NMEROS RACIONALES

Alumno..........................................................................................................3 ao div...............turnoProfesor: Cerrudo Claudia Marcela

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS:

EL DEPSITO SUBTERRNEO:En una fbrica se debe construir un depsito subterrneo para instalar en l un tanque de combustible. Hay tres modelos de tanque: chico, mediano y grande. Cada uno de ellos requiere un depsito de forma cbica de arista igual a 1m, 2m y 3m respectivamente.El depsito debe quedar enterrado en el suelo, su parte superior, que es descubierta quedar al ras de la tierra. Su piso y cuatro paredes se cubrirn con planchas de fibrocemento, y todas las junturas entre esas planchas irn selladas con unos listones especiales de hierro.La fabrica dispone de hasta $13000 para construir el depsito.Los costos son los siguientes: $800 por metro cbico excavado, $240 Por metro cuadrado de la plancha de fibrocemento y $80 por metro lineal de listn de hierro. Adems, hay que agregar gasto fijo de $340 en concepto de flete.Cul de los tres depsitos puede construirse con ese presupuesto?Para resolver la situacin construiremos una frmula en funcin de la arista (x) del depsito:

Analizamos los gastos: Por un lado tenemos el flete: $.................................... (es constante)

Como el depsito es cbico, todas las aristas son...........................; entonces el

volumen (en m3) es V =............................................

El costo del metro cbico excavado es de $........................, el costo total del

volumen excavado es Cv = .................................

El depsito tiene un total de .................. caras para cubrir con planchas de

Fibrocemento. La superficie de cada cara (m2) es: S = .......................................

El costo del metro cuadrado en fibrocemento es: C = ................., y el costo de

todas las planchas es: C p = ............................................

El depsito tiene un total de .......... junturas entre todas sus caras. El costo del

Metro lineal de cada listn de hierro es de $................. Un listn que cubre una

juntura cuesta: C =..........................y el costo de todos los listones es : Cl =..................

Traslademos los valores anteriores a una tabla:gastoscosto

flete.......................................

Listones de hierro........................................

Planchas de fibrocemento.............................................

Excavacin............................................

COSTO TOTAL.................................................

Nos qued formada una expresin algebraica entera. Donde cada trmino tiene una parte numrica (COEFICIENTE) y una literal.(variable). La/s variable/s tienen un exponente (grado del trmino) y el mayor de los exponentes da el GRADO DE LA EXPRESIN O POLINOMIO. MONOMIO: : ...................................... BINOMIO: .............................................. TRINOMIO: .........................................

CUATRINOMIO: ................................................ POLINOMIO: Ms de .............................. En general se les llama a todas las expresiones algebraicas enteras.

Ejercicio N 11:OBSERVA Y COMPLETA:

En P(x)........................es la variable y.....................................................son coeficientes

En Q(x)........................es la variable y.....................................................son coeficientes

En R(x, y)........................es la variable y.....................................................son coeficientes

Grado de P(x)=.............................. Q(x)....................................... R(x, y)...................................

VALOR NUMRICO:

Consiste en..........................................................la variable por...................................................

y luego....................................................................................................Ejercicio N 12:Hallar el valor numrico de los polinomios dados:

P(x) =

En P(2) =

En x = 0 P(0) =

En P(-1/2) =

En Q(0) =

En Q(1) =

En P(-1) =

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO:Polinomio completo es el polinomio que tiene todos los trminos desde el de mayor grado hasta el de grado cero (trmino independiente)

Ejercicio N 13:Hallar el grado de los siguientes polinomios, Luego ordena y completa:

a) Grado de P(x) =.............................

P(x) =.................................................................................................Ordenado.

b) Grado de Q(x) =............................. Q(x) =................................................................................................Ordenamos y completamos

con coeficiente 0 los trminos faltantes.

a) Grado de P(x) =.............................

P(x) =......................................................................................b) Grado de Q(x) =.............................

c) Grado de R(x) =.............................

OPERACIONESAdicin y sustraccin:

; ;

Par hallar la suma de polinomios debemos agrupar los trminos semejantes y sumar los coeficientes de los mismos.

Llamamos trminos semejantes a los trminos que tienen la misma variable con el mismo grado

Es conveniente ordenar y completar antes de sumar.Ejercicio N 14: Resolver las siguientes sumas de polinomios:

P =.............................. P =.............................. R =.............................

Q =............................. R =.............................. Q =.............................

a) P + Q =b)b) P + R =c) R + Q =.............................

