Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un

punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la

dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se

tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión

en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la

longitud de la proyección del radio vector sobre el plano

φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la

proyección del radio vector sobre el plano .

: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el

punto P al plano .

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial

es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí,

ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las

coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada

punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva

base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante

las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de

posición en estas coordenadas es:

Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en

los vectores de la base.

Efectivamente:

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es

complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el

resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte:

φ=cte:

z=cte:

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano

de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual

al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilíndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en

coordenadas cilíndricas. Éstas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares

y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos

ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el

radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º

a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida

del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en

radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas y las

esféricas, definidas por las relaciones:

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde

, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto

tal que .

La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las

relaciones inversas:

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las

coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

y sus inversas

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada

punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva

base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante

las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de

posición en estas coordenadas es

Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas está oculta

en el vector .

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

Diferencial de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es

complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,

el resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

=cte:

θ=cte:

φ=cte:

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano

de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual

al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas esféricas da

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en

coordenadas esféricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales

El gradiente viene dado por:

La divergencia viene dada por:

El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por: