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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4º SECUNDARIA – IV PERIODO - 2008

VII. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÌNIMO COMÚN MÙLTIPLO

1. MÌNIMO COMÙN MÙLTIPLO (MCM)

El MCM de varios enteros positivos cumple dos condiciones: Debe ser un múltiplo común de los

números. Debe ser el menor de estos

múltiplos comunes.

2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

El MCD de dos o más números cumple las siguientes condiciones: Es un divisor común de los números. Es el mayor de todos ellos.

Ejm: Para 8 y 12 tenemos.

Se observa que: MCD (8 ; 12) = 4 MCM (8 ; 12) = 24

2.1. CASOS PARTICULARES

a) Si A = B MCM (A, B) = A y MCD (A,B) = B

b) Si A y B son PESI MCM (A; B) = A x B y MCD (A, B) = 1

2.2. MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES PARA LA OBTENCIÓN DEL MCD DE DOS NÙMEROS

Se divide el mayor entre el menor número, obteniéndose un cociente y un primer residuo; sin considerar el cociente, se divide el menor entre el primer residuo,

obteniéndose otro cociente y un segundo residuo; enseguida se divide el primer residuo entre el segundo y así sucesivamente, hasta que el residuo resulte cero. El MCD de los enteros, es el divisor de la última división cuyo residuo ha resultado cero.

3. PROPIEDADES DEL MCM Y MCD

a)

b)

c)

d) Si MCD (A; B y C) = DSe cumple:

A = d pB = d q PESIC = d r

e) Para 2 números A y B se cumple:

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Halla 2 números que cumplan que su MCD es 9 y el producto entre ellos es 1620.

Solución

Sean A y B los númerosA = MCD q1

PESIB = MCD q2

Dato:MCD = 9 ............ ()A x B = 1620 ...... ()

Reemplazando en ()9q1 x 9q2 = 162081 q1 x q2 = 1620q1 x q2 = 20

4 5 1 20

Cumplen:

A = 36 B = 45 yA = 9 B = 180

2).- Calcula el MCD de: A1353-1; A2255-1; A3157-1

Solución:

1353 2255 3157 41 123 205 287 41

3 5 7

MCD (1353; 2255; 3157) = 11 x 41 = 451

MCD A1353-1; A2255-1; A3157-1 = A451-1

3).- Encuentra el M.C.D de:

333....33 (4) y 777....77(8) en base 4

Solución:

A = 333.....33 (4) = 4462-1

B = 777.....77 (8) = 7378-1

Pero:

B =

B =

MCD (A; B) =

MCD (A y B) = 421 - 1

MCD (A; B) = 333.....33 (4)

4).- El MCM de las edades de dos personas es el doble de “A” y el MCD de sus edades es la tercera parte. Si “A” nació 24 años antes que B. ¿Cuántos años tiene A?Solución:

Sean A y B las edades (A > B)Dato: MCM = 2 x A

MCD =

Se cumple:

Reemplazando:

126

DIVISORES

1; 2; 4; 8

1; 2; 3; 4; 6; 12

NÚMERO

8

12

MÚLTIPLOS

8; 16; 24; 32;...

12; 24 ;36; 48;..

En general: sean los números A y B

donde A > B

q1 q2 q3 q4 Cocientes

A B r1 r2 r3 MCD

r1 r2 r3 o Residuos

MCD (A, B) = r3

MCD (A; B; C) = d Se cumple:

MCD (An; Bn; Cn) = dn

MCD

MCM (A; B; C) = n Se cumple:

mcm (Ak; Bk; Ck) = mk

mcm

Dados los números A; B y C Además: P; m; n y r Z+

A = Pm – 1B = Pn – 1C = Pr – 1

MCD (A; B; C) = PMCD (m; n; r) - 1

A x B = MCM (A y B) x MCD (A y B)

PESI

462 cifras 378 cifras

462 cifras

378 cifras

21 cifras

MCD x MCM = A x B



x 2A = A x B

B =

Dato: A – B = 24

Reemplazando:

A - = 24

= 24

A = 72 ; B = 48

5).- Se desea conocer el MCD de dos números enteros, cuya suma es 4572; sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo son: 1; 1; 3; 5 y 2.Solución:- Sea “d” el MCD de los enteros.- Disponiendo los datos tenemos

1 1 3 5 2d

0

Procediendo en forma inversa al cálculo del MCD, se obtiene:

1 1 3 5 281d 46d 35d 11d 2d d35d 11d 2d d 0

Como la suma de los números 4572 : 81d + 46d = 4572

d = 36

6).- El MCD (A y B) = 25 y el MCM (A y B) = 1250. Halla A x B.

Solución:

Se sabe MCM (A, B) x MCD (A y B)=A x B

1250 x 25 = A x B 31250 = A x B

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº08

1).- El MCD de : 50 y 175 es :

a) 25 b) 20 c) 15d) 10 e) 5

2).- El MCM de : 9; 25; 50 y 81 es :

a) 2025 b) 2030 c) 1020d) 3040 e) 9016

3).- Halla el MCD de N1; N2 y N3

N1 = 23 x 32 x 75 x 114

N2 = 29 x 37 x 7 x 510

N3 = 22 x 32 x 72 x 1720

a) 250 b) 252 c) 254d) 256 e) 260

4).- Si : MCD (5 y A)=20 y MCM(5 y A)=60.

Halla el valor de A.

a) 200 b) 240 c) 230d) 210 e) 250

5).- Si : MCM(7k y 3k) = 189Halla “k”a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

6).- Calcular el MCM de los siguientes números:

A = 24 . 36 .54 .113

B = 23 . 38 .52 .72

a) 24 . 38 .54 .72 .113 b) 24 . 54 .72 .112 c) 32 .72 .112 d) 23 . 72 .33 .52 e) N.A

7).- Calcula A + B si A =MCD(51,666,4002) ; B =MCM(1400,200,70)

a)121 b)4072 c)1451 d)1403 e)5402

8).- Halla “K” sabiendo que: MCD (210k; 300k; 420k) = 1200

a) 20 b) 30 c) 35d) 40 e) 25

9).- El MCD DE 45A y 63B es igual a 36. Halla el MCD de 25A y 35B

a) 21 b) 32 c) 20d) 15 e) 25

10).- Si M = 15N y MCD(M ,N) = 18Calcula : (M + N)

a)240 b)210 c)250 d)288 e)N.A

11).- Halla K, si MCD (A; B) = K MCD (C; D) = K/4 MCD (A; B; C y D) = 12

a) 48 b) 36 c) 12d) 18 e) 64

12).- Halla 2 números a y b primos entre sí, tales que el MCM de a y b es 330 y a – b = 7

a) 33 y 26 b) 22 y 15 c) 29 y 22d) 45 y 38 e) 28 y 21

13).- Dados: A = 3n x 42 ; B = 32 x 4n. Halla “n” sabiendo que el MCM de A y B es 1728 y “n” es mayor que 2.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

14).- El MCD DE 45A y 63B es igual a 36. Halla el MCD de 25A y 35B

a) 21 b) 32 c) 20d) 15 e) 25

15) Se quiere distribuir 135 cuadernos, 90 lapiceros y 225 borradores en paquetes que contengan igual número de éstos útiles escolares ¿cuántos paquetes habrán en total?a)25 b)35 c)45 d)55 e)N.A

16) Si las páginas de un libro se cuentan de 6 en 6, de 10 en 10 ó de 15 en 15 siempre sobran 3. ¿Cuántas páginas tiene el libro sabiendo que el total de ellas está entre 210 y 230 páginas?

a) 213 b)229 c)211 d) 215 e)N.A

17) La suma de dos números es 75 y su diferencia 15. ¿Determinar el MCM de aquellos números?

a) 30 b)60 c)90 d) 120 e)N.A

18).- Sean los números: A = 92 . 162 .252 B = 272 . 642 .1252

Si MCM(A ; B)= 2x+8 . 3y+15 .5z+6

Hallar: “x + y + z”

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

19).- El MCD de los números (36x; 54x; 90x) = 1620 Halla el menor de los números:

a) 8100 b) 4860 c) 1620 d) 3240 e) N.A

20).- Si A = 4n .5n y B = 12n .5n y MCD(A ; B) tiene 15 divisores calcula “n”

a)2 b)3 c)4 d)5 e)N.A

21).- El producto de dos números es 2304 y su MCD es 48, calcular el m

cm.

a)48 b)96 c)24 d)25 e)N.A

22).- Halla la suma de los cocientes que se obtienen al calcular el MCD de 273 y 168 por el algoritmo de Euclides.

a)8 b)3 c)5 d)6 e)N.A

23).- Si el MCD (12k; 18k; 30k) es igual a 48. Halla “K”

127



a) 5 b) 8 c) 3 d) 6 e) 16

24).- El mínimo común múltiplo de dos números es 240 y su MCD es 2; si uno de los números es 16 ¿cuál es el otro?

a)24 b)25 c)30 d)36 e)48

25).- Si se cumple: M.C.M. (A .B) = 240, M.C.D.(A .B) =40, calcular la suma de cifras de AxB.

a)13 b)14 c)15 d)16 e)17

26).- El largo de un rectángulo excede al ancho en 6m ¿cuánto mide su perímetro si el ancho es igual al MCD de 20; 24 y 32 en metros?

a) 26 b) 28 c) 34 d) 32 e) 26

27).- De las 178 clases de matemática al año, un alumno asistió a un numero de ellas que es múltiplo de 4, 12, 13 ¿A cuántas clases asistió y a cuántas clases faltó?

a) a = 153, f =25 b) a = 156, f =22c) a = 149, f =29 d) a =169, f =17e) a =155, f =21

28).- El MCD de 10A y 15B es 625 y el MCM de 14A y 21B es 31500. Entonces A x B es igual a:

a) 562 500 b) 93 700 c) 93 750 d) 112 500 e) 87 350

CLAVES DE RESPUESTAS1) a 2) a 3) b 4) b 5) e

6) a 7) d 8) d 9) c 10)d

11)a 12)b 13)d 14)c 15)c

16)a 17)c 18)b 19)d 20)a

21)a 22)d 23)b 24)c 25)c

26)b 27)b 28)a

VIII. NÙMEROS RACIONALES

1. NUMERO RACIONAL

Un número es racional cuando puede ser representado como una división indicada de dos enteros lo cual matemáticamente se define:

a =

Ejm:

2. FRACCIÒN: Una fracción es un número racional de la

forma donde “a” es un número entero

distinto de cero llamado numerador y “b” es un entero positivo llamado denominador, con la condición adicional, de que “a” es diferente de todo múltiplo de “b”.

Fracción :

Donde:

a Z bZ+ a b a 0

2.1. CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Sea la fracción .

a) POR LA COMPARACIÓN DE SU VALOR RESPECTO A LA UNIDAD.

PROPIA IMPROPIA

<1 A < B >1 A > B

b) POR SU DENOMINADOR: Siendo “K” un entero positivo.

DECIMAL ORDINARIA

B = 10k B 10k

c) POR LA CANTIDAD DE DIVISORES COMUNES DE SUS TÉRMINOS:

IRREDUCTIBLE REDUCTIBLEA y B son PESI

MCD (A; B) = 1A y B no son PESI

MCD (A, B) 1

d) POR GRUPO DE FRACCIONES:

HOMOGÉNEAS HETEROGÉNEASTodos tienen

igual denominador.

Al menos un denominador es

distinto a los demás.

NOTA:1.- La suma de dos fracciones irreductibles

es entero, entonces sus denominadores son iguales.

2.- Se dice que una fracción es divisible entre otra, si al dividir la primera entre la

segunda, el cociente resultan un número entero.

3. NÚMERO DECIMAL: Es la expresión lineal de una fracción; el cual se obtiene al dividir el numerador de la fracción entre el correspondiente denominador.Ejem:

3.1. CLASIFICACIÒN DE LOS NUMEROS DECIMALES:

a) NÚMERO DECIMAL EXACTO O LIMITADO (N.D.E)

Si el número de cifras en la parte decimal es limitado . Ejm.

27, 2965

0,32(5) =

3,726(9) =

En general para todo número aval exacto:

128

NumeradorDenominador

Términos de la fracción.

Si son irreductibles y

entero b = d

Si son irreductibles y

nZ a = d =

Número decimal

Exacto o Limitado

Inexacto o Ilimitado

Periódico PuroPeriódico Mixto

Número Decimal



b) NÚMERO DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO PURO.

Se dice que es periódico puro, cuando la parte decimal consta de una cifra o un grupo de cifras llamado período, que se repiten indefinidamente. Ejm. 8,777... =

0, 363636... = 0,36

0,651 (7)=

En general todo número aval periódico puro, con parte entera igual a cero:

c) NÚMERO DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO MIXTO:

Cuando la parte decimal consta de un período procedido por una cifra o grupo de cifras, llamado parte no periódica, que no forma parte del período.

5,7222... =

0,332999... =

En general para todo número aval periódico mixto:

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Si a los términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción ¿Cuánto suman los términos de la fracción original?

Solución:

Sea f = (a y b son PESI)

Luego:

Reduciendo:

a + 3b = 8a 3b = 7a

De donde: f =

Suma de términos 3 + 7 = 10

2.- Halla axb, si la fracción es equivalente

a .

Solución:Se cumple:

Descomponiendo y efectuando:77a = 22bsólo a = 2 , b = 7producto axb = 2x7 = 14

3.- ¿Cuántas fracciones comprendidas entre

son tales que sus términos

son números consecutivos.?

Solución:

Se cumple:

(I)

De (I): 0,8 < n n = 1, 2 ,3De (II): n < 3,8

Las fracciones ½ , 2/3 ; ¾

3 fracciones

4.- ¿Cuántas fracciones propias existen, tales que sean menores a 5/6 y sus términos son consecutivos.?

Solución:Fracción propia < 1

Luego f =

en < 5(n + 1) n < 5

sólo n = 1; 2; 3; 4

las fracciones son:

4 fracciones

5.- Con dos números primos se forma una fracción que sumada con su inversa

resulta . ¿Cuál es el menor número

primo?

Solución:Sean a y b primos.

dando forma:

Luego: a = 5 y b = 7

Menor primo = 5

6.- Indica el número de fracciones propias con denominador 37 que son menores a 2/3.

Solución:

f =

Luego. N <

N = 1; 2; 3; 4; ... 24

24 números

Existe 24 fracciones


1).- Calcula el valor de “C” si :

C =

a) 17/48 b) 61/35c) 15/23 d) 18/37 e) 24/39

2).- ¿Cuánto le falta a “E” para ser igual a 3/5, si :

E =

a) 4/35 b) 7/20 c) 1/30d) 1/25 e) 4/15

3).- Simplifica : E =

a) 2/9 b) 9/2 c) 3d) 1 e) 1/3

129



4).- Halla el valor de “P” + “Q” Si :

P =

Q =

a) b) c)

d) e)N.A

5).- Simplifica:

a) 3 b) 0 c) 4d) 1 e) 2

6).- Simplificar:

a) 12 b) 45 c) 90d) 75 e)n.a

7).- Simplificar:

a) 1/7 b) 36/25 c) 1/6 d) 3/5 e) n.a

8).- Halla: M =

a) 3,6 b) 2,4 c) 2,5d) 2,1 e) 3,2

9).- Si: es equivalente a . Halla: b - a

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10).- Efectúa:

M =

a) 25 b) 27 c) 28d) 30 e) 26

11).- Halla “x”:

a) b)

c) d) e)

12).- Efectúa :

R =

a) b)

c) 1 d) e) -1

13).- Efectúa :

M =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14).- Halla (a + b); si son primos entre sí y

además: y son equivalentes.

a) 12 b) 10 c) 14d) 15 e) 16

15).- Halla el valor de :

M =

a) 10/24 b) 13/31c) 10/31 d) 17/18 e) 15/18

16).- Halla “a”:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

17).- Efectúa :

E =

a) b) c)

d) e)

18).- Efectúa :

a) 1,71 b) 1,86 c) 1,96 d) 1,69 e) 0,69

19).- Halle el triple de C si:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

20).- Halla el equivalente de:

a) b) c)

d) e)

21).- Al simplificar la expresión

a) b) c)

d) e)

22).- La simplificación de

es:

130



a) b) c)

d) e)

23.- Efectuar:

a) b) c)

d) e)

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) d 3) b 4) c 5) b

6) b 7) b 8) b 9) d 10)e

11)a 12)b 13)d 14)a 15)d

16)d 17)a 18)d 19)c 20)b

21)b 22)b 23)b

131



IX. RADICACIÓN

1. DEFINICIÓN :Tiene por objeto calcular una expresión llamada raíz, conociendo otras llamadas índices y radicando; tal que dicha raíz elevada al índice reproduzca el radicando.Es decir:

2. SIGNOS DE LAS RAÍCES:

a).-

b).-

c).-

3. RADICALES DOBLES: Son expresiones matemáticas de la forma:

; nZ+ ; n 2

3.1. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES O SENCILLOS:

=

donde: C =

3.2. REGLA PRÁCTICA:

= * a > b

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Efectúa: 4

Solución :

2).- Efectúa:

Solución :

3).- Multiplica:

Solución:

4).- Simplifica:

Solución:

5).- Efectúa:

Solución:

6) Halla la raíz cuadrada de:

Solución :

Rpta : +

7) Reduce:

Solución :

3 + 1 = 4

Rpta = 4

8) Transforma a radicales simples:

E =

Solución:

; 60 = 60 x 1


1).- Efectúa:

a) b2 b) 2b2 c) 0

d) 6 e)

2).- Simplifica:

a) 2 b) 3 c) 1d) 6 e) 5

3).- Efectúa:

a) 2 b) 3 c) 1d) 6 e) 5

4).- Simplifica:

a) 4 b) 3 c) 1d) 6 e) 5

5).- Halla un radical simple de:

M=

a) 4+ b) 4-

c) 2- d) 2+e) N.A.

6).- Simplifica:

a) 1 b) 2 c) –1d) -2 e)

7).- Efectúa:

a) 3 b) 0 c) d) 1 e) 6

8).- Reduce:

-

a) b) -1 c) -

132

Índice

Signo radical

Radicando o cantidad subradical

raíz n Z+



d) 1 e) 0

9).- Transforma a radical simple y efectúa:

a) b) c) -d) –3 e) -5

10).- Calcula:E =

a) 1 b) 2 c) 3d) -2 e) -1

11).- Reduce:

M=

a) 2 b) 4 c) 6d) –3 e) N.A.

12).- Reduce:

a) b) c)

d) e)

13).- Reduce:

a) 2 b) 4 c) 6d) –3 e) 5

14).Resuelve:

a) 32 b) 4 c) 16d) 8 e) 25

15).- Halla el radical simple:

-3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16).- Efectúa:

a) 3 b) 0 c) d) 1 e) 6

17).- Reduce:

a) b)

c) d) e) N.A

18).- Indica un radical de:

a) b) c)

d)2 e)

19).- Indica un radical de:

a) b) c)

d) e)

20).- Simplifica:

a) 2 b) –3 c) 4d) 1 e) -1

21).- Reduce:

a) 2+ b) 3 – c) 4+

d) + 1 e) N.A.

22).- Efectúa:

a) 1 b) 2 c)

d) e)

23).- Halla la raíz cuadrada de:

E = 2x – 1 + 2

a) (x + 2) + (x + 3) b)

c) d)

e)

24).- Calcula el valor de (a + b + c)

a) 1 b) 2 c) 6 d) 0 e) N.A.


1) c 2) b 3) b

4) a 5) c 6) d

7) c 8) d 9) c

10) d 11) a 12)c

13) b 14) a 15)a

16) a 17)c 18)d

19) a 20) a 21)d

22) d 23)c 24)c

X. RACIONALIZACIÓN

1. DEFINICIÓN: Es una operación que consiste en transformar una expresión (con denominador irracional) en otra equivalente parcialmente racional (con denominador racional)

2. FACTOR RACIONALIZANTE:

Llamamos así a aquella expresión irracional tal que, al multiplicar a otra que también es irracional la convierte en una expresión racional.

3. CASOS:

Expresión Irracional

Factor Racionalizante

Expresión Racional

1° ; n > k A

133



2° A - b

3° a + b

4° A - b

NOTA :En la mayoría de los ejercicios o problemas se racionalizan los denominadores; pudiendo racionalizarse también los numeradores.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.Racionaliza :

Solución:

2).- Racionaliza:

Solución:

3).- Racionaliza:

Solución :

4).- Racionaliza:

Solución :

= 2 +3 +

5).- Efectúa:

B =

Solución :

Luego :

B =

B = 3

6).- Racionaliza:

Solución :

=

=

7) Racionaliza:

Solución :

x

8) Racionaliza:

Solución :

Transformamos a radicales simples.


1).- Racionaliza:

a) 3x b) 25 c) 5d) 95 x e) 9

2).- Racionaliza:

a) 3 b) 2 c) 1

d) 15x e) 6

3).- Racionaliza:

a) b) +2 c)

-2

d) 2+ e) N.A.

4).- Racionaliza:

a) b) c)

d) e)

5).- Racionaliza:

a) 5- 4 b) 5 +4

c) 4 - 5 d) e) N.A.

6).- Racionaliza e indica el denominador:

a) 3 b) –3 c) -5d) –10 e) N.A.

7).- Racionaliza:

a) b) c)

d) e) N.A.

134



8).- Racionaliza: +

a) b) 2 c) 2

d) 3 e) 2


a) 78 b) 81 c) 84d) 39 e) N.A.

10).- Racionaliza :

- 4

a) b) 2 c) 2

d) 3 e) N.A.

11).- Calcula:

a) 1 b) 2 c) –1d) –2 e) -3

12).- Luego de racionalizar es

igual a:a) b)

c) 1 d) e)

13).- Resuelve:

a) 7 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3

14).- Resuelve:

a) 1 b) 10 c) 0 d) 2 e) 3

15). Resuelve:

a) 7 b) 1 c) 4 d) 2 e) –3

16).- Resuelve:

a) b) 2 c) /2 d) 2.5 e) 5

17).- Halla el valor de “a” en :

a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66

18).- Simplifica:

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2

19).- Racionaliza:

A =

a) b) 1 c)

d) 2 e) 2

20).- Reduce :

a) –1 b) 0 c) 1d) 2 e) 3

21).- Reduce:

a) b) c) d) 1 e) 0

22).- El denominador racionalizado de:

P = ; es:

a) m-4 b) m+4 c) m-2d) m+5 e) m-5


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

24).- Simplifica:

E =

a) 5 b) c)

d) e) N.A.

25).- Simplifica:E=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A

26).- Simplifica: M =

a) b) 1 c)

d) 2 e)


1) d 2) b 3) c

4) b 5) c 6) c

7) c 8) e 9) d

10) b 11) d 12) a

13) d 14) b 15) e

16) c 17) e 18) c

19) b 20) b 21) e

22) a 23) a 24) c

25) c 26) b

VII. CIRCUNFERENCIA

1. CONCEPTO

135



1.1.CIRCUNFERENCIA Conjunto de los puntos de un plano que se encuentra a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

1.2.CÍRCULO Superficie, determinada por la unión de una circunferencia y su región interior.

a) Centro : O

b) Radio :

c) Diámetro...........................:

d) Arco :

e) Cuerda..............................:

f) Secante.............................: L

g) Tangente...........................: L1

h) Flecha o sagita..................:

i) Normal..............................: L3

j) Punto de Tangencia..........: T

k) Sector Circular..................: AOB

l) Segmento Circular............: EQ

2. PROPIEDADES

a) El radio es perpendicular a la tangente.

OA L

b) Arcos comprendidos entre rectas paralelas son congruentes.

Si :

mAB = mCD

c) Arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes.

Si : m AB = m CD

d) Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.

Si :

BA = AC

e) Por un punto exterior se trazan dos tangentes, las cuales son congruentes.

es bisectriz de ABC

f) Si: ; entonces a = b.

g) Si : , entonces AC=BD.

Si: ; entonces AT TB.

h) De un ángulo exterior.

x ° + y° = 180°

i) Tangentes comunes interiores.

j) Tangente comunes exteriores.

AB = CD

k) Si A, B y C son puntos de tangencia.

x° = 90°

l) Si “M” es punto medio de AC.

x° = 90°

3. ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

3.1. ÁNGULO CENTRAL

m x° = m AB

3.2. ÁNGULO INSCRITO

m x° =

136

D

B

C

E

L

L1T

L3

A

MQ

P

N

O

A

L

O R

CB

A D

D

CB

A

A

C

B

OF

O

C

B

A

C

A

P Q

D

B

T

x° y°

C

AD

B

C

A

D

B

A

C

B

x°

A

C

B

x°

M

x°

B

C

A

R

R

O

B

A

X°

O

B

a b

A C

D



3.3. ÁNGULO SEMINSCRITO

° =

3.4. ÁNGULO EXINSCRITO

3.5. ÁNGULO INTERIOR

3.6. ÁNGULO EXTERIOR

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Según el gráfico m APB = mAQB = x°,

calcula el valor de x°.

Solución:

Por dato:

m AQB = mAPB = x Por ángulo inscrito

m AOB =

m AB =

Luego :

+ x = 360°

= 360°

x = 240°

2).- En la figura mostrada, calcula el valor de x° si mBAC = 184° (A es punto de tangencia).

Solución:

Por dato :mBAC = 184°

mBQC = 176°

Luego por inscrito:

mBAC = 88°

también por ángulo semi-inscrito:

m BAC =

x = 88°

3).- Según la figura O es centro de la circunferencia; , calcula el valor de x, si mAF = 70°.

Solución:Por dato :

mCF = mABObs :m AF = mBC = 70°Por interior:

m CQB =

m CQB = 70°

x = 20°

4).- Según el gráfico, calcula la mAD (A y D son puntos de tangencia).

Solución:

* CDF ángulo semi-inscrito

mCQD = 100°

* Por exterior:

mAD – mAC = 120° ......... ()

Pero :

mAD + mAC = 260° ..…...()

“ + ” :2m AD = 380°

mAD = 190°

5).- En un arco de circunferencia AB, donde AB es un diámetro se tiene que mCAB=20°, es paralelo a

es tangente al arco. Halla el ángulo PDB.Solución:

137

°

B

CA

D

B

C

A

F

B

E

A

D

m°

n°

C

°

x

A

C

B

x

A

C

B

88°

P

Q

B

A

C

20°

xC

40

B

D

P

70°

A

n°m°

°

C

A

D

n°m° ° A

C

DE

A

B

Q

P

x/2O

A

B

Q

P

O

O

B

AF

x

C

60°

50°

D

CA

B

QF



En la figura: BC=40°

AD = DC = 70°

Entonces : x = x = 55°


I. Calcula : (2 Pts. c/u)

1).- Calcula la flecha de la cuerdaµ §, si: AB = 8 y r = 5cm.

a) 1 cm.b) 2 cm.c) 3 cm.d) 4 cm.e) 5 cm.

2).- En el triángulo, AB = 8; BC = 7; AC = 6, calcula “AM”.

a) 2,5b) 3c) 3,5d) 4e) 1,5

3).- En un triángulo de catetos: AB=12, BC=16, halla el inradio del triángulo.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

4).- En una circunferencia de radio 13cm, se tiene una cuerda AB que mide 24cm, halla la sagita de AB.

a) 5 cm. b) 6 cm. c) 8 cm.d) 7 cm. e) 4 cm.

5).- En un triángulo ABC se sabe que: AB = 8, BC = 10 y AC = 12, la circunferencia inscrita

determina sobre el punto “M” . Calcula “AM”.

a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 3

6).- Halla “PC”, si: AB = 9; BC =15 y AC = 18.

a) 20b) 21c) 22d) 18e) 24

7).- “P”, “E” y “Q” son puntos de tangencia y el perímetro del triángulo ABC es 24, halla “QC”.

a) 12 b) 18 c) 24d) 48 e) 60

8).- En el trapecio isósceles: AD = BC = 8cm.

Calcula la mediana del trapecio.


9).- Halla “R”, si AB = 5 y BC = 12.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

10).- Halla “x”, si: “T” es punto de tangencia, AO = OB = BP = 1.

a) 60° b) 53° c) 45°d) 30° e) 37°

11).- Se tiene un triángulo rectángulo de semiperimetro 16cm y de inradio 4cm. Calcula la longitud de la hipotenusa.

a) 16 cm. b) 13 cm. c) 12 cm.d) 10 cm. e) 5 cm.

12).- Halla “x”, si: “O” es centro.

a) 18° b) 15° c) 12°d) 10° e) 9°

13).- Halla “x”, si : “O” es centro.

a) 100° b) 110° c) 120°d) 130° e) 140°

14).- En la figura, calcula “R + r”, si AB = 5 y BC = 8.

a) 23 b) 11,5 c) 10,5 d) 13,5 e) 14

15).- Halla “R”, si: AB = 9; BC =12.

a) 15b) 16c) 18d) 20e) 22

16).- Calcula el perímetro del triángulo ABC.

a) 10b) 15c) 20d) 25e) 18

17).- Del gráfico R = 3 y r = 1. Calcula “ ”.

a) 3 b) 4

138

r

B

A

A

Q

P

M

C B

A

P

E

C

B

T

A

P

E

C

B

Q

A

DC

B

A

R

C

B

A B

x°

T

OP

A Bx°

T

O C4x°

A B

x°

T

O C25°

A

CB T

PO

R

A

B

C

10

1

4

A

B

C

R

r

A

B C

D

E

r

R



c) 5 d) 6 e) 10

18).- Se tiene un octógono ABCDEFGH circunscrito a una circunferencia, donde: AB = 1; BC = 1; CD =1,5; DE = 0,5; EF= ; FG = 2,7; HA = 0,8; calcula “GH”.

a) 0,5 b) 1 c) 0,8d) 1,5 e) 2

19).- En la figura, calcula “AB”, si: CD = 6cm.


20).- ¿En qué relación deben estar los radios de dos circunferencias tangentes exteriores para que el ángulo formado por los dos tangentes comunes exteriores mida 60°?

a) 1 : 2 b) 1 : 3 c) 2 : 3d) 2 : 5 e) 3 : 5

VIII. CUADRILÁTERO INSCRITO E INSCRIPTIBLE

1. CUADRILÁTERO INSCRITO

1.1. CONCEPTO Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una circunferencia.

ABCD Inscrito

1.2. PROPIEDADES

a)

b)

2. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

2.1. CONCEPTOEs aquel cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia.

ABCD Inscriptible

NOTA :Para que un cuadrilátero sea inscriptible debe cumplir con las propiedades del cuadrilátero inscrito.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Según el gráfico, halla el valor de “x”.

Solución: Del gráfico:

* + = 100°Luego :x + + = 180°

x = 80°

2).- Según la figura es diámetro, halla : “x + y”.

Solución: Del gráfico:* 2 + 2 = 180° + = 90°También : x + = 180° ....(I) y + = 180° .....(II)

(I + II)x + y + + = 360°

x + y = 270°

3).- Si BC = CD, mBC = 40° y mAE = 90°, halla “x”.

Solución: Por dato :

mBC = mCD = 40° mCOD = 40° También :* m AE = 90°* Por interior:

m OPE =

mBED = 40° EOPD Inscriptible

x = 65°

4).- Según el gráfico, halla el valor de “x”.

139

A

B

C

D

E


1) b 2) c 3) b 4) c 5)

c

6) b 7) a 8) b 9) b

10)d

11)c 12)d 13)e 14)b

15)c16)c 17)c 18)a 19)d

20)b

B

C

DA

+ = 180°

=

=

=

BC

DA

80°

x

x

y

A

B

x 70

80°

x

x

y

A

B

2

2

O

B

C

D

E

A

40°

x

65°

40°

P

O

B

C

D

E

A

x



Solución:

Por propiedad :* mOAB = mTCR =90°

Obs:

ABCD Inscriptible m ACB = x

Luego por ex-inscrito:

X =

X = 55°

5).- En un trapecio rectangular ABCD, de bases ( ) y altura

, se trazan las perpendiculares

a la base mayor y al lado no

paralelo respectivamente. Si mAMD = 40°, entonces el ángulo DAH, mide:Solución:

En la figura ABMD es inscriptible entonces:AMD = ABD = 40°

x = 50°


NIVEL I

1).- Si: TM = OM, halla mMBA, “O” es centro y “M” es punto de tangencia.

a) 72°b) 50°c) 75°d) 60°e) 67°30’

2).- “D”, “E” y “F” son puntos de tangencia; “M” y “N” son puntos medios de DF y EF respectivamente y mB = 80°, halla “mMPN”.

a) 58°b) 70°c) 40°d) 65°e) 60°

3).- En el siguiente gráfico; mEAD = 45°, mADB = 80° y mDCB = 140°, halla: “mAE”

a) 30° b) 15° c) 20°d) 40° e) 45°

4).- Si: “O” es centro, mBD = 30° y PC = OB, halla: mP

a) 10° b) 20° c) 15°d) 25° e) 30°

5).- En la figura adjunta: mDFE = 100° y mACD = 30°, halla: mABD.

a) 55° b) 60° c) 50°d) 65° e) 85°

6).- En una circunferencia se tiene los puntos consecutivos: “A” , “Q”, “B” y “P” tal que: mAP = 50°, y forman un ángulo de 30°. Halla: mBQ

a) 10° b) 15° c) 25°d) 30° e) 18°

7).- son dos cuerdas de una circunferencia que se cortan perpendicularmente tal que: mBAC = 35°, halla la medida del ángulo ABD.

a) 70° b) 35° c) 45°d) 55° e) 60°

8).- En una circunferencia de centro “O”, se inscribe el cuadrilátero ABCD, tal que es diámetro y mBCD = 125°, halla: mADB + mDAB.

a) 105° b) 120° c) 130°d) 145° e) 150°

9).- En una circunferencia de centro “O”, se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”. Si: mAB = 120° y mOBC = 45°, halla: mOAC.a) 30° b) 15° c) 75°d) 5° e) 45°

10).- Las tangentes en “A” y “B” a una circunferencia forman un ángulo que mide 54°. “C” es un punto cualquiera del menor arco AB. Halla: mABC.

a) 108° b) 124° c) 126°d) 117° e) 110°

11).- En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) mBFE = 32°, siendo “E” y “F” los

puntos de tangencia sobre los lados determinados por la

circunferencia inscrita. Halla : mB.

a) 42° b) 36° c) 52°d) 62° e) 50°

12).- Si: mLAM = 90°, halla: mKQN, siendo “K”, “L”, “M” y “N” puntos de tangencia.

a) 50°b) 60°c) 30°d) 45°e) 40°

13).- Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes

y , luego se ubica el punto “C” en el arco mayor AB. Halla mHBC, si:

y mAPB = 70°.

a) 25° b) 30° c) 40°d) 35° e) 45°

14).- En la siguiente figura: mEGF = 80°; halla: mD.

a) 95°b) 100°c) 105°d) 130°e) 120°

15).- Halla m A, si: x = 40°

140

xD

70°

110°

OB

R

C

A

T

x

A B

CD

Mx

H

40°

40°

T

M

B O A

D

B

CAF

EP

M N

E

DC

BA

P

CD

BA O

A E

B

C

D

F

K A N

L M

Q

C

B D

EG

F

A

x Q

CAH

P

B



a) 80° b) 60° c) 40°d) 70° e) 50°

16).- Circunferencia concéntricas de centro “O”, mBOA = 120° y mOBA = 20°, halla: mFG.

a) 20° b) 10° c) 18°d) 15° e) 30°

17).- Calcula x:

a) 110°b) 120°c) 130°d) 140°e) 150°

18).- Calcula “x”, si mABC = 60°

a) 20°b) 30°c) 40°d) 50°e) 39°

19).- Calcula “x”, si: mPQ = 60°

a) 30° b) 60° c) 90°d) 120° e) 180°

20).- Calcula x en la figura.

a) 80° b) 100° c) 120°d) 90° e) 35°

NIVEL II

1).- Calcula “x” :

a) 50° b) 60° c) 100°d) 120° e) 110°

2).- El perímetro de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia es 12, si uno de sus lados mide 1, encuentra su lado opuesto.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3).- El inradio y el circunradio de un triángulo rectángulo miden 2 y 5. Halla el perímetro del triángulo.

a) 12 b) 24 c) 13 d) 26 e) 11

4).- En un triángulo ABC, mB = 90°, mC = 37°, el perímetro del triángulo es

24. Calcula su inradio.

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

5).- En un trapecio recto circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 2, uno de sus ángulos mide 45°. Calcula la mediana del trapecio.

a) 4 b) 2

c) 2( +1) d) 4( - 1)

e) 2( +2)

6).- Si ABCD es un rectángulo AM = MD, halla “x”

a) 37° b) 30° c) 45°d) 53° e) 80°

7).- Del gráfico, calcula “”.

a) 36 b) 18 c) 42d) 54 e) 72

8).- En un triángulo rectángulo PQR, sobre la hipotenusa PR, se construye exteriormente el cuadrado PMNR. Si las diagonales de dicho cuadrado se intersecan en “O”.Halla mQOP, si mQPR = 56º

a) 15º b) 18º c) 24º d) 34º e) 30º

9).- Calcula “BE”, si R = 6 y r = 2.

