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1

CRISTALOGRAFA GEOMTRICA

TEMA 2

PERIODICIDAD, REDES CRISTALINAS, SMBOLOS Y NOTACIONES

NDICE

REDES

2.1 Traslacin

2.2 Red cristalina

2.3 Redes planas

2.4 Redes espaciales

2.5 Origen de la red

2.6 Celda elemental

2.7 Celda unidad

2.8 Parmetros de celda

2.9 Volumen de celda

2.10 Propiedades de la red cristalina

2.11 El cristal como redes paralelas Interpenetradas

Elementos de la red

2.12 Nudos

2.13 Filas reticulares

2.14 Planos reticulares

2.15 Espaciado reticular

2.16 Planos tautozonales

2.17 Cara cristalina

2.18 Arista de un cristal

2.19 Densidad reticular

2.20 Red recproca

2.21 Relaciones generales entre la red directa

y la red recproca

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2

2.1 TRASLACIN Es la distancia, a la que se repite el motivo en la estructura cristalina, paralela e

idnticamente a lo largo de una direccin dada (Figura 2.1).

FIGURA 2.1

Debido a ello, y como esta repeticin montona del motivo constituye la caracterstica

fundamental de un cristal, el medio cristalino puede abstraerse de su contenido material y tratarlo

nicamente en funcin de las traslaciones presentes.

Esta abstraccin constituye lo que se llama teora de las redes cristalinas.

x La traslacin es una transformacin, es decir una operacin de simetra.

x Es la operacin de simetra ms simple e inherente a la estructura cristalina, por eso se le

denomina simetra trivial.

x La traslacin se representa por un vector llamado vector de traslacin:

o se define por su direccin y mdulo. x Traslaciones fundamentales o unidad son las traslaciones ms pequeas en las tres

direcciones del espacio, respectivamente,

o sus mdulos se representan por a, b y c, se les asigna el valor unidad.

o Este tro de traslaciones constituye el sistema de coordenadas de la red. Se les denomina constantes reticulares debido a que sus valores son fijos

para un cristal

se expresan por los mdulos mencionados - a, b y c- y por los ngulos entre

ellos D, E y J

t

b

a

J

t

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3

2.2 RED CRISTALINA Definiciones:

1. Es una representacin tridimensional del motivo que se repite en la estructura cristalina

x En la Figura 2.2 se muestra a una imagen de la estructura del mineral cordierita tomada

(con un microscopio electrnico de transmisin1 (TEM) (en A. Putnis, 1992: Introduction

to Mineral Sciences, Cambridge University Press). En ella, las manchas negras representas

huecos y cada mancha blanca representa una regin con alta densidad electrnica y podra

corresponderse con cada uno de los tetraedros imaginarios en los que los vrtices estaran

ocupados por oxgeno y el centro por silicio. La distancia entre dos manchas negras

equivalentes es de 9,7 .

1 Microscopio electrnico de transmisin

Un microscopio electrnico de transmisin es un microscopio que utiliza un haz de

electrones para visualizar un objeto debido a que la potencia amplificadora de un microscopio

ptico est limitada por la longitud de onda de la luz visible. Debido a que los electrones

tienen una longitud de onda mucho menor que la de la luz pueden mostrar estructuras mucho

ms pequeas. Las partes principales de un microscopio electrnico son:

x Can de electrones, que emite los electrones que chocan contra el espcimen, creando

una imagen aumentada.

x Lentes magnticas para crear campos que dirigen y enfocan el haz de electrones, ya que

las lentes convencionales utilizadas en los microscopios pticos no funcionan con los

electrones.

x Sistema de vaco es una parte muy importante del microscopio electrnico. Debido a que

los electrones pueden ser desviados por las molculas del aire, se debe hacer un vaco

casi total en el interior de un microscopio de estas caractersticas.

x Placa fotogrfica o pantalla fluorescente que se coloca detrs del objeto a visualizar

para registrar la imagen aumentada.

x Sistema de registro que muestra la imagen que producen los electrones, que suele ser

una computadora.

Los microscopios electrnicos de transmisin pueden aumentar un objeto hasta un milln

de veces.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Microscopio_electr%C3%B3nico_de_transmisi%C3%B3n"

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4

FIGURA 2.2

2. Representacin tridimensional de la simetra traslacional de la estructura cristalina.

3. Disposicin de nudos a lo largo de tres direcciones.

4. Conjunto de planos reticulares paralelos e idnticos, debido a que la extensin de la red es

infinita. En este caso, a este conjunto de planos lo denominaremos familia de planos (hkl).

Red monodimensional

Es una disposicin de nudos a lo largo de una direccin, como la de la Figura 2.3.

FIGURA 2.3

Red bidimensional

Es una disposicin de nudos a lo largo de dos direcciones, como la de la Figura 2.4.

FIGURA 2.4

O

a

b

T

T = 2a -

t

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5

2.3 REDES PLANAS

Hay 5 redes planas. Las relaciones entre las traslaciones fundamentales y el ngulo entre ellas puede apreciarse en la Tabla 2.1:

Red Parmetros de red Oblicua a b J 90 Cuadrada a = b J = 90 Rectangular a b J = 90 Hexagonal a = b J = 60 120 Rmbica a = b J 90, 60 120

Tabla 2.1

2.4 REDES ESPACIALES

x Son 14 y se denominan redes de Bravais. x Se obtienen por apilamiento de las redes planas. x Pueden ser primitivas y mltiples.

o Las primitivas se simbolizan por P. x Las mltiples pueden ser:

x centradas en las bases (A, B C), x centradas en las caras (F) x centradas en el interior (I)

x Se denominan segn sean las relaciones entre las traslaciones fundamentales y el ngulo entre ellas, como figuran en la Tabla 2.2

Red Tipo Parmetros de red Triclnica P a b c D E J 90 Monoclnica P, A (B,C) a b c D = J = 90 E Rmbica P, I, F, A (B,C) a b c D = E = J = 90 Tetragonal P, I a = b c D = E = J = 90

Hexagonal P a = b c D = E = 90 J = 60 120

Rombodrica P a = b c D = E = 90 J = 60 120 Cbica P, I, F a = b = c D = E = J = 90

Tabla 2.2

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6

2.5 ORIGEN DE LA RED Es un punto de la red elegido como punto inicial en la descripcin de una red.

Puede elegirse en cualquier posicin de la estructura cristalina y no necesita coincidir con

ningn tomo o in.

2.6 CELDA ELEMENTAL Es un paraleleppedo limitado por las traslaciones fundamentales no coplanares en una red y

constituye la parte ms pequea caracterstica del cristal.

x Celda elemental primitiva Celda que contiene un nudo de la red.

x Celda elemental mltiple Celda que contiene ms de un nudo de la red.

Ejemplos de ellas pueden observarse en la Figura 2.5.

FIGURA 2.5.- Las celdas A y B son primitivas y la B es mltiple

Las celdas elementales (Tabla 2.3) son 14 y se denominan como las correspondientes redes

de Bravais

Celda Tipo Parmetros de celda

Triclnica

Primitiva P

a b c D E J 90

A

BC

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7

Monoclnic

Primitiva P

Centrada en las bases A (B,C)

a b c D = J = 90 E

Rmbica

Primitiva P Centrada en interior I Centrada en las cF

Centrada en bases A (B,C)

a b c D = E = J = 90

Tetragonal

Primitiva P

Centrada en el interior I

a = b c D = E = J = 90

Hexagonal

Primitiva P

a = b c D = E = 90 J = 60 120

Rombodri

Primitiva P

a = b c D = E = 90 J = 60 120

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8

Cbica

Primitiva P Centrada en el interi Centrada en las cara

a = b = c D = E = J = 90

Tabla 2.3

2.7 CELDA UNIDAD

Celda apropiada primitiva o mltiple, seleccionada de acuerdo a unos requisitos.

2.8 PARMETROS DE CELDA

Son las traslaciones fundamentales a, b, c y los ngulos entre ellas D, E y Jver Figura 2.6

FIGURA 2.6

2.9 VOLUMEN DE CELDA

Viene dado por la expresin:

Ecuacin 2.1

2.10 PROPIEDADES DE LA RED CRISTALINA x La red debe caracterizarse por las mismas propiedades que los materiales en estado

cristalino, ya que stos pueden tratarse con el concepto de red.

x Dichas propiedades son:

o Homogeneidad En una red todos los nudos son equivalentes, no se distinguen entre ellos. La

distribucin de nudos alrededor de uno dado es la misma, independientemente del

a

c

bD

E

J

JEDJED coscos2cos2cos2cos2cos1abcV

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9

nudo tomado como referencia (en la Figura 2.7 el nudo 0 coloreado en azul o el

coloreado en rojo).

