Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder Ejemplo de cifrado...

Criptografía como recurso para el aula de matemáticas. El arte de esconder

Ejemplo de cifrado Ejemplo de cifrado monoalfabéticomonoalfabético

a

b

c

de

fghij

k

l

m

n

ñ

o

p

qr

s t uv

w

x

y

z

x

y

z

ab

cdefg

h

i

j

k

l

m

n

ño

p q rs

t

u

v

w

http://serdis.dis.ulpgc.es/%7Eii-cript/PAGINA%20WEB%20CLASICA/CRIPTOGRAFIA/MONOALFABETICAS/codigo%20de%20cesar.htm


La debilidad de los cifrados monoalfabéticos está en que la frecuencia de aparición

de cada letra en el texto claro se refleja exactamente en el criptograma.

La misma frecuencia que tiene por ejemplo la letra “A” en un texto en claro tendría

la letra asociada en el texto cifrado.

Esto representa muchas pistas para un posible criptoanalista, sólo tiene que basarse

en el estudio de frecuencias y pensar un poco en castellano

Inconvenientes del cifrado Inconvenientes del cifrado monoalfabéticomonoalfabético



Ver frecuencias

Podemos pensar que (aparece 6 veces )es la e

Podemos pensar que (a parece 4 veces ) es la a

Podemos pensar que es la l, porque la primera palabra

eeeeee

aeeaeaaeee

laeelaleaaeee

Podemos pensar que es la s, por latercera palabra

laeeslaleaaseee

(3) (4) (6) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (1)(1)

Actividad 5



Ver frecuencias

laeeslaleaaseee

Podemos pensar que es la t, y la es la r, por laquinta palabra

laeeslaletraasreete

.

.-.

la e es la letra mas frecuente



Aunque en mensajes cortos no siempre es tan fácil

Ver frecuencias

Podemos pensar que (aparece 4 veces )es la e

Podemos pensar que (aparece 2 veces ) es la a

¿y ahora qué hacemos?

eeee

aeeeae


• “El secuestro” es un libro escrito por un francés llamado Georges Perec

• Este era un autor muy original que se dedicó a experimentar con el

lenguaje y tiene algunos palíndromos increíbles

• En todo el libro no parece ni una “e” (tiene unas trescientas páginas)

• Pero los traductores al castellano, consiguen que en el libro no exista la

“a”

Traducción : Marisol Arbués, Mercé Burrel, Marc Parayre,

Hermes Slaceda, y Regina Vega. Editorial Anagrama. 1997

• ¡Menuda forma de estropear el criptoanálisis!

Inconvenientes del cifrado Inconvenientes del cifrado monoalfabético. Curiosidadmonoalfabético. Curiosidad

O rey, o joyeroAmad a la dama

Somos o no somos.


AnécdotaAnécdota

Más de 1500 años después, un cifrado similar al de César fue utilizado por la reina

María Estuardo de Escocia, para conspirar junto con los españoles contra su prima

Isabel I

Los mensajes cifrados de María fueron fácilmente descifrados mediante sencillos

análisis estadísticos por los agentes de Isabel I

Junto con la pérdida del secreto de la comunicación, María perdió la cabeza en su

ejecución el 8 de febrero de 1587.

Después de esto el cifrado César quedó definitivamente descartado como método

de cifrado seguro para los gobernantes del mundo.

Desde entonces a hoy, los cifrados usados por los estados para preservar sus

secretos han mejorado considerablemente.


Ejemplo de cifrado Ejemplo de cifrado monoalfabéticomonoalfabético

Se resolvió por el método de analizar las frecuencias.


Ejemplo de cifrado polialfabéticoEjemplo de cifrado polialfabético

En 1466, León Battista Alberti, músico, pintor,

escritor y arquitecto, concibió el primer sistema

polialfabético que se conoce: El disco de Alberti

Cambia de abecedario cada dos o tres palabras.