a) 5 b) 3 c) 10d) 6 e) 12

10).- Calcula el perímetro del trapecio isósceles ABCD, si mA = 30°, r = 1

a) 16b) 8c) 4d) 2e) 1

11).- En la figura: T es punto de tangencia y mTE = 80° .Calcula “x”.

a) 30° b) 35° c) 40°d) 45° e) 50°

12).- Calcula “x” :

141

BF

G O

A

40°

x

x

20°

CB

A D

x

PQ

80°x

BC D

100°

AF

x°

E

C

DA

B

x

M

4

6

E

R

A D

CB

r

r

C

DA

B

T

AE C

B

F

x

B

A

D

E

O

x35°



a) 10° b) 15° c) 10°d) 20° e) 24°

13).- Calcula “x”.

a) 30° b) 40° c) 45°d) 50° e) 60°

14).- Calcula “x”, si : AC // ME.

a) 30° b) 15° c) 45°d) 26,5° e) 22,5°

15).- Calcula “x”, si AE = EH y BH= AC.

a) 30° b) 22,5° c) 26,5°d) 60° e) 45°

16).- Halla mFE, si mAB + mBC =120°

a) 100° b) 110° c) 120°d) 130° e) 140°

17).- Si “T” es punto de tangencia, calcula “x”.

a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) 30°

18).- Si P, A y N son puntos de tangencia. Halla “x”.

a) 90°- b) c) /2 d) 45°- /2 e) 90°- /2


NIVEL I1) e 2) d 3) a4) a 5) a 6) a7) d 8) d 9) b10)d 11)d 12)c13)d 14)b 15)c16)a 17)d 18)c19)b 20)b

NIVEL II1) c 2) c 3) b4) c 5) c 6) d7) b 8) d 9) c10)a 11)c 12)d13)c 14)a 15)e16)c 17)a 18)d

142

x

x

xA

B

H

E

C

AB

C

D

F

P

E

50°

x

T

M

P

T

A

N Q

O

x

BA

C

D

E

F

MO

2x

x



IX. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son igualdades que contienen funciones de ángulos desconocidos que solamente se verifican para ciertos valores de esos ángulos que se llaman soluciones de la ecuación:

SOLUCIÓN BÁSICA (S.B)Son aquellas que están comprendidas en [O; T], donde “T” es el período de la función.

OBSERVACIÓN

ANG. REDUCIDO

ANG. REDUCIDO

IIC = 180° - = 180° - IIIC = - 180° = 180° + IVC = 360° - = 180° -

Donde : ángulo de referencia.

EXPRESIÓN GENERAL DE TODOS LOS ÁNGULOS O ARCOS QUE TIENEN UNA

MISMA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Valor Principal (Vp):

1) E.G. PARA EL SENO Y COSECANTE

XG = k + (-1)KVp = 180°k + (-1)KVp

Donde : k: entero

2) E.G PARA EL COSENO Y SECANTE

XG = 2k Vp = 360°K Vp

3) E.G PARA LA TANGENTE Y COTANGENTE

XG = K + Vp = 180° + Vp

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Resuelve : Sen x= para x [0; 2]

Solución : En la C.T.

Del gráfico las soluciones son :

2) Resuelve : Tg2x = 1 para x [0; 2]

Solución :

Luego :

2x =

x =

Tomando los valores que se encuentran en {0; 2]


1).- Resuelve : Senx= ½. Da como respuesta la suma de las 4 primeras soluciones positivas.

a) 960° b) 1040° c) 1060°d) 1080° e) 1800°

2).- Encuentra la suma de las tres primeras soluciones positivas de:

Cosx =

a) 855° b) 890° c) 710°d) 725° e) 765°

3).- Halla la suma de los valores de x, 0° x 210°, que verifican

Sen2x =

a) 200° b) 290° c) 300°d) 315° e) 330°

4).- Si: 0° x 100°. Resuelve: Cos3x= 1/2.Da la suma de valores.

a) 100° b) 110° c) 120°d) 140° e) 160°

5).- Resuelve e indica una solución general de:

Sen2x + Sen4x = Cosx

a) n + (-1)n b) n 4

c) n+(-1)n d) n

e) N.A.

6).- Resuelve : 3(Sen2 x-1) = 6Senx – 7Cos2x

a) 30° b) 45° c) 15°d) 60° e) 75°

7).- Resuelve : Cos 3x=Senx

a) /5 b) /6 c) /7d) /8 e) /9

8).- Resuelve : Senx – Tgx = 0

a) /6 b) /3 c) /7d) e) /12

9).- La solución de la ecuación: par

(0 x 2)

2Senx – Cscx = 1

a) /2, 7/6 b) 7/6, 11/6c) /2, 11/6 d) /2, 7/6, 11/6e) N.A.

10).- Resuelve :

E indica el menor ángulo positivo.

a) 15° b) 30° c) 7°d) 7°30’ e) 10°

11).- Resuelve : Tg3x - - 2 = 0

a) 25° b) 30° c) 70°d) 27° e) 10°

143

y

x

½ ½ /65/6

C.T.

/4

5/4

0

1



12).- Resuelve: 2Cos +1= 0

a) 150° b) 130° c) 170°d) 270° e) 100°

13).- Resuelve : Si: x+y=90° ; Sen (x-y) =0Calcula : “x.y”

a) 2 b) c)

d) e)

14).- ¿Cuál es el menor valor de “Sen x” que satisface la ecuación?

Cosx - Senx = 1

a) –0,14 b) –0,28 c) –0,57d) –0,7 e) –0,56

15).- Resuelve la ecuación:

Sen4x + Cos4x =

E indica la menor solución positiva.

a) 30° b) 60° c) 45°d) 75° e) 18°

16).- Resuelve :

Sen2x + Sen2y = 0

a) x=y b) x=y=kc) x=k y=n d) x=e) x= y=2 + /3

17).- Al resolver la ecuación:

Cosx = 1+ Senx; donde:0 x 2

La suma de todas sus soluciones es:

a) 5/4 b) 5/3 c) d) 5/2 e) 5

18).- Resuelve : x + y = 2

Senx = 2Seny

a) 90°; 30° b) 60°; 60° c) 70°; 50°d) 45°; 75° e) N.A.

19).- Resuelve : Sen6x-Sen2x= Cos4x

a) /6 b) /8; /6 c) /2d) /8; -/6 e) /2

20).- Resuelve :

2Sen2x – 5SenxCosx – 8Cos2x + 2

a) k - ArcTan2 b) k + ArcTan2c) k + ArcTan4 d) k + ArcTan6e) k + ArcTan8

21).- Resuelve e indica la menor solución positiva en : 2Cos2x + 4Sen2x = 3

a) 0° b) 30° c) 45° d) 60° e) 53°

22).- Indica la menor solución positiva : 1 + Sen2x = 7Cos2x

a) 30° b) 45° c) 60°d) 53° e) 37°

23).- Resuelve : Cosx – 1 = Cos2x

a) 45° b) 60° c) 90° d) 80° e) 120°

24).- Resuelve e indica las soluciones positivas menores de 360° para Tg2x + Secx = 1

a) 0°, 120°, 240° b) 80°, 120°c) 0°, 60°, 120° d) 90°, 270°e) 30°, 60°, 90°

25).- Resuelve e indica la menor solución positiva : Ctg2x + Ctgx = 0

a) 30° b) 45° c) 60°d) 75° e) 12°

26).- Resuelve e indica la peor solución positiva en : Secx(1+ Cos2x) = 1

a) 30° b) 45° c) 60°d) 75° e) 90°

27).- Resuelve : Sen5x + Senx = Sen3x e indica como respuesta la suma de todas las soluciones positivas menores de 180°.

a) 40° b) 180° c) 240° d) 300° e) 360°

28).- Resuelve : Cos3x- 2Cos2x + Cosx = 0 e indica la solución /2 < x <

a) 5/6 b) 2/3 c) 3/4d) 7/12 e) N.A

29).- Resuelve : 3Tg2x + 5 = 7Secx, siendo k entero.

a) 2k /3 b) k /3

c) k/2 /3 d) 2k /6

e) 2k /4

30).- Resuelve : Sen5x – Sen3x + Senx = 0e indica una solución general para x 0

siendo k entero.

a) k + /6 b) k /6

c) k /3 d) k (-1)k/6

e) 2k /6

31).- Halla la suma de las 4 primeras soluciones positivas de la ecuación :

Ctgx = 4SenxCosx

a) 180° b) 270° c) 260°d) 480° e) 540°

32).- Resuelve : Tg3x = Tg5x

a) k b) k/2 c) k/3 d) 2k e) k/4

33).- Resuelve : Senx + Cosx = 1. Indica la tercera solución positiva.

a) 0 b) /2 c) d) 3/2 e) 2

34).- Resuelve la ecuación:

Sen6x + Cos6x = 0,25.

Para 90° < x < 180°

a) 115° b) 130° c) 145°d) 135° e) 150°

35).- Resuelve e indica un valor de x en : Tg2x = 2Tgx

a) /4 b) /3 c) /2d) /6 e)

36).- Resuelve : Sen2x = Senx Cosx

a) 0 b) /6 c) /4 d) /3 e) a y c

37).- 2Sen2x – Senx – 1 = 0

a) /3 b) /4 c) /6 d) /2 e)

38).- Resuelve : Sen2x – Cos2x = 1

a) 0 b) /3 c) 2/3 d) /2 e)

39).- Resuelve : Sen2x = Cosx, indica como respuesta un arco del II cuadrante.

a) /2 b) 2/3 c) 5/6 d) 3/4 e)

40).- Encuentra una expresión general para el arco x si k pertenece a los enteros.

Tgx + Ctgx -2 = 0

a) k + /4 b) k - /4c) k /4 d) /4(k+1)e) /4(k-1)

144



41).- Resuelve e indica un valor en [, 2] 2Sen2x + 3Cos2x = 2

a) 7/6 b) 5/4 c) 4/3d) 5/3 e) 7/4

42).- Resuelve e indica la menor solución positiva : Tgx – Ctg2x = 0

a) /6 b) /4 c) /3d) /2 e) N.A

43).- Resuelve indicando la menor solución positiva : Sen6x – Sen5x = Sen7x

a) /2 b) /3 c) /4d) /6 e) /7

44).- Resuelve : 2Senx Sen2x = 1 + Cosx, indica la suma de soluciones en : [0, 2]

a) 5/3 b) 2 c) 7/3d) 3 e) N.A

45).- Resuelve : (k pertenece a los enteros) 2Cos2x - 2 Cosx + 1 = 0

a) k /4 b)2k /4c)2k + /4 d) 2k - /4e) N.A

46).- Resuelve : (k pertenece a los enteros ) Sen4x = 4Sen3xCosx

a) k/2 b) k/3 c) k/4d) k/6 e) k

47).- Resuelve : Cosx + Senx = 1

a) 0 b) /3 c) /4d) /6 e) 2/3

48).- Resuelve el sistema : x + y = /6 Sen2xSecx + Tgx = 0

a) /3, /6 b) 0,/3 c) 0,/4d) /6, /4 e) 0,/6

49).- Resuelve el sistema : (x y 0)

Senx = Seny Tgx = 3Tg y

Indica un valor para x.

a) k + /6 b) k - /6 c) k + /3d) k - /3 e) k + /5

50).- Resuelve :

Sen2xCosx + Cos2xSenx = 1/4, da la suma de las soluciones en [0, ]

a) b) /2 c) 3/2d) 2 e) 5/2

51).- Al resolver : Cos3x = -2 Cosx. Halla la solución principal

a) /3 b) /6 c) 2/3d) /2 e) /5

52).- Resuelve : Senx + Sen3x + Sen5x = 0

a) /5 b) /4 c) /3d) /6 e) /2

53).- Resuelve : 4Cso33x – Cos26x = 3

a) 180°k b) 120°k c) 60°kd) 90°k e) 360°k

54).- Resuelve : Sen(x+y) Sen(x-y) = 1/2 Cos(x+y) Cos(x-y) = 1/2

a) x=45° y=0° b) x=0° y=45°c) x=45° y=45° d) x=90° y=45°e) x=30° y=90°

55).- Resuelve : x + y = /2; x > y Tgx + Ctgy -2 = 0, x,y [0, /2], da su

respuesta : x-y

a) /12 b) /9 c) /6d) 0 e) /3


1) d 2) e 3) c 4) c 5) c

6) a 7) d 8) d 9) a 10) d

11) d 12) d 13)d 14) b 15) c

16) b 17) d 18) a 19)b 20)b

21) c 22) c 23) b 24) a 25) c

26) c 27) e 28) c 29) a 30) e

31) e 32) b 33)e 34) e 35) e

36) e 37) d 38) d 39)b 40)a

41) a 42) a 43)d 44) d 45) b

46) a 47) a 48) e 49)c 50)b

51) a 52) c 53)c 54) b 55) c

145



X. MÉTODO DE INDUCCIÓNY DEDUCCIÓN

1. INTRODUCCIÓN En este capítulo analizaremos formas de solución para problemas aparentemente complicados, pero que con un poco de habilidad matemática e intuición práctica llegaremos a soluciones rápidas; haciendo uso de métodos de inducción y deducción o propiedades básicas de la matemática.

2. MÉTODOS

2.1. MÉTODO DEDUCTIVOConsiste en aplicar un caso general ya comprobado en casos particulares. También se dice que es un método por el cual se procede de manera lógica de lo universal a lo particular.

2.2. MÉTODO INDUCTIVOConsiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una conclusión, que llamaremos caso general.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Halla la suma de las cifras del resultado :

E = (333 . . . .33)2 + (99 . . . .999)2

51 veces 51 veces

Solución :

50 50

11111 . . . .11 0 888 . . . .889 +

99999 . . . .99 8 000 . . . .001

50 50

111111 . . . 11 0 888 . . . .88890

50 50

50(1) + 50(8) + 9 = 459

2) Halla la suma de las cifras de “E” si:

E = (1030 + 1) (1030 – 1 )Solución:

E = (1030 + 1)(1030 - 1) = 1060 - 1

E = 1000 . . . . 0 – 1

60 cifras

E = 99 . . . . 9

60 cifras

Luego : E = 9(60) = 540

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 11

NIVEL I

1).- Calcula el valor de la suma de las cifras de “R”.

R = (6666 . . . 666)2

21 cifras

a) 36 b) 140 c) 189d) 72 e) 210

2).- Halla la suma de las cifras de “P”:

P = (111 . . . 111)2

9 cifras

a) 21 b) 81 c) 49d) 76 e) 121

3).- Calcula: a + b, si :

a) 8 b) 9 c) 7d) 6 e) 3

4).- Si: = 91 x 10x-10, halla x + 30

a) 32 b) 24 c) 22d) 18 e) N.A.

5).- Si : 2x = 8y+1

9y = 3x-9

Halla: x + y

a) 21 b) 6 c) 27d) 18 e) 35

6).- Halla la suma de cifras de R:

R = (1030 + 1) (1030 – 1)

a) 630 b) 540 c) 360d) 270 e) 300

7).- Halla la suma de cifras del resultado de A = 777777777 x 999999999

a) 81 b) 91 c) 71d) 60 e) 12

8).- Efectúa E =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9).- Calcula:

P =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10).- Si: a – b = 8Halla: E = (a – 3b)2 – 4b(2b – a) + 12

a) 5 b) 16 c) 80d) 12 e) 100

NIVEL II

1).- Calcula la suma de cifras del resultado de E.

E =

a) 66 b) 12 c) 10d) 16 e) 13

2).- Si : = 18, calcula:

a) 4 b) 6 c) 9d) 12 e) 11

3).- ¿Cuántas “cerillas” conforman la torre mostrada?

a) 20 b) 21 c) 210d) 200 e) 420

4).- Calcula :

K =

146

Casos particulares

Caso general Deducción

Casos particulares

Caso general

Inducción

1 2 3 4 19 20 21



a) 2 b) 3 c) 5d) 10 e) 7

5).- Calcula la suma de las cifras del resultado de:

(555 . . . .56)2 – (44 . . . .45)2

101 cifras 101 cifras

a) 101 b) 102 c) 202d) 907 e) 203

6).- Halla la cantidad de ceros finales que tiene el desarrollo de :

(12345678900000 . . . . 00)m

n cifras

a) mn b) (m-1)n c) (n-9)(m+1) d) (n-9)me) (n-9)(m-1)

7).- Halla:

R=

a) 1 b) 2 c) 3d) 8 e) 9

8).- Calcula la suma de las cifras de “M” en:

M = (99995)2 + (999996)2+(9999995)2

a) 36 b) 48 c) 45d) 32 e) 50

9).- Halla la suma de las cifras del resultado de:

a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 3

10).- ¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?

, , , . . .

f(1) f(2) f(3) . . .

a) 87 b) 88 c) 81d) 89 e) N.A.

NIVEL III

1).- Simplifica :

E =

a) 2 b) 8 c) 9d) 12 e) 14

2).- Calcula el valor de M, en:M =

a) 82 b) 87 c) 81d) 78 e) 63

3).- Calcula : a + b , si:

a = 1 +

b = 3 +

a) 19 b) 14 c) 11d) 12 e) 16

4).- Calcula : A2 + 1

A = (2 x 22 x 23 x 24 x ...x 2n)

a) 8 b) 7 c) 5d) 4 e) 3

5).- Calcula el valor de:A =

a) 8 b) 4 c) 6d) 3 e) 1

6).- Simplifica

E =

a) 52n b) c) 5n

d) e) 6n2

7).- Halla: 2x-5 si:

= 1234 x 10x

a) 48 b) 30 c) -59d) 43 e) -40

8).- Si X 99999 = ,Halla: (K + A + R + E + N)

a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 40

9).- Si: = 91 x 10x-10, halla x+30

a) 32 b) 24 c) 22d) 18 e) N.A.

10).- Calcula la suma de los términos de la fila 50.

Fila 1 1Fila 2 3 5Fila 3 7 9 11Fila 4 13 15 17 19

a) 9750 b) 12500c) 25000 d)75200e) 125000

147


NIVEL I NIVEL II1) c 2) b 1) e 2) a3) c 4) d 3) e 4) b5) c 6) b 5) c 6) d7) a 8) d 7) e 8) b9) e 10) c 9) d 10) c

NIVEL III1) a 2) c 3) d 4) c5) b 6) b7) c 8) d9) d 10) e



XI. CERTEZAS1. CONCEPTOEs el conocimiento seguro de un evento, sin temor a equivocarse, es el proceso que realizamos, por la cual obtenemos el resultado de un problema con anticipación y ese resultado puede verificarse en la práctica.

