Cuaderno de actividades. Matemáticas Aplicadas a las ... · Cuaderno de actividades. Matemáticas...

Cuaderno de actividades. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias

Sociales. 2o Bachillerato

Juan Carlos Marcos Sánchez IES Generalife. Granada

October 8, 2018

Índice general

1 Límites de Funciones. Continuidad 3

1.1 Límites de funciones I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Límites de funciones II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Continuidad. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Derivadas. Reglas de Derivación 11

2.1 Más ejercicios de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Estudio de la derivabilidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Aplicaciones de las derivadas 16

3.1 Selectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Selectividad 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Selectividad 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Selectividad 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Selectividad 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Selectividad 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Representación gráfica de funciones 31

5 Integración 33

6 Cálculo de Probabilidades 37

6.1 Sucesos. Álgebra de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.1 Cuadro síntesis de sucesos y operaciones con sucesos mediante diagramas de Venn . . . . . . . . 37

6.2 Ejercicios. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Ejercicios elementales de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4 Selectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.5 Selectividad 2013 (con soluciones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.6 Selectividad 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.7 Selectividad 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.8 Selectividad 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.9 Selectividad 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Muestreo 59

7.1 Ejercicios de Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 Distribución normal 60

8.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9 Intervalos de confianza para la media 61

1

10 Intervalos de confianza para una proporción 67

10.1 Muestreo e Inferencia. Selectividad 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.2 Muestreo e Inferencia. Selectividad 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11 Matrices 72

11.1 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.2 Selectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

12 Determinantes y Sistemas de Ecuaciones 88

12.1 Determinantes y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.2 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

12.3 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

12.4 Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

12.5 Ejercicios resueltos de sistemas dependientes de un parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13 Programación lineal bidimensional 96

13.1 Selectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

14 Anexos 102

14.1 Reglas de derivación. Primeras reglas básicas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

14.2 Derivadas de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

14.3 Tabla de la distribución normal estándar N (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2

TEMA 1

Límites de Funciones. Continuidad

1.1. Límites de funciones I

1. Calcula los siguientes límites de funciones reales de variable real:

(a) limx→3

5

(b) limx→−2

−3

5

(c) limx→0(x−3)

(d) limx→−1

(3− x)

(e) limx→0

(x2− x−1

)(f) lim

x→0

x−1

x+1

(g) limx→−2

2x−1

x−2

(h) limx→2

x−2

x+2

(i) limx→0

x+2

x

(j) limx→0

1− x

x2

(k) limx→0

1− x

x2

(l) limx→2

x+1

x−2

(m) limx→2

2

x2−4

(n) limx→−2

x−2

(x+2)2

(o) limx→1

2x−2

x2−1

(p) limx→−1

x2−1

2x2+2x

(q) limx→2

x2−2x

x2−4

(r) limx→−2

2x+4

x2−4

(s) limx→−1

x2−1

x2+ x

(t) limx→0

x2+2x

x

(u) limx→−3

x2−9

3x+9

(v) limx→3

x2−6x+9

2x−6

(w) limx→0

x2+2x

x3

(x) limx→−1

x2+ x

x2+2x+1

(y) limx→−2

x2+2x

(x+2)3

(z) limx→3

2x−6

x2−2x−3

(aa) limx→−1

x2+2x−1

x2+3x+2

(ab) limx→2

x−2

x2−3x+2

(ac) limx→1

x2+ x−2

x2−3x+2

(ad) limx→1

x2+ x−2

x2−2x+1

(ae) limx→−2

x2−4

x2+ x−2

(af) limx→−1

x+4

(x+1)2

(ag) limx→1

x−1

x3− x2− x+1

(ah) limx→2

x3+2x2−4x−8

x3+ x2−4x−4

(ai) limx→4

x−4

x2− x−12

(aj) limx→3

x3−3x2+9x−27

x2−9

(ak) limx→2

x3−4x

x2−3x+2

(al) limx→4

3x2−24x+48

x−4

(am) limx→1

2x3−14x2+12x

x3−10x2+27x−18

(an) limx→3

−1

2x−6

2. Calcula los siguientes límites de funciones reales de variable real.

(a) limx→2

√4x−7

(b) limx→0

√x+4

x+2

(c) limx→0

3

√3x+8

x−1

(d) limx→0

√x−3

x−1

(e) limx→4

√x−2

x−4

(f) limx→1

√x+3−3

x−3

(g) limx→3

√x+3−3

x−3

(h) limx→0

√x+16−4√x+9−3

(i) limx→7

2−√

x−3

x2−49

(j) limx→1

√2x−1−1

x2−1

(k) limx→2

4− x2

3−√

x2+5

(l) limx→0

√x

x

(m) limx→3

√x−√

3

x−3

(n) limx→3

√x−√

3

x2−9

(o) limx→3

√x+1−2

x2−2x−3

(p) limx→3

√x+6−3

x2−9

(q) limx→0

1−√

1− x

x

(r) limx→2

2− x2

√2x−2

(s) limx→4

2−√

x√2x+1−3

(t) limx→1

√5x+4−3

2−√

4x

(u) limx→0

√4+ x−

√4− x

4x

(v) limx→0

1−√

1− x2

x2

3

3. Calcula los siguientes límites en el infinito, de funciones reales de variable real.

(a) limx→+∞

5

(b) limx→+∞

(−3)

(c) limx→−∞

(1−2x)

(d) limx→+∞

(1−2x2)

(e) limx→+∞

(x2−2x)

(f) limx→+∞

(1− x3)

(g) limx→−∞

(x2− x3

)(h) lim

x→+∞

(−2x+3x3

)(i) lim

x→+∞(4x3−5x2−7)

(j) limx→−∞

(−3x2− x+4

)(k) lim

x→+∞

x2−1

x+2

(l) limx→+∞

x2− x

1− x

(m) limx→+∞

1

1− x2

(n) limx→−∞

2x2−5

1−3x

(o) limx→+∞

2x+2

x2−2

(p) limx→−∞

2x2−1

3x2+2

(q) limx→+∞

x3

2x−1

(r) limx→+∞

2x+1

1−4x

(s) limx→−∞

2

2+ x2

(t) limx→+∞

1− x

1−2x

(u) limx→+∞

2x+2

2x−1

(v) limx→+∞

x2−1

x2− x3

(w) limx→−∞

1−2x2

1− x

(x) limx→+∞

1−3x2

1−2x2

(y) limx→+∞

3x2+1

(2− x)3

(z) limx→−∞

2− x3

x2−1

(aa) limx→+∞

3x

5+3x

(ab) limx→−∞

3x

5+3x

(ac) limx→+∞

1

(1− x)3

(ad) limx→−∞

3− x3

x2

(ae) limx→+∞

3x2+3x

x2−1

(af) limx→+∞

−3x3+4x2− x−1

4x3+6x2−4x+2

(ag) limx→−∞

−3x3+4x2− x−1

4x3+6x2−4x+2

(ah) limx→+∞

−3x2−1

4x3+6x2−4x+2

(ai) limx→+∞

5x5−6x3+ x−7

4x3+2x2− x+1

(aj) limx→−∞

8x2−5x+3

4x2+4x+5

4. Calcula los siguientes límites en el infinito de funciones reales de variable real:

(a) limx→+∞

(√x2−3x− x

)(b) lim

x→+∞

(√4x2−3x+7−2x

)(c) lim

x→+∞

(√x2+ x− x

)(d) lim

x→+∞

√3x2+2x+1

2x+7

(e) limx→+∞

(2x−

√4x2−4x+1

)(f) lim

x→+∞

(√4x2+2x−

√4x2−3

)(g) lim

x→+∞

(√x2−2x+1−

√x2−2x+4

)(h) lim

x→+∞

(√2x2− x+3−

√x2+ x+2

)Soluciones

1. (a) 5; (b) −35

; (c) −3; (d) 4; (e) −1; (f) −1; (g) 54; (h) 0; (i) @; (j) +∞; (k) +∞; (l) @; (m) @; (n) −∞; (o) 1; (p) 1; (q) 1

2;

(r) − 12; (s) 2; (t) 2; (u) −2; (v) 0; (w) +∞; (x) @; (y) −∞; (z) 1

2; (aa) @; (ab) 1; (ac) −3; (ad) @; (ae) 4

3; (af) +∞; (ag) @;

(ah) 43; (ai) 1

7; (aj) 3; (ak) 8; (al) 0; (am) −1; (an) @.

2. (a) 1; (b) 1; (c) −2; (d) 3; (e) 14; (f) 1

2; (g) @; (h) 3

4; (i) − 1

56; (j) 1

2; (k) 6; (l) @; (m)

√3

6; (n)

√3

36; (o) 1

16; (p) 1

36; (q) 1

2; (r)

@; (s) − 34; (t) − 5

6; (u) 1

8; (v) 1

2.

3. (a) 5; (b) −3; (c) +∞; (d) −∞; (e) +∞; (f) −∞; (g) +∞; (h) +∞; (i) +∞; (j) −∞; (k) +∞; (l) −∞; (m) 0; (n) +∞; (o)

0; (p) 23; (q) +∞; (r) − 1

2; (s) 0; (t) 1

2; (u) 1; (v) 0; (w) −∞; (x) 3

2; (y) 0; (z) +∞; (aa) 1; (ab) 1; (ac) 0; (ad) +∞; (ae) 3; (af)

− 34; (ag) − 3

4; (ah) 0; (ai) +∞; (aj) 2.

4. (a) − 32; (b) − 3

4; (c) 1

2; (d)

√3

2; (e) 1; (f) 1

2; (g) 0; (h) +∞.

4

1.2. Límites de funciones II

1. Calcular los siguientes límites de funciones polinómicas:

(a) limx→+∞

(x2−5x+7)

(b) limx→+∞

(−x2+7x+5)

(c) limx→+∞

(x3+9x2+6)

(d) limx→+∞

(−3x3+5x2−2x+4

)(e) lim

x→+∞

(3x5+2x−8

)(f) lim

x→+∞(−9x+3)

2. Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas:

(a) limx→−∞

(x2−5x+7

)(b) lim

x→−∞

(−x2+7x+5

)(c) lim

x→−∞

(x3+9x2+6

)(d) lim

x→−∞

(−3x3+5x2−2x+4

)(e) lim

x→−∞

(3x5+2x−8

)(f) lim

x→−∞(−9x+3)

3. Calcula los límites, si existen, de las funciones racionales siguientes:

(a) limx→1

x2+1

x+1

(b) limx→1

x−1

x+1

(c) limx→4

2x2+3

x+2

(d) limx→6

x−1

x+1

(e) limx→1

1

x−1

(f) limx→−1

x+1

x2+1

(g) limx→3

2x−2

x−3

(h) limx→4

x2−4x

x−4

(i) limx→1

x3−1

x2−1

(j) limx→1

x4−1

x2−1

(k) limx→2

x2− x−2

x2−4x+4

(l) limx→2

x2−6x+8

x3−7x2+16x−12

(m) limx→−1

x2+2x+1

x3+3x2+3x+1

4. Calcula los siguientes límites de funciones racionales:

(a) limx→+∞

x2−6x+8

x2−2

(b) limx→+∞

x4−1

x2−1

(c) limx→+∞

2x3− x2+ x−2

x5−3x+1

(d) limx→+∞

−5x3− x2+ x−2

x2−3x+1

(e) limx→+∞

3x2− x2+ x+8

−4x2+2x+6

(f) limx→+∞

8x3−9x2+5x−7

−3x5−9x+3

5. Calcula los siguientes límites de funciones racionales:

(a) limx→−∞

x2−6x+8

x2−2

(b) limx→−∞

x4−1

x2−1

(c) limx→−∞

2x3− x2+ x−2

x5−3x+1

(d) limx→−∞

−5x3− x2+ x−2

x2−3x+1

(e) limx→−∞

3x2− x2+ x+8

−4x2+2x+6

(f) limx→−∞

8x3−9x2+5x−7

−3x5−9x+3

6. Calcula los límites de funciones irracionales siguientes:

(a) limx→3

√x+1−2

x−3

(b) limx→0

x

1−√

x+1

(c) limx→0

√x+9−3√x+16−4

(d) limx→+∞

(√x2+1−

√x2−1

)

5

1.3. Límites laterales

1. Dada la función f (x) =

x2−1

x2−2x+1si x< 1

x2+3 si x> 1

, se pide:

(a) Su dominio,

(b) limx→1−

f (x),

(c) limx→1+

f (x),

(d) limx→3

f (x),

(e) limx→5

f (x).

(f) ¿Existe limx→1

f (x)? ¿Por qué?

2. Sea g(x) =

x2+3x+2 si x6 1

2x+4 si 1< x6 3

x2+3 si x> 3

. Calcula Dom(g) y el valor de los siguientes límites:

(a) limx→1

g(x), (b) limx→3

g(x), (c) limx→−5

g(x).

3. Sea h(x) =

e3x si x6 0

ln(1+ x) si 0< x< e−1

x+1

xsi x> e−1

. Calcula Dom(h) y el valor de los siguientes límites:

(a) limx→0

h(x), (b) limx→e−1

h(x), (c) limx→1

h(x), (d) limx→− 1

3

h(x).

4. Sea f (x) =

2

x−2si x6 3

6

xsi 3< x6 5

3x

x−5si x> 5

. Se pide:

(a) Dom( f ), (b) limx→0

f (x), (c) limx→3

f (x), (d) limx→5

f (x), (e) limx→2

f (x).

En este caso, representa gráficamente también la función f .

5. Consideremos la función:

g(x) =

{3x si x 6= 0

4x−3 si x= 0.

Calcula Dom(g) y limx→0

g(x). ¿Son necesarios los límites laterales para determinar si existe el límite solicitado?

Justifica tu respuesta.

1.4. Continuidad

1. Dada la función f (x) =x2−5x+6

x−2,

(a) Hallar los puntos de discontinuidad.

(b) Si existe alguno, hallar los límites laterales y el salto de discontinuidad.

(c) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda la recta real.

2. Dada la función f (x) =x2− x−2

x2−4x+4,




3. Dada la función f (x) =1

x2−4,

6




4. Dada la función f (x) =x−1

x2−1,




5. Dada la función f (x) =x2−9

x2−5x+6, extiende la función a otra función f que sea continua en x= 3.

6. Dada la función f (x) =x

1−√

x+1,




7. Dada la función f (x) =

√x−1

x−1,




8. Dadas las funciones f (x) =

√1− x−

√1+ x

x, g(x) =

√x+9−3√x+16−4

, se pide:

(a) Indica el dominio y los puntos de discontinuidad de dichas funciones.

(b) Si existe algún punto de discontinuidad, halla los límites laterales y los saltos de discontinuidad, respectiva-

mente.

(c) Determina si se puede completar el dominio de las funciones de modo que sean continuas en toda la recta real.

9. Estudia la continuidad de la función:

f (x) =

{x+1 si x> 0

x−1 si x< 0

10. Dada la función

f (x) =

0 si x< 0

x2 si 0< x< 2

x si 26 x

,

represéntala y estudia la continuidad en todo su dominio.

11. Estudia la continuidad de las funciones:

(a) f (x) =

x2−1 si x6 0

−x2−1 si 0< x< 2

−8 si 2< x

(b) f (x) =

x2 si 0< x< 1

0 si 16 x< 2

x−1 si 26 x< 3

(c) f (x) =

ex

ex+1si x6 0

x2+1 si x> 0

(d) f (x) =

{−x si x6 0

lnx si x> 0

(e) f (x) = 2 · e−x

(f) f (x) = log(x2−1

)(g) f (x) = 3

x+1x

(h) f (x) = ln(3x)

(i) f (x) =4− x2

3−√

x2+5

(j) f (x) =

{ |x−2|x−2

si x 6= 2

0 si x= 2

7

12. Dada la función:

f (x) =

{x2 si x6 a

a+2 si x> a,

estudia la continuidad de la función según los valores de a.


f (x) =

{3−ax2 si x6 12ax

si x> 1,

¿para qué valores del parámetro a es continua?


f (x) =

{lnx si 0< x6 1

ax2+b si 1< x,

determinar los valores a y b para que dicha función sea continua y además sea f (2) = 3. Escribe la función

resultante.

15. Halla el valor (o valores) del parámetro a para que la función

f (x) =

{ex si x< 1

(a2+2a)x+ e si x> 1

sea continua en el punto x= 1.


f (x) =

−x si x< 0

3x+b si 06 x< 2

ax2 si x> 2

,

calcula los valores a y b para que f sea continua en todos sus puntos.


f (x) =|x−2||x−1| −1,

represéntala gráficamente, estudiando su continuidad.

18. Idem para la función

f (x) =x2−4

|x−2| .

19. Dibuja la gráfica y escribe la ecuación de una función real que cumpla lo siguiente:

(a) Sea continua en todos los puntos.

(b) Sea lineal si x<−3.

(c) Sea cuadrática en el intervalo [−3,3].

(d) Tienda a 0 cuando x→+∞.

20. Obtén la expresión y dibuja la gráfica de una función y= f (x) continua que cumpla las siguientes condiciones:

(a) Pasa por el punto (0,2).

(b) En el intervalo [0,5], cada vez que x aumenta su valor en una unidad, y aumenta su valor en una cantidad

constante c.

(c) Para x= 5, y= 12.

(d) En el intervalo [5,10], cada vez que x aumenta su valor en dos unidades, y disminuye el suyo en tres.

(e) Razona todos los pasos realizados.

21. Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad del producto cobra la cantidad de 5 €. No

obstante, si se le encargan más de 10 unidades, decide disminuir el precio por unidad, y por cada x unidades cobra

la siguiente cantidad:

c(x) =

{5x si 0< x6 10√

ax2+500 si x> 10.

Se pide (supuesto que se amplía la función c(x) para todo número real positivo):

8

(a) Halla a para que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran.

(b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades?

22. Una empresa dedicada a montajes en cadena ha determinado que el número de montajes realizados por un trabajador

sin experiencia depende de los días de entrenamiento, de acuerdo con la función

M(t) =30t

t+4,

donde t es el tiempo en días.

(a) ¿Cuántos montajes realizará el primer día? ¿Y el décimo?

(b) Justifica que el número de montajes crece al mismo tiempo que los días de entrenamiento.

(c) ¿Qué ocurriría, con el número de montajes, si nunca acabara el entrenamiento? Justifícalo.

23. Representa y estudia la continuidad de las funciones:

(a) f (x) =

−x si x6 1

− 1x

si 1< x6 3

1 si x> 3

(b) f (x) =

−1 si −86 x<−4

x+2 si −46 x< 28x

si x> 2

(c) f (x) =

{ −x si |x|> 2

− x3

3si |x|6 2

(d) f (x) =

x si x6 1

3 si 1< x< 2∣∣x2−1∣∣ si x> 2

.

1.5. Continuidad. Problemas

1. Los ingresos de una empresa, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por la función:

f (x) =

√

x si 06 x6 9

4x−30

x−7si x> 9

donde x viene dado en años, y f (x) en millones de euros.

(a) ¿Es continua la función f (x)?

