Copo de Nieve de Von Koch

7/24/2019 Copo de Nieve de Von Koch

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Mini-Exploración:

El Copo de Nieve de

von KochANDRES

:

1



Índice de Contenidos

Portada

Índice

Introducción

Historia de la curva

Definición

Construcción de la curva

Objetivos de la exploración

Investigación del perímetro de Copo de von Koc

a! Perímetro de " " " #

b! $abla con datos obtenidos

c! Perímetro

d! Perímetro de Copo de von Koc

Investigación del %rea de Copo de von Koc

a! &órmula %rea de

b! 'rea " " " #

c! $abla con datos obtenidos

d! 'rea

e! 'rea de Copo de von Koc

Conclusión

C1 C

2 C

3 C

4 C

5

Cn

C1

C1 C

2 C

3 C

4 C

5

Cn

2



Introducción(

)l Copo de nieve de von Koch" tambi*n llamada Curva de von Koch, es una figuraideada por el matem%tico +ueco ,iels Helge von Koc -./012.345!" aparecida porprimera ve6 en .315 en una publicación llamada 7)n una curva continua sin tangentes"construible por la geometría elemental -$itulo original en franc*s( 7Sur une courbe

continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire” !

)sta figura corresponde a una de las primeras curvas fractales de las 8ue se tieneregistro9

Por fractal" se entiende por cual8uier objeto geometrico" #a sea fragmentada oirregular" en la cual su estructura b%sica se repite a diferentes escalas9

Para la construcción del Copo de ,ieve de von Koc" se debe empe6ar con untri%ngulo e8uilatero:

;uego se divide cada lado en < partes iguales # en la parte central se constru#e untri%ngulo e8uil%tero" pero se borra el segmento central

3



=l repetir el proceso anterior" el tercer 7copo> tiene el siguiente aspecto:

= la tercera iteración del proceso #a mencionado" la figura obtenida es:

4



)l resto de los 7copos> se constru#en de manera an%loga9

=l reali6ar estos pasos" se obtiene una secuencia de 7copos>" a los cuales" por

conveniencia" se les referir% como " " " "etc9" # el Copo de ,ieve de von

Koc corresponde a

)l objetivo de esta exploración matem%tica es investigar el perímetro # el %rea de lacurva de von Koc9

Investigación del perímetro del Copo de von Koch

Con el fin de evitar dificultades en el c%lculo # la escritura de los mismos" en primer

lugar" se supondr% 8ue cada lado" representado como 7 ”, tiene un valor igual a ." #

segundo" los perímetros de cada 7copo> ser%n representados como " " " etc9

a! Primero" allar* el valor de los perímetros de " " " # 9

I! Por lo 8ue sabemos" corresponde a un tri%ngulo e8uil%tero" es decir 8ue

todos sus lados poseen un mismo valor" tiene un =1. De modo 8ue para

calcular su perímetro se debe multiplicar este por <:

C1 C

2 C

3 C

4

C∞

L

P1 P

2 P

3

C1 C

2 C

3 C

4 C

5

C1

L

L

P1=1×3

P1=3

5



II!Para la segunda figura" es decir " es necesario un c%lculo ligeramente m%s

complejo: aora se debe dividir en < partes id*nticas" # en base al tercio

ubicado en el centro de cada " se crea un nuevo tri%ngulo e8uil%tero" para

luego eliminar dico segmento:

III!)n " se repite el proceso anterior en cada uno de los nuevos lados del

7copo>9 Por lo 8ue se debe reali6ar nuevamente de cada lado por

I?! ;a construcción de es an%loga con respecto a la construcción #a

explicada de 9 De modo 8ue el c%lculo correspondiente es:

C2

L

L

P2=3×

1

3L×4

P2=1×4

P2=4

C3

1

3×4

P3=3×

1

3L×4×

1

3×4

P3=3×

1

32×4

2

P3=

1

3×4

2

P3=16

3

C4

C3

6



?! ;a construcción de es an%loga con respecto a la construcción de 9 De

modo 8ue el c%lculo correspondiente es:

b!$abla con los resultados obtenidos:

Copo

Perímetro

P4=3×

1

3L×4×

1

3×4×

1

3×4

P4=3×

1

33×4

3

P4=

1

9×64

P4=

64

9

C5

C4

P5=3×

1

3L×4×

1

3×4×

1

3×4×

1

3×4

P5=3×

1

34 ×4

4

P5=3×

1

81×256

P5=

1

27×256

P5=

256

27

C1

C2

C3

C4

C5

P1=3 P

2=4

P3=16

3P

4=

64

9P

5=

256

27

7



c!Con el fin de evitar los c%lculos con una gran cantidad de cifras" se buscar% unaecuación general para el c%lculo del perímetro de los 7copos>" es decir" se calcular%

el perímetro de - !:

+i anali6amos los resultados anteriores" descubriremos 8ue estos valores cumplencon la estructura de una progresión geom*trica9 )sto puede ser comprobado a

trav*s de la definición general de las progresiones geom*tricas( " donde

corresponde a cual8uier t*rmino dentro de la secuencia" es el sucesor de

este mismo" # es la ra6ón constante de todos los t*rminos sucesivos de la

progresión9

;a comprobación es la siguiente(

I!

II!

III!

Cn P

n

Un+1

Un

= r

Un

Un+1

r

C4

C.

=5

<

C<

C4

=.@ <

5

C<

C4

=5

<

C5

C<

=@5 3

.@ <

C5

C<

=5

<

8



I?!

=ora 8ue se a comprobado 8ue los perímetros obtenidos son" en efecto" una seriegeom*trica" podemos acer uso del teorema general de las series geom*tricas" 8ue

permite identificar cual8uier t*rmino de dica progresión9 )l teorema es( "

donde corresponde a un t*rmino cual8uiera de la progresión geom*trica" es el

primer t*rmino de la progresión geom*trica" en este caso <" es el valor de la

posición del t*rmino en cuestión dentro de la progresión # es la ra6ón constante de

todos los t*rminos sucesivos de la progresión9

Por lo tanto" la ecuación correspondiente a es:

d! &inalmente" se intentar% calcular el valor del perímetro del Copo de von Koc9)ntonces" siguiendo el ra6onamiento anterior" el valor del perímetro de dico copo

correspondería a 9

,o obstante" a pesar de 8ue existe un teorema para calcular la suma de todos lost*rminos" de una progresión geom*trica" este sólo es valido si la ra6ón de dicaprogresión es menor a . # ma#or a 2." pues da como resultado un valor finito9 Pero"

CA

C5

=4A@ 40

@5 3

CA

C5

= 5

<

U

n =U × r n−.

Un U

n

r

Pn

Pn= 3×

4

3

÷

n−1

P∞

9



como se puede apreciar claramente en los c%lculos anteriores" la ra6ón en esta

progresión es ma#or a ." por lo 8ue se deduce 8ue tiene un valor infinito9

Investigación del área del Copo de Nieve de von Koch

Con el fin de evitar dificultades en el c%lculo # la escritura de los mismos" en primer

lugar" se supondr% 8ue cada lado" representado como 7 ”, tiene un valor igual a ." #

segundo" las %reas de cada uno de los 7copos> ser%n representadas como 7 >" de

modo 8ue ser%n " " " etc9

a! )l %rea de un tri%ngulo e8uil%tero corresponde al producto entre la base" 8ue eneste caso" como #a se a mencionado" tiene un valor igual a ." # la altura9

P∞

L

A

A1 A

2 A

3

10



;a formula para el %rea de un tri%ngulo e8uil%tero de lado es (

b!

