Corte 2015 b

03/11/15 Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – ENERGÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA

Curso: Resistencia de Materiales I (M 5122) PERIODO ACADÉMICO 2015-B

Teoría sobre Corte Transversal Cuando se cala un pequeño elemento de viga de su sección transversal, éste está sometido tanto a esfuerzo cortante transversal como longitudinal. Ello se puede apreciar en la fig. 1. En este tema se estudiará cómo las cargas actuantes en una viga recta produce esfuerzos cortantes.

Fig. 1. Elemento de viga sometido a esfuerzo cortante longitudinal y transversal.

Deducción de la Fórmula del Esfuerzo Cortante

Fig. 2 Tomemos un muy pequeño tramo de longitud dx de la viga recta de la fig. 2, según se muestra en la fig. 3, cuyo diagrama de cuerpo libre se muestra también. Se debe recordar que, según la fig. 1, las capas superiores encima de la capa neutra de la viga se encuentran a tracción y las capas inferiores se encuentran a compresión. Ahora se tomará la capa sombreada de la fig. 4, cuyo diagrama de cargas se aprecia en la fig. 5, y cuya vista de perfil se aprecia en la fig. 6. Considerando que para que el equilibrio tenga lugar debe actuar sobre la cara inferior de la sección un esfuerzo cortante longitudinal ττττ, al

aplicar equilibrio de fuerzas en la dirección x se tiene:

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

ω


Fig. 6

)(

0)(

0)('

0

'

' '

''

tdxydAI

dM

tdxydAI

MydA

I

dMM

tdxdAdA

F

A

A A

AA

x

τ

τ

τσσ

=

=−

−

+

=−−

=

∫

∫ ∫

∫∫

∑

Despejando τ:

∫='

1

A

ydAdx

dM

Itτ (*)

Se sabe que: ��

�� , AyydA

A

=∫'

= Q, donde:

Q = Momento de primer orden del área en corte. t = Ancho total de la sección en corte. En (*) se obtiene:

� ��

(I)

A partir de esta relación podemos hallar la tendencia de τ para cada tipo de sección transversal, así como su valor máximo, indicando su posición. PRIMER CASO: Sección rectangular

Fig. 7

Fig. 8

byh

byh

yh

yAyQ

−=

−

−+==

22

42

1

222

1

Al aplicar la fórmula (I) se tiene:

)(4

16

12

1

42

1.

2

3

22

Ih

y

bh

V

bbh

byh

V

−=

−

=τ

En primer lugar se observa que τ se distribuye en forma parabólica; asimismo, τmáx tiene lugar para y = 0. Luego:

��á � 1,5�

�

Es decir, 50% mayor que el esfuerzo cortante pro-medio en una sección similar.

SEGUNDO CASO: Sección circular

Fig. 9

t


( ) 2/322

22

3

2

2

yR

dyyRytydyQR

y

R

y

−=

−== ∫∫

En la fórmula (I):

( )( )

(II)134

2.4

3

2.

2

2

2/1224

2/322

−=

−

−=

R

y

R

V

yRR

yRV

π

πτ

Se observa que τ también se distribuye en forma parabólica en esta sección; asimismo, τmáx tiene lugar para y = 0. Luego:

��á �4

3

�

�

Es decir, 1/3 mayor que el esfuerzo cortante pro-medio en una sección similar. TERCER CASO: Sección triangular isósceles

Fig. 10

+

−=

−+

−==

33

2

3

3

2

3

1

3

2

2

1

hyyh

t

yhyyh

tAyQ

En la fórmula (I):

tbh

hyyh

tV

.36

33

2

3.

3

+

−=τ

)(33

262

IIIh

yyhAh

V

+

−=τ

τ sigue siendo de forma parabólica en esta sección. En este caso, τmáx tiene lugar para y = h/6. Luego:

��á � 1,5�

�

Flujo de Corte en Secciones Simétricas de Pared Delgada Los perfiles de muchas vigas de uso común están diseñados para ser más eficientes en flexión y en corte que secciones macizas como rectángulos y círculos. En las siguientes figuras se muestran secciones típicas.

Fig. 11 Fig. 12

Fig. 13

Fig. 14


Fig. 15

Fig. 16

En todos los casos se hace necesario desarrollar expresiones para el que en adelante se llamará flujo de corte (q), con el fin de analizar la forma cómo se distribuyen los esfuerzos cortantes sobre la cara de la sección transversal al transmitir una fuerza cortante V.

Caso 1: Perfil de ala ancha sometida a corte Al tomar un pedazo A del ala superior del perfil, cuyas dimensiones se dan en la fig. 18, al evaluar su estado equilibrio (fig. 19), se tiene:

Fig. 17

Fig. 18

(*)0)(

0)(

0)(

0

corte

=τ+−

=τ+σ=−++

=∑

tdxdAI

My

tdxdA

FFdFF

F

zx

z

zxx

x

Fig. 19

Sabiendo que: ydA = Q, dM/dx = V, y haciendo

ττττxzt = q = flujo de corte, (*) queda como:

z

z

I

VQq =

En el caso expuesto: ystQz )(= , así, la fórmula

anterior queda:

sI

yVtq

z

=

lo que significa que a lo largo del ala del perfil el flujo de corte varía linealmente con s, y por tanto el esfuerzo cortante, mientras que a lo largo del alma dicho esfuerzo tiene la forma parabólica, dada en (I). En la fig. 20 se muestra la variación de éste.

t

F + dF

F

Fcorte


Fig. 20. Variación de los esfuerzos cortantes en una viga de ala ancha. Las flechas muestran el sentido en que el flujo de corte tiene lugar cuando la viga está cargada con una fuerza cortante.

Caso 2: Perfil tipo T

Fig. 21

NOTA FINAL

Fig. 22. Debe notarse que en una viga en voladizo, montada según se muestra, la carga debe estar aplicada no en el centroide como se vió antes, sino en el centro de corte (S), gracias a lo cual se evita que la sección sufra los efectos de la torsión.


ANEXO: PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CORTE TRANSVERSAL Fuente: Mecánica de Sólidos; Conceptos y Aplicaciones, por William B. Bickford. Primera edición, 1995. Editorial Irwin, Madrid, España.


Fuente: Mecánica de Materiales, por Madhukar Vable. Primera edición, 2003. Editorial Oxford University Press, México.


FIN

Corte 2015 b

Documents

Transcript of Corte 2015 b