(b) ¿Qué interpretación podemos dar respecto de los ingresos de la empresa, según lo obtenido en el apartado

anterior?

2. La población de un estado en el siglo XX puede describirse mediante la función:

f (t) =

t−2 si 06 t 6 42

580−10x

4si 42< t 6 50

1000−2t2

100−10tsi 50< t 6 99

donde t es el tiempo transcurrido en años (contado desde 1900) y f (t) es el número de habitantes de la población,

en miles de personas.

(a) Determina el dominio y estudia la continuidad de la función.

(b) Calcula en qué años había 10000 habitantes en la localidad.

(c) ¿Existe algún punto de discontinuidad de f ? ¿Cómo se puede interpretar esta discontinuidad en el contexto

de la población y del siglo representado?

3. Una determinada especie evoluciona según la función: f (t) = 3+2−t , donde t es el número de años y f (t) son los

millones de unidades existentes. Dibuja la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: ¿la especie está

en vías de extinción? Para comprobarlo, calcula el límite cuando t→+∞ y representa la asíntota horizontal.

4. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función:

P(t) =t2+500t+2500

(t+50)2

donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo, y P(t) es el número de habitantes en millones.

9

(a) ¿Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial?

(b) ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años?

(c) Con el paso del tiempo, ¿hacia qué población se estabilizará?

(d) Representa la función aproximadamente y la asíntota horizontal.

5. Una determinada especie evoluciona según la función f (t) = 5+2−t , donde t es el número de años y f (t) son los

millones de unidades existentes. Representa la gráfica y determina si la especie está en vías de extinción.

6. Una determinada especie evoluciona según la función f (t) =2

t, t > 0, donde t es el número de años y f (t) son los

millones de unidades existentes. Representa la gráfica y determina si la especie está en vías de extinción.

7. Una entidad financiera paga un tanto por ciento en función del dinero depositado, definido por:

R(x) =6x+8000

x+10000,

donde x es la cantidad de dinero depositado en euros, y R(x), el valor del tanto por ciento. ¿Hacia qué valor se

estabilizará el tanto por ciento cuando se deposite una cantidad muy grande?

8. Los beneficios o pérdidas de una empresa vienen dados por la función:

f (x) =5x2−20

x2+4,

donde x es el número de años que lleva funcionando, y f (x) son los millones de euros.

(a) Halla los beneficios o las pérdidas en el primer, segundo y tercer años.

(b) ¿Hacia qué valor se estabilizan las ganancias o pérdidas con el paso del tiempo?

9. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función:

P(t) =t2+500t+2500

(t+50)2

donde t es el número de años desde que se hace el censo, y P(t) es el número de habitantes en millones.

(a) ¿Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial?

(b) ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años?

(c) Con el paso del tiempo, ¿hacia qué población se estabilizará?

10. Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función:

f (x) =

0,4x+ k si 06 x6 1000

2000x

x+3000si x> 1000

donde x son los ingresos de la familia en euros.

(a) Halla el valor de k para que los gastos sean continuos; es decir, no haya salto en x= 1000 €.

(b) ¿Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimentación de las familias con la renta más alta?

11. Rocío comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de ordenadores que

monta, en función del tiempo, viene dada por:

f (t) =6t

t+5,

donde t es el número de días que lleva trabajando, y f (t), el número de ordenadores que monta.

(a) ¿Cuántos ordenadores monta el primer día?

(b) ¿Cuántos ordenadores monta el quinto día?

(c) ¿Cuántos ordenadores monta el décimo día?

(d) ¿Qué día montará 5 ordenadores?

(e) ¿Puede llegar a montar algún día 7 ordenadores?

(f) ¿A qué número tenderá cuando lleve mucho tiempo trabajando?

10

TEMA 2

Derivadas. Reglas de Derivación

1. Calcula la derivada en x = 2 de la función f (x) = x2, utilizando la definición de derivada como límite del cociente

incremental o tasa de variación media.

2. Utiliza las reglas de derivación para obtener la función derivada de cada una de las siguientes funciones reales de

variable real:

(a) f (x) =1

x2

(b) f (x) =1

xn, n ∈ N

(c) f (x) =1√x

(d) f (x) =3√

x2

(e) f (x) = x7√

x2

(f) f (x) = 5x3−8x2+6

(g) f (x) =√

5x2−πx+√

2

(h) f (x) =1

x−1

(i) f (x) =−x

x+1

(j) f (x) =√

2x−3

(k) f (x) =

√(2x−3)7

(l) f (x) = (2√

x−3)7

(m) f (x) =(x−√

1−2x)3

(n) f (x) =2x−2

2x−3

(o) f (x) =x3+3x+2

x2−1

(p) f (x) =x+1√

x

(q) f (x) = 3√

x(√

x+3)

(r) f (x) =x2− x−3

x2+1

(x2+ x+1

)(s) f (x) =

(x2− x

)(x2+1

)(x2+ x+1

)(t) f (x) =

x(x2−1

)x+3

(u) f (x) =4x

32

x

(v) f (x) =c2− x2

c2+ x2, c= cte.


variable real:

(a) f (x) = ln(2x+1)

(b) f (x) = ln[(x2−1)3

](c) f (x) =

lnx

x

(d) f (x) = x lnx

(e) f (x) = e4x

(f) f (x) = x3ex

(g) f (x) = 4√

ln(x2−3x)

(h) f (x) = ln√

x−2

(i) f (x) = log2

(3x2)

(j) f (x) = ex2−2x

(k) f (x) = 3ex2−3x+2x3+4x

(l) f (x) = x4 · e3x

(m) f (x) =1

ln√

x

(n) f (x) =ex+ lnx

x2−4x


variable real (todos corresponden a ejercicios reales de selectividad):

(a) f (x) =2x+ x2

x

(b) f (x) =e3x

1+ x2

(c) f (x) = ln{

x(1+3x2

)}(d) f (x) = 25x+

1

x2

(e) f (x) =(x2+1

)2 · ln(e3x+4

)(f) f (x) =

1

3x− 5

x2−2

(g) f (x) =e−2x

(−x2+2)2

(h) f (x) =

(2−5x

3

)2

+1−2x

x2

(i) f (x) = (3x+2)2 · ln(1+ x2

)(j) f (x) =

(2x2−3

)3

(k) f (x) =lnx

x

(l) f (x) = x · e3x

11

(m) f (x) = (2x+1)3

(n) f (x) =x−1

2x

(o) f (x) = (3x+1)3 · ln(x2+1

)(p) f (x) =

ex

7x5−4

(q) f (x) =(x3+1

)· e7x

(r) f (x) = 3x · lnx

(s) f (x) =(x2+1

)·(x5−6x

)6

(t) f (x) =(x+1)2

x2−2

(u) f (x) =3x−1

x−(5x− x2

)2

(v) f (x) =(x2−1

)· lnx

(w) f (x) = 25x

(x) f (x) =(x3−6x

)·(x2+1

)3

(y) f (x) = (x+1) · e2x+1

(z) f (x) = e1−x+ ln(x+2)

2.1. Más ejercicios de derivadas

1. Sea f (x)=x2−1

2.Halla la tasa de variación media en el intervalo [0,2] e indica si f crece o decrece en ese intervalo.

Halla también la TVM en el intervalo [−2,1] y estudia qué se puede afimar respecto de si f crece o decrece en este

nuevo intervalo.

2. Calcula, utilizando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se detallan:

(a) f (x) = x2+2x en x= 1.

(b) f (x) =2x+1

4en x= 2.

(c) f (x) =3

xen x=−2.

(d) f (x) =3x+1

2en x=−1.

(e) f (x) = 3x2+2x en x= 0.

(f) f (x) =x2

3en x= 1.

3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones (ejercicios básicos):

(a) f (x) = 5

(b) f (x) = x

(c) f (x) = 3x

(d) f (x) = x5

(e) f (x) = 3x6

(f) f (x) =3

5x10

(g) f (x) =3x2

4

(h) f (x) = 2x4−3x3+ x2−7

(i) f (x) =1

x4

(j) f (x) = 5

(1

x3+ x−2

)(k) f (x) = 6x3+5x2−1

(l) f (x) =1

5x5+

2

3x3−8x

(m) f (x) =1

x2+ x−3+2x−1

(n) f (x) = 2

(1

x2+

1

x4

)(o) f (x) =

1

x5− 1

x3

(p) f (x) =x3

3+ x− 1

x

(q) f (x) =(x2−1

)·(x3+3x

)(r) f (x) =

x2−1

x3+3x

(s) f (x) =x2−1

x+4

(t) f (x) =x2− x+3

5

(u) f (x) = x2− 1

x3+

4− x

x

(v) f (x) =(x3+1

)· (x+2)

(w) f (x) =(x3+2

)· x2

(x) f (x) =2

x3+2

(y) f (x) =x3−3

5

(z) f (x) =2

3x2+1

(aa) f (x) =1

1−3x3

(ab) f (x) =x2−2

x3+3x2

(ac) f (x) =x3

x−3

(ad) f (x) =(3x3−2x+7

)7

(ae) f (x) = 3(x2− x+1

)3

(af) f (x) =(2x4−4x2−3

)5

(ag) f (x) =(2x3+ x

)4

(ah) f (x) = 5(x3−4x

)4

(ai) f (x) =

(x4−5x

)2

(x3−3x)5

(aj) f (x) =(x3−2x

)3 ·(2x4− x2

)2

(ak) f (x) =

(x3−2x

)3

(2x4− x2)2

(al) f (x) = 3√

x

(am) f (x) =1− x√1− x2

(an) f (x) =

√1− x

1+ x

(ao) f (x) =

√x+2

3

(ap) f (x) = 3√

x2−1

(aq) f (x) = 5√

x3−7x

(ar) f (x) =

√x+3

x−1

(as) f (x) = 5x3+ 3√

x+1

(at) f (x) = x2 · 3√

x

(au) f (x) =x3

√x

(av) f (x) =1

3√

x2

(aw) f (x) = 5 ·(x3−2x2+ x4

)4

(ax) f (x) =4−6x

(2x4−3)6

(ay) f (x) = e√

x

12

(az) f (x) =1

e2x

(ba) f (x) = x2 · e3x

(bb) f (x) =x

ex

(bc) f (x) =ex+ e−x

2

(bd) f (x) =x2− x

ex

(be) f (x) = log3 x

(bf) f (x) = log2 x3

(bg) f (x) = logx

(bh) f (x) = ln(x2−1)

(bi) f (x) = log2

√x2−1

x+1

(bj) f (x) = lne3x

√x

(bk) f (x) = log

√x

1− x2

(bl) f (x) =lnx

x5

(bm) f (x) = ln[x3 · (x+2)

]

(bn) f (x) = ln3√

1+ x2

(bo) f (x) = ln

√1− x

1+ x

(bp) f (x) = lnx2+3

2x−1

(bq) f (x) = (logx+1) ·√

x2+1

(br) f (x) =

1

ln

(1

x

)

3

4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones reales de variable real:

(a) f (x) = 3x5−4x3+3x+7

(b) f (x) =3x4

4− 5x3

3+

9x2

2+5x−15

(c) f (x) =x2−3x+7

5

(d) f (x) =(3x3−5x+1

)·(x+ x2

)(e) f (x) =

2

x2+2x

(f) f (x) =x3

3x+2

(g) f (x) =

(3x−2

7−9x

)2

(h) f (x) =2

x5+√

3

(i) f (x) =√

12x+ e2x+1+ log2 3x

(j) f (x) = (3x−1)2 · (1−4x)

(k) f (x) =x5√

x

x−3 · (x2)5

(l) f (x) =(3x3−5x+2

)4

(m) f (x) =(3x2− x

)−4

(n) f (x) =√

3x2−√

5x

(o) f (x) =√

1− x2

(p) f (x) =

(x+3

x−1

)3

(q) f (x) = (2x−4)4+2 ·√

x2−1

(r) f (x) =

√x+1

x2

(s) f (x) =

√x2−3

x

(t) f (x) = ln(x2+2x

)+ e−x

(u) f (x) = log3 x+3x

(v) f (x) = e√

x+3

(w) f (x) = 3√

ln(3x+5)

(x) f (x) =ex− e−x

2

(y) f (x) =x · ln(1+ ex)

ex

(z) f (x) = ln(ln(lnx))

Solucionario de derivadas

Ejercicio 1. TVM( f , [0,2]) = 1. La función crece en [0,2]. TVM( f , [−2,1]) =− 12. No se puede afirmar que decrezca en

ese intervalo, aunque la tasa sea negativa (de hecho no lo hace en todo el intervalo).

Ejercicio 2. (a) f ′(1) = 4; (b) f ′(2) = 12; (c) f ′(−2) =− 3

4; (d) f ′(−1) = 3

2; (e) f ′(0) = 2; (f) f ′(1) = 2

3.

Ejercicio 3. (a) f ′(x) = 0; (b) f ′(x) = 1; (c) f ′(x) = 3; (d) f ′(x) = 5x4; (e) f ′(x) = 18x5; (f) f ′(x) = 6x9; (g) f ′(x) =3

2x;

(h) f ′(x) = 8x3− 9x2+ 2x; (i) f ′(x) = − 4

x5; (j) f ′(x) = −10x+15

x4; (k) f ′(x) = 18x2+ 10x; (l) f ′(x) = x4+ 2x2− 8;

(m) f ′(x) = −2x2+2x+3

x4; (n) f ′(x) = −4x2+8

x5; (o) f ′(x) = −3x2+5

x6; (p) f ′(x) =

x4+ x2+1

x2; (q) f ′(x) = 5x4+

6x2− 3; (r) f ′(x) = −x4+6x2+3

(x3+3x)2; (s) f ′(x) =

x2+8x+1

(x+4)2; (t) f ′(x) =

2x−1

5; (u) f ′(x) =

2x5−4x2+3

x4; (v) f ′(x) =

4x3+ 6x2+ 1; (w) f ′(x) = 5x4+ 4x; (x) f ′(x) = − 6x2

(x3+2)2; (y) f ′(x) =

3

5x2; (z) f ′(x) = − 12x

(3x2+1)2; (aa) f ′(x) =

9x2

(3x3−1)2; (ab) f ′(x) =

−x4+6x2+12x

(x3+3x2)2; (ac) f ′(x) =

2x3−9x2

(x−3)2; (ad) f ′(x) = 7

(9x2−2

)(3x3−2x+7

); (ae) f ′(x) =

13

9(2x−1)(x2− x+1

)2; (af) f ′(x) = 40x

(x2−1

)(2x4−4x2−3

)4; (ag) f ′(x) = 4(6x+1)

(2x3+ x

)3;

(ah) f ′(x) = 20x3(x2−4

)3 (3x2−4

);

(ai) f ′(x) =

(x4−5x

)[2(4x3−5

)(x3−3x

)−5(x4−5x

)(3x2−3

)](x3−3x)6

= ...;

(aj) f ′(x) =(x3−2x

)2 (2x4− x2

)[34x6−57x4+14x2

];

(ak) f ′(x) =

(x3−2x

)2 [3(3x2−2x

)−2(x3−2x

)(8x3−2x

)](2x4− x2)3

= ...; (al) f ′(x) =1

33√

x2; (am) f ′(x) =

x−1

(1− x2)√

1− x2;

(an) f ′(x) =1

(x+1)2√

1−x1+x

; (ao) f ′(x) =

√3

6√

x+2; (ap) f ′(x) =

2x

33

√(x2−1)2

; (aq) f ′(x) =3x2−7

55

√(x3−7x)4

; (ar) f ′(x) =

−2

(x−1)2√

x+3x−1

; (as) f ′(x) = 15x2+1

33√

x2; (at) f ′(x) =

7

3x · 3√

x; (au) f ′(x) =5x√

x

2; (av) f ′(x) =

−2

3x · 3√

x2;

(aw) f ′(x) = 20(4x3+3x2−4x

)(x4+ x3−2x2

)3; (ax) f ′(x) =

6(46x4−32x3+3

)(2x4−3)7

; (ay) f ′(x) =e√

x

2√

x; (az) f ′(x) =

−2

e2x;

(ba) f ′(x) = xe3x (3x+2) ; (bb) f ′(x) =1− x

ex; (bc) f ′(x) =

ex− e−x

2; (bd) f ′(x) =

−x2+3x−1

ex; (be) f ′(x) =

1

x ln3; (bf)

f ′(x) =3

x ln2; (bg) f ′(x) =

1

x ln10; (bh) f ′(x) =

2x

x2−1; (bi) f ′(x) =

1

(x2−1) ln2; (bj) f ′(x) =

6x−1

2x; (bk) f ′(x) =

1+ x2

2ln10(x− x3); (bl) f ′(x) =

1−5lnx

x6; (bm) f ′(x) =

4x+6

x2+2x; (bn) f ′(x) =

2x

3(1+ x2); (bo) f ′(x) =

−1

1− x2; (bp) f ′(x) =

2x2−2x−6

2x3− x2+6x−3; (bq) f ′(x) =

√x2+1

x ln10+

x(logx+1)√x2+1

; (br) f ′(x) =3

x[ln(

1x

)]4 .Ejercicio 4. (a) f ′(x) = 15x4−12x2+3; (b) f ′(x) = 3x3−5x2+9x+5; (c) f ′(x) =

2x−3

5;

(d) f ′(x) =(9x2−5

)(x+ x2

)+(3x3−5x+1

)(2x+1) = 15x4+12x3−15x2−8x+1;

(e) f ′(x) =−4x−4

(x2+2x)2; (f) f ′(x) =

6x2 (x+1)

(3x+2)2; (g) f ′(x) =

−18x+12

(9x−7)3; (h) f ′(x) = −10

x6; (i) f ′(x) =

√3x

x+ 2e2x+1+

1

x ln2; (j) f ′(x) =−108x2+66x−10; (k) f ′(x) =

−3

2√

x5; (l) f ′(x) = 4

(9x2−5

)(3x3−5x+2

)3;

(m) f ′(x) = −4(6x−1)(3x2− x

)−5; (n) f ′(x) =

12x√

5x−5

4√

3x2√

5x−5x; (o) f ′(x) =

−x√1− x2

; (p) f ′(x) =−12(x+3)2

(x−1)4; (q)

f ′(x) = 8(2x− 4)3 +2x√

x2−1; (r) f ′(x) =

−x−2

2x3

√x+1x2

; (s) f ′(x) =3

x2√

x2−3; (t) f ′(x) =

2x+2

x2+2x− e−x; (u) f ′(x) =

1

x ln3+3x ln3; (v) f ′(x) =

1

2√

x+3e√

x+3; (w) f ′(x) =1

(3x+5)3

√[ln(3x+5)]2

; (x) f ′(x) =ex+ e−x

2;

(y) f ′(x) =(1− x)(1+ ex) ln(1+ ex)+ xex

ex (1+ ex); (z) f ′(x) =

1

x lnx · ln(lnx).

