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CUADRIPOLOSEn numero sos casos practicos d e analisis de circuitos electricos o electronicos, mas qu eel comportam iento interno de 10s mismos, in teresa caracterizar dichos circuitos de sde elpunto de vista externo . es decir con relacion a otros elementos a 10s que dich oscircuitos pueden ser conectados.Los teoremas de Thevenin y Norton proporcionan esta caracterizacion externa en lasredes de dos terminales o de un solo puerto. De forma similar, conviene abordar dichoanalisis con circuitos d e cuatro term inales o de dos puertos o cuadripolos como elrepresentado en la figura 1 , en 10s que una seiial, procedente de un generador o de otrared, alimenta el circuito por una puerta de entrada y, tras su procesamien to, esextraida por una puerta d e salida , a la que se conecta una carga o 10s terminales deentrada de otra red. Ejemplos de este tipo de circuitos 10s podemos encontrar ensistemas electronicos, de comunicacion, de control automatico, o de distribution ytransmision de seiiales en general. El objetivo del analisis es describir elcomportamiento exterior de estas redes en funcion de las relaciones que se puedenestablecer entre 10s voltajes y las corrientes en las puertas.

Figura 1 Esquema generic0 de un cuadripoloNo obstante lo dicho anterionnente, 10s cuadripolos son circuitos sujetos a ciertasrestricciones, q ue limitan la gama de circuitos a 10s que es de aplicacion la form ulaci6nque se va a desarrollar:

La corriente que entra en una puerta por uno de sus terminales debe ser igual a laque sale de la misma por el otro; es decir, l i ' , e i2 i ' 2 .En ausencia de excitacion externa, no puede haber energia almacenada en elcircuito.El cuadripolo no puede contener fuentes independientes, de voltaje o de corriente,en su interior, aunque si puede incluir fuentes dependientes.Todas las conexiones externas deben hacerse a la puerta de eiltrada o a la de salida,no estaildo permitidas conexiones ex ternas entre las puertas.

Los cuadripolos asi dttfinidos se pueden clasificar en dos catego rias:Cuadripolos pasivos: aquellos formados exclusivamente por eleinentos pasivos, deforma que la potencia entregada a la carga es siempre es igual o inferior a la que laexcitacibn entrega a la entrada.

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Cuadripolos activos aquellos formados por elementos tales que la potenciaentregada a la carga puede ser mayor que la que la excitacion entrega a la entrada.Este tipo de circuitos debe contener necesariamente alguna fuente dependiente.

APLICACIONES DE LOS CUADRIPOLOSCon la teoria de 10s cuadripolos se pueden resolver tres tipos fundamentales deproblemas:

Problema de transferencia consistente en calcular 10s valores de voltaje ycorriente en 10s terminales de salida en funcion del voltaje y la corriente en 10sterminales de entrada. Este problema se presenta corrientemente en electr6nica y enel estudio de 10s servomecanismos.Problema de la transmision consistente en determinar la potencia en un par debornes conociendo la potencia en el otro. Este problema se presenta corrientementeen electrotecnia en el estudio del funcionamiento de las redes de en ergia.Problema de la insercion consistente en determinar el efecto que origina laintroducci6n de un cuadripolo en un conjunto mas complejo. Ejemplo de esteproblema es la insercion de un filtro en una cadena d e eleme ntos.

Todos estos problemas se pueden resolver a1 conocer 10s cuatro elementoscaracteristicos de un cuadripolo.

La descripcion mas general de la red se lleva a cabo en el dom inio complejo s siendocasos particulares 10s de regimen permanente continuo en cuyo caso las tensiones ycorrientes son las reales o instantaneas y 10s parametros definen ganancias resistenciaso conductancias y 10s de regimen permanente sen oidal en cuyo caso las tensiones ycorrientes son fasores y 10s parame tros definen ganancias impedanc ias o adm itancias.La siguiente figura muestra el bloque basico en terminos de las variables en el dominios: 11 V I I 2 y V 2 con 10s criterios comunmente aceptados de polaridades de referenciade 10s voltajes y de 10s sentidos de referencia de las co rrientes.

