Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de MatematicasCalculo Integral 1000005 - 7 y 1000005 - 9

Coordenadas polares1

Nota: ademas de los ejercicios descritos a continuacion, es apropiado trabajar algunos delos siguientes puntos del libro Single Variable Calculus, Stewart, J. 7 ed (2012). Estos son:seccion 10.3, ejercicios 21 - 46, 55-72; seccion 10.4, ejercicios 1 - 42, 45 - 56.

Hallar el area de la figura limitada por las curvas dadas.

1. r2 = a2 cos 2θ (lemniscata). Respuesta: a2

2. r = a(1 + cos θ) (cardioide). Respuesta: 3πa2

2

3. r = a sin 3θ (rosa de tres petalos). Respuesta: πa2

4

4. r = ρ1−cos θ (parabola), θ = π

4 , π2 . Respuesta: ρ2

6 (3 + 4√

2)

5. r = ρ1+ε·cosθ (0 < ε < 1) (elipse). Respuesta: πρ2

(1−ε2)3/2

6. r = 3 + 2 cos θ. Respuesta: 11π.

7. r = 1θ , r = 1

sin θ , 0 ≤ θ ≤ π2 . Respuesta: 1

π .

8. r = a cos θ, r = a(cos θ + sin θ). Respuesta: (π − 1)a2

4 .

9. Hallar el area del sector limitado por la curva θ = r arctan r, y por los dos rayos θ = 0 yθ = π√

3. Respuesta: 1

2(1− ln 2 + π√3).

10. Hallar el area de la figura limitada por la curva r2 + θ2 = 1. Respuesta: 23 .

11. Hallar el area de la figura limitada por un petalo de la curva θ = sin(πr), 0 ≤ r ≤ 1.Respuesta: 1

π .

12. Hallar el area de la figura limitada por las lıneas θ = 4r − r3, θ = 0. Respuesta: 6415 .

13. Hallar el area de la figura limitada por las lıneas θ = r−sin r, θ = π. Respuesta: π(1+π2

6 ).

14. Hallar el area de la figura limitada por la curva cerrada r = 2at1+t2

, θ = πt1+t . Respuesta:

πa2(1− π4 ).

1Todos los parametros en cada uno de los ejercicios se consideran positivos.

1

Utilizar las coordenadas polares para encontrar el area de las figuras limitadas por las cur-vas dadas.

15. x3 + y3 = 3axy (folium de Descartes). Respuesta: 32a

2.

16. x4 + y4 = a2(x2 + y2). Respuesta: πa2√

2.

17. (x2 + y2)2 = 2a2xy (lemniscata). Respuesta: a2.

Encontrar la longitud de arco de las siguientes curvas.

18. r = aθ (espiral de Arquımedes) para 0 ≤ θ ≤ 2π. Respuesta: πa√

1 + 4π2 + a2 ln(2π +√

1 + 4π2).

19. r = aemθ, m > 0, 0 < r < a. Respuesta:√1+m2

m a.

20. r = a(1 + cos θ). Respuesta: 8a.

21. r = ρ1+cos θ , |θ| ≤ π

2 . Respuesta: ρ[√

2 + ln(1 +√

2)].

22. r = a sin3( θ3). Respuesta: 3πa2 .

23. r = a tanh( θ2), 0 ≤ θ ≤ 2π. Respuesta: a(2π − tanhπ).

24. θ = 12(r + 1

r ), 1 ≤ r ≤ 3. Respuesta: 2 + 12 ln 3.

25. θ =√r, 0 ≤ r ≤ 5. Respuesta: 19

3 .

2