Cuadernillo de Física de 2º Naturales

BIENVENIDOS AL MARAVILLOSO MUNDO DE LA FÍSICA

Dentro de éste cuadernillo encontrarás todos los contenidos de Física, que se desarrollarán a lo largo del presente año.Es importante tener en cuenta que a) se debe leer, analizar y comprender la teoría desarrollada b) es necesario resolver todos los problemas planteados c) ante cualquier duda preguntar al profesor.

Durante el desarrollo de la clase hay que prestar atención, preguntar cuando no se entiende o comprende una explicación, y expresar las dudas sobre los trabajos dados de tarea.La mayor parte del aprendizaje se producirá cuando resuelvas los problemas, el copiar la resolución de un problema del pizarrón o de un compañero no genera un verdadero aprendizaje. Por lo tanto es necesario que le dediques el tiempo necesario para analizar la teoría y resolver los problemas dados de tarea.

CONTENIDOS DE FÍSICA DE 2º AÑO DE CIENCIAS NATURALES

CINEMÁTICA

Movimiento. Sistemas de referencias. Desplazamiento y posición de un cuerpo. Velocidad. Movimiento rectilíneo uniforme. Gráficos de x(t) y v(t). Encuentro de móviles que se desplazan con M.R.U. Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Gráficos de x(t), v(t) y a(t). Encuentro de móviles. Móviles que cambian su movimiento, resolución de problemas en forma gráfica y analítica. Caída libre y tiro vertical. Gráficos de h(t), v(t) y g(t) en la caída libre y el tiro vertical. Problemas de encuentro con caída libre y tiro vertical. Movimientos combinados, resolución de problemas en forma gráfica y analítica. Movimiento parabólico. Movimiento circular uniforme.

DINÁMICA

Dinámica. Leyes de la dinámica. Diferencias entre el peso y la masa de un cuerpo. Relación entre el peso y la masa de un cuerpo. Fuerza de rozamiento. Sistema de unidades. Resolución de problemas de dinámica. Resolución de problemas integrando contenidos de cinemática y dinámica.Trabajo macánico. Potencia. Energía mecánica. Energía Potencial. Energía Cinática.

BIBLIOGRAFÍA EMPLEADA

Cuadernillo del C.B.C. de la Universidad de Buenos Aires.Seminario Universitario 2002 y 2003 de Física de la Universidad Tecnológica Nacional.Cuadernillo de Física de la Universidad Nacional de La Matanza.Física (Mecánica, Fluidos y Calor) de Alberto Heinemann. Editorial Estrada. Física 1 de Castiglioni, Perazzo y Rela. Editorial TroquelFísica de Editorial Puerto de Palos.Exámenes del curso de ingreso a la U.B.A.Exámenes del curso de ingreso a la U.T.N. EXPECTATIVAS DE LOGRO Que el alumno logre:

a) Analizar la información dada en situaciones problemáticas

1

b) Resolver situaciones problemáticas relacionadas con los contenidos dados, generando estrategias y secuencias lógicas, justificando cada paso con modelos físico-matemáticos correctos.c) Analizar y realizar gráficos de x(t) , v(t) , a(t) y diagramas del cuerpo libre.d) Emplear adecuadamente las fórmulas definidas en clase y unidades correspondientes a las diferentes variables que se utilizarán.e) Desarrollar el hábito de prestar atención y realizar las actividades planteadas para ser trabajadas en clase o en el hogar.f) Presentar las actividades y/o trabajos prácticos en el tiempo y la forma acordados.g) Emplear un lenguaje técnico, propio de la asignatura, en forma coherente, fluida y ordenada.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Durante el desarrollo de las clases se tendrá en cuenta que el alumno:Adquiera disciplina y constancia en el estudio y práctica de ejercicios.Presente los trabajos en la forma y en el tiempo establecidos.Muestre responsabilidad en todos los aspectos del trabajo diario.Preste atención y realice las actividades propuestas.

En las evaluaciones orales y/o escritas se tendrá en cuenta:La aplicación correcta de los conocimientos trabajados en clase, en la resolución de problemas.El empleo correcto de la información en la resolución de problemas.La construcción y análisis de gráficos de x(t), v(t) y a(t).La utilización adecuada de las unidades y pasajes de unidades.El análisis de los resultados obtenidos y la aplicación correcta de los mismos en diferentes etapas de un problema.La responsabilidad en la presentación en tiempo y forma de los trabajos asignados.El empleo de un lenguaje técnico en forma coherente, fluida y ordenada.

Prof. Marcelo Gauna

Notificado (firma del padre, madre o tutor): …………………………………………

Espero que puedas adaptarte al modelo de trabajo del presente año. No te quedes con dudas, pregunta en clase, hace los trabajos planteados, tanto para el horario de clase como los dados de tarea. Es fundamental que en tu casa repases la teoría y realices la tarea. Para cuando tengas un momento de tranquilidad, te regalo la siguiente frase

Ponerse en movimiento es importante, pero lo más importante es mantener el entusiasmo inicial, persistir y no rendirse a pesar de las dificultades. Porque vamos a tener tropiezos, pero la clave no está en no caerse, sino en saber levantarse y continuar.

CINEMÁTICA

Es la parte de la Física donde se estudia el movimiento de los cuerpos, independientemente de las causas que provocan dicho movimiento. Es decir, se analizan las características de los movimientos, a lo largo de su recorrido, pero no se plantean las causas que generan dicho movimiento.

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

En el movimiento rectilíneo uniforme los cuerpos se mueven en línea recta y siempre con la misma velocidad, es decir mantiene la velocidad sin modificarla. Ahora bien, ¿cuál será la función matemática que, a partir de las características del M.R.U., describa el desplazamiento de los cuerpos en función del tiempo?Deduciendo que la velocidad media es el cambio de posición en un intervalo de tiempo, tenemos la siguiente expresión:

y debido a que la velocidad se mantiene constante durante todo el período de tiempo, podemos decir que la velocidad media es igual a la velocidad, . Al relacionar las dos expresiones obtenemos que:

Esta expresión nos permite calcular el desplazamiento que cada cuerpo realiza en cada intervalo de tiempo. Al llevar las condiciones del M.R.U. a un gráfico que relacione la velocidad con el tiempo (a éste gráfico lo llamaremos velocidad en función del tiempo), observamos:

v

t(s)

Teniendo en cuenta el gráfico de v(t) podemos deducir que el producto corresponde al área bajo la línea dentro del intervalo de tiempo. Es un área muy especial que no se mide en o en , sino que al multiplicar las unidades de la

velocidad con las unidades de tiempo obtenemos: es decir, éste área tiene

unidades de longitud y representa el desplazamiento que realiza el móvil, en un determinado tiempo. La ecuación horaria del M.R.U. se puede obtener a partir de la fórmula de velocidad:

3

v es la velocidad del móvil es la posición final del móvil

es la posición inicial del móvil, es el punto de partida del móvil

es el instante en el que llega a la posición final

es el instante en el que comienza a moverse.

Si representamos gráficamente la ecuación horaria en un gráfico de espacio en función del tiempo, podemos observar que se obtiene una línea recta:

xm)

t(s)

Si analizamos la ecuación horaria podemos llegar a la ecuación de una recta. Para facilitar los cálculos, suponemos que el móvil comienza su movimiento en , si reemplazamos éste valor en la ecuación horaria tenemos:

esta expresión coincide con la ecuación de una recta

Se tendrá en cuenta en la resolución de problemas que todo móvil que avanza o se desplaza hacia la derecha o hacia arriba tiene velocidad positiva. Por lo tanto establecemos nuestro sistema de referencia para la velocidad y la posición de los móviles como el empleado en matemática, con los ejes de coordenadas cartesianas, habitualmente llamados eje X y eje Y.Recordando que la pendiente de una recta es constante, podemos deducir que la velocidad es el valor de la pendiente de la ecuación horaria.De éste análisis podemos deducir que para iguales intervalos de tiempo el cuerpo se desplaza en longitudes iguales.

Análisis de gráficos de x(t) y v(t)a) Si el móvil avanza (es decir si se desplaza a favor del sentido positivo del eje de referencia), se considera que la velocidad es positiva, por lo tanto los gráficos de x(t) y v(t) son

x(m)

4

v

t(s) t(s)

El gráfico de x(t) representa a un móvil que AVANZA, manteniendo constante su velocidad, por tal motivo la pendiente de la recta debe ser POSITIVA (recordemos que la pendiente corresponde a la velocidad).

b) Si el móvil retrocede (es decir si se desplaza en sentido contrario al sistema positivo del eje de referencia), se considera que la velocidad es negativa, por lo tanto los gráficos de x(t) y v(t) son

t(s) x(m)

-v

t(s)

El gráfico de x(t) representa a un móvil que RETROCEDE, manteniendo constante su velocidad, por tal motivo la pendiente de ésta recta debe ser NEGATIVA (recordemos que la pendiente corresponde a la velocidad). Cuando el móvil retrocede , también ES NEGATIVO.

VELOCIDAD INSTANTÁNEAEs la velocidad de un móvil en un cierto instante, o en determinado punto de su trayecto. La velocidad instantánea en un punto P de un trayecto puede definirse como el valor del límite de la velocidad media cuando nos acercamos al punto P, Su expresión matemática es:

Cuando la velocidad instantánea de un móvil es constante y, por lo tanto, igual a su velocidad media, se dice que el movimiento es rectilíneo uniforme.

UNIDADES

Pasaje de unidades:1 km = 1000 m1h = 3600 s

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PROBLEMAS DEL M.R.U.

1) Un vehículo recorre la distancia de 606 km en línea recta, cuando parte de Bs. As. A Río Cuarto, empleando un tiempo de 7 horas. Obtener su velocidad y expresarla

en y . .

2) Un móvil que parte 20 m detrás del punto de referencia con una velocidad

constante de , avanza durante 9 segundos. Calcular la posición final y la

distancia recorrida. R.:

3) Un atleta recorre 100 metros con una velocidad de 36 . Calcular el tiempo

empleado.

4) Un camión se desplaza en línea recta con una velocidad constante de ,

llegando a 230 metros al cabo de 6 segundos. Obtener el punto de partida y la distancia recorrida.

R.: 5) Si la luz que emite el Sol tarda en llegar a la Tierra 8 minutos con 20 segundos. Calcular la distancia que recorre, sabiendo que la velocidad de la luz es de 300.000

. .

6) ¿Qué tiempo emplea un vehículo para recorrer el trayecto en línea recta de 306

km que une Rosario con Bs.As., si emplea una velocidad de 19,44 ?

7) Un vehículo que parte 50 metros detrás del punto de referencia llega hasta un punto situado a 130 por delante del punto de referencia, sabiendo que su movimiento comienza un segundo después de comenzado a controlar el tiempo y que llega cuando el cronómetro indica 7 segundos, hallar la velocidad del móvil y la distancia recorrida. Graficar x(t) y v(t)

R.:

8) Un móvil se encuentra 135 m detrás del punto de referencia y avanza con una

velocidad constante de . Sabiendo que se comenzó a mover al los 4 segundos

de comenzar a cronometrar el tiempo y recorre una distancia de 120 m, calcular la posición final, el tiempo, desde el instante que comienza a funcionar el cronómetro hasta llegar a dicha posición y la velocidad con la que llega. Graficar x(t) y v(t).

R.:

6

9) Un ciclista se desplaza en línea recta, controlamos el movimiento, 2 segundos después de comenzado a mediar el tiempo, alcanzando un punto ubicado 80 m por delante del punto de referencia cuando el cronómetro indica los 5 segundos.

Sabiendo que se desplazaba con una velocidad constante de calcular el punto

de partida, la posición cuando el cronómetro marca los 3 s y el tiempo empleado en recorrer 20 m.

R.:

10) Un móvil que parte 200 metros delante del punto de referencia 4 segundos después de comenzar a controlar el tiempo, retrocede con una velocidad constante, recorriendo 155 m en 5 segundos, sin tomar el tiempo que estuvo detenido. Obtener la velocidad, la posición final, el tiempo empleado en llegar a los 150 metros y la distancia recorrida luego de 2 segundos de marcha. Graficar v(t) y x(t)

R.:

11) Un móvil retrocede con una velocidad constante de -10 desde un punto

situado a 60 m por detrás del punto de referencia. Sabiendo que comienza su marcha 5 segundos después de comenzar a controlar el tiempo y que recorre una distancia de 263 m , calcular la posición final del móvil, el tiempo empleado en llegar a dicho punto desde el instante que comenzó a funcionar el cronómetro. Graficar x(t) y v(t)

R.:

12) Un conductor se desplaza en un automóvil con velocidad constante de 90 . Si

se distrae un segundo para observar por el espejo retrovisor, hallar la distancia recorrida en dicho período de tiempo.

R.:13) ¿Cuánto tiempo tarda un tren de 200 m de largo, que marcha a una velocidad de

54 en pasar por un túnel de 1600 m de largo.

R.:

14) Un móvil recorre la tercera parte de su recorrido a 108 y el resto a 72 .

Calcular la velocidad media del vehículo.

R.:

15) Un ciclista que viaja en una trayectoria rectilínea, recorre la mitad de su camino

a 30 , y la otra mitad a 20 . Despreciando el tiempo empleado en variar la

velocidad, calcular el valor de la velocidad media, teniendo en cuenta que

R.:

16) Responda verdadero o falso y justifique la respuesta:a) el velocímetro indica la velocidad media

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b) se recorren 300 km en tres horas, entonces durante el viaje hay necesariamente

al menos un instante en que el velocímetro marca 100

c) 1 es más que 1

17) Un móvil que parte 2 segundos después de comenzado a cronometrar su tiempo desde un punto situado 200 m delante del punto de referencia retrocede con una velocidad constante hasta llegar a otro punto situado en -35 m cuando el cronómetro marca 7 s. Graficar x(t) y v(t) e indicar en que instante el móvil pasa por el punto de referencia.

R.: t = 6,26 s

18) Dado los siguientes gráficos representar x(t) , sabiendo que el espacio recorrido se expresa en metros, el tiempo empleado en segundos y que el móvil parte 50 m detrás del punto de referencia:

a) b)

0 9 t(s) 20

-12

0 7 t(s)

c) d)

0 2 5 t(min)

83

-23

0 2 14 t(s)

e) f)

0 2 9 t(min)

100

-60

0 4 18 t(s)

8

i) Calcular la posición de cada móvil a los 5 segundos de comenzado a controlar el tiempo.

ii) Obtener el tiempo empleado en recorrer 75 metros.

iii) En el caso de pasar por el punto de referencia, indicar en qué instante pasa cada móvil.

R.: i) a) b) c) d) No se puede calcular porque no hay

información del móvil a los 5 s de comenzado a controlar el tiempo, e) f) No se puede calcular.ii) a) t = 3,75s b) t = 6,25s c) t = 3,25s d) t = 3,26s e) t = 44,91s f) t = 124,5s.iii) a) t = 2,5s b) No pasa porque el móvil retrocede c) t = 4,17s d) No pasa e) t = 33,94s f) No pasa porque el móvil retrocede.

19) Un móvil que parte desde -110 m retrocede con una velocidad constante de

hasta llegar a una posición de -309 m. Calcular el tiempo empleado si

comenzó el movimiento 3 s después de comenzado a medir el tiempo. Graficar x(t) R.: t = 9,05 s

20) A partir de los siguientes gráficos representar los gráficos de v(t) :

a) x(m) b) x(m)

60 96

0 8 t(s) 0 7 t(s) c) d) 0 5 t(min) 0 4 t(min)

-100 -80

-x(km) -x(km)

e) f) 0 8 t(s) x(cm) 120 -50

9

40 -180 -x(km) 0 5 21 t(s)

g) h) x(km) x(m) 200 6

2,7 80

0 0 1 6 t(h) 7 22 t(min)

R.: a) b) c) d) e) f) g)

h)

21) Un móvil se desplaza en línea recta con velocidad constante de , desde los

6 s hasta los 11 s. Teniendo en cuenta que parte 45 metros detrás del punto de referencia indicar en que instante pasa por el punto de referencia y hasta que posición llega.

R.:

22) Los siguientes gráficos corresponden a distintos móviles, que realizan movimientos rectilíneos. Expresar las ecuaciones horarias para cada uno de ellos e indicar en qué instante pasarán por la posición tomada como origen de coordenadas (punto de referencia)

a) b) x(m) x(m) 24 20

12 6 0 6 t(s) 0 4 t(s)

c) d) x(m) x(m) 16 8

t(s) 0 6 0 4 10 t(s)

-8 -4

10

-x(m) -x(m)

R.: a) b) pasa por el punto de referencia a los t = 10 s

c) y t = 2 s d) y t = 8 s

23) Dos participantes de una carrera de regularidad trazaron cada uno el gráfico de posición en función del tiempo de su vehículo, desde sus propios sistemas de referencias para un tramo recto de su recorrido.

a) b) x(km) x(km)

3 2 1

0 5 t(min) 0 1 5 t(min)

a) Escribir las ecuaciones horarias de cada vehículo, desde el sistema elegido por cada participante.b) ¿Se puede decir cuál de ellos se movió a mayor velocidad?c) Hallar la posición de cada vehículo a los 15 minutos.

R.: a) y se encuentra a 7 km del punto de referencia a los 15

min b) y se encuentra a 6997,2 m del punto de referencia a los 15

min. Se mueve más rápido el que tiene mayor pendiente (mayor velocidad), es decir el móvil del gráfico b.

24) Ignacio, cronómetro en mano y ubicado en un tramo rectilíneo de una ruta, estudia el movimiento de los coches que circulan por la misma con velocidad constante. A su derecha, y a 40 m de él hay un árbol, y más lejos un cartel.En cierto instante ve que un móvil se le acerca por la izquierda, y dispara el cronómetro cuando lo tiene a 100 m; el auto pasa frente a él 5 segundos después.Utilizando como origen la posición de Ignacio, y los tiempos que indica el cronómetro:a) obtener la velocidad del autob) expresar la ecuación horariac) calcular el instante en que el auto pasa frente al árbold) si cuando el cronómetro indica 10 segundos el auto pasa frente al cartel, cuántos metros hay entre éste y el árbole) graficar x(t) y v(t) e indicar en dichos gráficos todos los puntos de referencia mencionados

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R.: a) b) c) t = 7s d)

25) Dados los siguientes gráficos determinar, ¿cuál es el que representa un movimiento más veloz y por qué? Y expresar la ecuación horaria para cada uno de ellos.a) x(m) b) x(m) A

A 20 15

0 2 t(s) 5 B x(m) B 20

0 5 t(s)

0 4 t(s)

c) x(m) x(m) A 4 B 2 1

0 10 t(s) 0 4 t(s)

R.: a) El móvil A es el más rápido, porque su ecuación horaria tiene mayor

pendiente. Móvil A y el móvil B

b) El móvil A es el más rápido. Móvil A y el móvil B

c) El móvil B es el más rápido. Móvil A y el móvil B .

26) Un móvil retrocede con una velocidad constante de 96 desde los 50 m

delante del punto de referencia, 4 segundos después de comenzado a controlar el tiempo. Calcular el instante que pasa por el punto de referencia y graficar x(t) y v(t).

R.: t = 5,88 s27) Un tren avanza en línea recta con una velocidad constante y emplea en pasar por un túnel de 42 m de largo 3,3 s, calcular la velocidad del tren. Si mantiene dicha velocidad y emplea 9,7 s en entrar todo el tren en otro túnel, hallar la longitud del tren.

R.:

12

28) Para cada uno de los siguientes gráficos indicar si los valores indicados son mayores, menores o igual a cero para , y a) b) c) x x x

t t t

d) e) f) x x x

t t t

g) h) i) x x x

t t

-t t -x -x

R. :a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

29) Tres segundos de comenzado a controlar el tiempo pasa un automóvil delante de una estación de servicio, desplazándose en línea recta con una velocidad constante

de . Calcular el tiempo que emplea en recorrer una distancia de 147 m e

indicar el tiempo que marca el cronómetro. Indicar a que distancia de la estación de servicio se encuentra al finalizar el movimiento y graficar x(t).

R.: t = 8,95 s ,

30) La velocidad del sonido es de 330 y la velocidad de la luz es de 300.000 . Si

se produce un relámpago a 50 km de un observador. ¿Qué percibe primero dicho observador, la luz o el sonido?. ¿Con qué diferencia de tiempo los registra?

R.: 2 min y 31,5 s

31) Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía. ¿Cuánto tarda el policía en oírlo?

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

En el movimiento rectilíneo uniformemente variado los cuerpos se mueven en línea recta y modifican su velocidad, pero en forma gradual, ya sea aumentándola o disminuyéndola. En éste movimiento aceleración permanece constante. La aceleración surge porque la velocidad cambia. Siempre que la velocidad se modifique aparecerá una aceleración.Sabiendo que la aceleración que adquiere un móvil es la variación de la velocidad con relación al tiempo empleado en cambiar dicha velocidad, matemáticamente se puede escribir que:

Si representamos gráficamente la v(t) podremos analizar la ecuación de la aceleración

t(s)

A partir de la representación gráfica podemos deducir que la pendiente de la recta es la aceleración y por lo tanto se puede asegurar que para iguales intervalos de tiempo la velocidad cambia en cantidades iguales.La representación gráfica de la aceleración en el M.R.U.V. siempre es un segmento paralelo al eje del tiempo, debido a que permanece constante (sin modificarse) durante todo el trayecto.

t(s)

a

- a

t(s)El signo de la aceleración depende de la inclinación de la recta que se obtiene al relacionar la v(t). Éste signo no nos aclara si el móvil avanza o retrocede, y no nos alcanza para saber si el móvil aumenta o disminuye su velocidad.

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Utilizando las propiedades de pendiente de una recta podemos deducir que:a) si un móvil avanza aumentando su velocidad o retrocede disminuyendo la velocidad, la aceleración es POSITIVA, porque la recta que se obtiene al representar gráficamente v(t) es CRECIENTE.

t(s)

t(s)

+V , +a y Desde hasta t: -V , y +a.

Desde t hasta : +V , y +a. b) si un móvil avanza disminuyendo su velocidad o retrocede aumentando su velocidad, la aceleración es NEGATIVA, porque la recta que se obtiene al representar gráficamente v(t) es DECRECIENTE.

Desde hasta t:

+V , y -a t t(s)

t(s) Desde t hasta : -V, y -a

+V , y -aEn la resolución de problemas se debe tener en cuenta los signos de la velocidad, de la aceleración, desplazamiento del móvil y de su posición. Si un móvil se encuentra delante del punto de referencia su posición es POSITIVA, pero si se encuentra detrás del punto de referencia, su posición es NEGATIVA.Se considerará que todo móvil que avanza, es decir, se desplaza hacia la derecha del sistema de referencia, tiene velocidad POSITIVA. Y todo móvil que retroceda, es decir, se desplaza hacia la izquierda del sistema de referencia, tiene velocidad NEGATIVALa aceleración es POSITIVA cuando el móvil avanza aumentando la velocidad o cuando retrocede desminuyendo la velocidad.La aceleración es NEGATIVA cuando el móvil avanza disminuyendo la velocidad o cuando retrocede aumentando la velocidad. (Recordemos que los signos de la aceleración surgen de la pendiente de la recta cuando se grafica la v(t), no nos indica si el móvil avanza o retrocede ).Cuando un móvil avanza su (distancia recorrida) ES POSITIVO y cuando retrocede su ES NEGATIVO.

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Cuando un móvil avanza la gráfica de la posición en función del tiempo puede tener las siguientes características:a) avanza aumentando la velocidad b) avanza disminuyendo la velocidad x(m) x(m)

t(s) t(s)Su velocidad, aceleración y desplazamiento Su velocidad y desplazamiento son positivos son positivos y su aceleración negativa

c) retrocede aumentando la velocidad d) retrocede disminuyendo la velocidad

t(s) t(s)

-x(m) -x(km)

Su velocidad, aceleración y desplazamiento Su velocidad y desplazamiento son negativos son negativos y su aceleración positiva

RESUMEN DE GRÁFICOS DEL M.R.U.V.

a) El móvil avanza por lo tanto la y

v x

t tEL MÓVIL AVANZA AUMENTANDO LA VELOCIDAD, POR LO TANTO a>0

v x

t t

16

EL MÓVIL AVANZA DISMINUYENDO LA VELOCIDAD, POR LO TANTO a<0

b) el móvil retrocede, por lo tanto y

t t

v x

EL MÓVIL RETROCEDE DISMINUYENDO LA VELOCIDAD, POR LO TANTO a>0

t t

v x

EL MÓVIL RETROCEDE AUMENTANDO LA VELOCIDAD, POR LO TANTO a<0

Las ecuaciones que se podrán utilizar en el M.R.U.V. son las siguientes:

UNIDADES

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL M.R.U.V.

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1) Un tren marcha a 40 , 5 segundos después su velocidad es de 60 ,

suponiendo que su desplazamiento fue en línea recta y que parte 25 metros detrás del punto de referencia, hallar la aceleración, la posición final y el espacio recorrido.

2) Un tren que parte de la estación de Viedma y mantiene durante 10 segundos una

aceleración constante de 1,5 . ¿Cuál es la distancia recorrida en ese tiempo?

Suponiendo que parte del reposo. 3) Un aeroplano carretera 800 m acelerando uniformemente, si realiza ese camino en 20 segundos, ¿cuál es la aceleración y con qué velocidad despega si partió del reposo?.

4) Una motocicleta que parte del reposo desde un lugar ubicado a 55 metros delante

del punto de referencia, con una aceleración de 6 , adquiere una velocidad de 48

. Calcular el tiempo empleado, la posición final y el espacio recorrido. Graficar

x(t), v(t) y a(t).

5) Un tren marcha a 72 , aplica los frenos y se detiene en 20 segundos, a 10

metros delante del punto de referencia. Hallar la aceleración, la posición al cabo de 2 segundos, la posición inicial y la distancia recorrida.

.

6) Un automóvil se desplaza en línea recta a 80 desde un punto ubicado a 25

metros detrás del punto de referencia, aplica los frenos durante 8 segundos

manteniendo una aceleración constante de -2 . Calcular la velocidad que conserva

luego de los 8 segundos, la posición final y el espacio recorrido en ese tiempo. Graficar x(t), v(t) y a(t).

7) Un móvil que parte 66 metros detrás del punto de referencia, desde el reposo, 4 segundos después de comenzar a controlar el tiempo, mantiene una aceleración

constante de 2,3 , recorriendo una distancia de 127 metros. Calcular la posición

final, la velocidad final, el tiempo que estuvo en movimiento, el tiempo total empleado en pasar por el punto de referencia y la distancia recorrida al cabo de 5 segundos de comenzado a controlar el tiempo. Graficar x(t), v(t) y a(t).

18

R.:

8) Un avión que se desplaza en línea recta con una velocidad de 810 , frena y se

detiene en seis segundos, 600 metros delante del punto de referencia. Hallar el espacio recorrido hasta detenerse, la posición inicial, el tiempo empleado en recorrer 500 metros y la posición al segundo de la partida. Graficar x(t), v(t) y a(t).

R.:

9) Un camión que retrocede en línea recta con una velocidad de -10 , frena y se

detiene al recorrer -20 m, llegando a una posición de 45 m detrás del punto de referencia. Calcular la aceleración, el tiempo empleado y la posición inicial. Graficar x(t), v(t) y a(t).

10) Un avión cuando toca la pista, acciona todos los sistemas de frenado y le

generan una aceleración de -20 , si necesita 100 m para detenerse. Hallar el valor

de la velocidad con la que tocó la pista y el tiempo empleado en detenerse.

11) Un camión retrocede y disminuye su velocidad en forma uniforme, pasando de

-100 cuando se encuentra a 270 m detrás del punto de referencia a, -50 , al

recorrer 150 m . Calcular el tiempo empleado, la posición final y la velocidad que posee a los 2 segundos de la partida. Graficar x(t), v(t) y a(t).

12) Un cuerpo que parte desde -45 m cuando el cronómetro marca un tiempo de 3 s, recorre una distancia de -156 m, en 4 segundos. Si parte del reposo calcular la aceleración, la velocidad final, el instante que pasa por un punto situado en -100 m y graficar x(t), v(t) y a(t)

R.:

13) Indicar los signos de la velocidad, aceleración y desplazamiento en cada uno de los siguientes casos:a) el móvil parte de -60 m y llega hasta 200 m aumentando la velocidadb) el móvil retrocede aumentando la velocidad

c) el móvil se detiene en 8 segundos, partió de 20 m y su aceleración es de -3

R.: a) La velocidad, aceleración y el desplazamiento son positivos, b) la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son negativos, c) la velocidad y el desplazamiento son positivos, la aceleración es negativa:

19

14) Un móvil que se desplaza en determinado instante a 135 , aplica los frenos y

se detiene al recorrer 60 m. Calcular la aceleración, el tiempo empleado en detenerse y la velocidad que posee 0,3 segundos antes de detenerse.

15) Un móvil retrocede comenzando a desplazarse 3 s después, con una velocidad

de -45 desde un punto situado 13 m delante del punto de referencia. Sabiendo

que pasados 6 segundos posee una velocidad de -9 . Calcular la posición final, el

espacio total recorrido y la velocidad que posee a los 5 segundos de comenzado a controlar el tiempo. Graficar x(t), v(t) y a(t).

R.:

16) Se dispara una bala con un fusil de 0,75 m de largo. Si la bala sale del extremo

del caño con una velocidad de 45 , hallar la aceleración de la bala y el tiempo

empleado en recorrerlo, suponiendo que parte del reposo y la aceleración es constante.

R.:

17) Un móvil se desplaza con una aceleración constante, partiendo del reposo, recorre en el primer segundo 20 cm. Calcular:a) la distancia recorrida entre los 19 s y los 20 s

b) el tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 24

c) la distancia recorrida entre el primer y tercer minuto.

R.:

18) Un automóvil disminuye su velocidad desde 72 , cuando se encuentra 100m

detrás del punto de referencia, hasta 36 , recorriendo en ese tiempo una distancia

de 30m. Calcular la aceleración, la posición final y el tiempo empleado en detenerse. Graficar x(t), v(t) y v(t).

R.:

19) Un móvil se mueve hacia la derecha con una velocidad inicial cuyo módulo es de

100 . El movimiento es rectilíneo y la aceleración vale -10 . Determinar:

a) el instante en que el móvil se detieneb) sabiendo que parte de -122 m , hallar la posición del móvil en el instante que se detienec) graficar x(t), v(t) y a(t).

R. : t = 10 s

20

20) Un móvil que parte del reposo tiene una aceleración constante y tarda 3 s en pasar por dos puntos distantes 50 m entre sí. Sabiendo que al pasar por el segundo

punto tiene una velocidad de , hallar la aceleración del móvil, la velocidad

cuando pasa por el primer punto y el desplazamiento desde el punto de partida hasta el primer punto.

R.:

21) Un ciclista que parte 24 m detrás del punto de referencia, 2 segundos después de comenzado a funcionar un cronómetro, avanza en línea recta con una aceleración constante, pasando por un primer control a los 15 segundos de comenzado a cronometrar la carrera. Sabiendo que el puesto de control se encuentra 200 m delante del punto de referencia, obtener la aceleración, la velocidad con la que llega y la distancia recorrida

R.:

22) El siguiente gráfico corresponde a una partícula que se mueve en línea recta, de izquierda a derecha, sabiendo que al comenzar su movimiento la partícula se encuentra 5 m a la izquierda del punto de referencia. Calcular la distancia máxima que alcanza la partícula a la derecha del origen, el instante en que pasa por el punto de referencia, la aceleración que posee a los 4 s y graficar x(t).

3

0 8 t(s)

R.:

23) Dados los siguientes gráficos representar la v(t) sabiendo que en los tres primeros gráficos la

, en los dos siguientes, la y en el último la .

a) x(m) b) x(km) 5 140

1,7

0 6 t(s)

21

0 41 t(s)

c) d) x(cm) 0 1 39 t(min) 90 -100

0 1 4 t(min) -30 -350

-x(cm) -x(hm)

e) f) 0 5 13 t(s) x(m) 65 -4

0 2 12 t(s)

-40 -100 -x(m) -x(m)

R.:a) ,b) , c) ,

d) , e) , f) .

24) Los siguientes gráficos representan la velocidad que adquiere un cuerpo en función del tiempo, al moverse en un camino rectilíneo, no necesariamente horizontal.

a) b) c)

98 22 17

36 0 9 t(s) 0 6 t(s) 0 2 11 t(s)

d) e) f)

22

5 120 0 1 5 t(s)

43

0 2 7 t(s) 0 3 t(min) -9

Para cada uno de ellos se pide:a) obtener el valor de la aceleración y graficar a(t)b) escribir la ecuación horaria para cada movimientoc) calcular la posición del móvil a los 2 s y 5 s de la partidad) representar gráficamente x(t)e) ¿cuál es la pendiente de la recta tangente para cada gráfico de x(t) en el punto t = 1 s?

R.: a) a = , , y ,

b) a = , , y ,

c) a = , , y , No

se puede determinar.

d) a = , , No se puede determinar

, No se puede determinar

e) a = , , y ,

f) a = , , y ,

25) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 2 y se mueve

durante 6 segundos. Calcular el desplazamiento durante el primer segundo y cuánto durante el último segundo. Graficar v(t) y x(t).

R.: ,

26) Un trineo parte del reposo por una rampa inclinada, con una aceleración

constante. Pasa por un primer puesto de control con una velocidad de 5 y por el

segundo puesto con una velocidad de 15 . Si ambos puestos están distanciados por

60 m, calcular la aceleración, la distancia entre el punto de partida y el primer puesto y graficar x(t) , v(t) y a(t) desde el momento de la partida.

23

R.:

27) Un móvil parte de 0,055 km, 4 s después de comenzado a controlar el tiempo

con una velocidad inicial de –1,6 , durante 6 segundos manteniendo una

aceleración constante de . Calcular el instante que pasa por el punto de

referencia y graficar x(t) y x(t).R.:

COMBINACIÓN DE MOVIMIENTOS

En cada problema de combinación de movimientos se trabaja con varios movimientos uno a continuación del otro, es decir se asocian varios movimientos para formar un solo problema, donde es necesario tener en cuenta que LOS DATOS FINALES DE UNA ETAPA SON LOS DATOS INICIALES DE LA ETAPA SIGUIENTE. Por tal motivo es muy importante saber SEPARAR BIEN LAS ETAPAS QUE POSEE CADA PROBLEMA. Toda la teoría desarrollada en los movimientos anteriores se sigue utilizando en la combinación de movimientos.

1) Dados los siguientes gráficos representar gráficamente x(t) y a(t). En todos los casos el móvil parte 80 metros detrás del punto de referencia. Obtener la distancia recorrida entre los 8 s y los 12 s

a) b)

12 25 5

0 0 10 22 t(s) 9 23 t(s)

c) d)

80 50 40 0 6 12 19 t(s)

24

0 13 20 t(s)

e) f)

18 90 10 0 0,5 0,9 t(min)

0 12 19 t(s)

g) h)

5 30 3,6 0 8 12 t(s) 0 5 8 t(s)

-46 -6,4

R.: a) , , , ,

b) , , , , ,

c) , , , ,

d) , , , ,

e) , , , , ,

f) , , , ,

,

g) , , , , , ,

, ,

25

h) , , , , ,

, , , ,

2) Un móvil que se desplaza en línea recta, a partir del reposo con una aceleración

constante de durante 7 segundos, posteriormente aplica los frenos y se

detiene al recorrer 80 m. Permanece detenido durante 10 segundos. Obtener el espacio total recorrido, el tiempo empleado, la posición donde llega, sabiendo que el móvil partió 100 m detrás del punto de referencia. Graficar x(t),v(t) y a(t) .R.:

3) Un móvil que se desplaza en línea recta con una velocidad constante, recorre 100

m en 4 s, posteriormente mantiene una aceleración constante de 2,6 durante 3 s.

Calcular el espacio total recorrido, la posición final del móvil y el tiempo total empleado, sabiendo que el móvil partió 50 m delante del punto de referencia. Graficar x(t), v(t) y a(t).

R.:

4) Un móvil retrocede con una aceleración constante de -4 , a partir del reposo,

durante 7 s. Luego aplica los frenos y se detiene al recorrer 50 m . Sabiendo que el móvil parte 70 m delante del punto de referencia, hallar la posición final, el espacio total recorrido, el tiempo total empleado y graficar x(t), v(t) y la a(t).

R.:

5) Un tren que parte del reposo, de una estación con una aceleración constante de

, hasta alcanzar una velocidad de , posteriormente varía su aceleración a

otra de y la mantiene durante 6 segundos. Sabiendo que parte del punto de

referencia, obtener la posición final, el espacio total recorrido y graficar x(t), v(t) y a(t).

R.:

26

6) Un avión se desplaza en línea recta a partir de una velocidad de hasta

alcanzar una velocidad de en 9 segundos. A continuación disminuye la

velocidad, hasta llegar a los , en 5 segundos, manteniendo una aceleración

constante. Hallar la distancia total recorrida, la distancia recorrida entre los 8 s y los 12 s , graficar x(t), v(t) y a(t).R.:

7) Un ciclista se desplaza en línea recta con una aceleración constante de y

una velocidad inicial de . Luego de 9 segundos, mantiene la velocidad

obtenida, recorriendo una distancia de 250 m. Sabiendo que parte 50 m detrás del punto de referencia, obtener la posición al cabo de 3 s, la distancia recorrida por el ciclista y graficar x(t), v(t) y a(t).R.:

, posición a los 3 s x = -38,62 m y

8) Responda verdadero o falso y justifique la respuesta:a) cuando un móvil frena su aceleración es negativab) siempre que la velocidad de un cuerpo es cero su aceleración también es nulac) siempre que un móvil tiene aceleración nula su velocidad también es nula

R.: a) F ; b) V ; c) F

9) Un móvil que se desplaza en línea recta, partiendo desde los -40 m, con una

velocidad de y una aceleración constante de durante 4 segundos,

posteriormente cambia la aceleración alcanzando una velocidad de al recorrer

una distancia de 80 m. Obtener el espacio total recorrido, el tiempo empleado, la posición donde llega y la distancia recorrida entre los 2 s y los 5,3 s. Graficar x(t),v(t) y a(t).

R.:

10) Un móvil que se desplaza en línea recta con una velocidad constante recorre 160

m en 5 s, posteriormente mantiene una aceleración constante de 1,4 durante 4 s.

A continuación aplica los frenos y se detiene al recorrer 35 m. Calcular el espacio total recorrido, la posición final del móvil, el tiempo total empleado, la velocidad que

27

posee a los 7 s, la posición a los 10 s y la distancia recorrida entre los 6 s y los 11 s, sabiendo que el móvil partió 50 m delante del punto de referencia. Graficar x(t), v(t) y a(t).

R.: ;

,

11) Un móvil retrocede con una aceleración constante de -5 , a partir del reposo,

durante 4 s. Luego aplica los frenos y se detiene al recorrer -73 m, inmediatamente avanza

con una aceleración constante de 6 durante 3.5 s. Sabiendo que el móvil parte

del punto de referencia, hallar la posición final, el espacio total recorrido, el tiempo total empleado, la distancia recorrida entre los 6 s y los 8 s . Graficar x(t), v(t) y la a(t).

R.: -23,62 m

12) Dado el siguiente gráfico representar la v(t) y a(t), sabiendo que el móvil parte del reposo

x(m) 90

0 11 17 22 t(s) -20

-80 -x(m)

R: , , , , , ,

13) El siguiente gráfico representa la aceleración en función del tiempo de un ascensor, que parte de la planta baja, hasta detenerse en el segundo piso. Representar x(t) y v(t).

1,5

0 2 2,5 4 t(s)

-2

28

R.:

14) Teniendo en cuenta las características del problema anterior y suponiendo que

en la primer etapa tiene una aceleración de 2 y dura 4 segundos, que la segunda

etapa es de 4 segundos y que la tercer etapa es de 4 segundos, con una aceleración

de -2 . Calcular la altura hasta donde llega el ascensor.

R.:

15) Dado los siguientes gráficos de V(t) , determinar: a) la velocidad que posee a los

6 s, b) el tiempo empleado en alcanzar una velocidad de 42 , c) la posición del

móvil al cabo de 5 s de comenzado a controlar el tiempo, d) graficar x(t) y a(t)..

1) v 2) v

22 20

13

0 5 14 t(s) 0 5 7 18 t(s)

3) 4)

V V

24 28 10 19 0 3 5 7 t (s) 0 2 5 9 t(s)

R.:4) ,a) , b)

, c) la posición es de 70,015 m.

16) Sabiendo que un móvil se desplaza en línea recta, partiendo 20 m detrás del

punto de referencia, con una velocidad constante de 100 , recorriendo una

distancia de 260 m, para luego detenerse al cabo de 4 s. Obtener: la velocidad que posee a los 6 s de la partida, la distancia recorrida a los 3 segundos de la partida, el tiempo empleado en pasar por el punto de referencia y en que instante obtiene una

velocidad de 80 .

29

R.:

17) Un móvil que parte 30 m delante del punto de referencia retrocede con una

aceleración constante de - durante 6 segundos para luego aplicar los frenos y

detenerse al recorrer 130m . Permanece detenido 9 segundos. ¿Dónde se encontraba el móvil a los 7 segundos, graficar x(t) , v(t) y a(t).

R.:

18) El siguiente gráfico representa la velocidad en función del tiempo, para un automovilista que se detiene frente a un semáforo y luego arranca.a) Representar los gráficos de x(t) y a(t)b) Calcular la distancia entre el semáforo y el móvil a los 10 segundos de la partida.

120

90

0 5 8 13 t(s)

R.:

19) Un tren que pesa 10000 se mueve sobre una vía recta, siendo su gráfico de v(t) el que se representa a continuación, construir x(t) para cada caso y calcular la distancia que recorre cada tren al cabo de 8 min.

a) Teniendo en cuenta que el móvil parte del punto de referencia

2

1,5

0 2 6 8 t(min)

b) Tener en cuenta que el móvil parte de –5 km

2 1,5

30

0 2 6 8 t(min)

R.: a) ; b)

20) Un móvil se desplaza en línea recta y su velocidad en función del tiempo se representa en el siguiente gráfico, obtener el desplazamiento ente los 2 s y los 11 s y representar x(t) sabiendo que parte 60 m detrás del punto de referencia.

10

2

0 4 10 12 t(s)

R.:

21) Dado el siguiente gráfico calcular el espacio recorrido entre los 6 s y los 17 s y graficar x(t), sabiendo que el móvil parte de 45 m detrás del punto de referencia

60

0 8 16 20 23 t(s) -60 -80

R.:

22) Un tren que parte del reposo se desplaza en línea recta, a partir de una estación que se encuentra 380 m detrás del punto de referencia, con una aceleración

constante de 1,3 durante 7 s, posteriormente mantiene la velocidad obtenida

recorriendo una distancia de 245 m, a continuación pasa a una velocidad de 12

en 5,2 s. Para luego detenerse al recorrer 50 m. Calcular el espacio total recorrido, el tiempo total empleado, la distancia recorrida entre los 9 s y los 16 s, la velocidad que posee a los 17 s y la posición del móvil 3 s antes de finalizar el recorrido. Graficar x(t), v(t) y a(t).

31

R.:

23) Un camión se desplaza en línea recta a partir de una velocidad de 8 y alcanza

110 en 11 s, para luego mantener dicha velocidad, recorriendo una distancia de

300 m, a continuación aplica los frenos y se detiene al recorrer 100 m. Permanece

detenido 6 s para luego retroceder hasta alcanzar una velocidad de -125 en 19 s.

Sabiendo que partió 520 m detrás del punto de referencia, obtener el espacio total recorrido, la posición final, el tiempo total empleado, la posición a los 20 s y la distancia recorrida entre los 15 s y los 22 s. Graficar x(t), v(t) y a(t).

