CRROSS-VIRTUALES
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1
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASA. Principios de H. Cross
El método de Cross es un procedimiento numérico que esta basado en el método de
las deformaciones igual al método de las deformaciones es un método aproximado
ya que nos propone soluciones exactas.
Para analizar el principio de Cross analizaremos la siguiente estructura :
MA=
2 EIl
(−2∅ A−2∅ B )+MA
MA=
2 EIl
(−2∅ B−2∅ A )+MB
a. 1er Principio de Cross:
Hacemos la unidad de giro igual a 1 depende del giro q ha dado el ángulo.
La rigidez real de la viga es un momento pero que tiene característica
especial, el momento tendrá característica ya que hará girar un extremo a
la unidad
Si aplicamos el principio de ∅ B=0 a la primera ecuación tenemos
MA=
2 EIl
(−2∅ A−2∅B )+MA
2
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASM
A=−4EIl
(∅ A )
MA=−4EI
l
K¿−4EI
l Rigidez real de la viga
b. 2do Principio de Cross
Si aplicamos el Mb y la rotación ∅ B=0 entonces se tiene:
Para vigas de momentos de inercia constante vale ½ dentro del tramo.
Si EI es variable se tiene que calcular el valor de propagación
MA=
2 EIl
(−2∅ B−2∅ A )+MB
MA=
−2 EIl
(∅ A )
Relacionando Ma /Mbo la inversa tenemos
MA
MB
=2EI / l4 EI /l
∅ A
∅ A
=12
MB=1
2 M A
c. 3er Principio de Cross
Si consideramos la siguiente estructura
3
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
La suma de momentos será:
M=∅ A ¿
M=∅ A∑ K
Suma de las rigideces de todas las barras concurrentes al nudo.
K AB
∑ K Factorización de distribución (siempre es menor a la unidad)
FD=K AB
∑ K
Es una relación de rigideces donde el M se distribuye a cada barra
concurrente a un nudo.
De una tabla de momentos fijos de terminar las reacciones de:
o Doble empotrado con carga distribuida q
4
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
o Empotrado y apoyo móvil con carga puntual P
5
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASo Apoyo fijo y apoyo móvil con carga distribuida q
6
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASMETODO DE CROSS
Factores de distribución
Nudo A
DAB=0
Nudo B
DBA=5
5+5+3.5=0.37
DBC=5
5+5+3.5=0.37
DBH=3.5
5+5+3.5=0.26
Nudo C
DCB=5
5+3.5=0.59
DCD=3.55+3.5
=0.41
Nudo D
DDC=3.5
5+3.5+3.5=0.29
DDE=3.5
5+3.5+3.5=0.29
DDH=5
5+3.5+3.5=0.42
Nudo E
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASDED=
3.55+3.5
=0.41
DEF=5
5+3.5=0.59
Nudo F
DFE=5
5+5+3.5=0.37
DFG=5
5+5+3.5=0.37
DFH=3.5
5+5+3.5=0.26
Nudo G
DGF=0
Nudo H
DHB=3.5
5+3.5+3.5=0.21
DHD=5
5+3.5+3.5=0.29
DHF=3.5
5+3.5+3.5=0.21
8
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASDHI=
55+3.5+3.5
=0.29
Nudo I
D IH=0
BARRA I/L KAB I/3,5 5BC I/3,5 5CD I/5 3,5DE I/5 3,5EF I/3,5 5FG I/3,5 5BH I/5 3,5DH I/3,5 5FH I/5 3,5HI I/3,5 5
0.00MF -44.84
0.00MF 13.23
9
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Corrección en los nudos
Para el nudo B
Corrección del nudo
Corrección del nudo C
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Sumando para la corrección
Como es simétrico la corrección es lo mismo para los nudos E y F
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
DIAGRAMA DE MOMENTOS
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
METODO DE FUERZAS VIRTUALES
γ H° A °=2400kg
m3
γ H° S°=2300kg
m3
Para 1
qH ° A°=1∗0.1∗0.24∗2∗2400
1∗1=115.2 kg
m3
qH ° A°=115.2∗3.6=414.720kg
m3
Para 2
qH ° A°=3.6∗0.06∗2400=518.4kg
m3
Para 3
qH ° S°=3.6∗0.03∗2300=248.4kg
m3
Para 4
qPar=3.6∗14=5.04kgm
qExtra=250∗3.6=900kgm
13
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASqTotal=∑ q i=2131.92 kg
m
Isostático
−2∗¿
V A=25583.04kg
∑❑
❑
F H=0
H A=¿0 kg
∑M A=¿¿
2 [ (2131,92∗6 )∗2 ]−MA=0
M A=51166.08kg∗m
Para X1 = 1
Para X2 = 1