PD4

“Coordenadas cartesianas y rectas. Paralelismo y

perpendicularidad. Aplicaciones. Transformaciones de

coordenadas.”

1

PD4

Distancia en el Plano. Definimos la distancia entre P y Q como:

d(P,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

P (x1, y1)

Q(x2, y2)

x

y

PD4

Propiedades de la distancia. Sean P,Q,R ∈ R2 puntos del plano. Entonces

� d(P,Q) ≥ 0

� d(P,Q) = 0↔ P = Q

� d(P,Q) = d(Q,P )

� d(P,R) ≤ d(P,Q) + d(Q,R)

P

QR

x

y

PD4

Punto medio. Sean P,Q,R ∈ R2 puntos del plano. Entonces

� M =P +Q

2

� d(P,M) = d(M,Q)

� M : Punto medio del segmento PQ

P

Q

M

x

y

PD4

Pendiente. Sean P (x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos distintos en el plano R2. Definimos la

pendiente entre estos dos puntos pend(P,Q) como:

pend(P,Q) =

y2 − y1x2 − x1

, si x1 6= x2 (razon de cambio)

vertical, si x1 = x2.

P

Q

x

y

PD4

Definicion. Dados P,Q ∈ R2 dos puntos distintos del plano, tenemos:

pend(P,Q) ∈ R ∨ pend(P,Q) es vertical

Denotamos por

R = R ∪ {vertical}

al conjunto de todas las posibles pendientes.

PD4

Propiedades.

� Dados P y Q dos puntos distintos del plano. Entonces

pend(P,Q) = pend(Q,P )

� Dados P,Q y R tres puntos distintos dos a dos del plano y m ∈ R. Si

pend(P,Q) = pend(Q,R) = m

entonces

pend(P,R) = m.

PD4

Recta. Sean m ∈ R y P ∈ R2 un punto en el plano. Definimos el conjunto

l(m, p) = {Q ∈ R2 : Q = P ∨ pend(P,Q) = m} ⊂ R2

Como la recta de pendiente m y que pasa por el punto P (punto de paso).

l = l(m,P )

Q

P

x

y

PD4

Teorema. En una recta cualquier par de puntos diferentes tienen la misma pendiente.

pend(P,Q) = pend(R, S)

l = l(m,P )

P

Q

RS

x

y

PD4

Teorema. Sean l1 = l(m1, P1) y l2 = l(m2, P2) dos rectas (m1,m2 ∈ R).

� Si P1 = P2, entonces

l1 = l2 ↔ m1 = m2.

� Si P1 6= P2, entonces

l1 = l2 ↔ m1 = m2 = pend(P1, P2).

l1 = l2

x

y

PD4

Teorema. Dos rectas siempre cumplen una y solo una de las siguientes condiciones.

� Son iguales.

� Se intersectan en un solo punto.

� No se intersectan.

l1 = l2

x

yl1

l2x

y

l1 l2

x

y

PD4

Intercepto. Si una recta intersecta el eje x en un unico punto (a, 0) entonces el x-intercepto

es la constante a.

Intercepto. Si una recta intersecta el eje y en un unico punto (0, b) entonces el y-intercepto

es la constante b.

l = l(m,P )(0, b)

(a, 0)x

y

PD4

Ecuacion punto-pendiente de la recta. Si m ∈ R y P = (x0, y0) entonces

l(m,P ) = {(x, y) ∈ R2 : y − y0 = m(x− x0)}

l = l(m,P )

Q

P

x

y

Observacion: La ecuacion punto-pendiente no admite representacion unica.

PD4

Ecuacion pendiente-intercepto de la recta. La ecuacion de una recta de pendiente real

m se puede expresar como

l(m,P ) = {(x, y) ∈ R2 : y = mx+ b}

donde b es el y-intercepto.

l = l(m,P )(0, b)

x

y

Observacion: La ecuacion pendiente-intercepto admite representacion unica.

PD4

Ecuacion doble-intercepto de la recta. Si los interceptos de la recta son no nulos,

entonces la ecuacion de la recta se puede expresar como

l(m,P ) ={

(x, y) ∈ R2 :x

a+x

b= 1}

donde a es el x-intercepto y b es el y-intercepto.

l = l(m,P )(0, b)

(a, 0)x

y

Observacion: La ecuacion doble-intercepto admite representacion unica.

