Universidad de Santiago de ChileFacultad de IngenieríaDepartamento de Ingeniería en Minas

LEY DE CORTE DE PLANIFICACIÓN

SEGÚN CRITERIO DE LANE

Diego Molina Villacura Nelson Navarrete Lucaveche

MODELO DE LEYES DE CORTE El propósito es determinar la mejor estrategia de explotación del yacimiento, en base

a una política de leyes de corte que defina la cantidad de material y mineral a extraer en cada período

las variables exógenas para el modelo a proponer corresponden a:

Tamaño y geometría de la mina. Capacidades de las etapas productivas a considerar. Planes de desarrollo, a través de las fotos de la mina. Parámetros económicos de costos y de operación

a través del modelo se intenta modelar las siguientes variables de decisión:

Determinar la cantidad de material a extraer de la mina, desde expansiones

predefinidas por el Plan de Largo Plazo (PLP).

Definir el destino que se dará a dicho material en base a su ley de corte, teniendo como alternativas la concentradora, el botadero o el stock.

FUNDAMENTOS DEL ALGORITMO DE KENNETH F. LANE hace uso de un algoritmo basado en ecuaciones analíticas optimizantes de leyes de

corte, que conduce directamente a la decisión óptima en cada etapa.

se maximiza la razón de cambio del valor presente de los flujos, con respecto al recurso. Con el fin de obviar la prueba de todos los posibles estados futuros, se introduce un término de costo de oportunidad que los representa

El método genera seis leyes de corte.

3 son llamadas leyes económicas. Ellas se determinan en base a la suposición de que cada componente del proceso, limita independientemente la producción

3 son las leyes de equilibrio que suponen que dos componentes de a pares, limitan el flujo

El algoritmo determina finalmente la ley óptima entre todas ellas.

MODELO GENERAL DE LEYES DE CORTE DE K.F.LANE El modelo económico de una mina expresa el flujo de caja anual del proyecto en

función de las siguientes variables de interés:

Leyes de corte

Capacidades Máximas de producción por cada componente del proceso Precios Costos

Se asume que el proceso consiste en tres etapas: mina, tratamiento y refinación.

MODELO GENERAL DE LEYES DE CORTE DE K.F.LANE

MODELO GENERAL DE LEYES DE CORTE DE K.F.LANE

expresión básica de beneficio que en términos de unidad de material extraído, puede ser expresada como:

B = (p - r) x g* y – x c – m – f

Donde representa el tiempo requerido para procesar una unidad de material mineralizado, dependiendo de la etapa que este limitando la operación minera.

B : Beneficio g : Ley de Corte aplicada al material mineralizado. g* : Ley promedio del mineral x : Proporción de material mineralizado clasificado como mineral.

y : Recuperación de metal en el proceso metalúrgico m : Costo mina por tonelada de material, ya sea mineral o estéril

c : Costo concentración por tonelada de mineral tratado. r : Costo refinación por tonelada de metal fino. f : Costos fijos por periodo p : Precio de venta por tonelada de metal fino

DECISION OPTIMA DE UN PERIODO

El Valor Presente (VP) de un período determinado puede expresarse como sigue:

V = V (T,R,) en que,

V : VP de una operación minera basada en un recurso finito T : Instante de tiempo en que se lleva a efecto la evaluación R : Cantidad de recurso aun disponible : Estrategias de leyes de Corte de la operación a futuro = {1, 2,…., T}, donde ¡ es la decisión adoptada en un período i, la

cual puede consistir en una ley de corte gi

la estrategia óptima estará determinada por el máximo valor de V, que puede se expresado como:

Max { V( T, R,)} = V* (T,R)

DECISION OPTIMA DE UN PERIODO

V· (T,R) = max { q B(, t) + V*· (T+t, R-q)} (1 + d)^t Donde,

Q : Consumo pequeño del recurso en t. B : Beneficio generado por unidad de recurso. : Estrategia seguida para incurrir en q. t : Tiempo incurrido para desarrolla d : Tasa de descuento del proyecto

mediante un arreglo matemático le ecuación anterior se reduce a

dV* = max {B – F t } dR q

La componente F es constante en el período y la maximización es sólo con respecto a F puede interpretarse como un costo de oportunidad del capital asociado a la operación

DECISION OPTIMA DE UN PERIODO

En consecuencia, el criterio de maximización es el siguiente:

dV*/dR debe ser un máximo en todos los puntos a lo largo de la estrategia óptima, cualquier q debe tener un máximo efecto sobre V*. Luego, sumando todos los aportes sobre V* correspondientes a una secuencia de consumos q, dará el mayor VP total

DETERMINACIÓN DE LEYES DE CORTE ECONOMICAS la expresión para determinar una ley de corte optima, es

dV* = max =g { (p - r) x g* y – x c – m – ( f + F ) } dR

Para establecer la ley de corte óptima, deben considerarse tres casos según sea la etapa que limita la producción. Estos casos dan origen a tres leyes de corte óptimas llamadas leyes de corte económicas.

