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Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE

Matemáticas DiscretasPrincipios fundamentales de conteo

Cursos Propedéuticos 2010

Ciencias Computacionales

INAOE

Dr. Luis Villaseñor Pineda

villasen@inaoep.mx

http://ccc.inaoep.mx/~villasen

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Contenido

Introducción

Reglas de la suma y el producto

Permutaciones

Combinaciones

Generación de permutaciones

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Introducción

En ocasiones, interesa saber cuántas diferentes permutaciones/combinaciones de elementos se pueden generar a partir de cierto conjunto, por ejemplo: ¿Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a

partir de un grupo de 10 individuos?

¿De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)?

¿De una urna con 10 bolas, 6 rojas y 4 negras, cuántas formas diferentes existen al extraer 4 bolas, asumiendo que cada vez que se saca una, se regresa a la urna?

4

Introducción

En esta sesión veremos la teoría matemática que nos

permite hacer estos cálculos, así como algunos

ejemplos de aplicación

2

5

Experimento

Un proceso físico que tiene un número de posibles resultados

Ejemplos: Tirar una moneda y observar que cara queda arriba

Tirar n monedas y observar las caras que quedan arriba en cada moneda

Sacar m pelotas de una caja con n pelotas

Seleccionar 3 miembros para un comité de un grupo de npersonas

De n personas que fuman, observar cuántas tienen cáncer

Si se puede realizar una primera tarea de m maneras,

mientas que una segunda se puede efectuar de n

maneras, y no se pueden realizar las dos tareas

simultáneamente, entonces realizar cualquiera de ellas

se puede lograr de m + n maneras.

EJEMPLO. La biblioteca de un colegio tiene 40 libros de

texto sobre sociología y 50 sobre antropología. Por la

regla de la suma, un estudiante de ese colegio puede

elegir entre 40 + 50 = 90 libros de texto para ampliar sus

conocimientos sobre alguno de los dos temas.

La regla de la suma

Si un procedimiento se puede separar en las etapas

primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la

primera etapa y n para la segunda, entonces el

procedimiento total se puede realizar, en el orden

designado, de n m maneras.

EJEMPLO. El grupo de teatro de la Universidad Central

está haciendo pruebas para la obra de primavera. En vistas

de que se presentan seis hombres y ocho mujeres para los

papeles principales masculino y femenino, por la regla del

producto el director puede formar el reparto de su pareja

principal de 6 8 = 48 maneras.

Regla del producto

Aquí se muestran varias extensiones de la regla del

producto, al considerar la fabricación de placas para autos

que constan de dos letras seguidas de 4 dígitos.

a) Si no se pueden repetir las letras ni los dígitos, hay

2625 10 9 8 7 = 3 276 000 placas distintas.

b) Si se permiten repeticiones de letras y dígitos, hay

2626 10 10 10 10 = 6 760 000 placas posibles.

Ejemplo

3

9

Permutaciones

Dados n objetos, queremos obtener las diferentes

formas de ordenar r de estos objetos

Por ejemplo, dada las letras a,b,c, de cuántas formas

podemos arreglar 2 de ellas:

ab, ba, ac, ca, bc, cb

Esto se conoce como las permutaciones de

r de n, P(n, r)

En una clase de diez estudiantes se seleccionan cinco para

sentarlos en fila y fotografiarlos. ¿Cuántas disposiciones

lineales de cinco estudiantes pueden hacerse?

Para responder a la pregunta, se considerarán las

posiciones y los números posibles de estudiantes que se

pueden elegir para ocupar cada posición.

10 9 8 7 6

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Posición Posición Posición Posición Posición

Permutaciones

Ejemplo

Cualquiera de los diez estudiantes puede ocupar la primera

posición de la fila,

No se permiten las repeticiones,

sólo se pueden seleccionar uno de los nueve estudiantes restantes

para ocupar la segunda posición,

prosiguiendo de esta manera,

se halla que sólo se puede elegir entre seis estudiantes para ocupar

la quinta y última posición,

Tenemos un total de 30240 disposiciones posibles de cinco

estudiantes seleccionados de una clase de diez.

11 12

Permutaciones

Dada una colección de n objetos, cualquier

disposición de ellos se denomina permutación de la

colección.

El número de permutaciones se obtiene de la

siguiente manera:

P(n, r) = n! / (n-r)!