El emisor y el destinatario habían de ponerse de

acuerdo para fijar la posición relativa de dos

círculos concéntricos, y cada cuantas palabras

cambiaban de alfabeto

Los diferentes alfabetos utilizados eran

representados en los discos pequeños, mientras

que el grande se rellenaba con el alfabeto

normal (antes 24 símbolos)

a

b

c

de

fghij

k

l

m

n

ñ

o

p

qr

s t uv

w

x

y

z

a

o

zl

vemhd

tn

u

q

c

k

fsx

gb p y i

rj

ñ

w

wo

zc

mueht

lk

v

q

d

f

n

sy

gb x p a

rj

ñ

i


Ejemplo de cifrado polialfabéticoEjemplo de cifrado polialfabético

Usando estos discos vamos a cifrar el mensaje: levántate contra la pobreza

Decisiones a tomar

Primer disco a usar es el 1 y emparejamos a con a

Segundo disco a usar es el 2 y emparejamos a con w

Cambiamos de disco cada palabra

a

b

c

de

fghij

k

l

m

n

ñ

o

p

qr

s t uv

w

x

y

z a

o

zl

vemhd

tn

u

q

c

k

fsx

gb p y i

rj

ñ

wwo

zc

mueht

lk

v

q

d

f

n

sy

gb x p a

rj

ñ

i

disco1 disco2

uviacpapv snogmiwzndxgw ua

Actividad 6


EjemplosEjemplos

Actividad 1.9. Cifrado polialfabético

Letras en posición impar: MorseLetras en posición par: ASCII

-- 79 .-. 83 . 89 .- 83 -.-. 73 ..MORSEYASCII


Cifrado afínCifrado afín

El cifrado módulo n con claves a y b o cifrado afín

Consiste en aplicar a cada símbolo de nuestro abecedario una

transformación matemática del tipo

Símbolo a.Símbolo + b

En nuestro lenguaje:

F(x) = ax + b

¿Qué pasos hay que seguir?

Vamos a explicarlo cifrando el mensaje

aprendemos a cifrar



Paso 1º: Seleccionar los símbolos con los que vamos a trabajar

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z

Z27

¿Se entenderán bien las frases?: añadimos espacio en blanco, punto y

coma

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, *, ., ,

Z30

Seleccionamos los valores de a y b.

Por ejemplo: a = 7 y b = 5

Paso 2º: Asignar a cada carácter un número

a b c d e f g h i j k l m n ñ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

o p q r s t u v w x y z * . ,

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29



Paso 4º: Trabajar en el conjunto Z30

Z30 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}

Paso 3º: Pasar el mensaje a cifras

a p r e n d e m o s * a *

0 16 18 4 13 3 4 12 15 19 27 0 27

c i f r a r

2 8 5 18 0 18



Aplicamos la transformación al mensaje, expresado en números

f(x) = 7x + 5 (mod30)

16 7.16 + 5 = 112 + 5 = 117 = 27 (mod 30)

a p r e n d e m o s a

0 16 18 4 13 3 4 12 15 19 27 0 27

5 27 11 3 6 26 3 29 20 18 14 5 14

c i f r a r

2 8 5 18 0 18

19 1 10 11 5 11



Pasar de nuevo a letras los números obtenidos tras aplicar la transformación

5 27 11 3 6 26 3 29 20 18 14 5 14

f * l d g z d , t r ñ f ñ

19 1 10 11 5 11

s b k l f l

El mensaje

aprendemos a cifrar

se envía como

f*ldgzd,trñfñsbklfl


Descifrado afínDescifrado afín

¿Qué datos se necesitan para empezar a descifrar?

1. El mensaje cifrado: dcldofñdrytñ,dñqcryf

2. El conjunto de caracteres: Z30

3. Las dos claves, que en este caso han sido a = 7 y b = 5

Pasamos el mensaje a números:

d c l d o f ñ d r y

3 2 11 3 15 5 14 3 18 25

t ñ , d ñ q c r y f

20 14 29 3 14 17 2 18 25 5



Para calcular el opuesto de un número hay que resolver la ecuación:

Nº + Opuesto = n

Para calcular el inverso de un número hay que resolver la ecuación:

Nº * Inverso = 1

Si la función de cifrado ha sido y = ax + b para encontrar la función de descifrado

se despeja x pero trabajando en Zn

Por ejemplo para n = 30 y función de cifrado y = 7x + 5

Y + 25 = 7x

X = 13(y + 25) puesto que 13*7 = 1 en Z30



Si hemos cifrado con: f(X) = 7X + 5

desciframos con la función: f-1(Y) = (Y + 25)13

pero trabajando siempre en Z30

Por ejemplo: 3 (3 + 25)13 = 364 que en Z30 es el 4

d c l d o f ñ d r y

3 2 11 3 15 5 14 3 18 25

4 21 4 10 0 29 27 4 19 21

t ñ , d ñ q c r y f

20 14 29 3 14 17 2 18 25 5

5 27 12 4 27 6 21 19 20 0



Pasamos estos números a letras

4 21 18 4 10 0 27 4 19 20

e u r e k a * e s t

15 27 12 4 27 6 21 19 20 0

o * m e * g u s t a

El mensaje original era:

Eureka, esto me gusta


¿Sirven todos los valores de a y b para cifrar un mensaje?

¿Y para descifrarlo?

• El factor de desplazamiento puede ser cualquiera: 0 b 27.

• Para que exista el inverso a-1 el factor de multiplicación a debe ser

primo relativo con el número n de elementos que tenga el alfabeto

(en este caso 28); MCD(a, n) = 1

Cifrado: Ci = (aMi + b) mod 28

Descifrado: Mi =( (Ci + b´)a-1)mod 28

donde b´ es el opuesto de b en Z28 y a-1 es el inverso de a en Z28

En este cifrado, cada letra se cifrará siempre igual.

Es una gran debilidad y por eso es muy vulnerable y fácil de atacar

Criptoanálisis de método afín Criptoanálisis de método afín (módulo 28)(módulo 28)


El ataque a este sistema es muy elemental.

Se relaciona el elemento más frecuente del criptograma a la letra E y el

segundo a la letra A, planteando un sistema de 2 ecuaciones.

Si el texto tiene varias decenas de caracteres este ataque prospera; si el

texto es de longitud pequeña puede haber ligeros cambios en esta

distribución de frecuencias: hay que probar con los distintos valores

hasta conseguir un texto claro con sentido

Lo único que necesitamos es conocer las letras que se suelen repetir con

más frecuencia en cada lenguaje

Criptoanálisis método afín (módulo Criptoanálisis método afín (módulo 28)28)


Si se intercepta el mensaje pero no se conoce la clave

Criptoanálisis de método afín (módulo Criptoanálisis de método afín (módulo 28)28)

Analizamos las frecuencias

1er INTENTO. PIENSO....

“B” es la que más veces aparece en el criptograma, puede venir de la “E” y la “P” de la “A”

Planteamos el sistema de ecuaciones1= (4a + b) mod 28 16 = (0a + b) mod 28

Al resolver, obtenemos b = 16

a?

RGQBOXPEBMHQZONOPBMJBPFBCMNÑB

6.̀ , "B",3.̀ , "P",3.̀ , "O",3.̀ , "M",2.̀ , "Q",2.̀ , "N",1.̀ , "Z",1.̀ , "X",1.̀ , "R",1.̀ , "Ñ",1.̀ , "J",1.̀ , "H",1.̀ , "G",1.̀ , "F",1.̀ , "E",1.̀ , "C",0.̀ , "Y",0.̀ , "W",0.̀ , "V",0.̀ , "U",0.̀ , "T",0.̀ , "S",0.̀ , "L",0.̀ , "K",0.̀ , "I",0.̀ , "D",0.̀ , "A",0.̀ , " "


Para a 0 obtenemos 16




























Mod4a16, 28

Que nunca da como resultado 1, luego no puedo encontrar “a”

1 = (4*a+16)mod28


Si interceptamos el mensaje pero no conocemos la clave



Planteamos el sistema

1 = (0a + b) mod 28

16 = (4a + b) mod 28

obtenemos b = 1

a?