2. SITUACIONES NEGATIVASSon las situaciones contrarias a lo que buscamos, de acuerdo ala pregunta.Para dar solución a los problemas de certezas, generalmente se analizan las situaciones negativas (casos desfavorables o en contra) y luego se le añaden los elementos necesarios hasta dar solución al problema.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Si por cada dos chapitas de gaseosa te dan una gaseosa de regalo. ¿Cuántas gaseosas como máximo podrá tomar Juan si tienes cinco chapitas?Solución:

Con las cinco chapitas puede canjear 2 gaseosas y le sobra una chapita, luego se toma las dos que canjeo y obtiene otra chapita que luego la junta con la primera y logra canjear otra gaseosa .Luego: Juan podrá tomar como máximo 4 gaseosas.

2.- Si un kilogramo de manzanas tiene de 4 a 6 manzanas. ¿Cuál es el mínimo peso que pueden tener 4 docenas de manzanas?Solución:

Si queremos el mínimo peso posible, entonces debemos tomar las manzanas más pequeñas, por lo tanto en el kilogramo debe haber 6 manzanas.Luego: 48 / 6 = 8 kilogramos

3.- Se tiene 8 bolas de billar de la misma forma y tamaño, pero una de ellas es más pesada. ¿Cuántas pesadas se debe hacer como mínimo, para determinar la bola más pesada, utilizando para ello una balanza de platillos?

Solución:PRIMERO.- Se toman 3 bolas en cada platillo de tal manera que la balanza quede equilibrada; en las 2 bolas que no se pesaron, estará la más pesada.

SEGUNDO.- Se coloca una bola en cada platillo y así determinamos la más pesada.

2 pesadas.


NIVEL I

En una urna oscura hay 10 bolas rojas, 7 blancas y 4 negras. ¿Cuántas bolas como mínimo se deben extraer al azar, para tener la certeza de obtener:

1. Una bola roja

A) 1 B) 5 C)8D) 11 E) 12

2. Una bola negra

A) 1 B) 8 C)11D) 18 E) 17

3. Tres bolas blancas.

A) 14 B) 15 C)16D) 17 E) 18

4. Una boja roja o blanca

A) 2 B)4 C)6D) 5 E) 15

5. Una bola de cada color

A) 12 B) 15 C) 18D) 17 E) 4

6. Dos bolas del mismo color

A) 12 B) 15 C) 18D) 19 E) 4

7. Dos bolas de cada color

A) 16 B) 4 C) 7D) 19 E) 13

8. Tres bolas del mismo color

A) 7 B) 20 C) 21D) 10 E) 14

9. Una bola negra y tres rojas

A) 18 B) 14 C) 20D) 11 E) 12

10. Dos bolas rojas y tres blancas

A) 17 B) 13 C) 18D) 9 E) 20

NIVEL II

En una caja oscura hay 5 pares de guantes blancos, 5 pares marrones y 5 pares negros.¿Cuántos como mínimo se deben extraer al azar, para tener la certeza de obtener:

1. Un guante marrón

a) 10 b) 20 c) 21d) 11 e) 22

2. Dos guantes blancos

a) 10 b) 20 c)12d) 21 e) 22

3. Un guante izquierdo

a) 10 b) 15 c)16d) 20 e) 26

4. Un guante negro izquierdo

a) 21 b) 10 c)26d) 25 e) 15

5. Un par de negros?

a) 12 b) 10 c)20d) 21 e) 22

6. Un par de negros usables.

a) 12 b) 10 c)20d) 22 e) 26

7. Un par usable de cualquier color

a) 16 b) 15 c)20d) 26 e) 10

8. Un par usable de cada color.

a) 1 b) 26 c)8d) 11 e) 12

9. Tres guantes blancos y dos negros:

A) 20 B) 22 C) 23D) 24 E) 25

10. Dos guantes blancos derechos y un negro izquierdo.

a) 20 b) 21 c)25d) 26 e) 27

148



NIVEL III

De una baraja. ¿Cuántas cartas como mínimo se deben extraer al azar, para tener la certeza de obtener:

1. Una carta de color rojo.

a) 52 b) 26 c) 27d) 13 e) 14

2. Un As

a) 4 b) 48 c) 49c) 14 e) 26

3. Una figura (J.Q,K)

a) 12 b) 4 c) 40d) 41 e) 13

4. Tres cartas menores que 5

A) 16 B) 36 C) 37D) 38 E) 39

5. Dos cartas rojas menores que 5

a) 8 b) 44 c) 45d) 46 e) 47

6. Cuatro cartas comprendidas entre 2 y 8

A) 30 B) 32 C) 34D) 36 E) 40

7. Un As y dos figuras

a) 36 b) 39 c) 42d) 49 e) 50

8. Un As rojo y dos figuras negras.

a) 44 b) 51 c) 47d) 250 e) 48

9. Tres cartas impares menores que 9.

a) 35 b) 36 c) 37d) 38 e) 39

10. Tres cartas impares rojas, menores de 9.

a) 43 b) 44 c) 45d) 46 e) 47

11. ¡¡¡Oferta!!!“Por cinco chapitas de Pilsen Callao, llevegratis dos botellas completas”Si Julio junta apresuradamente 26 chapitas,¿Cuántas botellas podrá consumir comomáximo?

A) 10 B) 12 C)16D) 14 E) 15

12. Con 3 colillas de cigarro, un mendigo forma un nuevo cigarro. ¿Cuántos cigarrillos como máximo podrá fumar?, si ha recolectado 21 colillas.

A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 12

XII. CRIPTOARITMÉTICA

1. INFORMACIÓN BÁSICA Son operaciones indicadas de números naturales en los que se combinan cifras y letras, en la cual se hallan los valores de las letras aplicando la habilidad deductiva, se conocen también como criptogramas.Aplicando nuestra habilidad deductiva, debemos hallar los valores de dichas letras, haciendo uso de operaciones como: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Los números se representan así: , la barra que se coloca sobre las letras nos indica que son cifras y no factores.Luego: Si: 5 4 7 = a = 5; b = 4; c = 7

2. REPRESENTACIÓN DE UN NÚMEROUn número se representa de la siguiente manera:* De dos cifras: * De tres cifras:

3. RECOMENDACIONES* Letras iguales representan cifras iguales.* La suma de dos cifras iguales no es mayor que 18. Si la suma es 18, entonces necesariamente las dos cifras son iguales a 9.* La suma de dos cifras diferentes no es mayor que 17. En caso de ser 17, entonces necesariamente una de ellas es 9 y la otra 8.* La primera cifra a la izquierda del numeral no puede ser “cero”.* El producto de dos cifras impares da como resultado un número impar.

* La suma de dos cifras dará como resultado un número impar; si y sólo si, una cifra es impar y la otra par.* Los números representados por letras cumplen todas las propiedades de las operaciones, tal como si fueran cifras.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Si: x 6 = 432, calcula: a x b Solución: 432 6 12 72 -Luego: = 72 a = 7 b = 2 a x b = 7 x 2 = 14

2.- Si x 9 = ¿Cuál será el resultado de D x L – A x P?Solución:

D P A L x 9

2 8 L A L

Si : L = 5 5 x 9 = 4 5Si : A = 7 7 x 9 + 4 = 6 7Si : P = 1 1 x 9 + 6 = 1 5Si : D = 3 3 x 9 + 1 = 28

D x L - A x P

149


NIVEL I

1) e 2) d 3) d 4) d 5) c

6) e 7) d 8) a 9) a 10) a

NIVEL I I

1) c 2) e 3) c 4) c 5) e

6) e 7) a 8) b 9) c 10) e

NIVEL I II

1) c 2) c 3) d 4) e 5) d

6) d 7) d 8) b 9) e 10) e

11) e 12) d

¡ IMPORTANTE !Representación polinómica de un número en el sistema decimal: = 10a + b = 100a + 10b + c = 1000a + 100b + 10c + d

Ejemplos: 354 = 100x3 + 10x5 + 4 4378 = 1000x4 + 100x3 + 10x7 + 8



3 x 5 - 7 x 1 15 – 7

8

3) Si M + F + A = 12. ¿Cuál es la suma de ?Solución:

+ 1 3 3 2

4) Si: x D = 2898 y A x =

2415. Calcula:

Solución: x 2 4 1 52 8 9 83 1 3 9 5

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 13NIVEL I 1).- Si: (P + U + C)2 = 784Calcula:

A) 3108 B) 3118 C) 3018D) 3008 E) Absurdo

2).- Si: Además : c a = 2Podemos afirmar:I. a + b + c = 9II. a = 2III. a + b x c = 20

A) VVF B) VVV C) VFVD) FVV E) FFV3).- Si: Calcula: a + b + c = ?

A) 11 B) 12 C) 16D) 14 E) 10

4).- Si:

Calcula P + U + C =

A) 18 B) 16 C) 19D) 11 E) 17

5).- Si se cumple que:

Además : “O” = ceroPodemos afirmar:I. El valor de no se puede precisar.

II. El máximo valor de la expresión es 9107III. El mínimo valor de la expresión es 9105.

A) Sólo I B) Sólo II C) I y IID) II y III E) Todas

6).- Si: 15000 < < 17000Además: B + A + S + T + A = 30Calcula B x A x S x T x A = ?

A) 2592 B) 2916 C) 2415D) 2515 E) 2915

7).- Si:

Calcula: A) 1888 B) 1898 C) 1998D) 1899 E) 1999

8).- Si:

Calcula

A) Faltan datos B) 155 C) 166D) 156 E) 1659).- Si: ; n 5Calcula m +n + p = ?

