Coordenadas Polares Cilíndricas y Esféricas

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Índice Objetivo particular Introducción 3 Mapa Conceptual 5 4.1 Coordenadas polares 5 4.2 Coordenadas cilíndricas y esféricas 8 4.3 Casos en los que es conveniente el uso de coordenadas cilíndricas y esféricas 18 Bibliografía 19 1

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El alumno determinará las expresiones de superficies y reconocerá superficies y sus características principales a partir de sus expresiones en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

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Coordenadas

ndiceObjetivo particular

Introduccin3

Mapa Conceptual5

4.1 Coordenadas polares5

4.2 Coordenadas cilndricas y esfricas8

4.3 Casos en los que es conveniente el uso de coordenadas cilndricas y esfricas18

Bibliografa19

Coordenadas Polares Cilndricas y Esfricas

... hay matemticos y filsofos... que dudan si todo el Universo o, para decirlo de manera ms amplia, toda existencia, fue creada solo de acuerdo con la geometra eucldea, e incluso se atreven a soar que dos rectas paralelas que, de acuerdo con Euclides nunca se pueden cortar en la Tierra, quizs puedan hacerlo en el infinito..M. Dostoyevski (1821-1881), en Los hermanosKaramazov.

Objetivo particular

El alumno determinar las expresiones de superficies y reconocer superficies y sus caractersticas principales a partir de sus expresiones en coordenadas polares, cilndricas y esfricas.

IntroduccinSin lugar a dudas, puede afirmarse que muy pocos aspectos o ramas de las matemticas pueden asignarse al trabajo de un nico individuo. La Geometra Analtica de Descartes y Fermat no fue la excepcin a esto, es decir, no fue un producto exclusivo de sus investigaciones, sino ms bien, la sntesis de varias tendencias matemticas convergentes en los siglos XVI y XVII. Entre los autores que contribuyeron a las tendencias citadas pueden contarse Apolonio, Oresme, Vieta y muchos otros matemticos. Resulta de particular inters, por su magnitud e importancia, el trabajo de Apolonio (262 190 a. de C.), Las Cnicas , en el que ya se advierten, respecto al uso de coordenadas, muchos aspectos tan similares a los acercamientos modernos, tanto que, en algunas ocasiones, es juzgado como una geometra analtica que se anticip a aquella de Descartes y Fermat por 1800 aos, en la que se identifican formas retricas de las ecuaciones de las curvas establecidas por Apolonio como relaciones entre las abscisas y las ordenadas. Las abscisas y las ordenadas de la poca eran aplicaciones de lneas de referencia en general, y de un dimetro y una tangente en sus extremos en particular, lo que no hace diferencias esenciales con un marco coordenado rectangular, o ms generalmente, oblicuo.

Construccin de Apolonio de las tres secciones cnicas mediante un cono nico, variando la inclinacin del plano que corta al cono.

Franois Vite (1540-1603), matemtico francs, que escribi bajo el nombre Latinized Franciscus Vieta. Estudi Derecho en la Universidad de Poitiers, y pas a ser consejero jurdico. Vieta ms tarde pas a ser miembro del consejo del rey, que acta en virtud de Henry III y Henry IV. Vieta Sin embargo, pasan su tiempo libre en los estudios matemticos, y fue capaz de hacer importantes contribuciones a las matemticas en las reas de aritmtica, lgebra, la trigonometra y la geometra.

Teora de la Relatividad

Las Matemticas son una disciplina singular, que combina la especulacin con la aplicacin. Las Matemticas se relacionan con el mundo de dos modos:Unas veces, el mundo circundante (fsico, econmico, de cualquier disciplina cientfica) propone problemas y las Matemticas obtienen el modelo que describe el comportamiento del fenmeno que se trate. Por ejemplo, ante el problema de cmo representar fielmente en un cuadro el espacio que rodea al pintor, naci la Geometra Proyectiva, que da el modelo matemtico de la perspectiva. Naturalmente, aqu es clara la relacin entre Realidad y Matemticas, puesto que stas se usan para obtener el modelo matemtico de la correspondiente situacin del mundo.Otras veces las Matemticas plantean sus propios problemas, avanzan en sus soluciones y, al cabo de aos e incluso siglos, resulta que esas nociones matemticas son las que sirven para describir fenmenos del mundo. Esta adecuacin entre Matemticas y Realidad es sumamente sorprendente y ha sido objeto de estudio (y de fascinacin) de numerosos autores. Por qu las Matemticas concuerdan con el mundo real? Un ejemplo es el de las geometras no eucldeas. Nacieron como un problema puramente matemtico, que fue desenvolvindose en un ambiente puramente matemtico durante veinte siglos. En el XIX se resolvi, y la resolucin condujo a otras teoras matemticas, que fueron imprescindibles para la Cosmologa Moderna, la de la Teora de la Relatividad