R.:

24) Un automóvil se desplaza con M.R.U. recorriendo 213 m en 9 s, posteriormente

pasa a una velocidad de 122 al recorrer 65 m, luego mantiene una aceleración

constante de -3,1 durante 1,2 s. a continuación se detiene al recorrer 30 m.

Inmediatamente retrocede con una aceleración constante de -4,3 durante 5 s, para

luego mantener constante la velocidad obtenida por 6 segundos. Hallar la posición final del móvil, el tiempo total empleado y graficar x(t), v(t) y a(t).R.: Primera etapa . Segunda etapa

. Tercera etapa .

Cuarta etapa . Quinta etapa

Sexta etapa

; .

25) Un ciclomotor se desplaza con una velocidad constante de 11 durante 12,15

s, para luego mantener una aceleración constante de 0,19 , recorriendo una

distancia de 87 m. Por último mantiene constante la velocidad obtenida recorriendo 192 m. Obtener el espacio total recorrido y el tiempo empleado en recorrer 115 m. Graficar x(t), v(t) y a(t).

R.:

26) Un móvil parte 140 m detrás del punto de referencia con una velocidad de 132

, alcanzando al cabo de 6 s una velocidad de 27 . Luego mantiene la velocidad

32

recorriendo una distancia de 130 m. Hallar el espacio total recorrido, el tiempo total empleado, la posición final del móvil, el instante en que pasa por el punto de referencia y la velocidad que posee en dicha posición.

R.:

27) Un ciclista parte desde el reposo, 12 m delante del punto de largada, hasta

alcanzar una velocidad de 42 , en 13 s, luego mantiene la velocidad obtenida

recorriendo una distancia de 597 m. Luego aplica los frenos y se detiene en 7 s. Para

luego retroceder con una aceleración constante de -0,75 durante 4,5 s,

posteriormente mantiene la velocidad obtenida recorriendo una distancia de -200 m. Calcular a) el espacio total recorrido, b) el tiempo total empleado, c) la posición del ciclista al cambiar su dirección , d) su posición final. Graficar x(t), v(t) y a(t).

R.: a) , b) , c) , d)

28) Un móvil se desplaza en línea recta, desde 397 m detrás del punto de referencia

con una velocidad constante de 65 , recorriendo una distancia de 133 m. A

continuación alcanza una velocidad de 132 en 5 s, para luego pasar a otra de 38

al recorrer una distancia de 117m Calcular el espacio total recorrido, el tiempo

total empleado, la posición final del móvil y la posición al los 7 s de la partida.R.:

29) Un automóvil se desplaza con una velocidad constante de 98 , desde los 147

m detrás del punto de referencia, durante 10 s. Luego aplica los frenos y se detiene al recorrer 107 m, permanece detenido durante 6 s. A continuación retrocede con

una aceleración constante de , recorriendo -120 m, para luego detenerse

nuevamente al cabo de 3,2 s. Calcular a) la distancia recorrida entre los 12 s y lo 19 s, b) el instante en que pasa por el punto de referencia, c) el tiempo total empleado, d) la posición final y e) la distancia total recorrida. Graficar x(t) , v(t) y a(t) .

R.: a) , b) t = 5,4s ,c) , d) , e)

30) Una tortuga se desplaza en línea recta durante un tramo de su trayecto. Sabiendo que parte 47 cm delante de un árbol y se mueve con una velocidad constante, recorriendo 1,3 m en 9 s, luego reduce su velocidad hasta detenerse a comer, recorriendo una distancia de 32,7 cm. Permanece comiendo 1 min 36 s. Luego avanza recorriendo 2,15 m en 7,6 s. Calcular la distancia total recorrida, la posición de la tortuga al finalizar el recorrido, el tiempo total empleado y la posición a los 10,3 s de la partida.

R.: ;

33

.

31) Un corredor recorre en línea recta 750 m, manteniendo una velocidad constante

de 1,3 . Luego pasa a una velocidad de 0,67 en 5 s; posteriormente llega a una

velocidad de 1,7 al recorrer 120 m. Sabiendo que nuestro corredor parte 97,4 m

detrás del punto de referencia, hallar:a) la distancia recorridab) la posición del corredor al finalizar el recorridoc) la velocidad que posee a los 12 s de la partidad) el tiempo empleado en recorrer 920 m.

R.:

32) Un móvil se desplaza a partir de una velocidad de 28,9 hasta alcanzar una

velocidad de 138,4 , en 7,4 s, manteniendo una aceleración constante.

Posteriormente se detiene al recorrer 183,6 m. Sabiendo que partió 67 m delante del punto de referencia, calcular el espacio total recorrido, el tiempo total empleado, la posición final del móvil y la distancia recorrida entre los 5 s y los 8,5 s.Si posteriormente permanece detenido durante 4 s para luego retroceder con una

aceleración constante de 1,4 durante 5,6 s. Obtener la posición final del móvil e,

tiempo total empleado y la distancia total recorrida.

R.:a) y . b)

33) Dado los siguientes gráficos de v(t) , determinar: a) la velocidad que posee a los

7 s, b) el tiempo empleado en alcanzar una velocidad de 87 , c) la posición del

móvil al cabo de 12 s y d) la distancia recorrida entre los 3 s y los 9 s.

1) v 2) v

25 23 21

12 9 0 1 4 9 11 t(s) 0 3 5 10 13 t(s) 3) 4)

34

v v

18 24

0 2 6 10 14 t (s)

0 2 3 5 11 t(s) -26 -17

-v -v

R.: 3) a) ,b) nunca alcanza dicha velocidad, c) , d)

4) a) , b) no llega a dicha velocidad, c) no tenemos información, d)

34) Sabiendo que un móvil se desplaza en línea recta, partiendo 166 m detrás del punto de referencia, 2 segundos después de comenzar a controlar el tiempo se

desplaza con una velocidad constante de 89 , recorriendo una distancia de 180

m, para luego detenerse al cabo de 5 s, permanece detenido 8 segundos para luego

retroceder hasta alcanzar una velocidad de -111 manteniendo una aceleración

constante de -1,7 . Obtener: la velocidad que posee a los 11 s de la partida, b) la

distancia recorrida a los 7 segundos de la partida, e) en que instante obtiene una

velocidad de -100 y calcular la distancia recorrida entre los 6 s y los 14 s de la

partida.

R.: a) , b) , c) , d)

35) Dados los siguientes gráficos de x(t) :

x(m) x(m) 90 100 70,8 12 t(s) . -10 2 7 11 16 13 t(s) 0 6 17,27 20 29 -25 -50

35

-66 -x(m) -x(m)

Calcular a) la velocidad que posee a los 15 s , b) el tiempo empleado en recorrer 50 m, c) el tiempo empleado en pasar por el punto de referencia d) la distancia total recorrida e) graficar v(t) y a(t) f) calcular la posición a los 9 s de la partida.

R.: 1) a) , b) , c)

ENCUENTRO ENTRE MÓVILES QUE SE DESPLAZAN CON M.R.U. Y M.R.U.V.

En muchos de los problemas de encuentro debemos igualar las ecuaciones horarias de los dos móviles, luego calculamos el tiempo y la posición de encuentro. Si tenemos que graficar x(t) de los dos móviles en un mismo gráfico, no se debe utilizar la posición y el tiempo de encuentro calculados analíticamente, de esta forma el método gráfico nos permite verificar si es correcto lo obtenido con el método analítico. Es fundamental que resuelvas todos los problemas para lograr una mejor comprensión del tema.

1) Un camión parte de un semáforo, en línea recta y con una velocidad constante de

, al mismo tiempo y 300 m delante, parte otro móvil pero en sentido contrario

al anterior, con una velocidad constante de . Expresar la ecuación horaria

para los dos móviles, representar gráficamente x(t) , indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro y calcular dicho instante.

R.: ; ;

2) Un tren pasa por una estación con una velocidad constante de ,5 s

después, 2000 m delante , se encuentra otro tren que se desplaza en sentido

contrario al anterior con una velocidad constante de . Expresar la ecuación

horaria, representar gráficamente x(t), v(t), obtener la distancia recorrida por los móviles y el tiempo empleado hasta el encuentro.

R.: ; ;

3) Un automóvil pasa delante de un semáforo con una velocidad constante de

, 4 segundos después pasa por el mismo lugar otro móvil que va en su persecución

con una velocidad constante de . Expresar la ecuación horaria, representar

gráficamente x(t), v(t), obtener la distancia recorrida por los móviles y el tiempo empleado hasta el encuentro.

R.: ; ;

36

4) Una bicicleta se desplaza en línea recta con una velocidad constante de , 80

metros detrás y 10 segundos después parte un automóvil en su persecución con una

velocidad constante de . Expresar la ecuación horaria para los dos móviles,

representar gráficamente x(t), v(t), indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro y calcular dicho instante.

R.: ;

5) Un automóvil pasa por una estación de servicio, en línea recta con una velocidad

constante de , 450 metros delante y 3 segundos después se encuentra otro

móvil, que se desplaza en el mismo sentido que el primero con una velocidad

constante de . Expresar la ecuación horaria para los dos móviles, representar

gráficamente x(t) , indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro y calcular dicho instante.

R.:

6) Una cuadrilla de empleados del ferrocarril viaja en una zorra por una vía rectilínea. En un instante dado, por la misma vía y a 180 m por detrás, ven venir una

tren que viaja con una velocidad constante de 36 .¿A qué velocidad mínima y

constante deberá moverse la zorra para poder llegar a un desvío, que en ese instante está 120 m más adelante, para evitar el choque?. Graficar velocidad y posición en función del tiempo, para ambos móviles.Resolver nuevamente, teniendo en cuenta que se requieren 10 segundos para accionar el cambio de vías.

R.: a) ; b)

7) Martín va en su bicicleta, con una velocidad constante de 15 , por una calle

rectilínea, siguiendo a Karina, que va corriendo en el mismo sentido, a 5 ,

también con una velocidad constante. Si inicialmente estaban separados por una distancia de 120 m, hallar cuánto tiempo después la alcanzará, y qué distancia avanzó cada uno. Graficar x(t) y v(t).

R.:

8) Un móvil se desplaza, a partir del reposo, en línea recta con una aceleración

constante de . 600 metros delante en el mismo instante se encuentra oto móvil

que se desplaza en sentido contrario al anterior con una velocidad constante de

. Expresar la ecuación horaria para los dos móviles, representar gráficamente

x(t) , indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro y calcular dicho instante.

37

R.: ; ;

9) Un automóvil y un camión parten simultáneamente, desde el reposo, con el auto a cierta distancia detrás del camión. Ambos se mueven con aceleración constante, de

1,8 para el automóvil y de 1,2 para el camión, y se cruzan cuando el auto se

halla a 45 m de su lugar de partida. Hallar:a) ¿Cuánto tardó el auto en alcanzar al camión?.b) ¿Qué distancia los separaba inicialmente?c) La velocidad de cada vehículo cuando están a la par.d) Representar gráficamente x(t) y v(t).

R.: a) ; b) ; c) y

10) Dado el siguiente gráfico que corresponde a dos móviles y considerando que el móvil B parte del reposo:a) ¿Qué tipo de movimiento tiene cada uno?b) Expresar las ecuaciones horarias de cada móvil.c) ¿Se cruzan los móviles?. En caso afirmativo, determinar la posición, el espacio recorrido por cada uno de ellos y el instante. x(m) 180 móvil A móvil B

0 6 10 t(s)

R.: a) móvil A M.R.U. y móvil B M.R.U.V. b) y

c)

11) Un automóvil pasa frente a un puesto caminero, moviéndose con velocidad

constante de 108 , en una línea recta. Un policía parte en su motocicleta desde el

puesto, 5 segundos más tarde, con una aceleración constante de 4 hasta llegar a

su velocidad máxima de 144 , que luego mantendrá constante. ¿A qué distancia

del puesto se cruzará con el automóvil? Representar gráficamente x(t) y v(t).

R.: ; y Se igualan las

ecuaciones 1 y 3.

12) Un móvil que parte con una velocidad de y al cabo de 7 segundos posee

una velocidad de

38

. 1000 metros delante y 8 segundos se encuentra otro móvil que se desplaza

en sentido contrario al anterior con una velocidad constante de . Expresar la

ecuación horaria para los dos móviles, representar gráficamente x(t) , indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro , calcular dicho instante y obtener la distancia recorrida por ambos.

R.: ; ;

13) Un automóvil se desplaza en línea recta con una velocidad constante de .

12 segundos después parte en su persecución otro móvil, a partir del reposo con

una aceleración constante de . Expresar la ecuación horaria para los dos

móviles, representar gráficamente x(t) , indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro , calcular dicho instante y obtener la distancia recorrida por los dos.

R.: ; ;

14) Un móvil que parte con una velocidad de y una aceleración constante de

. 90 m detrás y 2 segundos después pasa otro móvil con una velocidad constante de

. Expresar la ecuación horaria para los dos móviles, representar gráficamente

x(t) . Determinar si los móviles se encuentran. En caso de encontrarse, indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro, calcular dicho instante y obtener la distancia recorrida por los dos.

R: ; .

15) Un automóvil que parte del reposo, emplea en recorrer una distancia de 100 metros, 5 segundos. 200 metros detrás y 1 segundo después parte otro automóvil

en su persecución, a partir del reposo con una aceleración constante de .

Expresar la ecuación horaria para los dos móviles, representar gráficamente x(t) . Determinar si los móviles se encuentran. En caso de encontrarse, indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro, calcular dicho instante y obtener la distancia recorrida por los dos.

R.: . No se encuentran

16) Un móvil se desplaza en línea recta, a partir del reposo con una aceleración

constante de . En el mismo instante y 700 metros delante parte otro móvil en

39

sentido contrario, también desde el reposo con una aceleración constante de

. Expresar la ecuación horaria para los dos móviles, representar gráficamente x(t) , indicar la posición de los móviles en el instante del encuentro , calcular dicho instante y obtener la distancia recorrida por ambos.

R.:

17) Un patrullero circula a 72 por una autopista donde se permite una velocidad

máxima de 30 . El patrullero tiene un equipo de radar, que en un instante dado le

informa que hay un vehículo, 5 m más adelante, que se aleja a 15 . Luego, que hay

otro vehículo, 1 m detrás, que se le acerca a 5 .

a) Determinar si alguno de los dos vehículos está en infracción.b) En ese caso, qué puede hacer el patrullero para encontrarse con el infractor:

1) aumentar su velocidad a 20

2) mantener su velocidad constante

3) reducir su velocidad en 10

c) representar un gráfico de x(t), para los tres vehículos, vistos desde tierra.

R.: a) El móvil de adelante tiene una velocidad de 35 y su ecuación es

El móvil de atrás tiene una velocidad de 25 y su ecuación es

b) La respuesta correcta es la 1.

18) Un tren de carga, cuyos vagones tienen 12 m de longitud, se mueve por una vía

rectilínea, con una velocidad constante de 10,8 . Paralelamente a las vías hay una

ruta, por la que circula Ignacio en su bicicleta.a) Si Ignacio estuviera en reposo, ¿cada cuánto tiempo vería pasar un vagón?b) Hallar la velocidad de Ignacio, cuando al moverse con velocidad constante en el mismo sentido que el tren, ve pasar un vagón cada 6 s.c) Cada cuánto tiempo vería pasar un vagón, si se desplazara en sentido opuesto al

tren a 5 con respecto a la tierra.

R.: a)

19) Un conductor al sobrepasar un motociclista se da cuenta que se trata de un amigo e instantáneamente (se desprecia el tiempo de reacción) aplica los frenos.

40

Toda la información está contenida en el siguiente gráfico, en el que se ha activado el cronómetro en el instante en el que el auto sobrepasa la moto.a) Cuatro segundos después de que el coche pasa la moto, ¿quién va adelante?, ¿o van juntos?b) ¿Cuándo y dónde vuelven a encontrarse?c) Graficar x(t) para ambos móviles?

90

54

0 4 t(s)

R.: a) el automóvil va adelante, , b)

20) Martín y Laura deciden encontrarse un día a las 10 de la mañana a mitad de camino de la casa de cada uno. Laura sale de su casa a las 6 hs y dos horas más tarde sale Martín de la suya. Sabiendo que sus casas distan 200 Km:a) calcular la velocidad con la que viajó cada uno, suponiendo que es constante.b) graficar x(t)

R: ,

21) El siguiente gráfico y sabiendo que el móvil 1 parte de 20 m y el móvil 2 parte de 10 m , obtener las ecuaciones horarias para los dos móviles, graficar x(t) e indicar si los dos móviles se encuentran, de ser así obtener la posición y el tiempo de encuentro.

móvil 2

10 móvil 1

0 4 t(seg)

-30

R: , , x = 102,4 m , t = 8,24 s

22) Dado el siguiente gráfico y sabiendo que en los cuerpos se hallan separados 2000 m, calcular la distancia que recorre el móvil A hasta que se cruza con el móvil B, indicar hacia donde se dirige cada móvil en el momento de cruzarse (incluyendo el valor del módulo de cada velocidad) y graficar x(t) para los dos móviles.

41

15 móvil A

10

móvil B 0 1 t(s)

R: , ,

23) Sabiendo que al segundo de comenzar a cronometrar el tiempo los cuerpos se encontraban separados por una distancia de 1000 m y teniendo en cuenta la información del siguiente gráfico, calcular la distancia que recorre el móvil B hasta que se cruza con A, expresar la velocidad que posee cada móvil en el instante en que se cruzan y graficar x(t) para los dos móviles.

10 móvil B

8

móvil A

0 1 2 t(s)

R: , , ,

24) Ignacio y Mariana deciden encontrarse un día a mitad de camino de la casa de cada uno. Ignacio sale hacia la casa de Mariana a las 14 hs y Mariana sale una hora más tarde, hacia lo de Ignacio. Si las casas distan 300 km y se encuentran a las 17 hs.a) ¿A qué velocidad viajó cada uno?b) Representar gráficamente x(t) y v(t) para los dos.

R: ,

25) En la recta final de una carrera de autos, los competidores 1 y 2 se hallan a 200

m y 150 m de la llegada respectivamente y ambos se desplazan a 120 . En ese

momento el auto 2 se queda sin combustible y eso provoca que se vaya frenando hasta detenerse 20 m detrás de la línea de llegada.a) ¿En qué instante cruza el auto 1 al 2?b) ¿Dónde se hallará el auto 1 cuando el 2 se detenga?c) Graficar x(t) y v(t).

R : t = 5,53 s , x = 140 m (después de la línea de llegada)

26) En un desafío de tenis entre Ignacio y Martín, éste último golpea la pelota, la cual realiza una trayectoria aproximadamente horizontal y a una velocidad

42

constante de 6 . En el momento en que la pelota pasa por la red, Ignacio inicia su

carrera desde el fondo, con una aceleración constante, interceptando la pelota a mitad de camino entre el fondo y la red. Si la distancia entre la red y el fondo es de 12 m, calcular el tiempo que dura la carrera de Ignacio y cuál fue su aceleración.

R: t = 1 s ,

27) En la recta final de una carrera de autos, los competidores 1 y 2 se hallan a 100

m y 120 m de la llegada respectivamente y ambos se desplazan a 100 . En ese

momento el auto 1 sufre una avería que le ocasiona una desaceleración de 2 .

a) ¿Llega el auto 1 a la meta?b) ¿Ganará el coche 2 la carrera?c) Indicar el instante en que el auto 2 supera al 1 y graficar x(t) y v(t) para los dos móviles.

R: a) Si, llega a la meta; b) No, gana el auto 1

28) El siguiente gráfico corresponde a dos cuerpos que se desplazan sobre una misma recta, estando separados por una distancia de 9 m en el instante de comenzar a cronometrar el tiempo y produciéndose un encuentro a los 2 segundos. Calcular la velocidad inicial del móvil A, graficar x(t) para ambos móviles y analizar cuantos encuentros se producen en los primeros 6 segundos.

Móvil A 0 6 t(s) -2

Móvil B

R:

29) Dos vehículos separados inicialmente por una distancia de 5000 m, se mueven uno hacia el otro según las velocidades del gráfico.a) Determine la posición y tiempo de encuentro.b) Calcular la distancia entre los móviles 3 minutos después de cruzarsec) Graficar x(t) y a(t) para los dos móviles.

20

5 móvil A

0 50 90 t(s)

-10 móvil B

43

R: , x = 2067 m ,

30) El siguiente gráfico nos indica la posición en función del tiempo de dos móviles A y B que se desplazan por la misma ruta rectilínea. A partir del gráfico obtener:a) las ecuaciones horarias para ambos móviles,b) representar el gráfico de v(t) para los dos móviles,c) las velocidades de los móviles en el punto de encuentro x(m) 100 móvil A 40

0 20 t(s) -40 móvil B -x(m)

R: ,

31) A partir de la información suministrada por el gráfico siguiente.a) Calcular cuándo y dónde se encuentran.b) Determinar la distancia que los separaba a los cinco segundos de comenzado el análisis.c) Representar v(t) para ambos móviles.

x(m) 16 móvil 2 móvil 1

0 5 7 t(s)

-20 -x(m)

R: , ,

32) Dado el siguiente gráfico y sabiendo que el móvil 2 en t = 0 s su velocidad es de

20 , que posee una aceleración constante y que el móvil dos se desplaza con

velocidad constante .a) Calcular las coordenadas del o los puntos de encuentro.b) Obtener la distancia que los separaba 5 s después de comenzado el movimiento.c) Graficar v(t) para los dos móviles.

1 3 5 9 t(s) 0

44

-50 -x(m)

R: , ,

CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

Esta parte de la Física es muy interesante, no desaproveches las clases. Es necesario que prestes más atención en clase y estudies más en tu casa, repasando la teoría y resolviendo los problemas planteados.