I!=l ser un tri%ngulo e8uil%tero con igual a ." sólo se necesita la fórmula

anterior:

II! Para calcular el %rea de se debe sumar a el %rea #a existente de " el %rea

de < tri%ngulos e8uil%teros de lado con un valor correspondiente un tercio dellado del tri%ngulo de la figura anterior9 Por lo 8ue la ecuación es:

A2=

3

4×1

2+ 3

4×

1

3

÷

2

×3

a

3

4×a

2

C1

L

A1=

3

4×1

2

A1=

3

4

C2

A2=

3

4× 1+

3

9

÷

A2=

3

3

11



c! $abla con resultados obtenidos

Copo C1

C2

C3

C4

C5

'rea

d! Con el fin de evitar los c%lculos con una gran cantidad de cifras" se buscar%una ecuación general para el c%lculo del perímetro de los 7copos>" es decir" se

calcular% el %rea deCn - !

=ora" a diferencia de cómo se calculó el perímetro deCn" a trav*s de los

resultados obtenidos" me gustaría desviar la atención a la estructura del calculode las %reas:

I!

II!

III!

I?!

+i se anali6a los valores 8ue se encuentran dentro de los par*ntesis" seencuentra una suma" pues" como se estableció anteriormente" el calculo sebasaba en la suma de las figuras dentro del copo en cuestión9 +in embargoesta suma tiene exactamente la misma estructura de la sumatoria de una

progresión geom*trica" eco 8ue se probar% mediante la definición de lasprogresiones geom*tricas9

A1=

3

4 A

2=

3

3 A

3=

10 3

27 A4=94 3

243 A5=862 3

2187

An

A2= 3

4× 1+ 3

9

÷

A3=

3

4× 1+

3

9+

12

81

÷

A4=

3

4× 1+

3

9+

12

81+

48

729

÷

A5=

3

4× 1+

3

9+

12

81+

48

729+

192

6561

÷

13



;a definición es: " donde es un t*rmino cual8uiera de la progresión"

es su sucesor" es igual al valor de la posición de dico t*rmino # r es la

ra6ón constante de todos los t*rminos sucesivos de la progresión9

I!

II!

III!

192

6561

48

729

= r

Un+1

Un

= r Un

Un+1

n

12

81

3

9

= r

r = 4

9

48

729

12

81

= r

r = 4

9

r =4

9

14



;uego de 8ue se a comprobado 8ue existe una progresión geom*trica" # alsaber 8ue para calcular el %rea total se deben sumar todos los resultados" sededuce 8ue esto es una sumatoria geom*trica" la cual posee una formula:

Uk =k =1

n

∑U

×

1− r n

1− r

)n la formula" todos los símbolos poseen el mismo significado #a explicado"

mas" aoraU

representa el primer termino de la progresión9

)mpero" el calculo del %rea de los copos no se restringe a esta progresión"

pues esta comien6a a partir deC29 Por lo tanto" al reempla6ar los valores" #

agregando las variantes ajenas a la progresión" la ecuación para calcular

sería:

B

3

41+ 3

9× 1−

4

9

n−1

1−4

9

÷÷÷÷

÷÷÷÷

e! para finali6ar la investigación del %rea de los copos" allar* el %rea del Copo

de von Koc" es decir

A∞

9)n el calculo del perímetro de la misma figura" se llegó a la conclusión de 8uesería imposible calcularlo" pues el radio de la progresión geom*tricacorrespondiente al perímetro es ma#or a ." situación 8ue no se presenta en el

%rea" dónde el radio tiene un valor de

4

9

" de modo 8ue

A∞

posee un valor finitocalculable usando la siguiente formula:

Uk

k =1

∞

∑ =

U

1− r

An

An

15



Por lo 8ue el calculo de

A∞

es:

A∞ = 3

41+

3

9

1−4

9

÷÷÷

÷÷÷

A∞ =

3

41+

3

5

÷

A∞=

3

4×8

5

A∞ =

2 3

5

Conclsión!

)sta exploración matem%tica nos a permitido estudiar de manera detenida una curvafractal" 8ue" no solo inclu#e progresiones geom*tricas" materia sobre la cual emosestado estudiando recientemente" cosa 8ue nos a#uda a poner a prueba lo 8ue emosaprendido" sino 8ue logramos aprender sobre esta curiosa figura" 8ue nos presenta lasiguiente paradoja: un copo 8ue posee un %rea o superficie finita" pero el perímetro deesta misma es infinita9

16

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