PD4

Ecuacion general de la recta. Toda recta tiene una ecuacion de la forma

l = l(m,P ) ={

(x, y) ∈ R2 : Ax+By + C = 0}

donde A,B,C son constantes. Esta ecuacion se denomina ecuacion general de la recta.

l

x

y

Observacion: Las constantes A y B no pueden ser ceros a la vez (A2+B2 6= 0). La ecuacion

general no admite representacion unica.

PD4

Pendiente vertical. Si la pendiente es vertical, la recta satisface la ecuacion

x = a

PD4

Paralelismo. Dos rectas son paralelas cuando son iguales o no se intersectan.

� Si l1 y l2 son paralelas usaremos la notacion ll ‖ l2.

Propiedad. Dos rectas son paralelas si y solamente si tienen la misma pendiente.

� ll ‖ l2 ↔ m1 = m2.

l1 = l2

x

y

l1 l2

x

y

PD4

Perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares cuando el angulo entre ellas es recto

(90◦).

� Cuando l1 y l2 son perpendiculares usaremos la notacion ll ⊥ l2.

Propiedad. Dos rectas l1 = l1(m1, P1) y l1 = l2(m2, P2) con m1,m2 ∈ R− {0} son perpen-

diculares si y solamente si

m1 ·m2 = −1

� ll ⊥ l2 ↔ m1 ·m2 = −1.

l1

l2x

y

PD4

Diccionario. Denotamos por p al precio unitario de un producto y por q al numero

de unidades de dicho producto. Ambas se asumen usualmente como numeros reales no

negativos, es decir, elementos del conjunto R+0 = {x ∈ R : x ≥ 0}.

Oferta. La oferta es una relacion O ⊂ R+0 × R+

0 donde (q, p) ∈ O representa el precio

unitario p que un productor esta dispuesto a vender por q unidades de un bien.

Demanda. La demanda es una relacion D ⊂ R+0 ×R+

0 donde (q, p) ∈ D representa el precio

unitario p que un comprador esta dispuesto a pagar por q unidades de un bien.

PD4

Observacion. Una de las leyes de la oferta y demanda nos dice que un aumento en el precio

tiende a disminuir la demanda D y a aumentar la oferta O. Entonces las siguientes figuras

pueden representar la oferta y demanda de un bien en el caso que sean lineales.

O

q

p

D q

p

PD4

Punto de equilibrio. El punto de equilibrio entre la oferta y la demanda es el punto (qe, pe)

donde la oferta y la demanda se intersectan, es decir, O ∩D = {(qe, pe)}.

� pe:= precio de equilibrio (o precio del mercado).

� qe:= cantidad de equilibrio (o cantidad de mercado).

qe

pe

O

D

(qe, pe)

q

p

PD4

Excedente del consumidor. El excedente del consumidor (EC) es el area encerrada por

la demanda, el eje p y la recta horizontal p = pe.

Excedente del consumidor. El excedente del productor (EP) es el area encerrada por la

oferta, el eje p y la recta horizontal p = pe.

Excedente. Tambien se define el excedente como la suma del excedente del consumidor y

el excedente del productor.

qe

pe

O

D

(qe, pe)EC

q

p

qe

pe

O

D

(qe, pe)EP

q

p

PD4

Observacion:

� Si la ecuacion la Oferta es lineal:

O : p = mq + b.

La pendiente nos dice cuantas unidades monetarias adicionales debe aumentar el precio

para ofertar una unidad adicional.

� Si la ecuacion de la Demanda es lineal:

D : p = mq + b.

La pendiente nos dice cuantas unidades monetarias debe disminuir el precio para com-

prar una unidad adicional

PD4

Problema. Denotemos O : p = m1q + b1 , D : p = m2q + b2 las ecuaciones de la Oferta y

Demanda (m1 > 0,m2 < 0, 0 < b1 < b2).

� EC =qe(b2 − pe)

2= −1

2m2q

2e

� EP =qe(pe − b1)

2=

1

2m1q

2e

� Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC y (qe, pe).

� Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC, m2 y pe .

� Determine la ecuacion de la oferta en terminos de EP y (qe, pe).

� Determine la ecuacion de la oferta en terminos de EP , m1 y pe.

PD4

Problema. Denotemos O : p = m1q + b1 , D : p = m2q + b2 las ecuaciones de la Oferta y

Demanda (m1 > 0,m2 < 0, 0 < b1 < b2).

� EP = EC si y solo si m2 = −m1.

� Si EP = EC entonces pe =b1 + b2

2

� Suponga que m2 = −m1. Determine la ecuacion de la oferta y demanda en terminos

de E y (qe, pe).

