Superficies y Vacío 11, 88-93, Diciembre 2000 Sociedad Mexicana de Ciencia de Superficies y de Vacío.

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Corrección de efectos sistemáticos por campo magnético en el patrón primario defrecuencia de bombeo óptico del CENAM

Mauricio López e Iván DominguezDivisión de Tiempo y Frecuencia, CENAM

Km. 4.5 Carretera a los Cués, el Marqués, Qro., C.P. 76900, México.

Eduardo de CarlosFacultad de Ciencias, UAEM

Avenida Universidad no. 1001, Colonia Chamilpa, Cuernavaca, Mor., C.P. 62210, México.

En este trabajo se presenta la deducción de la ecuación de Breit-Rabi para el caso del Cesio 133. Esta ecuación describe ladependencia de los niveles de energía Zeeman del estado base de este átomo respecto a un campo magnético externoconstante. Se construye el operador del potencial de interacción dipolar magnética y se reescribe de manera apropiada enfunción de operadores conocidos de momento angular, para así obtener los elementos de matriz de este operador(potencial). Posteriormente se resuelve la ecuación de eigenvalores asociada a esta matriz, es decir, se encuentran lassoluciones de la respectiva ecuación secular.Una vez encontrada la ecuación de Breit-Rabi, se despeja el campo magnético externo, el cual queda en función dediferencias de energía, o lo que es lo mismo, en función de frecuencias de transición. Utilizando datos experimentales delpatrón primario de frecuencia de haz térmico de Cesio con bombeo óptico del CENAM, se hace una estimación del valordel campo magnético externo, que es utilizado para hacer correcciones a la frecuencia por efecto Zeeman.

This work presents a deduction of the Breit-Rabi equation for Cesium 133. This equation describes the dependence of theZeeman energy levels for the ground state respect to an external and constant magnetic field. First, the dipolar magneticinteraction potential is written in a convenient way, that is in terms of the well know angular momentum operators, so thematrix elements can be determined for the potencial operator. Afterwards, the eigenvalues equation associated to thematrix is solved, that is, the solutions for the secular equation are calculated.Once the Breit-Rabi equation is found, an expression for the external magnetic field is easy to obtain and to write as afunction of the energy differences, or in terms of the transition frequencies. By using this result, the external magneticfield in the CENAM’s frequency primary standard based on an optically pumped thermal cesium beam has beencalculated, as well the frequency shift of the transition 0,4,60,3,6 2/1

22/1

2 ==→== FF mFsmFs due to the

quadratic Zeeman effect and its uncertainty.

Keywords: Efecto Zeeman, Cesio-133, Patrón Primario de Frecuencia, Reloj Atómico de Cesio.

1. Introducción

El segundo está definido en función de lafrecuencia asociada a la transición entre los niveleshiperfinos del estado base del átomo de Cesio 133 [1]. Estaunidad es reproducida por medio de los así llamados relojesatómicos de Cesio. El principio de funcionamiento consistebásicamente en inducir una condición de resonancia entremicroondas y los niveles hiperfinos de los átomos de Cesio.La definición del segundo considera condiciones ideales, esdecir, supone átomos aislados del resto del Universoexcepto por su interacción con microondas de unafrecuencia aproximada a 9.2 GHz. Sin embargo,experimentalmente es imposible reproducir talescondiciones ideales, habiendo otras interacciones queconsiderar. Una de éstas es la interacción de los átomos concampos magnéticos. La aparición del efecto Zeeman en unaconsecuencia de este hecho. Debido a esto, los niveleshiperfinos del estado base rompen su degeneración, dandolugar a varios niveles de energía que corresponden a losdiferentes valores de la proyección del momento angulartotal, h/ mF. Para campos magnéticos pequeños, lafrecuencia de transición entre los estados hiperfinos

con mF = 0 tiene corrimientos en frecuencia que dependencuadráticamente con el campo magnético.

En este trabajo reportamos los resultadosexperimentales obtenidos en el Centro Nacional deMetrología de medición del corrimiento energético porefecto Zeeman cuadrático en los niveles hiperfinos conproyección de momento angular mF = 0 del estado base delátomo de Cesio 133, el cual es de (2.22 Hz)h, donde h es laconstante de Planck, para un valor de 7.21 µT en lainducción magnética. Esto ha sido hecho con el objeto dereproducir la definición del segundo con una exactitud departes en 1012 en esta primera etapa.

