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criterios de convergencia

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  • CAPITULO VIII.CONVERGENCIA DESUCESIONES

    SECCIONES

    A. Criterios de convergencia.

    B. Ejercicios propuestos.

    347

  • A. CRITERIOS DE CONVERGENCIA.

    Una funcion cuyo dominio es el conjunto de los numeros naturales se dicesucesion.

    Si f : N R es una sucesion y f(n) = an, n N, representamos la sucesionpor {an}nN o simplemente {an} y an se llama termino general (o n-esimo)de la sucesion.

    Una sucesion {an} es convergente cuando existe y es finito lmn an. Si dicho

    lmite es infinito, la sucesion es divergente, y si no existe, la sucesion esoscilante.

    Las propiedades de los lmites de funciones se aplican a sucesiones en formadirecta. Por tanto, para estudiar la convergencia de una sucesion son validoslos mismos metodos utilizados en el calculo de lmites de funciones. Tambiense pueden aplicar las equivalencias entre infinitesimos nombradas all (vercaptulo 3). Tambien es valida aqu la formula lm

    n(1+un)1/un = e, cuando

    un 0.Sin embargo existen otros criterios especficos para las sucesiones que enun-ciamos a continuacion:

    1) Media aritmetica: Si lmn an = a, entonces

    lmn

    a1 + + ann

    = a.

    2) Media geometrica: Si lmn an = a y an > 0,n, entonces

    lmn

    na1 an = a.

    3) Cociente-Raz: Si an > 0,n y lmn

    anan1

    = L, entonces lmn

    nan = L.

    4) Stolz: Si {an} es una sucesion arbitraria, {bn} es una sucesion crecientetal que lm

    n bn = + y lmnan an1bn bn1 = L, entonces lmn

    anbn

    = L.

    Aparte de estos criterios, es util la formula de Stirling:

    lmn

    n!nnen

    2pin

    = 1, es decir, n! y nnen2pin son infinitos equivalentes.

    En los problemas que siguen se desarrollan distintos metodos para los dife-rentes casos de indeterminacion en el calculo de lmites de sucesiones.

    348

  • PROBLEMA 8.1.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =n2 + 4nn2 n.

    Solucion

    Multiplicamos y dividimos por el conjugado y se obtiene:

    L = lmn

    (n2 + 4nn2 n)(n2 + 4n+n2 n)

    n2 + 4n+n2 n

    = lmn

    5nn2 + 4n+

    n2 n = lmn

    51 + 4/n+

    1 1/n =

    52.

    PROBLEMA 8.2.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =n2 + n+ 1 n.

    Solucion

    Como tenemos una indeterminacion , multiplicamos y dividimos porel conjugado:

    L = lmn(

    n2 + n+ 1

    n2)

    = lmn

    (n2 + n+ 1

    n2)(

    n2 + n+ 1 +

    n2)

    n2 + n+ 1 +n2

    = lmn

    n+ 1n2 + n+ 1 +

    n2

    = lmn

    1 + 1/n1 + 1/n+ 1/n2 +

    1=

    12.

    PROBLEMA 8.3.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =n2 +

    n4 + 12n.

    349

  • Solucion

    Multiplicamos y dividimos dos veces por el conjugado y obtenemos:

    L = lmn

    (n2 +

    n4 + 1

    2n2)

    = lmn

    (n2 +

    n4 + 1

    2n2)(

    n2 +n4 + 1 +

    2n2)

    n2 +n4 + 1 +

    2n2

    = lmn

    n4 + 1

    n4

    n2 +n4 + 1 +

    2n2

    = lmn

    n4 + 1 n4(n2 +

    n4 + 1 +

    2n2)(

    n4 + 1 +n4) = 0.

    PROBLEMA 8.4.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =n2 + n+ 13n2 1 3n.

    Solucion

    Debido a la indeterminacion , procedemos as:

    L = lmn(

    n2 + n+ 1

    3n2 1) lm

    n 3n = lmnn2 + n+ 1 3n2 + 1n2 + n+ 1 +

    3n2 1

    lmn 3n = lmn

    2n2 + . . .n2 + . . .+

    3n2 + . . .