FIGURA 2.7

o Anisotropa En la red todos los nudos son equivalentes, pero la distancia de un nudo a sus

vecinos no es constante, depende de la direccin que se tome para medir dicha

distancia.

Ejemplo: La distancia desde el origen O a cualquier otro nudo a su alrededor

(A, B o C) no es la misma.

OAOC

FIGURA 2.8

o Simetra

La aplicacin de una traslacin (simetra trivial) b a un nudo O tomado como origen

genera otros nudos 1, 2 equivalentes a l (ver Figura 2.9).

FIGURA 2.9

O A

B C

O 1 2

b b

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10

2.11 EL CRISTAL COMO REDES PARALELAS INTERPENETRADAS x El cristal, en realidad, est formado por un nmero infinito de redes paralelas y de

dimensiones constantes, interpenetradas entre s.

x En el NaCl (Figura 2.10 a) se pueden considerar dos redes:

1. una la formada a partir de los iones Cl-, tomando este in como

motivo de repeticin (Figura 2.10 b).

2. la otra formada a partir de los iones Na+, tomando este in como

motivo de repeticin (Figura 2.10 c).

o Ambas son idnticas en dimensiones y son paralelas, pero una de ellas est desplazada 1/2 de la traslacin, en las tres dimensiones del

espacio, respecto de la otra (Figura 2.10 d y e).

x Sin embargo, el cristal queda definido por una nica red, tanto dara describirlo mediante la

red de los iones cloro (nudos y entramado verde), como la de los iones sodio (nudos y

entramado marrn).

a b

c d e

FIGURA 2.10

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11

2.12 ELEMENTOS DE LA RED: NUDO x Es un punto equivalente por la traslacin.

x El nudo de la red cristalina sustituye al motivo que se repite en la estuctura cristalina.

o En la red cristalina existen puntos, adems de los nudos. x Los puntos no son equivalentes y se sitan entre los nudos.

o Los tomos en la estructura cristalina pueden ocupar la posicin de un nudo o de un punto, considerando el concepto de red.

x La posicin de un nudo puede especificarse mediante una traslacin t:

t = ma + nb + pc

Ecuacin 2.2

m, n y p son las coordenadas de un nudo de la red referidas a un nudo que se toma

como origen del sistema de coordenadas, definido por a, b y c.

x La posicin de un punto B cualquiera como el de la Figura 2.11 se puede especificar por el

vector:

ab

A

Bri

r

ri 2a+4b

FIGURA 2.11

r = ri + ma + nb + pc

Ecuacin 2.11

r es la distancia entre el punto B y el origen.

ri es la distancia entre el punto A y el origen. Viene definida por:

ri = xia + yib + zic Ecuacin 2.4

xi, yi y zi son las coordenadas del punto definido por ri y son tres nmeros positivos

menores que la unidad. Todos los puntos definidos por ri ocupan un espacio

limitado por las traslaciones fundamentales, es decir, constituyen la celda elemental.

Este espacio llena todo el espacio cristalino aplicndole las traslaciones

fundamentales.

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12

El punto B queda especificado por el vector

r = ri + (2a+4b) Ecuacin 2.5

2.13 ELEMENTOS DE LA RED: FILA RETICULAR x Es una disposicin de nudos a lo largo de una direccin.

o Una direccin de red es, por lo tanto, una direccin que contiene nudos.

o Cada par de nudos de la red define una fila reticular.

SMBOLO DE FILA RETICULAR

x Son las coordenadas p, q y r de un nudo de la red, contiguo a otro nudo tomado como origen

o se escriben entre corchetes, [pqr], o describen totalmente a la fila reticular.

x Se denominan filas fundamentales de la red a las filas con smbolos [100], [010] y [001],

FIGURA 2.12

o son paralelas respectivamente a las traslaciones fundamentales a, b y c. o Definen las aristas de la celda elemental de la red

2.14 ELEMENTOS DE LA RED: PLANO RETICULAR Es una disposicin de nudos a lo largo de dos direcciones.

x Cada tro de nudos no dispuestos en una misma direccin de la red definen un plano

reticular.