En la sección 2 se deduce la ecuación de Breit-Rabi la cual describe el corrimiento energético Zeeman delos niveles hiperfinos del estado base de átomos alcalinos.En la sección 3 se describe el arreglo experimentalutilizado, se muestran los datos obtenidos y se calcula elcorrimiento en frecuencia de la transición

0,4,60,3,6 2/12

2/12 ==→== FF mFsmFs . En la

sección 4 se da una estimación de la incertidumbre asociadaa la corrección por efecto Zeeman cuadrático. Finalmenteen la sección 5 se dan las conclusiones de este trabajo.

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2 Ecuación de Breit-Rabi

2.1 Átomos HidrogenoidesLa importancia de estudiar a los átomos

hidrogenoides se debe a la similitud que tienen éstos conlos átomos alcalinos. Como es sabido, los átomos alcalinostienen un solo electrón de valencia, mientras que el resto delos electrones ocupan los niveles de energía inferiores.Estos electrones interactúan entre sí dando como resultadoun efecto de "cancelación mutua", por lo que la interaccióndel electrón de valencia con el resto de los electrones sepuede despreciar. Por lo tanto, los átomos alcalinos puedenser tratados como átomos hidrogenoides.

El operador Hamiltoniano total de un átomohidrogenoide se puede escribir como sigue:

VHH ceoˆˆˆ +=

donde ceoH representa al operador Hamiltoniano que

contiene solamente la interacción Coulombiana y de espín-orbita, mientras que V contiene las interacciones dipolaresmagnéticas. La ecuación de eigenvalores del operadorHamiltoniano total, en la representación matricial, es

CHC E=( ) ( )CCVH EEnJceo δ+=+ .

Aquí H representa la matriz del Hamiltoniano total, C surespectivo eigenvector y E su eigenvalor (energía total).Hceo y V son las matrices asociadas a los operadores ceoH y

V con sus correspondientes eigenvalores EnJ y δE.

2.2 Deducción de la Ecuación de Breit-Rabi

Se busca determinar la forma de la dependencia dela energía de los niveles Zeeman respecto a un campomagnético externo constante, así entonces es necesarioresolver la ecuación de eigenvalores

CVC Eδ=

es decir, se tiene que resolver la ecuación secular

( ) 0det =− IV Eδ .

Proseguimos a escribir el operador V que contienelas interacciones dipolares magnéticas:

00 ˆˆˆˆ BBBV JIJI

rrrrrr ⋅−⋅−⋅−= µµµ -(1)-

en donde Iµr y Jµr son los operadores correspondientes a

los momentos magnéticos del núcleo y del electrón,respectivamente. JB

r es la inducción magnética producida

por el electrón en el sitio del núcleo, y 0Br

es la inducción

magnética externa.Necesitamos escribir a V de forma conveniente

para encontrar sus elementos de matriz. Los operadores demomento magnético se pueden representar como

Ih

g BII

ˆˆrr

/=

µµ

Jh

g BJJ

ˆˆrr

/−=

µµ

donde gI y gJ son los factores de Landé del núcleo y delelectrón, respectivamente. µB es el magnetón de Bohr. Porlo tanto, el operador del potencial se puede escribir como

00ˆˆˆˆ BJ

h

gBI

h

gBI

h

gV BJBI

JBI rrrrrr

⋅/

+⋅/

−⋅/

−=µµµ

El primer sumando de la ecuación anterior se puede

expresar en términos de Ir

y Jr

. Si definimos la constanteA como

2ˆ

ˆ

J

JB

h

gA JBI

rr⋅

/−=

µ

y si suponemos que 0Br

apunta en la dirección z, el

operador de potencial se convierte en

z

BJz

BI JBh

gIB

h

gJIAV ˆˆˆˆˆ

00 /+

/−⋅=

µµrr. -(2)-

El siguiente paso consiste en escribir al producto

JI ˆˆ rr⋅ en función de operadores conocidos de momento

angular. Expresamos explícitamente el producto JI ˆˆ rr⋅ :

zzyyxx JIJIJIJI ˆˆˆˆˆˆˆˆ ++=⋅rr

. -(3)-

Por otro lado, los operadores de asenso y desenso estándefinidos como

yx IiII ˆˆˆ ±=±

yx JiJJ ˆˆˆ ±=± .