P =.......................... Q =........................

Q =........................... R =..............................

R =.......................... P =..............................

d) P + Q +R =e) Q +R +P =

Para hallar la diferencia entre dos polinomios. Le sumamos al primer polinomio, el opuesto del segundo polinomio.

Ejercicio N 15:Resolver las siguientes restas de polinomios:

P =.............................. P =.............................. R =.............................

- Q =............................ - R =.............................. - Q =.............................

a) P Q =b) P - R =c) R - Q =.............................

Ejercicio N 16: Dados los siguientes polinomios:

; ; ; ;

Hallar:

a) A + Bb) D + E;

c) -C + Dd) -A B;

e) B Cf) -B +D +E

MultiplicacinAplicamos la propiedad distributiva, disponiendo los polinomios como los nmeros. Recuerda ordenar y

Recuerda que cuando se multiplican dos potencias con igual base se.los exponentes.completar

Siendo: ; ; ;

Recordar como se multiplican dos nmeros y comparar;2568

X 329

..P =Q =

. S =. R =

P . Q =P . R =

Ejercicio N : 17

Dados ; ; ; ;

; ; Hallar: c) A . D: d) B. F:

A =B =

. D =. F =

A. D = B. F =

e) A . B: f) C. E:

A =C =

. B =. E =

A. B = C E =

g) G. F: h) E. B

G =E =

. F =. B =

G. F = E . B =

i) E. G:J) E . D =

E =E =

. G =. D =

E. G = E . D =

PRODUCTOS ESPECIALES. POTENCIA

PRODUCTO DE UNA SUMA POR SU DIFERENCIA:

Supongamos que tenemos esta multiplicacin de 2 binomios (uno suma y otro diferencia)

............................................... Aplicamos propiedad................................

................................................ Agrupamos y sumamos o restamos trminos semejantes.

..................................

El producto de una suma por su diferencia es igual a............................................entre el...........................Del...........................................................y el...................................................del.......................................Ejemplo:

Ejercicio N 18: Resolver los siguientes productos aplicando la formula encontrada:

CUADRADO DE UN BINOMIO:

Intentemos resolver con lo conocido hasta ahora la siguiente potencia:

Aplicamos definicin de potencia:

Aplicamos propiedad distributiva.

Agrupamos trminos semejantes y llegamos a :

El cuadrado de un binomio es igual a el.. Del.. Mas el del por el.. Mas el..del..

Ejemplo:

Ejercicio N 19: Resuelve aplicando la frmula del cuadrado de un binomio:

CUBO DE UN BINOMIO:

Resolvemos el siguiente cubo:

Aplicando definicin de potencia

Por el cuadrado de un binomio tenemos

Aplicando propiedad distributivaAgrupando trminos semejantes:

El cubo de un binomio es igual a el del mas eldel ..delpor elms el ...........del por el del.. ms el .................................... del .

Ejemplo:

Ejercicio N 20:Resuelve aplicando la frmula del cubo de un binomio

DIVISIN DE POLINOMIOS:

Comparemos La divisin con una divisin numrica:

4568: 12 =

EN LA DIVISIN DE POLINOMIOS DEBEMOS NECESARIAMENTE ORDENAR Y COMPLETAR DIVIDENDO Y DIVISOR

4568 12 .. . . .. . ..

Ejercicio N 21: Resolver Las siguientes divisiones:

RECUERDA: Para Poder dividir el Dividendo debe tener mayor o igual grado que el divisor.

REGLA DE RUFFINI

La regla de Ruffini nos permite obtener los coeficientes del cociente y el resto de la divisin de un polinomio por un monomio de la forma (x-a)

Entonces a = .. Entonces a =..Resolvemos de la forma que sabemos la siguiente divisin:

El primer coeficiente del cociente coincide con el primer coeficiente del dividendo.El segundo coeficiente del cociente es igual al producto de a por el primer coeficiente del cociente ms el segundo coeficiente del dividendo,El tercer coeficiente del cociente es igual al producto de a por el segundo coeficiente del cociente, ms el tercer coeficiente del dividendoEl resto es igual al producto de a por el ltimo coeficiente del cociente, ms el ltimo coeficiente del dividendo ,

Aplicando la regla de Ruffini queda;

.

Ejercicio N 22: Hallar los cocientes y restos aplicando la Regla de Ruffini:

Teorema del Resto: El Resto de una divisin cuyo divisor es x-a se obtiene........................

...................................................................................................................................................