2.2. Estudio de la derivabilidad de una función

1. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones (selectividad):

(a) f (x) =

− 2

x+2si x6 0

2

x−2si x> 0

(b) f (x) =

−x+4 si x< 2

4

xsi 26 x< 4

x2−4x+1 si x> 4

(c) f (x) =

x2

2si x6 0

x3−4x2 si 0< x6 4

1− 4

xsi x> 4

(d) f (x) =

1−2x si x6 0

1

x+1si x> 0

(e) f (x) =

x2+ x si x< 0

x

x+1si x> 0

14

(f) f (x) =

3x si x6 1

x2−6x+8 si x> 1

(g) f (x) =

−x+1 si x< 1

x−1 si x> 1

(h) f (x) =

e−x si x6 0

x3− x+1 si x> 0

(i) f (x) =

2x

x−1si x< 2

2x2−10x si x> 2

(j) f (x) =

e−x si x6 0

x2+ x+1 si x> 0

(k) f (x) =

2x−3

x+1si x6 0

x2+2x−3 si x> 0

(l) f (x) =

2x2−8x+6 si x6 1

−2x2+8x−6 si x> 1

(m) f (x) =

x

2x−1si x6 0

x2+ x si x> 0

2. Sea la función

f (x) =

x− k

x+1si x> 0

x2+2x+1 si x6 0

Calcula el valor de k para que la función f sea continua en x= 0. Para ese valor de k, ¿es f derivable en x= 0?

3. Sea la función

f (x) =

2x2−3x+a si x6 0

x2+bx+1 si x> 0

Halla a y b para que la función f sea continua y derivable.

4. Sea la función

f (x) =

x2+4 si x6 1

ax+b si x> 1

Calcula a y b, sabiendo que f es continua y derivable en x= 1.

5. Sea la función

f (x) =

1−2x2 si x6 1

x2−2ax+3 si 1< x6 3

−x2+8x−15 si x> 3

Calcula el valor de a para que f sea continua y derivable en:

(a) x= 1. (b) x= 3.

6. Sea la función

f (x) =

x2−3x+4 si x6 2

4− a

xsi x> 2

Calcula el valor de a para que f sea continua y derivable en x= 2.

7. Sea la función f : R→ R definida por

f (x) =

2x si x6 1

x2+mx+5 si x> 1

Calcula m para que f sea continua en x= 1. ¿Es f derivable, para el valor de m obtenido, en x= 1?

15

TEMA 3

Aplicaciones de las derivadas

3.1. Selectividad

1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) =x

x−2en el punto de abscisa x= 3.

2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) =3

xen el punto de abscisa x=−1.

3. Calcule g′(3), siendo g(x) = 2x · e3x−1. ¿Qué interpretación geométrica tiene el valor obtenido?

4. Para g(x) = e1−x+ ln(x+2), calcule g′(1).

5. Determine dónde se alcanza el mínimo de la función f (x) = 3x2− 6x+ a. Calcule el valor de a para que el valor

mínimo de la función sea 5.

6. Para la función f : R→ R definida de la forma f (x) = 8x3−84x2+240x, determine:

(a) Su monotonía y sus extremos relativos.

(b) Su curvatura y su punto de inflexión.

7. Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f (x) = ax2− b en el punto (1,5) sea la recta

y= 3x+2.

8. Sea la función f : R→ R definida por:

f (x) =

{2x si x6 1

x2+mx+5 si x> 1.

(a) Calcule m para que la función sea continua en x= 1.

(b) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x= 1?

(c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x= 0.

9. Sea la función f (x) = 2x2− 13x3. Calcule:

(a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(b) Las coordenadas de sus extremos relativos.

(c) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.

10. Sea la función f (x) =

{−x2−2ax+3 si x6 1

ax2−6x+5 si x> 1.

(a) Calcule el valor de a para que f sea continua en x= 1.

(b) Para a= 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos

locales.

11. Sea la función definida para todo número real x por f (x) = ax3+bx.

(a) Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,1) y que en ese punto la pendiente de la recta

tangente es −3 .

(b) Si en la función anterior a= 13

y b=−4, determine sus intervalos de monotonía y sus extremos.

12. Se considera la función f (x) = x3−9x2+24x.

(a) Determine los extremos relativos de f ; estudie la monotonía y la curvatura.

(b) Represente gráficamente la función f .

13. Dada la función f (x) = 4−3x2+ x3, determine:

16

(a) La monotonía y la curvatura de f .

(b) Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos.

(c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=−1.

14. Se considera la función definida por

f (x) =

{2x2−8x+6 si x6 1

−2x2+8x−6 si x> 1

(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f .

(b) Represente la gráfica de f .

(c) Indique los extremos relativos de la función.

15. Sea la función

f (x) =

{ex si x6 0

x2+ x+1 si x> 0

Estudie la monotonía de f .

16. Sea la función f definida mediante

f (x) =

{x2+ax+b si x< 1

L(x) si x> 1

(a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x=−1.

(b) Para a=−1 y b= 1, estudie la derivabilidad de f en x=−1 y x= 1.

17. Halle los valores de a y b para que la función g(x) = ax+b

xtenga un extremo relativo en el punto (1,2).

18. La función f (x) = x3+ ax2+ bx tiene un extremo relativo en x = 2 y un punto de inflexión en x = 3. Calcule los

coeficientes a y b y determine si el citado extremo es un máximo o un mínimo relativo.

19. La gráfica de la función derivada f ′, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos (−1,0) y

(3,0), y tiene su vértice en (1,−4). Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de

cada extremo relativo.

20. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) =−2e3x en el punto de abscisa x= 0.

21. La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0,−3) y (4,0). Estudie la monotonía

de la función f .

22. Sea la función f (x) = x3+ax2+b. Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto

(2,5).

23. La función derivada de una función f viene dada por f ′(x) = 3x2−12x+9.

(a) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de x en los que dicha función alcanza sus

extremos locales.

(b) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función f .

(c) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2,5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f

en dicho punto.

24. Sea la función f (x) = ax3+bx2+ x.

(a) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máximo en x= 1 y que f (1) = 2.

(b) Para a= b= 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x= 0.

25. El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función:

f (x) =

{ −5x2+40x−60 si 06 x6 65x

2−15 si 6< x6 10

donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros.

17

(a) Represente la función f .

(b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas.

(c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?

(d) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

26. El beneficio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la función:

B(x) =−3x2+120x+675, x> 0,

donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros.

(a) Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios.

(b) Calcule el valor de x que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese beneficio?

(c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa.

(d) Represente gráficamente la función B.

27. Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de

contaminación viene dado por la función:

C(t) =−0,2t2+4t+25, 06 t 6 25 (t = años desde el año 2000).

(a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?

(b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?

(c) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado anterior

relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento.

28. Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (kg) de fresas depende del

precio de venta de acuerdo con la función B(x) =−x2+4x−3, siendo B(x) el beneficio por kg y x el precio de cada

kg, ambos expresados en euros.

(a) ¿Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista?

(b) ¿Qué precio maximiza los beneficios?

(c) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿cuál será el beneficio total máximo que podrá obtener?

29. El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t)expresada a continuación:

B(t) =

{ 18t2− t+5 si 06 t 6 6

t+1

2si 6< t 6 12

,

donde t es el tiempo transcurrido en meses.

(a) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses.

(b) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?

(c) Represente gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió?

30. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función

de la cantidad x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:

R(x) =−0,001x2+0,4x+3,5, con x> 10.

(a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.

(b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.

(c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

31. Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(x), expresado

en litros, viene dado por la función

c(x) = 7,5−0,05x+0,00025x2,

siendo x la velocidad en km/h y 256 x6 175.

18

(a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.

(b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x).

(c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?.

32. Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. El volumen de agua, en m3, que hay

en cada momento en el depósito, desde que empieza a vaciarse, viene dado por la función V (t) = 8− t+t2

32, donde

t es el tiempo en minutos.

(a) Cuál es la capacidad del depósito?

(b) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse?

(c) Represente gráficamente la función V .

(d) Calcule la derivada de esa función en t = 8 e interprete su significado.

33. Sea la función f (x) = 2x2+ax+b.

(a) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,3) y alcanza un extremo local en

el punto de abscisa x=−2.

(b) Tomando a = 8 y b = −10, deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los

valores donde la función se anula.

34. Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el

número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t) = 4t− t2.

(a) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo?

(b) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará?

(c) Represente gráficamente N(t) = 4t− t2, con N(t)> 0.

35. En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la

conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión B(x) = 0,5x2− 4x+ 6,siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo [0,10].

(a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?

(b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?

(c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual

se obtiene el mismo beneficio?

36. Sean las funciones:

f (x) =

{x3− x2+2 si −16 x6 0

−x3− x2+2 si 0< x6 1, h(x) =

{−x2+ x+2 si −16 x6 0

−x2− x+2 si 0< x6 1

(a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en x= 0.

(b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en x= 0.

(c) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco re-

dondeado (sin picos) de un túnel, indique razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde

al túnel.

37. El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f (x), dependen de la inversión, x, según la función

f (x) =−x2+11x−10 (x es la cantidad invertida, en millones de euros).

(a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa.

(b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste?

(c) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste

es no negativo?

38. (Año 2012) Sean dos funciones, f y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente,

f ′(x) = x+2 y g′(x) = 2.

(a) Estudie la monotonía de las funciones f y g.

19

(b) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es

nula.

(c) ¿Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué?

39. (Año 2012) En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km2,

viene dada por la función f (t) = 11t+20t+2

, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

(a) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?

(b) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo.

(c) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?

40. (Año 2012) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) = x+2x−1

en el punto de abscisa

x= 0.

41. (Año 2012) Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado

por la función

B(t) =

{at− t2 si 06 t 6 6

2t si 6< t 6 10

(a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua.

(b) Para a= 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.

(c) Para a= 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende

su valor.

42. (Año 2012) Se considera la función f (x) = 1− 2x+2

(a) Determine la monotonía y curvatura de la función.

(b) Represéntela gráficamente.

43. (Año 2012) Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad

transcurrido un tiempo t, medido en meses:

P(t) =

t2 si 06 t 6 5100t−250

t+5si t > 5

(a) Estudie la continuidad de la función P.

(b) Estudie la derivabilidad de P en t = 5.

(c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.

(d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

44. (Año 2012) Para la función g, definida de la forma g(x) = x3− 3x2+ 2, determine: su dominio, sus intervalos de

crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Con esos datos haga un esbozo de su gráfica.

45. (Año 2012) Sea la función

f (x) =

{ax2−2x si x6 2

x

2−b si x> 2

(a) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en x= 1.

(b) Represente gráficamente la función para a= 1,5 y b= 0,5.

46. (Año 2012) De la función f se sabe que su función derivada es f ′(x) = 3x2−8x+5

(a) Estudie la monotonía y la curvatura de f .

(b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1,1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

47. (Año 2012) Dada la función f (x) = 2x2+ax+b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el

punto (1,3) y alcanza un extremo en x=−2.

48. (Año 2012) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g(x) = 3x2−2x+1, en el punto de abscisa x= 1.

20

3.2. Selectividad 2013

1. (Año 2013) Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la

función

B(t) =t3

4−3t2+9t, 06 t 6 8,

donde la variable tindica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.

(a) Estudie la monotonía y los extremos de B(t).

(b) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [0,8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta

empresa en sus 8 años de existencia.

2. (Año 2013) Sea f (x) una función cuya función derivada, f ′(x), tiene por gráfica una parábola que corta al eje OX

en los puntos (−1,0) y (5,0), y con vértice (2,−4).

(a) Estudie razonadamente la monotonía de f (x).

(b) Determine las abscisas de los extremos relativos dela función f (x).

(c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráficade f (x) en el punto de abscisa x= 2, sabiendo que f (2) = 5.

3. (Año 2013) Estudie la derivabilidad de la función

f (x) =

ex si x6 0

1 si 0< x6 3

−x2+6x+2 si x> 3

.

4. (Año 2013) Sea la función f (x) =

1

2− xsi x6 1

x2−6x+6 si x> 1

.

(a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.

(b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x= 0.

5. (Año 2013) Consideremos la función f (x) =

−x2+6x+5 si 26 x6 4

−2x+11 si 4< x6 5

.

(a) Estudie la derivabilidad de la función f (x) en el punto de abscisa x= 4.

(b) Represente gráficamente la función f (x) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. ¿Cuál

es el valor del máximo? ¿Y del mínimo?

6. (Año 2013) Sea la función f (x) =1

3x3+

1

2x2−2x+3.

(a) Determine sus máximos y mínimos relativos.

(b) Consideremos la función g(x) = f ′(x). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x)en el punto de abscisa x= 2.

(c) Dibuje la gráfica de g(x) y de la recta tangente calculada en b).

7. (Año 2013) En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los

días trabajados según la función M(t) =11t+17

2t+12, t > 1, donde t es el número de días trabajados.

(a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios?

(b) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?

(c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando

la función, justifique si es cierta dicha creencia.

(d) Dibuje la gráfica de la función.


x2−bx+1 si x6 2

2x+a si x> 2

.

21

(a) Determine los valores de a y b para que dicha función sea continua en x = 2 y, además, tenga un mínimo en

x= 1.

(b) Para a= 2 y b= 6, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa

x=−2.


2x2−12 si x<−3

−x+3 si −36 x6 2

x−1 si x> 2

.

(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f (x) en su dominio.

(b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(c) Calcule los extremos relativos.

10. (Año 2013) Sea la función f (x) = x3−24x2+4x.

(a) Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.

(b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x=−2.

(c) En el punto de abscisa x= 1, ¿la función es creciente o decreciente?

11. (Año 2013) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

(a) f (x) =

(x2−5

)3

2− x2.

(b) g(x) = e7x ·(x−5x2

)2.

(c) h(x) =x · ln

(1− x2

)x−3

.

12. (Año 2013) Se considera la función f (x) =

x3−1 si x< 1

−x2+4x−3 si x> 1

.

(a) Determine el dominio y estudie la continuidad de la función.

(b) Obtenga los extremos de la función.

(c) Estudie su curvatura.


1. La función de beneficios f , en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros,

en un determinado proyecto de innovación y viene dada por

f (x) =−2x2+36x+138, x> 0.

(a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.

(b) Calcule f ′(7) e interprete el signo del resultado.

(c) Dibuje la función de beneficios f (x). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de 138 mil

euros?

2. Sea la función f definida por f (x) =

{ −bx2−bx+a si x6 260

xsi x> 2

.

(a) Obtenga los valores de a y b para que la función sea continua y derivable.

(b) Para a= 48 y b= 3, estudie la monotonía de f (x) y calcule sus extremos.

3. Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10

años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t3−36t2+162t−6, con 06 t 6 10.

(a) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = 0) y al final del décimo año (t = 10)?

(b) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías?

4. Sea la función f (x) =−x2+ px+q.

(a) Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función f pase por el punto (−4,−5) y

presente un máximo en el punto de abscisa x=−1. Determine el valor de f (x) en ese punto.

22

(b) Represente la gráfica de f para p = 2 y q = −1 y halle la ecuación de la recta tangente a esta gráfica en el

punto de abscisa x=−2.

5. Sea la función f (x) =−2x3+a · e−x+b · x−1.

(a) Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en x= 0 y que la gráfica de la función pasa

por el punto (0,0).

(b) Para a= 0 y b= 1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa

x=−1.

6. Sea la función f , definida por f (x) =

{x2−ax+5 si x< 0

−x2+b si x> 0.

Determine los valores que han de tomar a y b para que la función f sea derivable en x= 0.

7. Sea la función dada por f (x) =

x2+ax si x6 2x+b

x−1si x> 2

.

(a) Determine los valores de a y b, sabiendo que dicha función es derivable.

(b) Para a = 2 y b = 3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de

abscisa x= 1.

8. El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado,

según la hora t, mediante la función

S(t) = 660−231t+27t2− t3, 66 t 6 12.

(a) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?

(b) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas

horas?

9. Sea la función f (x) = x3−3x2+3x.

(a) Estudie la monotonía de f y halle los extremos relativos que posea.

(b) Estudien su curvatura y calcule su punto de inflexión.

(c) Represente la gráfica de la función f .


{(x+1)2 si x6 1

4

xsi x> 1

.

(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.

(b) Determine sus asíntotas, en caso de que existan.

(c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x= 2.

11. Sean las funciones f (x) =(2x2−1

)3ln(x4)

y g(x) =e−2x+x2

x2+1. Determine el valor de f ′(−1) y de g′(0).

12. Represente gráficamente la función f (x) = x3−6x2+12x, estudiando previamente su dominio, puntos de corte con

los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.


1. Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en miles de euros, viene dada

por la función

R(x) =−0.001x2+0.5x+0.25 16 x6 500,

donde x es la cantidad de dinero invertida en miles de euros.

(a) Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad.

(b) ¿Qué rentabilidad se obtendría con dicha inversión?

23

(c) ¿Cuál es la cantidad de dinero para la que se obtiene menor rentabilidad?


1

2(ax−12) si x<−1

−x2+b(x−1) si x>−1

(a) Halle los valores de a y b sabiendo que la función es derivable en x=−1.

(b) Para a = 1 y b = −1 obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) en el punto de

abscisa x=−2.

3. La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre 4oC y 36oC. La vida

en días, en función de la temperatura media T , medida en grados centígrados, viene dada por la función:

V (T ) =−1

16

(T 2−40T +16

), T ∈ [4,36] .

(a) Determine la vida máxima que puede alcanzar la mosca común.

(b) Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza.

(c) Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha

habitado?

4. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:

(a) f (x) =2 · (1−3x)2

1+3x.

(b) g(x) =(x2− x+1

)· e5x. (c) h(x) = log

(x2+ x+1

).

5. (a) Determine el valor de a para que sea continua en x=−1 la función

f (x) =

ax

x−1si x6−1

x3−3x2+6x−2 si x>−1

(b) Calcule los coeficientes b y c de la función g(x) = x3+ bx2+ cx− 2, para que (1,2) sea un punto de inflexión

de g.

6. Sea la función f (x) = x3+9x2−8.

(a) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.

(b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x= 1.

7. (a) Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f (x) =3ln(x)

x3, g(x) = (1− x2) ·

(x3−1

)2, h(x) = 3x2−7x+

1

e2x.

(b) Halle las asíntotas de la función p(x) =7x

3x−12.

8. Se considera la función f (x) =

x2+2 si 06 x6 2

8x+a

x−1si x> 2

(a) Determine el valor de a para que la función sea continua.

(b) ¿Para a=−10, es creciente la función en x= 3?

(c) Halle sus asíntotas para a=−10.


1 si x6 0

−x2+1 si 0< x< 4

x2−8x+17 si x> 4

.

(a) Represente gráficamente la función f .

24

(b) Estudie su continuidad y derivabilidad.

(c) Calcule f ′(1) y f ′(5).

10. Se considera la función f (x) = x3−2x2+ x.

(a) Halle el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función.

(b) Calcule los puntos de corte con los ejes.

(c) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de abscisas x= 0 y x= 1.


2x−5

x+4si x< 2

x3−3x2 si x> 2

.

(a) Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función f corta al

eje de ordenadas.

(b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x=−3.

12. Se considera la función f , definida a trozos por la expresión

f (x) =

−x2+ x+6 si x6 2

x+2 si x> 2

(a) Estudie la continuidad de la función.

