Cu Adri Polos

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario

Prof. Ing. Raúl Bianchi Lastra Cátedra: Teoría de la Transmisión de la Energía Eléctrica

CONTENIDO

Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario. .................................................................................. 2 Introducción ............................................................................................................................................................................................................................. 2 Constantes del cuadripolo .................................................................................................................................................................................................. 2 Modelos de cuadripolos ...................................................................................................................................................................................................... 3 Cálculo de los parámetros del cuadripolo ............................................................................................................ 3

Modelos Simplificados. ....................................................................................................................................... 7 Equivalente ‘π’ de una línea corta. .................................................................................................................................................................................. 8 Equivalente ‘π’ de una línea media ................................................................................................................................................................................. 8 Equivalente ‘π’ de una línea larga ................................................................................................................................................................................... 9 Operaciones con cuadripolos .............................................................................................................................. 9 Cuadripolos en serie ............................................................................................................................................................................................................. 9 Cuadripolos en paralelo ................................................................................................................................................................................................... 10 Elementos sencillos ............................................................................................................................................................................................................ 10 Casos particulares ............................................................................................................................................ 11 Línea ‘adaptada’ ................................................................................................................................................................................................................... 11 Línea sin pérdidas, adaptada. ........................................................................................................................................................................................ 12 Potencia Natural .................................................................................................................................................................................................................. 12 Cálculo del flujo de potencia. ............................................................................................................................ 13 Diagrama de circulo ........................................................................................................................................................................................................... 14

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata

Teoría de la Transmisión de la Energía Eléctrica

Modelos de líneas en estado estacionario. Ing. Raúl Bianchi Lastra 23102009 2 de 16

Modelos de líneas de transmisión en estado estacionario.

Introducción

El modelo adecuado de una línea depende del tipo de estudio para el cual se lo usará, y en el caso de una línea de transmisión funcionando en régimen estacionario, ésta puede ser representada mediante un circuito equivalente con parámetros ‘concentrados’.

El análisis de la línea en este estado tiene generalmente dos objetivos:

Determinar la caída de tensión (relacionado con la calidad de servicio)

Determinar las pérdidas, regulación de tensión, etc. (aspecto económico)

Si sólo nos interesan los valores de tensión y corriente a ambos extremos de la línea, y a una frecuencia determinada (por ejemplo 50 Hz) el modelo más sencillo de la línea es un cuadripolo con parámetros concentrados.

Siendo la relación entre tensión y corriente en ambos extremos la siguiente:

U

.

1s U.

2s A I.

2 B

I.

1 U.

2s C I.

2 D

[1]

En donde A, B, C y D se denominan ‘constantes del cuadripolo’ y son en general valores complejos. Las tensiones en la Ec. [1] son tensiones fase‐tierra. El punto sobre la U e I indica además que se tratan de fasores. Si el sistema en análisis es trifásico, simétrico y equilibrado, el análisis puede realizarse empleando un modelo monofásico.

Además, por ser un circuito pasivo y simétrico, se cumple que:

A D

AD BC 1

Constantes del cuadripolo

A partir de las ecuaciones de la línea real:

U.

1s U.

2s cosh( l) I.

2 Zcsinh( l)

I.

1 U.

2ssinh( l)

Zc

I.

2 cosh( l) [2]




Comparando las relaciones [1] y [2], se deduce el valor de las constantes ABCD del cuadripolo que representa exactamente a la línea a una frecuencia determinada.

A cosh( l); B Zcsinh( l)

C sinh( l)

Zc

; D A cosh( l) [3]

siendo j zy la llamada ‘constante de propagación’ (aunque en realidad sólo es constante a una frecuencia dada).

Modelos de cuadripolos

Un cuadripolo puede representarse con un circuito ‘π’ ó ‘T’ de parámetros concentrados, según se muestra en la siguiente figura.

Figura 1. Cuadripolos ‘π’ y ‘T’

Una aplicación típica de modelos de líneas como cuadripolos con elementos concentrados en la resolución de flujos de carga, en donde se prefiere el circuito ‘π’ en lugar del ‘T’ dado que este último tiene un nodo adicional, lo cual incrementa innecesariamente la dimensión de las matrices, y consecuentemente del tiempo de cálculo.

Independientemente del circuito utilizado para representar al cuadripolo, es posible obtener los valores de impedancia (Z) y admitancia (Y) en función de las constantes ABCD del cuadripolo y viceversa.