Ejercicio N 23: Hallar el resto de las divisiones del ejercicio anterior:

..................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

Ejercicio N 24: Resolver las siguientes operaciones:

Dados:

a) A . B =b) A D =c) B . C = d) H + D2 . 5x . I = e) F E . I =f) G H + C . E =g) A : C =h) H : A =i) A : E =j) A : I =

FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Cuatro amigos estn jugando al truco y se desafan para ver quien adivina primero las cartas que tiene el otro, Sabiendo que todos tienen flor, los valores de las cartas son nmeros primos y los productos de los mismos son respectivamente: 15, 42, 70, 77. Puedes descubrir que cartas tiene cada participante? Al responder, has convertido los valores 15, 42, 70, 77

en

A este procedimiento lo llamamos.

Factorear es

Factor primo es

Hay varios casos para factorear un polinomio, todos se basan en lo mismo LA DEFINICIN DE DIVISIN: a : b = c porque b . c = a En Nmeros: 28 : 7 = 4 porque 7 . 4 = 28si queremos expresar el 28 como multiplicacin solo debemos saber los divisores de 28, luego dividir y expresarlo como el producto de un divisor por el cociente de la divisin. Como vemos hay varias formas de expresar el 28 como producto por ello unificamos criterios descomponiendo el 28 y expresndolo como el producto de sus factores primos:

28 214 27 71 -

28 = 2 . 2 . 728 = 22 . 7En polinomios: P(x) : Q(x) = C(x) P(x) = Q(x) . C(x)En la unidad anterior aprendimos a dividir, solo nos queda averiguar cuales son los divisores de P y unificar criterios para factorearlo.

Casos de factores de expresiones algebraicas:

FACTOR COMUN NICO:

Todos los trminos tienen un factor comn (DCM) (numrico y/o literal)

.

.

.Ejercicio N 25: Extraer factor comn y factorear: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) h)

FACTOR COMUN POR GRUPOS:

.

Para extraer factor comn por grupos debemos formary

extraer ... de esos trminos. Luego nos tiene que quedar

Que lo extraemos.Basndonos en lo expresado en un principio si dividimos

.....Ejercicio N 26: Extraer factor comn por grupos:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Trinomio cuadrado perfecto

Si Recordamos la frmula de un cuadrado de un binomio:

Observamos que la respuesta es un, que tiene dos trminos que son

..y un tercer trmino que es .

Este polinomio recibe el nombre de TRINOMIO CUADRADO PERFECTO y se factorea expresndolo como el cuadrado de la suma (o diferencia) de las bases de los dos trminos que son cuadrados perfectos.

Ejemplo:

...Los trminos son: cuadrados perfectosbases

Tercer trmino:2...

Por lo tanto aseguramos que el polinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto y lo factoreamos como

El..

Ejercicio N 27: verifica si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos y en caso afirmativo factorea.

Basndonos en lo expresado en un principio si dividimos

.....

a)

b)

cuadrados perfectosbases

Tercer trmino:2...

cuadrados perfectosbases

Tercer trmino:2...

c)

d)

e)

f)

CUATRINOMIO cuBo perfecto

Si Recordamos la frmula de un cubo de un binomio:

Observamos que la respuesta es un, que tiene dos trminos que son

.. Y dos trminos uno el triple producto del

... Y el otro el triple producto

delEste polinomio recibe el nombre de CUATRINOMIO CUBO PERFECTO y se factorea expresndolo como el cubo de la suma (o diferencia) de las bases de los dos trminos que son cubos perfectos.

Ejemplo:

Los trminos cubos perfectos son: bases

3..

3.

El..

El..Por lo tanto aseguramos que el polinomio dado es un cuatrinomio cubo perfecto y lo factoreamos como:

.

Basndonos en lo expresado en un principio si dividimos

.....

Ejercicio N 28: Verifica si los siguientes cuatrinomios son cubos perfectos y en caso afirmativo factorea.

a)b)

3..

3.

Cubos perfectos bases

3..

3.

c) d)

e) f)

DIFERENCIA DE CUADRADOS:

Si Recordamos la frmula de PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA:

Observamos que la respuesta es una.,

tal que sus trminos que son .Este polinomio recibe el nombre de DIFERENCIA DE CUADRADOS y se factorea expresndolo como el producto de la suma por la diferencia de las bases de los dos cuadrados perfectos.

Ejemplo:

Cuadrados perfectos son: bases

Por lo tanto aseguramos que el polinomio dado es una diferencia de cuadrados y lo factoreamos como:

Basndonos en lo expresado en un principio si dividimos

.....

