Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Cifrados...

Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder

Cifrados polialfabéticosCifrados polialfabéticos

Los métodos de cifrado en los que se sustituye un carácter por otro fijo se pueden atacar

realizando un ataque de frecuencias.

Una forma de evitar esto es usar un cifrado polialfabético.

En los cifrados polialfabéticos la sustitución que se aplica a cada carácter varía en

función de la posición que ocupa dentro del texto plano.

En realidad corresponde a la aplicación cíclica de n cifrados monoalfabéticos.

Vamos a estudiar uno de estos métodos


Cifrado de VigenèreCifrado de Vigenère

Johannes Trithemius (1462-1516) y Giambattista della Porta (1535-1615) contribuyen pero es Blaise de Vigenère (1523-1596) el que desarrolla el criptosistema hasta su forma final.

Al principio su interés por la criptología se debía a su trabajo como diplomático.

Con 39 años, Vigenère comenzó a examinar detalladamente las ideas de sus predecesores, tomando contacto con los textos de Alberti, Trithemius y Della Porta

Transformó estas ideas en una cifra poderosa y coherente que por eso lleva su nombre.

En 1586 publica el Traité des chiffres où secrètes manières d'escrire, en el cual propone su célebre tabla de sustitución.

J. Trithemius G. Della Porta

Blaise de Vigenère


Ejemplo Cifrado Polialfabético: Della Ejemplo Cifrado Polialfabético: Della PortaPorta

En la tabla de Della Porta aparece la primera sustitución bigrámica de la historia de la criptologíaSe necesita una tabla de 26 x 26 (alfabeto inglés) que se rellena con símbolos diferentes El alfabeto se escribe dos veces en el borde externo de la tabla: una vez de izquierda a derecha y otra de arriba hacia abajoPara cifrar se sustituye un símbolo por un par de letras en el texto claro. Por ejemplo,

CA

SA


Cifrado Della PortaCifrado Della Porta

Aunque parece que con este método se evita el ataque por frecuencias, en la tabla se observa que algunas columnas dan pistas que facilitan la labor de los criptoanalistas. Para complicar un poco la acción de desencriptación actualmente se utilizan números (1 a 26x26 = 736) escritos aleatoriamente en la tabla

En el De furtivis literarum notis Della Porta presenta un disco cifrante, el segundo después del disco de Alberti.

El disco interno contiene una serie de símbolos que se pueden utilizar para el cifrado.

El disco externo posee un alfabeto ordenado, donde cada letra se acompaña por el número romano correspondiente.

Para generar los alfabetos para cifrar se alinean los símbolos con las letras.



El cifrado de Vigenère es una generalización del Código de Cesar, pero en

lugar de desplazar cada letra un número fijo de posiciones para obtener la

letra cifrada, el desplazamiento es variable y determinado por una frase o

palabra (clave)

La fuerza de este cifrado es que la misma letra se cifra de maneras

diferentes. Así es inútil el análisis de frecuencia de las letras.

Este método resistió por tres siglos a los criptoanalistas, sin embargo

actualmente es fácil de romper gracias a un método desarrollado

independientemente por Babagge y Kasiski.

Una mejora sobre el cifrado de Vigenère es el sistema de Vernam,

utilizando una clave aleatoria de longitud k igual a la del mensaje. La

confianza en este nuevo criptosistema hizo que se utilizase en las

comunicaciones confidenciales entre la Casa Blanca y el Kremlin, hasta,

por lo menos, el año 1987.



Primer paso: escribir la tabla

de Vigenère

Cada línea es un alfabeto

desplazando una letra con

respecto a la línea anterior.

Se puede utilizar cualquiera de

los 26 alfabetos para cifrar el

mensaje, en el orden que se

desee.


Cifrado de Vigenère: EjemploCifrado de Vigenère: Ejemplo

Queremos codificar la frase: Más vale tarde que nunca

La clave del sistema de cifrado de Vigenère es una palabra elegida con

cuidado para que no sea fácil descifrar el mensaje. Vamos a usar la clave

olas

El mensaje a cifrar se descompone en bloques de longitud igual a la

longitud de la clave (en bloques de longitud 4)

A cada uno de estos bloques le aplicamos la clave y asociamos una nueva

letra utilizando la tabla de Vigenère.