Mapa Conceptual

4.1 Coordenadas polares

En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utiliza para representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio afn o de espacio vectorial de Rn utilizando el sistema de representacin cartesiana mediante pares de nmeros, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, que identificamos con un sistema de coordenadas ortogonal.Sin embargo esta no es la nica forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas de representacin que en ocasiones pueden resultar ms tiles: el sistema de representacin cartesiana es til para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los barcos en el ms utilizan un sistema de radar bidimensional que sita los puntos del plano en crculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional.Otra aplicacin actual de las coordenadas polares se encuentra en el Sistema de Posicionamiento Global GPS son las siglas de Global Positioning System (Sistema de posicionamiento global), inventado, desplegado y operado por el Departamento de Defensa de EEUU (DoD, por las siglas en ingls de Department of Defense). El objetivo de dicho sistema al inicio era fundamentalmente militar, utilizado para que las fuerzas armadas, los misiles, los barcos, etc. pudieran saber dnde estaban. El GPS intent programar el destino de los misiles. Si el misil en cuestin lleva un GPS y le programas el punto en el que debe impactar lo lanzas y te desentiendes de l. Se cuenta que con el GPS actual se puede llegar a conseguir precisin suficiente para meter el misil por la ventana del objetivo. Programar el movimiento de otros dispositivos robotizados, como aviones espa, robot desactivadores de minas. Lo que ocurre es que afortunadamente no estamos en guerra continuamente, y rpidamente se vio el potencial de su uso civil. Por ejemplo: Saber dnde estn los barcos. En alta mar, con nada ms que agua alrededor, no hay puntos de referencia con los que guiarse. Si sales de Oporto con direccin a Nueva York y te equivocas en unos pocos segundos de arco, puedes acabar a muchos kilmetros de tu destino. El hombre ha ido mejorando la forma de guiarse en el mar: la brjula, la astronoma, el reloj; pero hoy en da el GPS es el ms importante sistema de referencia. Saber dnde estn los aviones. Aunque desde el cielo es ms fcil tener referencias, la velocidad a la que se mueven los aviones hace que sea necesaria mucha ms precisin. Y, por supuesto, siempre puedes estar volando por encima de las nubes, o tan alto que no distingas las referencias del suelo o en medio del ocano.A menudo tambin se llama NAVSTAR al sistema de GPS, por las siglas de NAVigation SysTem and Ranging (de difcil traduccin; sera algo como sistema de navegacin y alcance. Los rusos desplegaron un sistema similar, llamado GLONASS, que tuvo poca repercusin en Occidente, y que adems est pasando por un mal momento; los europeos intentan desplegar un sistema parecido, aunque ms orientado al uso civil que al militar, llamado Galileo, para evitar depender del sistema americano o del ruso.

4.1.1 Ecuaciones de transformacin entre coordenadas cartesianas y polares

En el sistema de coordenadas polares, la posicin de un punto queda completamente determinada por su distancia (r) a un punto fijo llamado polo y su direccin (), respecto de una recta llamada eje polar. La distancia r del polo al punto se llama radio vector, y el ngulo del eje polar al radio vector recibe el nombre de ngulo vectorial o polar.En el sistema de coordenadas polares, las coordenadas de un punto se representan como (r, ), segn se muestra en la figura . En donde el ngulo vectorial es positivo si es generado por una rotacin en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj , y es negativo, si es generado por una rotacin en el sentido de las manecillas del reloj. El radio vector r es positivo cuando se mide desde el polo O al punto P y negativo cuando se mide en sentido contrario, a lo largo de la prolongacin del polo. Si r = 0 y adquiere un valor arbitrario, entonces, el punto P se localiza en el polo.

4.2 Coordenadas cilndricas y esfricas

Coordenadas cilndricas

Las coordenadas cilndricas constituyen una generalizacin de las coordenadas polares del plano. El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico. Se trata de una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana.

Coordenadas cilndricas y ejes cartesianos relacionados.