Entonces, la ecuación (3) puede ser reescrita en función delas anteriores relaciones

( ) zz JIJIJIJI ˆˆˆˆˆˆ2

1ˆˆ ++=⋅ +−−+

rr.

Por lo tanto, la ecuación (2) se convierte en:

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( ) zBJ

zBI

zz JBh

gIB

h

gJIAJIJI

AV ˆˆˆˆˆˆˆˆ

2ˆ

00 /+

/−++= +−−+

µµ.

-(4)-

Para encontrar los elementos de matriz de (4), utilizaremoslos vectores de estado IJ mmIJ ,,, los cuales los

abreviaremos como IJ mm , . Recordemos los efectos que

tienen los operadores de momento angular sobre estosvectores:

( )( ) 1,1,ˆ ±+±/=± IJIIIJ mmmImIhmmI m

( )( ) IJJJIJ mmmJmJhmmJ ,11,ˆ ±+±/=± m

IJIIJz mmmhmmI ,,ˆ /=

IJJIJz mmmhmmJ ,,ˆ /= .

Utilizando las anteriores ecuaciones, podemos calcular loselementos de matriz de V :

IJIJ mmmmIJIJ VmmVmm ,'',ˆ',' =

( )( )( )( ) 1,'1,'

2

112 +−++−+−+

/=

IIJJ mmmmIIJJ mImImJmJAh

δδ

( )( )( )( ) 1,'1,'

2

112 −++−+++−

/+

IIJJ mmmmIIJJ mImImJmJAh

δδ

IIJJIIJJ mmmmIBImmmmIJ mBgmAmh ,','0,','2 δδµδδ −/+

IIJJ mmmmJBJ mBg ,','0 δδµ+ .

Para que la solución de la ecuación seculardet(V – δEI) = 0 tenga solución analítica exacta, el tamañode la matriz correspondiente al operador debe ser de 2 × 2.Esto se traduce en resolver el problema solamente para loscasos en que el momento angular orbital sea cero (L = 0),que es el caso que nos interesa.

Dado que L = 0, el número cuántico mJ puedetomar únicamente los valores de ±½. También podemosexpresar al número cuántico mI en términos de mJ y mF:mI = mF - mJ = mF ± ½. Por lo tanto, para un valor dado demF, este sistema tiene dos posibles estados:

−

+−=

2

1,

2

12

1,

2

1

,

F

F

IJ

m

mmm

Calculamos los elementos de matriz ayudados de losresultados anteriores

2

1,

2

1ˆ2

1,

2

1±± FF mVm mm

±/

±−=

2

1

2

1

2

1

2

1 200 FBJFBI mAhBgmBg mm µµ ;

2

1,

2

1ˆ2

1,

2

1

2

1,

2

1ˆ2

1,

2

1 −+−=+−− FFFF mVmmVm

22

2

2

1

2

1FmIAh −

+/= .

Con estos elementos de matriz se construye laecuación secular, la cual resulta ser una ecuacióncuadrática. Las soluciones se calculan de manera usualutilizando la fórmula general para encontrar las raíces de unpolinomio de segundo grado, obteniendo como resultado:

AhmBgE FBI2

0 4

1/−−= µδ

( ) ( )2220

224

02

2

12

2

1JIBFJIB ggBIAhmggABh ++

+/++/± µµ .

-(5)-

El próximo paso consiste en encontrar el valor deA. Una forma fácil de calcularla, sin recurrir a su definición,es la siguiente: Lo que nos interesa es encontrar la energíade los niveles Zeeman correspondiente al estado base delátomo de Cesio 133. Como mencionamos anteriormente, elsegundo se define en función de la frecuencia de transiciónentre los niveles hiperfinos del estado base de éste átomo,cuyo valor a sido dado por convención internacional [1].Aprovechemos esta situación.