Figura 2. Nomenclatura generica empleada en el estudio de 10s cuadripolosIle las cuatro variables I , V I y V 2 solo dos son independientes deforllla quc uila vez conocidas dos de dichas variables se pueden dete rmina r las dosinccignitas restantes. Pol- ello . u n cuadripolo se puede describir con so10 dos ecuacioness i m~ ~ l t i ~ n eas .o obslante. hay seis maneras de combinar las cualro variables:

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Parametros de impedancia (relacionan variables de corriente y de voltaje)v =z1111 +z1212v = z21 11 z22 I2Parametros de admitancia (relacionan variables de corriente y de voltaje)11= Y l l Vl y12 vI2 ~ 2 l ~ 2 22Parametros de transmision (relacionan variables de entrada con variables de salida)VI = V2 a1212 VI = ~ 2 f 2 12 V I = A V 2 - BI 2

= a2 V2 a22 12 11= t21 V2 f22 12 I1 =C V2 -D12

Parametros hibridos (relacionan variables cruzadas)Vl hll 11 +h12V2I2 = h2l 11 h22 V2

Expresados en forma matricial, 10s cuatro grupos de parametros mas utilizados son 10ssiguientes:

P ~ M E T R O S E LOS CU DRIPOLOSLos parametros de 10s cuadripolos se pueden determinar por calculo o por medidas cuyadefinicion procede directamente de las ecuaciones de 10s parametros. El examen deestas ecuaciones en ciertas condiciones proporcionara, ademas, un significado fisico dedichos parametros.Asi. por ejemplo, 10s parametros de impedancia se pueden calcular igualando a cerocada uila de las corrientes, por lo que tambiin reciben el nombre de parametros dei~npedailcia e circuito abierto:

z11 es la impedancia de entrada con la salida en circuito abierto.z12 es la impedancia de transferencia inversa. Relaciona el voltaje a la entrada con lacorriente en la salida cuando la entrada esta en circuito abierto.z21 es la impedancia de transferencia directa. Relaciona el voltaje a la salida con lacorriente en la entrada cuando la salida esta en circuito abierto.z22 es la impedancia de salida cuando la entrada esta abierta.

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De form a similar 10s parame tros de admitancia se pueden calcular igualando a cerocada una de las tensiones lo que equivale a cortocircuitar las fuentes de tension por loque tambien reciben el nom bre de parametros d e admitancia de cortocircuito:y es la adm itancia de entrada en cortocircuito.y 2 es una admitancia de transferencia de cortocircuito. Relaciona la corriente a laentrada con la tension en la salida cuando la entrada esta cortocircuitada.y s una admitancia de transferencia de cortocircuito. Relaciona la corriente a lasalida con la tension e n la en trada cuando la salida esta cortocircuitada.y22 es la adm itancia de salida de cortocircuito.

De la misma forma abriendo o cortocircuitando puertas se pueden definir todos 10sdemas parametros para su calculo o medida.

a 1 2 = 1 - : ) Q1 2=0

a 2 , = ; ] s2=0

a 2 2 I ]2 I . ?= , )

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R EL C IO NES EN TR E LOS P ~ M E T R O S E LO S C U D RIP OLOSLos seis conjuntos de ecuaciones que definen el comportamiento de 10s cuadripolosrelacionan las mismas variables. por lo que si se cono ce un conjunto de param etros sepueden obtener 10s dem as conjun tos a partir de el. Para ello basta con desp ejar en elconjunto de parametros de partida las variables para expresarlas de la forma requerida

en el conjunto de parametros final. Despues se comparan 10s coeficientes de lasexpresiones resultantes. Estas transformaciones dan lugar a una considerable coleccionde formulas que pueden servir de referencia.

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CU DRIPOLOS RECIPROCOS Y SIMETRICOSUn cuadripolo es reciproco si a1 intercambiar una fuente de voltaje ideal en una puertacon un amperimetro ideal en la otra puerta se obtiene la misma lectura en elamperimetro. Tambien se puede definir esta condicibn de reciprocidad con una fuenteideal de corriente y un voltimetro ideal.En un cuadripolo reciproco existen las siguientes relaciones entre 10s parimetroscaracteristicos:

Como se puede apreciar, en un cuadripolo reciproco basta con determinar tresparametros.Ejemplos de cuadripolos reciprocos son 10s constituidos solo por 10s tres elementospasivos tipicos: resistencias. bobinas y condensadores. En carnbio no lo son en general10s que incluyen fuentes dependien tes o elemen tos no lineales.Un cuadripolo reciproco es simetrico si sus puertas se pueden intercambiar sin alterar10s valores de las corrientes y voltajes terminales. En estos cuadripolos se cumplen lassiguientes relaciones ad icionales:

En estos cuadripolos, pues, solo es precis0 calcular d os de sus parametros. En la figurasiguiente se muestran cuatro ejem plos de cuad ripolos simktricos.

Figura 3. Cuadripolos sime tricos: a T sime trica; b pi sime trica;C T ~u en te ad a imetrica: d trama simetrica.

