ECUACION DE CONTINUIDAD Cuando un fluido fluye por u conducto de dimetro variable, su velocidad cambia debido a que la seccin transversal varia de una seccin de conducto a otra. La ecuacin de continuidad no es ms que un caso particular del principio de conservacin de la masa. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conduccin.Dado que el caudal es el producto de la superficie de una seccin del conducto por la velocidad con que fluye el fluido, tendremos que en dos puntos de una misma tubera se debe cumplir que: Que es la ecuacin de continuidad y donde: S es la superficie de las secciones transversales de los puntos 1 y 2 del conducto. v es la velocidad del flujo en los puntos 1 y 2 de la tubera. Se puede concluir que puesto que el caudal debe mantenerse constante a lo largo de todo el conducto, cuando la seccin disminuye, la velocidad del flujo aumenta en la misma proporcin y viceversa.En la imagen puedes ver como la seccin se reduce de A1a A2. Teniendo en cuenta la ecuacinanterior.

v2=v1. Es decir la velocidad en el estrechamiento aumenta de forma proporcional a lo que se reduce la seccin.

Ejemplo 1. Una manguera de agua de 2.00 cm. de dimetro es utilizada para llenar una cubeta de 20.0 litros. Si la cubeta se llena en 1.00 min., cul es la velocidad con la que el agua sale de la manguera? (1 L = 103 cm3) Solucin: El rea de la seccin transversal de la manguera es

A=r2==cm2=cm2De acuerdo con los datos proporcionados, la tasa de flujo es igual a 20.0 litros/min. Si se iguala esto con el producto Av se obtiene

Av=20.0= v=Si el dimetro de la manguera se reduce a 1.00 cm, y suponiendo el mismo flujo cul ser la velocidad del agua al salir de la manguera? Respuesta: 424 cm/s

Ejemplo 2. El tubo horizontal estrecho ilustrado en la figura, conocido como tubo de Venturi, puede utilizarse para medir la velocidad de flujo en un fluido incompresible. Determinaremos la velocidad de flujo en el punto 2 si se conoce la diferencia de presin P1 -P2.

Solucin: Puesto que el tubo es horizontal , , la ecuacin de Bernoulli aplicada a los puntos 1 y 2 produce

P1+pv12 =P2+pv22Segn la ecuacin de continuidad se tiene que A1V1=A2V2, o bien v1=v2Al sustituir esta expresin en la ecuacin anterior se obtiene=P1+ v22 =P2+22 v2=A1Tambin se puede obtener una expresin para v1 utilizando este resultado y la ecuacin de continuidad. Es decir,V1=A2Como En otras palabras, la presin se reduce en la parte estrecha del tubo. Este resultado en cierto modo es anlogo a la siguiente situacin: Considrese un cuarto atestado de personas. Tan pronto se abre la puerta la gente empieza a salir y el arremolinamiento (presin) es menor cerca de la puerta donde el movimiento (flujo) es mayor.

Ejemplo 3. Un tanque que contiene un lquido de densidad tiene un agujero en uno de sus lados a una distancia y1 desde el fondo. El dimetro del agujero es pequeo comparado con el dimetro del tanque. El aire sobre el lquido se mantiene a una presin P. Determine la velocidad a la cual el fluido sale por el agujero cuando el nivel del lquido est a una distancia h arriba del agujero.

Solucin: Debido a que el fluido est aproximadamente en reposo en la parte superior, punto 2. Al aplicar la ecuacin de Bernoulli a los puntos 1 y 2 y considerando que en el agujero , se obtieneP0++pgy1=pgy2Pero ,de manera que v1=El flujo de agua por el agujero es Cuando P es grande comparada con la presin atmosfrica (el trmino 2gh puede ignorarse), la velocidad de salida del flujo es principalmente una funcin de P. Si el tanque est abierto a la atmsfera, entonces En otras palabras, la velocidad de salida del flujo para un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente desde una altura h. Esto se conoce como la ley de Torricelli.