    = .

    PROBLEMA 8.5.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =3n3 + 2n2 3n3 n.

    350

  • Solucion

    Teniendo en cuenta la factorizacion a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2), sillamamos

    a = 3n3 + 2n2 y b = 3

    n3 n, resulta:

    L = lmn(a b) = lmn

    a3 b3a2 + ab+ b2

    = lmn

    n3 + 2n2 n3 + n(n3 + 2n2)2/3 + (n3 + 2n2)1/3(n3 n)1/3 + (n3 n)2/3

    = lmn

    2n2 + n3n6 + . . .+ 3

    n6 + . . .+ 3

    n6 + . . .

    = lmn

    2 + 1/n31 + . . .+ 3

    1 + . . .+ 3

    1 + . . .

    =23.

    PROBLEMA 8.6.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =3n9 + 2nn6 7n3.

    Solucion

    Teniendo en cuenta que L = lmn

    6(n9 + 2n)2 6(n6 7n3)3, si llamamos

    a = 6(n9 + 2n)2, b = 6

    (n6 7n3)3, aplicamos la formula

    a b = a6 b6

    a5 + a4b+ a3b2 + a2b3 + ab4 + b5

    y obtenemos

    L = lmn(a b) = lmn

    (n9 + 2n)2 (n6 7n3)36(n9 + 2n)10 + + 6(n6 7n3)15

    = lmn

    4n10 + 4n2 (21n15 + 147n12 73n9)6n90 + . . .+ + 6n90 + . . . =

    216

    =72.

    PROBLEMA 8.7.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =3n3 + 5 + 3

    8n3 + 4n2 3n.

    351

  • Solucion

    En primer lugar, transformamos la indeterminacion en 0 :

    L = lmn

    [3n3(1 + 5/n3) + 3

    8n3(1 + 4n2/8n3) 3n

    ]= lm

    n

    [n(1 + 5/n3)1/3 + 2n(1 + 1/2n)1/3 3n

    ]= lm

    nn[(1 + 5/n3)1/3 + 2(1 + 1/2n)1/3 3

    ].

    Aplicamos ahora la formula de Newton:(1 +

    5n3

    )1/3= 1 +

    (1/31

    )5n3

    +(1/32

    )52

    n6+ . . .

    = 1 +13 5n3

    +1/3(1/3 1)

    2! 5

    2

    n6+ = 1 + 5

    3n3 25

    9n6+ . . .(

    1 +12n

    )1/3= 1 +

    (1/31

    )12n

    +(1/32

    )1

    22n2+ . . .

    = 1 +13 12n

    +1/3(1/3 1)

    2! 122n2

    + = 1 + 16n 1

    36n2+ . . .

    Sustituyendo en la ultima expresion de L:

    L = lmnn

    [1 +

    53n3

    259n6

    + + 2 + 13n 1

    18n2+ 3

    ]= lm

    nn[13n 1

    18n2+ . . .

    ]= limn

    [13 1

    18n+ . . .

    ]=

    13.

    PROBLEMA 8.8.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =ana + na1 a

    na na1, a N.

    Solucion

    En primer lugar sacamos n factor comun en cada sumando:

    L = lmnn

    a

    (1 +

    1n

    ) n a

    (1 1

    n

    ).

    352

  • Desarrollamos ahora cada termino en serie de potencias:(1 +

    1n

    )1/a= 1 +

    (1/a1

    )1n+(1/a2

    )1n2

    +(1/a3

    )1n3

    + . . .

    = 1 +1a 1n+

    1/a(1/a 1)2!

    1n2

    +1/a(1/a 1)(1/a 2)

    3! 1n3

    + . . .

    = 1 +1an

    +1 a2a2n2

    +(1 a)(1 2a)

    6a3n3+ . . .(

    1 1n

    )1/a= 1

    (1/a1

    )1n+(1/a2

    )1n2(1/a3

    )1n3

    + . . .