El filósofo Aristóteles (300 años a.C.) pensó que, al dejar caer simultáneamente 2 cuerpos de diferente peso, desde una misma altura, el más pesado llegaría primero al suelo. Este razonamiento se mantuvo hasta que en 1590, el físico Galileo Galilei llegó a la conclusión que tanto el cuerpo pesado como el liviano deben caer de igual forma y llegar al suelo simultáneamente, al soltarlos desde la misma altura.En la actualidad sabemos que es el aire y no el peso de los cuerpos el que influye en su caída. El aire se opone al movimiento de caída de los cuerpos.Por tal motivo se establece que todos los trabajos de caída libre y tiro vertical se realizarán en el vacío o sin tener en cuenta la influencia del aire. Por lo tanto en ausencia de aire, todos los cuerpos:a) caen en línea rectab) cuando se los deja caer o se los tira hacia abajo, aumentan su velocidad en forma proporcional a medida que van cayendoc) caen con la misma aceleración, esta aceleración se denomina aceleración de la gravedad, suele simbolizarse con la letra g y su valor varía de acuerdo con los distintos lugares de la Tierra. Nosotros consideraremos que la aceleración de la

gravedad tiene un valor de .

d) llegan al suelo en el mismo instante cuando se los suelta de una misma altura, sin importar el peso o la forma de los cuerpos.

CARACTERÍSTICAS DE LA CAÍDA LIBRE

45

Si analizamos las características de los cuerpos que caen libremente veremos que tiene las mismas características del M.R.U.V. . Los cuerpos se desplazan en línea recta y aumentan su velocidad en forma proporcional, por lo tanto mantienen una aceleración constante durante todo el trayecto. La única diferencia se establece en la caída libre donde todos los cuerpos tienen la misma aceleración .

CARACTERÍSTICAS DEL TIRO VERTICAL

Para facilitar el análisis del movimiento de los cuerpos en el tiro vertical consideraremos dos etapas, una etapa es cuando el cuerpo sube y la otra es cuando el cuerpo baja. Etapa de ida Etapa de vuelta .

Etapa de ida:a) para que un cuerpo suba es necesario que tenga una velocidad mayor a cero, un cuerpo no sube si su velocidad es igual a cero.b) cuando un cuerpo sube su velocidad tiene signo POSITIVO.c) a medida que sube su velocidad va disminuyendo, por tal motivo la aceleración de la gravedad es negativa.d) cuando se detiene alcanza una velocidad igual a cero, en éste punto, llega a su altura máxima; por lo tanto podemos decir que en la altura máxima la velocidad es igual a cero.e) el desplazamiento es POSITIVO.

En la etapa de vuelta su cumplen las mismas características que poseen los cuerpos en la caída libre:a) la velocidad de partida es igual a cero.b) cuando el cuerpo baja la velocidad tiene signo NEGATIVO.c) a medida que baja, su velocidad va aumentando, pero como tiene signo negativo, la aceleración de la gravedad es NEGATIVA.d) el desplazamiento es NEGATIVO.

Si relacionamos la etapa de ida con la etapa de vuelta podemos establecer que:

46

a) el tiempo que tarda en subir es el mismo tiempo que tarda en volver al mismo lugar del punto de partida.b) la velocidad de partida en la etapa de ida es igual a la velocidad de llegada en la etapa de vuelta, siempre que llegue al mismo lugar del punto de partida.c) cuando el cuerpo deja de subir, alcanza su altura máxima, es decir, cuando la velocidad de ida es igual a cero, el cuerpo alcanza su máxima altura.

FÓRMULAS DE LA CAÍDA LIBRE Y EL TIRO VERTICAL

Recordando que la caída libre y el tiro vertical cumplen con las condiciones del M.R.U.V. sus fórmulas deben ser similares. Si las comparamos obtenemos:

M.R.U.V. Caída libre y tiro vertical

(Recordemos que la aceleración de la gravedad siempre tiene un valor negativo)

SIGNOS DE CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL PARA TENER EN CUENTA

a) Cuando un cuerpo SUBE su velocidad es POSITIVA.

b) Cuando un cuerpo BAJA su velocidad es NEGATIVA

c) Cuando un cuerpo SUBE la altura recorrida es POSITIVA.

d) Cuando un cuerpo BAJA la altura recorrida es NEGATIVA.

e) La aceleración de la gravedad siempre es NEGATIVA.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

1) Un cuerpo se suelta en caída libre desde una altura de 15 m, obtener el tiempo empleado en llegar al suelo y la velocidad con la que llega.

47

R.:

2) Si un cuerpo es arrojado hacia abajo, en forma vertical, con una velocidad de 36

, ¿cuál es el desplazamiento experimentado? , si emplea 3 segundos en llegar al

suelo.R.:

3) Si un cuerpo es lanzado hacia arriba, con una velocidad inicial de 12 y, en ese

instante se pone en marcha un cronómetro, calcular:a) el instante en que alcanza la altura máximab) el desplazamiento hasta dicho instante c) el instante que vuelve al punto de partidad) representar h(t) , v(t) y g(t) , suponiendo que el cuerpo parte del suelo.

R.: a) b) c)

4) Un cuerpo es lanzado hacia arriba alcanzando una altura máxima de 180 m. Hallar a) la velocidad de partida, b) el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima y c) el tiempo total empleado en llegar nuevamente al suelo.

R.: a) , b) , c)

5) Un cuerpo se suelta desde una altura de 60 m, obtener el tiempo empleado en llegar al suelo y la velocidad con la que llega. Graficar h(t) , v(t) y g(t) .

R.:

6) Desde una torre de 9 m de altura se tira hacia arriba un cuerpo con una velocidad de

80 . Calcular la velocidad que posee a los 3 segundos de la partida. Graficar h(t) ,

v(t) y g(t).

R.:

7) Se dispara un cuerpo hacia arriba, que sube durante 4 segundos, graficar h(t) , v(t) y g(t) hasta llegar a la altura máxima .

R.: , h = 78,4 m

8) Se suelta un cuerpo desde una torre de 12 m de altura, calcular el tiempo empleado por el cuerpo en llegar al suelo, la velocidad con la que llega y graficar h(t), v(t) y g(t).

R.:

9) En el preciso momento en que se acciona un cronómetro, se lanza desde el piso, verticalmente hacia arriba, una pelota. En el ascenso, pasa por una altura x, a los 0,5 s de la partida. Empleado 3,2 segundos en llegar a la altura máxima Determinar:a) la velocidad inicial con que fue lanzada la pelotab) la altura máxima a la que llega la pelota

48

c) graficar h(t) , v(t) y a(t)d) calcular la altura x

R.:

10) Desde un globo aerostático que sube con una velocidad de 27 , se deja caer

un cuerpo, a 200 m de altura.a) Calcular el tiempo empleado por el cuerpo en llegar al suelo.b) La altura máxima que alcanza.c) La velocidad con la que llega al suelo.d) La altura que posee el globo cuando el cuerpo llega al suelo

R.: a) ; b) ; c) ; d)

11) Un proyectil es lanzado hacia arriba desde lo alto de una torre de 30 m de altura. Al cabo de 10 segundos vuelve a pasar por el punto de partida.a) Calcular la velocidad inicial con que fue arrojadob) Calcular la altura máxima a la que llega.c) Calcular la posición y velocidad que posee a los 9 segundos de la partida.

R.:

12) Desde una terraza ubicada a 10 m de altura respecto del nivel del piso, se lanza

verticalmente hacia arriba un objeto A con una velocidad de 20 . Al cabo de cierto

tiempo, desde el mismo punto, se deja caer otro objeto B. Sabiendo que ambos llegan simultáneamente al suelo:a) Calcular el período de tiempo que se debe esperar para soltar al cuerpo Bb) Indicar dónde se encuentran los cuerpos al cabo de 3 segundos.c) Representar h(t) , v(t) y g(t) hasta el instante en que los dos cuerpos llegan al suelo.

R.:Primero se calcula el tiempo empleado por el objeto A en llegar al suelo,

empleando la siguiente ecuación , el tiempo empleado

es de . Este valor se reemplaza en tiempo final, de la ecuación del segundo

objeto, cuando llega al suelo, que se expresa . El tiempo

que debe esperar es de

13) Desde un pozo de 7 metros de profundidad se dispara un proyectil que sube durante 4 s. Calcular la altura máxima, los tiempos empleados en pasar por el nivel del suelo y la velocidad que tiene en dicho punto.

R.: 14) Dados los siguientes gráficos obtener el tiempo empleado en alcanzar una

velocidad de , la distancia recorrida al cabo de 4 segundos y la posición cuando

alcanza los , de un cuerpo que se desplaza verticalmente.

a) b) h(m) h(m)

49

16 9

0 1,2 t(s) 0 2 t(s) -6 -7

-h(m) -h(m)

R. a) la b)

15) Desde una torre de 85 m de altura, se deja caer un cuerpo, en el mismo instante, desde el suelo se tira verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de

. Determinar en forma gráfica y analítica si se cruzan los dos cuerpos, de se

verdadero, calcular el tiempo empleado, la altura y la distancia recorrida por los móviles hasta el encuentro.

R.:

16) Desde un pozo de 4 m de profundidad se lanza un cuerpo con una velocidad de

. Desde una altura de 76,5 m y 0,6 segundos después se lanza otro cuerpo,

hacia abajo, con una velocidad de . Determinar en forma gráfica y analítica si se

cruzan los dos cuerpos, de se verdadero, calcular el tiempo empleado, la altura y la distancia recorrida por los móviles hasta el encuentro.

R.: Móvil 1 . Móvil 2 ;

17) Martín mide el tiempo de caída de una moneda que tiene sujeta con sus dedos a cierta altura del piso de un ascensor, cuando está en reposo. Repite la experiencia

cuando el ascensor sube con una velocidad constante de , y nuevamente la

realiza cuando desciende a , siempre desde la misma altura. ¿En cuál de las

experiencias registró un intervalo de tiempo mayor?R.:

18) Un cuerpo se suelta en caída libre y emplea en recorrer la segunda mitad de su desplazamiento 2 segundos. Calcular:a) el desplazamiento total, b) la velocidad con la que llega al piso y c) la velocidad que posee en la mitad del recorrido.

50

R.: a) b) c)

19) Un cuerpo que desciende en caída libre pasa por los puntos a y b de su

trayectoria con velocidades y . Calcular la distancia entre a y b.

R.:

20) Se dispara verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de , se

pide:a) Elegir un sistema de referencia, que se mantendrá invariable a lo largo de todo el problema y plantear la ecuación horaria, justificando los valores y signos asignadosb) Calcular su posición y velocidad al cabo de 2 s, 4 s, 6 s y 8 s .c) Hallar los desplazamientos entre los 0 s y 2 s; los 2 s y 4 s ; los 4 s y 6 s y entre 6 s y 8 s. Analizar los resultados obtenidosd) Determinar en que instante vuelve a pasar por el punto de partida.e) Obtener el instante en el que llega a su altura máxima y el valor de dicha altura.f) Hallar en que instante se encuentra a 25 m de altura.g) Graficar h(t) y v(t).

R. : a) ,b) t = 2s h = 40,4m v =10,4 m/s , t = 4s h = 41,6m

v = -9,2m/s , t = 6s h = 3,6m v = -28,8 m/s , t = 8s h = -73,6m v = 48,4 m/s.c) , ,

21) Ignacio deja caer piedritas desde el balcón de su casa. El portero que está en la vereda observa que una de las piedritas tarda 0,2 segundos en pasar frente a la puerta de entrada que tiene 2 metros de altura. Con esta información, hallar a que altura del piso donde parten las piedritas. (Sugerencia: tome como origen del sistema de referencia al borde superior de la puerta).

R.:

22) Un globo aerostático asciende verticalmente con una velocidad constante de

. Cuando se encuentra a 16 m del piso, Martín que está en el suelo le dispara un

proyectil que parte con una velocidad de , desde una altura de 1 metro.

¿A qué distancia del piso alcanzará la piedra al globo? ¿Cuánto tiempo después de partir? ¿Cuál será la velocidad de la piedra en ese instante?. Representar gráficamente h(t) y v(t).

R.:

23) Mariana arroja verticalmente hacia arriba una piedra, con una velocidad de ,

y simultáneamente Aylen, que se encuentra 40 m más arriba, arroja otra hacia

abajo, también con una velocidad de . ¿A qué altura y en que instante se cruzan

ambas piedras? Representar gráficamente h(t) ,v(t) y g(t).

51

R.:

24) Una cañita voladora, que parte del reposo a nivel del piso, es impulsada verticalmente hacia arriba con una aceleración que se supone constante, mientras dura el combustible, este se agota a los 5 segundos de partir, cuando está a 100 metros de altura. Desde ese instante se mueve libremente, hasta que regresa al punto de partida:a) Determinar la máxima velocidad que alcanzará al ascender y la máxima al descenderb) Calcular la altura máximac) Graficar h(t), v(t) y g(t)

R.: a) b)

25) El capitán de un barco dispara verticalmente hacia arriba una luz de bengala verde y un segundo después otra roja. Ambas parten desde el mismo punto, con una

velocidad de moviéndose libremente:

a) Hallar la posición y velocidad de la bengala roja, cuando la verde alcanza su altura máximab) Determinar a qué altura, con respecto al nivel de partida, se cruzan ambasc) Representar gráficamente h(t) , v(t) y g(t).

R.: a)

26) Desde el fondo de un pozo de 5 m de profundidad se tira verticalmente hacia arriba una piedra que sube durante 4,3 segundos.a) Indicar en que instante sale del pozo

b) Los tiempos empleados en llegar a una velocidad de y la altura que posee.

Si a los 1,6 segundos de la partida, desde una altura de 11 metros se tira verticalmente hacia arriba otra piedra en el mismo trayecto de la piedra anterior:c) ¿qué velocidad inicial se le debe dar a la segunda piedra para que alcance a la primera a los 0,3 segundos de haber sido lanzada? d) ¿ha qué altura se encuentran?e) ¿puede ocurrir que las piedras se encuentren dos veces?f) graficar h(t), v(t) y g(t) hasta los 8 segundos de haber lanzado la primera piedra.

R.: a) 0,12 s, b) y

27) Calcular la profundidad de un pozo cuando el sonido producido por una piedra que se suelta en su brocal, al chocar con su fondo, se oye tres segundos después.

Recordemos que la velocidad del sonido en el aire es de

R.:

28) Una pelota cae desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en pasar del borde superior al borde inferior de una ventana de 2,5 m de longitud ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra el marco superior de la ventana?

R.:

52

29) Dos proyectiles se encuentran sobre una misma horizontal separados 20 m. En el

mismo instante se lanzan verticalmente hacia arriba con una velocidad de el

primero y de el segundo.

a) ¿A qué distancia se encontrarán uno de otro al cabo de 10 segundos de iniciarse el movimiento?b) ¿En qué instante se encontrarán a la misma altura? ¿Cuál es esta altura?c) Graficar h(t) v(t) y g(t) hasta el instante en que regresa el primer cuerpo al suelo.

R.:

30) Un globo que se eleva verticalmente con una velocidad constante de .

Cuando el globo se encuentra a 19,2 m de altura se suelta un saco de lastre:a) calcular la posición y la velocidad del saco de lastre al cabo de 0,25 s ,0,5 s, 1 s, y 2 sb) ¿al cabo de cuanto tiempo llegará al suelo?c) obtener la velocidad en el instante en que llega al suelo.

R.:

31) Desde un edificio de 75 m de altura se lanza un cuerpo verticalmente, tres segundos después alcanza el suelo. Calcular el módulo de la velocidad inicial, su dirección y sentido.

R: v = 10 hacia el piso

32) Se dispara un proyectil desde el piso con una velocidad inicial de 30

verticalmente y hacia arriba junto a un edificio. Un niño situado en una ventana a una altura h sobre el piso lo ve pasar subiendo y dos segundos después bajando. ¿A qué altura sobre el piso se encuentra el niño?

R: h = 40 m

33) Desde un globo que está a 240 m del suelo y asciende a 6 , se deja caer un

objeto. Calcular:a) la altura máxima alcanzada por el objeto y la posición del globo en ese instante.b) la posición y velocidad del objeto al cabo de 6 s.c) a que distancia del globo se encuentra el objeto a los 6 s.d) graficar x(t) y v(t) para los dos cuerpos desde el instante en que se suelta el objeto hasta que llega al suelo.

R:a) 241,8m , 243,6m b) h=96m , v =-54 , c) d = 180m

34) Un cocinero se encuentra haciendo panqueques. Cuando el sartén se encuentra a 1 m de altura sobre el piso de una habitación de 3 m de altura, lanza uno

verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 7 , luego alcanza el techo

adhiriéndose a él durante 2 s y por último se despega cayendo hasta alcanzar el piso.a) hallar el tiempo total de recorrido del panqueque desde que salió del sartén.b) graficar h(t) y v(t).

R: t = 3,17 s

53

35) Se deja caer una piedra desde una torre de altura h. Cuando está a 20 m sobre

la superficie del piso su velocidad es de 30 , entonces, despreciando el rozamiento

con el aire:a) calcular la velocidad de la piedra al alcanzar el pisob) calcular la altura hc) ¿cuánto tiempo estuvo la piedra en el aire?

R: v = 36 , h = 65 m , t = 3,6 s

36) Se arroja verticalmente y hacia abajo un proyectil desde un edificio de altura h.

Un segundo después, cuándo está a 20 m sobre el piso su velocidad es de 30 ,

entonces, calcular la velocidad de la piedra al alcanzar el piso, la altura h y el tiempo que estuvo la piedra en el aire.

R: v = 36 , h = 45 m , t = 1,6 s

37) Se deja caer una piedra en un pozo. Al cabo de seis segundos de soltarla, se oye

el choque con el agua. La velocidad de propagación del sonido es de 340 en el

aire. Calcular la profundidad del pozo.R: h = 153,9 m

38) Se suelta desde un acantilado de altura h sobre el nivel del mar, una piedra. Si durante el último segundo de su caída recorrió la mitad de dicha altura. Hallar el tiempo que tardó en caer y la altura del acantilado.

R: t = 3,41 s , h = 58,28 m

39) Un paracaidista salta de un helicóptero que se encuentra en reposo. Cae libremente y después de recorrer 50 m abre el paracaídas, el cual le produce una

desaceleración constante de 2 . Si llega al suelo con una velocidad de 3 .

Calcular el tiempo que estuvo el hombre en el aire y la altura desde la que saltó.R: t = 17,76 s , h = 297,25 m

40) Se deja caer una piedra al agua desde un puente que está a 48 m sobre la superficie. Un segundo después de haber dejado caer la primera piedra, se arroja otra. Ambas llegan al agua en el mismo instante. Calcular la velocidad inicial de la segunda piedra y representar x(t) y v(t) de las dos piedras.

R: v = -12,09

41) Desde lo alto de un edificio se lanzan simultáneamente dos cuerpo con velocidades iniciales verticales e iguales en módulo, pero de sentidos opuestos. A los 10 s del lanzamiento los cuerpos distan 100 m entre sí. Calcular, en ese instante, las distancias entre cada cuerpo y el punto de lanzamiento.

R: 450 m , 550 m

42) Se arroja verticalmente una piedra (A) desde el piso y hacia arriba con una

velocidad de 30 . Dos segundos después, se suelta otra (B) desde una altura de 60

54

m. Hallar, tomando como origen del sistema de referencia en el piso y sentido positivo hacia arriba:a) en qué instante se encuentran a la misma altura b) el valor de dicha alturac) la velocidad de ambos en el momento del encuentro, indicando su sentidod) la velocidad de ambas piedras al alcanzar el pisoe) repetir los cálculos tomando como referencia el punto donde se suelta la piedra B.

R: a) , b) ,c) , ,d)

43) Se lanza un objeto hacia arriba, con una velocidad de 20 . Un segundo después

se lanza verticalmente hacia arriba, otro cuerpo con velocidad inicial de 35 .

Calcular la velocidad de ambos cuerpos en el instante que se encuentran a la misma altura y la distancia recorrida por los dos hasta el encuentro.

R: ,

44) Un cohete parte del reposo moviéndose hacia arriba con una aceleración vertical

constante de 19,5 durante un minuto. En ese momento se agota el combustible y

sigue subiendo como una partícula libre. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza? ¿Cuál es el tiempo total transcurrido desde que despega hasta que cae al suelo?. Graficar h(t).

R: h =103545 m , t = 320,9 s

45) El portero de un edificio se encuentra frente a la puerta de entrada, que tiene 2 m de altura. Un niño que se halla en la ventana de un piso superior deja caer diversos objetos. Para averiguar de que piso provienen, el portero observa que estos recorren el tramo de la puerta en 0,15 segundos. Calcular el piso en que se encuentra el niño, sabiendo que cada piso tiene una altura de 3 m.

R: h = 9,9 m que corresponde al tercer piso.

46) Desde una terraza de 6 m de altura, se tira verticalmente hacia arriba un cuerpo que sube hasta una altura máxima de 32 m. Un segundo después se dispara un segundo proyectil desde el suelo, verticalmente hacia arriba con una velocidad de

167 .

a) Determinar si el segundo proyectil intercepta al primero, cuando el primero subeb) En caso contrario calcular si lo hace en la etapa de vuelta.c) Representar gráficamente h(t), v(t) y g(t) para las dos móviles hasta en instante en que llegan al suelo.

R.: ; y el

47) Desde un pozo de 4 m de profundidad se dispara verticalmente hacia arriba un

cuerpo con una velocidad de 67 , en el mismo instante desde el suelo se dispara

55

un segundo proyectil con una velocidad de 80 Calcular si los cuerpos se

encuentran, de ser verdadero, determinar si lo hacen una o dos veces, expresar las coordenadas del o los puntos de encuentro y graficar h(t), v(t) y g(t).

R.: ; y el (No se

encuentran).

48) Desde un pozo de 5 m de profundidad se dispara verticalmente hacia arriba un

proyectil con una velocidad de 92 , dos segundos después desde una torre de 6,3

m de altura se dispara hacia arriba un segundo cuerpo con una velocidad de 47 .