Donde n! es el factorial de n, definido como:

n! = n (n-1) (n-2) …. x 2 x 1

(Por definición: 0! = 1)

4

Permutaciones

13

En general si hay n objetos, denominados a1, a2, .... ,an, y r

es un entero, con 1 r n, entonces, por la regla del

producto, el número de disposiciones o permutaciones de

tamaño r para n objetos es

n (n–1) (n–2) ... (n – r + 1) =

1ª 2ª 3ª r ava

Posición Posición Posición Posición

)!(

!

rn

n

Permutaciones

En caso de permitir repeticiones, entonces, por la

regla del producto, hay nr disposiciones posibles, con

r0.

EJEMPLO El número de permutaciones de las letras

de la palabra COMPUTER es 8!. Si se toman sólo

cuatro de esas letras, el número de permutaciones (de

tamaño cuatro) es P(8,4)=8!/(8–4)!=8!/4!=1680. Si se

permiten repeticiones de letras, el número de

disposiciones posibles es 88 = 16 777 216.

14

15

Permutaciones – Generalización

Ahora consideramos que tenemos t clases de objetos,

de forma que los de una clase son indistinguibles

entre sí

Cómo podemos ordenar n objetos, con n1 del tipo 1,

n2 del tipo 2, …, nt del tipo t?

Por ejemplo, 3 letras, 2 a’s y 1 b:

aab, aba, baa

Otro ejemplo

¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de

la palabra DEDO?

16

5

Otro ejemplo

¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de

la palabra DEDO?

17

D D E O D1 D2 E O D2 D1 E O

D D O E D1 D2O E D2 D1O E

D E D O D1 E D2 O D2 E D1 O

D E O D D1 E O D2 D2 E O D1

D O D E D1 O D2 E D2 O D1 E

D O E D D1 O E D2 D2 O E D1

E D D O E D1 D2 O E D2 D1 O

E D O D E D1 O D2 E D2 O D1

E O D D E O D1 D2 E O D2 D1

O D D E O D1 D2 E O D2 D1 E

O D E D O D1 E D2 O D2 E D1

O E D D O E D1 D2 O E D2 D1

Otro ejemplo (cont)

Si se diferencian las dos D representándolas por D1 y

D2, entonces se pueden utilizar las ideas anteriores

sobre permutaciones de objetos diferentes;

Con los cuatro símbolos diferentes, D1, E, D2, O, se

tienen 4!=24 permutaciones.

Al examinar la tabla se observa que a cada

permutación en la que no se diferencian las D

corresponde un par de permutaciones con distintas D.

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Otro ejemplo (cont)

En consecuencia,

2 (número de permutaciones de los símbolos D,E,D,O)=

=(número de permutaciones de los símbolos D1, E, D2,O)

y la respuesta al problema original de hallar todas las

permutaciones de las letras de DEDO es 4!/2=12.

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Permutaciones – Generalización

si hay n objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un

segundo tipo,..., y nr de un r-ésimo tipo, donde

n1+n2+...+nr=n, entonces hay

permutaciones de los n objetos dados.

20

!!!

!

21 rnnn

n

6

21

Permutaciones – Generalización

Otros ejemplos:

Para el código morse (puntos y rayas), ¿cuántos mensajes

se pueden hacer con dos puntos y tres rayas?

Hay 10 oficinas, 2 las va a explorar el robot 1, 5 el robot

2, y 3 el robot 3, ¿de cuántas formas diferentes se pueden

organizar los robots para explorar las oficinas?

Combinaciones

Una baraja de póquer consta de 52 naipes, repartidos

en cuatro palos: tréboles, diamantes, corazones y

picas.

Cada palo tiene 13 naipes: As, 2,3,...,9, 10, J, Q, K.

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Combinaciones

Si se tienen que sacar tres naipes de la baraja,

seguidos y sin sustituirlas, entonces, por la regla del

producto, hay

posibilidades

una de las cuales es AC(As de corazones), 9T(nueve de

tréboles), KD(rey de diamantes);

27

3,52!49

!52505152 P

Combinaciones

Pero dado que el orden de selección no es importante

entonces las seis permutaciones,

AC-9T-KD, AC-KD-9T, 9T-AC-KD, 9T-KD-AC, KD-9T-

AC, KD-AC-9T,

corresponden a una sola selección (desordenada).

Por tanto, cada selección o combinación de tres

naipes, sin referencia al orden, corresponde a

3! permutaciones.