Ejercicio N 29: Factorea las siguientes diferencias:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

SUMA Y DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO:

Antes de comenzar con este caso debemos ver las reglas de divisibilidad para un polinomio (suma o diferencia de potencias de igual grado) con la suma o diferencia de las bases de dichas potencias

Un polinomio es divisible por otro cuando

Para comprobar la divisibilidad aplicamos..

Ejercicio N 30Aplicando el teorema del resto completa el cuadro

Es divisible (SI/NO)Es divisible (SI/NO)

Enunciamos los criterios de divisibilidad:

.

Ejercicio N : Factorea los Binomios del ejemplo.

Ejercicio N 35: Factorea las siguientes sumas o diferencias:

a) es divisible por

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

NOTA: Cmo puedes averiguar que caso debes utilizar para factorear un polinomio?

1 Sacar FACTOR COMN si lo tiene

2 Contar la cantidad de trminos y analicen:

2 Trminos

3 Trminos

4 Trminos

5 Trminos o ms

Ejercicio N 36: Factorea:

a) 6x4 12x3 2x + 4 =b)

c) 81x5 54x4 + 3x2 6x = d)

e) 4x2 25 =f)

g) x2 + 6x +9 h)

i) 2x3 + 3x2 10x 15 j)

Casos combinados. Donde se puede factorear aplicando ms de un caso.Ejercicio N 37:Factorea hasta la mnima expresin:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

NOTA Y TEMA ADICIONAL PARA TENER EN CUENTA:Mtodo de GAUSS:

Basndose en la definicin de divisin ; queda por averiguar teniendo un polinomio A otro polinomio B que sea divisor de A y nos permita expresar A como el producto entre B (divisor) y el cociente de la divisin A: B. (C)

El mtodo de Gauss dice que en todo polinomio A con races (raz es el valor de x que anula (hace cero) el polinomio); racionales alguno de los divisores de A son los polinomios de la forma siendo p uno de los divisores del trmino independiente y q un divisor del coeficiente principal (de mayor grado)

Ejemplo: factorear A =

P = 6 divisores de p;..

Q = 1 divisores de q:

A()=A()=

A()=A()=

A()=A()=

EFECTUAR LAS DIVISIONES CORRESPONDIENTES APLICANDO REGLA DE RUFFINI Y EXPRESAR A COMO EL PRODUCTO DE TODOS LOS DIVISORES Y EL COCIENTE FINAL:

A: (X)

: (X)

:(X)

Por lo tanto factoreamos A =.

Ejercicio N 38: Factorea aplicando el mtodo de Gauss:a) 10x2 + 2x 12=b) 2x3 + 3x2 5x 3=

c) x3 + 2x2 13x + 10=d) 6x4 11x3 x2 4=

e) 81x5 54x4 + 3x2 2x=f)

FUNCIN LINEAL

Pablo y Juan empezaron un juego de la batalla naval, este es el esquema de Pablo:

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12345678910

Comienza el juego y Juan dice (1; 5). Pablo dice agua.Terminado el juego Juan se enoja y dice que no es agua,Que el (5; 1) si es agua. Quin crees que tiene razn?

El error surge por.

Supongamos que Pablo y Juan se ponen de acuerdo en nombrar primero los nmeros horizontales y luego los verticales, esto significa que el espacio (1; 5) no es lo mismo que el (5; 1).Podemos ahora ubicar con precisin el lugar donde se encuentran los barcos de Pablo:

(8; 10), (9;10), (10; 10); (..;..);(..;..);(..;..); (..;..); (..;..); (..;..);

(..;..); (..;..); (..;..); (..;..); (..;..), (..;..), (..;..), (..;..),

(..;..), (..;..), (..;..). Si efectuamos un grfico y ubicamos en el los puntos que cada par representa. y

Para determinar los puntos en el plano utilizamos PARES OREDENADOS (x; y) o (x; f(x)) siendo X (1 componente) la abscisa Recta (eje) horizontalY o f(x) (2 componente) la ordenada Recta (eje) verticalHan ubicado puntos en un Sistema de ejes de coordenadas cartesianas Ortogonales: dos rectas perpendiculares numeradas, su primer valor es (x) eje de las abscisas (horizontal) y el segundo valor es (y) eje de las ordenadas (vertical) . Debes tener en cuenta que solo utilizamos el lado positivo de las rectas debido a que los puntos representaban solo los valores positivos. Otro Ejemplo: Localiza los siguientes puntos, nelos con segmentos y descubre el dibujo escondido

y

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910X

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Ejercicio N 39:

a) Representa los puntos b) Qu figura tiene como vrtices los puntos: p, q, r y s

..