� Suponga que (0, 0) ∈ O. Determine la ecuacion de la oferta y demanda en terminos de

E y (qe, pe).

PD4

Problema. El capitan de un navıo se encuentra en un mercado del caribe donde los pro-

ductores de cana de azucar hacen sus ventas. El capitan puede pagar 40 monedas de oro por

5 botellas de ron. El precio de equilibrio se establece en 7 monedas de oro por botella. El

excedente del capitan es de 10 monedas de oro.

(a) Encuentre la ecuacion de la demanda del capitan.

(b) Los productores ofertan 20 botellas a un precio mayor al que el capitan esta dispuesto a

comprarlas. La diferencia en estos precios por unidad es de 7 monedas de oro. ¿Cuanto

debe subir el precio unitario para que los productores oferten 6 botellas adicionales?

(c) Calcule el excedente de los productores.

PD4

Diccionario.

� q : Numero de unidades que se fabrican de un bien.

� p : Precio unitario.

PD4

Ingreso, Costo y Utilidad.

� El Ingreso, I, de define por I = pq.

� El costo fijo: Cf , es el que se mantiene constante durante el proceso de produccion.

� El costo variable se define como: Cv = qCu, donde Cu es el costo unitario de produc-

cion.

� El costo o costo total: C, se define por C = Cf + Cv = Cf + qCv.

� La utilidad: U , se define como U = I − C = p(q − Cu)− Cf .

PD4

Observacion: Como vemos, existe una relacion entre el ingreso y las unidades producidas

ası como tambien entre el costo y las unidades producidas. Podemos entonces pensar en

ellas como relaciones, subconjuntos de R+0 × R+

0 . Definimos el punto de equilibrio en este

contexto como la interseccion del ingreso con el costo. Si dicho punto es (q0,M0) entonces

q0 es el nivel de produccion de equilibrio y M0 se denomina monto de equilibrio.

q0

M0

CI

(q0,M0)

q

S/.

PD4

Propiedades.

I = p· q

C = Cuq + Cf

U = (p− Cu)q − Cf

(q0,M0)

Cf

−Cf

q0

M0−

q

p � En el equilibrio U(q0) = 0 entonces

(p− Cu)q0 = Cf

� (0,−Cf ), (q0, 0) ∈ U ,U

−Cf

+q

q0= 1

� (0, Cf ), (q0,M0) ∈ C

� (q0,M0) ∈ I entonces p =M0

q0

� I(q0) = C(q0) = M0

PD4

Propiedades.

I = p· q

C = Cuq + Cf

U = (p− Cu)q − Cf

(q0,M0)

Cf

−Cf

q0

M0−

q

p � p : precio de venta unitario, q : unidades

producidas y vendidas

� U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf , n ∈ Q

� U(q0 + k) = k(p− cu) para todo k ∈ N

� U(q) = 0⇔ q = q0

� Analice la utilidad en los intervalos

]0, q0[ , ]q0,+∞[.

PD4

Problema - Ingreso - Costo - Utilidad.

Una empresa local tiene ecuaciones de ingreso(I), costo total(C) y utilidad(U) lineales.

(q0, 1800) es el punto de equilibrio y U(3q0) = 2400. Se sabe que cuando se producen

125 unidades se tiene una ganancia de 300 soles. Determine las ecuaciones de I yC.

PD4

Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Grafica.

Pedro debe construir el grafico del costo, ingreso y utilidad de la empresa donde trabaja, la

cual se encarga de la venta de pasadores deportivos. Olvido trazar una de las rectas, por lo

cual obtuvo el grafico mostrado. Si la empresa vende 100 pasadores mas, sus utilidades se

incrementan en 8 soles.

I

U

60

−6400

(m,n)

320600

ciento de unidades

S/. Soles

(a) Determine las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad.

(b) Calcule m y n.

(c) Determine la cantidad en la cual la utilidad es el 100% del costo.

PD4

Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Lımites.

En una empresa los ingresos y costos son lineales y cambian mensualmente. Se sabe que el

monto de equilibrio y la cantidad de equilibrio en el n-esimo mes son respectivamente

Mn =2· 3n + 3·πn

πn

qn =√

4n2 + 8n− 2n

Ademas, los costos fijos en el n-esimo mes son

Cn =2 + 2n+ n2

1 + 2n+ 2n2

� Calcule el punto de equilibrio a largo plazo.

� Calcule el costo fijo a largo plazo.