En ausencia de inducción magnética externa(B0 = 0), la ecuación (2) se puede escribir como

JIAV ˆˆˆrr

⋅=

por otro lado, sabemos que

IJF ˆˆˆ rrr+=

JIIJF ˆˆ2ˆˆˆ 222 rrrrr⋅++=

entonces,

( )222 ˆˆˆ2

1ˆˆ JIFJIrrrrr

−−=⋅

por lo tanto:

( )222 ˆˆˆ2

ˆ JIFA

Vrrr

−−= .

Utilizando el anterior operador, calculamos ladiferencia de energía entre los niveles hiperfinos del estadobase del átomo de Cesio 133. Para ello utilizaremos larepresentación F, I, J, esto es, usaremos los vectores deestado

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−

+=

2

1,,

2

12

1,,

2

1

,,II

IIJIF

Entonces,

2

1,,

2

1

2

1,,

2

1ˆ IIEIIV F +=+ δ

2

1,,

2

1

2

1,,

2

1ˆ1 IIEIIV F −=− −δ

por lo que la diferencia de energía es

( )122

1 21 +/==− − IAhEEE HFSFF δδ

es decir,

( )12

22 +/

=Ih

EA HFS .

Aquí EHFS representa la energía de separación delos niveles hiperfinos y esta dada como EHFS = hνHFS, dondeνHFS = 9.192631770 × 109 Hz [1] corresponde la frecuenciade transición entre estos niveles.

Finalmente, y utilizando el valor encontrado de A,la ecuación (5) se reescribe como:

( ) 0122Bmg

I

hE FBI

HFS µν

δ −+

−=

( ) ( ) 2022

22

012

41

2

1B

h

ggB

h

gg

I

mh

HFS

JIB

HFS

JIBFHFS ν

µν

µν

++

++

+±

-(6)-

la cual es conocida como la ecuación de Breit-Rabi. Elsigno “+” en la raíz corresponde al nivel hiperfino superior(F = 4), mientras que el signo “-“ corresponde al nivelinferior (F = 3). Una gráfica de la dependencia de δErespecto a la inducción magnética B0 se observa en la figura1.

3 Correcciones por efecto Zeeman cuadrático

3.1 Expresión analítica de la inducción magnéticaen función de corrimientos energéticosDe la ecuación (6) podemos despejar la inducción

magnética B0. Por la geometría del arreglo experimentalutilizado, las transiciones inducidas obedecen a la regla deselección ∆mF = 0. La energía asociada a la transición

FF mFmF ,4,3 =→= esta dada por:

Figura 1. Gráfica de la ecuación de Breit-Rabi para el estado base delCesio 133.

νδδ hmFEmFE FF ==−= ),3(),4(

( ) ( ) 2022

22

012

41 B

h

ggB

h

gg

I

mh

HFS

JIB

HFS

JIBFHFS ν

µν

µν

++

++

+= .

-(7)-

De la ecuación anterior podemos obtener a B0

( ) ( )

−+

+±

+−

+= 1

12

4

12

22

2

2

2

0HFS

FF

BIJ

HFS

I

m

I

m

gg

hB

νν

µν

-(8)-en donde el signo mas en la raíz se utiliza para mF ≥ 0 y elsigno menos para mF < 0.

Cabe hacer notar que utilizando la ecuación (7) sepuede justificar el hecho de que la frecuenciacorrespondiente a la transición

0,4,60,3,6 2/12

2/12 ==→== FF mFsmFs

para campos magnéticos pequeños sea la más cercana a lafrecuencia que define al segundo (νHFS). Esto se verificahaciendo un desarrollo en series de Taylor de (7) alrededorde B0 = 0:

( )00 12

2)( B

h

gg

I

mB BIJF

HFS

µνν

++

+=

( )( )

...12

41

2

1 202

2

2

22

+

+−

++ B

I

m

h

gg F

HFS

BIJ

νµ

De la ecuación anterior se puede ver claramente que paramF ≠ 0 la frecuencia de transición depende linealmente deB0, mientras que para mF = 0 la dependencia es cuadrática.

Energía (Joules)

Inducción Magnética (Teslas)

F = 4

F = 3

mF 4

3 2

1 0

-1

-2

-3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

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Adicionalmente hacemos notar que los valores típicos de B0

en nuestro experimento son del orden de 10-6 Teslas.

