipo de controlador

P

PI

PID

Después de analizar estos

para sintonizar nuestra pl

valor de Kp a la entrada.

eron valores de los parámetros Kp, Ti y Td

la:

Kp Ti0.5gf ∞

0.45gf 1

1.2'gf

0.6gf 0.5'gf

métodos, tomamos la decisión de utilizar

nta, ya que ésta si presentaba oscilacione

32

de acuerdo con las

Td

0

0

0.125'gf

el segundo método

sostenidas con un

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3.1 SISTEMA EN OSCILACIONES SOSTENIDAS

Se conectó la planta al osciloscopio y se presentó la siguiente oscilación, de la cual se

tomó el periodo por medio de las mediciones que el propio osciloscopio nos permite

tomar.

Figura 3.3: Gráfica obtenida de la planta con oscilaciones sostenidas

3.2 VALORES DE Kp Y Ti

Al obtener esto se midió el periodo de oscilación Pcr y se obtuvo un valor de: 0.579 seg.Con lo cual sustituimos en la fórmula de la tabla para obtener el valor de Ti por lo tanto:

Z: 11.2 0.580aT = 0.4833aT.

Además tomamos el valor de la resistencia para el cual la planta empezó a oscilar

sostenidamente y la lectura que obtuvimos fue de: 1.47 KΩ. Con este valor se calculó la

Kcr, de la siguiente forma:

f= f = 22Ω1.47Ω =14.9659

Con este valor ocupamos la fórmula de la tabla antes mencionada y obtenemos:

=0.45f=0.4514.9659 =6.73469

Teniendo estos nuevos valores para nuestra Kp y Ti, debemos volver a calcular las

resistencias necesarias en nuestra planta y al obtenerlas ver el comportamiento de la

misma.

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34

Para esto tenemos que:

1Z = 1f ∴ f = 0.483322~10* =22Ω

Teniendo ya el valor de Rr podemos ahora obtener el valor de RR el cual está dado por:

= f ∴ = 22Ω

6.73 =3.25Ω

3.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO CON CONTROLADOR AJUSTADO

Con estos nuevos valores se volvió a poner en operación la planta y se obtuvo la siguiente

gráfica.

Respuesta del sistema sintonizado por Ziegler-Nichols

Se puede ver una respuesta más rápida pero se comprometió el tiempo de estabilización

del sistema ya que al obtener un tiempo de respuesta más rápido, el sobredisparo que se

presenta es de aproximadamente un 20%.

Aunque el controlador ajustado mediante el método de Ziegler-Nichols cumple con lafunción de estabilizar la respuesta del sistema, es claro que no es un controlador muy

eficiente, comparado con el control diseñado para el factor de amortiguamiento de 0.7.

Esto se debe a que el método de Ziegler-Nichols es completamente experimental

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Respuesta del sistema sintonizado por Ziegler-Nichols con perturbación.

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4. CONCLUSIONES.

Mediante el uso de las herramientas teóricas del control clásico, se obtuvo el modelo del circuito

propuesto para una planta de tercer orden y un controlador PI, el cual describe el funcionamientodel mismo mediante la función de transferencia. De igual forma fue posible obtener las

características del sistema mediante herramientas tales como diagramas de lugar de raíces,

diagramas de magnitud y fase y diagramas de Nyquist, los cuales permitieron identificar

claramente los parámetros de funcionamiento del sistema, principalmente para definir el punto en

el cuál el sistema se encuentra al borde de la inestabilidad o el tipo de respuesta que se desea del

sistema.

El parámetro que más se utilizo durante la realización del proyecto y en el cual se basa el diseño

del controlador del sistema fue la ganancia ya que este parámetro fue utilizado para el diseño del

controlador requerido en el punto 2 de la práctica y a su vez, para el diseño del controladormediante el método de Ziegler-Nichols.

En la sintonización por medio del método de Ziegler-Nichols, por ser experimental, puede ser

complicado encontrar el punto en que el sistema se vuelve oscilatorio, debido a la precisión de los

componentes electrónicos utilizados y a la apreciación de la persona que realice el ajuste. Lo

importante es conocer en qué momento puede servirnos este método o un método analítico para

sintonizar el controlador de acuerdo a las necesidades que existan y se obtenga una respuesta

satisfactoria para la aplicación deseada.

Durante la realización del proyecto fue posible notar las diferencias que hay entre cada etapa del

sistema, desde el de lazo abierto, utilizado para obtener los diagramas necesitados o sintonizar

mediante Ziegler-Nichols hasta el comportamiento del sistema en lazo cerrado y el tipo de

respuesta transitoria que se puede obtener al variar los parámetros del sistema, principalmente la

ganancia del mismo.

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Bibliografía

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Hispanoamericana, 1996.

Nise, Norman S. Sistemas de Control para Ingeniería. México: Grupo Editorial Patria, 2010.

Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de control moderna. Tercera Edición. México: Pearson

Educación, 1998.

—. Ingeniería de Control Utilizando Matlab. Madrid: Pearson Educación, 1999.