Fecha:

09/2013

LENNISCATA INC

Universidad Fermín Toro

Revista Virtual

CALCULO II

Autor: Alberto Perozo

COORDENADAS PO-

LARES

1.- Sistema de Coorde-

nadas Polares

2.- Gráficas de Ecuacio-

nes en Coordenadas Po-

lares

3.- Intersección de Grá-

ficas

4.- Calcular el Área de

una Región Plana en

Coordenadas Polares

Editorial.

En la publicación damos

a conocer al publico perti-

nente, una visión muy intere-

sante sobre las coordenadas

polares incluimos la informa-

ción básica para entender

mejor este tema de calculo II

incluyendo técnicas , expli-

camos con bastante profun-

didad los puntos oscuros de

este tópico

Finalmente se muestra un gráfico como los

dos anteriores, donde aparece una lem-

niscata, con la única diferencia que aho-

ra se muestra en sentido vertical. Vea-

mos:

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero

ahora aparece a lo largo del eje x o en

sentido horizontal:

COORDENADAS POLARES

1.1.1.--- Sistema de Coordenadas Sistema de Coordenadas Sistema de Coordenadas

PolaresPolaresPolares

2.2.2.--- Gráficas de Ecuaciones en Gráficas de Ecuaciones en Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas PolaresCoordenadas PolaresCoordenadas Polares

3.3.3.--- Intersección de GráficasIntersección de GráficasIntersección de Gráficas

4.4.4.--- Calcular el Área de una Calcular el Área de una Calcular el Área de una

Región Plana en Coordena-Región Plana en Coordena-Región Plana en Coordena-das Polaresdas Polaresdas Polares

5.5.5.––– Algunas Graficas conoci-Algunas Graficas conoci-Algunas Graficas conoci-das.das.das.

1.- Sistema de Coordenadas Polares

Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos

del plano se pueden representar en coordenadas cartesia-

nas mediante dos números (abscisa, ordenada).En este tema

veremos que los puntos del plano también se pueden repre-

sentar usando otro sistema de referencia, que denomina-

mos coordenadas polares.

En esta unidad se introducen las coordenadas polares y

algunos ejemplos que ilustran su utilidad para representar,

mediante ecuaciones con dichas coordenadas, algunas cur-

vas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli,

los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras.

Como se podrá observar en algunos ejemplos de

representación de las curvas en coordenadas polares, sólo

es preciso definir las mismas de cada punto: r (distancia al

polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coorde-

nadas cartesianas x e y.

En este tipo de representación los puntos del plano tie-

nen asociados dos coordenadas: su distancia al polo y

el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele lla-

mar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho),

al ángulo se le suele designar por la letra griega q (theta).

Sistema de Coordenadas

que confluyen en el origen y a partir de los cuales se

calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo

que se denomina sistema de referencia.

LEMNISCATA

En matemáticas, una leminscata es un tipo

de curva descrita por la siguiente ecua-

ción en coordenadas polares:

La representación gráfica de esta ecuación

genera una curva similar a . La curva

se ha convertido en el símbolo del infinito

y es ampliamente utilizada en matemáti-

cas. El símbolo en sí mismo es, a veces,

llamado lemniscata. Un ejemplo de esta

función con su respectivo gráfico lo apre-

ciamos a continuación:

Ahora veamos una nueva gráfica que resulta

en una circunferencia, con la única dife-

rencia que ahora aparece arriba del rayo

inicial (o del eje x que todos conocemos),

a diferencia del gráfico anterior, que la

circunferencia aparecía abajo del radio

inicial. La función con su gráfico es esta:

Sistema de Coordenadas Polares

Las coordenadas polares son un sistema que definen

la posición de un punto en un espacio bidimensional consis-

tente en un ángulo y una distancia.

En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesia-

nas para definir una función en el plano o en el espacio. Aun-

que en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas

coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En

dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféri-

cas puede simplificarnos la vida.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores

que permiten definir unívocamente la posición de cualquier

punto de un espacio geométrico respecto de un punto deno-

minado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valo-

res que permiten definir unívocamente la posición de cual-

quier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que

confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las

coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se deno-

mina sistema de referencia.

Sistema de Coordenadas Polares

Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por

el origen. La primera coordenada es la distancia existente

entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el án-

gulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.

Conversión de Coordenadas

La representación de un punto en el plano o el espa-

cio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de coor-

denadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de

coordenadas rectangulares y polares.

Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los

diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la

conversión del rectangular al polar y viceversa.

En este tópico se incluyen algunas gráficas para mos-

trar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas

respectivos.

Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el

valor de f (θ) para numerosos valores de θ a intervalos

espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos

resultantes (x,y).