Texto claro: MAS VALE TARDE QUE NUNCA

Criptograma: ALSÑOVEMOCDWFFEFJXCS

¿Cómo se llega a este criptograma?



http://www.xtec.es/~jjareno/activitats/criptologia/vigenere.htm

TEXTO CLARO: MAS VALE TARDE QUE NUNCA

CLAVE: OLAS



Si se cifra con este método hay que tener en cuenta:

– la clave debe ser suficientemente larga y difícil de adivinar

– los caracteres deben estar en el alfabeto

– Es frecuente que los ficheros empiecen por los mismos

bytes, un atacante puede calcular algunos caracteres de la

clave, y podrá descubrir el contenido del fichero

– Con ficheros grandes el algoritmo puede ser un poco lento e

ineficaz

Puedes cifrar tus mensajes con este método en:

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/javas/vigenerejm2.htm


¿Qué clave es mejor?¿Qué clave es mejor?

¿Cual de las claves son más adecuadas para un cifrado de Vigenère? ¿Por

qué

CERO,

COMPADRE,

OLA,

PAPA,

UNO Compadre mejor que cero

Cero mejor que papa

¿ola y uno?


Beaufort: Variante de VigenèreBeaufort: Variante de Vigenère

Cifrado ideado por el almirante

ingles Sir Francis Beaufort, basado

en la misma tabla de Vigenère y

una clave, pero ahora se restan la

letra original y la clave.

Ejemplo:

Texto: ES MUY PARECIDO AL

ANTERIOR

Clave: cifra

Veamos como se hace para el

primer bloque

Texto cifrado: YQTXC NIONY UFRRP

CVMNJ UUO

C I F R A

2 8 5 17 0

E S M U Y

4 18 12 20 24

-2 -10 -7 -3 -24

24 16 19 23 2

Y Q T X C

http://www.apprendre-en-ligne.net/crypto/vigenere/beaufort.html


Variante alemana de VigenèreVariante alemana de Vigenère

También existe una variante alemana: se resta al texto en claro la llave

http://serdis.dis.ulpgc.es/~ii-cript/PAGINA%20WEB%20CLASICA/CRIPTOGRAFIA/POLIALFABETICAS/Variante-%20Alemana%20Beafout.htm

Resumiendo los tres cifrados los podemos representar en el esquema:

VIGENERE BEAUFORT ALEMAN

Texto claro+

Clave

Clave-

Texto Claro

Texto claro-

clave

Texto cifrado Texto cifrado Texto cifrado


Otra variante: Cifra GronsfeldOtra variante: Cifra Gronsfeld

Altera la frecuencia de aparición de las

letras, en forma parecida a la que se ve en

el Manuscrito Voynich (misterioso libro

ilustrado de contenidos desconocidos,

escrito hace unos 500 años por un autor

anónimo en un alfabeto no identificado y en

un idioma incomprensible denominado

voynichés)

El manuscrito ha sido objeto de intensos

estudios por numerosos criptógrafos

profesionales y aficionados, incluyendo

destacados especialistas en descifrados de

la 2ª Guerra Mundial

Fragmento del manuscrito Voynich

Nadie ha logrado descifrar una sola palabra. Esta sucesión de fracasos hace que se hable del misterioso manuscrito; pero ha alimentado también la teoría de que el libro no es más que un elaborado engaño, una secuencia de símbolos al azar sin sentido alguno.


Cifrado de GronsfeldCifrado de Gronsfeld

Una de las tablas que se usaban antes de la era de los ordenadores para hacer un cifrado de este tipo.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0: C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B

1: D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

2: F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E

3: H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G

4: L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

5: N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

6: R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

7: T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

8: X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

9: C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B

Ahora tenemos una serie de dígitos como clave. Con esta clave codificamos el texto utilizando el alfabeto desordenado que corresponde con cada dıgito de la clave, asi conseguimos que este metodo sea resistente al analisis de frecuencias.