Discos durosLa ubicacin de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver qu tiene que ver esto con las coordenadas cilndricas conviene describir cmo son los discos duros.Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados una distancia fija y grabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay unacabezalectora/escritora identificado por el nmero H, que equivale a la coordenada cilndrica.La distancia al eje de cada disco la da el nmero C, ya que uncilindrolo constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por tanto, C equivale a la coordenada radial.Por ltimo, dados la cabeza y el cilindro, la posicin a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina unapista) se indica mediante elsectorS, que corresponde a la coordenada cilndrica.

Gras

Uno de los ejemplos ms sencillos de uso de las coordenadas cilndricas lo proporcionan las gras. Para controlar la posicin de la carga, es preciso indicar el ngulo de giro de laecha(el brazo de la gra), dado por , la altura a la que se sube la carga (), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la echa ().

Coordenadas esfricas

Al igual que las coordenadas cilndricas, el sistema de coordenadas esfricas se usa en espacios eucldeos tridimensionales. Se basa en la misma idea que las coordenadas polares, y se utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante una distancia y dos ngulos. Este sistema est formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen.

El modelo ms simple utilizado para la Tierra es una esfera. Las coordenadas que habitualmente se fijan sobre ella son las coordenadas esfricas, geodsicas o geogrficas: longitud y latitud f que aparecen en el grfico:

Este sistema se ha generalizado tradicionalmente a la superficie terrestre, considerando localmente la superficie de la tierra como la de la esfera. Es importante notar que la longitud es un ngulo en la direccin de la rotacin terrestre (relacionado por tanto con el tiempo), mientras que la latitud es transversal a la misma (y relacionada con la vertical).La georreferenciacin es el uso de coordenadas de mapa para asignar una ubicacin espacial a entidades cartogrficas. Todos los elementos de una capa de mapa tienen una ubicacin geogrfica y una extensin especficas que permiten situarlos en la superficie de la Tierra o cerca de ella. La capacidad de localizar de manera precisa las entidades geogrficas es fundamental tanto en la representacin cartogrfica como en SIG.

La correcta descripcin de la ubicacin y la forma de entidades requiere un marco para definir ubicaciones del mundo real. Un sistema de coordenadas geogrficas se utiliza para asignar ubicaciones geogrficas a los objetos. Un sistema de coordenadas de latitud-longitud global es uno de esos marcos. Otro marco es un sistema de coordenadas cartesianas o planas que surge a partir del marco global. Los mapas representan ubicaciones en la superficie de la Tierra que utilizan cuadrculas, gratculas y marcas de graduacin con etiquetas de diversas ubicaciones terrestres (tanto en medidas de latitud-longitud como en sistemas de coordenadas proyectadas [como metros de UTM]). Los elementos geogrficos incluidos en diversas capas de mapa se trazan en un orden especfico (uno sobre otro) para la extensin del mapa determinada. Los datasets SIG incluyen ubicaciones de coordenadas dentro de un sistema de coordenadas cartesianas o globales para registrar ubicaciones y formas geogrficas. De este modo, es posible superponer capas de datos SIG sobre la superficie de la Tierra.Un mtodo para describir la posicin de una ubicacin geogrfica en la superficie de la Tierra consiste en utilizar mediciones esfricas de latitud y longitud. Estas son mediciones de los ngulos (en grados) desde el centro de la Tierra hasta un punto en su superficie. Este tipo de sistema de referencia de coordenadas generalmente se denomina sistema de coordenadas geogrficas.La longitud mide ngulos en una direccin este-oeste. Las mediciones de longitud comnmente se basan en el meridiano de Greenwich, que es una lnea imaginaria que realiza un recorrido desde el Polo Norte, a travs de Greenwich, Inglaterra, hasta el Polo Sur. Este ngulo es de longitud 0. El oeste del meridiano de Greenwich por lo general se registra como longitud negativa y el este, como longitud positiva. Por ejemplo, la ubicacin de Los Angeles, California, tiene una latitud de aproximadamente +33 grados, 56 minutos y una longitud de -118 grados, 24 minutos.