Ejemplo 4. Calcular la potencia de salida de un aerogenerador que tiene un dimetro de aspa de 80 m, suponiendo una velocidad del viento de 10 m/s y una eficiencia total de 15%. Solucin: Puesto que el radio del aspa es igual a 40 m, el rea de la seccin transversal del rotor es

A==(40m)2=5.0xSi pudiera extraerse 100% de la energa del viento disponible, la mxima potencia disponible sera Potencia mxima=3Como la eficiencia total es de 15%, la potencia de salida es Potencia=0.15(potencia maxima)0.45x106W

En comparacin, una gran planta de turbina de vapor tiene una salida de potencia de 1 GW. En consecuencia, se requeriran 2200 aerogeneradores para igualar su salida a la potencia de la planta de turbina. El gran nmero de generadores requeridos para una salida de potencia razonable es, sin duda, una desventaja fundamental de la generacin elica. Ejemplo 5. La figura muestra cmo la corriente de agua que sale de un grifo se estrecha conforme va cayendo. La superficie transversal A1 es 1.2 cm2 y la de A2 es 0.35 cm2.Los dos niveles estn separados por una distancia vertical h (45 mm). Con qu rapidez fluye el agua del grifo?

Solucin: Considerando que el flujo de volumen es constante,A1V1=A2V2 Por otro lado, aplicando la conservacin de la energa a un elemento del fluido de masa m, entre los 2 puntos, se tiene que K2+U2=K1+U1 Es decir,Al eliminar v2 entre las dos ecuaciones y al resolver para v1 se obtiene que

V1=Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene que v1 = 28.6 cm/s. El flujo = A1v1 = r12v1 = (3.1416)(1.2 cm2)(28.6 cm/s) = 34 cm3/s. Con este flujo, el chorro tardara unos 3 s para llenar un recipiente de 100 mI.

Ejemplo 6Un tinaco a una altura h = 32 m y de dimetro D = 3.0 m suministra agua a una casa. Un tubo horizontal en su base tiene un dimetro d = 2.54 cm (1 pulgada). Para atender las necesidades de la casa, el tubo ha de suministrar agua con una rapidez R = 0.0025 m3/s (cerca de 2/3 de galn por segundo). a) Si el agua fluye con la rapidez mxima, qu presin tendra el tubo horizontal? b) Un tubo ms pequeo, de dimetro d' = 1.27 cm (0.5 in), abastece el tercer piso de la casa, situado a 7.2 m sobre el nivel del suelo. Cules son la rapidez de flujo y la presin del agua en este tubo? No tenga en cuenta la viscosidad del agua.

Solucin: (a) Aplicamos la ecuacin de Bernoulli a lo largo de la lnea de corriente ABC que se ve en la figura. En los puntos A y B, se tiene que

PA+A2+pgh=pB+B2+0En A la presin pA = p0, la presin atmosfrica. Para la presin en B se obtiene pB=p0+pgh+Por otro lado, considerando que el flujo es constante, se tiene que vAAA = vBAB = Flujo. Considerando el valor del flujo ( = 0.0025 m3/s) y las reas en cada punto, las velocidades en cada punto son

VA=m/s VB=Ntese que el trmino en la expresin de pB es muy pequeo comparado con el trmino .En otras palabras, la rapidez del flujo en la parte superior del tanque es muy pequea, debido a su enorme superficie transversal. Ahora se obtiene para la presin en el punto B .pB=1.01X105Pa+(1.0x103kg/m3)(9.8m/s2)(32m) -0.5(1.0x103kg/m3)(4.9m/s)2 =1.01x105Pa+3.14x105Pa-0.12x105Pa=4.03x105Pa.

Si el agua en el tubo horizontal no fluyera (es decir, si la vlvula estuviera cerrada), la presin esttica en B incluira slo los dos primeros trminos, lo cual es igual a 4.15 x 105 Pa. La presin cuando el agua fluye se reduce de este valor esttico en la cantidad correspondiente a la presin dinmica. (b) Si se quiere que el tubo ms estrecho que conduce al tercer piso tenga la misma rapidez de flujo, la velocidad en C deber ser

vc=es decir, cuatro veces el valor en B. Por otro lado, aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y C se obtiene

pA+ o bien pc=p0+ pc=1.01x105Pa+(0.5)(1.0x103kg/m3)(19.7m/s)2 +(1.0x103kg/m3)(9.7m/s29(32m-7.2m)Dada la mayor velocidad de flujo a travs del tubo ms pequeo, la contribucin dinmica a la presin es mucho ms grande en C que en B. Los efectos estticos y dinmicos tienden a aminorar la presin en este lugar en relacin con B.