Rompiendo el Cifrado de Rompiendo el Cifrado de VigenèreVigenère

El método resistió tres siglos a los criptoanalistas

Actualmente es fácil de romper gracias a un método desarrollado de forma independiente por Babagge y Kasisky

Charles Babbage (1791-1871) fue el criptoanalista más importante del siglo XIX

Primera persona que intenta desarrollar una máquina universal para resolver problemas

Descifró Vigenère, aunque no lo publicó se encontró posteriormente entre sus papeles

Utiliza fórmulas matemáticas (álgebra) para la criptología

Máquina diferencial Máquina analítica

Ch. Babbage


Rompiendo el Cifrado de Vigenère: Rompiendo el Cifrado de Vigenère: KasiskiKasiski

Friedrich Wilhelm Kasiski (1805-1881), publicó en 1863 la forma de

romper el cifrado de Vigenère

Su método consiste en determinar la longitud de la clave en un cifrado

Vigenère, partiendo de palabras repetidas en el texto cifrado.

Podemos pensar con una probabilidad bastante grande que las palabras

repetidas en el texto cifrado no solo eran la misma antes del cifrado sino

que además la clave coincidió en la misma posición en ambas

ocurrencias.

Como la distancia entre palabras repetidas es múltiplo de la longitud de la

clave, era cuestión de buscar diferentes palabras que se repitieran y

hallar su máximo común divisor para encontrar un múltiplo cercano a la

longitud de la clave.

La longitud de la clave será este número o algún factor primo del mismo.



Una vez descubierta la longitud de la clave con la que se cifró el

documento tan solo hay que dividir el texto en bloques del mismo tamaño

que la longitud de la clave y aplicar el método estadístico tradicional del

cifrado de Cesar

Vamos a hacer intentar romper un texto cifrado con Vigenère.


Ejemplo de ataqueEjemplo de ataque

El texto se ha cifrado con Vigenère y vamos a descifrarlo paso a paso QLENQ WDOGB IKPIX GSVQA UFMJM CZHRL DEJVS EMUEH GMMTI HYFAT FWEKE UJVMX DAJLM YGIVG XWETR FFAQN JHRAZ ITBED QSTBR UANLX ZWPOJ ISJCU VGYFO AJXXW DMZGE FAPVK QAFER UEJOA IESUA NCTQA DAUTW WUSTB RUATI XWUUN THGGZ UEVED OUCHS UTOEN INQCF GPSUM RZMFM CZHRK UEKXR MQVVH IFNRF FELDE JWSKF RVLIK PETBV HARTH QHMRR VMGZC LTXJA SVBWU ANTNE DCUZX VGFRR VSKMD FLWWU STNEL DOKKI KQNVE QMZDF EEEMS CTVYM SVKTA QNKXH WEPLX WVQVR KMGEM VMVGE SVBRL QRINQ HQIXN EDYEE MISGN HNIMZ PFVSE MSKTV VQHRV IFXAJ LIJBI VGXWE FRUYD ASRLI DOOIM IBADV VMXDA JJYWR OIFEF QLENQ WDOGB RGEEU XXAQN VXRWX MRKKW ZDVNR XALZH IKOAG TDVQP IHPGZ GRKWW BOIEE EQSRT XJMVV LHWXA ZKISF RROIK PECFY JADVN RSTOA THWXN ZWSVQ UEIEB MRFWI DMSEN FWEDZ KIUFA DXRLQ ACVMW XORMV SHEJW IDMTF MEDTI EVLSL OEXMF YEELM VMDUX PUUEC HDGTQ LXGGD TRXWD MCFEE VQLTH QWFAT HQGXA UXYFD AKHRR CUVYV SSICX PJMYF WIDME JMVWX LRJYW EEVGG GDVRX RUGAC JYAQR VLTSO IFIIJ AAHNM VASKK IKCUZ GGWFR VLGAQ NKHWF AVVGX SYIEN QWDOU XXWXE WHRGX AKTPD MDVMY UMMZL ESZOD BPFAV VVMWZ TFLWW FEEME QFRVL WWJTF IMKAN LFIJA DVAET UTRGX WESVL IFFAP VMFOO UXGAY OJEEE QDZWE VQLRV EVQRR WSKPE UHWDM CYTVS PAPXP UADZZ SWZLR JYWYI INMKQ NFKZM QLRRG SZTRR TAPEL GGGYP FKXSY IVGXG FRRGU MULFM EENIV GXJMN JVYJD EEEEL UEIKE QQLTB IDAPV KSFAE CGYEQ RFIMW ETVGS WXEJM SVMVZ TYFNU VGGAZ CFGSW EUEHG ZACLT PIGIV KEFUE CNPLU MFLMW FEDXX AQNUH TJUSR HLEQT ZXRVA PIBWS MLRII JQZFL EWFEI GMVMD GTVSX AGXVE MNVGG AMWZL PSIAJ SCENO ILOSB RVFMG ZOSXP VQLZM IJMTL KE