Cálculo de los parámetros del cuadripolo

Figura 2

Si optamos entonces por un circuito ‘π’ para representar al cuadripolo (y consecuentemente a la línea), aplicando la ley de Kirchhoff al circuito de la Figura 2a, resulta:




U1 U2 Z IL con IL I2 U2Y

2

U1 U2

Y

2 I2

Z U2

U1 ZY

21

U2 Z I2

I1 Y 1ZY

4

U2 1

ZY

2

I2

recordando que:

U1s AU

2s BI

2

I1 CU

2s DI

2

se obtiene finalmente los valores de las constantes ABCD en función de Z e Y

A ZY

21

B Z

C Y 1ZY

4

D A 1ZY

2

[4]

Comparando [2] y [4]

A cosh(l)

ZY

21

B Zc sinh(l) Z

con Z

c

z

y

z

z z

1

zy

z

l

l

Z

l ; y

1

Zc

y

z

y

y y

1

zy

y

l

l

Y

l

Y

2

1

l2

haciendo

Y

2

cosh( l) 1

Z

cosh( l) 1

Zcsinh( l)

1

Zc

tanh l

2

se llega a las siguientes equivalencias:




Z Z sinh(l)

l

Y

2

Y

2tanh l

2

l2

[5]

Por lo tanto, los parámetros de circuito ‘π’ son los indicados en la siguiente figura:

en donde Z e Y son la impedancia y admitancia total de la línea.

Es de hacer notar que γl es directamente proporcional a la frecuencia y a la longitud de la línea, y si γl << 1 entonces sinh l l 1, y también tanh 1

2 l 12 l por lo que Zπ≈Z y

Yπ/2≈Y/2.

Para frecuencia bajas y/o para líneas cortas los términos hiperbólicos son prácticamente igual a la unidad.

Para frecuencia altas y/o líneas larga, se considera a los términos hiperbólicos como ‘factores de corrección’ (cercanos a 1) por el cual debe multiplicarse la impedancia (ó admitancia) total de la línea para obtener la impedancia (ó admitancia) exacta del circuito ‘π’.

La Figura 3 muestra la variación de los términos hiperbólicos en función de la longitud de la línea, para una frecuencia de 50 Hz.




Figura 3

Los graficos de la Figura 4 muestran como difieren la resistencia, reactancia y admitancia del circuito ‘π’ exacto (en color verde), con respecto a los mismos parámetros del circuito ‘π nominal’ (en azul), es decir, del obtenido al despreciar los términos hiperbólicos. Se observa que el error en la impedancia es de signo contrario que en la admitancia, es decir, en la impedancia se comete un error ‘por exceso’ mientras que en la admitancia es ‘por defecto’ si no se utiliza el circuito ‘π’ exacto para lineas largas.

Figura 4

En la Figura 5 se grafica la variación del error en función de la longitud de la línea, y a 50 Hz. El mayor error es en la resistencia, luego en la reactancia y el menor de todos es en la admitancia.




Figura 5

Es de notar que, para el caso de líneas aéreas en donde = , j, con 6º 100km , con lo que el error porcentual en función de la longitud de la línea es prácticamente igual para cualquier línea, independiente de su tensión nominal.

Del gráfico de la Figura 5 se desprende entonces que para líneas de hasta 132 kV, las cuales raramente exceden los 100 km de longitud, pueden despreciarse en la práctica los términos hiperbólicos.

Modelos Simplificados.

En función de la longitud de la línea, y sólo para análisis de 50 Hz, puede considerarse que ésta es ‘corta’, ‘media’ o ‘larga’ según los siguientes criterios:

Línea corta: es cuando puede despreciarse su admitancia transversal. Es en general razonable considerar así a las líneas de longitud inferior a 80 km aproximadamente, o de hasta 132 kV.

Línea media: para longitudes de 80 a 250 km, en donde no es correcto despreciar su admitancia, aunque todavía puede considerarse a los términos hiperbólicos iguales a la unidad.

Línea larga: son aquellas líneas de longitud mayor a 250 km, en donde no se puede despreciar los términos hiperbólicos, y por lo tanto debe utilizarse el circuito ‘π’ exacto.