(b) Analice la derivabilidad de la función.

(c) Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los

puntos de corte con los ejes.


1. (a) Calcule los valores de a y b para que la función

f (x) =

b

2− xsi x6 1

ax2−3x+1 si x> 1

sea derivable en el punto de abscisa x= 1.

(b) Para a= 1 y b= 2, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen.

2. La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, x, según la función

C(x) =

150+5x

100si 106 x6 50

200+10x

25+3xsi x> 50

donde C y x están expresadas en miles de euros.

(a) Justifique que C es una función continua.

(b) ¿A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de C?

(c) Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema.

3. De una función continua y derivable, f , se sabe que la gráfica de la función derivada, f ′, es una parábola que pasa

por los puntos (−1,0) y (3,0) y que tiene su vértice en el punto (1,−2).

(a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f , así como la existencia de extremos.

(b) Si f (1) = 2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x= 1.

25


x2−4x+a si x< 2

1

x−1si x> 2

.

(a) Calcule el valor de a para que la función sea continua en x= 2. Para ese valor de a obtenido, ¿es derivable la

función en x= 2?

(b) Para a= 4, estudie la monotonía y calcule las ecuaciones de las asíntotas, si existen.

5. (a) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

f (x) =(x2−1

)·(3x3+5x

)3g(x) =

ln(3x)

e2x.

(b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h(x) =3x+6

2x+1en el punto de abscisa x= 1.

(c) Determine, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de la función h(x).

6. La función de costes de una fábrica, f (x) , en miles de euros, viene dada por la expresión:

f (x) = 2x2−36x+200,

donde x es la cantidad fabricada del producto, en miles de kilogramos.

(a) Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo.

(b) A partir del signo de f ′(7) , ¿qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos?

(c) Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 200 000 €?

7. Una fábrica produce entre 1000 y 6000 bombillas al día. El coste diario de producción, en euros, de x bombillas

viene dado por la función

C(x) = 9000+0.08x+2000000

x, con 10006 x6 6000.

¿Cuántas bombillas deberían producirse diariamente para minimizar costes? ¿Cuál sería dicho coste?

8. Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 25 años de su existencia según una

función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión:

B(t) =

{4t si 06 t < 10

−1

5t2+8t−20 si 106 t 6 25

(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de B en el intervalo [0,25].

(b) Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y

cuál fue su beneficio máximo.

(c) Represente gráficamente esta función.


{1

ax2+1 si x6 2

−x+a si x> 2, con a> 0.

(a) Calcule el valor del parámetro a para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable

en su dominio?

(b) Para el valor a= 4, represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

la función en el punto de abscisa x=−1.


{4

xsi x6 2

x2−2x+2 si x> 2.

(a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.

(b) Estudie su monotonía y su curvatura para x> 0.

26


1. Sea f (t) el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en función del tiempo t, medido en meses,

transcurrido desde su inauguración:

f (t) =

−5

2t2+20t si 06 t 6 6

90t−240

t+4si t > 6

(a) ¿Evoluciona la función f de forma continua?

(b) ¿Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año?

(c) ¿En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40 %?

(d) ¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente?

2. (a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

f (x) =e5x− x

x2− x, g(x) =

(2x2− x

)3 · ln(x3+2

)(b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h(x) =

1

xen el punto de abscisa x= 1.

3. El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender x unidades de un artículo viene dado por la función

B(x) =−x2+360x−18000, 506 x6 350.

(a) ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un ben-

eficio de 13500 €?

(b) ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese

beneficio?

(c) Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas.

4. Se considera la función:

f (x) =

a

x−1si x< 0

x2−bx−1 si x> 0

.

(a) Calcule el valor de a y b, para que la función sea derivable en x= 0.

(b) Para a= 1 y b= 2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x= 2.

5. Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones

de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad invertida, x, por la siguiente expresión:

R(x) =

x−2 si 16 x< 2

−x2+10x−16 si 26 x6 6

donde tanto x, como R(x) , están expresadas en millones de euros.

(a) Estudie la continuidad de la función R .

(b) Esboce la gráfica de la función.

(c) ¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? ¿Para qué valores

de x la rentabilidad es positiva?


ax−3x2 si x6 1

2x2+b si x> 1

.

(a) Calcule los valores de a y b para que la función f sea derivable en x= 1.

(b) Para a= 3 y b=−2 , estudie la monotonía y curvatura de la función f .

27

7. En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante

durante un determinado tiempo, viene dada por

f (t) =

t2 si 06 t 6 2

4

t−1si t > 2

donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo.

(a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f .

(b) Represente gráficamente la función f , determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asín-

totas, en caso de que existan.

(c) Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor.


1

x−4si x6 0

x+3 si 0< x< 2

x2+1 si x> 2

.

(a) Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que exista

alguna.

(b) Estudie la derivabilidad de la función en su dominio.

9. Sea la función f (x) = x3+ax2+bx.

(a) Halle a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa x=−1 y un punto de inflexión en

el punto de abscisa x=−2 .

(b) Para a= 6 y b= 9, halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y extremos y esboce la gráfica

de la función.

10. Se consideran las siguientes funciones: f (x) =5x−16

xy g(x) = x2.

(a) Determine la abscisa del punto donde se verifique que f ′(x) = g′(x).

(b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa x= 2 y determine

el punto de corte de ambas rectas tangentes, si existe.

11. Sea la función f (x) = x3−12x+1.

(a) Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.

(b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x= 1.

12. (a) Calcule los valores de los parámetros a y b para que la gráfica de la función f (x) = x3+ ax2+ b presente un

extremo relativo en el punto (2,6).

(b) Para a= 1 y b= 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x= 1.

28

Cuestionario: funciones y aplicaciones de las derivadas

Razona las respuestas correctas en cada cuestión:

1. Sea f (x) = 3 · ex. Entonces, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x= 0 es:

(a) y= 3x+3

(b) y= 3ex+3e

(c) y= x

(d) Ninguna de las anteriores.

2. Sea f una función derivable en x= a ∈ Dom( f ).

(a) Si f ′(a) = 0, entonces f tiene un extremo relativo en x= a.

(b) Si f ′(a) 6= 0, la función f puede tener un extremo relativo en x= a.

(c) Si f ′(a) = 0, la función f puede tener un punto de inflexión en x= a.

(d) Si f tiene un punto extremo en x= a, entonces f ′(a) = 0.

3. Sea f : D→ R, que es dos veces derivable en todo D. Sea a ∈ D.

(a) Si f ′′(a) = 0, entonces f tiene un punto de inflexión en x= a.

(b) Si f ′′(a)> 0, entonces f es cóncava en x= a.

(c) Si f ′′(a)< 0, entonces f es estríctamente decreciente en x= a.

(d) Si f ′′(a)> 0, entonces f ′ es estríctamente creciente en x= a.

4. Consideremos la función f (x) = x6.

(a) f tiene un punto de inflexión en x= 0.

(b) f tiene un máximo en x= 0.

(c) f tiene un mínimo en x= 0.

(d) f es estríctamente monótona en x= 0.

5. Consideremos la función f (x) = 3√

x.

(a) Como f es continua en x= 0, entonces f es derivable en x= 0.

(b) La derivada de f es f ′(x) =1

3

√x.

(c) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x= 0 es infinita.

(d) Como f no es derivable en x= 0, no se puede estudiar la monotonía en este punto.

6. Consideremos la función f (x) = 3.

(a) Como f ′(x) = 0, para cada x ∈ R, deducimos que todo x ∈ R es un máximo relativo estricto de la función f .

(b) La ecuación de la recta tangente en x= 1 es y= 3.

(c) Como f es constante, no es ni cóncava ni convexa.

(d) f es estríctamente creciente en todo R.

7. Consideremos la función f (x) =

{−x+3 si x6 0

3x+3 si x> 0.

(a) f es continua en x= 0.

(b) f es derivable en x= 0.

(c) f tiene un mínimo en x= 0.

29

(d) Ninguna de las frases anteriores es correcta.

8. Sea f (x) =

{x+2 si x< 2

−x+8 si x> 2.

(a) f tiene un mínimo en x= 2.

(b) f no tiene extremos relativos en su dominio.

(c) f presenta un máximo absoluto en x= 2.

(d) f tiene un punto de inflexión en x= 2.

9. Sea f (x) =

{−x2+3 si x 6= 0

1 si x= 0.

(a) f presenta un máximo relativo estricto en x= 0.

(b) f presenta un mínimo relativo estricto en x= 0.

(c) f presenta un mínimo absoluto en x= 0.

(d) f presenta una discontinuidad evitable en x= 0.

10. Consideremos la función f (x) =

{x−2 si x< 1

x si x> 1.

(a) f tiene un mínimo absoluto en x= 1.

(b) f tiene un máximo relativo en x= 1.

(c) f es estríctamente creciente en x= 1.

(d) f no tiene extremos de ningún tipo en su dominio.

11. Sea f (x) =

{x2 si x 6= 2

5 si x= 2.

(a) f tiene un mínimo absoluto en x= 2.

(b) f tiene un mínimo relativo en x= 2.

(c) f es estríctamente creciente en x= 2.

(d) f no tiene extremos de ningún tipo en su dominio.

30

TEMA 4

Representación gráfica de funciones

1. Representa gráficamente las siguientes funciones, realizando previamente un estudio pormenorizado de ellas (es

decir, determinando su dominio, los puntos de corte con los ejes de coordenadas, su continuidad, la monotonía, los

extremos relativos/absolutos, la curvatura −intervalos de concavidad y convexidad−, los puntos de inflexión, las

asíntotas y las ramas parabólicas):

(a) f (x) = 3x− x3

(b) f (x) = x4−4x2

(c) f (x) = x3−7x+6

(d) f (x) =x

1+ x2

(e) f (x) =x2

2− x

(f) f (x) =x+1

x2

(g) f (x) =x3−3x2+4

x2

(h) f (x) =x3+1

x

(i) f (x) =x4+1

x2

Soluciones

4 2 2 4

4

2

2

4

4 2 2 4

4

2

2

4

4 2 2 442

2468

101214

(a) (b) (c)

3 2 1 1 2 3

1

1

20 10 10 20

20

10

10

20

6 4 2 2 4 62

2

4

6

8

10

(d) (e) (f)

10 5 5 10

10

5

5

10

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

6 4 2 2 4 6

5

10

(g) (h) (i)

31

2. Representa gráficamente las siguientes funciones, haciendo un estudio pormenorizado.

(a) f (x) =x3

(x−1)2

(b) f (x) =

√x

x

(c) f (x) =

√x2−4

x−2

(d) f (x) = e1x

(e) f (x) = (x−1)e−x

(f) f (x) =lnx

x

Soluciones

10 5 5 10

10

5

5

10

0 2 40

2

4

6 4 2 2 4 6

5

10

(a) (b) (c)

4 2 2 4

2

4

6

2 2 4

4

2

2

2 4 6

4

2

2

(d) (e) (f)

3. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

(a) f (x) =

x2−4 si x6 1

2 si 1< x6 3

1 si x> 3

(b) f (x) =

{x2+2 si x6 2

x− 32

si x> 2

(c) f (x) =

x2+1 si x<−1

3x si x=−1

2x2−1 si x>−1

(d) f (x) =

1

xsi x< 0

3x2+3 si 06 x6 1

x−3 si x> 1

(e) f (x) =

x2−3x+2 si x6 1

−x2+3 si 1< x6 31

x−3si x> 3

(f) f (x) =

1x

si x< 0

x si 0< x6 2

|x−3| si x> 2

(g) f (x) =

∣∣x2−4

∣∣ si x< 0

2x−1 si 0< x6 1x

x−1si x> 1

(h) f (x) =

x2−1 si x6 0

−x2−1 si 0< x< 2

−8 si 2< x

(i) f (x) =

−x si x6 1

− 1x

si 1< x6 3

1 si x> 3

(j) f (x) =

−1 si −86 x<−4

x+2 si −46 x< 28x

si x> 2

(k) f (x) =

{ −x si |x|> 2

− x3

3si |x|6 2

(l) f (x) =

x si x6 1

3 si 1< x< 2∣∣x2−1∣∣ si x> 2

32

TEMA 5

Integración

1. Calcular las siguientes integrales indefinidas (inmediatas):

(a)

∫3 dx

(b)

∫ax dx, a 6= 0

(c)

∫4x3 dx

(d)

∫x4 dx

(e)

∫ (x4−4x3

)dx

(f)

∫ (2− x2−4x3

)dx

(g)

∫ (2x5−4x+3

)dx

(h)

∫(x+1)2 dx

(i)

∫ (x3+2x−1

)dx

(j)

∫2√

x dx

(k)

∫1

3

5√

x3 dx

(l)

∫1

5√

x4dx

(m)

∫1√8x

dx

(n)

∫3√

5x2 dx

(o)

∫ (√x− 3√

x+2x−3)

dx

(p)

∫ (1√x+ 3√

x

)dx

(q)

∫ (2x+

14√

x

)dx

(r)

∫1

x3dx

(s)

∫4

x4dx

(t)

∫1

x3dx

(u)

∫ (4

x2− 3

x3

)dx

(v)

∫4x3−5x2+6x

xdx

(w)

∫4

xdx

(x)

∫ (1

4x− x2+ 4

√x

)dx

(y)

∫ −3x2+2

xdx

(z)

∫6x3−8x2− x+2

√x

x2dx

(aa)

∫x2+2x−1

x2dx

(ab)

∫x3−3x2+2

xdx

(ac)

∫x3−6x2−3x+2

x2dx

2. Calcular las siguientes integrales indefinidas (inmediatas):

(a)

∫ (5x

43 −4x2

)dx

(b)

∫ (e2−2x+ xn

)dx

(c)

∫(2− x)

√x dx

(d)

∫ (− 1

x4+5+

2√x

)dx

(e)

∫(x−1)(x+3)√

xdx

(f)

∫3x dx

(g)

∫a5x dx

(h)

∫e−x dx

(i)

∫5e4x+1 dx

(j)

∫ (ex−2x+1

)dx

(k)

∫ (e2x− 2

x

)dx

(l)

∫xex2

dx

3. Calcular las siguientes integrales, usando si es preciso un cambio de variable:

(a)

∫x(x2−1

)4dx

(b)

∫2x(x2−3

)3dx

(c)

∫ (x3+4

)2x2 dx

(d)

∫ (x3+4

)x2 dx

(e)

∫(2x+3)

43 dx

(f)

∫(x+2)4 dx

(g)

∫ [(x+2)4− (x+2)2

]dx

(h)

∫1

2√

x(2−√

x) dx

(i)

∫ √4x−2 dx

(j)

∫dx√x+4

dx

(k)

∫x2

(x3+5)2dx

(l)

∫x

(x2+1)3dx

(m)

∫6x2

(x3−2)3dx

(n)

∫3x

3√

x2+3 dx

(o)

∫4x√

3x2−2dx

(p)

∫ −x2

√4x3+1

dx

(q)

∫ (4x2 · 5√

1− x3)

dx

(r)

∫ √x2−5x4 dx

(s)

∫x ln(x2−1

)x2−1

dx

(t)

∫(ex+2)4 ex dx

(u)

∫ex

(2ex−5)2dx

(v)

∫lnx

xdx

(w)

∫x ln(x2−2

)x2−2

dx

(x)

∫ (3ex3

x2− lnx

x

)dx

(y)

∫ln2 (x−2)

x−2dx

(z)

∫ (e2x− x

)ln3(e2x− x2

)e2x− x2

dx

33

4. Calcular las siguientes integrales.

(a)

∫dx

x+2

(b)

∫dx

3x+2

(c)

∫xdx

x2−4

(d)

∫(2x−3)

x2−3x+5dx

(e)

∫x

x2+2dx

(f)

∫x2

2− x3dx

(g)

∫4x

5+3x2dx

(h)

∫2x−2

(x−1)2dx

(i)

∫3x2−4x−1

3x3−6x2−3xdx

(j)

∫ex

ex−2dx

(k)

∫dx√

x(√

x−1)

(l)

∫e2x−1+3

e2x−1+6xdx

(m)

∫3

x lnxdx

(n)

∫5√

x

√x

dx

(o)

∫2e√

x

√x

dx

(p)

∫e

1x

x2dx

(q)

∫e−x2+2 · x dx

(r)

∫4x2 · ex3−5 dx

(s)

∫(ex−2)2 dx

(t)

∫ 1+1

x

ex+lnxdx

(u)

∫3x

2·4x2−1 dx

(v)

∫2x2 ·5x3−2

3dx

(w)

∫e

3√

x

3√

x2dx

(x)

∫2x−3

x(x−3) ln(x2−3x)dx

(y)

∫x

2·22−4x2

dx

(z)

∫3ln2(ln(x−2))

x ln(x−2)dx

(aa)

∫ [e2x

2e2x−1− 4

x

]dx

(ab)

∫ [3e

3√

x

3√

x2− 1√

x+

2x+6

(x+3)2

]dx

5. Utiliza un cambio de variable (sugerido o no) para calcular las siguientes integrales:

(a)

∫(3+2x)3 dx

(b)

∫x2√

x3−1 dx

(c)

∫ [2

1−5x− 3

(1−5x)2

]dx

(d)

∫dx

ex−1, ex = t

(e)

∫ex+3

e2xdx, ex = t

(f)

∫e−x+2

e3xdx, ex = t

(g)

∫x

4·23+4x2

dx, 3+4x2 = t

(h)

∫3

4√

x

24√

x3dx

(i)

∫4x2 ·5x3

dx

6. Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula de integración por partes:

(a)

∫lnx dx

(b)

∫x lnx dx

(c)

∫x

exdx

(d)

∫x ·2x dx

(e)

∫x2 · e3x dx

(f)

∫ (x2−2x+5

)ex dx

(g)

∫x2 lnx dx

(h)

∫ln2 x dx

(i)

∫lnx√

xdx

7. Calcula las siguientes integrales definidas:

(a)

∫ 2

0x2 dx

(b)

∫ 1

0

(x3−7x+6

)dx

(c)

∫ 3

1

√x dx

(d)

∫ 2

1

dx

x

(e)

∫ 3

2

x

x2+1dx

(f)

∫ 4

−4|x| dx

(g)

∫ 1

0(ex− x) dx

(h)

∫ 1

−1x3 dx

(i)

∫ 1

−1

∣∣x3∣∣ dx

8. Calcular el valor de b que satisfaga la condición:∫ b

−1

(2bx−3x2

)dx=−12

9. Dada la función f (x) = x3−3x2+2x, se pide:

(a) Encontrar la primitiva F de f verificando que F(2) = 1.

34

(b) Estudiar y representar gráficamente la función f . Calcular el área limitada por la curva y el eje X entre x = 0

y x= 2.

10. Calcular el área total de la región determinada por la curva y= x3−4x2+3x y el eje OX . Téngase presente que la

gráfica de la curva es la siguiente:

11. Determinar el área de la región limitada por la función f (x) = x3− x2−6x y el eje de abscisas.

12. Hallar el área determinada por la gráfica de la función f (x) = x2−4x, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones

x= 1 y x= 6.

13. Determinar el área delimitada por las gráficas de los siguientes pares de funciones:

(a) f (x) =1

2x2− x+1, g(x) = x+1.

(b) f (x) =√

x, g(x) = x2.

(c) f (x) = x2+ x+4, g(x) =−x2+2x+5.

(d) f (x) = x2, g(x) = 4− x2.

14. Dada la función f (x) = x3+ax+5, calcular el valor de a para que

∫ 3

−1f (x) = 60.


x3+ax+10 si 06 x6 5

100

x−3+bx2 si x> 5

donde a y b son parámetros.

(a) Determina los valores de a y b para que f (x) sea continua y tenga un mínimo relativo en x= 2.

(b) Para a= 0, halla el área limitada por la función f (x) y el eje OX en el intervalo [0,5] .

16. Se considera la función real de variable real definida por:

f (x) =

x3+2ex si x< 0

2

3+ xsi x> 0

,

(a) Determínese el dominio de f (x) y estúdiese su continuidad.

(b) Calcúlese

∫ 0

−1f (x) dx.

17. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=−x2−4x+5, el eje OX , y las rectas x=−2 y

x= 3, y hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.

18. Calcular el área comprendida entre la parábola de ecuación y= x2−3x+2, el eje OX , la recta x= 0 y la recta x= 2,y hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.

35

19. Dadas las funciones f (x) = ex+2 y g(x) = x+3, cuyas gráficas están representadas en la siguiente figura, hallar el

área comprendida entre las dos curvas y las rectas x= 0 y x= 2.

20. Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva y = x2−4x+8 y la recta y =−2x+8. Hacer una repre-

sentación gráfica aproximada de dicha área.

21. Calcular las siguientes integrales:

(a)

∫(−x+2ex) dx (b)

∫ 2

1

(x2− x3

2−1

)dx


f (x) =

−x+1 si x<−3

x2+2x+1 si x>−3

(a) Represente gráficamente dicha función.

(b) Hallar el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función f (x) y la recta y= 2x+5.

23. Dada la función f (x) = 2e2x−2, hallar su función primitiva F(x) que cumple que F(1) = 0.

24. Calcular el área comprendida entre la curva y = x2− 4x+ 8, el eje OX y las rectas x = −1 y x = 1. Hacer una

representación gráfica aproximada de dicha área.

25. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = −x2+ x+ 6 y el eje OX . Hacer una repre-

sentación gráfica aproximada de dicha área.

36

TEMA 6

Cálculo de Probabilidades

6.1. Sucesos. Álgebra de sucesos

6.1.1. Cuadro síntesis de sucesos y operaciones con sucesos mediante diagramas de Venn

A A∪B A∩B

Ac = E−A (A∪B)c = Ac∩Bc (A∩B)c = Ac∪Bc

A∩Bc = A−A∩B Ac∩B= B−A∩B Ec =∅

En general, obsérvese que:

{A= (A∩B)∪ (A∩Bc)B= (A∩B)∪ (Ac∩B)

6.2. Ejercicios. Operaciones con sucesos

1. En un cruce de caminos, los automóviles pueden girar a la derecha (D) o a la izquierda (I). Desde un puesto de

observación se registra el sentido de la maniobra de los tres primeros vehículos.

(a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? Descríbelo mediante un diagrama en árbol y detalla después,

por extensión, dicho espacio muestral.

(b) Sea A el suceso “a lo sumo uno de los coches gira a la derecha”, sea B el suceso “exactamente uno de los

coches gira a la derecha”, y C el suceso "ningún coche gira a la derecha. ¿Qué relación existe entre los

sucesos B y C?

(c) Obtenga los elementos de los sucesos “no B”, “B o C”, “A y B”.

2. Se lanza una moneda al aire hasta que aparece la primera cara.

(a) ¿Cómo son los elementos del espacio muestral?

(b) Escriba los elementos de los siguientes sucesos: A definido por la “primera cara aparece en los tres primeros

lanzamientos, B dado por “la primera cara sale en un lanzamiento par”.

(c) Exprese los elementos de los sucesos “A y B”, “no A” y “no B”.

37

3. Un experimento consiste en sacar sucesivamente de una baraja española tres cartas. Sea el suceso A “conseguir as

en la primera extracción”; B “sacar as en la segunda extracción” y C “obtener as en la tercera extracción”. Describa

los sucesos:

Ac∪Bc;Ac∩Bc∩Cc;(A∩B)∪ (Bc∩C)

4. Proponga tres ejemplos de experimento aleatorio. Escriba los correspondientes espacios muestrales y enuncie dos

sucesos que correspondan a cada uno de los experimentos.

5. Se lanza cuatro veces una moneda.

(a) Escriba el espacio muestral y los elementos de los siguientes sucesos: A = "salen al menos dos caras", B ="aparecen exactamente tres cruces”.

(b) ¿Son incompatibles los sucesos A y B?. Propongaun ejemplo de suceso incompatible con B.

(c) Escriba los elementos de los sucesos: “A y B”, “A o B” y “no ocurre B”.

6. En una fábrica se lleva a cabo un control de calidad y los productos se clasifican como defectuosos (D) y no

defectuosos (N). El control de calidad continúa hasta llegar al primero que es defectuoso.

(a) Escriba los elementos del suceso A= "el primer defectuoso aparece en la quinta inspección".

(b) Sea B= "el primero defectuoso aparece en una inspección cuyo orden de numeración es impar".

(c) Escriba los elementos del suceso A y B.

38

6.3. Ejercicios elementales de Probabilidad

1. Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Halla la probabilidad de que sea:

(a) Un rey.

(b) Una carta roja.

(c) El 7 de tréboles.

(d) Una figura de diamantes.

2. Se lanza un dado una vez. Halla la probabilidad de obtener:

(a) Un seis.

(b) Un número par.

(c) Un número mayor que 3.

(d) Un tres o un cinco.

3. Se lanzan a la vez una moneda de 2 € y otra de 1 €. Halla la probabilidad de que salgan:

(a) Dos caras. (b) Cara y cruz.

4. Una bolsa contiene 6 bolas rojas y 4 bolas verdes.

(a) Halla la probabilidad de que al sacar una al azar sea:

i. Roja. ii. Verde.

(b) Se extrae una bola roja de la bolsa. Halla la probabilidad de que al extraer una nueva bola ésta sea:

i. Roja. ii. Verde.

5. Se selecciona al azar una letra de la palabra “INNECESARIO”. Halla la probabilidad de que la letra elegida sea:

(a) Una R.

(b) Una E.

(c) Una U.

(d) Una C.

6. Una “mano” contiene las siguientes 13 cartas:

Se elige una carta de las 13. Halla la probabilidad de que la carta elegida sea:

(a) De corazones

(b) De tréboles.

(c) Un 6.

(d) Una figura.

(e) El 4 de tréboles.

(f) Un 8.

(g) Un 6 o un 4.

7. Se introducen papeletas numeradas del 2 al 101 en un sombrero. Halla la probabilidad de que al extraer una papeleta

ésta sea:

(a) Un número par.

(b) Un número menor que 14.

(c) Un cuadrado perfecto.

(d) Un número primo menor que 20.

8. Halla la probabilidad de:

39

(a) Sacar un número menor que 8 al lanzar un dado.

(b) Obtener el mismo número de caras que de cruces cuando se lanzan cinco monedas.

(c) Elegir al azar un cuadrado perfecto del siguiente conjunto: A= {4,9,16,25,36,49}.(d) Elegir al azar un número primo del conjunto A.

9. Luisa compra cinco boletos de una rifa con 1000 boletos. No consigue ganar el primer premio. ¿Cuál es la

probabilidad de que ella gane el segundo premio?

10. En una rifa para el viaje de fin de curso se venden papeletas numeradas del 1 al 1000. El único premio consiste en

una bicicleta. Don Feliciano compra todas las papeletas que tienen un 3 porque el 3 es su “número de la suerte”.

¿Cuál es la probabilidad de que el premio lo gane don Feliciano?

11. Se extrae una bola al azar de una bolsa que contiene 12 bolas, de las cuales X son blancas.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? Si se añaden 6 bolas blancas más, la probabilidad

de extraer una bola blanca es el doble que antes.

(b) Halla X .

12. Una ruleta está formada por cuatro sectores iguales, numerados del 1 al 4. ¿Cuántos treses esperarías que salieran

en 100 intentos?

13. Alrededor de uno de cada ocho habitantes es zurdo. ¿Cuántos zurdos es razonable que haya en una empresa con

400 empleados?

14. Un punto se elige al azar del interior de este cuadrado:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el punto no pertenezca al círculo? Da la respuesta con 4 cifras significativas.

(b) En una simulación por ordenador se escogen 5000 puntos mediante un generador de números aleatorios.

¿Cuántos números esperarías que no perteneciesen al círculo?

15. Se extrae una carta de una baraja española. ¿Qué es más probable?:

(a) Que salga la sota de bastos o el rey de espadas.

(b) Que salga un oro o una figura.

(c) Que salga un oro o un no oro.

(d) Que salga una figura o que no salga una figura.

16. Extraemos una carta de una baraja española. Hallar las siguientes probabilidades:

(a) Que sea un rey o un as. (b) Que sea un rey o una copa.

17. Una bolsa contiene 10 bolas rojas, 5 bolas azules y 7 bolas verdes. Halla la probabilidad de extraer al azar una bola:

(a) Roja.

(b) Verde.

(c) Azul o roja.

(d) Roja o verde.

18. Una ruleta está numerada del 1 al 36 solamente. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 10 o el 20?

19. Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 1 o un 6?

20. Treinta estudiantes son encuestados sobre sus actividades deportivas extraescolares. Los estudiantes se decantaron

por deportes como fútbol sala (F), la natación (N) y el tenis (T). Este diagrama de Venn muestra sus preferencias.

40

Se elige a un estudiante al azar.

(a) ¿Cuál de las siguientes parejas de sucesos son incompatibles?

i. “Que practique la natación”

ii. “Que practique el fútbol sala”

iii. “Que practique la natación”

iv. “Que practique el tenis”

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que practique el fútbol sala o el tenis?

21. Se lanzan tres monedas a la vez. Escribe la lista de todas las posibles combinaciones. Halla la probabilidad de que

salgan:

(a) Tres caras.

(b) Dos caras y una cruz.

(c) Ninguna cara.

(d) Al menos una cara.

22. Se lanzan a la vez un dado azul y otro rojo. Escribe la lista de todas las posibles combinaciones de forma sistemática.

Halla la probabilidad de que salga:

(a) Un total de 10.

(b) Un total de 12.

(c) Un total menor que 6.

(d) El mismo no en ambos lados.

23. Se lanza un dado, se anota el resultado y se vuelva a lanzar. Muestra en un diagrama todos los posibles resultados

de los dos lanzamientos. Halla la probabilidad de obtener:

(a) Un total de 4 entre los dos lanzamientos.

(b) Un total de 8 entre los dos lanzamientos.

(c) Un total entre 5 y 9 inclusive, entre los dos lanzamientos.

(d) Un número en la segunda tirada que sea el doble que el de la primera.

(e) Un número de la segunda tirada que sea el cuádruple que el de la primera.

24. Se lanzan al mismo tiempo dos dados y dos monedas. Halla la probabilidad de que salgan:

(a) Dos caras y un total de 12 en los dados.

(b) Una cara, una cruz y un total de 9 en los dados.

(c) Dos cruces y un total de 3 en los dados.

25. Un cartero reparte al azar tres cartas entre tres destinatarios. Calcular la probabilidad de que al menos una de las

tres cartas llegue a su destino correcto.

26. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 se forman todos los números posibles de tres cifras distintas. ¿Cuál es la probabilidad de

que uno de ellos, elegido al azar, sea múltiplo de 4?

27. En un centro escolar los alumnos de 2o COU pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En

un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés

son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de

que sea chica?

28. De una baraja de 48 cartas se extraen simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

(a) Las dos sean copas.

(b) Al menos una sea copas.

(c) Una sea copas y la otra espadas.

41

29. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se

realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.

Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

30. Una caja contiene 5 lámparas eléctricas. Se sabe que dos de ellas están defectuosas. Si probamos una tras otra hasta

localizar las dos defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de suspender el proceso en la tercera prueba?

31. Una clase de 2o Bachiller está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos

han elegido Matemáticas como asignatura opcional.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie matemáticas?

(b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie matemáticas?

32. Un taller sabe que por término medio acuden por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con proble-

mas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos

y 1 con problemas de chapa.

(a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

(b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

(c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

(d) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

33. Un archivador tiene 9 cajones. Una carta tiene probabilidad 12

de estar en el archivador y, si está en el archivador,

tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de los 9 cajones.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta esté en el noveno cajón?

(b) Abrimos los 8 primeros cajones y la carta no está en ninguno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta

esté en el noveno cajón?

34. Sea A el suceso “un aspirante a una póliza de vida puede pasar examen médico”. Sea B el suceso “puede pagar

las primas” y C el suceso “la compañía de seguros autoriza la póliza”. Describe qué probabilidades expresan los

siguientes planteamientos:

(a) p(C/A) (b) p(C/Bc) (c) p(C/A∩B)

35. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes, y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una

bola de cada urna. Escribir el espacio muestral. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color?

36. Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano

se sienten juntas?

37. Se lanzan dos dados al aire y la suma de los puntos obtenidos es 7. Hallar la probabilidad de que en uno de los

dados aparezca un 1.

38. En un hospital hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se eligen tres enfermos al azar.

(a) Hallar la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta.

(b) Hallar la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad.

6.4. Selectividad

1. El 55 % de la población española son mujeres, de las cuales un 23 % usa el coche para ir al trabajo. Se sabe que la

probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, vaya al trabajo en coche es 0,52.

(a) Elegido un hombre, al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice el coche para desplazarse al trabajo?

(b) Si se elige una persona, al azar, y resulta que no usa el coche para ir al trabajo, calcule la probabilidad de que

sea una mujer.

2. En una biblioteca sólo hay libros de física y de matemáticas, que están escritos en inglés o en español. Se sabe que

el 70 % de los libros son de física, el 80 % de los libros están escritos en español y el 10 % son libros de matemáticas

escritos en inglés.

42

(a) Calcule qué tanto por ciento de los libros son de física y escritos en español.

(b) Si cogemos un libro de física, ¿cuál es la probabilidad de que esté escrito en español?

3. Blanca y Alfredo escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos.

(a) Determine el espacio muestral asociado al experimento.

(b) Calcule la probabilidad de que no escriban la misma vocal.

4. El 70 % de los alumnos de un Instituto son de Bachillerato y el resto de E.S.O. De los alumnos de Bachillerato, el

60 % estudia más de 3 horas al día, y sólo el 30 % de los de E.S.O. estudia más de 3 horas al día.

(a) Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho Instituto, elegido al azar, estudie más de 3 horas al día.

(b) Sabiendo que un alumno de este Instituto, elegido al azar, estudia más de 3 horas al día, ¿cuál es la probabilidad

de que sea de Bachillerato?

5. Una máquina A fabrica 100 piezas al día, de las cuales un 6 % son defectuosas. Otra máquina B fabrica 50 piezas

al día, con un porcentaje de defectuosas del 2 %. Mezclamos las piezas fabricadas por ambas máquinas en un día y

extraemos una al azar.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza extraída sea defectuosa?

(b) Sabiendo que la pieza extraída es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina B?

6. Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes. Se sabe que p(A) = 0,3, p(B) = 0,4. Calcule las siguientes

probabilidades:

(a) p(A∪B) (b) p(A/BC).

7. En un curso, el porcentaje de aprobados en Lengua es del 65 % y en Filosofía del 50 %. Se sabe que la probabilidadp(F/L) = 0.7, siendo F y L los sucesos "aprobar Filosofía" y "aprobar Lengua", respectivamente.

(a) Calcule p(L/F).

(b) Halle la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas.

8. Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y observar el resultado.

(a) Escriba el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales.

(b) Sean los sucesos A: "obtener al menos una cara", B: "obtener cara en solo uno de los tres lanzamientos".

Calcule p(A) y p(B). ¿Son independientes A y B?

9. En una residencia hay 212 ancianos de los que 44 tienen afecciones pulmonares. Del total de ancianos, 78 son

fumadores, y solo hay 8 que tienen enfermedad de pulmón y no fuman.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un anciano de esa residencia, elegido al azar, no fume y tampoco tenga

afección pulmonar?

(b) ¿Qué porcentaje de enfermos de pulmón son fumadores?

10. Disponemos de dos urnas A y B conteniendo bolas de colores. La urna A tiene 4 bolas blancas y 3 rojas, y la B

tiene 5 blancas, 2 rojas y 1 negra. Lanzamos un dado, si sale 1, 2, 3 ó 4 extraemos una bola de A y si sale 5 ó 6 la

extraemos de B.

(a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

(b) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea negra.

(c) Sabiendo que la bola extraída ha sido blanca, calcule la probabilidad de que en el dado haya salido 5 ó 6.

11. De dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, se conocen las probabilidades p(B) = 0,7,p(A/B) = 0,8 y p(A∩BC) = 0,24.

(a) Calcule p(A∩B). (b) Halle p(A).

(c) Determine si A y B son independientes.

43

12. En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son varones y, de éstos, 21 tienen los

ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las niñas nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al

azar, un recién nacido entre los 200 citados.

(a) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules.

(b) Si el recién nacido que se elige tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que sea un varón?

13. En cierto barrio hay dos panaderías. El 40% de la población compra en la panadería A, el 25% en la B, y el 15% en

ambas. Se escoge una persona al azar:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona compre en A y no compre en B ?

(b) Si esta persona es cliente de A, ¿cuál es la probabilidad de que también sea cliente de B?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea cliente de A ni de B?

(d) ¿Son independientes los sucesos "ser cliente de A" y "ser cliente de B"?

14. Entre las 7 bolas de una máquina de futbolín hay 2 rojas y 5 blancas; en cada partida, la máquina va sacando las

bolas de una en una, de forma aleatoria, sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes

sucesos:

(a) "La primera bola es roja".

(b) "Las dos primeras bolas son blancas".

(c) "Las dos primeras bolas son de colores distintos".

15. Sean A y B dos sucesos tales que p(A) = 0,4, p(BC) = 0,7 y p(A∪B) = 0,6, donde BC es el suceso contrario de B.

(a) ¿Son independientes A y B? (b) Calcule p(A/BC).

16. Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en urbanizaciones cercanas. Del total de

la población encuestada el 60% son mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un 73%. Se sabe que la

probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es 0,62.

(a) Calcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, prefiera vivir en la ciudad.

(b) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule la probabilidad de que sea mujer.

17. Consideramos el experimento aleatorio de lanzar dos dados distintos y anotar el producto de sus puntuaciones.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho producto sea igual a 6?

(b) Si sabemos que el producto ha sido 4, ¿cuál es la probabilidad de que hayan salido los dos dados con la misma

puntuación?

18. En una ciudad, el 40% de sus habitantes lee el diario A, el 25% lee el diario B y el 50% lee al menos uno de los dos

diarios.

(a) Los sucesos “leer el diario A” y “leer el diario B” ¿son independientes?