TIPOS DE FLUJO O REGIMEN Regimen estable ,permanente o estacionario : cuando un punto cualquiera , la velocidad de las sucesivas particulas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma . pero puede variar de un punto a otro ,es decir ser variable respecto de llas coordenadas espaciales .Flujo uniforme : tiene lugar cuando el modulo la direccion y el sentido de la velocidads no varian de un punto aotro del fluido.Flujo rotacional: los liquidos en depositos que estan girando constituyen un ejemplo en las que la velocidad de cada particula varia en proporcion directa a la distancia del centro de rotacion.Flujo laminar : las particulas fluidas se mueven segn trayectorias paralelas formando el conjunto de las laminas o planos paralelos .los modulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismo valor Flujo turbulento : cuando las particulas del fluido se mueven de forma desordenada en todas las direcciones.EJERCICIOSDos fluidos se mezclan en forma homognea quedando burbujas en la suspensin. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total de 1.2 lit. Si las densidades y masas de cada fluido son P1=1gr/cm3, m1=600gr, p2 =0.8gr/cm3 y m2=400gr1. considerando despreciable la masa del aire en las burbujas, calcule:a) El volumen total de las burbujasb) La densidad de la mezcla.

Solucin inciso a): El volumen de la mezcla est dado por la suma de los volmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas, B.

Despejando VB, obtenemos

VM = 1200 cm3, el volumen de la mezcla es dato; y los volmenes de los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema de la siguiente forma:

v1=m1/p1=600gr/1cm3=600cm3V2=m2/p2=400gr/0.8gr/cm3=500cm3

Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:

Solucin inciso b): La densidad de la mezcla est dada por la masa de la mezcla entre el volumen de la misma.

2. Se mezclan homogneamente tres fluidos, cuyas fracciones de volumen y densidades son X1 = 0.435, 1 = 1.2 gr/cm3; X2 = 0.46, 2 = 0.85 gr/cm3 y X3 = 0.105, 3 = 1 gr/cm3, respectivamente. Si el volumen de la mezcla es VM = 766.27 cm3, calcular:a) La densidad de la mezcla.

Solucin: La densidad de la mezcla est dada por

Sustituyendo m = V, se obtiene

3. Se realiza una aleacin de oro y cobre, en proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensiones de 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular:a) La densidad de la aleacin,P L =?b) El quilataje del oro en la aleacinNota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleacin.

Solucin:

a) Utilizando la ecuacin 1.1 que define la densidad de un cuerpo, , donde mM y VM son datos del problema con los que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.

b) Para obtener el quilataje necesitamos saber el porcentaje de masa de oro en el lingote, para lo cual utilizamos la ecuacin 1.10, desarrollada con el propsito de conocer, la fraccin de volmenes de los componentes en la mezcla, y obtener el porcentaje de masa del componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos remitimos al ejemplo 4 de esta misma seccin, en donde observamos que hemos hecho este mismo ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro en la muestra. Utilizando la ecuacin 1.12 de ese ejercicio, obtenemos que el porcentaje de oro est dado por:

Con las respectivas fracciones de volumen del oro y del cobre en la aleacin.Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos:

Por lo que despejando la fraccin de oro en la mezcla, XAu:

Despejando la masa de oro, de la ltima ecuacin:

Por lo que el porcentaje de oro en la muestra ser XAu %= 5.712Kg/12Kg = 47.6%.Es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleacin, por lo que sus quilates sern: , entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje de oro calculado son:

Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen de la mezcla y las densidades de los componentes, la no fue necesario calcular el porcentaje del cobre para obtener los quilates de oro.