Universidad Fermín Toro Facultad de Ingeniería

Escuela de Computación Matemática II

Coordenadas Polares

Mariangelica EscalonaV-25145616

Sistema de Coordendas PolaresLas coordenadas polares o sistemas

polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un angulo, ampliamente utilizados en física y trigonometrica .De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, ) θdonde r es la distancia de P al origen y es el θángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor crece en θsentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

Representación de puntos con coordenadas polares

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.•El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.•El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL. Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondecnai biuvínoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:•Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( ,  ) se puede representar θcomo ( ,   ±  ×360°) o (− ,   ± (2  + 1)180°), donde es un θ θ número enterocualquiera.•El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0,  ) para representar el polo, ya que θindependientemente del valor que tome el ángulo , un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. Estas θcircunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar a números no negativos ≥ 0 y al θ intervalo[0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2 ) o (− ,  ]).π π πLos ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.

¿Cómo graficar ecuaciones polares?•Comprende que en el sistema de coordenadas polares debes indicar un punto mediante (R, ), en donde R es la distancia θpolar y es el ángulo polar en gradosθ•Usa radianes o grados para medir . θ Para convertir radianes a grados multiplica el valor por 180/ . π Por ejemplo, /2 π X 180/ = 90 π grados.•Debes saber que existen muchas formas de curva dadas por las ecuaciones polares. Algunas de estas son círculos, caracoles, cardioides y curvas en forma de rosa. Las curvas caracol se consiguen con la forma R= A ± B sin( ) y R= A ± B cos( ), en donde θ θA y B son constantes. Las curvas cardioides (con forma de corazón) son curvas especiales de la familia de las de caracol. Las curvas con pétalos de rosa tienen ecuaciones polares de la forma R= A sin(n ) o R= A cos(n ). Cuando n es un número impar θ θla curva tiene n pétalos, pero cuando n es par la curva tiene 2n pétalos.•Busca obtener simetría cuando traces estas funciones. Como ejemplo usa la ecuación polar R=4 sin( ). Solamente necesitas θencontrar los valores para entre (Pi) debido a que después de los valores se repiten, dado que la función seno es θ π πsimétrica.•Elige los valores de que hagan a R máxima, mínima o cero en la ecuación. En el ejemplo dado anteriomente, R= 4 sin ( ), θ θcuando es igual a 0 el valor para R es 0. Por lo tanto (R, ) es (0, 0). Este es un punto de intersección.θ θ•Encuentra otros puntos de intersección de manera similar.•Considera R= 4 sin( ) θ como un ejemplo para aprender a graficar coordenadas polares.•Evalúa la ecuación para valores de ( ) entre el intervalo de 0 y . Haz que ( ) sea igual a 0, /6 , /4, /3, /2, 2 /3, θ π θ π π π π π3 /4, 5 /6 y . Calcula los valores para R sustituyendo estos datos en la ecuación.π π π•Usa una calculadora graficadora para determinar los valores de R. Por ejemplo, haz que ( ) = /6. Escribe 4 sin( /6) en la θ π πcalculadora. El valor de R es 2 y el punto (R, ) es (2, /6). Encuentra R para todos los valores de ( ) del paso 2.θ π θ•Traza los puntos (R, ) resultantes del paso 3, que son (0,0), (2, /6), (2.8, /4), (3.46, /3), (4, /2), (3.46, 2 /3), (2.8, θ π π π π π3 /4), (2, 5 /6), (0, ) en papel para gráficos y conecta estos puntos. El gráfico es un círculo con un radio de 2 y centro en π π π(0, 2). Para obtener una mayor precisión al trazar, usa papel para gráficos polares.•Grafica las ecuaciones para caracoles, cardioides o cualquier otra curva dada por una ecuación polar siguiendo el procedimiento descrito anteriormente.

LIMACONES O CARACOLESLimaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:

LEMNISCATAEn matemática, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOSEste tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOSPresentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOSEl siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRAUn caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

Intersección de curvas polares

Para encontrar los puntos de intersección de dos curvas polares se deben tomar algunos pasos adicionales al caso de curvas rectangulares. Esto se debe a que en coordenadas polares un punto o una ecuación tiene múltiples formas. Además, debido a que el polo es el punto que tiene mayor cantidad de representaciones, (0, α) , necesita ser considerado en forma individual. En sintesis: Técnicas para hallas los puntos de intersección de curvas: r= f(α) y r=g(α)•Graficar las curvas, para determinar el número de puntos de intersección•Resolver el sistema•Verificar si el polo es punto de intersección. •Si no se han obtenidos todos los puntos observados en la gráfica, considerar las otras formas de las ecuaciones.

Área de regiones entre gráficos polares

Sea r=r(θ)la ecuación en coordenadas polares de una curva y supongamos que r(θ)es continua en el intervalo cerrado [α,β]. Se define el área de la región limitada por la curva y las semirrectas de ecuaciones θ=α y θ=β como la integral