(b) Entre los que leen el diario A, ¿qué porcentaje lee también el diario B?

(c) Entre los que leen, al menos, un diario ¿qué porcentaje lee los dos?

(d) Entre los que no leen el diario A, ¿qué porcentaje lee el diario B?

19. Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por 2 bolas del otro color. A

continuación, se extrae una segunda bola. Calcule:

(a) La probabilidad de que la segunda bola sea verde.

(b) La probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja.

20. El despertador de un trabajador suena en el 80% de los casos. Si suena, la probabilidad de que llegue puntual al

trabajo es 0,9; si no suena, llega tarde el 50% de las veces.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue puntual?

(b) Si llega tarde, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sonado el despertador?

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21. María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana

Laura; si la suma de ambos es 7, gana María; y en cualquier otro caso hay empate.

(a) Calcule la probabilidad de que gane Laura.

(b) Calcule la probabilidad de que gane María.

22. Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que p(BC) = 34

y p(A) = p(A/B) = 13.

(a) Razone si los sucesos A y B son independientes.

(b) Calcule p(A∪B).

23. En una universidad española el 30% de los estudiantes son extranjeros y, de éstos, el 15% están becados. De los

estudiantes españoles, sólo el 8% tienen beca. Si se elige, al azar, un alumno de esa universidad:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea español y no tenga beca?

(b) Calcule la probabilidad de que sea extranjero, sabiendo que tiene beca.

24. En un centro de Bachillerato, los alumnos de 1o son el 60% del total, y los de 2o el 40% restante. De todos ellos, el

46% posee móvil y el 18% son de 1o y tienen móvil.

(a) Calcule la probabilidad de que un alumno de 1o, elegido al azar, posea móvil.

(b) Elegido un alumno, al azar, resulta que tiene móvil, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2o?

25. Un estudiante se presenta a un examen en el que debe responder a dos temas, elegidos al azar, de un temario de 80,

de los que se sabe 60.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente a los dos?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente al menos a uno de los dos?

26. En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999.

(a) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 5.

(b) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en 55.

(c) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcule la probabilidad de que el número pre-

miado hoy también termine en 5.

27. Una bolsa contiene tres cartas: una es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene

una cara negra y otra blanca. Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea blanca?

(c) Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja?

28. En una agrupación musical el 60% de sus componentes son mujeres. El 20% de las mujeres y el 30% de los hombres

de la citada agrupación están jubilados.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un componente de la agrupación, elegido al azar, esté jubilado?

(b) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, está jubilado ¿cuál es la probabilidad de que

sea mujer?

29. Sean A y B dos sucesos del mismo experimento aleatorio tales que p(A) = 16, p(B) = 1

3y p(A∪B) = 1

2.

(a) ¿Son A y B incompatibles? ¿Son independientes?

(b) Calcule p[A/(A∪B)].

30. En una urna hay 1 bola blanca, 3 rojas y 4 verdes. Se considera el experimento que consiste en sacar primero una

bola, si es blanca se deja fuera, y si no lo es se vuelve a introducir en la urna; a continuación se extrae una segunda

bola y se observa su color.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 bolas del mismo color?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola blanca salga en la 2a extracción?

31. Sean A y B dos sucesos independientes tales que p(A) = 0,4 y p(A∩B) = 0,05.

(a)

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Calcule p(B). (b) Calcule p(A∩BC).

(c) Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda A.

32. Sean A y B dos sucesos independientes tales que p(B) = 0,05 y p(A/B) = 0,35.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B?

33. En un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el 45% aprueban Matemáticas. Se sabe

además que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Matemáticas es 0,75.

(a) Calcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignaturas.

(b) Entre los que aprueban Economía ¿qué porcentaje aprueba Matemáticas?

34. En un concurso se dispone de cinco sobres; dos de ellos contienen premio y los otros tres no. Se pide a un primer

concursante que escoja un sobre y observe si tiene premio, y a un segundo concursante que elija otro de los restantes

y observe si tiene premio.

(a) Escriba el conjunto de resultados posibles asociado a este experimento e indique la probabilidad de cada uno

de ellos.

(b) ¿Qué probabilidad tiene el segundo concursante de obtener premio? ¿Cuál es la probabilidad de que ambos

concursantes obtengan premio?

35. Juan dispone de dos días para estudiar un examen. La probabilidad de estudiarlo solamente el primer día es del

10%, la de estudiarlo los dos días es del 10% y la de no hacerlo ningún día es del 25%. Calcule la probabilidad de

que Juan estudie el examen en cada uno de los siguientes casos:

(a) El segundo día.

(b) Solamente el segundo día.

(c) El segundo día, sabiendo que no lo ha hecho el primero.

36. Sean dos sucesos, A y B, tales que p(A) = 0,5, p(B) = 0.4 y p(A/B) = 0,5.

(a) Halle la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.

(b) Calcule la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A.

(c) ¿Son independientes los sucesos A y B? Razone la respuesta.

37. Una compañía aseguradora realiza operaciones de seguros médicos y de seguros de vida. El 20% de las operaciones

corresponde a seguros médicos y el resto a seguros de vida. El porcentaje de operaciones en las que no se producen

retrasos en los pagos es del 10% en los seguros médicos y del 15% en seguros de vida.

(a) Halle el porcentaje de operaciones en las que no se producen retrasos en los pagos.

(b) De las operaciones que han sufrido retrasos en los pagos, ¿qué porcentaje corresponde a los seguros de vida?

38. Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda.

(a) Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio.

(b) Determine la probabilidad del suceso A: "El jugador obtiene un número par en el dado y cruz en la moneda".

(c) Si sabemos que en la moneda ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3

puntos?

39. Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras. Ana y Manolo practican el siguiente juego: Ana saca una

bola, anota su color y la devuelve a la bolsa, a continuación Manolo extrae una bola y anota su color. Si las dos bolas

extraídas tienen el mismo color gana Ana, si sólo hay una bola blanca gana Manolo, y en otro caso hay empate.

(a) Calcule la probabilidad de que gane Ana.

(b) Calcule la probabilidad de que gane Manolo.

(c) Calcule la probabilidad de que haya empate.

46

40. En una ciudad, el 55% de la población consume aceite de oliva, el 30% de girasol, y el 20% ambos tipos de aceite.

Se escoge una persona al azar:

(a) Si consume aceite de oliva, ¿cuál es la probabilidad de que consuma también aceite de girasol?

(b) Si consume aceite de girasol, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma aceite de oliva?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma ninguno de los dos tipos de aceite?

41. El 30% de los aparatos que llegan a un servicio técnico para ser reparados están en garantía. De los que no están

en garantía, el 20% ya fueron reparados en otra ocasión y de los que sí lo están, solamente un 5% fueron reparados

anteriormente. Se elige un aparato al azar en el servicio técnico:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido reparado en otra ocasión?

(b) Si es la primera vez que ha llegado al servicio técnico, ¿cuál es la probabilidad de que esté en garantía?

42. En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se

saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda.

Halle la probabilidad de que:

(a) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra.

(b) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca.

43. Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el tercero 150 y el cuarto 50.

El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el 2% del tercero tienen algún error. Las páginas del

cuarto capítulo no tienen errores.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error?

(b) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, ¿cuál es la probabilidad

de que sea del segundo capítulo?

44. En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que

la alarma suene es 0,95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de 0,03.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que suene la alarma?

(b) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente.

45. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que p(A) = 0,4, p(B) = 0,5 y p(A∩B) = 0,2.

(a) Calcule las siguientes probabilidades: p(A∪B), p(A/B) y p(B/AC).

(b) Razone si A y B son sucesos incompatibles.

(c) Razone si A y B son independientes.

46. Un examen consta de una parte teórica y una parte práctica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es

0,7 y la de que se apruebe la parte práctica 0,75. Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas.

(a) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes.

(b) Calcule la probabilidad de aprobar la parte práctica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica.

(c) ¿Son independientes los sucesos "aprobar parte teórica" y "aprobar parte práctica"?

47. Pedro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando

hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. Si se

selecciona un día del año al azar,

(a) ¿cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas?

48. (Año 2012) En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una encuesta para conocer los hábitos en cuanto

a contratar los viajes por internet. Se observa que 120 son hombres y que, de estos, 84 contratan los viajes por

internet, mientras que 24 de las mujeres no emplean esa vía. Elegido un congresista al azar, calcule la probabilidad

de que:

(a) No contrate sus viajes por internet.

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(b) Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer.

(c) Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet.

49. (Año 2012) Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4

negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcule:

(a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.

(b) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B.

(c) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca.

50. (Año 2012) Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 10%

de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son

defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se fabrican en la empresa:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?

(c) Si sabemos que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A?

51. (Año 2012) Se sabe que el 90% de los estudiantes del último curso de una Universidad está preocupado por sus

posibilidades de encontrar trabajo, el 30% está preocupado por sus notas y el 25% por ambas cosas.

(a) Si hay 400 alumnos matriculados en el último curso de dicha Universidad, ¿cuántos de ellos no están preocu-

pados por ninguna de las dos cosas?

(b) Si un alumno del último curso, elegido al azar, no está preocupado por encontrar trabajo, ¿cuál es la probabil-

idad de que esté preocupado por sus notas?

52. (Año 2012) Se ha impartido un curso de “conducción eficiente” a 200 personas. De los asistentes al curso, 60 son

profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% han mejorado su conducción. Este porcentaje baja al 80% en el resto

de los asistentes. Halle la probabilidad de que, elegido un asistente al azar:

(a) No haya mejorado su conducción.

(b) No sea profesor de autoescuela, sabiendo que ha mejorado su conducción.

53. (Año 2012) Se sabe que el 44% de la población activa de cierta provincia está formada por mujeres. También se

sabe que, de ellas, el 25% está en paro y que el 20% de los hombres de la población activa también están en paro.

(a) Elegida, al azar, una persona de la población activa de esa provincia, calcule la probabilidad de que esté en

paro.

(b) Si hemos elegido, al azar, una persona que trabaja, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

54. (Año 2012) Una compañía de seguros ha hecho un seguimiento durante un año a 50000 coches de la marca A, a

20000 de la marca B y a 30000 de la C, que tenía asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido accidente 650

coches de la marca A, 200 de la B y 150 de la C. A la vista de estos datos:

(a) ¿Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción de accidentes?

(b) Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que sea

de la marca C?

55. (Año 2012) En una localidad hay solamente dos supermercados A y B. El 58% de los habitantes compra en el A, el

35% en el B y el 12% compra en ambos. Si se elige un ciudadano al azar, calcule la probabilidad de que:

(a) Compre en algún supermercado.

(b) No compre en ningún supermercado.

(c) Compre solamente en un supermercado.

(d) Compre en el supermercado A, sabiendo que no compra en B.

56. (Año 2012) Un pescador tiene tres tipos de carnada de las que sólo una es adecuada para pescar salmón. Si utiliza

la carnada correcta la probabilidad de que pesque un salmón es 1/3, mientras que si usa una de las inadecuadas esa

probabilidad se reduce a 1/5.

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(a) Si elige aleatoriamente la carnada, ¿cuál es la probabilidad de que pesque un salmón?

(b) Si ha pescado un salmón, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con la carnada adecuada?

57. (Año 2012) Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades P(A) = 0,60

y P(B) = 0,25. Determine las probabilidades que deben asignarse a los sucesos A∪B y A∩B en cada uno de los

siguientes supuestos:

(a) Si A y B son incompatibles. (b) Si A y B son independientes. (c) Si p(A/B) = 0,40.

58. (Año 2012) Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar

y 175 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar.

(a) Calcule la probabilidad de que sea blanca.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada?

(d) ¿Son independientes los sucesos “sacar bola marcada” y “sacar bola blanca”?

59. (Año 2012) Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que p(A) = 0,8,p(B) = 0,7, p(A∪B) = 0,94.

(a) ¿Son A y B independientes? (b) Calcule p(A/B). (c) Calcule p(Ac∪Bc).

6.5. Selectividad 2013 (con soluciones)

1. (Año 2013) El 55% de los alumnos de un centro docente utiliza en su desplazamiento transporte público, el 30%

usa vehículo propio y el resto va andando. El 65% de los que utilizan transporte público son mujeres, el 70% de los

que usan vehículo propio son hombres y el 52% de los que van andando son mujeres.

(a) Elegido al azar un alumno de ese centro, calcule la probabilidad de que sea hombre.

(b) Elegido al azar un hombre, alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que vaya andando?

2. (Año 2013) De los sucesos independientes A y B se sabe que p(A) = 0,3 y que p(Bc) = 0,25. Calcule las siguientes

probabilidades:

(a) p(A∪B). (b) p(Ac∩Bc). (c) p(A/Bc).

3. (Año 2013) Una granja avícola dedicada a la producción de huevos posee un sistema automático de clasificación

en tres calibres según su peso: grande, mediano y pequeño. Se conoce que el 40% de la producción es clasificada

como huevos grandes, el 35% como medianos y el 25% restante como pequeños. Además, se sabe que este sistema

de clasificación produce defectos por rotura en el cascarón que dependen del peso. Así, la probabilidad de que un

huevo grande sea defectuoso por esta razón es del 5%, la de uno mediano del 3% y de un 2% la de uno pequeño.

Elegido aleatoriamente un huevo,

(a) ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

(b) Si el huevo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidadde que sea grande?

4. (Año 2013) A la Junta General de Accionistas de una empresa asisten 105 accionistas de los cuales 45 tienen menos

de 40 años y 18 más de 60 años. Sometida a votación una propuesta, es rechazada por la tercera parte de los menores

de 40 años, por la tercera parte de los que están entre 40 y 60 años y por 4 personas mayores de 60 años; los demás

la aceptan.

(a) Calcule la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 40 años y haya aceptado la

propuesta.

(b) La prensa afirmó que la propuesta había sido aceptada por el 80% de los asistentes, ¿es correcta la afirmación?

(c) Si una persona escogida al azar ha rechazado la propuesta, ¿qué probabilidad hay de que tenga más de 60

años?

5. (Año 2013) En un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un suceso A es 0,68, la de que ocurra otro

suceso B es 0,2, y la de que no ocurra ninguno de los dos es 0,27. Halle la probabilidad de que:

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(a) Ocurran los dos a la vez.

(b) Ocurra B pero no A.

(c) Ocurra B, sabiendo que no ha ocurrido A.

6. (Año 2013) Una encuesta realizada en un banco indica que el 60% de sus clientes tiene un préstamo hipotecario, el

50% tiene un préstamo personal y un 20% tiene un préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, un cliente de ese banco:

(a) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos.

(b) Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario sabiendo que no tiene préstamo personal.

7. (Año 2013) Se cree que hay una vuelta hacia estilos de baile más populares, por lo que se realiza una encuesta a

estudiantes de bachillerato, resultando que al 40% les gusta la salsa, al 30% les gusta el merengue y al 10% les

gusta tanto la salsa como el merengue.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante le guste el merengue si le gusta la salsa?

(b) ¿Y la de que a un estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa?

(c) ¿Son independientes los sucesos “gustar la salsa” y“gustar el merengue”? ¿Son compatibles?

8. (Año 2013) El 50% de los préstamos que concede un banco son para vivienda, el 30% para industria y el 20% para

consumo. No se pagan el 20% de los préstamos para vivienda, el 15% de los préstamos para industria y el 70% de

los préstamos para consumo.

(a) Si se elige al azar un préstamo, calcule la probabilidad de que se pague.

(b) Se elige un préstamo al azar que resulta impagado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un préstamo para

consumo?

(c) Ante un préstamo impagado el director del banco afirma que es más probable que sea para vivienda que para

consumo, ¿lleva razón el director?

9. (Año 2013) En una urna A hay 10 bolas verdes y 10 rojas, y en otra urna B hay 15 verdes y 5 rojas. Se lanza un

dado, de forma que si sale múltiplo de 3 se extrae una bola de la urna A y en el resto de casos se extrae una bola de

la urna B.

(a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

(b) Si la bola extraída resulta ser de color verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?

10. (Año 2013) En una empresa, el 65% de sus empleados habla inglés, y de éstos, el 40% habla también alemán. De

los que no hablan inglés, el 25% habla alemán. Se escoge un empleado al azar:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alemán?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, hable también inglés?

11. (Año 2013) Un Centro de Salud propone dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las personas que acuden al

Centro para dejar de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de un año el 70% de los que siguieron

la terapia A y el 80% de los que siguieron la B no han vuelto a fumar. Se elige al azar un usuario del Centro que

siguió una de las dos terapias:

(a) Calcule la probabilidad de que después de un año no haya vuelto a fumar.

(b) Si transcurrido un año esa persona sigue sin fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia

A.

(c) Si transcurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia

A.

12. (Año 2013) De los sucesos independientes A y B se sabe que p(Ac) = 0,4 y p(A∪B) = 0,8.

(a) Halle la probabilidad de B.

(b) Halle la probabilidad de que no se verifique B si se ha verificado A.

(c) ¿Son incompatibles los sucesos A y B?

50

Soluciones a los ejercicios de selectividad 2013

1. (a) 0,4745; (b) 0,1517. 2. (a) 0,825; (b) 0,175; (c) 0,3. 3. (a) 0,0355; (b) 0,5634. 4. (a) 30105= 0,2857; (b) 72

105= 0,6857;

(c) 433' 0,1212. 5. (a) 0,15; (b) 0,05; (c) 0,15625. 6. (a) 0,1; (b) 0,8. 7. (a) 0,25; (b) 0,333; (c) No son independientes,

sí son compatibles. 8. (a) 0,715; (b) 0,4912; (c) No está en lo cierto. 9. (a) 13= 0,333; (b) 3

4= 0,75. 10. (a) 0,26; (b)

0,3475; (c) 0,7482. 11. (a) 0,755; (b) 0,4172; (c) 0,551. 12. (a) 0,5; (b) 0,5; (c) No son incompatibles.


1. (Junio, A) Una urna, A, contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra urna, B, contiene cinco bolas numeradas

del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, extraeremos una bola de la urna A, y, si

sale cruz, la extraemos de la urna B. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

(a) “La bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par”.

(b) “El número de la bola extraída sea par”.

(c) “La bola sea de la urna A, si ha salido un número par”.

2. (Junio, B) Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de

oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día?

(b) Calcule la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta.

3. (Septiembre, A) Se sabe que dos alumnos de la asignatura de Matemáticas asisten a clase, de forma independiente,

el primero a un 85% de las clases y el segundo a un 35%. Tomado al azar un día de clase, calcule la probabilidad

de cada uno de los siguientes sucesos:

(a) Que los dos hayan asistido a clase ese día.

(b) Que alguno de ellos haya asistido a clase ese día.

(c) Que ninguno haya asistido a clase ese día.

(d) Que haya asistido a clase el segundo, sabiendo que el primero no ha asistido.