28

7

Combinaciones

En general,

si se comienza con n objetos distintos, cada selección o

combinación de r de estos objetos, sin referencia al orden,

corresponde a r! permutaciones de tamaño r de los n

objetos.

Así el número de combinaciones de tamaño r de un

conjunto de tamaño n, denotado C(n, r), 0 r n, cumple

(r!) C(n, r) = P(n, r) y

29

nrrnr

n

r

rnPrnC

0,

)!(!

!

!

,,

Combinaciones

Además del símbolo C(n, r), se suele utilizar el

símbolo

30

r

n

Ejemplo - combinaciones

Un tesista ofrece una cena para algunos de los

miembros de la facultad. Debido al tamaño de su

casa, sólo puede invitar a 11 de los 20 miembros de

la facultad. Como el orden no importa, puede invitar a

11 de entre

combinaciones posibles.

31

167960!9!11!2011

20

Otro ejemplo

En un examen, un estudiante debe responder a siete

preguntas de un cuestionario de diez. Como no

importa el orden, el estudiante puede responder al

examen de

formas

32

120123

8910

!3!7

!10

7

10

8

Otro ejemplo

Si el estudiante tiene que responder a tres preguntas

de las cinco primeras y a cuatro de las cinco últimas,

se tiene que para la primera parte formas y

para la segunda parte formas.

Así por la regla del producto, el estudiante puede

hacer el examen de formas.

33

103

5

54

5

505104

5

3

5

Otro más

El número de permutaciones de las letras de

TALLAHASSEE es 831600.

¿Cuántas no tienen las A adyacentes?

34

!1!1!2!2!2!3

!11

Otro más

Sin tener en cuenta las A, hay 5040 formas de ordenar las

letras restantes.

Si sólo es posible colocar las As en 9 posiciones posibles

para no ser adyacentes

Tres de estas posiciones se pueden seleccionar de 84

formas

como esto también es posible para las 5039 ordenaciones

restantes, por la regla del producto, hay 5040 84 =

423360 permutaciones de las letras de TALLAHASSEE sin

A adyacentes. 35

3

9

Teorema Binomial

Obsérvese en primer lugar que para los enteros n, r

con n r 0, .

Es decir al tratar con una selección de tamaño r de una

colección de n objetos distintos, el proceso de selección deja

fuera n - r objetos.

36

rn

n

r

n

9

Teorema Binomial

En consecuencia, afirma la existencia de una

correspondencia entre las selecciones de tamaño r (los objetos

elegidos) y las selecciones de tamaño n – r (los objetos

desechados).

37

Selecciones de tamaño r = 2 Selecciones de tamaño n – r = 3

1. 1, 2 6. 2, 4 1. 3, 4, 5 6. 1, 3, 5

2. 1, 3 7. 2, 5 2. 2, 4, 5 7. 1, 3, 4

3. 1, 4 8. 3, 4 3. 2, 3, 5 8. 1, 2, 5

4. 1, 5 9. 3, 5 4. 2, 3, 4 9. 1, 2, 4

5. 2, 3 10. 4, 5 5. 1, 4, 5 10. 1, 2, 3

rn

n

r

n

Teorema Binomial

Teorema 1.1 (Teorema Binomial) Si x e y son variables y n es

un entero positivo, entonces

38

01122110

1210yx

n

nyx

n

nyx

nyx

nyx

nyx nnnnnn

n

k

knk yxk

n

0Seleccionar k x’s de (x+y)n

De este resultado se observa que knn

k

knyx

kn

nyx

0

Debido a este teorema suele denominarse coeficiente

binomial.

k

n

Del coeficiente binomial resulta que el coeficiente de x5y2 de (x + y)7 es

El coeficiente de a5b2 de (2a – 3b)7 es .

Esto resulta del teorema al hacer x = 2a e y = –3b.

212

7

5

7

2532

5

7

Corolario 1.1 Para cualquier entero n 0,

a)

b)

n

n

nnnn2

210

01210

n

nnnn n

Dem. x=1,y=1 en T1.1

Dem. x=-1,y=1 en T1.1

Coeficiente Binomial

tn

t

nnnxxxx 321

321 ntxxxx 321

Teorema 1.2 Para los enteros positivos n, t, el coeficiente

de en es

donde cada ni es un entero con 0 ni n, para toda 1 i

t y n1 + n2 + n3 + ...+ nt = n.

!!!!

!

321 tnnnn

n

también se escribe

y se denomina coeficiente multinomial.

!!!!

!

321 tnnnn

n

tnnnn

n

,,,, 321

Coeficiente Multinomial

10

Combinaciones con repetición

Siete estudiantes se detienen en un restaurante, donde cada uno

puede escoger entre: una hamburguesa, un hot dog, un

bocadillo o un emparedado de pescado. ¿Cuántos pedidos

diferentes se pueden hacer?

41

1. h, h, p, p, b, b, e 1. xx xx xx x

2. h, h, h, h, p, b, e 2. xxxx x x x

3. h, h, h, h, h, h, e 3. xxxxxx x

4. p, b, b, e, e, e, e 4. x xx xxxx

5. b, b, b, b, b, e, e 5. xxxxx xx

6. b, b, b, b, b, b, b 6. xxxxxxx

7. e, e, e, e, e, e, e 7. xxxxxxx

a) b)

Combinaciones con repetición

Hemos establecido una correspondencia entre dos

colecciones de objetos, y sobre una de ellas sabemos

cómo contar el número de la colección.

Podemos contar todas las permutaciones de diez

símbolos formados por siete x y tres barras ( ).

42

7

10

!3!7

!10

Combinaciones con repetición

En general, dados n objetos distintos de los cuales se

quiere seleccionar, con repetición, r objetos, se toman

en cuenta todas las permutaciones de las r “x” y

n – 1 “”.

En el ejemplo anterior n = 4, r = 7, de modo que r

puede ser superior a n cuando se permiten

repeticiones43

r

rn

nr

rn 1

! 1!

! 1

Combinaciones con repetición

EJEMPLO ¿De cuántas formas se pueden distribuir

siete manzanas y seis naranjas entre cuatro niños, de

modo que cada niño reciba al menos una manzana?

Al dar a cada niño una manzana, se tiene C(4 + 3 – 1,

3) = 20 formas de distribuir las tres manzanas

restantes y C(4 + 6 – 1, 6) = 84 formas de distribuir

las seis naranjas.

Por la regla del producto, hay 20 84 =1680 formas

de distribuir la fruta en las condiciones establecidas.

44

11

Combinaciones con repetición

EJEMPLO Determínense todas las soluciones enteras

de la ecuación

x1 + x2 + x3 + x4 = 7, donde xi 0 para toda 1 i 4.

Una posible interpretación de esto

se distribuyen siete centavos (objetos idénticos) entre

cuatro niños (destinatarios distintos);

Si x1 = 3, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 1 se puede ver como si se

dieron tres centavos a cada uno de los dos primeros niños,

nada al tercero y el último centavo al cuarto.

45

Combinaciones con repetición

Bajo esta interpretación, se observa que cada solución

entera no negativa de la ecuación corresponde a una

selección con repetición, de tamaño 7 (los centavos

idénticos) de una colección de tamaño 4 (los niños

distintos), de modo que hay C(4 + 7 – 1, 7) = 120

soluciones.

46

Combinaciones con repetición

En este momento es fundamental reconocer la

equivalencia de lo siguiente:

a) El número de soluciones enteras de x1+x2+...+xn = r,

xi 0, 1 i n.

b) El número de selecciones, con repetición, de tamaño

r de una colección de tamaño n.

c) El número de maneras de distribuir r objetos

idénticos entre n destinatarios distintos.

47

Combinaciones con repetición

Otro ejemplo:

48

For i:=1 to 20 do

For j:=1 to i do

For k:=1 to j do

writeln(i*j+k);

¿Cuántas veces es ejecutada

la función writeln?

12

Combinaciones con repetición

Otro ejemplo:

Cualquier i,j,k satisface

Esto es, seleccionar 3 números, con repetición, de 20

entre números C(20+3-1,3)=C(22,3)=1540

49

For i:=1 to 20 do

For j:=1 to i do

For k:=1 to j do

writeln(i*j+k);

¿Cuántas veces es ejecutada

la función writeln?

1 20 k j i

ResumenEl orden es

relevante

Se permiten las

repeticiones

Tipo de

resultado

Fórmula

SI NO Permutación

SI SI Permutación

con repetición

NO NO Combinación

NO SI Combinación

con repetición

nr

rnnrnP

0

,)!/(!),(

n n rr , , 0

C n r n r n r

r n

( , ) !/ [ !( ) !]

0

n r

r

1