Correlación

Al igual que la convolución, la correlación es una operación básica del procesamiento de imágenes digitales. La correlación es la operación básica en los procesos de búsqueda de patrones por emparejamiento. Por tanto, disponer de algoritmos que calculen de una forma eficiente estas operaciones es del mayor interés

La correlación es una operación matemática que permite cuantificar el grado de similitud entre dos señales, aunque aparentemente no haya evidencias de coincidencia temporal entre ellas. Su aspecto recuerda la forma de la convolución: formalmente, la diferencia entre ambas operaciones está en el signo ( reflexión temporal) de uno de los operandos. Sin embargo, las propiedades y aplicaciones de las operaciones de convolución y correlación son distintas.

La principal aplicación de la convolución era la de determinar la respuesta de sistemas a una cierta entrada, operación que puede efectuarse más simplemente en el dominio transformado para sistemas LTI( transformadas de Fourier y de Laplace ó Z según el caso). En la descripción y el análisis de señales la correlación juega un papel muy distinto y muy importante, teniendo un amplio abanico de aplicaciones: la geología, la medicina, la economía.

En primer lugar nos centraremos en el estudio de señales deterministas, donde es más fácil ver los conceptos de correlación y de densidad espectral; posteriormente extrapolaremos estos conceptos a las señales aleatorias.

Una herramienta útil en análisis de señales y sistemas es la correlación. La correlación obtiene información sobre las señales en base a promediados temporales y su transformada de Fourier permite obtener funciones de Densidad Espectral de Energía o Potencia, dependiendo de las características de las señales y sistemas bajo estudio. Esta propiedad es particularmente interesante puesto que la información puede obtenerse incluso si la señal carece de Transformada de Fourier. Las herramientas basadas en correlación de señales y su transformada de Fourier, son básicas en el análisis de procesos.

La correlación-cruzada (o simplemente la correlación) entre las señales x(t) y g(t) es definida como

Rxg (τ ) = ∫ x(t +τ ) g* (t)dt

Una vez más, a menos una de las dos señales deberían ser señales de energía para que la integral de correlación sea finita.La medida de la función de correlación es la similaridad entre dos señales. El valor pico de Rxg(t) y su dispersión alrededor del pico es una indicación de una buena similaridad.

La integral de correlación puede ser calculada usando la FTRxg(t) = F–1{X()G*()}.

Cuando las señales x(t) y g(t) son señales de potencia, la integral de correlación llega a ser infinita y así, el tiempo promedio debe ser incluida. Más precisamente, t/2Rxg (t) =1/T∫ x(t +τ ) g* (t)dt -t/2Determinar la función de correlación cruzada, C (t), para las dos señales : x(t) = exp (i.w1t) e y(t) = exp(i.w2t) Respuesta

La función de correlación cruzada, C (t), para la señal de entrada y la señal de salida se define por:

Para nuestro caso se tiene:

Pasando al límite tenemos :

puesto que sen(x)/(x) tiende a 1 , cuando x tiende a 0.

Correlación en una dimensión en Matlab

Ejemplo de auto correlación:La primera aplicación de la correlación de una señal es determinar las posibles repeticiones de la señal. Para comprobar este punto se va a generar una señal seno con frecuencia de 100Hz con amplitud uno y muestreada a 1kHz. Se determina la autocorrelación de esta señal normalizada a uno y se representa junto a la secuenciaCódigo Matlab%Generación de la señaln=0:99;x=cos(2*pi*n*0.1);%Cálculo de la correlacióny=xcorr(x,’coeff’);%representación de las dos señalessubplot(211),stem(x)subplot(212),stem(y)

Se observa que la auto correlación tiene una longitud doble a la señal temporal. Este hecho se debe a que los desplazamientos pueden ser positivos o negativo. El índice central

corresponde a un desplazamiento cero y corresponde con el valor máximo de la correlación.

Ejemplo de correlación cruzadaLa segunda aplicación es la determinación del desfasamiento entre dos señales. Para probarlo en Matlab generamos dos señales sinodales con frecuencia de 50Hz, amplitud uno y desfadas 90° y se determina la correlación cruzada de ellas.Código de Matlab% Generación de las señalesN=0:99;x=cos(2*pi*n(50/1000));y=cos(2*pi*n*(50/1000)+pi/2);% Determinación de la correlación cruzadaZ=xcorr(x,’coeff’);Zz= xcorr(x,y,’coeff’);% Representación de las señalessubplot(211),stem(z)subplot(212),stem(zz)

La correlación cruzada nos ayuda a determinar cuándo las señales estarán en fase, que ocurrirá en los máximos de dicha correlación. Utilizando las gráficas obtenidas medimos el desfase entre las dos señales. Tomamos el primer máximo que en este caso N=5(100-95), sustituyendo en la expresión del desfase obtenemos:

Correlación 2D en Matlab

Comando “xcorr2”

• Sintaxis:

xcorr2(A,B); donde A y B son matricesxcorr2(A)=xcorr(A,A)

• Descripción:

El comando xcorr(A,B) regresa la correlación de las matrices A y B. Si la matriz A es de tamaño Ma x Na y la matriz B es de tamaño Mb x Nb la matriz resultante será de tamaño (Ma+Mb-1) x (Na+Nb-1)

Ecuación Discreta

• La ecuación para la correlación discreta de dos dimensiones es:

Donde

y

Bibliografía:Emilio Soria Olivas, M. M. (2003). Tratamiento digital de señales Problemas y ejercicios resueltos.

Valencia: Pearson Prentice Hall.

John G. Proarkis, D. G. (1998). Tratamiento digital de señales. Madrid: Prentice Hall.