Pasos a seguir con método de Pasos a seguir con método de KasisnskiKasisnski

1.- Encontrar la longitud L de la clave:

– Buscar palabras repetidas: digramas, trigramas, …

– Calcular la distancia entre ellas: es múltiplo de la clave

– Calcular los divisores de estas distancias

– K será el MCD o alguno de sus factores primos

2.- Dividir el texto en L bloques (L subproblemas de Cesar)

- Aplicar a cada subtexto un análisis de frecuencias

3.- Unir los resultados para construir el texto en claro


Ataque de KasiskiAtaque de Kasiski

• ¿Cuál será la longitud de la clave? Para averiguarlo se cuentan las

veces que aparecen cadenas repetidas de longitud 3 (o mayor)….

• Esto puede ser bastante tedioso pero con la ayuda de aplicaciones

disponibles en la red es posible evitar este trabajo, por ejemplo en

http://pages.central.edu/emp/LintonT/classes/spring01/cryptography/java/kasiski.html

• Entre las cadenas que se repiten en el texto encontramos las

siguientes:



Trigramas Frecuencia Posiciones en que aparece Distancia

ENQ: 3 2, 452, 788 450, 786, 336

NQW 3 3, 453, 789 450, 786, 336

QWD 3 4, 454, 790 450, 786, 336

WDO 3 5, 455, 791 450, 786, 336

IKP 3 10, 238, 538 228, 528, 300

IVG 4 67, 409, 985, 1003 342, 918, 936, 576, 594, 18

.........

El valor del máximo común divisor de estas distancias será un

múltiplo de la longitud de la clave.

Como mcd (450, 786, 336, 228, 528) = 6, la clave podría tener una

longitud de seis caracteres.

¡Pero hay demasiadas palabras con seis letras! ¿Qué podemos

hacer?



Se va a intentar romper el texto cifrado analizando las frecuencias de seis

criptogramas independientes que han sido cifrados con la misma letra

de la clave, tomando para el primero, segundo, ..., los caracteres

separados por seis espacios

En cada bloque contamos la frecuencia de las letras, la más frecuente

debe corresponder a la letra E del texto en claro, la segunda a la A y la

tercera a la O


La regla AEOLa regla AEO

Si la posición relativa de la letra A es el valor 0, entonces la letra E está cuatro espacios más a la derecha de la A y la letra O está 14 espacios a la derecha de la letra A ó a 10 de la letra E

a b c d e f g h i j k l m n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

o p q r s t u v w x y z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Buscamos las tres letras más frecuentes y que cumplan 0 +4 +10

También podemos tener en cuenta la S que es la siguiente letra más frecuente en la posición 19



A B C D E F G H I J K L M

23 3 4 14 12 13 4 1 1 1 0 1 27

N O P Q R S T U V W X Y Z

4 7 7 32 1 1 4 12 0 0 11 7 13

Para el primer bloque del ejemplo:

La solución que cumple con esto es MQA (27, 32, 23), la letra clave puede ser la M

¿Sois capaces de encontrar las restantes?



