Cosmología

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Papel de la RG en cosmología A la escala más grande, la gravedad gobierna la estructura y evolución del

universo. Se trata de explicar las siguientes OBSERVACIONES:

COMPOSICIÓN DEL UNIVERSO Estrellas, gas y polvo en estructuras ligadas gravitatoriamente (galaxias,

cúmulos). Materia oscura (¿hecha de neutralinos o de otras cosas?) Radiación difusa (fondo en diferentes dominios espectrales) Energía de vacío (energía oscura, quintaesencia, ...)Llamaremos [materia] radiación a las partículas con masa en reposo [no] nula

(fotones, gravitones, a veces incluiremos neutrinos)

EXPANSIÓN DEL UNIVERSO

MAPA DEL UNIVERSO A GRAN ESCALAUniverso isótropo y homogéneo (densidades uniformes de galaxias, radiación y

energía de vació)

Composición del universo Galaxias (estrellas, gas y polvo)

~1011 estrellas, ~1012 Msol, ~1011 galaxias en nuestro universo visible

densidad de materia visible hoy (t0) ~ 10- 31 g/cm3 Radiación difusa (no agrupada en grumos ligados

gravitatoriamente) CBR:cuerpo negro con T=2.725K, evidencia del Big Bang Otros fondos menos densos

Materia oscura (la mayor parte de la materia)Velocidad radial esperada

V(r) medidas implican halo de materia oscura ~10 MvisPosible localización: BH, estrellas débiles, nuevos tipos de

partículas: WIMPs, neutralino, ... Energía de vacío (energía oscura)

Incluso el espacio vacío puede tener densidad de EConstante aditiva: no cambia Newton pero curva ET en RGCurvatura resultante detectable por su efecto en expansión

mvis t 0~10−31 g/cm3

CBR t0~10−34 g /cm3

G M r r2

=V 2r

r⇒V r ~r−1 /2 r≥Rvis

Expansión del universo Redshift cosmológico de galaxias fuera del Grupo Local

se puede interpretar como “efecto Doppler en ET plano”

Para galaxias: suficientemente cercanas para que efecto de curvatura

ET no sea importante y el universo no se haya expandido significativamente durante viaje de luz

y suficientemente lejanas para que la velocidad de expansión domine velocidades locales adquiridas por atracción gravitatoria con galaxias vecinas

Se observa (Práctica 1) que:

Pero ley (relación fenomenológica) de Hubble no implica que la Vía Láctea sea el centro del universo (pastel pasas)

Se puede usar para medir las distancias más lejanas Suponiendo v=cte: pero las

velocidades de las galxias han debido cambiar por dinámica gravitatoria (y no había galaxias al principio)

z≡ =vc v≪c

V ∝d , V =H 0dH0=72±7km / s/ Mpc

t H≡1 / H0~14×109años

La escalera de distancias

108 años-luz1010109107106

100000100 1000 1000010

Universo observable

Vía Láctea

Grupo local de galaxias

Supercúmulo local de galaxias

Paralaje

candelas Cefeidas

Supernovas

ley de Hubble

Usamos candelas estándar hasta ~350 Mpc para hallar H0. Después usamos Ley de Hubble con el H0 conocido para hallar distancias

cosmológicas, que hará falta corregir de la curvatura del ET y su evolución en el tiempo.

Mapas del universo (radiación) Estructura a gran escala:

ISOTROPÍA y HOMOGENEIDAD Mapas D,T vs posición angular

ISOTROPÍA (mapa de radiación)t ~ 300 000 años: recombinación da materia neutra

y transparente (H, He)T~ 3000 K CBR enfriado hoy hasta 2.73 KCOBE, WMAP: la imagen más cercana al Big Bang anisotropía mK: movimiento del sistema solar

respecto del SR en el que la radiación es casi perfectamente isótropa

anisotropía microK: radiación de nuestra propia Galaxia

anisotropía 10-7K: fluctuaciones que hicieron posible la formación de cúmulos y galaxias

Mapas del universo (materia) HOMOGENEIDAD (mapa de galaxias) Rastreos SDSS, 2dF: posición y espectro

de muchas galaxias

Se observa (Práctica 2) estructura de vacíos (voids), filamentos y paredes pero a una escala mayor el universo se muestra homogéneo (no parece que estemos en un lugar especial)

z≥0.02

Modelos cosmológicos

Métricas de espacio-tiempos isótropos y homogéneos (FRW) z cosmológico, factor de escala y constante de Hubble Densidades de materia, radiación y energía oscura Evolución para modelos FRW espacialmente planos Big Bang, edad y tamaño del universo Evolución para modelos FRW con curvatura espacial (abiertos o cerrados) Dinámica del universo: densidad crítica, soluciones y parámetros cosmológicos

Métricas FRW Modelos cosmológicos más simples: materia y radiación como fluído con

distribución de densidad uniforme en el espacio. Isotropía y homogeneidad son simetrías del espacio (no del ET): familia de

proyecciones (rodajas) espaciales tridimensionales cuya peculiaridad es tener una geometría espacial isótropa y homogénea.