Calcular si los cuerpos se encuentran, de ser verdadero, determinar si lo hacen una o dos veces, expresar las coordenadas del o los puntos de encuentro y graficar h(t), v(t) y g(t) para los dos cuerpos hasta el instante en que llegan al suelo.

R.:

49) Desde un globo aerostático suspendido a 200 m de altura, se deja caer verticalmente un cuerpo A. Al cabo de un segundo, se arroja otro cuerpo B con una velocidad inicial desconocida.a) Calcular la velocidad inicial de B si se sabe que ambos cuerpos se encuentran a los 2 s del lanzamiento de A.b) ¿Cuál es la separación de ambos luego de 3 s de haber sido arrojado el cuerpo A?

R.: a) b)

MOVIMIENTO RELATIVO

La combinación de movimientos se basa en el Principio de superposición o de independencia de los movimientos, que fuera enunciado por Galileo Galilei, y su enunciado es el siguiente:Cuando el movimiento de un punto es la resultante de otros dos movimiento simultáneos, la posición que ocupa dicho punto al cabo de un cierto tiempo, es la misma que ocuparía si ambos movimientos se hubieran llevado a cabo en forma sucesiva e independiente uno del otro y cada uno de ellos durante el mismo tiempo.Dentro de la combinación de movimientos se pueden dar los siguientes casos, cuando las velocidades tienen: a) la misma dirección y sentidos iguales b) la misma dirección y sentidos opuestos c) distintas direccionesEn todos los casos si queremos calcular la velocidad resultante se realizará SUMANDO VECTORIALMENTE las velocidades que intervienen. En fórmula se puede expresar:

56

Para calcular la velocidad resultante se define un sistema de referencia a partir del cuál se establece el signo que debe tener la velocidad. En nuestro caso consideramos un sistema de referencia coincidente con los ejes de coordenadas cartesianas que se utiliza en matemática, es decir toda velocidad que va hacia arriba o hacia la derecha tiene signo positivo, y toda velocidad que se dirige hacia la izquierda o hacia abajo tiene signo negativo.

CASO AEn esta situación dos cuerpos se desplazan en la misma dirección y en el mismo sentido. Por ejemplo un remero en un bote navega a favor de la corrienteEn este caso para calcular la velocidad resultante la suma algebraica coincide con la velocidad vectorial.

Bote Velocidad del bote

Río Velocidad de la corriente

Cálculo analítico:

La velocidad resultante = Velocidad del bote + Velocidad de la corriente

Resolución gráfica:

CASO B

En esta situación dos cuerpos se desplazan en la misma dirección pero con sentidos contrarios. Por ejemplo sería como remar en un bote, en contra de la corriente.En este caso la suma algebraica no coincide con la suma vectorial, debido a que se establece signo positivo a la velocidad que va hacia la derecha y signo negativo a la velocidad que se dirige hacia la izquierda. Por lo tanto:

Cálculo analítico

La velocidad resultante = Velocidad del bote + (-Velocidad de la corriente)

Resolución gráfica

57

CASO C

Un cuerpo se ve afectado por velocidades que tienen distintas direcciones, para calcular la velocidad resultante se pueden analizar dos situaciones particulares:

Primer caso: cuando las velocidades forman un ángulo recto (un ángulo de 90º)

Resolución gráfica: Dadas las velocidades, se forma un paralelogramo o se suman los vectores

Tengamos en cuenta que para obtener la velocidad resultante, en forma gráfica o analítica, se mantiene el concepto de SUMAR VECTORIALMENTE las velocidades que intervienen

Resolución analítica La resolución analítica se basa en el teorema de Pitágoras, cuyo enunciado es el siguiente: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma del cuadrado de los catetos.Si observamos la representación gráfica, veremos que se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es la velocidad resultante y los catetos son las velocidades que intervienen.

Al aplicar el teorema de Pitágoras llegamos a la siguiente expresión: el cuadrado de la velocidad resultante es igual a la suma del cuadrado de las otras dos velocidades que intervienen. Cuya forma matemática es:

Segundo caso: cuando las velocidades que intervienen forman un ángulo cualquiera entre ellas.También en este caso se mantiene el concepto de SUMAR VECTORIALMENTE las velocidades que intervienen para obtener la velocidad resultante.

Método gráfico

58

Dadas las velocidades se forma un paralelogramo o se sumen los vectores que intervienen

Método analítico

Este método se basa en el teorema del coseno, cuyo enunciado es el siguiente: En todo triángulo, el cuadrado de un lado, es igual a la suma del cuadrado de los otros dos lados, menos el doble producto los lados por el coseno del ángulo comprendido entre dichos lados. Si observamos la representación gráfica de las velocidades veremos que se forma un triángulo

Al aplicar el teorema del coseno llegamos a la siguiente expresión, el cuadrado de la velocidad resultante es igual a la suma del cuadrado de las velocidades MAS el doble producto de las velocidades que intervienen por el coseno del ángulo comprendido entre dichas velocidades.Se puede determinar que la diferencia entre el enunciado del teorema del coseno y la expresión que se va aplicar cambia en un signo. Esto se debe a que no se emplea el ángulo sugerido en el teorema del coseno, sino que utilizamos su suplementario.El coseno de un ángulo tiene el mismo valor absoluto que su suplementario, pero cambia el signo.La expresión matemática para aplicar sería:

Desarrollaremos a continuación el movimiento parabólico, que es un caso particular del caso c, es decir del caso donde un cuerpo se ve afectado por velocidades que tienen distintas direcciones.

MOVIMIENTO PARABÓLICO

Primer CasoCuando a un cuerpo que se encuentra a cierta altura y se le aplica una velocidad constante y horizontal hasta llegar al suelo, observaremos que sigue un recorrido correspondiente a la mitad de una parábola

59

En este caso a un cuerpo que esta a cierta altura y se lo deja caer al mismo tiempo que se le aplica una velocidad horizontal a lo largo de todo el trayecto que realizará. Esta velocidad horizontal siempre mantiene el mismo valor, es decir se mantiene constante.Como resultado de la combinación de la caída libre del cuerpo y de la velocidad horizontal se obtiene un movimiento denominado parabólico.A medida que el cuerpo cae la velocidad vertical ( ) va aumentando, por lo tanto la

velocidad resultante ( ) también aumenta.

Si queremos calcular la velocidad resultante en cualquier punto del trayecto, se aplica el teorema de Pitágoras, debido a que las velocidades que intervienen siempre son perpendiculares.La fórmula que se emplea para el cálculo de la velocidad resultante es la siguiente:

Si queremos calcular el ángulo de inclinación de la velocidad resultante, aplicamos la teoría de las razones trigonométricas:

60

Segundo casoCuando a un cuerpo le aplicamos una velocidad que tiene un ángulo de elevación, veremos que realiza un movimiento parabólico. Para analizar dicho movimiento es necesario descomponer la velocidad original en dos componentes, una horizontal y otra vertical

Para obtener el valor de cada componente, en la descomposición de vectores, se utilizan las razones trigonométricas, debido a que entre ellos forman un ángulo recto, y al sumar vectorialmente las componentes obtenemos un triángulo rectángulo.

Fórmula para calcular la COMPONENTE HORIZONTAL de la velocidad inicial

Fórmula para calcular la COMPONENTE VERTICAL de la velocidad inicial

Si recordamos como varía la velocidad en el tiro vertical y mantenemos constante la velocidad horizontal obtendremos el movimiento parabólico.

Se puede interpretar el movimiento parabólico como un tiro vertical combinado con una velocidad horizontal constante. Es decir a medida que el cuerpo sube y luego baja, en todo instante, se le aplica una velocidad horizontal que no cambia su módulo. Como combinación de estos dos movimientos se obtiene el movimiento parabólico. Para resolver los problemas del movimiento parabólico se aplica toda la teoría del tiro vertical en la componente vertical ( ) de la velocidad dada originalmente y la

teoría del M.R.U. en la componente horizontal ( ) de la velocidad original.Es decir se aplican las fórmulas del tiro vertical y del M.R.U. SI DESCOMPONEMOS INICIALMENTE la velocidad original.

Basándonos en la teoría del tiro vertical, podemos aplicarla en el movimiento parabólico y tenemos:a) la velocidad de partida es igual a la velocidad de llegada, siempre que llegue a un punto que esté a la misma altura que el punto de partida.

61

b) el tiempo de ida es igual al tiempo de vuelta, siempre que llegue a un punto que esté a la misma altura que el punto de partida.

c) a un mismo nivel o altura, la velocidad de subida es igual a la velocidad con que baja el cuerpo.

d) en la altura máxima la componente vertical de la velocidad es igual a cero.

e) el ángulo de elevación es igual al ángulo de depresión en la misma altura

f) se denomina alcance a la mayor distancia horizontal recorrida por el cuerpo.

g) en la etapa de ida, la velocidad real es POSITIVA, lo mismo que la componente vertical.

h) en la etapa de vuelta, la velocidad real es NEGATIVA, lo mismo que la componente vertical.

Una fórmula para calcular el alcance de un cuerpo donde el punto de partida y el punto de llegada SE ENCUENTRAN A UN MISMO NIVEL O ALTURA es:

Otra fórmula empleada para calcular la altura máxima de un cuerpo donde el punto de partida ESTÁ AL MISMO NIVEL O ALTURA que el punto de llegada es:

En ambas fórmulas se utiliza el valor POSITIVO de la aceleración de la gravedad.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO

1) Un fusil lanza un proyectil con una velocidad de con un ángulo de

elevación de 30º. Calcular el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, el valor de dicha altura y el alcance.

R.: , ,

2) Un proyectil sale disparado con una velocidad de y un ángulo de elevación

de 45º. Hallar las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial, a los 0,3 segundos y al segundo de la partida.

R.: a) , b) , c)

62

3) Los proyectiles de un fusil parten con una velocidad de ¿Cuál debe ser el

ángulo con respecto al horizonte con que se debe apuntar para dar en un blanco situado a 660 m de distancia.

R.:

4) Una pelota de fútbol se lanza con un ángulo de 30º con respecto a la horizontal,

sabiendo que la velocidad de partida fue de . Calcular:

a) el tiempo que tardará en llegar al suelob) La distancia horizontal que recorre hasta llegar a la altura máximac) la velocidad que posee al segundo de la partidad) los tiempos empleados en alcanzar una altura de un metro.

R.: a) b) c) d) y

5) Un objeto se lanza con un ángulo de elevación de 60º y la componente horizontal

de la velocidad es de . Obtener:

a) la altura máximab) la velocidad con la que llega al suelo

c) los tiempos empleados en llegar a una velocidad de

R.: a) b) c)

6) Un cuerpo se lanza con un ángulo de elevación de 75º , demorando tres segundos en llegar nuevamente al suelo. Calcular la altura máxima, el alcance, la velocidad que posee al recorrer una distancia horizontal de 8 m y los tiempos en obtener una

velocidad de .

R.:

7) Desde un faro de 25 metros de altura, se dispara un proyectil con una velocidad

horizontal de . Calcular a qué distancia del faro, el proyectil chocará con el

agua y el tiempo empleado.R.:

8) Desde un edificio de 37 m se dispara horizontalmente un cuerpo que recorre una distancia horizontal de 80 m. Hallar el valor de la velocidad de partida.

R.:

9) Desde un edificio de 38 m de altura se dispara un proyectil con una velocidad de

y un ángulo de elevación de 38º. Calcular:

a) la distancia horizontal desde el edificio hasta el lugar de impactob) el tiempo empleado en llegar al sueloc) la altura que posee el proyectil un segundo antes de llegar al suelo

63

d) la velocidad con la que llega al suelo y el ángulo de inclinación.

R.: a) , b) , c) , d) ,

10) Un avión vuela horizontalmente a 1960 m de altura, a una velocidad de .

Si desde el avión se debe dejar caer un paquete de provisiones, a un grupo de personas aisladas por un temporal. ¿Cuántos metros antes de llegar sobre el grupo de personas, se debe soltar la caja?

R.:

11) Un pasajero de un colectivo deja caer, al pasar frente a una señal, un objeto

desde una altura de 1,225 m. El colectivo se desplaza con una velocidad de .

¿Cuántos metros después de la señal el cuerpo toca el suelo?R.:

12) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60º con el terreno. Si el objeto que se quiere destruir se encuentra ubicado en lo alto de una torre de 12 m de altura y a 200 m del lugar de disparo. Calcular la velocidad con que debe salir la bala de cañón.

R.:

13) Un jugador del seleccionado argentino de rugby lanza la pelota hacia adelante de manera que alcanza una altura máxima de 13,3m . En el instante en que el jugador patea, un segundo jugador corre a recibirla, empleando 2,8 segundos en llegar al posible lugar de impacto. ¿Es posible que pueda agarrar la pelota, teniendo en cuenta que puede saltar hasta una altura de 2,35 m?

R.: altura de la pelota h = 6,8 m

14) Un avión que vuela a 1600 m de altura con una velocidad constante de ,

suelta una bomba cuando se encuentra a 3814 m de su objetivo. ¿A qué distancia del objetivo cae la bomba?

R.:

15) Un jugador de fútbol patea la pelota contra el arco que se encuentra a 13 m . Si

le imprime una velocidad de formando un ángulo de elevación de 38º con el

terreno. ¿Convertirá el gol? ¿a qué altura del suelo pasa la pelota? Y ¿cuánto tiempo emplea en llegar al arco?.

R.: sí , h = 1,67 m ; t = 1,3 s

16) Se dispara un perdigón con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una

colina, de 10 m de altura. El proyectil parte con una velocidad de , en una

dirección que forma un ángulo de 37º con la horizontal. Elegir un sistema de referencia.a) Calcular la posición del perdigón a los 2 s, 5 s y 6 s (altura y distancia horizontal recorrida)b) Obtener el instante que llega al suelo.

64

R.: a) b)

17) Un gato maúlla muy fuerte, instalado sobre un muro de 2m de altura. Ignacio está en su jardín, frente a él y a 18 m del muro, y pretende ahuyentarlo arrojándole

un zapato. El proyectil parte con una velocidad de , formando un ángulo de 53º

con la horizontal, desde una altura de 1,25 m.a) Hallar a qué distancia por encima de donde estaba el gato pasó el zapato.b) Determinar a qué distancia al otro lado del muro llegó el zapato al piso.

R.: a)

18) Mariana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de su departamento, y Martín lo recibe a 1,2 m de altura sobre el piso, 0,8 segundos después. Sabiendo que Martín se encuentra a 4,8 m del frente de la casa de Mariana, hallar:a) la altura desde donde partió el llaverob) la velocidad con la que llegó a las manos de Martín.

R.: a) h=4,336m ,b)

19) Un esquiador que se desliza por una rampa inclinada de 30º (baja por un plano inclinado de 30º con la horizontal), llegando al borde de dicha rampa (A) con cierta velocidad. Luego de 1 segundo de vuelo libre, retoma la pista en (B) , 4,33m más adelante del punto (A).Hallar la velocidad que tiene en el punto A, y el desnivel existente entre A y B. ¿Qué velocidad tendrá en B?

R.:

20) Martín patea una pelota de rugby, la pelota pica en la cancha 60 m más adelante y 3 s después de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto más alto y la velocidad con la que llega al suelo.

R.:

21) El arquero Guillermo Desastronius arroja oblicuamente una flecha, la que parte

desde una altura de 1,25 m , con una velocidad de y formando un ángulo de

53º con la horizontal. La flecha pasa por encima de un pino que está a 24 m de distancia y va a clavarse a 10 m de altura en otro árbol que se alza más atrás. Calcular el tiempo de vuelo de la flecha, la velocidad con la que llegó al árbol y el ángulo con que se clavó. Obtener la altura máxima que puede tener el pino.

R.:

22) Martín patea una pelota de fútbol que sale disparada con un ángulo de 30º con

la horizontal y una velocidad de . En el mismo instante, pero 20 m delante, sale

Ignacio con la misma dirección de la pelota. Calcular la velocidad con la que debe correr Ignacio para alcanzar la pelota cuando llega al suelo, se supone que mantiene la velocidad constante.

R.:

65

23) A 2 m de distancia y a 1,2 m de altura se dispara un bollo de papel para que llegue a un cesto de 0,4 m de altura y 0,4 m de diámetro. Calcular la velocidad de partida de cada bollo, para que ingrese en el cesto. Si un segundo bollo de papel se lo tira desde una distancia de 1m delante del cesto, a una altura de 75 cm, con una

velocidad de , determinar si el bollo entra en el cesto o cae al suelo.

R.:

24) La malabarista Mariana muestra su destreza manteniendo continuamente en el aire cuatro platos. Los recibe con su mano izquierda, a 80 cm del piso, y los lanza con su derecha, que se encuentra a la misma altura y separada de la izquierda por una distancia de 1,2 m. Los platos alcanzan una altura de 4 metros. Calcular la velocidad con que los arroja, la velocidad con la que pasan por el punto más alto. Si tarda 0,2 segundos en recorrer la distancia horizontal, cuando vuelve a la mano de partida, obtener cada cuánto tiempo recibe un plato.

R.: a) , b) , c)

25) Desde el borde de un acantilado de 200 m de altura Ignacio lanza un proyectil, formando un ángulo de 30º por encima de la horizontal, observando que impacta en el agua luego de 10 segundos de vuelo. Hallar la velocidad inicial del proyectil y la distancia desde la base del acantilado al punto donde hace impacto.

R.:

26) Un atleta desea saltar una valla de 2 m de altura. Para ello toma carrera y salta 1 m antes de llegar a la valla. ¿Qué velocidad mínima deberá darle en el salto para lograr pasar la valla? ¿Cuánto tiempo dura el salto completo?

R.:

27) Nacho lanza una pelota con una velocidad de y un ángulo de elevación de

45º. La pelota choca contra una pared que se encuentra a una distancia de 3 m del lugar de lanzamiento. ¿A qué altura choca la pelota contra la pared? ¿Cuál es la velocidad de la pelota en el momento del choque?

R.:

28) Se dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 30º y tarda 6 segundos en llegar al suelo. Hallar la altura máxima que alcanza y la velocidad de partida.

R.:

29) El artillero de un cañón desea hacer impacto sobre un tanque que se mueve

sobre una carretera a , alejándose del cañón. El cañón se encuentra en una

colina a 80 m de altura y a una distancia horizontal del tanque de 800 m . Si el cañón dispara sus proyectiles con un ángulo de elevación de 40º, calcular el valor de la velocidad con la que deben salir los proyectiles. A que distancia del punto de impacto estará el tanque si los proyectiles salen

disparados con una velocidad de .

66

R.: ; . : y

30) A 800 m de una ciudad se dispara un cañón; sabiendo que sus proyectiles salen

disparados con una velocidad de , calcular el ángulo de elevación que debe

darse al cañón.R.:

31) Desde un monte de 100 m de altura se dispara con un cañón contra un puesto enemigo, que se encuentra a 500 m de distancia horizontal. Si el disparo se efectúa con un ángulo de 30º, obtener la velocidad de partida del proyectil y la altura máxima que alcanza.

R.:

32) Un proyectil es lanzado desde el piso de tal manera que al cabo de 4 segundos alcanza la altura máxima, para luego caer a una distancia de 100 m del punto de lanzamiento. Calcular la velocidad de lanzamiento, la velocidad con la que alcanza la altura máxima y la velocidad que posee a los tres segundos de la partida.

R.:

33) Un cuerpo se mueve por un plano horizontal, que se encuentra a 10 m de altura,

con una velocidad constante de . Cuando llega al final del plano cae:

a) determinar la aceleración con la que caeb) calcular el módulo, dirección y sentido de la velocidad en la mitad de la caídac) obtener la distancia horizontal que recorre, desde el momento en que abandona el plano horizontal

R.: b) , c)

34) Un objeto se desplaza por un plano horizontal pasando de una velocidad de

a otra de , manteniendo una aceleración constante de . Si en éste punto

cae y sabiendo que el plano se encontraba a 2,3 m del suelo, calcular la distancia horizontal recorrida hasta llegar al suelo y la velocidad con la que llega.

R.: y

35) Un preso lanza mensajes, atados a piedritas, hacia su mujer que lo observa desde la vereda, a 14 m del muro de la cárcel. Nuestro hombre lanza la piedritas horizontalmente, tal que pasen justo rozando el borde del muro, de 7,8 m de altura. Su ventana se encuentra separada a 10 m del muro y a una altura de 12,8 m.Calcular la velocidad con que debe lanzar las piedritas, ¿a qué distancia del muro caerán?.Si la mujer empieza a caminar justo cuando lanza una piedra, con qué velocidad deberá caminar para llegar justo a la piedra cuando ésta toca el piso.

67

Si se duplica la velocidad de lanzamiento, ¿cuál es el tiempo de caída? ¿ rozará el borde del muro? ¿ qué se modifica?.

R.:

36) Dos edificios de hallan separados 30 m entre sí. Desde una ventana del primer piso de un edificio, ubicada a 16 m de altura, se arroja una piedra en dirección

horizontal, con una velocidad de . ¿Con qué velocidad inicial, en dirección

vertical, debe ser lanzada otra piedra, desde el segundo piso del segundo edificio, 0,5 segundos después de ser arrojada la primera, para lograr que la intercepte en su vuelo, cuando la primer piedra está a punto de impactar en el segundo edificio.

R.:

37) Cachito, decide jugar a Guillermo Tell, utilizando a Rolando de portamanzana. Lo apoya en un árbol y por supuesto con la manzana en la cabeza, preparándose para lanzar su flecha desde una distancia de 3 m, apoyando la ballesta en su hombro, a 1,6 m del piso. Apunta hacia la manzana, quedando la flecha en dirección horizontal,

y el hilo tensado de manera de brindarle a la misma una velocidad inicial de .

Como era de esperar la flecha da en la manzana. Calcular la altura de Rolando, la velocidad de la flecha al llegar a la manzana.

R.:

38) Con relación al problema anterior, ¿qué hubiera ocurrido si la velocidad inicial fuese el doble? ¿ qué hubiese ocurrido si la velocidad inicial fuese la mitad?