    = 1 1an

    +1 a2a2n2

    (1 a)(1 2a)6a3n3

    + . . .

    Sustituyendo ahora en la ultima expresion del lmite, resulta:

    L = lmnn

    [2an

    +(1 a)(1 2a)

    3a3n3+ . . .

    ]= lm

    n

    [2a+

    (1 a)(1 2a)3a3n2

    + . . .]=

    2a.

    PROBLEMA 8.9.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =n(n+ 2n+ 1)n2 + 3

    .

    Solucion

    Comparando los grados del numerador y denominador, resulta:

    L = lmn

    nn+ 2n2 + nn2 + 3

    = 2.

    PROBLEMA 8.10.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =(3n 2)(n+ 3)(2n 5)2

    n2(2n+ 6)(3n 5) .

    353

  • Solucion

    Comparando de nuevo los grados del numerador y del denominador, obte-nemos:

    L = lmn

    (3n2 + 9n 2n 6)(4n2 + 25 20n)n2(6n2 10n+ 18n 30) = lmn

    12n4 + . . .6n4 + . . .

    = 2.

    PROBLEMA 8.11.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =1n2

    +2n2

    + + nn2

    .

    Solucion

    Aplicamos la formula 1 + 2 + + n = n(n+ 1)/2. Resulta:

    L = lmn

    1 + 2 + + nn2

    = lmn

    n(n+ 1)2n2

    = lmn

    n+ 12n

    =12.

    PROBLEMA 8.12.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =1na

    (n

    a

    ), a N.

    Solucion

    Al desarrollar(na

    )resulta directamente:

    L = lmn

    1na n(n 1)(n 2) . . . (n a+ 1)

    a!=

    1a!

    lmn

    na + . . .na

    =1a!.

    354

  • PROBLEMA 8.13.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =n

    n+n+

    n.

    Solucion

    Si dividimos numerador y denominador porn, tenemos:

    L = lmn

    1n+

    n+n

    n

    = lmn

    11 +

    n+n

    n2

    = lmn

    11 +

    1/n+

    n/n4

    = 1.

    PROBLEMA 8.14.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =3 34 4 5

    n2

    3n 3(4 5n) .

    Solucion

    Para comparar los grados del numerador y denominador escribimos:

    L = lmn

    3 1545 4 15

    n6

    15(n 3)5(4 15

    n3)

    = lmn

    3 1545 4 15

    n6

    4 15n5 5n4 3 + . . . 15n8 + . . .

    = lmn

    315

    454 15n6

    15n8

    4 15n55n43+... 15n8+...

    15n8

    =0

    0 1 = 0.

    355

  • PROBLEMA 8.15.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =

    n2 +

    n

    n2 n

    n(

    3n3 +

    n 3

    n3 n

    ) .Solucion

    Si racionalizamos numerador y denominador, tenemos:

    L = lmn

    (n2 +n n2 +n)( 3

    (n3 +

    n)2 + . . . )

    n(n3 +n n3 +n)(

    n2 +

    n+

    n2 n)

    = lmn

    2n(

    3(n3 +

    n)2 + 3

    n6 n+ 3

    (n3 n)2

    )2nn(n2 +

    n+

    n2 n) =

    32,

    debido a que los grados del numerador y denominador son iguales.

    PROBLEMA 8.16.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =3n + 75n 4 .

    Solucion

    Debido a la indeterminacion /, dividimos numerador y denominadorpor 5n:

    L = lmn

    (3/5)n + (7/5n)1 (4/5n) =

    01= 0,

    debido a que (3/5)n 0.

    PROBLEMA 8.17.

    Calcular el lmite de la sucesion de termino general

    an =4n+ h 4n+ k

    3n+ h 3n+ k

    12n+ j.

    356

  • Solucion

    En primer lugar tenemos:

    L = lmn

    4n(1 + h/n) 4n(1 + k/n)

    3n(1 + h/n) 3n(1 + k/n) 12n(1 + j/n)

    = lmn

    n1/4[(1 + h/n)1/4 (1 + k/n)1/4]