LIMITACIÓN DE LA CAPACIDAD MINA Si la capacidad de extracción mina es M, el tiempo requerido para extraer una unidad

de material mineralizado es 1/M. Reemplazando este valor por

max =g { vm = (p - r) x g* y – x c – m – ( f + F ) }

M

maximizando se obtiene

gm = c /( ( p - r) y)

señala que el material mineralizado es considerado como mineral en la medida que su valor implícito (p – r)yg sobrepasa el costo de concentración.

LIMITACIONES DE LA CAPACIDAD DE TRATAMIENTO En este caso, una unidad de material mineralizado da origen a x unidades de mineral,

y estas tardan = x/C unidades de tiempo para ser tratadas. C es la capacidad de tratamiento.

max =g { vc = x [(p - r) g* y – c– ( f + F ) – m }

C

maximizando se obtiene:

gc = c + ( f + F )/C [ ( p - r ) y

LlMITACION DE LA CAPACIDAD DE REFINACION

Una unidad de material mineralizado da origen a x y g unidades de metal fino, que tardan = xyg/R en ser procesadas o vendidas, R es la capacidad de refinación. Luego, la expresión a maximizar será en este caso

max =g { vr = x [(p - r – ( f + F )g*y – c] } R

maximizando se tiene:

gr = c _ [ ( ( p - r) - ( f + d V ) R) y

DETERMINACIÓN DE LEYES DE CORTE DE EQUILIBRIO Se determinan debido a que la capacidad de operación no necesariamente está

limitada por una etapa.

Al graficar vm y vc y vr y realizar combinaciones se obtienen los siguientes casos

El problema de búsqueda de la ley de equilibrio entre dos etapas del proceso, se reduce a encontrar la máxima contribución al valor presente dentro del lugar geométrico factible de alternativas

Ley de corte de equilibrio Mina/Concentradora,

Gmc = gm, si gmc < gm

DETERMINACIÓN DE LEYES DE CORTE DE EQUILIBRIO

Ley de corte de equilibrio Mina/Concentradora

Gmc = gmc, en otro caso Gmc = gc, si gmc > gm

De igual manera se calcula la Ley de Corte de Equilibrio para el caso Mina/Refinería, Gmr, y para Concentradora/Refinería, Gcr

DETERMINACION DE LAS LEYES DE CORTE OPTIMA Determinadas las leyes de equilibrio para cada uno de los pares de etapas,

corresponde a continuación encontrar la ley de corte óptima y global entre todas ellas

G = Valor Central ( Gmc , Gmr , Gcr )

Caso de Estudio

Cap. Mina 10 Mtpa

Cap. Con. 4 Mtpa

Cap. Ref. 0,035 Mtpa

Costo Mina 0,84 US$/t Mat.

Costo Con. 3,8 US$/t min.

Costo Ref. 800 US$/t Cu

Costo fijo 3,3 MUS$/año

Precio Venta Prod. 3307,5 US$/lb Cu

Tasa de Dcto. % 8  

Recuperacion 0,88  

INFORMACION DISPONIBLE

Caso de Estudio

Intervalo de Fases Marca Tonelaje (Mt)Ley

Media Cu fino

(% Cu) Clase Parcial Acumulado % Acumulado (% Cu) (Mt)

0 0,2 0,1 12 206 100,00 0,906 1,64

0,2 0,4 0,3 27 194 94,17 0,956 1,63

0,4 0,6 0,5 44 167 81,07 1,062 1,56

0,6 0,8 0,7 23 123 59,71 1,263 1,37

0,8 1 0,9 22 100 48,54 1,392 1,22

1 1,2 1,1 17 78 37,86 1,531 1,05

1,2 1,4 1,3 19 61 29,61 1,651 0,89

1,4 1,6 1,5 14 42 20,39 1,810 0,67

1,6 1,8 1,7 11 28 13,59 1,964 0,48

1,8 2 1,9 3 17 8,25 2,135 0,32

2 2,2 2,1 8 14 6,80 2,186 0,27

2,2 2,4 2,3 6 6 2,91 2,300 0,12

Caso de Estudio

Procedimiento:

Se deben calcular las leyes de corte económicas y de equilibrio, para Mina, Concentradora y Refinería:

1) Se comienza la iteración tomando un VP=0 y se calcula Vm, Vc y Vr, dependiendo del proceso limitante:

Mina limita operación: ( = Reservas/M)

Vm = (p - r) x g* y – x c – m – ( f + F ) M

Concentradora limita operación: ( = x/C)

Vc = x [(p - r) g* y – c– ( f + F ) – m C

Refinería limita operación: ( = xyg/R)