4. (Septiembre, B) En una tienda de complementos disponen de 100 bolsos, de los cuales 80 son de una conocida

marca y 20 son imitaciones casi perfectas de dicha marca. Una inspección encarga a un experto el peritaje de los

bolsos de la tienda. Se sabe que este experto acierta en el 95% de sus peritajes cuando el bolso es auténtico y que

detecta el 98% de las imitaciones. Se elige, al azar, un bolso para su examen:

(a) Calcule la probabilidad de que el experto acierte en su dictamen sobre ese bolso.

(b) Si el experto no ha acertado en su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea auténtico.

5. Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que: p(A) = 0,5 y p(B) = 0,3.

(a) Diga, razonadamente, si A y B son sucesos incompatibles.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A y no suceda B?

(c) Calcule p(A/Bc).

6. Un estudio estadístico de la producción de una fábrica de batidoras determina que el 4.5% de las batidoras presenta

defectos eléctricos, el 3.5% presenta defectos mecánicos y el 1% presenta ambos defectos. Se escoge al azar una

batidora.

(a) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos defectos.

(b) Calcule la probabilidad de que tenga un defecto mecánico sabiendo que tiene un defecto eléctrico.

(c) Justifique si los sucesos “tener un defecto eléctrico” y “tener un defecto mecánico” son independientes. ¿Son

incompatibles?

7. En un servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se reciben son del modelo

A y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A son reparadas, mientras que del modelo B sólo se

reparan el 80%. Si se elige una cámara al azar:

51

(a) Calcule la probabilidad de que no se haya podido reparar.

(b) Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?

8. Se elige un número, al azar, entre el siguiente conjunto:

{225,201,162,210,180,172,156,193,218,167,176,222,215,120,190,171}

(a) Calcule la probabilidad de que el número elegido sea impar.

(b) Si el número elegido es múltiplo de 5, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 200?

(c) Determine si son independientes los sucesos S: “el número elegido es mayor que 200” y T : “el número elegido

es par”.

(d) Halle la probabilidad del suceso S∪T .

9. El 65% de la población española adulta no fuma, el 15% fuma ocasionalmente y el resto fuma habitualmente.

Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

(a) Los dos sean no fumadores.

(b) Uno de ellos sea no fumador y el otro sea fumador ocasional.

10. Se sabe que el 80% de los visitantes de un determinado museo son andaluces y que el 55% son andaluces y adultos.

Además, el 17% de los visitantes son no andaluces y adultos. Se elige, al azar, un visitante del museo:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea adulto?

(b) Si es adulto, ¿cuál es la probabilidad de que sea andaluz?

11. En un Instituto de Educación Secundaria el 40% de los alumnos juegan al fútbol, el 30% juegan al baloncesto y el

20% practican ambos deportes.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, no practique ninguno de los dos deportes?

(b) Si un alumno, elegido al azar, juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que no juegue al baloncesto?

(c) ¿Son independientes los sucesos “jugar al fútbol” y “jugar al baloncesto”?

12. El 25% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70% en prensa digital y

el 10% en ambos formatos. Elegido, al azar, un estudiante de esa Universidad:

(a) Calcule la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital.

(b) Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcule la probabilidad de que también las lea en prensa escrita

en papel.

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que lea las noticias exclusivamente en uno de los dos formatos?


1. (a) Un ilusionista tiene seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca una carta, la enseña al público y, sin verla, la vuelve

a mezclar con las demás. A continuación saca una segunda carta que resulta ser un as. ¿Cuál es la probabilidad de

que la primera carta haya sido también un as?

(b) Si el ilusionista no devolviera la primera carta a la baraja y la segunda carta extraída fuera un as, ¿cuál es la

probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?

2. El 30% de los habitantes de una ciudad lee el diario A, el 13% el diario B, y el 6% ambos diarios.

(a) ¿Qué porcentaje de habitantes de esta ciudad no lee ninguno de los diarios?

(b) Si se elige al azar un habitante de esta ciudad de entre los no lectores del diario B, ¿cuál es la probabilidad de

que lea el diario A?

3. El 70% de los clientes de un supermercado realizan las compras en el local y el resto de los clientes las realizan por

internet. De las compras realizadas en el local, sólo el 30% supera los 100 €, mientras que de las realizadas por

internet el 80% supera esa cantidad.

(a) Elegida una compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 100 €?

52

(b) Si se sabe que una compra supera los 100 €, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho en el local?

4. Sean dos sucesos A y B tales que p(A) = 0.25, p(B) = 0.6 y p(A∩Bc) = 0.1.

(a) Calcule la probabilidad de que ocurra A y ocurra B.

(b) Calcule la probabilidad de que no ocurra A pero sí ocurra B.

(c) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.

(d) ¿Son independientes A y B?

5. Lucía quiere ir de vacaciones a la costa. En su guía de viajes lee que en esa época del año llueve dos días a la

semana y que hace viento el 25% de los días que llueve y el 40% de los días que no llueve. Elegido un día de esa

época,

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que haga viento?

(b) Si hace viento, ¿cuál es la probabilidad de que esté lloviendo?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva y no haga viento?

6. En una urna A hay 8 bolas verdes y 6 rojas. En otra urna B hay 4 bolas verdes, 5 rojas y 1 negra. Se lanza un dado,

si sale un número menor que 3 se saca una bola de la urna A, y si sale mayor o igual que 3 se saca una bola de la

urna B.

(a) Calcule la probabilidad de que la bola sea verde si ha salido un 4.

(b) Calcule la probabilidad de que la bola elegida sea roja.

(c) Sabiendo que ha salido una bola verde, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna A?

7. De los 700 alumnos matriculados en una asignatura, 210 son hombres y 490 mujeres. Se sabe que el 60% de los

hombres y el 70% de las mujeres aprueban dicha asignatura. Se elige una persona al azar.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura?

(b) Sabiendo que ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

8. La proporción de personas de una población que tiene una determinada enfermedad es de 1 por cada 500 personas.

Se dispone de una prueba para detectar dicha enfermedad. La prueba detecta la enfermedad en el 90% de los casos

en que la persona está enferma, pero también da como enfermas al 5% de las personas sanas.

(a) Se elige al azar una persona y se le hace la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido diagnosticada

correctamente?

(b) Si la prueba ha diagnosticado que la persona está enferma, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo esté?

¿Y de que esté sana?

9. (a) Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de sus puntuaciones sea un múltiplo de 4.

(b) De un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades

p(Ac) = 0.8, p(Bc) = 0.7 y p(A∪B) = 0.5.

¿Son A y B incompatibles?

10. Una empresa dedicada a la producción de jamones ibéricos dispone de dos secaderos, A y B, con distintas condi-

ciones ambientales y de almacenamiento. En el secadero B se curan la tercera parte de los jamones. El 25% de los

jamones curados en el secadero A son catalogados como Reserva, mientras que en el B este porcentaje asciende al

80%. Elegido un jamón al azar de uno de los secaderos, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

(a) El jamón no es de Reserva.

(b) Si el jamón es de Reserva, que proceda del secadero A.

11. Un estudio estadístico determina que la noche del 31 de diciembre conduce el 5% de la población, el 20% consume

alcohol esa noche y el 2% conduce y consume alcohol.

(a) ¿Son independientes los sucesos “conducir” y “consumir alcohol”?

(b) ¿Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esa noche?

53

(c) De las personas que consumen alcohol, ¿qué porcentaje conduce esa noche?

12. Una enfermedad puede estar provocada por solo una de estas tres causas: A, B o C. La probabilidad de que la

causa sea A es 0.3, la de que sea B es 0.2 y la de que sea C es 0.5. El tratamiento de esta enfermedad requiere

hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa

es C.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo con la citada enfermedad no necesite hospitalización?

(b) Si un enfermo está hospitalizado debido a esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la causa haya sido

A?


1. Marta tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro de color

azul y dos pares blancos. Si decide aleatoriamente qué ponerse, determine las probabilidades de los siguientes

sucesos:

(a) Llevar un traje rojo y unos zapatos blancos.

(b) No ir toda vestida de blanco.

(c) Calzar zapatos azules o blancos.

2. En una encuesta sobre la nacionalidad de los veraneantes en un municipio de la costa andaluza, se ha observado

que el 40% de los encuestados son españoles y el 60% extranjeros, que el 30% de los españoles y el 80% de los

extranjeros residen en un hotel y el resto en otro tipo de residencia. Se elige al azar un veraneante del municipio.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no resida en un hotel?

(b) Si no reside en un hotel, ¿cuál es la probabilidad de que sea español?

(c) ¿Son independientes los sucesos “ser extranjero” y “residir en un hotel”?

3. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que P(A) = 0.3, P(B) = 0.6, P(Ac∩Bc) = 0.28.

(a) Halle la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez.

(b) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiendo que no ha ocurrido B.

(c) ¿Son A y B independientes?

4. El aparcamiento de una sala de conciertos está completo el 85% de los días. El 90% de los días que el aparcamiento

está completo, la sala de conciertos está llena, y el 22% de los días que el aparcamiento no está completo, la sala de

conciertos no está llena. Elegido un día al azar,

(a) ¿cuál es la probabilidad de que la sala de conciertos esté llena?

(b) Si se sabe que la sala de conciertos está llena, ¿cuál es la probabilidad de que el aparcamiento esté completo?

5. En un centro de estudios que tiene 250 estudiantes, hay 50 que tienen problemas visuales y 20 que tienen problemas

auditivos. Los sucesos “tener problemas visuales” y “tener problemas auditivos” son independientes. Se elige un

estudiante al azar, calcule las probabilidades de los sucesos siguientes:

(a) Tener problemas visuales y auditivos.

(b) No tener problemas visuales ni auditivos.

(c) Tener algún problema auditivo si no tiene problemas visuales.

6. En un aeropuerto internacional operaron 300000 vuelos en un determinado año, distribuidos de la siguiente forma:

150000 en la terminal A, 100000 en la B y 50000 en la C. En ese año se sabe que sufrieron retrasos el 10% de los

vuelos de la terminal A, el 8% de la B y el 5% de la C. Determine, para un vuelo elegido al azar, las probabilidades

de los siguientes sucesos:

(a) Que no sufriera retraso.

(b) Que operase en la terminal A, sabiendo que tuvo retraso.

7. El 60% de los jóvenes de una ciudad usa Facebook, el 80% usa WhatsApp y el 4% usa Facebook pero no WhatsApp.

54

(a) Halle el porcentaje de jóvenes de esa ciudad que usa ambas aplicaciones.

(b) Calcule el porcentaje de esos jóvenes que usa WhatsApp pero no Facebook.

(c) Entre los jóvenes que usan WhatsApp, ¿qué porcentaje usa también Facebook?

(d) Los sucesos “usar Facebook” y “usar WhatsApp”, ¿son independientes?

8. De los sucesos A y B de un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades:

p(A) = 0.4, p(B) = 0.5, p[(A∪B)C

]= 0.1.

(a) Razone si A y B son sucesos compatibles.

(b) Razone si A y B son sucesos independientes.

(c) Calcule p(A∩BC).

(d) Calcule p(A/BC).

9. Disponemos de tres monedas: 1 dólar, 1 libra y 1 euro. La moneda de 1 dólar está trucada y la probabilidad de que

salga cara es el doble de la probabilidad de que salga cruz. La moneda de 1 libra también está trucada y tiene dos

caras y la de 1 euro es correcta. Se escoge una de las tres monedas al azar y se lanza.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?

(b) Sabiendo que salió cruz, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada fuera la de 1 dólar?

10. De los alumnos que se presentaron a las pruebas de selectividad de una provincia, 1150 se examinaron de Geografía;

de estos, 598 eligieron la opción A. Se sabe que aprobaron esa asignatura el 78% de los que eligieron la opción A y

el 74% de los que eligieron la opción B. Se ha escogido al azar uno de los alumnos que se examinaron de Geografía.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que este alumno haya aprobado esta asignatura?

(b) Si se sabe que este alumno ha aprobado Geografía, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la opción A?


1. Se sabe que el 90 % de los alumnos de un centro docente está interesado por las redes sociales, el 60 % está

interesado por sus notas y el 55 % por ambas cuestiones. Se elige al azar un alumno de ese centro.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho alumno esté interesado por alguna de las dos cuestiones?

(b) Calcule la probabilidad de que esté interesado por sus notas, sabiendo que no está interesado por las redes

sociales.

(c) Calcule la probabilidad de que no esté interesado por ninguna de estas dos cuestiones.

2. En una ciudad hay dos fábricas de pasta, F1 y F2, que producen dos tipos de productos, A y B, que venden a un

distribuidor en paquetes de 1 kg. En un mes, la fábrica F1 produce 20000 kg de pasta, de los que 12000 son del tipo

A y la fábrica F2 produce 25000 kg de pasta de los que 15000 kg son del tipo A. Se escoge al azar un paquete del

distribuidor.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

(b) Si el paquete elegido resulta ser del tipo A, ¿qué es más probable, que proceda de la fábrica F1 o que proceda

de la F2?

3. Sean A, B y C tres sucesos de los que se sabe que A y B son independientes, A y C son incompatibles, P(A) = 0.4,

P(A∩B) = 0.1, y P(C) = 0.2.

Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

(a) Que suceda A si no sucede B.

(b) Que no suceda ni A ni C.

(c) Que si no sucede B tampoco suceda A.

4. Para superar una asignatura un estudiante hace un examen teórico y otro práctico. La probabilidad de que apruebe

el examen teórico es 0.8, la de que apruebe el examen práctico es 0.6 y la de que apruebe ambos es 0.5.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes?

55

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen práctico en caso de no haber aprobado el examen teórico?

(c) ¿Son independientes los sucesos “aprobar el examen teórico” y “aprobar el examen práctico”?

5. En un estudio sobre los niveles de audiencia de dos cadenas de radio, se obtuvo que el 50 % de la población escucha

la cadena A, el 40 % escucha la cadena B y el 20 % oye ambas.

(a) Halle el porcentaje de la población que escucha alguna de las dos cadenas.

(b) Calcule el porcentaje de la población que escucha solo la cadena B.

(c) Halle el porcentaje de la población que escucha solo una de las dos cadenas.

6. A una asamblea en la Universidad asisten 420 alumnos de los cuales 180 son de Empresariales, 72 de Relaciones

Laborales y el resto de Derecho. Un tercio de los alumnos de Empresariales, dos tercios de los de Derecho y 16

alumnos de Relaciones Laborales votan NO a la huelga. El resto ha votado SÍ.

(a) Calcule la probabilidad de que elegido un alumno al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar haya votado SÍ a la huelga?

(c) Si elegido un alumno al azar, resulta que ha votado NO a la huelga, ¿cuál es la probabilidad de que sea de

Relaciones Laborales?

7. En un departamento de una Universidad hay 8 profesores y 14 profesoras. Se quiere constituir una comisión

formada por 2 miembros del departamento, elegidos al azar.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean profesoras?

(b) Calcule la probabilidad de que la comisión esté constituida por un profesor y una profesora.

(c) Halle la probabilidad de que en la comisión no haya ninguna profesora.

8. Los alumnos que cursan una asignatura deben realizar dos exámenes: uno teórico y otro práctico. El 50 % de los

alumnos aprueba los dos exámenes, el 6 % no aprueba ninguno y el 20 % solo aprueba el teórico. Se elige un

alumno al azar.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes?

(b) Si ha aprobado el teórico, ¿cuál es la probabilidad de que no apruebe el examen práctico?

9. Supongamos que el 20% de los votantes de Trump apoya la construcción del muro en la frontera con México y

que solo el 5 % de los que no lo votaron la apoya. En un grupo formado por 5000 votantes de Trump y 10000

estadounidenses que no lo votaron se elige una persona al azar.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que ésta apoye la construcción del muro?

(b) Si la persona elegida apoya la construcción del muro, ¿cuál es la probabilidad de que no haya votado a Trump?

(c) Calcule la probabilidad de que sea votante de Trump o apoye la construcción del muro.

10. Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por 2 bolas del otro color. A

continuación se extrae una segunda bola.

(a) Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde.

(b) Halle la probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja.

11. De los sucesos A y B se sabe que P(A) = 0.6, P(B/A) = 0.8 y P(B/AC) = 0.1.

(a) Calcule las probabilidades P(B), P(A∩B) y P(A∪B).

(b) ¿Son los sucesos A y B independientes?

12. El 10 % de las personas que acuden a un servicio de urgencias lo hace por problemas respiratorios, de éstos el 80

% son fumadores, mientras que de los que acuden por otros problemas solo el 5 % son fumadores. Se elige, al azar,

una persona de las que acuden al servicio de urgencias.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas respiratorios y no sea fumador?

(b) Si la persona elegida es fumadora, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas que no son

respiratorios?

56

Cuestionario: Cálculo de Probabilidades

Razona las respuestas correctas en cada cuestión:

1. Consideremos el experimento aleatorio "lanzar un dado cúbico no trucado dos veces consecutivas". Señale lasrespuestas correctas:

(a) Este experimento tiene el mismo espacio muestral que el experimento de "lanzar dos dados cúbicos indistin-

guibles, no trucados".

(b) Los sucesos A= ”la suma de los resultados es un número primo" y B= {(1,2),(2,2),(6,5)} son compatibles.

(c) Los sucesos A y B son independientes.

(d) Ninguna de las frases anteriores es cierta.

2. Sean A y B dos sucesos independientes de un mismo experimento aleatorio. Determine cuáles de las siguientesafirmaciones son ciertas:

(a) A y Bc son independientes.

(b) Ac y B son independientes.

(c) Ac y Bc no son necesariamente independientes.

(d) Ninguna de las frases anteriores es cierta.

3. Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio. Supongamos que P(A) 6= 0 y que P(B) 6= 0. Señalelas respuestas correctas:

(a) Si A y B son independientes, entonces son incompatibles.

(b) P(A∩B) 6= 0.

(c) Si A y B son incompatibles, entonces también son independientes.

(d) Si A y B son incompatibles, entonces no son independientes

4. Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio. Señale las respuestas correctas:

(a) Si A y B son compatibles, entonces P(A) 6= 0 y P(B) 6= 0.

(b) Si A y B son compatibles, entonces P(A∩B) = P(A) ·P(B).(c) Si A y B son incompatibles, P(A∪B) = P(A)+P(B).

(d) Si A y B son incompatibles, entonces P(A∩B) 6= 0.

(e) Si A y B son compatibles, entonces P(A∩B) 6= 0.

5. Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, donde P(A) = 0.3; P(B) = 0.4 y también P(A∪B) =0.5. Señale las respuestas correctas:

(a) P(A∩B) = 0.12.

(b) P(A∩B) = 0.2.

(c) A y B son dependientes.

(d) A y B son incompatibles.

6. Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio. Supongamos que A y B son independientes. Señalelas respuestas correctas.

(a) P(AC ∪BC) = P(AC) ·P(BC).

(b) P(AC ∪BC) = 1−P(A) ·P(B).

(c) P(AC/BC

)= P(AC).

(d) P(AC/BC

)= 1−P

(A/BC

).

7. Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio. Supongamos que P(A∩B)= 0. Señale las respuestascorrectas.

(a) A o bien B debe ser el suceso imposible.

(b) Si A y B son independientes, entonces al menos uno de los sucesos A y B es el suceso imposible.

57

(c) P(A/B) = 0.