3.2 Arreglo experimentalSe usa un láser semiconductor del tipo DBR

(Distributed Bragg Reflector) para controlar la población enlos niveles hiperfinos del estado base en un haz térmico deCesio 133. Esto se logra induciendo la transición

3,64,6 2/32

2/12 =→= FpFs por medio de este láser,

el cual llamamos láser de bombeo. Otro láser similar esutilizado para inducir la transición cíclica

5,64,6 2/32

2/12 =→= FpFs , el cual llamamos láser

de detección. Ambos láseres emiten alrededor de 852 nmcon una potencia de 5 mW. Ambos son estabilizados enfrecuencia utilizando la técnica de espectroscopía desaturación. Esta estabilización en frecuencia es hecha con elobjeto de inducir a voluntad y por tiempos prolongados(hasta varios días de manera continua) las transicionesarriba mencionadas.

Se usa un sintetizador de microondas desarrolladoen el National Institute of Standards and Technology,NIST, en colaboración con el CENAM. Este sintetizador asido diseñado para brindar una alta pureza espectral de lasmicroondas. El intervalo de frecuencias en el que opera esde 180 kHz alrededor de la frecuencia de transición entreniveles hiperfinos del estado base del Cesio 133.

La cavidad de microondas utilizada es una cavidaddual (cavidad de Ramsey) [3] con una longitud de 13 cm,con la cual se generan anchos de banda en la espectroscopíhiperfina del Cesio del orden de 1 kHz, siendo esta anchuradada por el principio de incertidumbre. La cavidad estainmersa en un campo magnético homogéneo con elpropósito de separar lo suficiente las líneas espectrales delos niveles Zeeman. La cavidad está contenida en unacámara de vacío con una presión del orden de 10-7 mb, unhaz de 3 × 1015 átomos de Cesio por segundo es generadoen un horno que opera a 100 grados Celcius. El tiempo deinteracción estimados entre los átomos de Cesio y lasmicroondas es del orden de 0.5 ms.

3.3 Resultados experimentalesLa figura 2 muestra los datos experimentales del

espectro Zeeman de los niveles hiperfinos del estado basedel átomo de Cesio 133 obtenidos en el CENAM con elarreglo experimental descrito en la sección anterior. Losdatos mostrados no tienen ningún tipo de promediación ocorrección. La frecuencia de microondas a sido modulada180 kHz alrededor de la frecuencia νHFS. El ancho a laaltura media del lóbulo central es de 1 kHzaproximadamente, como es de esperarse. Estos resultadosmuestran un cociente señal a ruido de 100 para el espectrocompleto y de 200 para el lóbulo central.

3.4 Cálculo del corrimiento de la frecuencia centralpor inducción magnética

Dado el espectro de resonancia de la figura 2 esposible determinar el valor de la inducción magnética B0.Una forma de hacer esto es utilizando un método iterativo,el cual describimos a continuación:Dada una mF diferente de cero se propone un valor inicialde B0. Utilizando este valor y auxiliados de la ecuación (7)se calcula la frecuencia del pico central (mF = 0), la cualdenominamos ν0. Posteriormente se calcula la frecuencia νdel pico correspondiente al número cuántico mF. Esto selogra sumando a ν0 la diferencia de frecuencia(experimental) que hay entre el pico central y el picocorrespondiente a mF. Esta ν calculada se utiliza en laecuación (8) para dar un nuevo valor a B0. Ahora este nuevovalor se utiliza como el inicial y el proceso se repite hastaque el proceso converja. Un diagrama a bloques de estemétodo se muestra en la figura 4.

Los valores calculados de B0 (en Teslas) semuestran a continuación:

B0(mF = -3) = 7.2178845365133532 × 10-6

B0(mF = -2) = 7.2131957905398905 × 10-6

B0(mF = -1) = 7.2170681413953045 × 10-6

Figura 2. Datos experimentales del espectro Zeeman de los niveleshiperfinos del estado base del Cesio 133.

Figura 3. Ampliación del lóbulo central de los datos mostrados en la figura2.