SIMBOLO DE UN PLANO RETICULAR

Parmetros de Weiss

x Son las intersecciones de un plano reticular con las traslaciones fundamentales.

b

a

[010

[100

[230

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13

ndices de Miller

x Serie de tres nmeros enteros positivos o negativos entre parntesis, (hkl), que se refieren a

las intersecciones de un plano con las traslaciones fundamentales.

o Cuando aparece un nmero negativo se sita una rayita encima de l; ejemplo:

y se lee uno menos, dos, cero.

o Si aparecen nmeros de 2 dgitos se ponen separados por comas; ejemplo: (10,2,2). El plano ms prximo al origen de una familia de planos y que pase por tres nudos, uno en

cada fila fundamental de la red, es aqul cuyas coordenadas son:

A=Ha, B=Kb y C=Lc

donde:

H, K y L son las intersecciones del plano con las filas fundamentales,

es decir los parmetros de Weiss

a, b y c son las traslaciones fundamentales.

El nmero de planos existentes entre el plano con coordenadas A, B y C y el

origen de la red viene dado por el producto HxKxL=N.

Los cocientes N/H=h, N/K=k y N/L=l, son nmeros enteros y se denominan ndices

de Miller. Son los inversos de los parmetros de Weiss.

En la Figura 2.13 se muestra el plano AB, paralelo al eje cristalogrfico c, por lo

que sus ndices de Miller son (320)

x Los planos cristalinos que cortan a los tres ejes de coordenadas de la red se

simbolizan por (hkl).

o El ms sencillo es el (111).

FIGURA 2.13

b

a

[100

[010

A

B

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14

x Los planos que cortan a dos ejes y son paralelos al tercero se simbolizan por (hk0), (h0l) y

(0kl), segn que sean parelos al eje c, al b o al a, respectivamente.

o Los ms sencillos son los planos (110), (101) y (011). x Los planos que cortan a un eje y son paralelos a los otros dos se simbolizan por (h00), (0k0)

y (00l).

o Los planos de smbolo ms sencillo son (100), (010) y (001) y se les denomina planos fundamentales.

Definen las caras de la celda elemental de la red.

x Los planos con mayor densidad de nudos son los que tienen ndices de Miller ms simples

y constituyen caras cristalinas.

LEY DE NDICES RACIONALES

Ya desde antiguo, al estudiar los cristales se descubri que para determinadas caras los

ndices podan expresarse por nmeros enteros simples o por ceros. Se trata de la ley de los ndices

racionales.

2.15 ESPACIADO RETICULAR x Es la distancia entre los planos de una familia de planos (ver Figura 2.14).

x Se mide sobre la perpendicular a los planos de la familia.

x El espaciado de una familia de planos (hkl) se simboliza por dhkl y es caracterstico de cada

familia.

FIGURA 2.14

x Est relacionado con las constantes reticulares y con los ndices de Miller mediante una

expresin, que para el caso ms general es:

a

(100)

(010)

d 100

d010

b

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15

Ecuacin

2.16 PLANOS TAUTOZONALES

x Conjunto de planos no paralelos que se caracterizan por tener una arista comn, es decir, son paralelos a una direccin cristalogrfica denominada eje de zona y cuyo smbolo es [uvw].

En la Figura 2.15 pueden observarse algunas familias de planos paralelas al eje c (perpendicular al plano de la pantalla).

FIGURA 2.15

Tambin se puede observar que cada conjunto de planos paralelos, idnticos e igualmente distanciados tienen el mismo smbolo y la misma densidad reticular.

x La condicin para que un plano (hkl) sea paralelo a un eje [uvw] viene dada por la ley de zonas de Weiss:

hu + kv + lw = 0

Ecuacin 4

(010)

( 1 1 0 )

(110)

(100)

1 1 1 2

2

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

/ / ( cos cos cos cos cos cos ) .

.

( / )sen ( / )sen ( / )sen

( / ) ( cos cos cos )

( / ) ( cos cos cos )

( / ) ( cos cos cos )

d

h a k b l ckl bc hl ac hk ab

hkl

D E J D E J D E JE J DJ D ED E J

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16

x Si dos planos (hkl) y (h'k'l') pertenecen a la misma zona o lo que es lo mismo, son paralelos a la misma direccin cristalogrfica [uvw] debe cumplirse:

hu + kv + lw = 0

h'u + k'v + l'w = 0

Ecuacin 5

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene el smbolo del eje de zona.

u = hl' - lk' v = lh' - hl' w = hk' - kl'

Ecuacin 6

2.17 CARA CRISTALINA Es la manifestacin en el cristal de planos que se caracterizan por poseer la mayor densidad

reticular plana y como ndices de Miller nmeros sencillos.