A) 13 B) 12 C) 15D) 14 E) 16

10).- Si: x3

Calcula: P + A + D + R + E =

A) 31 B) 29 C) 24D) 26 E) 30

NIVEL II

1).- Sabiendo que: x m = 29 424

x = 169 188“o” = ceroCalcula:

A) 3 111 588 B) 294 409 188C) 2 959 318 D) 29 593 188E) 3 011 588

2).- Sabiendo que:

Podemos concluir como falsas:

I. No se puede determinar el valor de cada letra.II. Faltaría por los menos un dato adicional.III. Sólo podemos afirmar que “E” es un número par.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) Todas son falsas E) Ninguna es falsa

3).- Si: (P + E + L)2 = 144. Además: I = 1Calcula

A) 14 443 B) 15 553 C) 16 663D) 12 223 E) 18 883

4).- Si: Además: a c = 4Calcula a + b x c =?

A) 14 B) 19 C) 16D) 21 E) 17

5).- Si: Calcula a + b + c = ?

A) 18 B) 19 C) 16D) 21 E) 17

6).- Si: Calcula U + N X I = ?

A) 80 B) 73 C) 72D) 18 E) Falta información

7).- Si:

Calcula

A) 44 B) 55 C) 66D) 88 E) 99

8).- Si: P + U + C + P = 18Además : 1550 < < 1800Calcula P x U x P x C = ?

A) 48 B) 56 C) 45D) 54 E) 63

9).- Si: Calcula m + n + p + q = ?

A) 16 B) 18 C) 19D) 20 E) 27

10).- Si: AN + NA 187 ; A NCalcula A + N + A

A) 25 B) 26 C) 22D) 24 E) 28

NIVEL III

1).- Si: M + A 12Calcula MAMA + AMAM

A) 12123 B) 12342 C) 13332D) 1332 E) 3333

2).- Si: PIA 999 ...... 876Halla P + A + P + 1

A) 8 B) 3 C) 2D) 7 E) 13

3).- Si: 156 = ..... 876

150



Calcula la suma de las 3 últimas cifras del resultado de: 468

A) 12 B) 16 C) 13D) 9 E) 11

4).- Si:

Calcula M + Y + +N + Y + N + A

A) 22 B) 13 C) 19D) 28 E) 41

XIII. PSICOTÉCNICO

1. CONCEPTO Conjunto de habilidades que miden la rapidez mental en base a ejercicios abstractos, permitiendo de este modo explorar y clasificar las aptitudes de los individuos.

2. CLASIFICACIÓN

2.1. PSICOTÉCNICO NUMÉRICO En estos casos nos presentan un conjunto de números relacionados por las operaciones básicas o una combinación de éstas y generalmente nos pedirán el término que sigue o el que falta.

a) SECUENCIAS NUMÉRICAS (SUCESIONES)

En estos casos la primera opción es determinar la razón entre sus términos.

¿Qué número sigue en :

8, 10, 13, 17, 22, . . .Solución :Considerando la primera opción encontraremos:

8 , 10 , 13 , 17 , 22 , x

+2 +3 +4 +5 +6 se deduce

x = 22 + 6 = 28

b) DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS Situaciones Numéricas donde se buscará alguna relación operativa entre sus números dispuestos en una determinada gráfica.

Halla “x” en:

Solución :Analizando las primeras figuras se deduce que:

* = 5

* = 9

c) ANALOGÍAS NUMÉRICAS Se relacionan los términos extremos para determinar el número central.

¿Qué numero falta?

6 ( 9 ) 34 ( 8 ) 47 ( ) 2

Solución:

6 (9) 3

4 (8) 4

7 ( ) 2

2.2. PSICOTÉCNICO LITERAL a) SECUENCIAS LITERALES

Conjunto ordenado de letras que se distribuyen de acuerdo a los siguientes criterios :

Primera opción Por el lugar que ocupa la letra en el alfabeto sin considerar la ”CH” ni la LL”.

A B C D E F G H I

1 2 3 4 5 6 7 8 9

J K L M N Ñ O P Q

10 11 12 13 14 15 16 17 18

R S T U V W X Y Z

19 20 21 22 23 24 25 26 27

¿Qué letra sigue?

D, E, G, J , . . . .

Solución:Considerando el orden de las letras (ubicación)

D, E, G, J, N4 5 7 10 14

+1 +2 +3 +4 Se deduce

Segunda opción “Iniciales de palabras conocidas”¿Qué letra continua en :

U , D , T, C, C , . . . Solución:

U , D , T, C, C ,

UNO DOS TRES CUATRO CINCO SEIS

Tercera opción“Formación de palabras”¿Qué letra falta en :

I, N, . . ., R , E , S , O

Solución:

I, N, . . ., R , E , S , O INGRESO

b) DISTRIBUCIONES LITERALES ¿Qué letra falta?

Solución :

Analizando tendremos :

151


NIVEL I NIVEL II1) a 2) a 1) a 2) d

3) a 4) a 3) a 4) a

5) a 6) a 5) a 6) b

7) c 8) e 7) c 8) e

9) d 10) d 9) b 10) b

NIVEL II1) c 2) a

3) b 4) d

28

5

126

9

711

x

Semisuma x =

Se debe, encontrar que :

Piden :

S

A I

D

U

R

E¿? T

A I

D

U

R

ES T

G



Lo que falta será la “S”

c) ANALOGÍAS CON PALABRAS ¿Qué palabra falta?

PATO (MATA) MACAVACA ( ) PORO

Observación :No se considera los significados de las palabras, se observa y se busca con qué letras ha sido formada la palabra central.Solución:

PATO (MATA) MACA

Se colocó en

VACA (PACO) PORO

PACO

2.3. PSICOTÉCNICO GRÁFICO

a) SECUENCIAS GRÁFICAS Conjunto ordenado de figuras que se distribuyen de acuerdo a los siguientes criterios:

- Criterio de giro (horario: ó antihorario: )

- Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de la figura.

- Unión y/o intersección de figuras.

- Otros.

¿Qué figura continúa?

; ; ; . . .

a) b) c)

d) e)

Solución:

, , ,

Rpta : D

b) ANALOGÍAS CON FIGURAS Generalmente nos dan 2 figuras que guardan una relación entre sí, y nos piden aplicar dicha relación a una tercera figura con otra (alternativa).

Relaciona las dos primeras figuras y encuentra una figura que se relacione con la tercera.

a) b) c)

d) e)

Solución :En las 2 primeras se invierten las figuras y lo sombreado.Rpta : C

c) RAZONAMIENTO ABSTRACTO :Se presentan diversidad de situaciones no comunes, hay que tener en cuenta la características de las figuras dadas:

Halla la figura que sigue:

, , , . . . .

a) b) c)

d) e)

Solución :Todas la figuras tiene 3 puntas, luego observando las alternativas tendremos que : Rpta : D


NIVEL I

1).- De acuerdo al gráfico, se cumple que:

a) B C b) B Cc) B C d) B C e) N.A.

2).- En qué casos “A” y “C” giran en el mismo sentido.(I) (II)

(III)

a) I y III b) II y IIIc) sólo I d) sólo II e) sólo III

3).- En el siguiente sistema de transmisión, ¿cuál es el sentido de giro de “R”, “B” y “D”?

A AntihorarioH Horario

a) H, H, A b) H, A, Hc) A, H, A d) A, A, H

4).- ¿Cuántos cubos hay en la siguiente figura?

a) 15 b) 21 c) 22 d) 25 e) 18

5).- ¿Cuántos cubos pequeños hay en la siguiente figura?

a) 8 b) 12 c) 15 d) 19 e) 20


152

A

B

C

A

B

C CBA

BA C

C

B D

R

ESTUDIAR

180°

180°



a) 15 b) 12 c) 18 d) 20 e) 21


a) 27 b) 36 c) 40 d) 42 e) 29


a) 20 b) 24 c) 30 d) 32 e) 28


a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 14

10).- es a como es a:

a) b)

c) d) e)

11).- es a como es a :

a) b)

c) d) e)


a) b)

c) d) e)


a) b)

c) d) e)


a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)

NIVEL II

1).- Qué número sigue en:

2 , 4, 12, 48, 240, . . . .

a) 480 b) 240 c) 1440d) 960 e) 348

2).- Calcula el número que sigue e :

5, 6, 4, 12, 3, 4, 2 . . .

a) 3 b) 8 c) 6 d) 9 e) 32

3).- Halla el valor de “x” en:

4 5 99 9 366 x 25

a) 9 b) 12 c) 13d) 15 e) 18

4).- ¿Qué número continúa en:

2 , 3, 5, 7, 11, 13, . . .

153



a) 14 b) 16 c) 19d) 17 e) 23

5).- Halla “x” en: 1, 1, 2, 3, 5, x , . . .

a) 6 b) 7 c) 8d) 10 e) 11

6).- En:

12 21 = 3613 31 = 5217 20 = 34ab 32 = 80

Halla: a + b

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

7).- ¿Qué figura continua?

, , , , . . . .

a) b) c)

d) e)

8).- ¿Qué figura continúa?

a) b) c)

d) e)

9).- Halla la figura que continua:

, , , , . . .

a) b) c)

d) e)

10).- ¿Qué figura falta?

a) b) c)

d) e)

11).- ¿Qué figura sigue?

, , , . . .

a) b) c)

d) e)

154

?

?


NIVEL I NIVEL II1) c 2) c 1) c 2) c

3) c 4) c 3) a 4) d

5) c 6) d 5) c 6) c

7) c 8) c 7) d 8) c

9) d 10) b 9) c 10) b

11) b 12) d 11) b

13) c 14) e

15) e 16) c

17) d 18) b

19) d

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