Es de mencionar sin embargo que los términos ‘corta’, ‘media’ y ‘larga’ no están únicamente asociados a la longitud en km de la línea, sino que también hay que considerar la frecuencia a la cual se utilizará el modelo. Así para una línea de 50 km de longitud deberá utilizarse un




modelo de ‘línea larga’ si el análisis del comportamiento de la línea se hará a 5000 Hz, por ejemplo.

Equivalente ‘π’ de una línea corta.

Dado que para una línea ‘corta’ puede despreciarse su admitancia transversal Y, el circuito ‘π’ de la misma se transforma en el siguiente:

Con una simple inspección del mismo, se deduce que:

U1 U2 ZI2

I1 I2

y por lo tanto las constantes del cuadripolo serán:

A 1

B Z

C 0

D A 1

Equivalente ‘π’ de una línea media

U1U

2 ZI

L con I

L I

2

U2Y

2

U1 U

2

Y

2 I

2

Z U

2

U1

ZY

21

U

2 ZI

2

I1 Y 1

ZY

4

U

2 1

ZY

2

I

2

con lo cual se deduce que:




A ZY

21

B Z

C Y 1ZY

4

D A 1ZY

2

Equivalente ‘π’ de una línea larga

U1 U2 coshl I2Zc sinhl

I1 U2

Zc

sinhl I2 coshl

por lo tanto:

A coshlB Zc sinhl

C 1

Zc

sinhl

D A

Operaciones con cuadripolos

Cuadripolos en serie




U.

1

I.

1

A1 B1

C1 D1

U.

I.

U.

I.

A2 B2

C2 D2

U2

.

I2

.

U.

1

I.

1

A1 B1

C1 D1

A2 B2

C2 D2

U2

.

I2

.

U.

1

I.

1

A1A2 B1C2 A1B2 B1D2 C1A2 D1C2 C1B2 D1D2

U2

.

I2

.

U.

1

I.

1

A B

C D

U2

.

I2

.

por lo tanto:

A A1A2 B1C2

C C1A2 D1C2

B A1B2 B1D2

D C1B2 D1D2

Cuadripolos en paralelo

A A1B2 A2B1

B1 B2

C C1 C2 A1 A2 D2 D1

B1 B2

B B1B2

B1 B2

D B1D2 D1B2

B1 B2

Elementos sencillos

Elementos sencillos del sistema de transmisión pueden representarse también como cuadripolos:




U1 U2 A 1

B 0

I1 U2Y I2 C Y

D 1

I1 I2 C 0

D 1

U1 U2 IZ A 1

B Z

Casos particulares

Línea ‘adaptada’

La línea se considera ‘adaptada’ cuando la impedancia de carga (Z2) es igual a su impedancia característica (Zc).

La impedancia característica de una línea real es compleja, con la parte imaginaria negativa.

U(x ) U2 coshx I2Zc sinhx

I(x ) U2

Zc

sinhx I2 coshx

y como U2 I2Z2 , reemplazando en la expresión anterior tendremos:

U(x ) I2Z2 coshx I2Zc sinhx

I(x ) I2Z2

Zc

sinhx I2 coshx

con lo cual:

Z(x ) U(x )

I(x )

Zc Z2 coshx Zc sinhxZ2 sinhx Zc coshx

si Z2 Zc resulta finalmente que:




Z(x ) U(x )

I(x )

Zc U2

I2

por lo tanto, cuando la impedancia de carga de la línea es igual a su impedancia característica, le relación entre tensión y corriente en cualquier punto de la línea es igual a la relación entre tensión y corriente en la carga.

Línea sin pérdidas, adaptada.

Si la resistencia de la línea es nula, el factor de atenuación α es cero y por lo tanto resultará que:

cosh( x) cosh(x jx) cosh(x)cos(x) j sinh(x)sin(x)

sinh( x) sinh(x jx) sinh(x)cos(x) jcosh(x)sin(x)

Si 0

cosh( x) cosx

sinh( x) jsinx

partiendo de las ecuaciones de la tensión y corriente en cualquier punto de la línea,

U(x ) U2 cosx jI2Zc sinx

I(x ) jU2

Zc

sinx I2 cosx

y considerando Z2 Zc I2 U2

Zc

tendremos finalmente que:

U(x ) U2 cosx j sinx U2x

I(x ) I2 cosx j sinx I2x

Es decir, el perfil de tensión de la línea es ‘plano’. La tensión en cualquier punto de la línea es igual en módulo a la tensión en el recibo, sólo cambia la fase.