Ejemplo: En la Figura 2.16 pueden apreciarse diferentes superficies planas numeradas,

limitando el cristal de pirita, que son caras cristalinas.

FIGURA 2.16

2.18 ARISTA DE UN CRISTAL Es la manifestacin en el cristal de una fila reticular que se caracteriza por poseer la mayor

densidad reticular lineal y tener el smbolo de eje ms sencillo.

En la imagen de cristal de yeso (Figura 2.17) se ha remarcado con trazo discontinuo rojo

alguna arista.

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17

FIGURA 2.17

2.19 DENSIDAD RETICULAR x Densidad reticular lineal

Es el nmero de nudos por unidad de longitud.

Es el inverso del mdulo del vector de traslacin.

Las filas de ndices de Miller ms sencillos son las que tienen mayor densidad de nudos.

Estas son: [100], [010] y [001]

x Densidad reticular plana

Es el nmero de nudos por unidad de superficie.

Es el inverso del rea,

1/Shkl

Ecuacin 7

Shkl = Vhkl/dhkl

Ecuacin 8

Los planos de mayor densidad reticular son los que tienen un espaciado mayor.

x Densidad reticular espacial

Es el nmero de nudos por unidad de volumen. Es el inverso del volumen,

Uhkl = 1/Vhkl Ecuacin 9

Uhkl = 1/Shkl = dhkl/V hkl Ecuacin 10

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18

2.20 RED RECPROCA x Es, como su nombre indica, la recproca de la red cristalina o red directa.

o Se obtiene de la siguiente manera (ver Figura 2.15): Se toma un punto cualquiera de la red directa como origen de la nueva red,

se trazan las perpendiculares a los planos fundamentales de la red directa -(100),

(010) y (001)- es decir, se trazan los espaciados interplanares d100, d010 y d001

que se toman como ejes de coordenadas de la red recproca.

Sobre cada uno de ellos se toman traslaciones proporcionales al inverso del

espaciado de los planos correspondientes

x Los parmetros de red se simbolizan con *

a* = 1/d100

b* = 1/d010

c* = 1/d001

Ecuacin 11

o El eje a*, simbolizado por [100]* es perpendicular al plano (100) de la red directa. o El eje b*, simbolizado por [010]* lo es del plano (010). o El eje c*, simbolizado por [001]* del plano (001).

FIGURA 2.15

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19

De manera general, cada una de las filas reticulares de la red recproca es perpendicular a

un plano reticular especfico de la red directa.

x La red recproca tiene una celda elemental definida por las traslaciones fundamentales

recprocas, anteriormente definidas.

x Su volumen es el inverso del volumen de la celda elemental de la red directa.

x Si a, b y g son los ngulos fundamentales de la red directa y A, B y C son los ngulos

diedros entre los planos fundamentales de dicha red, los ngulos fundamentales de la red

recproca correspondientes vienen dados por:

D* = 180 - A E* = 180 B

J* = 180 - C Ecuacin 12

x Las relaciones entre las traslaciones de la red directa y la red recproca son:

a* = (1/V)bcsenD b* = (1/V)casenE

c* = (1/V)absenJ Ecuacin 13

2.21 RELACIONES ENTRE LA RED DIRECTA Y LA RECPROCA Una de las caractersticas de la red recproca es poseer la misma simetra que la red directa,

cuando se considera la mtrica de la red.

x A cada red directa le corresponde una sla red recproca.

x Toda red recproca posee la misma simetra que la red directa de la que procede.

x Una red recproca deriva de la red directa primitiva por giro de 90 alrededor del nudo

tomado como origen.

x Si la red directa es de caras centradas, su recproca ser centrada en el interior.

x Si la red directa es centrada en el interior, su recproca ser de caras centradas.

x Si la red directa es centrada en las bases, su recproca tambin lo es.

x Si la red directa es primitiva su recproca tambin lo es.

x La red directa es homognea, por el contrario, la red recproca no lo es. En la red directa

todos los nudos son equivalentes y el origen puede tomarse en cualquier nudo, mientras que

en la red recproca existe un origen y los nudos no son intercambiables.

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20

x La red recproca est formada por familias de filas reticulares, que son perpendiculares a

planos de la red directa, y por familias de planos reticulares que son perpendiculares a filas

reticulares de la red directa.

x Los planos de una misma familia en la red recproca no son equivalentes entre s, al

contrario de lo que ocurre en la red directa.

Existen 14 tipos de redes directas (redes de Bravais) y 14 tipos de redes recprocas.