R.:

39) Desde un pozo de 6 m de profundidad se dispara un proyectil con una velocidad

inicial de 796 y un ángulo de elevación de 73º. Suponiendo que el proyectil sale

del pozo y hace impacto sobre un blanco de 1,7 m de altura. Calcular el tiempo empleado por el proyectil en llegar al blanco, la velocidad con la que llega y el alcance.

R.: , , a = 2787,71 m

40) Un proyectil se dispara desde un pozo de 4 m de profundidad y al cabo de 5 s llega al suelo. Sabiendo que recorre toda la longitud del pozo que es de 3 m y que el proyectil sale del borde superior opuesto, calcular: la velocidad de partida y la altura máxima que alcanza.

R.:

41) Un atleta cuyo centro de gravedad se encuentra a 1,2 m de altura, ha de saltar un obstáculo de 2m, lanzándose con un ángulo de 60º con respecto a la horizontal. Calcular la velocidad con que debe iniciar el salto y la distancia horizontal al obstáculo desde el punto donde se lanza hasta que llega nuevamente al suelo.

R.:

MOVIMIENTO RELATIVO

68

1) Un ciclista se desplaza horizontalmente con una velocidad constante de 45 . En

cierto lugar de su recorrido comienza a soplar un viento constante de 6 . Calcular

la distancia horizontal recorrida en 10 s, teniendo en cuenta que: a) el viento va a favor del desplazamiento del ciclista, b) el viento va en sentido contrario al desplazamiento del ciclista, c) el viento es perpendicular al desplazamiento del ciclista.

R.: a) , b) , c)

2) Una avioneta, cuya velocidad respecto al aire es de 205 , pasa sobre la ciudad

A, dirigiéndose hacia la ciudad B situada a 400 km al Norte de A. La oficina

meteorológica en tierra le informa que sopla viento en dirección Este-Oeste, a 45

.a) Determinar la dirección en que se desplaza la avioneta en esas condiciones.b) Hallar el ángulo que debe desviar su rumbo, para desplazarse efectivamente hacia B, suponiendo que se mantienen constantes las velocidades. Hallar cuánto tardará en llegar.

R.: a) N-O, b)

3) Un avión para dirigirse hacia el Este debe volar orientado como se indica en la figura. En una hora recorre 300 km en la dirección Oeste-Este. ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser verdadera para esta situación. El viento está soplando hacia el:

a) Norte a 91,7 , b) Sur a 91,7 , c) Norte a 87,7 , d) Sur a 286,9 , e)

Este a 286,9 , f) Oeste a 87,7 .

Oeste Este 17º Dirección del avión

R.:

4) Un bote cruza un río de 60 m de ancho con una velocidad de 4 respecto del

agua, orientada de tal forma que, si las aguas estuvieran quietas, cruzaría perpendicularmente. El bote parte de un punto A ubicado sobre una de las márgenes y llega a otro punto B en la margen opuesta, distante 100 m de A. ¿Cuál es el módulo de la velocidad del bote respecto de tierra y cuánto tarda en cruzar el río?

a) 5,33 y 25 s , b) 5,33 y 15 s , c) 5,33 y 10 s , d) 6,66 y 25 s , e) 6,66 y

15 s , f) 6,66 y 10 s.

R.:

5) Entre los muelles A y B que están en la misma orilla de un canal rectilíneo hay una distancia de 400 m. Un bote de remos tarda 40 segundos en ir de A hasta B, y

69

50 segundos en regresar. Considerando constantes los módulos de las velocidades del bote respecto al agua y de la corriente respecto a la orilla, calcular el valor de los mismos.

R.:

6) Un ciclista se desplaza en línea recta con una velocidad constante de 34 desde

–40m, durante 15 s. Sabiendo que la velocidad del viento es de a) , b) ,

c) y tiene una dirección que forma un ángulo de -35º con respecto a la

dirección del ciclista, d) igual al punto anterior pero la dirección del viento es de

35º, e) es de y tiene una dirección perpendicular a la dirección del ciclista y va

de izquierda a derecha. Calcular la distancia recorrida.

R.: a) , b) , c) , d) , e)

MOVIMIENTO CIRCULAR

CONCEPTOS PREVIOSa) Longitud de una circunferencia

b) Concepto del número . Si entonces , reemplazando tenemos

c) Elementos que se pueden encontrar en una circunferencia: M N r a d o o b o es el centro de la circunferenciar es la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferenciad es el diámetro de la circunferencia, es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro oM es una recta tangente a la circunferencia. Comparte con la circunferencia un solo punto. No la corta ni la atraviesa.N es una recta secante a la circunferencia, la corta en dos puntos y atraviesa la circunferencia.

es el ángulo central de la circunferencia. El vértice del ángulo central es el centro de la circunferencia.El arco ab =

Medidas AngularesSistema sexagesimal, es el sistema que divide a la circunferencia en 360 partes iguales

70

90º

180º 0º , 360º

270ºSistema circular, se basa en ángulos centrales medidos en radianes. Un radián es un ángulo que tiene un arco cuya longitud es igual a la del radio.

rad

rad 0 rad , rad

rad

Relación entre el sistema circular y el sistema sexagesimal

De acuerdo a los diagramas anteriores podemos establecer las siguientes relaciones:

rad , rad , rad , rad

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Si atamos un cuerpo al extremo de un hilo de longitud (r) y lo hacemos girar, obtendremos un movimiento circular del cuerpo, cuya trayectoria será un círculo de radio (r).Si el cuerpo describe arcos iguales en tiempos iguales, el movimiento se denomina Movimiento Circular Uniforme. También podemos decir que un cuerpo tiene un M.C.U. cuando describe ángulos centrales iguales en tiempos iguales.La velocidad lineal o tangencial se representa con un vector tangente a la curva (comparte con la circunferencia un punto pero no la atraviesa).El vector velocidad lineal cambia permanentemente de dirección para que la partícula realice el giro, pero en cada posición es tangente a la trayectoria. b c a r

d

71

VELOCIDAD TANGENCIAL

La fórmula para calcular la velocidad lineal o tangencial se puede deducir

recordando la fórmula de la velocidad . Si el cuerpo realiza un giro

completo, el espacio recorrido corresponde a la longitud de una circunferencia de radio r; y la longitud de una circunferencia se calcula con la expresión . Entonces reemplazamos el valor de la longitud de la circunferencia en la fórmula de velocidad y llegamos a la fórmula de la velocidad lineal o tangencial del M.C.U.

Esta relación puede modificarse si el cuerpo da muchos giros, incorporando la cantidad de giros que da la partícula (n)

VELOCIDAD ANGULAR

Es la relación que existe entre el ángulo central que describe el cuerpo cuando gira con el tiempo empleado. Es decir cuando una partícula pasa del punto “a” al punto “b” en un tiempo “t”, describe un ángulo central “ ” a sentido de giro b

La fórmula que nos permite calcular la velocidad angular se puede expresar:

Las características del vector velocidad angular son:

a) Dirección: es perpendicular al plano al que pertenece la circunferencia que describe el móvil

72

b) Sentido: es el mismo sentido en que avanza el tirabuzón. Un método simple para poder representarlo consiste en utilizar la MANO DERECHA, orientamos con los dedos el sentido de giro del cuerpo y con el dedo pulgar marcamos el sentido del vector velocidad angular.

c) Módulo: es el valor numérico representado en una escala adecuada.

Sentido de giro Sentido de giro sentido de giro

Unidades de la velocidad angular:

a) si el ángulo central está medido con sistema sexagesimal

b) si el ángulo central está medido con sistema circular

Por ejemplo, si un cuerpo realiza una vuelta completa (o una revolución), en un tiempo de 5 segundos, la unidad de la velocidad angular se puede expresar:

a) b)

En general no se escribe ni rad ni grados, por lo tanto llegamos a la expresión

RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD LINEAL Y LA VELOCIDAD ANGULAR

Cuando un cuerpo da un giro o vuelta completa tenemos que la longitud de la circunferencia es igual a , su velocidad lineal y angular se puede expresar:

y Si reemplazamos el valor de la velocidad angular en la

fórmula de la velocidad lineal obtenemos

CARACTERÍSTICAS DE LAS VELOCIDADES EN EL M.C.U.

a) La velocidad lineal NO ES CONSTANTE ya que cambia permanentemente de direcciónb) la velocidad angular ES CONSTANTE y es la que le da el nombre al M.C.U.

Tengamos en cuenta que a medida que aumenta el radio de la circunferencia la velocidad lineal aumenta, pero la velocidad angular permanece constante.

Como entonces

73

Por lo tanto, podemos definir que en el M.C.U. la velocidad angular permanece constante.

ACELERACIÓN CENTRÍPETA

El cambio de dirección del vector velocidad lineal (no el cambio de módulo), va a producir una aceleración, que se denomina aceleración centrípeta. Recordemos que

el concepto de aceleración es la variación de la velocidad en el tiempo:

La dirección y el sentido de la aceleración centrípeta será la del incremento de la velocidad lineal.

Sentido de giro a a a b b b

Teniendo en cuenta que , por lo tanto

Si analizamos la variación de vector , llegamos a la conclusión que cuando el

punto b está muy próximo al punto a, la dirección de coincide con el radio y su sentido va hacia el centro de la circunferencia.Las fórmulas de la aceleración centrípeta son:

Las unidades de la aceleración centrípeta coinciden con las unidades de la

aceleración del M.R.U.V, es decir son :

PERÍODO Y FRECUENCIA

El período (T) es el tiempo medido en segundos que emplea un móvil en dar una vuelta completa. En el movimiento circular uniforme el período es constante.Si decimos que un cuerpo en el M.C.U. da 240 vueltas por minuto y nos piden calcular su período. Empleando la regla de tres simple directa podemos calcular lo pedido.

Si da 240 vueltas en 60 segundos

74

entonces una vuelta demora =

La frecuencia (f) es el número de vueltas o revoluciones que da el móvil en cada unidad de tiempo (segundo). Por ejemplo si un cuerpo tiene un período de 0,25s y se mueve con M.C.U. y nos piden que calculemos su frecuencia, debemos plantear una regla de tres simple directa

Si en 0,25 segundos una vuelta

en un segundo dará

Resumiendo:Período (T) es el tiempo en dar una vuelta completa o revoluciónFrecuencia (f) es la cantidad de revoluciones o vueltas completas que da el cuerpo en un segundo.La frecuencia y el período son magnitudes inversamente proporcionales, por lo tanto, podemos decir que, LA FRECUENCIA ES LA INVERSA DEL PERÍODO, en fórmula se expresa:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

1) Un móvil con movimiento circular uniforma tarda 5 segundos en dar dos vueltas,

calcular su velocidad angular y expresarla en y en

R: y

2) Un motor efectúa 2000 revoluciones por minuto. Calcular su velocidad angular en

R:

3) Un móvil se mueve con M.C.U. dando 120 vueltas por minuto. Calcular su período.R: T = 0,5s

4) El período de un M.C.U. es de T = 0,5 s , calcular su velocidad angular.

R:

5) Un motor da 3000 rev. Por minuto, obtener su período y su velocidad angular.

R: T = 0,02 s

75

6) Calcular la velocidad tangencial de un móvil que describe una circunferencia de 10 cm de radio en 0,2 s ¿Cuál es el valor de la velocidad angular? Dibujar los vectores velocidad pedidos.

R: ,

7) Determinar la velocidad tangencial de un punto del ecuador de la Tierra, considerar como radio ecuatorial los 6000 km.

R: v = 1570

8) Calcular la velocidad tangencial de un punto que describe una circunferencia de

0,5 m de radio con una velocidad angular de 31,4 .

R: v = 15,7

9) La velocidad tangencial de un punto que describe una circunferencia de 2 m de

radio es de 10 , hallar la velocidad angular, el período y dibujar los vectores

velocidades.

R: y T = 1,26 s

10) Obtener la cantidad de vueltas completas, el ángulo barrido por el radio de la circunferencia que describe un cuerpo, que se desplaza con una velocidad angular

de 3 en 2 minutos.

R: 57 vueltas completas y el ángulo es de 360 rad

11) Una bicicleta corre a 60 , sabiendo que el radio de la rueda es de 30 cm,

obtener la velocidad angular, la velocidad tangencial de un punto situado a 0,5 cm del centro de giro y graficar los vectores que intervienen.

R:

12) Una hélice de avión da 1200 r.p.m., obtener su período, velocidad angular y frecuencia.

R: T = 0,05 s , f = 20 y

13) Hallar la aceleración de un móvil que se desplaza con M.C.U. recorriendo una

pista circular de 80 m de radio, a 72 de velocidad lineal.

R:

14) Un móvil da 180 vueltas por minuto, determinar su frecuencia y período.

76

R: T = 0,33 s , f = 3

15) Una esfera atada a un hilo de 2 m de largo da 120 vueltas por minuto, hallar el período, la velocidad angular y la velocidad tangencial.

R: T = 0,5 s, ,

16) Un vehículo marcha a 54 , sabiendo que el radio de la rueda es de 0,4 m,

obtener su velocidad angular y la frecuencia expresada en revoluciones por minuto.

R: , T = 0,16 min

17) Un disco gira a razón de 60 vueltas en medio minuto, teniendo en cuanta que tiene 1 m de radio, determinar su aceleración centrípeta.

R:

18) Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra, dando una vuelta completa cada aproximadamente 90 min, suponiendo que su órbita es circular, que el radio medio de la Tierra es de 6370 km y que la altura media del satélite sobre su superficie es

de 280 km, determinar su velocidad tangencial en y representar gráficamente

R:

19) Un móvil recorre una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de 10

hz, determinar, el período, la velocidad angular, su velocidad tangencial en , su

aceleración y graficar las magnitudes que se puedan graficar.

R: T = 0,1 s , , ,

20) Hallar la aceleración que experimentó el satélite del problema 18 en

R:

21) Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a 50cm de su eje, estén sometidos a una aceleración que sea 500 veces la de la gravedad.

R: , f = 15,75 hz

22) ¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra en su movimiento de rotación

alrededor de su eje? Exprese el resultado en

R:

77

23) ¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra en su movimiento orbital alrededor del

Sol, suponiendo que describe un M.C.U.? Expresar el resultado en

R:

24) Un reloj pulsera tiene una aguja horaria de 1 cm de largo, la minutera de 1,5 cm y la segundera de 1,8 cm. Determinar la velocidad angular, velocidad tangencial y aceleración centrípeta de cada una.

R: minutera: ;segundera ;

horaria

25) ¿Cuál es la velocidad tangencial de dos puntos ubicados en cada una de las agujas del problema anterior: uno situado en el centro del reloj y el otro en la mitad de cada aguja?

R:

26) Calcular la velocidad tangencial, para tres puntos situados sobre la superficie terrestre, al nivel del mar, uno en al polo, otro en el Ecuador y, el tercero, a 45º de latitud. Para lo cuál debemos suponer que la Tierra es una esfera de 6370 km de radio.

R:

27) Un móvil recorre una circunferencia con aceleración centrípeta de 2 y con una

velocidad angular constante de 40 ¿Cuál es el radio de la circunferencia?

R: r = 0,00125 m

28) Obtener el período del móvil del problema anterior.R: T = 0,16 s

29) La cadena de una bicicleta pasa por una rueda dentada de 20 cm de diámetro, en donde se encuentran los pedales y, por un piñon fijo, de 10 cm de diámetro, que está vinculado al eje de la rueda trasera. Si se pedalea con una velocidad angular de 60 r.p.m., a)¿cuál es la velocidad angular de la rueda?, b) ¿cuál es la velocidad de un eslabón de la cadena?

R: w =120 r.p.m. y v = 0,628

30) Si bien hoy se usan los CD, tanto para música como para datos y, en este caso, los hay de diferentes velocidades, antes se utilizaban discos de 33 r.p.m., 45 r.p.m y 78 r.p.m. (cuyos diámetros eran de 30 cm, 20 cm y 25 cm respectivamente). Determinar para cada uno de ellos su velocidad angular, la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de tres puntos situados en el borde, en la mitad de cada radio y en el centro.

R:

78

31) ¿Cuánto tiempo transcurre entre dos superposiciones sucesivas de las agujas horario y minutera de un reloj?

R: t = 1 h 5 min 27,3 s

32) Con relación al problema anterior indicar ¿cada cuánto tiempo forman un ángulo de 90º?

R: t = 32 min 44 s

33) Un auto debe tomar una curva circular de 400 m de radio, con una velocidad de

100 , que la mantiene constante. Calcular: la aceleración centrípeta y la velocidad

angular.

R:

34) En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón gira alrededor del protón con una órbita circular de radio m , con una velocidad tangencial de

. ¿Cuál es la aceleración centrípeta de dicho electrón?

R:

35) Un punto se desplaza sobre una circunferencia de 60 cm de radio con M.C.U.,recorriéndola al cabo de dos segundos. Hallar su velocidad angular, velocidad tangencial, aceleración centrípeta y período. Representar los vectores de dicha situación.

R:

36) Un satélite de la Tierra se mueve en una órbita circular ubicada a 600 km sobre la superficie. Si el tiempo que tarda en dar una vuelta es de 98 minutos, calcular la velocidad tangencial del satélite y su aceleración centrípeta.

R:

37) Un electrón experimenta, al moverse dentro de un campo magnético, una

aceleración centrípeta de ¿Cuál fue su velocidad tangencial, si el radio de la

trayectoria es de 0,9cm?

R:

38) Un neumático que tiene 80 cm de diámetro gira con una velocidad angular constante describiendo 300 r.p.m.. Si una piedrita se encuentra incrustada en el dibujo de la llanta, hallar su velocidad tangencial y aceleración centrípeta:

R:

79

39) Un cuerpo recorre una circunferencia de 1,32 m de diámetro con una frecuencia de 8 Hz, hallar el período, la velocidad angular, la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta.

R.: T=0,125 s ;

40) Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que un cuerpo situado a 2,3 m del eje este sometido a una aceleración que es 7 veces la de la gravedad.

R.:

41) Cuál es la aceleración que experimenta un chico que viaja en el borde de una calesita de 2 m de radio que da una vuelta cada 8 segundos.

R.:

42) Un cuerpo gira a 18,3 r.p.m. y teniendo en cuenta que se encuentra a 19,5 cm del centro de la circunferencia, obtener su velocidad angular, velocidad tangencial, aclaración centrípeta, período y frecuencia

R.:

Se termino la primer parte de los contenidos que trabajaremos a lo largo del año. Se acerca la

evaluación integradora de Cinemática, es necesario que repases todos los temas. A medida que vas resolviendo cada problema verifica si coincide la

teoría con los valores obtenidos, si están bien trabajadas las unidades y si te alcanza el tiempo

para resolver los problemas planteados. En la última parte del cuadernillo, tenés un modelo de evaluación

que te puede servir.Hay que dedicar tiempo y esfuerzo en repasar

conceptos teóricos y resolver nuevos problemas. Pueden verificar la forma de resolver los problemas

con otros compañeros y si tienen dudas o dificultades, se las deben plantear al profesor.

DINÁMICA

80

Es la parte de la Física que se encarga de estudiar las causas que generan el movimiento en los cuerpos y la relación entre dichas causas y el movimiento generado. En base a nuestra experiencia podemos comprender que para mover un cuerpo es necesario aplicar una o más de una fuerza.Podemos definir el concepto de fuerza diciendo que es todo aquello capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. La representación gráfica de una fuerza se hace empleando un vector porque nos permite ubicar: el punto de aplicación de la fuerza, la dirección, el sentido y el módulo o intensidad de dicha fuerza.

Punto de aplicación Cuerpo Sentido Dirección Módulo o intensidad de la fuerza

El punto de aplicación nos indica el lugar donde se aplica la fuerza, la dirección es la dirección de la fuerza, el sentido nos indica hacia donde está orientada la fuerza y el módulo o intensidad de la fuerza nos indica el valor de la fuerza, es decir si es grande o pequeña.

El estudio de la Dinámica se basa en cuatro principios, denominadas, leyes o principios de la dinámica que fueron desarrollados por el físico inglés llamado Isaac Newton.

PRIMER PRINCIPIO . PRINCIPIO DE INERCIATodo cuerpo que está en reposo, tiende a permanecer en reposo, o , si se desplaza, tiende a continuar con un movimiento rectilíneo uniforme, mientras no actúen sobre el una o varias fuerzas exteriores que lo modifiquen de dicho estado.

SEGUNDO PRINCIPIO . PRINCIPIO DE MASA

Todo cuerpo sometido a la acción de una o varias fuerzas, adquiere una aceleración, y ésta aceleración tendrá la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada o la resultante de las fuerzas aplicadas. También podemos decir que la aceleración depende del valor de las fuerzas y de la masa del cuerpo. Es decir que adquiere una aceleración que es directamente proporcional a las fuerzas aplicadas, es decir si aumenta el valor de la o las fuerzas, también aumenta el valor de la aceleración, si disminuye el valor de la o las fuerzas, también disminuye el valor de la aceleración; e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decir, si la masa del cuerpo aumenta, la aceleración disminuye y si la masa del cuerpo disminuye, su aceleración aumenta. Por tal motivo se puede definir a la masa de un cuerpo como la resistencia que opone el mismo a los cambios de movimiento. Dicha resistencia está relacionada con la cantidad de materia que posee el cuerpo.La expresión matemática del segundo principio es:

81

TERCER PRINCIPIO . PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, recibe de aquel una fuerza igual y de sentido contrario. La fuerza aplicada se la denomina ACCIÓN y la fuerza recibida se la denomina REACCIÓN. La fuerza de reacción se genera en el mismo lugar donde se genera la acción. El tiempo de duración de la reacción es el mismo de la acción, es decir el tiempo que está presente la reacción es el mismo que está aplicada la fuerza de acción.

Fuerza de reacción Fuerza de acción

La fuerza de reacción es totalmente independiente del estado de reposo o de movimiento en que se encuentre el cuerpo.Debemos tener en cuenta que la fuerza de acción y la reacción, aún siendo de igual magnitud y dirección, pero de sentidos contrarios, nunca pueden neutralizarse entre sí y menos anularse, ya que siempre se ejercen sobre cuerpos diferentes.