6.̀ , "B",3.̀ , "P",3.̀ , "O",3.̀ , "M",2.̀ , "Q",2.̀ , "N",1.̀ , "Z",1.̀ , "X",1.̀ , "R",1.̀ , "Ñ",1.̀ , "J",1.̀ , "H",1.̀ , "G",1.̀ , "F",1.̀ , "E",1.̀ , "C",0.̀ , "Y",0.̀ , "W",0.̀ , "V",0.̀ , "U",0.̀ , "T",0.̀ , "S",0.̀ , "L",0.̀ , "K",0.̀ , "I",0.̀ , "D",0.̀ , "A",0.̀ , " "2º INTENTO. PIENSO....“B” es la que más veces aparece, puede ser la “A” y la “P” la “E”


Para a = 0 Mod[4*a + 1, 28] = 1

Para a = 1 Mod[4*a + 1, 28] = 5

Para a = 2 Mod[4*a + 1, 28] = 9

Para a = 3 Mod[4*a + 1, 28] = 13

Para a = 4 Mod[4*a + 1, 28] = 17

Para a = 5 Mod[4*a + 1, 28] = 21

Para a = 6 Mod[4*a + 1, 28] = 25

Para a = 7 Mod[4*a + 1, 28] = 1

Para a = 8 Mod[4*a + 1, 28] = 5

Para a = 9 Mod[4*a + 1, 28] = 9

Para a = 10 Mod[4*a + 1, 28] = 13

Para a = 11 Mod[4*a + 1, 28] = 17

Para a = 12 Mod[4*a + 1, 28] = 21

Para a = 13 Mod[4*a + 1, 28] = 25

Para a = 14 Mod[4*a + 1, 28] = 1

Para a = 15 Mod[4*a + 1, 28] = 5 Para a = 16 Mod[4*a + 1, 28] = 9 Para a = 17 Mod[4*a + 1, 28] = 13 Para a = 18 Mod[4*a + 1, 28] = 17 Para a = 19 Mod[4*a + 1, 28] = 21 Para a = 20 Mod[4*a + 1, 28] = 25 Para a = 21 Mod[4*a + 1, 28] = 1 Para a = 22 Mod[4*a + 1, 28] = 5 Para a = 23 Mod[4*a + 1, 28] = 9 Para a = 24 Mod[4*a + 1, 28] = 13 Para a = 25 Mod[4*a + 1, 28] = 17 Para a = 26 Mod[4*a + 1, 28] = 21 Para a = 27 Mod[4*a + 1, 28] = 25

No sale 16, no es la solución

16 = (4a + b) mod 28 Mod[4*a + 1, 28]


Si interceptamos el mensaje pero no se conoce la clave



Planteamos el sistema

1 = (4a + b) mod 28

13 = (0a + b) mod 28

Al resolver, obtenemos b = 13

a?


6.̀ , "B",3.̀ , "P",3.̀ , "O",3.̀ , "M",2.̀ , "Q",2.̀ , "N",1.̀ , "Z",1.̀ , "X",1.̀ , "R",1.̀ , "Ñ",1.̀ , "J",1.̀ , "H",1.̀ , "G",1.̀ , "F",1.̀ , "E",1.̀ , "C",0.̀ , "Y",0.̀ , "W",0.̀ , "V",0.̀ , "U",0.̀ , "T",0.̀ , "S",0.̀ , "L",0.̀ , "K",0.̀ , "I",0.̀ , "D",0.̀ , "A",0.̀ , " " DESPUÉS DE VARIOS INTENTOS. PIENSO....

“B” puede venir de la “E” y la “N” de la “A”

1=4*a+13 (mod 28)


1=4*a+13 Mod[4*a + 13, 28]

Y podría ser: a = 4, a = 11, a = 18, a = 25






























Si interceptamos el mensaje pero no se conoce la clave

Criptoanálisis de mensaje afín Criptoanálisis de mensaje afín (módulo 28)(módulo 28)

Descifrado: Mi = (Ci + b´)a-1 mod 28 donde a-1 = inverso de a en Z28

gyxfeknhfcjxdenenfcafnpfñcnvf

Descartamos a = 4 y a = 18 por no tener inversos: MCD(a, 28) 1

¿puede ser a = 11?

dhierbnqefcisrarneftenme fawe

¿puede ser a = 25 ?

quiero descifrar este mensaje


Hasta ahora conocemosHasta ahora conocemos

TRANSPOSICIÓN

SUSTITUCIÓN

MONOALFABÉTICA POLIALFABÉTICA

Correspondencia única entre el alfabeto del

mensaje y el alfabeto de cifrado CesarAfin

No hay correspondencia única entre el alfabeto

del mensaje y el alfabeto de cifrado

ESCÍTALARUEDA DE JEFFERSON

CIFRADO CON PALNTILLAS

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