Si bien la longitud y la latitud se pueden ubicar en posiciones exactas de la superficie de la Tierra, no proporcionan unidades de medicin uniformes de longitud y distancia. Slo a lo largo del ecuador la distancia que representa un grado de longitud se aproxima a la distancia que representa un grado de latitud. Esto se debe a que el ecuador es la nica lnea paralela que es tan extensa como el meridiano. (Los crculos con el mismo radio que la Tierra esfrica se denominan crculos grandes. El ecuador y todos los meridianos conforman crculos grandes). Por encima y por debajo del ecuador, los crculos que definen las lneas paralelas de latitud se vuelven gradualmente ms pequeos hasta que se convierten en un solo punto en los Polos Norte y Sur donde convergen los meridianos. Mientras los meridianos convergen hacia los polos, la distancia que representa un grado de longitud disminuye a cero. En el esferoide de Clarke 1866, un grado de longitud en el ecuador equivale a 111,321 kilmetros, mientras que a una latitud de 60 slo equivale a 55,802 kilmetros. Ya que los grados de latitud y longitud no poseen una longitud estndar, no es posible medir distancias o reas en forma precisa o visualizar datos fcilmente en un mapa plano o una pantalla de ordenador. Utilizar muchas aplicaciones (aunque no todas) de representacin cartogrfica y anlisis SIG a menudo requiere un marco de coordenadas planas ms estable, que suministran los sistemas de coordenadas proyectadas. De forma alternativa, algunos de los algoritmos utilizados para los operadores espaciales tienen en cuenta el comportamiento geomtrico de los sistemas de coordenadas esfricas (geogrficas).AstronomaPara situar las estrellas en el firmamento tambin es preciso emplear coordenadas esfricas. Existen varias posibilidades, siendo la ms usada la formada por la ascensin recta y la declinacin. La declinacin es el equivalente de la latitud, medida en este caso respecto al ecuador celeste y la ascensin recta corresponde a la longitud, medida desde un punto de referencia conocido como punto vernal (o punto Aries). La coordenada radial sera la distancia a la cual se encuentran las estrellas respecto de la Tierra.

La geometra esfrica es un sub-conjunto de la geometra elptica. Es la geometra de la superficie de una esfera en dos dimensiones. Los conceptos bsicos de los puntos y las lneas se definen como en la geometra plana euclidiana, pero las lneas estn definidas de tal forma que la distancia ms corta entre dos puntos se encuentra a lo largo de ellos. Las lneas de la geometra esfrica son crculos mximos, que son los crculos ms grandes que se pueden dibujar en una esfera. El ecuador es un ejemplo de un gran crculo. Las aplicaciones prcticas de esta geometra incluyen los principios de la navegacin y la astronoma.

Una de las aspiraciones del ser humano desde tiempo inmemoriales es la de construir un mapa plano perfecto. Es decir, representar correctamente nuestro planeta, esfrico, en un plano. Y muchos han sido los intentos de construir dicho mapa, aunque ninguno ha llegado a fructificar. Por qu? Acaso no existe el mapa perfecto? Sea cual sea el caso, existe algn argumento sencillo que responda a esa pregunta?Bien, antes de responder creo que lo primero que hay que hacer es aclarar qu entendemos por mapa perfecto. Un mapa perfecto sera una proyeccin de la esfera terrestre en un plano que mantuviera las propiedades mtricas de la propia esfera (salvo la escala). Es decir, la transformacin que convierte a la esfera terrestre en un mapa plano debera ser una isometra, o, lo que es lo mismo, una aplicacin que conserve las distancias (esto es, si dos puntos en la esfera estn a distancia d, los proyectados de esos puntos en el plano deben estar tambin a distancia d).Esto tendra varias implicaciones en nuestro mapa, de entre las cuales vamos a destacar las siguientes:Se deben mantener las reas: Una regin en la esfera terrestre y su proyeccin en el plano deben tener la misma rea, salvo el factor de escala.Se deben mantener las geodsicas: Una geodsica es una lnea de longitud mnima que une dos puntos de una superficie y que est contenida en ella. En una esfera las geodsicas son los crculos mximos, que son las circunferencias obtenidas al cortar la esfera con planos que pasan por el centro de la misma (en un plano, las geodsicas son las rectas). En nuestro caso, las mnimas distancias deben mantenerse, por lo que, con nuestra proyeccin, una geodsica en la esfera debe convertirse en una recta en el plano.Se deben mantener los ngulos: Si en la esfera terrestre dos geodsicas se cortan formando un cierto ngulo, en la proyeccin las rectas correspondientes a dichas geodsicas deben formar el mismo ngulo.Ya tenemos los ingredientes, por lo que ya podemos comenzar a planear nuestro mapa perfecto. En un plano podemos definir tringulo como regin del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos no alineados, y de forma anloga podemos definir tringulo esfrico en una esfera como regin de la esfera delimitada por tres crculos mximos que se cortan en tres puntos que no pertenecen al mismo crculo mximo, como puede verse en la siguiente imagen:

As la proyeccin perfecta debera conservar las geodsicas, por lo que los arcos de crculo mximo que delimitan el tringulo esfrico deberan convertirse en segmentos de recta en la proyeccin. Por tanto, la proyeccin de un tringulo esfrico sera un tringulo plano.Pero no slo eso, los ngulos entre geodsicas tambin deberan mantenerse. Y, ms concretamente, debera mantenerse la suma de ngulos de cada uno de nuestros tringulos. Pero vamos a ver que eso es imposible.En una esfera podemos tomar un tringulo esfrico en el que cada uno de sus tres ngulos mida 90: tomamos un arco de crculo mximo desde el Polo Norte hasta el ecuador, despus otro igual que forme un ngulo de 90 con el primero y despus el arco de ecuador que une los puntos de corte de los arcos anteriores con el propio ecuador, como el que se ve en la figura siguiente:

Por un lado, la suma de los ngulos de dicho tringulo es 270. Por otro lado, si nuestro mapa fuera perfecto la proyeccin de este tringulo esfrico sera un tringulo plano. En este tringulo plano, como en todos los tringulos planos, la suma de sus ngulos sera 180. Pero entonces los ngulos no se conservan, ya que las sumas son distintas. Conclusin: no existen isometras entre la esfera y el plano. O, lo que es lo mismo, no existen los mapas perfectos.Por un lado, el hecho de que no exista el mapa perfecto ha hecho que hayan aparecido multitud de proyecciones distintas que nos proporcionan mapas de la esfera terrestre de muchos tipos. En algunos de ellos se mantienen unas caractersticas y en otros otras. S, en todos hay algo que no se corresponde con la realidad, pero si hubisemos tenido uno perfecto nos habramos perdido todo el ingenio que han mostrado los que desarrollaron estas proyecciones.

4.2.1 Ecuaciones de transformacin entre coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas

El sistema de coordenadas cilndricas En un sistema de coordenadas cilndricas, un punto p del espacio se representa por un tro ordenado (r, , z).1. (r, ) son las coordenadas polares de la proyeccin de p sobre el plano x y.2. z es la distancia dirigida de p a (r, ). Para pasar de rectangulares a cilndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes frmulas de conversin.

Cilndricas a rectangulares

X = r cos , y = r sen , z = z

Rectangulares a cilndricasR2 =x2 + y2, tan =y/x, z = z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Adems, como la representacin de un punto en polares no es nica, tampoco lo es en cilndricas.Es el sistema de coordenadas esfricas cada uno se representa por un tro ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre.

Coordenadas de sistemas esfricas

Es en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del espacio viene representado por un tro ordenado (p, , ).

1. p es la distancia de P al origen, p < 0, p >0

2. es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para r> 0.

3. es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > < .

Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas. La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes:

Esfricas a rectangularesX =p sen cos , y= p sen sen , z = p cos . Rectangulares a esfricasP2= x2 + y2 + z2, tan =y/x, = arcos (z/ ) Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes:

Esfricas a cilndricas (r > 0):

r2 =p2 sen2 , = , z = p cos.

Cilndricas a esfricas (r> 0):

P= , = , = arcos(z/ )

Las coordenadas esfricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetra.

4.3 Casos en los que es conveniente el uso de coordenadas cilndricas y esfricasSuperficies en coordenadas cilndricas Superficies en coordenadas esfricas +

Bibliografa

1. Leithold, Louis. . (1994) El Clculo. (7 Ed) Oxford University Press.2. Thomas, George. (2005). Clculo Varias Variables, Pearson Addison Wesley Educacin. 3. Douglas F. Riddle. (2006). Geometra Analtica (6 ed). Mxico: Thomson.4. Fuller y Tarwater. (1995). Geometra analtica. Mxico: Addison Wesley.5. Hasser, (2009). Anlisis Matemtico. Mxico: Trillas.6. Lehmann, C. (1994). Geometra analtica. Mxico: Limusa.7. Murdoch, D. (1990). Geometra analtica con vectores y matrices. Mxico: Limusa.

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