NOCIN DE FUNCIN:

Una Relacin entre dos conjuntos es funcin si y solo si a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde un y solo un elemento del segundo conjunto (Codominio)

Ejercicio N 40:Observa los siguientes grficos y completa si corresponde o no a una funcin:

COMPLETAR TABLAS Y GRFICOS:

Ejercicio N 41:En una diettica venden harina integral a $ 2,00 el kg.a. Completen la tabla:Cantidad de Kg. de harina11,522,252,533,253,53,754810

Precio a Pagar

b. Representa los puntos de la tabla en un grfico cartesiano:

0

c. Si unimos los puntos graficados que conclusin puedes sacar?d. Puedes hallar una frmula que permita hallar el precio de cualquier cantidad de harina)

e. Cuntos kg de harina podemos comprar con $55 y con $29,50?

NOTA: RECUERDA Y APRENDE NUEVOS CONCEPTOS.Una variable es una letra que representa cualquier valor dentro de un conjunto de nmeros.En una relacin, las variables dependen entre si. La variable Independiente. En general, es a la que se le van asignando valores y. a partir de ellos se determina el valor correspondiente de la otra variable, a la que se denomina dependiente. Por ejemplo, en el problema: La variable Independiente es la cantidad de kilos que se compran y la dependiente es el precio que se paga.Cuando la variable que se grfica en el eje horizontal puede tomar valores Intermedios entre los nmeros enteros, tiene sentido unir los puntos que se colocan en un sistema de ejes cartesianos. Si los valores que toma son finitos o solo los nmeros enteros, no tiene sentido unidos. Sin embargo, en algunas ocasiones los puntos se unen para poder analizar la tendencia.DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIN:El dominio de una funcin f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente (x). Se denota como Df= R (se lee: dominio de la funcin f : todos los reales)

La imagen de una funcin f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. (y) Se denota If (Se lee la imagen de la funcin f). Leer grficosEjercicio N 42Una camioneta y un auto circulan por la misma ruta. En este grfico se representa la distancia al kilmetro 0, a la que se encuentran en diferentes momentos de un da.

Contesten estas preguntas y escriban qu observaron para contestar.a.A qu hora sale el auto?b.A qu hora sale la camioneta?

c Cunto tiempo indica cada cuadrito en el eje horizontal?

d. En qu momento el auto pasa a la camioneta?

e.Quin llega antes al kilmetro 100? Por qu?

f.A qu hora regresa al punto de partida cada vehculo?

g. En qu momentos el auto y la camioneta estn detenidos?

h En qu momentos el auto se aleja de la salida?

. En qu momentos la camioneta vuelve?FUNCIN NUMRICA:Comnmente, el trmino funcin numrica se utiliza cuando el dominio y el codominio son valores numricos, (nmeros Reales) FUNCIN LINEAL:La Funcin Lineal es una funcin es una funcin definida por un polinomio de grado uno. Ejemplo:

Toda funcin lineal tiene la forma: f(x) = mx + b donde m y b son nmeros reales y x la variable independiente.

Ejercicio N 43: Completar las tablas de valores y graficar las siguientes funciones lineales:a) y= 3x + 2b) y= 2x -1c) y= - 3x + 1d) y= x + 4e) y= -x - 2

XYxyxYxyxy

-2-2

-1-1

00

11

22

VARIABLES

INDEPENDIENTEDEPENDIENTE

Puede tomar cualquier valor del dominioSu valor depende del valor que toma la variable independiente

Frmula

XY = f(x)

Sobre eje horizontalSobre eje vertical

AbscisaOrdenada

Como observas en los grficos toda funcin lineal se representa mediante una .

Dicha funcin tiene la forma: f(x) = y =

Donde .. y .. son nmeros reales y constantes.

Ejercicio N 44:Analiza los grficos del ejercicio 43, completa y extrae conclusiones:

a) En los tems a, b y d Cuando Aumenta la Variable independiente (x) ..La variable dependiente (y)

b) En los tems c y e Cuando Aumenta la Variable independiente (x) ..La variable dependiente (y)CONCLUSIN:

.

.

..

c) La recta corta al eje vertical en: a b .c .

d .. e ..

CONCLUSIN:

.

.

..

33