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B0(mF = 1) = 7.2145394788693382 × 10-6

B0(mF = 2) = 7.2158435133887185 × 10-6

B0(mF = 3) = 7.2197159631615825 × 10-6

Utilizando los resultados anteriores podemos calculardiferentes valores de la frecuencia central ν0. Estos valores,en Hz, son:

ν0(mF = -3) = 9.1926317722269400 × 109

ν0(mF = -2) = 9.1926317722240477 × 109

ν0(mF = -1) = 9.1926317722264363 × 109

ν0(mF = 1) = 9.1926317722248764 × 109

ν0(mF = 2) = 9.1926317722256808 × 109

ν0(mF = 3) = 9.1926317722280703 × 109

Figura 4. Diagrama a bloques del cálculo de la inducciónmagnética externa.

Finalmente podemos calcular el corrimiento de lafrecuencia central ν0 respecto a la frecuencia hiperfina νHFS.Esto se hace simplemente restando a los valores anterioresel valor de νHFS = 9.192631770 × 109 Hz [1]. Losresultados de estos cálculos (en Hz) son los siguientes:

∆ν(mF = -3) = 2.2269400∆ν(mF = -2) = 2.2240477∆ν(mF = -1) = 2.2264363∆ν(mF = 1) = 2.2248764∆ν(mF = 2) = 2.2256808∆ν(mF = 3) = 2.2280703

Es decir, para tener una mejor reproducción del segundo, ala frecuencia del oscilador de microondas, el cual esta enresonancia con la frecuencia de transición del pico central,se le debe restar aproximadamente 2.22 Hz. Esta sería unaprimera corrección en frecuencia al patrón primario defrecuencia de bombeo óptico del CENAM.

4. Estimación de incertidumbres

Con el objeto de minimizar las incertidumbres enel cálculo de la inducción magnética que produce loscorrimientos Zeeman mostrados en la sección 3.3, figura 2,se midieron la separación en frecuencia entre el pico centraly los restantes. Esto fue hecho con el propósito de eliminarcorrimientos sistemáticos presentes al momento de medir larecuencia de las microondas, quedando presentesinestabilidades del instrumento de medición las cuales seestiman del orden de partes en 108. Los máximos delespectro de resonancia fueron encontrados haciendo unajuste local de los datos experimentales a una curvagaussiana. Encontrando de esta forma la separación enfrecuencia del pico central respecto a los seis restantes, conuna incertidumbre de 20 Hz, con lo cual se obtiene unainducción magnética de 7.216(3) µT. Finalmente lacorrección en frecuencia por efecto Zeeman cuadrático delpico central del espectro del resonancias es de 2.226(2) Hz,con una incertidumbre fraccional de 2 partes en 1013.

5. Conclusiones.

En este trabajo se ha revisado la deducción de laecuación de Breit-Rabi la cual describe la ruptura de ladegeneración de los niveles hiperfinos del estado base deátomos alcalinos. Se han mostrado los resultadosexperimentales de la espectroscopía del Cesio obtenidos enel Centro Nacional de Metrología, CENAM, por medio dehaces térmicos de Cesio con bombeo óptico. Se haestimado la corrección en frecuencia hacia el rojo del picocentral del espectro de resonancias en 2.226(2) Hz. Con unaevaluación adicional de corrimientos sistemáticos defrecuencia debidos a asimetrías en la cavidad resonante demicroondas, efectos por radiación de cuerpo negro y efectosrelativistas por gravedad se espera obtener unareproducción experimental de la definición del segundo conuna exactitud no menor que partes en 1013.

Referencias

[1] 13a Conferencia General de Pesas y Medidas, 1967.[2] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. Quantum Mechanics(John Wiley & Sons, New York, 1977).[3] Ramsey, N. F. Molecular Beams (Oxford University Press,Oxford, 1956).[4] Vanier, J., Audoin, C. The Quantum Physics of AtomicFrequency Standards (Adam Hilger, Bristol, 1989).

Valor de mF ≠ 0Valor inicial de B0

Cálculo de la frecuenciarespectiva a mF = 0 (ν0)

con la ecuación (7)

νmF = ν0 + ∆νmF,0 (medida)

Cálculo de B0 con laecuación (8)

NO

¿B0 cambió?

SI

FINα

α