Dado que la línea es sin pérdidas, Zc es puramente resistiva, y por lo tanto U(x) e I(x) están en fase.

Potencia Natural

Es la potencia en la carga cuando su impedancia es igual a la impedancia característica de la línea:

P

nat 3U

2sI

2*

3 U2s

2

Zc

U

2nom2

Zc




Para el caso de una línea ideal, la Zc es resistiva pura, y por lo tanto el reactivo de la carga es nulo.

En la bibliografía de lengua inglesa, a la potencia natural se la expresa con las siglas ‘SIL’ por ‘Surge Impedance Loading’

Además,

Zc Z

2

U2

I2

L

C

Zc2

U2

I2

2

L

C

I22L U

22C

lo cual indica que para la línea cargada con su potencia natural, la energía del campo magnético en la inductancia de la línea es igual a la energía del campo eléctrico, por lo que la línea no demanda potencia reactiva del sistema.

Para P = Pnat no hay demanda de reactivo

Si P > Pnat la línea demanda potencia reactiva inductiva

Si P < Pnat la línea demanda potencia reactiva capacitiva

Cálculo del flujo de potencia.

El cuadripolo equivalente de la línea puede utilizarse para calcular la potencia activa y reactiva en uno de sus puertos, si son conocidas la tensión y corriente en el otro puerto.

Partiendo de las ecuaciones del cuadripolo:

U1s AU2s BI2

I1 CU2s DI2

despejando I2 de la primera, tendremos que:

I

2

U1s AU

2s

B

U1s

B

AU2s

B




siendo además S2 3U2s I2* , llegamos finalmente a la expresión de la potencia activa y

reactiva en el extremo de recibo, en función de las tensiones en ambos extremos:

P2

U1

U2

Bcos(b )

A U22

Bcos(b a)

Q2

U1

U2

Bsin(b )

A U22

Bsin(b a)

en donde A Aa, B Bb, D Dd y δ es el ángulo entre la tensiones U1 y U2 que en estas expresiones son las tensiones entre fases en los extremos (NO fase‐tierra).

De la misma forma podemos obtener la expresiones de las potencia en el extremo de envío, las cuales resultan:

P1 D U1

2

Bcos(b d)

U1 U2

Bcos(b )

Q1 D U1

2

Bsin(b d)

U1 U2

Bsin(b )

Diagrama de circulo

Se observa en las expresiones anteriores que tanto la potencia activa como la reactiva resultan expresadas como la resta de dos fasores, los cuales pueden graficarse en un plano complejo cuyos ejes son P y Q, tal como se muestra en la Figura 6

Se observa en la figura que la posición del fasor ‘O‐N’ no cambia si se mantiene constante el módulo U2.

La posición del fasor ‘O‐M’ cambiará sin embargo con la variación de la potencia de la carga P2+jQ2.

Si se asume que el módulo de U1 también es constante, el módulo del fasor ‘O‐M’ también será constante, pero no así su ángulo, el cual dependerá de δ, el desfasaje entre las tensiones U1 y U2. El lugar geométrico del punto ‘M’ será entonces un circulo de radio ‘O‐M’ y centro en ‘O’, y de aquí el nombre del diagrama.

Se deduce por lo tanto del diagrama que, con los módulos de U1 y U2 constantes, el efecto de la variación de P2 y/o Q2 será únicamente una variación del ángulo δ, es decir, del desfasaje entre las tensiones U1 y U2.

Figura 6. Diagrama de círculo.




Un aumento de P2 deberá además estar acompañado por una disminución de Q2 para que el punto ‘M’ permanezca en el circulo, y viceversa.

Es importante destacar además que, para un par de valores de U1 y U2 (los cuales no difieren mucho entre sí), existe un límite máximo para la potencia activa que se puede transmitir P2,max, el cual ocurre cuando δ=b. Cualquier incremento adicional de δ producirá una reducción en la potencia transmitida.

P2,max

U

1U

2

B

A U22

Bcos(b a)

Sin embargo, la transmisión de ésta potencia máxima también producirá una elevada demanda de reactivo, es decir, de compensación, a la vez que pueden existir límites de transmisión inferiores debido a problemas térmicos o de estabilidad del sistema.




ANEXO A ‐ Resumen

Z Zc sinhl Zsinhll

Y

2

1

Zc

sinhl Y

2

tanh l2

l2

Cu Adri Polos

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