Su métrica más general contiene un subespacio 3D puramente espacial (iso+homo, con o sin curvatura) independiente del tiempo:

El factor de escala depende únicamente del tiempo (es creciente si el universo se expande). Si obedece a la Ecuación de Einstein, tenemos un modelo de Friedman-Robertson-Walker.

La métrica más simple no tiene curvatura (RW espacialmente plana):

Coordenadas comóviles (x,y,z): toda galaxia las mantiene invariables porque si no habría direcciones privilegiadas; para la radiación, este sistema en reposo es aquél en el que la temperatura del CBR no muestra anisotropía dipolar.

Distancia comóvil entre dos galaxias: Distancia física:

ds2=−dt 2a2 t d 2

d 2=dX 2dY2dZ2

dco= x2 y2 z2d t =a t dco

Relación z, a(t), H(t) Redshift cosmológico: cambio en la energía de un fotón (quieto en SR comóvil)

debido a la dependencia temporal a(t). Ej.: emisor en r=R y receptor en r=0

Luz propagada radialmente:

Pulso corto respecto tiempo de viaje:

Galaxia cercana (recepción en t0)Su luz tarda en llegarnos

Ley de Hubble (galaxias cercanas)

Tiempo de Hubble es cota inferior de edad univ. si A menudo se usa

ds2=−dt 2a2 t [dr2r2d 2sen2 d2]

0=−dt2a2t dr2 ⇒ dr = dtat ⇒ R=∫t et o dt

a t e=2/dt e , dt e≪t e , dto≈dt e

∫t edt et odto dt

a t ≈∫t e

t o dtat

=R ⇒dt o

at o−

dt eat e

=0 ⇒eo

=at oat e

=oe

=1z

d t 0=a t 0 dco t 2≈a2t 0dco

2 ... d= t=t 0−t e

e0

=at eat 0

=a t0−d

at 0≃1−

ȧt 0at 0

d

a t 0−d ≃a t 0− ȧt 0d

z=ȧ t0a t0

d H0≡H t0≡ȧ t0a t0

ä t0h≡ H 0/100

Primera ley termodinámica Materia y radiación interaccionaron en el origen del universo pero después han

evolucionado de manera independiente. El fluido de galaxias se puede modelizar como un gas sin presión puesto que su

energía térmica (movs. aleatorios ~ 100 km/s) es despreciable frente a su masa en reposo.

Por homogeneidad, sólo dependen del tiempo, relación con a(t).

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICANo hay flujo espacial de calor (por homogeneidad)

m ,r ,

dE=d V =dQ− pdV =− pdVV =a3t V co

x , y , z V co≠ f t

d a3V codt

=−pd a3V co

dt⇒ d

dt[t a3t ]=− pt d

dt[a3t ]

Densidades de energía MATERIA (pm=0)

RADIACIÓNGas cuerpo negro ( ) fuerza/área = energía/volumen

Como sabemos (Stefan-Boltzmann-Planck) que QQ Calcular cuándo estuvo el universo dominado por radiación

ENERGÍA OSCURA (la única que no decrece con expansión)Ni signo ni valor conocidos. La suponemos constante en espacio y tiempo.

(hace falta trabajo para expandir)

ddt m a

3=0 m a3=cte ⇒ m t =mt 0[ at 0a t ]

3

pr=13 r

ddt

r a3=

−r3

ddt

a3 ⇒ 43

rda3

dta3

d rdt

=0 ⇒4r a3 da

dta4

d rdt

=0=d r a

4dt

r a4=cte ⇒ r t =r t0[ at 0a t ]

4

r ∝T4 ⇒ T t =T t 0

at 0a t

a t 0/a t

=cte ⇒ p=−

Evolución en modelos planos Partimos, sin deducirla, de una consecuencia de la Ec. Einstein:

Ecuación de Friedman para universos espacialmente planos

Evaluándola en el momento actual se obtiene la densidad crítica:

Las fracciones relativas actuales serán:

Y para los modelos planos ( ): Soluciones a(t), k a(t) indistinguibles. Normalizaremos eligiendo:

que deja la ecuación de Friedman en una forma que recuerda a la de una partícula de energía nula en un potencial newtoniano unidimensional:

R −12 g R=8G T ⇒ ȧ

2−83 a

2=0

H 02−8

3=0 ⇒ cr≡

3H02

8=1.88×10−29h2 g /cm3

m≡m0cr

; r≡r0cr

; ≡0cr

≡mr=1=cr

a t 0≡1 ⇒ a=cr ma3 ra4

12H0

2 ȧ2U ef a=0 , U ef a≡

−12 ma ra2 a2

Soluciones Caso

Dom-Mat

Dom-Rad

Dom-Vac

Ilustrativo

QQ Comprobar y representar Rad decae más rápidamente que Mat

[m ,r , ;a t ]

[0,1,0; tt 0 1 /2]

[0,0,1; eH t −t0 ]

[1,0,0 ; tt 0 2 /3]

[ 13 , 13 , 13 ]

Edad y tamaño del universo Big Bang a(t)=0: singularidad , explosión en todo el espacio en un

instante dado (t=0). Edad (t0) del orden del tiempo de Hubble (con corrección por aceleración) Tamaño: infinito si universo FRW plano. Volumen de rodaja espacial plana con

t=cte es infinito. Radio espacial del universo observable (región de la que podemos recibir info)

Coordenadas ET en las que luz se mueve en ldm de pendiente unidad (conformal)

Para luz radial Máximo radio comóvil visible desde : Distancia al horizonte cosmológico:

Dom-Mat

Dom-rad

m=∞=r

R≈d H≡c t H=2998 h−1 Mpc

dt=at d ⇒ ds2=a2[−d 2dr2r2d 2sen2 d2]

ds2=a2−d 2dr2=0rhor t =∫0

t0 dt 'a t '

dhor t =a t rhor t =at∫0t dt '

at ' a t = tt 0

2 /3

⇒ dhor t =3t

a t = tt 0 1 /2

⇒ dhor t =2tdhor t 0≃14Gpc

Espacios FRW curvados

d 2=d2sen2d 2sen2d 2

d 2=dx2dy2dz2

d 2=d2senh2d 2sen2d 2

X =sen sencosY =sen sen sen Z =sen cos

W=cosds2=dW 2dX 2dY 2dZ 2

X =senh sen cosY =senh sen sen Z =senh cos

T =cosh

ds2=−dT 2dX 2dY 2dZ2

W 2 X2Y 2Z2=1

−T 2 X2Y 2Z2=−1

0≤≤

ds2=−dt 2a2 t [ d2 2 d 2sen2d 2 ]sen2

senh2

sen

senh r≡

1

−1K= 0ds2=−dt 2a2 t [ dr21− Kr2r2d2sen2 d2]

Extensión de 2-esfera a 3-esfera (pasando de 2 a 3 ángulos polares)

CPACPA

C

P

A

Generalizamos Ec. Friedman (conexión evolución temp. con geometría esp.)

Los parámetros (cosmológicos) determinan si el universo es cerrado, plano o abierto.

no se puede medir localmente

Renormalización a variables adimensionales:

Evolución en modelos curvados ȧ2−8 3 a

2=−K

H 02−8 03

=−Ka02 ⇒

3H02

8−0=

−38a0

2 K0cr =3H028 ⇒ K00cr =3H028 ⇒ K0H 0 ,0

≡0/cr ⇒ = 1 1

1

a0≡a t 0 ⇒ a t ≡a t a0

= 11z

t ≡ tt H=t H 0 r t =r t 0[ at 0a t ]

4

=r cra4t

cur≡−K

H0a02 ⇒ 1−

803H0

2 =−K

H 0a02=cur

1=8 03H0

2 cur=0cr

⇒ mrcur=1

12 d ad t

2

U ef a=cur2

, U ef a≡−12 ma ra2 a2

C

A

Ecuación de Friedman renormalizada

Secuencia de soluciónH 0 ,m ,r ,

∫ d acur−2 U ef=∫ d t

H 0 t ta0 cur=

−KH 0a0

2

a t = 1H 0∣cur∣

aH 0 t

a=1

t 0=t 0H0

t 0a t = a

t a t 0

=1 si t=t 0

1) Especificar los 4 parámetros cosmológicos: 2) Resolver (numéricamente) la Ecuación de Friedman renormalizada con las 3

omegas:

3) Deshacer la renormalización usando para pasar de y hallando gracias a:

con lo que hemos obtenido la evolución a(t).

4) Hallar nuestra localización temporal buscando cuándo ya que:

Pasamos al momento no renormalizado

Es decir, los 4 parámetros determinan la edad actual del universo y su evolución.