PESO DE UN CUERPO

El principio de masa se puede aplicar al caso particular del peso de un cuerpo. Teniendo en cuenta que el peso es la fuerza con la que la Tierra atrae los cuerpos. Como la aceleración que adquieren los cuerpos sometidos a su peso, es igual para

todos ( ), podemos escribir que, si

F = m . a , entonces P = m . g

La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca del cuerpo, o sea, invariable con respecto a su velocidad, posición, etc. Debido a que la gravedad en la Tierra varía, se puede deducir que el peso de un cuerpo no es una propiedad intrínseca del mismo, o sea que varía según el lugar en que nos encontramos. También es importante tener en cuenta que si bien la aceleración de la gravedad varía muy poco en el planeta Tierra, varía notablemente de un planeta a otro.

FUERZA DE ROZAMIENTO

La experiencia nos indica que todo cuerpo en movimiento se frena, en oposición al principio de inercia. Esto se debe a que ese cuerpo se halla vinculado a través del rozamiento. Dichas fuerzas tienen la siguiente expresión:

= es el coeficiente de rozamiento (este coeficiente varía entre cero y uno. Es un número que no lleva unidad y que nos indica la rugosidad del cuerpo) Existe un coeficiente de rozamiento estático (se emplea cuando el cuerpo está en reposo) y un coeficiente de rozamiento cinético (se emplea cuando el cuerpo está en movimiento)

= es la reacción del plano donde se encuentra apoyado el cuerpo (la reacción del plano es una fuerza perpendicular al plano donde está apoyado el cuerpo, que vale

82

lo mismo que la componente de la fuerza peso que aplasta al cuerpo hacia el suelo, pero de sentido contrario)La fuerza de rozamiento es una fuerza que siempre es CONTRARIA al desplazamiento del cuerpo.

CASOS PARTICULARES DE LA FUERZA NORMAL

a) La fuerza normal es igual al peso del cuerpo b) La fuerza normal es mayor al peso

Fuerza normal Fuerza normal

Fuerza

Peso

Peso

c) La fuerza normal es menor al peso

Fuerza normal Fuerza

Peso

SISTEMA DE UNIDADES

Sistema técnico M.K.S. C.G.S.

Longitud m m cm

Tiempo s s s

Aceleración

Fuerza N (Newton) = Dinas =

Masa U.T.M.= Kg gr

Relaciones para tener en cuenta:

83

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

1) Expresar el valor de la masa de los cuerpos cuyos pesos son de 200 , 3000

N , 6500000 dinas , 29 , 7800 y 900000000 dyn.R.: b) 306,12 kg ;c) 6,63 kg ; e) 7,8 kg y f) 918,36 kg

2) Obtener el valor de la aceleración que adquiere una caja que pesa 145 cuando

se le aplica una fuerza horizontal de 37

R.:

3) Calcular el peso de un cuerpo que se desplaza horizontalmente con una

aceleración constante de 3,5 cuando se le aplica una fuerza horizontal de 32

.R.:

4) Hallar el valor de la fuerza horizontal que se le aplica a un cuerpo que pesa 900 N

para que se desplace con una aceleración constante de 4,7 . Teniendo en cuenta

que

R.:

5) Un móvil que parte del reposo alcanza al cabo de 7 segundos una velocidad de

120 cuando se le aplica una fuerza horizontal de 375 , calcular su peso

teniendo en cuenta que .R.:

6) Un móvil que pesa 8500 N se desplaza en línea recta con una velocidad de 5

cuando se le aplica una fuerza horizontal, alcanzando una velocidad de 20 al

recorrer 97 m. Hallar el valor de dicha fuerza, teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento es de 0,34 .

R.:

7) Un automóvil que se desplaza en línea recta con una velocidad de 85 ,debe

aplicar los frenos hasta detenerse en 5 segundos . Obtener el valor de la fuerza aplicada por los frenos que detuvo el automóvil sabiendo que la masa del móvil es de 138 UTM y .

R.:

8) Un hombre que pesa 80 se desplaza con su bicicleta a partir del reposo con

una aceleración constante de 0,25 . Hallar el valor de la fuerza aplicada

teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento es de 0,31. Calcular la

84

velocidad obtenida al recorrer 39 m y el tiempo empleado en recorrer una distancia de 60 m.

R.:

9) Calcular el peso y la masa de una caja que alcanzó una velocidad de 25

cuando se le aplico una fuerza de 17 , que tiene un ángulo de elevación de 49º. Partiendo del reposo y teniendo en cuenta que el tiempo empleado en cambiar de velocidad es de 6 s y que el coeficiente de rozamiento es de 0,4 .

R.:

10) A un cuerpo que pesa 600.000.000 dinas se le aplica una fuerza de 250 , que tiene un ángulo de elevación de 37º , si el coeficiente de rozamiento es de 0,32 obtener la aceleración que adquiere , la distancia recorrida en 12 segundos y el

tiempo empleado en alcanzar una velocidad de 30 .

R.:

11) Hallar el valor de la fuerza aplicada contra un cuerpo que pesa 2080 N, sabiendo

que la aceleración obtenida es de 2,3 , que el ángulo de elevación es de 27º y

que .R.:

12) Un cuerpo que parte con una velocidad de 10 , alcanza luego de recorrer 58

m, una velocidad de 37 , cuando se le aplica una fuerza horizontal de 1200 N. Si

el coeficiente de rozamiento es de 0,47 hallar el peso del cuerpo, la distancia

recorrida al llegar una velocidad de 20 y el tiempo empleado en recorrer 79 m.

R.:

13) A una caja que pesa 178 se le aplica una fuerza que tiene un ángulo de elevación de 62º. Sabiendo que la caja estaba en reposo y que por la acción de dicha

fuerza la caja adquiere una velocidad de 27 en 4 segundos. Calcular el valor de

la fuerza, la velocidad que posee a los 12 s de la partida y el tiempo empleado en recorrer una distancia de 120 m . El coeficiente de rozamiento es de 0,28.

R.:

14) Obtener el peso de un cuerpo ,que partiendo del reposo alcanza una velocidad

de 17 a los 9 segundos de la partida, cuando se le aplica una fuerza de 38

que tiene un ángulo de elevación de 32º , el coeficiente de rozamiento es de 0,36 .R.:

85

15) Calcular el peso de un cuerpo al que, al aplicarle dos fuerzas, una de 445 N, que tiene un ángulo de elevación de 19º y la otra de 6.540.000 dynas, que tiene un

ángulo de elevación de 56º y adquiere una aceleración de 4,6 . Tener en cuenta

que el coeficiente de rozamiento es de 0,38 .R.:

16) Una caja que pesa 350 se desplaza a partir del reposo, alcanzando luego de

recorrer una distancia de 98 m una velocidad de 13 , cuando se le aplica una

fuerza que tiene un ángulo de elevación de 27º. Sabiendo que , obtener el valor de la fuerza aplicada y el tiempo empleado en recorrer dicha distancia.

R.:

17) Un ciclista se desplaza con su bicicleta con una aceleración constante de 0,73 ,

cuando le aplica una fuerza horizontal de 75 . Sabiendo que partió del reposo, calcular la distancia recorrida al cabo de 15 segundos, la velocidad final obtenida, el peso y la masa del ciclista con su bicicleta y la posición obtenida sabiendo que parte 30 m detrás del punto de referencia.

R.:

18) Un tren que parte de una estación y se desplaza en línea recta durante 24

segundos, alcanza una velocidad de 84 . Sabiendo que la masa de cada vagón es

de 1100 kg, hallar el valor de la fuerza aplicada, el tiempo empleado en recorrer una distancia de 147 m, la velocidad que alcanza al recorrer dicha distancia, teniendo en cuenta que

R.:

19) Para levantar un cuerpo verticalmente, cuya masa es de 76 kg, se aplica una fuerza vertical de 100 N. Teniendo en cuenta que partió del reposo obtener la aceleración, la velocidad final al recorrer una distancia de 1,25 m y la velocidad que posee en dicho lugar.

R.:

20) Hallar el valor de la fuerza que se debe realizar sobre la cuerda que sostiene a un ascensor que pesa 9895 N cuando:

a) sube con una aceleración constante de 0,52

b) sube con una velocidad constante de 0,52

c) permanece detenido

d) baja con una aceleración constante de 0,52

e) baja con una velocidad constante de 0,52

86

R.: a) 10423,04N ; b) 9895N ; c) 9895N ; d) 9368,96N ; e) 98,95N

21) Para levantar una caja hasta una altura de 12 m, se realiza una fuerza de 73 .

Teniendo en cuanta que la caja sube con una aceleración de 0,12 , calcular su peso

y el tiempo empleado en subirla.R.: ,

22) Un cuerpo que posee una masa de 197 kg se levanta con una soga desde el

reposo, con una aceleración constante de 0,79 durante 5 segundos. Hallar el

valor de la fuerza aplicada y la altura a la que llega el cuerpo.R.:

23) Se baja con una soga un cuerpo que pesa 34500000 Dinas con una aceleración

constante de 1,6 desde una altura de 9 metros, partiendo del reposo. Calcular el

tiempo empleado en llegar al suelo, la velocidad con la que llega y el valor de la fuerza aplicada. En un diagrama representar gráficamente las fuerzas existentes.

R.:

24) Se baja con una soga un cuerpo que pesa 7500 N, con una aceleración constante

de 0,32 durante 7 segundos, partiendo del reposo. Calcular la altura original del

cuerpo, la velocidad con la que llega y el valor de la fuerza aplicada. En un diagrama representar gráficamente las fuerzas existentes.

R.:

25) Se baja con una soga un cuerpo que pesa 333 N, durante 15 segundos desde una altura de 11 metros, partiendo del reposo. Calcular la aceleración del cuerpo, la altura original, la velocidad con la que llega y el valor de la fuerza aplicada. En un diagrama representar gráficamente las fuerzas existentes.

R.:

26) Calcular la aceleración del sistema, el valor de las tensiones en las cuerdas y la distancia recorrida en los dos primeros segundos, sabiendo que los cuerpos parten del reposo, en cada uno de los siguientes casos:

a)

c)

b)

87

2

1 1 2 3

d) e)

.

62º f)

100º

57º

R.:d) , e)

27) Sobre un plano inclinado, que tiene un ángulo de elevación de 37º, se ponen dos cuerpos que pesan y , unidos por una cuerda, que pasa por una polea fija

y del otro lado de la polea se ubican otros dos cuerpos que pesan y , sobre otro plano inclinado de 69º. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es de 0,1 y que el sistema parte del reposo, calcular la aceleración del sistema, la distancia recorrida en 3 segundos y la velocidad que posee al segundo de la partida.

R.: 28) Dos remolcadores llevan un barco de 1000 toneladas hasta una dársena, tirando cada uno con una fuerza constante de , como lo indica la figura. Si la fuerza

88

de rozamiento que ejerce el agua sobre el barco es de ,¿cuál es la aceleración del barco? , hallar la distancia recorrida en 12 s.

37º 37º

R.:

29) Un jugador de fútbol patea una pelota de 0,4 kg con una fuerza de 50 N.a) ¿Qué dirección tiene la aceleración? . ¿Cuál es su valor?

b) ¿Con qué velocidad sale disparada la pelota si inicialmente estaba en reposo y el impacto dura 0,5 s?

R.: a) La aceleración tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada

b)

30) Una persona de 50 kg salta hacia arriba con una aceleración de despegue de

. Calcular el valor de la fuerza de despegue.

R.:

31) El conductor de un auto que se estaba desplazando a , frena al ver el

semáforo en rojo. El vehículo, de 1000 kg, se detiene en 50 m de recorrido, calcular el valor de la fuerza de frenado.

R.:

32) Se aplica una fuerza de 20 N que forma un ángulo hacia arriba de 37º con la horizontal a un bloque de 5 kg que se halla sobre una superficie horizontal.¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento si el bloque se desplaza con una velocidad constante de

?

R.:

33) Un bloque de 50 N se desliza con rozamiento despreciable por un plano inclinado recorriendo, a partir del reposo, 1 m en 2 segundos. Calcular el valor de la componente del peso paralela al plano inclinado.

R.:

89

34) Un cuerpo de 80 kg, se desplaza horizontalmente cuando se le aplica una fuerza

que tiene un ángulo de elevación de 28º, partiendo con una velocidad de 25 , 3 s

después de comenzado a controlar el tiempo, recorriendo una distancia de 20 m en 5 s. Sabiendo que , calcular el valor y dirección de la aceleración, el valor de la fuerza aplicada y la distancia recorrida entre los 4 s y los 7 s.

R.:

35) Un pasajero que viaja en un ascensor está enganchado en un dinamómetro que marca un peso menor en un 40% al que indicaría si el ascensor estuviese detenido. Entonces, es posible que en ese momento el ascensor esté:a) subiendo cada vez más rápido, b) Subiendo cada vez más despacio, c) subiendo con velocidad constante, d) bajando cada vez más despacio, e) bajando con velocidad constante, f) bajando en caída libre.

R.:

36) Un hombre empuja un carrito cargado, de modo que la fuerza resultante sobre el

mismo es de . Como consecuencia, adquiere una aceleración de 1,5 . Hallar la

masa del carrito con carga sabiendo que .R.:

37) Analiza la veracidad o falsedad de las proposiciones dadas, referidas a la 1º ley de Newton:

a) Un cuerpo no puede desplazarse sin que una fuerza actúe sobre él.b) Toda variación de la velocidad de un cuerpo exige la existencia de una fuerza aplicada sobre dicho cuerpo.c) Si el módulo de la velocidad permanece constante, no se ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo.d) Si no existe una fuerza aplicada sobre un cuerpo en movimiento, éste se detiene.

R.:a) F , b) V , c) F, d) F

38) En la superficie de cierto planeta la aceleración de la gravedad es 5 veces mayor que en la Tierra. Analizar la veracidad o falsedad de las proposiciones siguientes:a) La masa del kilogramo patrón terrestre es allí de 5 kg.b) El kilogramo patrón terrestre pesa allí 5 . c) Si al kilogramo patrón terrestre se lo coloca allí sobre una mesa con rozamiento despreciable, y se lo empuja con una fuerza horizontal de 1 , adquiere una aceleración de 5 g.d) Si al kilogramo patrón terrestre se lo deja caer libremente, al cabo de 1 s habrá recorrido una distancia 5 veces mayor que la recorrida en idéntico experimento aquí en la Tierra.

R.:

39) Dos carretones, A y B, cuyas masas son de 80 kg y de 120 kg, se encuentran uno junto al otro, apoyados sobre un piso horizontal que presenta rozamiento despreciable. Sobre el carretón A se aplica una fuerza horizontal de 30 . Hallar la intensidad de la fuerza de contacto entre ambos. Repetir para el caso en que se empuje al carretón B con una fuerza horizontal de 30 .

90

A B

R.:

40) Se arma un sistema de tres cuerpos unidos por cuerdas, teniendo en cuenta que cada cuerpo posee una masa de 10 kg.a) Sin hacer diagramas de cuerpo libre ni escribir ecuaciones indicar Cuerda 3 cuánto valen las tensiones que soportan cada una de las cuerdas. b) Realizar los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo. c) Escribir la 2º ley de Newton para cada cuerpo. Cuerda 2d) Calcular el valor de la tensión de cada cuerda.e) Suponga ahora que se corta la cuerda 3, vuelva a calcular las tensiones 1 y 2.f) Suponga ahora que de la cuerda 3 se tira para arriba, imprimiendole Cuerda 1

una aceleración de 2 hacia arriba ¿Cuánto valen las tensiones?

g) Suponga ahora que se tira del mismo modo pero los cuerpos suben frenandose

con una aceleración de 2 ¿cuánto valen las tensiones?

h) Si la soga puede soportar una tensión máxima de 1000 N antes de romperse ¿qué aceleración máxima puede imprimirse al conjunto?

R.:

41) Responder si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique la respuesta:

a) A un cuerpo de 1 kg se le aplica una fuerza de , entonces adquiere una

aceleración de 1 .

b) Cuando una mariposa golpea contra el vidrio delantero de un automóvil en movimiento, la fuerza que hace la mariposa sobre el vidrio tiene la misma intensidad que la que hace el vidrio sobre la mariposa.c) Según como proceda una persona para subir a un estante un cuerpo que pesa 30

, podría llegar a aplicar en algún instante una fuerza cuyo módulo sea menor a 30

d) Si un cuerpo tiene una fuerza aplicada hacia abajo, sólo puede moverse hacia abajo.

e) Cuando un colectivo frena, una fuerza nos impulsa hacia delante.

R.:

91

42) Dada la siguiente situación inicial, analizar las siguientes afirmaciones:

a

a) Si en el plano no hay rozamiento, el tiempo de ascenso es igual al de descenso.

b)Si en el plano no hay rozamiento, la velocidad en el punto a es la misma a la ida que a la vuelta.

c) Si hay rozamiento en el plano , el tiempo de ascenso es igual al de descenso.

d) Si hay rozamiento en el plano, la velocidad en el punto a es la misma a la ida que a la vuelta.

e) Si en el plano hay rozamiento, dependerá de los valores de para que el cuerpo pueda o no bajar.

R.:TRABAJO MECÁNICO

En Física el concepto de trabajo es diferente del concepto que tenemos en la vida cotidiana. Para los físicos trabajo significa la transmisión de energía que se produce cuando una fuerza aplicada a un cuerpo le provoca a ese cuerpo un desplazamiento, en el mismo sentido y dirección de la fuerza.Si consideramos una fuerza actuando sobre un cuerpo, y dicha fuerza es constante, el movimiento del cuerpo, en algunos casos, se realizará en la dirección y sentido de la fuerza aplicada.

Fuerza aplicada Desplazamiento del cuerpo

Pero en otros casos la fuerza aplicada no coincide con la dirección y el sentido del desplazamiento del cuerpo, En éste caso será necesario descomponer la fuerza y considerar la componente que coincide con la dirección y sentido del desplazamiento del cuerpo.

Fuerza aplicada componente de la fuerza aplicada Desplazamiento del cuerpo

Cuando la fuerza que actúa sobre el cuerpo es constante y por la acción de dicha fuerza mueve el cuerpo, la magnitud o intensidad del trabajo depende de:

92

a) la componente de la fuerza que tiene la misma dirección y sentido que el movimiento. ( )

b) la distancia recorrida por el cuerpo debido a la aplicación de la fuerza.

Por lo tanto, la expresión matemática del trabajo se puede definir como el producto de la intensidad de la proyección de la fuerza aplicada al cuerpo y la distancia recorrida por el cuerpo, por la aplicación de dicha fuerza.

SIGNOS DEL TRABAJO MECÁNICO

Supongamos que una persona aplica una fuerza sobre un cuerpo:

a) si la fuerza aplicada tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento del cuerpo el trabajo realizado por la fuerza tendrá signo POSITIVO.

Velocidad del cuerpo

Fuerza aplicada al cuerpo

Desplazamiento del cuerpo

Como el ángulo de la fuerza vale cero grados, el cos 0º = 1; por lo tanto la fórmula del trabajo realizado queda expresada: y el resultado será positivo.

b) si la fuerza aplicada tiene una dirección oblicua con respecto al desplazamiento del cuerpo, el trabajo realizado por la fuerza tendrá signo POSITIVO. Velocidad del cuerpo Fuerza aplicada

(Componente de la fuerza)

Desplazamiento del cuerpo Como el ángulo de elevación de la fuerza aplicada está comprendido entre 0º y 90º el valor del es positivo; por lo tanto la fórmula del trabajo realizado queda:

y el resultado será positivo.

c) si la fuerza aplicada es perpendicular a la dirección y sentido del desplazamiento del cuerpo, el trabajo realizado por la fuerza será NULO. Es decir dicha fuerza no realiza trabajo. Fuerza aplicada

93

Velocidad del cuerpo


Como el ángulo entre la fuerza aplicada y el desplazamiento del cuerpo tiene 90º y debido a que el ; la fórmula del trabajo realizado queda:

. Es decir la fuerza aplicada al cuerpo no está realizando un trabajo.

d) si la fuerza aplicada al cuerpo tiene la misma dirección pero va en sentido contrario al desplazamiento del cuerpo, el trabajo realizado por dicha fuerza será NEGATIVO.

Velocidad del cuerpoFuerza aplicada al cuerpo


Como el ángulo entre la fuerza aplicada y el desplazamiento del cuerpo tiene 180º y debido a que el cos 180º = -1; la fórmula del trabajo realizado queda:

SISTEMAS DE UNIDADES

Sistema técnico M.K.S. C.G.S

Fuerza N = Newton Dina

Distancia recorrida m m cm

TRABAJO kgm N . m = Joule Dina . cm = Ergio

Relaciones entre los sistemas de unidades:

Como 1 , tenemos que 1 kgm = 9,8 JouleComo 1N = 100.000 dinas y 1 m = 100 cm, tenemos que 1 Joule = 10.000.000 Ergios

Cuando sobre un cuerpo se aplica más de una fuerza y cada una de ellas realiza un trabajo, se puede obtener el trabajo total realizado sobre el cuerpo sumando todos los trabajos que realizaron las fuerzas, su expresión matemática es:

POTENCIA

94

En la vida cotidiana es esencial tener en cuenta el tiempo en el cual se realiza un determinado trabajo mecánico, de ésta necesidad surge el concepto de potencia. Cuando una máquina realiza el mismo trabajo que otra pero en menos tiempo decimos que es más potente. Podemos definir el concepto de potencia como el trabajo total realizado sobre un cuerpo dividido el tiempo empleado en realizar dicho trabajo. Su expresión matemática es:

SISTEMAS DE UNIDADES

Sistema técnico M.K.S. C.G.S

Trabajo kgm N . m = Joule Dina . cm = Ergio

POTENCIA =Vatio

En la vida cotidiana suelen utilizarse otras unidades y su relación es:

1 Caballo vapor ( CV ) = 75

1 Horse – power ( HP ) = 76,1

1 kw = 1000 watt

Si multiplicamos la potencia por el tiempo empleado obtenemos el trabajo realizado, por lo tanto si tenemos:

P . t = L

1 kw . 1 h = L1 kw.h = L

Obtuvimos el trabajo realizado por una máquina que desarrollo una potencia de 1000 watt durante 1 hora, la unidad obtenida se denomina kilovatio-hora (kwh).