� Calcule la ecuacion de la utilidad a largo plazo.

PD4

Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Equilibrio.

Los ingresos en soles de una empresa estan dados por I = 2q2 − 8q + 20 donde q son las

unidades producidas y vendidas. Supongamos que el costo es lineal.

(a) Si el costo unitario es de 4 soles por unidad y el costo fijo es de 4 soles, calcule los niveles

de produccion en los que no hay perdidas ni ganancias.

(b) Si el costo unitario se mantiene en 4 soles por unidad, determine el nuevo costo fijo para

que exista solo un nivel de produccion en donde no hay perdidas ni ganancias.

PD4

Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Demanda.

La cadena de librerıas V& W adquiere de la editorial LIWRU los libros “Calculo Diferencial

para Economistas” a un costo de 20 soles por unidad. Actualmente, la librerıa V& W vende

cada libro a 25 soles teniendo una demanda semanal de 55 ejemplares. Ademas se estima

que, por cada sol que se reduce el precio del libro se venden 5 libros mas por semana.

� Si p es el precio de venta (unitario) del libro, determine la ecuacion de la demanda

(semanal) del libro q en terminos del precio unitario p.

� Determine la funcion utilidad (semanal) en terminos de p (considere que el costo fijo

es nulo).

� ¿Cuanto debe incrementar el precio de venta actual para obtener el maximo beneficio?

PD4

Problema - Ingreso - Costo - Utilidad - Razon de cambio.

Se sabe que una empresa tiene una utilidad de dos mil soles cuando se producen ochocientas

unidades. Ademas se sabe que por cada aumento de cincuenta unidades en la produccion,

la utilidad aumentara en doscientos soles.

(a) Asuma que la utilidad es lineal y determine su ecuacion.

(b) Si el monto de equilibrio es el doble del costo fijo, determine la ecuacion del costo total.

PD4

Problema - Oferta - Demanda - Lımites.

La oferta y la demanda de un bien son lineales y cambian cada dıa. La variable t representa

el dıa, ası t = 1 representa el dıa de hoy y t = 2 el dıa de manana. En el dıa t, cuando el

precio unitario es de 2 soles por unidad, se ofertan 2−t/2 unidades del bien. En cualquier dıa

el productor esta dispuesto a vender 10 unidades del bien por un total de 60 soles. Por otro

lado, el p-intercepto de la demanda en el dıa t es de 23t2

t2−1 soles por unidad y en cualquier

dıa si el precio unitario aumenta en 4 soles la demanda disminuye en 5 unidades. Calcule el

precio del mercado a largo plazo (Sugerencia: determine primero las ecuaciones de la oferta

y la demanda a largo plazo).

PD4

Oferta - Demanda.

� Sean D : p = m1q + b1 y O : p = m2q + b2 las ecuaciones de la demanda y la oferta de

cierto bien, donde las constantes m1,m2, b1, b2 satisfacen m1 < 0, m2 > 0, b1 > b2 > 0.

Demuestre que EP = EC si y solamente si m2 = −m1.

� La ecuacion de la oferta de cierto bien viene dada por p = a2q + 2 Si la ecuacion de la

demanda, es perpendicular a la oferta, y pasa por el punto (0, b), donde b > 2. Calcule

el valor de a para que el excedente del productor sea igual al excedente del consumidor.

PD4

Oferta - Demanda.

� En un mercado de oferta y demanda altamente inestable, la ecuacion de la oferta, que

depende del tiempo, esta dada por O : p = (3t2 − 4t + 4)q + (9t + 2) y la ecuacion de

la demanda es D : p = −83q + 24, donde t ∈ [0, 1].

� Determine la ecuacion de la oferta en el instante (tiempo) en que EP = EC.

� Determine el punto de equilibrio en el instante (tiempo) encontrado en el item

anterior.

PD4

Transformaciones de coordenadas.

Traslaciones. Sean h, k ∈ R constantes. Una traslacion de coordenadas es una relacion en

R2 que asigna a cada coordenada (x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2 definida por las

ecuaciones

x′ = x− h y′ = y − k

PD4

Observaciones:

� Cuando k = 0 la traslacion se dice horizontal.

� Cuando h = 0 la traslacion se dice vertical.

� Denotamos la traslacion por TP donde P = (h, k) y podemos entenderla como la

traslacion que lleva el punto P al origen.

� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion

TP (Q) = Q′ = (x′, y′)

PD4

Representacion grafica de una traslacion: www.desmos.com

PD4

Re-escalamiento: Sean h, k ∈ R constantes positivas. Un re-escalamiento de coordenadas

es una relacion en R2 que asigna a cada coordenada (x, y) ∈ R2 la coordenada (x′, y′) ∈ R2

definida por las ecuaciones

x′ =1

h· x y′ =

1

k· y

PD4

Observaciones:

� Cuando k = 1 el re-escalamiento es horizontal.

� Cuando h = 1 el re-escalamiento es vertical.

� Denotamos el re-escalamiento por EP donde P = (h, k).

� Podemos pensar en esta transformacion de coordenadas como una transformacion que

re-escala el eje de abscisas por el factor h y el eje de ordenadas por el factor k.

� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion

EP (Q) = Q′ = (x′, y′)

PD4

Representacion grafica de un re-escalamiento: www.desmos.com

PD4

Reflexiones. Sean l ⊂ R2 una recta, P = (x, y) ∈ R2. Definimos la reflexion de P a traves

de la recta l como Q = (x′, y′) ∈ R2 de la siguiente manera.

� Si P ∈ l entonces Q = P .

� Si P /∈ l entonces construimos la recta r tal que P ∈ r y r ⊥ l. Sea R el punto de

interseccion de l con r. Definimos Q como el punto tal que R es el punto medio entre

P y Q.

� La recta l se denomina eje de reflexion.

� Si Q = (x, y) entonces usamos la notacion

Rl(Q) = Q′ = (x′, y′)

PD4

Observacion. Si hacemos esto con todos los puntos del plano a esta la llamamos una

reflexion del plano cartesiano a traves del eje l y lo denotamos por Rl. Si Q = (x, y) entonces

usamos la notacion Rl(Q) = Q′ = (x′, y′).

PD4

Representacion grafica de una reflexion: www.desmos.com

PD4

Composicion. Sean S1 y S2 dos transformaciones de coordenadas cualesquiera. Si aplica-

mos primero S1 y luego S2 llamaremos tambien al resultado una transformacion de coorde-

nadas. Denotaremos dicha transformacion por S2 ◦ S1 y la llamamos la composicion de dos

transformaciones (notemos que el orden se lee de derecha a izquierda).

PD4

Teorema:

� Cuando el eje de reflexion es el eje de las ordenadas la reflexion se dice horizontal, se

denota por Rh , y se puede probar que

x′ = −x y′ = y

� Cuando el eje de reflexion es el eje de las abscisas la reflexion se dice vertical, se denota

por Rv , y se comprueba que

x′ = x y′ = −y

� Si el eje de reflexion es la recta determinada por la ecuacion y = x la reflexion es

diagonal, se denota por Rd, y podemos demostrar que

x′ = y y′ = x

�

PD4

Teorema:

� El resultado de una reflexion horizontal seguida de una reflexion vertical se denomina

reflexion a traves del origen, se denota por RO = Rv ◦ Rh , y se calcula directamente

que

x′ = −x y′ = −y

� El resultado de una reflexion diagonal seguida de una reflexion horizontal es

Rπ2

= Rh ◦Rd y se puede demostrar que esta es una rotacion por un angulo recto.

Se calcula directamente que

x′ = −y y′ = x

PD4

Problema - Parabola - Transformaciones - Recta tangente.

Sea x2 − 10x− 8y + 9 = 0(y2 − 10y − 8x+ 9 = 0) la ecuacion de una parabola.

(a) Complete cuadrados y determine el vertice de la parabola.

(b) Determine las transformaciones para obtener la nueva ecuacion de la parabola

(y′) = (x′)2

(c) Grafique ambas conicas en el plano cartesiano.

(d) Calcule la ecuacion de la recta tangente a la parabola en el punto P = (7,−32)

PD4

Problema - Transformaciones - Reflexion de una recta.

Para la recta L : y = 2x− 3 se realizan un numero finito de transformaciones, en el siguiente

orden:

(a) Una traslacion vertical de dos unidades hacia arriba

(b) Una reflexion horizontal

(c) Una traslacion horizontal de una unidad a la izquierda y = −2x− 3

(d) Una reflexion respecto de la recta L : y = 3x

Determine la ecuacion resultante, indicando el resultado obtenido despues de cada transfor-

macion.

Encontrar la ecuacion resultante despues de aplicar todas las transformaciones. Graficar.

PD4

Problema - Transformaciones - Eliminacion.