A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

23 3 4 14 12 13 4 1 1 1 0 1 27 4 7 7 32 1 1 4 12 0 0 11 7 13

21 0 8 12 24 1 1 1 13 0 0 12 6 16 17 7 1 15 14 13 11 7 1 0 1 1

1 0 10 3 15 20 5 2 13 15 8 8 0 0 0 2 0 26 1 11 9 34 1 2 1 16

1 11 0 0 7 7 20 21 6 4 15 17 11 15 1 0 0 2 1 13 2 14 8 24 1 2

0 0 1 2 27 2 12 3 25 0 1 2 19 0 1 11 10 16 15 4 1 11 12 13 13 2

13 2 0 14 10 16 15 3 2 15 13 7 6 1 0 0 2 1 17 1 11 14 34 3 2 1

A E O M Q A (27, 32, 23) A E O (21, 24, 17) R V F (26, 34, 20) T X G (13, 24, 20) E I S (27, 25, 15) S W G (17, 34, 15)

La clave es: Martes

http://www.xtec.es/~jjareno/activitats/criptologia/vigenere.htm

http://www.xtec.es/~jjareno/activitats/criptologia/analisi_kasiski.htm


¡Por fin descifrado!¡Por fin descifrado!

El número Pi es digno de admiracióntres coma uno cuatro unotodas sus cifras siguientes también

son inicialescinco nueve dos, porque nunca se

termina.No permite abarcarlo con la mirada

seis cinco tres cincocon un cálculo ocho nuevecon la imaginación siete nueveo en broma tres dos tres, es decir,

por comparacióncuatro seis con cualquier otra cosados seis cuatro tres en el mundo.La más larga serpiente después de

varios metros se interrumpeIgualmente, aunque un poco más

tarde, hacen las serpientes fabulosas.

El cortejo de cifras que forman el número Pino se detiene en el margen de un folio, es capaz de prolongarse por la mesa, aa través del aire,a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro,de las nubes, directamente al cieloa través de la total hinchazón e inmensidad del cielo.¡Oh qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón!¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio!Pero aquí dos tres quince trescientos noventami número de teléfono la talla de tu camisa


año mil novecientos setenta y tres sexto pisonúmero de habitantes sesenta y cinco décimosla medida de la cadera dos dedos la charada y el códigoen la que mi ruiseñor vuela y cantay pide un comportamiento tranquilotambién transcurren la tierra y el cielopero no el número Pi, éste no,él es todavía un buen cincono es un ocho cualquierani el último sietemetiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidadpara la permanencia.

¡Por fin descifrado!¡Por fin descifrado!

Wislawa Szymborska

( Premio Nóbel de Literatura 1996)

EL Número Pi


¿adivino la clave?¿adivino la clave?

http://www.xtec.es/~jjareno/activitats/criptologia/analisi_kasiski.htm


Ejemplo de ataqueEjemplo de ataque

Para calcular los grupos de letras conocidos

http://pages.central.edu/emp/LintonT/classes/spring01/cryptography/java/kasiski.html

Frecuencias de las letras

http://pages.central.edu/emp/LintonT/classes/spring01/cryptography/java/textanalyzer.html

¿Longitud de la clave?

http://pages.central.edu/emp/LintonT/classes/spring01/cryptography/java/gcd.html

¿Qué clave se ha usado?http://www.xtec.es/~jjareno/activitats/criptologia/analisi_kasiski.htm


Máquina HagelinMáquina Hagelin

S. B. Hagelin inventa en 1930

una máquina que es capaz

de generar textos

encriptados basados en

sustituciones polialfabéticas.

Se conoce como:

– Hagelin cryptograph

– M-209 machine

El ejercito americano la usó

hasta aproximadamente

1950.

Está basada en un método

que toma como base el

cuadro de Beaufort (variante

de Vigenère)


La máquina HagelinLa máquina Hagelin

Entre los años veinte y los treinta, Hagelin diseña diversas máquinas (B-

21, B-211, C-36, C-48, etc.) en las que a través de ruedas con piñones

realiza el cifrado.

La particularidad de estas máquinas (hacen millonario a Hagelin), estaba

en una periodicidad muy alta puesto que el número de dientes de las

diferentes ruedas eran primos entre sí.

Para seis ruedas estos valores eran 26, 25, 23, 21, 19 y 17, de forma que

el período era igual a su producto (101.405.850)

La ecuación matemática que representa al cifrado de Hagelin es:

Eki(Mj) = (ki - Mj) mod 26


Sustitución periódica basada en alfabetos desplazados, (utilizando la tabla) en la que se invierte el orden de las letras del alfabeto y luego se desplazan a la derecha.

La máquina HagelinLa máquina Hagelin

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