Vr = x [(p - r – ( f + F )g*y – c] } R

Caso de Estudio

Ley de corte Tonelaje Acumulado (Mt) Cu fino Vm Vc Vr

(% Cu) Parcial Acumulado (Mt) MUS$ MUS$ MUS$

0,0 12 206 1,64 3093,70 2991,73 3006,85

0,2 27 194 1,63 3112,82 3020,75 3026,97

0,4 44 167 1,56 3036,68 2966,89 2957,55

0,6 23 123 1,37 2718,43 2684,93 2657,56

0,8 22 100 1,22 2450,57 2436,05 2403,05

1,0 17 78 1,05 2097,26 2100,89 2066,17

1,2 19 61 0,89 1749,23 1766,88 1733,65

1,4 14 42 0,67 1276,40 1309,73 1281,32

1,6 11 28 0,48 866,21 911,09 888,56

1,8 3 17 0,32 495,38 549,33 533,24

2,0 8 14 0,27 381,00 437,43 423,59

2,2 6 6 0,12 40,69 103,72 97,22

Obteniendo lo siguiente:

Caso de Estudio

Luego calculamos las leyes de corte económicas:

gm = c /( ( p - r) y)

gc = c + ( f + F )/C [ ( p - r ) y

gr = c _

[ ( ( p - r) - ( f + d V ) R) y

Caso de Estudio

Vm-Vc

0,0

500,0

1.000,0

1.500,0

2.000,0

2.500,0

3.000,0

3.500,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4

Ley de Corte

MU

S$ Vm

Vc

Leyes Economicas %Cu Leyes de Interseccion

gm 0,17 gmc 0,97

gc 0,21 gmr 1,35

gr 0,16 gcr 0,28

Caso de Estudio

Luego se debe determinar las leyes de corte de equilibrio:

Gmc = gm, si gmc < gm

Gmc = gmc, en otro caso

Gmc = gc, si gmc > gm

Vm-Vc-Vr

-1.500,0

-1.000,0

-500,0

0,0

500,0

1.000,0

1.500,0

2.000,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4

Ley corte

MU

S$ Vm

Vc

Vr

Caso de Estudio

Leyes Economicas %Cu Leyes de Interseccion Leyes de equilibrio

gm 0,17 gmc 0,97 Gmc 0,21

gc 0,21 gmr 1,35 Gmr 0,16

gr 0,16 gcr 0,28 Gcr 0,16

Ley de Corte Optima 0,17

Luego obtenemos lo sgte.:

A partir de lo cual calculamos lo siguiente:

Tiempo (años)

Mina 20,6

Concentrador 51,5

Refinador 46,9

Tiempo (años) 51

Qm (Mt/año) 4,04

Qc (Mt/año) 4,04

Qr (Mt/año) 0,03

Ley equilibrio (%) 0,17

Valor Anual (MUS$/año) 58,69

Valor Actualizado (MUS$) 719,19

Caso de Estudio

Luego se repite el proceso iterando a partir del VP obtenido en el proceso de iteración anterior, hasta que el VP actualizado sea igual de una iteración a otra.

Tiempo (años) 34

Qm (Mt/año) 5,28

Qc (Mt/año) 3,15

Qr (Mt/año) 0,04

Ley equilibrio (%) 0,79

Valor Anual (MUS$/año) 68,15

Valor Actualizado (MUS$) 1022,62

Determinación de leyes de corte por año:

Caso de Estudio

NºRemanente

Ley de Corte

Años Optima

1 1022,62 0,90

2 1006,99 0,88

3 990,11 0,87

4 971,88 0,86

5 952,19 0,84

6 930,92 0,83

7 907,95 0,82

8 883,14 0,80

9 856,35 0,78

10 827,42 0,76

11 796,17 0,74

12 762,42 0,68

Caso de Estudio

NºRemanente

Ley de Corte

Años Optima

13 736,06 0,64

14 707,59 0,59

15 676,85 0,54

16 643,65 0,50

17 624,05 0,46

18 602,88 0,44

19 580,02 0,42

20 555,53 0,40

21 528,66 0,38

22 499,86 0,36

23 468,76 0,34

24 435,17 0,32

Caso de Estudio

NºRemanente

Ley de Corte

Años Optima

25 398,17 0,30

26 359,75 0,29

27 326,17 0,28

28 289,95 0,28

29 250,83 0,28

30 208,58 0,28

31 162,95 0,28

32 113,67 0,26

33 60,45 0,24

34 2,97 0,20

Conclusiones

El comportamiento del vector de Leyes de Corte entregado por Lane es decreciente en el tiempo; ya que al intentar maximizar los flujos de caja de la operación, se debe considerar que los primeros años son lo que dan mayor aporte al VAN, por lo que se busca la explotación de las leyes mayores en esos años. Esto se logra por la incorporación del costo de oportunidad en el proyecto minero.

Al entregar un valor variable para cada periodo de operación de la mina, se permite realizar una planificación de la producción adecuada a cada uno de esos periodos.

El empleo de la función VAN dentro del calculo de las leyes de corte, constituye un criterio económico conveniente en la valorización de las reservas del yacimiento, pues considera las ganancias actuales y futuras del negocio, y tiene mayores posibilidades de acomodación a condiciones económicas cambiantes al considerar los ingresos y costos año a año en el flujo de caja neto anual.