Trasladar los ejes xy de modo que la ecuacion x3 + 3x2 + 2y + 8 = 0 referida a los nuevos

ejes no contenga terminos de segundo grado, ni termino constante.

PD4

Demuestre.

(a) Demuestre que cualquier recta con pendiente m ∈ R−{0} y su transformacion mediante

una traslacion T(h,k), son paralelas.

(b) Demuestre que la transformacion, mediante un reescalamiento E(h, k), de una recta con

pendiente real que pasa por el origen, es tambien un recta que pasa por el origen.

(c) Dada la ecuacion y = mx + b, con m > 0, muestre que en cualquier re-escalamiento la

recta tiene pendiente positiva. ¿Que sucede con la pendiente cuandom < 0, m = 0?

(d) Si l es una recta de pendiente real, entonces su pendiente es invariante mediante refle-

xiones a traves del origen.

PD4

Demuestre.

(a) Demuestre que:

∀a, b ∈ R, ∀c, d > 0,

[E(c,d) ◦ T(a,b) = T(a/c,b/d) ◦ E(c,d)

](b) Asuma al ingreso y costo total lineales. Si q0 el nivel de produccion de equilibrio. En-

tonces U(3q0) = 2U(2q0).

(c) Si q0 es el nivel de produccion de equilibrio, entonces U(2q0) es el costo fijo.

PD4

Justifique la falsedad.

(a) Si la pendiente de la oferta aumenta y su p-intercepto se mantiene constante, la cantidad

de equilibrio aumenta.

(b) Justifique la falsedad de la siguiente proposicion. Para todo a, b ∈ R y todo c, d > 0 se

cumple que

E(c,d) ◦ T(a,b) = T(a,b) ◦ E(c,d)

(c) Las ecuaciones de ingreso y costo de un productor estan dadas por I = pq y C = cf +cuq

donde (q0,M0) es el punto de equilibrio actual. Si el precio y costo fijo se mantienen

constantes, y el costo por unidad se incrementa, entonces el nuevo costo por producir q0

unidades es igual a M0.

PD4

Justifique la falsedad.

(a) Si una recta corta en un solo punto a una parabola entonces es tangente a la parabola.

(b) En una hiperbola equilatera el producto de sus pendientes -1.

(c) Una hiperbola con eje transversal horizontal o vertical es equilatera si y solo si el producto

de sus pendientes -1 (propiedad)

PD4

Justifique la falsedad.

(a) En una empresa si el precio unitario aumenta entonces el nivel de produccion de equilibrio

aumenta.

(b) Si el costo fijo es de 1000 soles y (100,1200) es el punto de equilibrio, entonces la utilidad

esta dada por U(q) = 10q − 2000.

(c) El excedente del consumidor siempre es mayor que el excedente del productor.

(d) La recta l1 : 2x + 3y = 5 puede ser transformada por una traslacion en la recta l2 :

3x+ 4y = 5.

PD4

Problema - Transformaciones.

En la siguiente figura se muestra cuatro triangulos. Describa las transformaciones que con-

vierten al triangulo ABC en los triangulos: A′B′C ′, A′′B′′C ′′ y A′′′B′′′C ′′′.

−7 −4−3−2 1 3 4 5 7 8 17

−3

−1

1

2

3

4

7

y = x

A B

C

A′ B′

C ′

A′′B′′

C ′′

A′′′

C ′′′

B′′′

x

y

PD4

�

∆PQR =

[Rv ◦ T(−5,−1) ◦ E1

3,1

2

◦ T(3,1)]

(∆ABC)

�

∆PQR =

[Rh ◦ T(0,−1)

](∆ABC)

�

∆PQR =

[Rh ◦ T(−2,−3) ◦Rd ◦ T(3,1)

](∆ABC)

PD4

Problema - Transformaciones - Reflexion de una recta.

Para la recta

l1 : y = 2x− 3

se realizan un numero finito de transformaciones, en el siguiente orden:

(a) Una traslacion vertical de dos unidades hacia arriba.

(b) Una reflexion horizontal.

(c) Una traslacion horizontal de una unidad a la izquierda.

(d) Una reflexion respecto de la recta

l2 : y = 3x

Determine la transformacion resultante y la ecuacion de la recta resultante.

PD4

(x′, y′) =

[Rl2◦ T(1,0) ◦Rh ◦ T(0,−2)

](x, y)

Rm(x, y) =

(1−m2

1 +m2x+

2m

1 +m2y ,

2m

1 +m2x+

m2 − 1

1 +m2y

)2y − x+ 3 = 0