Usted debe ser consciente de que la apariencia de la

gráfica en calculadora depende de la ventana de grafica-

ción especificada x-y, y también del rango de los valores

mostrados de θ. Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares,

debe identificarse algunos valores mostrados de θ corres-

pondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un

mínimo. Además, debe identificar el rango de valores de

θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta

es apropiada. Se

deduce que mu-

chas curvas fami-

l iares tienen

ecuaciones pola-

res sencillas

CIRCUNFERENCIA

Esta nueva función nos presenta una forma

conocida por todos y es precisamente la

circunferencia, la cual será formada en

el gráfico polar mediante la siguiente fun-

ción:

Antes de terminar el tema de los limacoides

o caracoles, veamos otro gráfico diferente

a los otros, que es conocido como cara-

col convexo o caracol ovalado, el cual

está apuntando hacia arriba, como lo ve-

mos en el gráfico siguiente:

2.- Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares

Gráfica de una Ecuación Polar

La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto

de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r

sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecua-

ción polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos

cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.

Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familia-

res). La clave para dibujar las mismas de una ecuación polar,

es mantener siempre presente que representan las coorde-

nadas polares.

Con estos conceptos básicos de localización de puntos

en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar fun-

ciones y no sólo puntos. En este tipo de funciones la varia-

ble independiente es θ y la dependiente es r, así que las fun-

ciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas

funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r

(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica

trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la

dependencia de r con respecto a θ. Recordemos que θ es la variable independiente y general-

mente va de 0 a 2π. Continúe viendo la información en el archivo que esta al

final de la unidad.

Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó

una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso

consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de in-

tersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares,

con el propósito de buscar todos los puntos de dicha inter-

sección.

Puesto que un punto puede representarse de formas

diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial

cuidado al determinar los puntos de intersección de dos

gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de

las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el

área de una región polar.

3.- Intersección de Gráficas

Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó

una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso

consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de in-

tersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares,

con el propósito de buscar todos los puntos de dicha inter-

sección.

Puesto que un punto puede representarse de formas di-

ferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial cui-

dado al determinar los puntos de intersección de dos gráfi-

cas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las

ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el

área de una región polar.

De igual forma el problema de hallar los puntos de inter-sección de dos gráficas polares con el de encontrar los pun-

tos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tie-

rra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto lleguen

a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores

de q).

La colisión se producirá

solamente en aquellos pun-

tos de intersección que sean

"puntos simultáneos", aque-

llos a los que se llega en el

mismo instante (valor de q).

Ahora se muestra un gráfico igual al anterior

con la diferencia que ahora está dirigido

hacia la derecha, de modo que tenemos

un limaçon o caracol con hendidura

o concavidad que está dirigido hacia la

derecha:

Continuando con la gráfica de caracoles o li-

macones, hay otro tipo que es el caracol

con hendidura o caracol con conca-

vidad. Como podremos observar, este no

tiene lazo, y está dirigido hacia la izquier-

da. Veamos a continuación el gráfico que

resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

4.- Calcular el Área de una Región Plana en

Coordenadas Polares

El desarrollo de una fórmula para el área de una región

polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas

rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de

rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la

figura se observa que la superficie de un sector circular de

radio r viene dada por:

Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es con-

tinua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limi-

tada por la gráfica para hallar el área de esta región, parti-

mos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales

a = q < q < q <........< q < q = b

A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores,

Luego de haber notado el teorema anterior, podemos

decir que usar la fórmula para hallar el área de una región

limitada por la gráfica de una función continua no negativa.

Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores

positivos y negativos en

el intervalo [ a , b ] .

Algunas veces lo más

difícil a la hora de hallar

el área de una región

polar es determinar los

límites de integración.

Un buen dibujo de la re-

gión puede ayudar mu-

cho en estos casos.

5.– Graficas conocidas.

Graficas en Coordenadas Polares:

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como

Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver

cómo se forma una figura parecida

a una rosa con cuatro pétalos. La

función para este gráfico es:

Veamos otro gráfico de una función que tie-

ne como resultado un caracol con un

lazo interior pero que a diferencia del

gráfico anterior, este apunta hacia abajo.

Veamos:

LIMACONES O CARACOLES

Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de

Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la

primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en

1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para

trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan

limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos

Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo,

donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha

y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico

es la siguiente:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS

Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa

de tres pétalos. Analógicamente al grá-

fico de la rosa de cuatro pétalos, este grá-

fico es parecido pero tiene sólo tres hojas

o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo

es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

El siguiente gráfico es como los dos anterio-

res, pero ahora con ocho hojas o pétalos,

tal como lo vemos en la siguiente función

graficada:

Habiendo visto el primer gráfico de una car-

diode, se presenta otro gráfico de este ti-

po pero ahora apunta hacia arriba, tal co-

mo lo vemos a en el gráfico de la siguiente

función:

CARDIOIDES

A continuación se presenta el tipo de gráfico

que se denomina cardioide. Para este

ejemplo se presenta una cardioide simé-

trica con respecto al eje poplar y que

apunta hacia la derecha. Podemos obser-

var que se distingue una figura como de

un corazón, razón por la cual se llama es-

te gráfico cardioide. La función que lo ha

generado es:

UNA ROSA DENTRO DE OTRA

Un caso interesante y especial que se puede

dar es el que se muestra en la gráfica que

vemos a continuación, donde se aprecia

una rosa de tres pétalos precisamente

dentro de otra rosa de tres pétalos u

hojas. Veamos: