Copia de La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana

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La Geometra Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin fin).

GeneralPlano Smbolos Geomtricos reas Congruente Teorema de Pitgoras Ternas Pitagricas Cuadrilteros - Rombo, Paralelogramo, etc Tringulos Rectngulos Tringulos Transversal Dibujo General Pentagrama Elipse

Elementos bsicos de las figuras planas:Vrtice Lados ngulos Radio Dimetro Cuerda Arco Sector circular Mediana Mediatriz

PlanoUn plano es una superficie lisa sin grosor. Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano slo tiene dos dimensiones. Ejemplos:

longitud y altura, o xey

Y as sin final.

Ejemplos Es difcil dar ejemplos reales! Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel ests dibujando en un plano... ... aunque el papel no es un plano l mismo, porque tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente. As que la idea correcta es la parte superior de un trozo perfectamente liso de papel sin fin! Tambin las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son como un plano.

Smbolos en geometraSmbolos que se usan con frecuencia en geometra Los smbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aqu tienes los smbolos geomtricos ms comunes: Smbolo Significado Ejemplo En palabras

Tringulo

ABC tiene 3 lados iguales ABC mide 45

El tringulo ABC tiene tres lados iguales El ngulo formado por ABC mide 45 grados. La lnea AB es perpendicular a la lnea CD La lnea EF is paralela a la lnea GH

ngulo

Perpendicular

AB CD

Paralela

EF GH 360 es un crculo completo mide 90

Grados

ngulo recto (90) Segmento de lnea "AB" Lnea "AB"

Un ngulo recto mide 90 grados La lnea entre A y B La lnea infinita que pasa por A y B La lnea que empieza en A, pasa por B y contina El tringulo ABC es congruente con el tringulo DEF El tringulo DEF es similar al tringulo MNO a es igual que b, por tanto b es igual que a

AB

Rayo "AB"

Congruente (mismo tamao y forma) Similar (misma forma, distinto tamao) Por tanto

ABC

DEF

DEF

MNO

a=b

b=a

Nombrar ngulos En los ngulos la letra del medio dice dnde est el ngulo. Por ejemplo cuando veas " ABC mide 45", el punto "B" es donde est el ngulo.

reas de formas planasTringulo rea = bh b = base h = altura vertical Rectngulo rea = bh b = anchura h = altura Trapecio rea = (a+b)h h = altura vertical Cuadrado rea = a2 a = longitud del lado Paralelogramo rea = bh b = anchura h = altura Crculo rea = r2 Circunferencia=2r r = radio Sector rea = r2 r = radio = ngulo en radianes

Elipse rea = ab

CongruenciaSi se puede convertir una forma en otra usando giros, volteos y deslizamientos, las dos formas son congruentes:

Rotacin

Gira!

Reflexin

Voltea!

Traslacin

Desliza!

Despus de estas transformaciones (girar, voltear, deslizar) la forma sigue teniendo el mismo tamao,rea, ngulos y longitudes de lneas. Ejemplos Todas estas formas son congruentes:

Girada Congruente o similar?

Reflejada y desplazada

Reflejada y girada

Las dos figuras deben tener el mismo tamao para ser congruentes. (Si has tenido que reescalar una figura para llegar a la otra, entonces son similares) Si... ... slo giras, reflejas y/o trasladas entonces son...

congruentes

... necesitas hacer una homotecia

similares

Congruentes? Por qu esta palabra tan rara significa "igual"? Probablemente porque dos figuras slo seran "iguales" si una cubriera exactamente la otra. En cualquier caso, la palabra viene del latn congruere, que se podra traducir como "estar de acuerdo". As que las figuras "estn de acuerdo".

Teorema de PitgorasTeorema de Pitgoras establece que en un tringulo rectngulo, el rea del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del tringulo rectngulo) es igual a la suma de las reas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del tringulo, los que conforman el ngulo recto).

Entonces, el cuadrado de a (a) ms el cuadrado de b (b) es igual al cuadrado de c (c): a2 + b2 = c2

Seguro... ?Veamos si funciona con un ejemplo. Un tringulo de lados "3,4,5" tiene un ngulo recto, as que la frmula debera funcionar.

Veamos si las reas son la misma: 32 + 42 = 5 2

Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25

s, funciona!

Por qu es til esto?Si sabemos las longitudes de dos lados de un tringulo con un ngulo recto, el Teorema de Pitgoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (Pero recuerda que slo funciona en tringulos rectngulos!)

Cmo lo uso?Escrbelo como una ecuacin:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar lgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = 169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = 144 b = 12

Ternas pitagricasSon simplemente nmeros enteros que cumplen la regla:

a 2 + b2 = c 2(esta es la ecuacin del teorema de Pitgoras)

Algunos ejemplos:

Tringulo 3,4,5 32 + 42 = 52

Tringulo 5,12,13 52 + 122 = 132

Tringulo 9,40,41 92 + 402 = 412

Hay infinitos tringulos as! La manera ms fcil de encontrar ms ternas pitagricas es reescalar una terna que conozcamos. Ejemplo: multiplicar 3,4,5 por 2 da 6,8,10 que tambin cumple la frmula a2 + b2 = c2

CuadrilterosCuadriltero significa "cuatro lados" (cuad significa cuatro, ltero significa lado). Las figuras de cuatro lados se llaman cuadrilteros. Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.

Tipos de cuadrilterosHay algunos tipos especiales de cuadrilteros:

el rectngulo el rombo el cuadrado

(todos estos son paralelogramos), y tambin hay:

el trapezoide el deltoide

Si no es ninguna de estos es un cuadriltero irregular.

Aqu tienes los detalles:

El rectngulo

significa "ngulo recto" y indican lados iguales

Un rectngulo es una figura de cuatro lados cuyos ngulos son todos rectos (90). Adems los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.

El rombo

Un rombo es una figura de cuatro lados cuyos lados son todos iguales. Adems los lados opuestos son paralelos y los ngulos opuestos son iguales. Otra cosa interesante es que las diagonales (las lneas de puntos en la segunda figura) se cortan en ngulos rectos, es decir, son perpendiculares.

El cuadrado

significa "ngulo recto" indica lados iguales

Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales y cuatro ngulos rectos (90) Adems los lados opuestos son paralelos. Un cuadrado tambin es un rectngulo (ngulos de 90) y un rombo (lados iguales).

El paralelogramo

Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud, y los ngulos opuestos son iguales (los ngulos "a" son iguales, y los ngulos "b" son iguales) NOTA: todos los cuadrados, rectngulos y rombos son paralelogramos! Ejemplo: si un paralelogramo tiene todos los lados iguales y los ngulos "a" y "b" son rectos, entonces es un cuadrado.

El trapezoide

Trapezoide

Trapezoide regular

Un trapezoide tiene un par de lados paralelos. Se llama trapezoide regular si los lados que no son paralelos tienen la misma longitud y si los dos ngulos sobre un lado paralelo son iguales, como en el dibujo. Un trapezoide no es un paralelogramo porque slo un par de lados es paralelo.

El deltoide

Mira, parece una cometa. Tiene dos pares de lados, Cada par son dos lados adyacentes (que se tocan) de la misma longitud. Los ngulos donde se encuentran los pares son iguales. Las diagonales (lneas de puntos) son perpendiculares, y una de las diagonales bisecta (divide por la mitad) a la otra.

... y esos son los cuadrilteros especiales; si uno no es de estos tipos, es un cuadriltero irregular

Cuadrilteros irregulares

Un cuadriltero que no encaja en ninguno de los tipos anteriores.

PolgonosUn cuadriltero es un polgono. De hecho es un polgono de 4 lados, de la misma manera un tringulo es un polgono de 3 lados, un pentgono es un polgono de 5 lados, etc.

Juega con ellosAhora que conoces los tipos que existen, puedes jugar con los cuadrilteros interactivos.

Otros nombresQuadrngulo ("cuatro ngulos") y tetrgono ("cuatro y polgono") son otros nombres para los cuadrilteros.

Tringulos rectngulosUn tringulo rectngulo es, seguro que lo has adivinado, un tringulo que tiene un ngulo recto. El cuadradito de la esquina nos indica que el tringulo es rectngulo. Hay dos tipos de tringulo rectngulo:

Tringulos rectngulos issceles Tringulos rectngulos escalenos

Tringulo rectngulo issceles Un ngulo recto Otros dos ngulos iguales de 45 Dos lados iguales Tringulo rectngulo escaleno Un ngulo recto Otros dos ngulos distintos No hay lados iguales

TringuloUn tringulo, en geometra, es un polgono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de interseccin de las rectas son los vrtices y los segmentos de recta determinados son los lados del tringulo. Dos lados contiguos forman uno de los ngulos interiores del tringulo. Por lo tanto, un tringulo tiene 3 ngulos interiores, 3 lados y 3 vrtices. Si est contenido en una superficie plana se denomina tringulo, o trgono, un nombre menos comn para este tipo de polgonos. Si est contenido en una superficie esfrica se denomina tringulo esfrico. Representado, en cartografa, sobre la superficie terrestre, se llama tringulo geodsico.

Clasificacin de los tringulosLos tringulos se pueden clasificar por la relacin entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ngulos.Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo tringulo se clasifica:

como tringulo equiltero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ngulos internos miden 60 grados radianes.) como tringulo issceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ngulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filsofo griego, demostr que un tringulo issceles tiene dos ngulos iguales, estableciendo as una relacin entre longitudes y ngulos; a lados iguales, ngulos iguales1 ), y como tringulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un tringulo escaleno no hay dos ngulos que tengan la misma medida).

Equiltero Por la amplitud de sus ngulos

Issceles

Escaleno

Por la amplitud de sus ngulos, los tringulos se clasifican en:

(Clasificacin por amplitud de sus ngulos) Rectngulos Obtusngulos Oblicungulos Acutngulos

Tringulos

Tringulo rectngulo: si tiene un ngulo interior recto (90). A los dos lados que conforman el ngulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Tringulo oblicungulo: cuando ninguno de sus ngulos interiores son rectos (90). Por ello, los tringulos obtusngulos y acutngulos son oblicungulos. o Tringulo obtusngulo: si uno de sus ngulos interiores es obtuso (mayor de 90); los otros dos son agudos (menores de 90).

o

Tringulo acutngulo: cuando sus tres ngulos interiores son menores de 90. El tringulo equiltero es un caso particular de tringulo acutngulo.

Rectngulo

Obtusngulo

Acutngulo

Oblicungulos Clasificacin segn los lados y los ngulos

Los tringulos acutngulos pueden ser:

Tringulo acutngulo issceles: con todos los ngulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este tringulo es simtrico respecto de su altura. Tringulo acutngulo escaleno: con todos sus ngulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetra. Tringulo acutngulo equiltero: sus tres lados y sus tres ngulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetra (dividen al tringulo en dos tringulos iguales).

Los tringulos rectngulos pueden ser:

Tringulo rectngulo issceles: con un ngulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simtrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ngulo recto. Tringulo rectngulo escaleno: tiene un ngulo recto, y todos sus lados y ngulos son diferentes.

Los tringulos obtusngulos pueden ser:

Tringulo obtusngulo issceles: tiene un ngulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ngulo obtuso; el otro lado es mayor que stos dos. Tringulo obtusngulo escaleno: tiene un ngulo obtuso y todos sus lados son diferentes. Tringulo equiltero issceles escaleno

acutngulo

rectngulo

obtusngulo

Congruencia de tringulosDos tringulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vrtices de tal manera que el ngulo del vrtice y los lados que lo componen, en uno de los tringulos, sean congruentes con los del otro tringulo.

Postulados de congruencia Tringulo Postulados de congruencia Postulado LAL (Lado, ngulo, Lado)

Dos tringulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro tringulo, y los ngulos comprendidos entre esos lados tienen tambin la misma medida.Postulado ALA (ngulo, Lado, ngulo)

Dos tringulos son congruentes si dos ngulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ngulos es el lado comn a ellos).

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)

Dos tringulos son congruentes si cada lado de un tringulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro tringulo.Teoremas de congruencia Tringulo Teoremas de congruencia Teorema AAL (ngulo, ngulo, Lado)

Dos tringulos son congruentes si dos ngulos y un lado, no comprendido entre los ngulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.Congruencias de tringulos rectngulos

Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos tringulos rectngulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los tringulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos tringulos rectngulos son congruentes si los catetos de uno de los tringulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro. Criterio HA (Hipotenusa, ngulo). Dos tringulos rectngulos son congruentes si la hipotenusa y un ngulo agudo de uno de los tringulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio CA (Cateto, ngulo). Dos tringulos rectngulos son congruentes si el cateto un ngulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los tringulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

TransversalesUna transversal es una lnea que cruza por lo menos otras dos lneas.

La lnea roja es transversal en todos estos ejemplos:

Transversal que cruza dos lneas

esta otra transversal cruza dos lneas paralelas

... y esta cruza tres lneas

PolgonosUn polgono es una figura plana con lados rectos. Es un polgono? Los polgonos son formas bidimensionales. Estn hechos con lneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las lneas estn conectadas).

Polgono (lados rectos) Tipos de polgonos Simple o complejo

No es un polgono (tiene una curva)

No es un polgono (abierto, no cerrado)

Un polgono simple slo tiene un borde que no se cruza con l mismo. Uno complejo se interseca consigo mismo!

Polgono simple Polgono complejo (este es un pentgono) (tambin es un pentgono) Cncavo o convexo Un polgono convexo no tiene ngulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ngulos internos no son mayores que 180. Si hay algn ngulo interno mayor que 180 entonces es cncavo. (Para acordarte: cncavo es como tener una "cueva")

Convexo Regular o irregular

Cncavo

Si todos los ngulos son iguales y los lados tambin, es regular, si no es irregular

Regular Ms ejemplos

Irregular

Polgono complejo (un "polgono estrellado", en Octgono cncavo Hexgono irregular este caso un pentagrama)

Nombres de polgonos Si es regular... Nombre Tringulo (o trgono) Lados 3 Forma ngulo interior 60

Cuadriltero (o tetrgono)

4

90

Pentgono

5

108

Hexgono

6

120

Heptgono (o Septgono)

7

128.571

Octgono

8

135

Nongono (or enegono)

9

140

Decgono

10

144

Endecgono (or undecgono)

11

147.273

Dodecgono Tridecgono Tetradecgono Pentadecgono Hexadecgono Heptadecgono Octadecgono Eneadecgono Icosgono Triacontgono Tetracontgono Pentacontgono

12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50

150 152.308 154.286 156 157.5 158.824 160 161.053 162 168 171 172.8

Hexacontgono Heptacontgono Octacontgono Eneacontgono Hectgono Chiligono Mirigono Meggono Googolgono n-gono

60 70 80 90 100 1,000 10,000 1,000,000 10100 n

174 174.857 175.5 176 176.4 179.64 179.964 ~180 ~180 (n-2) 180 / n

Para polgonos con 13 lados o ms, se puede escribir (y es ms fcil) "13-gono", "14-gono" ... "100-gono", etc.

El pentagramaEl pentagrama (o pentculo) es como una estrella de 5 puntas. A lo mejor te parece que tiene que ver con brujera, pero de hecho es ms conocido como smbolo mgico y es un smbolo sagrado en algunas religiones. De hecho, esta figura tan simple es sorprendente.

Dentro del pentagrama hay un pentgono

Puedes dibujar un pentagrama empezando por un pentgono y alargando los lados. O uniendo los vrtices de un pentgono.

ProporcionesPero el pentagrama tiene oculto un nmero especial, la razn de oro, que vale aproximadamente 1.618

a/b = 1.618... b/c = 1.618... c/d = 1.618...

Cuando lo dibuj, med las 4 longitudes y obtuve a=216, b=133, c=82, d=51. Vamos a comprobar las proporciones:

216/133 = 1.624... 133/82 = 1.622... 82/51 = 1.608...

Si lo hubiera dibujado y medido con ms precisin, el resultado habra sido ms correcto! Por qu no pruebas t?

Dibuja un pentagrama regular Mide las longitudes Calcula las proporciones

Pentagrama irregularHasta ahora slo hemos visto pentagramas regulares (todos los lados y ngulos iguales), pero tambin hay pentagramas irregulares.

ElipseUna elipse es una circunferencia aplastada. Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).

DefinicinUna elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante. As que, no importa dnde ests en la elipse, puedes sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y siempre saldr lo mismo. (Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)

VrticePunto en el cual se encuentran las dos semirrectas de un ngulo, o el punto de interseccin de dos lados de una figura plana.

LadoCualquier segmento de lnea utilizado para formar un polgono. Por ejemplo, un cuadriltero tiene cuatro lados. La unin de dos semirrectas con un punto terminal comn es un ngulo. Cada semirrecta es un lado del ngulo. Cualquiera de los segmentos de lnea en una figura.

nguloUn ngulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vrtice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radin, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometra plana) o curvas (trigonometra esfrica). Se denomina ngulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen comn es una recta. Un ngulo slido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamao aparente.

Un ngulo positivo de 45.

Las unidades de medida de ngulosLas unidades utilizadas para la medida de los ngulos del plano son:

Radin (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades) Grado centesimal Grado sexagesimal

Los ngulos se pueden medir mediante utensilios tales como el gonimetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ngulos o semicrculo graduado, etc.

Clasificacin de ngulosLos ngulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones: Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ngulos. En este caso, un ngulo agudo.

Tipo ngulo nulo

Descripcin Es el ngulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0. Es el ngulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.

ngulo agudo

Es decir, mayor de 0 y menor de 90 (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).ngulo recto Un ngulo recto es de amplitud igual a rad

Es equivalente a 90 sexagesimales (o 100g centesimales). Los dos lados de un ngulo recto son perpendiculares entre s. La proyeccin ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vrtice.ngulo obtuso Un ngulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a a rad rad y menor

Mayor a 90 y menor a 180 sexagesimales (o ms de 100g y menos de 200g centesimales).ngulo llano, extendido o colineal

El ngulo llano tiene una amplitud de

rad

Equivalente a 180 sexagesimales (o 200g centesimales).

ngulo completo o perigonal

Un ngulo completo o perigonal, tiene una amplitud de

rad

Equivalente a 360 sexagesimales (o 400g centesimales).

ngulos convexo y cncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen comn determinan siempre dos ngulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cncavo (el de mayor amplitud):1Tipo ngulo convexo o saliente Es el que mide menos de Descripcin

rad.

Equivale a ms de 0 y menos de 180 sexagesimales (o ms de 0g y menos de 200g centesimales).ngulo cncavo, reflejo o Es el que mide ms de entrante

rad y menos de

rad.

Esto es, ms de 180 y menos de 360 sexagesimales (o ms de 200g y menos de 400g centesimales).

RadioEn geometra, el radio de una circunferencia es cualquier segmento que va desde su centro a cualquier punto de dicha circunferencia. El radio es la mitad del dimetro. Todos los radios de una figura geomtrica poseen la misma longitud. El radio de una esfera es cualquier segmento que va desde el centro a su superficie. Se llama radio de un polgono al radio de la circunferencia circunscrita (es el segmento que une su centro con cualquier vrtice). El radio de la circunferencia inscrita se llama apotema del polgono. Se denomina radio de curvatura al radio del arco de una circunferencia. En un sentido ms general en geometra, ingeniera, teora de grafos y muchos otros contextos, el radio (por ejemplo, de un cilindro, un polgono, un grafo o una parte mecnica) es el segmento que une su centro (o eje) y sus puntos ms externos.

La relacin entre la longitud del radio y la de la circunferencia (permetro de un crculo) es .

La relacin entre la longitud del radio de un crculo y su rea es

.

Dimetro

El dimetro es una lnea recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia, una superficie esfrica o una curva cerrada: El dimetro de una esfera es el segmento que pasando por el centro, tiene sus extremos en la superficie de esta.

CuerdaUna cuerda de una curva es un segmento geomtrico, cuyos extremos se encuentran en la curva. La extensin lineal de una cuerda es una secante.

ArcoEn geometra, arco es cualquier curva continua que une dos puntos.1 Tambin, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por la longitud de una cuerda y el radio.

Sector circular

Un sector circular es la porcin de crculo limitada por dos radios.rea del sector circular

MedianaSegmento de lnea del vrtice de un tringulo al punto medio del lado opuesto.

MediatrizLa mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al l.