Resolución de problemas:

1) Se desplaza horizontalmente 10 m un cuerpo cuando se le aplica una fuerza horizontal de 100 , calcular el valor del trabajo realizado por la fuerza y expresar el resultado en Ergios.

R.: L =

2) Un cuerpo que pesa 600N se desplaza horizontalmente, 6 m cuando se le aplica una fuerza horizontal de 60 , obtener el valor del trabajo realizado por la fuerza y expresar el resultado en los tres sistemas de unidades.

95

R.: L = 3600 kgm = 35.280 Joule =

3) El trabajo realizado para desplazar una caja que pesa 1,2 fue de 0,6 Joule, si se desplazo 20 cm, obtener el valor de la fuerza aplicada.

R.:

4) Para desplazar un cuerpo se aplica una fuerza horizontal de 1.000 N, sabiendo que el trabajo realizado por la fuerza es de 5.100 kgm, hallar el valor de la distancia recorrida.

R.: = 49,98 m

5) Calcular la altura que a la que habría sido levantado una caja cuando se le aplica una fuerza de 72 , sabiendo que el trabajo realizado por la fuerza fue de 3.000 Joule.

R.: = 4,25 m

6) Un carrito es arrastrado 6 m, cuando se le aplica una fuerza de 50 que posee un ángulo de elevación de 60º, calcular el trabajo realizado por la componente horizontal de la fuerza y expresar el resultado en los tres sistemas de unidades.

R.: L = 150 kgm = 1470 Joule =

7) Se realiza un trabajo de 253 Joule cuando se aplica una fuerza de 22 que tiene un ángulo de elevación de 38º , obtener el valor de la distancia recorrida.

R.:

8) Al desplazar un cuerpo 4,33 m se realiza un trabajo de , sabiendo que la fuerza aplicada tiene un ángulo de elevación de 39º, calcular el valor de la fuerza aplicada. (Tener en cuenta que se pide el valor de la fuerza aplicada y no el valor de la componente de la fuerza que realiza el trabajo).

R.:

9) Se realiza un trabajo de 32 kgm para desplazar un cuerpo 257 cm, teniendo en cuenta que la fuerza aplicada tiene un ángulo de elevación de 73º, obtener el valor de la fuerza aplicada.

R.:

10) Un cuerpo que pesa 800 N se encuentra en reposo cuando se le aplica una fuerza horizontal de 55.000.000 dinas durante 5 s, si no se tiene en cuenta la fuerza de rozamiento, calcular la aceleración del cuerpo, la distancia recorrida, el trabajo realizado por la fuerza y la potencia empleada.

R.:

11) Una caja que pesa 9.000.000 dinas se encuentra en reposo cuando se le aplica

una fuerza horizontal adquiriendo una aceleración de hasta alcanzar una

velocidad de 9 , obtener al valor de la fuerza aplicada, la distancia recorrida, el

trabajo realizado y la potencia empleada.R.:

96

12) Un cuerpo que parte con una velocidad de 1,2 , alcanza al cabo de 6.79 s una

velocidad de 8,73 cuando se le aplica una fuerza horizontal de 19 N, calcular el

peso del cuerpo, el trabajo realizado por la fuerza y la potencia empleada.R.:

13) Un cuerpo que pesa 100 N, parte con una velocidad de 3,3 cuando se le

aplica una fuerza de 59 que posee un ángulo de elevación de 37º, recorriendo una distancia de 3,72 m. Calcular la aceleración del cuerpo, el trabajo realizado por la componente horizontal de la fuerza y la potencia empleada.

R.:

ENERGÍA

Desde el punto de vista de la Física podemos definir la energía como la capacidad que tienen los cuerpos o la materia de realizar un trabajo mecánico.La energía puede presentarse en la naturaleza de diferentes formas, pero siempre, y cualquiera sea la forma de esa energía, una se puede transformar en otra u otras formas de energía si se utiliza el dispositivo o mecanismo apropiado.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Un cuerpo puede tener energía almacenada debido a su posición con respecto a la superficie del planeta Tierra. Por ejemplo, si consideramos un cuerpo cualquiera que se encuentra a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra, es evidente que dicho cuerpo tiene una cierta cantidad de energía acumulada, ya que ha sido necesario realizar un trabajo para ubicarlo en esa posición por encima del nivel del suelo.Esa energía potencial latente, en estado de reposo, es posible que pueda ser recuperada, dejando caer el cuerpo para que regrese hacia su nivel anterior.Por lo tanto la energía potencial gravitacional tiene su origen en la fuerza de atracción de la gravedad que se genera en el cuerpo y a la altura que alcanza con respecto al nivel del suelo, por lo tanto su expresión matemática es:

Donde es el peso del cuerpo y h es la altura que alcanza el cuerpo. Podemos reemplazar el peso del cuerpo por el producto de su masa por la aceleración de la gravedad. En ambos casos llegamos a que las unidades de la energía potencial son las mismas unidades que las del trabajo mecánico.¿Por qué las unidades de la energía potencial y las del trabajo mecánico coinciden? Debido a que la energía potencial de un cuerpo es igual al trabajo que se requiere para trasladarlo hasta la misma altura que tenía , quedando almacenado como energía latente de posición. Si lo dejo caer hasta llegar al suelo, realizara el mismo trabajo que recibió, contra la superficie del planeta Tierra.Todo cuerpo ubicado sobre la superficie del planeta, NO POSEE Energía Potencial. Todo cuerpo ubicado por encima de la superficie del planeta, POSEE Energía

97

Potencial, pero esta energía no solamente depende de la altura que alcanza el cuerpo sino también del peso del cuerpo.

VARIACIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL

La variación de la Energía Potencial debe ser interpretada como una magnitud que

pasa de un estado inicial a una estado final . Es decir que el trabajo

realizado sobre un cuerpo, en algunos casos, se podrá obtener mediante la variación de su energía potencial. Su expresión matemática es:

Es importante entender que el trabajo que realiza la fuerza peso, no depende de la trayectoria seguida por el cuerpo sino, tan sólo, de la diferencia de nivel entre la posición inicial y la final.

ENERGÍA CINÉTICA

Esta clase de energía surge como consecuencia del movimiento de un cuerpo. Su expresión matemáticas es:

Donde m corresponde a la masa de un cuerpo y v a su velocidad. Por lo tanto cuando un cuerpo está en reposo su energía cinética o también llamada Fuerza Viva es nula.

VARIACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA

La variación de la Energía Cinética debe ser interpretada como una magnitud que

pasa de un estado inicial a una estado final . Es decir que el trabajo

realizado sobre un cuerpo, en algunos casos, se podrá obtener mediante la variación de su energía cinética. Su expresión matemática es:

Si un cuerpo se halla en reposo y una fuerza que actúa sobre él lo saca del reposo y durante un trayecto le hace adquirir una velocidad, la fuerza viva adquirida por el cuerpo (Energía Cinética) será igual al trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo a lo largo del camino.

TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS

La suma de los trabajos de las fuerzas exteriores que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es igual a la variación de la fuerza viva que al cuerpo o sistema de cuerpos le comunican.

98

ENERGÍA MECÁNICA

La energía mecánica es una clase de energía que poseen los cuerpos debido a su posición, deformación y a su movimiento. La cantidad total de energía que posee un cuerpo puede calcularse sumando las cantidades de cada una de las diferentes formas de energía que tiene.

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

Teniendo en cuenta que en un sistema cerrado, la energía mecánica no se gana ni se pierde, podemos decir que el aumento de energía cinética en un cuerpo o sistema se compensa con una disminución de energía potencial y recíprocamente, pero la suma de ambas es constante. Esta suma es la energía mecánica del cuerpo o sistema, que como expresamos, su valor no aumenta ni disminuye, se mantiene constante. LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN CUERPO O SISTEMA DE CUERPOS, MIENTRAS NO ACTÚEN FUERZAS EXTERIORES, PERMANECE CONSTANTE.

Si en cambio sobre el sistema actúan fuerzas exteriores que realizan trabajo, varía la energía mecánica y esa variación es igual al trabajo de las fuerzas. Su expresión matemática es:

Hemos llegado al término del cuadernillo, seguramente queda muy poco para terminar las clases, recuerda que aprender no es sólo cuestión de capacidad, sino de esfuerzo y voluntad..

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1) Calcular el valor de la energía cinética que posee un cuerpo que pesa 980 ,

cuya velocidad es de 36 , expresar el resultado en kgm, Joule y Ergio.

R.:

99

2) Supongamos que el cuerpo del problema anterior es un automóvil que al llegar al pie de una pendiente apaga el motor, el ángulo de la pendiente es de 30º, ¿qué distancia recorrerá por la pendiente y qué altura alcanzará? No se considera la fuerza de rozamiento.

R.: Teniendo en cuenta que , obtenemos h = 5,102 m y

3) Un cuerpo que pesa 19,6 , está en reposo. Sobre él actúa una fuerza de 10 durante 10s, calcular la energía cinética del cuerpo.

R.:

4) Sobre un cuerpo que pesa 100 y posee una energía cinética de 9.800 Joule,

actúa una fuerza de 30 durante 6 s, calcular la energía cinética final y las velocidades inicial y final del cuerpo.

R.:

5) Un cuerpo de 10 g animado de una velocidad de 40 , atraviesa un objeto de 5

cm. Al salir su velocidad es de 10 . ¿Qué fuerza se opuso a que el cuerpo

atravesara el objeto?R.:

6) Un cuerpo de 1.960 sube por un plano inclinado con una velocidad de 36 .

Sobre el cuerpo actúa una fuerza que en 100 m le hace adquirir una velocidad de 72

y lo hace subir 5m sobre el plano, calcular el valor de la fuerza.

R.:

7) Un cuerpo que posee una masa de 100 kg, cae desde una altura de 10 m. Calcular su energía potencial y cinética en los siguientes casos, a) al comenzar a caer, b) a 6 m del suelo y c) al llegar al suelo.R.: a) , b) , c)

8) Un cuerpo cae de 12 m de altura, su masa es de 10 U.T.M., calcular la energía potencial y cinética cuando se encuentran a 2 m sobre el suelo.

R.:

9) Sobre un cuerpo que se mueve horizontalmente con una velocidad constante se aplica una fuerza que realiza un trabajo de 3.000 kgm. El cuerpo posee una energía cinética inicial de 9800 Joule, ¿cuál es la energía cinética final?

R.:

10) Un automóvil se desplaza en línea recta con una velocidad de 72 . Al llegar a

una pendiente para su motor y llega a un nuevo camino llano 10 m más alto que el primero. ¿con qué velocidad llegó a ese nuevo camino?

100

R.:

11) Un cuerpo que pesa 25 se lo tira verticalmente hacia abajo con una velocidad

de 10 . Mientras cae se ejerce sobre él una fuerza hacia arriba igual a su peso,

calcular el valor de la energía cinética con la que llega al suelo.R.: A partir de la expresión , obtenemos que

12) Un cuerpo que pesa 20 desciende desde una altura de 10 m por un plano inclinado de 5 m de largo, venciendo una fuerza constante de 800 , paralela al plano. ¿Con qué velocidad llega al suelo si partió del reposo?

R.:

13) Un cuerpo que pesa 1.000 sube por un plano inclinado de 30º cuando se le aplica una fuerza paralela al plano. Calcular su valor cuando: a) la velocidad se

mantiene constante, b) en 20 m la velocidad pasa de 20 a 30 y c) en 20m la

velocidad disminuye de 30 a 20 .

R.: a) , b) , c)

Esto es todo, por ahora.

MODELOS DE EVALUACIÓN

Con éstos modelos de evaluación podrás tener una idea sobre como puede ser la evaluación que tendrás que enfrentar. No te confíes, practica mucho, repasa la teoría y cuando te sientas seguro, intenta resolver ésta evaluación.LOS MODELOS DE EVALUACIONES SON EJEMPLOS A TENER EN CUENTA SOBRE EL GRADO DE DIFICULTAD DE LAS EVALUACIONES ESCRITAS Y NOS PERMITE DETERMINAR EL TIEMPO QUE DEMANDA CADA ACTIVIDAD PLANTEADA DENTRO DE CADA EVALUACIÓN. TENER EN CUENTA QUE NO SE TOMARÁN LOS MISMOS EJERCICIOS O NO SIEMPRE SE DARÁN EN LAS EVALUACIONES, LAS MISMAS ACTIVIDADES PLANTEADAS EN LOS MODELOS.Cada evaluación esta planteada para resolverse en una hora reloj.

EVALUACIÓN DEL M.R.U.

1) Con la información obtenida en el siguiente gráfico, calcular si el móvil pasa por el punto de referencia y de ser así indicar el instante, calcular la distancia recorrida entre los 4s y 9 s. x(m)

101

66

0 3 22 t(s)

-271

-x(m)

2) Definir el concepto de movimiento. Dar un ejemplo para cada caso.

3) Un automóvil parte de -55 m , 4 s después de comenzado a controlar el tiempo.

Avanza en línea recta con una velocidad constante de 84 , recorriendo una

distancia de 169 m. Calcular la posición final, el tiempo empleado en pasar por el punto de referencia y graficar x(t) y v(t).

EVALUACIÓN DEL M.R.U.V.

1) Sabiendo que el móvil parte de 60m y con la información obtenida en el siguiente gráfico, calcular: a) el instante que pasa por el punto de referencia, b) la distancia recorrida en los últimos 5 s. Graficar x(t). 0 2 12 t(s)

-69

-v

R.: t = 11,68 s, 2) Un móvil parte de -55m, 3 s después de comenzado a controlar el tiempo, con una

velocidad de 95 . Se desplaza en línea recta con una aceleración constante de -

1,62 hasta detenerse. Calcular el instante que pasa por el punto de referencia y

graficar x(t) , v(t) y a(t).R.: t = 5,3 s, ,

3) Explicar que significa el signo positivo y el signo negativo de la aceleración.

EVALUACIÓN DE COMBINACIÓN DE MOVIMIENTOS

1) Un móvil parte de 55 m, 3 s después de comenzado a controlar el tiempo con una

velocidad constante de -66 , se desplaza en línea recta durante 6 s para luego

aplicar los frenos y detenerse al recorrer una distancia de -70 m. Permanece

detenido 5 s, a continuación avanza con una aceleración constante de 2,12

durante 11 s. Calcular a) el o los instantes en que el móvil pasa por el punto de referencia, b) la distancia recorrida entre los 7 s y los 24 s. Graficar x(t), v(t) y a(t).

102

2) Con la información obtenida en el siguiente gráfico calcular la distancia recorrida entre los 5 s y 12 s. Graficar x(t).

v

75

t(s) 0 4 9 21 35

-99

-v

EVALUACIÓN DE ENCUENTRO ENTRE MÓVILES

1) Un móvil parte de 50 m, un segundo después de comenzado a controlar el tiempo,

con una velocidad inicial de 10 y una aceleración constante de 0,8 . Un

segundo móvil parte de -100 m, 3 s después que parte el primero, desde el reposo

con una aceleración constante de 2,6 . Cuándo los móviles tienen una distancia de

separación de 100 m, mantienen constante la velocidad obtenida. Calcular la posición y tiempo de encuentro. Graficar x(t) y v(t) hasta 2 s después de producido el encuentro.

R.: , ,

, , ,

,

2) Un móvil se encuentra 60 m detrás de un semáforo, 2 s después de comenzado a

controlar el tiempo, avanza en línea recta con una velocidad constante de 82 . 3 s

después de comenzado a controlar el tiempo y 300 m delante del semáforo se encuentra un segundo móvil que se desplaza en la misma línea que el primero con

una velocidad constante de -56 . En el instante que se cruzan aplican los frenos y

se detienen. El primer móvil al recorrer 40 m y el segundo móvil en 4s. Calcular la distancia de separación de los móviles en el instante que se detienen.

R.: , , , ,

.

103

EVALUACIÓN DE CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

1) Desde una terraza de 5 m de altura, se tira verticalmente hacia arriba un cuerpo que sube hasta una altura máxima de 17 m. Un segundo después se dispara un segundo proyectil desde el fondo de un pozo de 3,22 m de profundidad y sube durante 1,96 s.a) Determinar si el segundo proyectil intercepta al primero, cuando el primero subeb) En caso contrario calcular si lo hace en la etapa de vuelta.c) Representar gráficamente h(t), v(t) y g(t) para las dos móviles hasta en instante en que llegan al suelo.

EVALUACIÓN DE MOVIMIENTO PARABÓLICO

1) Desde un pozo de 175 cm de profundidad se tira un cuerpo con un ángulo de elevación de 62º, recorriendo 2 m en forma horizontal, que es la longitud del pozo, en 0,3 s. Cuando cae llega hasta una torre de 3,5 m de altura. Calcular: a) la velocidad real con la que llega a la torre, b) el ángulo de inclinación del vector velocidad final, c) la distancia horizontal que va desde la salida del pozo a la base de la torre, d) los tiempos empleados en alanzar una altura de 4,96 m.

R.: a) , b) , c) , d)

EVALUACIÓN INTEGRADORA DE CINEMÁTICA

1) Desde una torre de 6 m de altura se dispara verticalmente hacia arriba un cuerpo que sube durante 1,2 s. Un segundo después de lanzado el primer cuerpo, desde un pozo de 3 m de profundidad, se dispara verticalmente hacia arriba un segundo cuerpo que alcanza una altura máxima de 10 m. Calcular e indicar si los cuerpos se cruzan, de ser así calcular la altura y el tiempo de encuentro. Graficar h(t), v(t) y g(t) hasta el instante en que los dos cuerpos llegan al suelo.

R.:

;

2) Un cuerpo se desplaza con M.C.U., describiendo un círculo cuyo radio es de 0,027 m, dando 40 vueltas en 3,15 s, calcular la velocidad tangencial, velocidad angular, aceleración centrípeta, frecuencia y período. Graficar todos los vectores.

R.:

3) Sabiendo que un móvil parte de 30 m y con la información obtenida del siguiente gráfico, calcular a) el o los instantes en que el móvil pasa por el punto de referencia, b) la distancia recorrida entre los 6 s y los 12,7 s.

90

104

0 3 7 16 t(s)

-40

4) Desde un pozo se dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 53º, demorando en salir del pozo 0,24 s. Sabiendo que en dicho período de tiempo recorre una distancia de 231 cm y que desde la salida del pozo a una distancia de 3 m, en forma horizontal, hay una pared de 2 m de altura, calcular si el proyectil pasa por encima de la pared o si choca contra ella. Calcular la profundidad del pozo y el ángulo de inclinación de la velocidad final cuando choca contra la pared o cuando llega al piso.

R.: El cuerpo pasa a 76 cm por encima de la pared. Profundidad del pozo = 2,78 m.

EVALUACIÓN INTEGRADORA DE DINÁMICA

1) Un cuerpo que parte del reposo, pesa 66.000.000 Dynas y se desplaza sobre un plano inclinado que tiene un ángulo de elevación de 33º, cuando se le aplica una fuerza que posee un ángulo de 27º, con respecto al plano inclinado. Sabiendo que el

cuerpo sube con una aceleración constante de 0,87 , recorriendo una distancia de

122 cm y que , calcular el valor de la fuerza aplicada, la velocidad final del cuerpo y el tiempo empleado en subir todo el plano inclinado que tiene una altura de 3,62 m.

2) Calcular la aceleración del sistema y las tensiones en la cuerda, sabiendo que

61º 54º

3) Enunciar el segundo principio de la Dinámica, dar un ejemplo y explicarlo.

105

4) Un pasajero que viaja en un ascensor está enganchado en un dinamómetro que marca un peso menor en un 55% al que indicaría si el ascensor estuviese detenido. Entonces, es posible que en ese momento el ascensor esté:a) subiendo cada vez más rápido, b) Subiendo cada vez más despacio, c) subiendo con velocidad constante, d) bajando cada vez más despacio, e) bajando con velocidad constante, f) bajando en caída libre.

5) Un cuerpo que pesa 889,7 N sube por un plano inclinado de 25º cuando se le aplica una fuerza paralela al plano. Calcular su valor cuando: a) la velocidad se

mantiene constante, b) en 7 m la velocidad pasa de 20 a 30 y c) en 9 m la

velocidad disminuye de 30 a 20 .

R.:

Esto es todo. Espero que te adaptes al nivel de trabajo planteado, para esto es muy importante que no te quedes con dudas, que realices en clase todos los trabajos planteados y fundamentalmente, que en tu casa estudies la teoría y resuelvas los problemas dados de tarea. Para cuando tengas un tiempo de descanso te dejo una frase para pensar:

Un sabio budista siempre decía que los accidentales nunca viven. “Es que corren constantemente, explicó a un grupo de estudiantes, aún cuando parecen estar descansando. La cabeza siempre corre, está adelante, en el momento siguiente, en lo que sucederá luego. De manera que nunca viven lo que viven. Cuando están en la playa y dicen que se dejan acariciar por el sol, en realidad la cabeza está en otro lugar”.“¿Y usted cómo vive?” Preguntaron los estudiantes. El sabio, tranquilo, les dijo:“Yo cuando como, como, y me concentro porque eso soy y en eso estoy y eso es ser yo. Cuando estudio, me concentro en lo que estoy estudiando, y nada más que en eso. Y cuando

106

juego, me dedico a jugar, y no como algo para pasar el tiempo y no aburrirme.El que vive lo que hace no se aburre nunca, porque alcanza la plenitud en todos los momentos de su vida”.

Profesor Marcelo Gauna

107

Cuadernillo de Física de 2º Naturales

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