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En el disefio de sistemas grandes y complejos, normalmente se disefian primer0unidades mas simples que luego se interconectan entre si. Si dichas unidades semodelan c on circuitos de dos puertas, la sintesis del sistema global im plica el analisis decuadripolos interconectados.Los cuadripolos se pueden conectar de cinco maneras diferentes: en serie, en paralelo,en serie paralelo, en paralelo serie y en cascada. Para representar cada una de estasconexiones resulta particularmente adecuado el empleo de una familia de parametros.El tip0 de conexion y 10s parametros caracteristicos resultantes aparecen mostrados enla tabla siguiente, siendo estas reglas validas en cualqu ier caso de conexion en casca da ydebiendose cum plir ciertas condiciones existencia de nodos de referencia comun es a laentrada y a la salida) para las otras conexiones:

Cascada

Paralelo

n [ABCD] [ABCD], [ABCDI2

Serie-Paralelo

Paralelo-Serie [g] [ S ~ I k 2

Nota: si bien las conexiones serie-paralelo y parale lo-serie no son muy utilizadas, eluso de 10s parametros hibridos es particularmente adecuado para 10s circuitos contransistores, por ser 10s mas convenientes para llacer mediciones experimentales en 10smismos. Por ejemplo, debido a 10s grandes valores de impedancia de salida de 10stransistores, es mucho mas facil medir una corriente de cortocircuito en 10s terminalesde salida ue medir 10s arametros de im edancia con circuit0 abierto.

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N LISISDE LOS CU DRIPOLO S EN C RGNormalmente, un cuadripolo se alimenta por la puerta 1 y se carga por la puerta 2. Lafigura 4 muestra un modelo tipico de cuadripolo cargado, donde V, y Z, representan,respectivamente, el voltaje interno y la impedancia interna de la fuente (o la tension y laimpedancia equivalentes de Thevenin del elemento que actua como fuente) y Z Lrepresenta la impedancia equivalente de la carga conectada a1 cuadripolo.

Figura 4. Modelo de cuadripolo cargado.El analisis de este circuito implica expresar las corrientes y 10s voltajes terminales enfuncion de 10s param etros del c uadripolo , de V,, de Z, y de ZL.Las caracteristicas que definen el comportamiento terminal del cuadripolo cargado sonlas seis siguientes:1 . La impedancia de entrada Zin= VI/ I Io la admitancia de entrada Y I I N 1 .2. La corriente de salida 12.3. El voltaje y la impedancia de Thevenin (VTh.ZT h) on respecto a la puerta 24. La ganancia en corriente 12/II.5. La ganancia en voltaje V 2/ V I.6. La ganancia en voltaje V2/V,.Del analisis del circuito. se observa que:v , = v, I,Z,; v2= -12zLSi se utilizan las ecuaciones de parametros z:

V I = Z l l 11 2 1 2 I2v = 221 11 2 2 2 I2

Se obtienen las siguientes expresiones para las mencionadas relaciones ca racteristicas:

2 1v , =2 2

212=21z , = 2 2: ZP

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De forma similar tambien se pueden obtener las relaciones correspondientes a las otrasfamilias de parametros.Ademas de estas relaciones tambien se puede utilizar varias definiciones de ganancia depotencia, como las que relacionan la potencia en la puerta de salida o en la carga con lapotencia en la puerta de entrada o la entregada por el ge nerador.Tambien hay que sefialar la influencia de las impedancias de la carga y de la fuentesobre estas relaciones caracteristicas. Es decir, que estas no dependen solo de 10sparametros caracteristicos del cuadripolo, sino tambien de las impedancias citadas.

C ON SID ER AC IO NE S P ~ C T I C A SLa composicion de cuadripolos da lugar a muchas reglas para casos serie, paralelo, etc.Sin embargo, a pesar de la generalidad de su aplicacion teorica, en la practica muchasveces lo que se prefiere es aislar las ecuaciones, haciendo despreciable la influencia deunos cuadripolos sobre otros, de m anera que sus funciones queden diferenciada s y ellopor dos razones claras:El mantenimiento de un equipo en el que todas las componentes tuvieran influenciasobre todo el equipo seria demasiado dificil.Los errores en las aproximac iones a1 hacer lineales ciertas ecuacion es que no loson) se acum ulan a1 no separar conexione s.Por todo ello, en la practica se suele operar aislando cada circuito simple por su funciony procurando que esta no perturbe ni sea perturbada por 10s demas circuitos. Esto seconsigue haciendo que la impedancia de entrada de cada circuito sea alta con relacion ala de salida del anterior. Con ello se puede hacer I2 0 en las ecuaciones del cuadripoloy calcular V2 e en funcion de V I por el m ismo motivo de alta impeda ncia de entrada,se supone que V I depende solo del circuito anterior, es un dato, independientemente de1 ).

J. LAG ASS E. Estudio de 10s circuitos electricos tom o 1). Paraninfo. 1970.J. G O N Z A L E Z BERNALDO DE QUIR~Sngenieria electronica. Paraninfo. 1978.W.H. HAY T. Analisis de circuitos en ingenieria. McGraw-Hill. 1993.J .W. NILS SON . Circuitos electricos. Addison-Wesley Iberoamericana. 19 95.