(d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta.

8. Sean A,B y C tres sucesos de un mismo experimento aleatorio. Supongamos que:

P(A) = 0.1; P(B) = 0.3; P(C) = 0.5;

P(A∩B) = 0.1; P(A∩C) = 0; P(B∩C) = 0.2.

Señale las respuestas correctas:

(a) A⊂ B.

(b) A∩C =∅.(c) B y C son independientes.

(d) P(A∩B∩C) = 0.1.

(e) B⊂C.

(f) P(B/A) = 1.

(g) P(A/B) = 1.

(h) P(B−A) = P(B∩C).

58

TEMA 7

Muestreo

7.1. Ejercicios de Muestreo

1. Dada la población de elementos {3,4,5,8}, se pretende seleccionar una muestra de tamaño 2, mediante muestreo

aleatorio con reemplazamiento.

(a) Escriba todas las muestras posibles.

(b) Calcule la varianza de la población.

(c) Calcule la varianza de las medias muestrales.

2. Una variable aleatoria puede tomar los valores 20, 24 y 30 . Mediante muestreo aleatorio simple se forman todas

las muestras posibles de tamaño 2.

(a) Escriba todas las muestras posibles.

(b) Calcule la media y varianza de las medias muestrales.

3. (a) En una población hay 100 personas: 60 mujeres y 40 hombres. Se desea seleccionar una muestra de tamaño 5

mediante muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Qué composición tendrá dicha muestra?

(b) En la población formada por los números 2, 4, 6 y 8, describa las posibles muestras de tamaño 2 seleccionadas

por muestreo aleatorio simple, y calcule la varianza de las medias muestrales.

4. Sea la población de elementos {22,24,26}.

(a) Escriba todas las muestras posibles de tamaño 2, escogidas mediante muestreo aleatorio simple.

(b) Calcule la varianza de la población.

(c) Calcule la varianza de las medias muestrales.

5. (a) Sea la población {1,5,7}. Escriba todas las muestras de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple, y calcule

la varianza de las medias muestrales.

(b) De una población de 300 hombres y 200 mujeres se desea seleccionar, mediante muestreo aleatorio estratificado

con afijación proporcional, una muestra de tamaño 30 distribuida en los dos estratos, ¿cuál será la composición de

la muestra?

6. Sea la población {1,2,3,4}.

(a) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple.

(b) Calcule la varianza de las medias muestrales.

7. (Año 2012) (a) En una ciudad viven 400 hombres y 320 mujeres y se quiere seleccionar una muestra de tamaño 54

utilizando muestreo estratificado por sexos, con afijación proporcional, ¿cuál sería la composición de la muestra?

(b) A partir de una población de elementos 1, 2, 3, 4 se seleccionan, mediante muestreo aleatorio simple, todas las

muestras de tamaño 2. Escriba dichas muestras y calcule la varianza de las medias muestrales.

8. (Año 2013) (a) Una población de 6000 personas se ha dividido en 3 estratos, uno con 1000 personas, otro con 3500

y otro con 1500. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que

se han elegido al azar 15 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este

muestreo y su composición.

(b) Dada la población {1,4,7}, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que puedan formarse mediante

muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas esas muestras.

9. (Año 2014) (1) En un centro docente la tercera parte de los alumnos estudia el idioma A, la mitad el idioma B y el

resto el idioma C (cada alumno estudia sólo uno de estos idiomas).

(a) Se desea seleccionar una muestra de 60 alumnos, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación

proporcional al número de los alumnos de cada idioma. ¿Cómo debería estar conformada la muestra?

59

(b) En otra muestra seleccionada por el procedimiento anterior, el número de alumnos tomados del idioma A es

14. Determine cuántos se han elegido de los otros dos idiomas.

(2) Una población tiene 5 elementos. Mediante muestreo aleatorio simple se seleccionan muestras de tamaño 3,

siendo la desviación típica de sus medias 2 y la media de las medias muestrales 7. ¿Cuánto valen la media y la

varianza de la población?

10. (Año 2014) (a) Determine todas las muestras de tamaño 2 que, mediante muestreo aleatorio simple, se pueden

extraer del conjunto {6,9,12} y calcule la varianza de las medias de estas muestras.

(b) Una empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamente 40, 15, 25 y 120 unidades

respectivamente. Si un día se quiere elaborar una muestra de 40 unidades con los productos fabricados, por muestreo

aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿qué número de unidades de cada producto se debe elegir?

TEMA 8

Distribución normal

1. Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas a la izquierda de cada valor Z de la distribución normal tipificada,

calcular las probabilidades (áreas) siguientes:

(a) p [Z < 1,35]

(b) p [Z <−0,338]

(c) p [Z > 2,1]

(d) p [Z >−1]

(e) p [−1,39< Z 6−0,44]

(f) p [−1,526 Z 6 0,897]

(g) p [Z 6 0,22]

(h) p [Z <−1,8]

(i) p [Z > 1,0092]

(j) p [Z >−1,61]

(k) p [−2,06< Z <−0,24]

(l) p [−0,026 Z 6 1,7]

2. Determinar el valor de k en cada caso, para la la variable tipificada Z N (0,1):

(a) p [Z < k] = 0,5438

(b) p [Z < k] = 0,0227

(c) p [Z > k] = 0,0178

(d) p [Z > k] = 0,5398

(e) p [−k 6 Z 6 k] = 0,3595

(f) p [−k 6 Z 6 k] = 0,6722

(g) p [−k 6 Z 6 k] = 0,4

3. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normal-

mente con media 6,5 y varianza 4.

(a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.

(b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.

(c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5 puntos?.

4. Sólo 24 de los 200 alumnos de un centro educativo miden menos de 150 cm. Si la estatura media de dichos alumnos

es de 164 cm, ¿cuál es su varianza?.

5. Las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con media 15 puntos. La puntuación A ha sido super-

ada por un 23% de los alumnos. La puntuación B está situada a 5 puntos por debajo de la media. Entre B y la media

se encuentra el 30% de los alumnos. Calcular :

(a) La desviación típica de las notas.

(b) Las puntuaciones directas de A y B.

(c) El porcentaje de alumnos entre A y B.

60

8.1. Problemas

1. La resistencia a la rotura, de un tipo de hilos de pesca, es una variable aleatoria Normal, con media 4 kg y desviación

típica 1,4 kg. Se toman muestras aleatorias de 25 hilos de este tipo y se obtiene la resistencia media a la rotura.

(a) ¿Cómo se distribuye la resistencia media a la rotura?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la rotura no pertenezca al intervalo de extremos 3,90 kg

y 4,15 kg?

2. Una empresa de teléfonos móviles ha hecho un estudio sobre el tiempo que tardan sus baterías en descargarse,

llegando a la conclusión de que dicha duración, en días, sigue una ley Normal de media 3,8 y desviación típica 1.

Se toma una muestra de 16 móviles de esta empresa. Halle la probabilidad de que:

(a) La duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 4,1 y 4,3 días.

(b) La duración media de las baterías de la muestra sea inferior a 3,35 días.

3. El número de horas semanales que los estudiantes de Bachillerato de una ciudad dedican al deporte se distribuye

según una ley Normal de media 8 y varianza 7,29.

(a) Para muestras de tamaño 36, indique cuál es la distribución de las medias muestrales.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 36 esté comprendida entre 7,82 y 8,36

horas?

4. La superficie de las parcelas de una determinada provincia se distribuye según una ley Normal con media 2,9 Ha y

desviación típica 0,6 Ha.

(a) Indique la distribución de las medias muestrales para muestras de tamaño 169.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de tamaño 169 tenga una superficie media comprendida entre 2,8

y 3 Ha?

5. Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4.

(a) Para muestras de tamaño 4, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral supere el valor 54?

(b) Si X16 indica la variable aleatoria “media muestral para muestras de tamaño 16”, calcule el valor de a para

que p(50−a6 X16 6 50+a

)= 0,9876.

6. Un fabricante produce tabletas de chocolate cuyo peso en gramos sigue una ley Normal de media 125 g y desviación

típica 4 g.

(a) Si las tabletas se empaquetan en lotes de 25, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de las tabletas de

un lote se encuentre entre 124 y 126 gramos?

(b) Si los lotes fuesen de 64 tabletas, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de las tabletas del lote

superase los 124 gramos?

TEMA 9

Intervalos de confianza para la media

1. Para estimar la media de una variable aleatoria X, que se distribuye según una ley Normal con desviación típica 2,5,

se toma una muestra aleatoria cuya media es 4,5. Para un nivel de confianza del 99%:

(a) Halle un intervalo de confianza para la media de la población, si el tamaño de esa muestra es 90.

(b) Determine el tamaño mínimo que debería tener otra muestra para obtener un intervalo de confianza, con una

amplitud máxima de 1 unidad.

2. Se sabe que la velocidad de los coches que circulan por una carretera es una variable aleatoria que sigue una

distribución Normal con desviación típica 12 km/hora.

(a) Se toma una muestra aleatoria de 400 coches que da una velocidad media de 87 km/hora. Obtenga un intervalo

con un 95% de confianza, para la velocidad media del total de coches que circulan por esa carretera.

61

(b) Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar para estimar la velocidad media del total de coches

que circulan por esa carretera, con un error inferior a 1 km/hora para un nivel de confianza del 99%.

3. (a) De una población Normal de media desconocida y desviación típica 6, se extrae la siguiente muestra:

82,78,90,89,92,85,79,63,71.

Determine un intervalo de confianza, al 98%, para la media de la población.

(b) Determine el tamaño que debe tener otra muestra de esta población para que un intervalo de confianza para la

media, al 98%, tenga una amplitud igual a 4,66.

4. Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una dis-

tribución Normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un

nivel de confianza del 95% ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6; 392,2).

(a) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado.

(b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza

del 86,9%?

5. El peso de los paquetes enviados por una determinada empresa de transportes se distribuye según una ley Normal,

con una desviación típica de 0,9 kg. En un estudio realizado con una muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuvieron

los siguientes pesos en kilos:

9.5, 10, 8.5,10.5 ,12.5 ,10.5 ,12.5 ,13 ,12 .

(a) Halle un intervalo de confianza, al 99%, para el peso medio de los paquetes enviados por esa empresa.

(b) Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra, en el caso de admitir un error máximo de 0,3 kg,

con un nivel de confianza del 90%.

6. La duración de un cierto tipo de bombillas eléctricas se distribuye según una ley Normal con desviación típica 1500

horas.

(a) Si en una muestra de tamaño 100, tomada al azar, se ha observado que la vida media es de 9900 horas,

determine un intervalo, con el 95% de confianza, para la vida media de esta clase de bombillas.

(b) Con un nivel de confianza del 99% se ha construido un intervalo para la media con un error máximo de 772,5

horas, ¿qué tamaño de la muestra se ha tomado en este caso?

7. En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 3.

(a) A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media muestral igual a 7. Halle un intervalo de

confianza, al 96%, para la media de la población.

(b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra con la cual se estime la media, con un nivel de confianza del 99%

y un error máximo admisible de 2?

8. En una población una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 2.

(a) Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestral igual a 50. Calcule

un intervalo, con el 97% de confianza, para la media de la población.

(b) Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la amplitud del intervalo

que se obtenga sea, como máximo, 1?

9. La duración de un viaje entre dos ciudades es una variable aleatoria Normal con desviación típica 0,25 horas.

Cronometrados 30 viajes entre estas ciudades, se obtiene una media muestral de 3,2 horas.

(a) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la media de la duración de los viajes entre ambas ciudades.

(b) ¿Cuál es el error máximo cometido con dicha estimación?

10. La estatura de los soldados de un cuartel sigue una distribución Normal con desviación típica 12 cm.

(a) Indique la distribución que sigue la media de la estatura de las muestras de soldados de ese cuartel, de tamaño

81.

62

(b) Si se desea estimar la estatura media de los soldados de ese cuartel de forma que el error no sobrepase los 3

cm, ¿cuántos soldados deberán escogerse para formar parte de la muestra si se utiliza un nivel de confianza

del 97%?

11. El índice de resistencia a la rotura, expresado en kg, de un determinado tipo de cuerda sigue una distribución

Normal con desviación típica 15,6 kg. Con una muestra de 5 de estas cuerdas, seleccionadas al azar, se obtuvieron

los siguientes índices:

280, 240, 270, 285, 270.

(a) Obtenga un intervalo de confianza para la media del índice de resistencia a la rotura de este tipo de cuerdas,

utilizando un nivel de confianza del 95%.

(b) Si, con el mismo nivel de confianza, se desea obtener un error máximo en la estimación de la media de 5 kg,

¿será suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas?

12. La longitud de los tornillos fabricados por una máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0,1 cm. Se

ha seleccionado una muestra aleatoria y, con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo, para la media

poblacional, cuya amplitud es 0,0784 cm.

(a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?

(b) Determine el intervalo de confianza, si en la muestra seleccionada se ha obtenido una longitud media de 1,75

cm.

13. El número de horas semanales que los adolescentes dedican a ver la televisión se distribuye según una ley Normal

de media 9 horas y desviación típica 4. Para muestras de 64 adolescentes:

(a) Indique cuál es la distribución de las medias muestrales.

(b) Calcule la probabilidad de que la media de una de las muestras esté comprendida entre 7,8 y 9,5 horas.

14. Se supone que la puntuación obtenida por cada uno de los tiradores participantes en la sede de Gádor de los “Juegos

Mediterráneos Almería 2005”, es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 6

puntos. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 36 que da una media de 35 puntos.

(a) Obtenga un intervalo, con un 95% de confianza, para la puntuación media del total de tiradores.

(b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la puntuación media del total de

tiradores, con un error inferior a 1 punto y con un nivel de confianza del 99%.

15. El peso de los cerdos de una granja sigue una ley Normal con desviación típica 18 kg.

(a) Determine el tamaño mínimo de una muestra para obtener un intervalo de confianza, para la media de la

población, de amplitud 5 kg con un nivel de confianza del 95%.

(b) Si la media de los pesos de los cerdos de la granja fuera 92 kg, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso

medio de una muestra de 100 cerdos estuviese entre 88 y 92 kg?

16. El gasto anual, en videojuegos, de los jóvenes de una ciudad sigue una ley Normal de media desconocida µ y

desviación típica 18 euros. Elegida, al azar, una muestra de 144 jóvenes se ha obtenido un gasto medio de 120

euros.

(a) Indique la distribución de las medias de las muestras de tamaño 144.

(b) Determine un intervalo de confianza, al 99 %, para el gasto medio en videojuegos de los jóvenes de esa ciudad.

(c) ¿Qué tamaño muestral mínimo deberíamos tomar para, con la misma confianza, obtener un error menor que

1,9?

17. (a) Los valores:

52, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53

constituyen una muestra aleatoria de una variable aleatoria Normal, con desviación típica 6. Obtenga un intervalo

de confianza para la media de la población, con un nivel de confianza del 92 %.

(b) Se desea estimar la media poblacional de otra variable aleatoria Normal, con varianza 49, mediante la media

de una muestra aleatoria. Obtenga el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo de la estimación,

mediante un intervalo de confianza al 97 %, sea menor o igual que 2.

63

18. En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 9. ¿De qué

tamaño, como mínimo, debe ser la muestra con la cual se estime la media poblacional con un nivel de confianza del

97 % y un error máximo admisible igual a 3?

19. Se han tomado las tallas de 16 bebés, elegidos al azar, de entre los nacidos en un cierto hospital, y se han obtenido

los siguientes resultados, en centímetros:

51, 50, 53, 48, 49, 50, 51, 48, 50, 51, 50, 47, 51, 51, 49, 51.

La talla de los bebés sigue una ley Normal de desviación típica 2 centímetros y media desconocida.

(a) ¿Cuál es la distribución de las medias de las muestras de tamaño 16?

(b) Determine un intervalo de confianza, al 97 %, para la media poblacional.

20. Una variable aleatoria sigue una ley Normal con media desconocida y desviación típica 2,4. Se quiere estimar la

media poblacional, con un nivel de confianza del 93 %, para lo que se toman dos muestras de distintos tamaños.

(a) Si una de las muestras tiene tamaño 16 y su media es 10,3, ¿cuál es el intervalo de confianza correspondiente?

(b) Si con la otra muestra el intervalo de confianza es (9,776; 11,224), ¿cuál es la media muestral? ¿Cuál es el

tamaño de la muestra?

21. De una población Normal, con media desconocida y varianza 36, se extrae una muestra aleatoria que resulta tener

una media muestral de 173.

(a) Obtenga un intervalo de confianza del 97 % para la media poblacional, si el tamaño de la muestra es 64.

(b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra, si se desea que el error cometido al estimar la media pobla-

cional sea inferior a 1,2, para un nivel de confianza del 95 %?

22. El peso, en kg, de los alumnos de primaria de un colegio sigue una distribución Normal de media 28 kg y desviación

típica 2,7 kg. Consideremos muestras aleatorias de 9 alumnos.

(a) ¿Qué distribución sigue la media de las muestras?

(b) Si elegimos, al azar, una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que su media esté comprendida entre

26 y 29 kg?

23. La variable “tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto” sigue una distribución Normal con

desviación típica 0,05 segundos. Al medir dicho tiempo en 50 conductores se ha obtenido un tiempo medio de 0,85

segundos.

(a) Halle el intervalo de confianza para el tiempo medio de reacción, con un nivel de confianza del 99%.

(b) ¿De qué tamaño mínimo ha de tomarse una muestra para que el error de estimación no supere 0,01 segundos,

con un nivel de confianza del 95%?

24. (Año 2012) Una característica de una determinada población se distribuye según una variable aleatoria Normal X de

media desconocida y desviación típica 0,9. Extraída al azar una muestra de tamaño 9 de esa población y observada

X, dio como resultados:

10.5, 10, 8.5, 10.5, 11.5, 13.5, 9.5, 13, 12

(a) Halle un intervalo de confianza, al 99%, para la media de la variable X.

(b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa población, para que el error máximo que se

cometa en la determinación de un intervalo de confianza para la media de X sea, a lo sumo, 0,3, con un nivel

de confianza del 90%.

25. (Año 2012) Se acepta que los rendimientos anuales, medidos en porcentajes, que producen los depósitos bancarios

a plazo, se distribuyen según una ley Normal con desviación típica 1,8 y se pretende realizar una estimación del

rendimiento medio de los mismos. Para ello, se tiene una muestra de 36 entidades bancarias en las que se observa

que el rendimiento medio de los depósitos es del 2,5.

(a) Calcule un intervalo de confianza, al 96%, para el rendimiento medio de los depósitos a plazo. ¿Cuál es el

error máximo cometido en la estimación?

(b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar el

rendimiento medio de los depósitos con un error máximo de 0,5?

64

26. (Año 2012) El peso de las calabazas de una determinada plantación sigue una ley Normal con desviación típica

1200 g.

(a) Halle el tamaño mínimo de la muestra que se ha de elegir para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el

peso medio con un error menor de 450 g.

(b) Para el mismo nivel de confianza, indique, razonando la respuesta, si el error aumenta o disminuye al aumentar

el tamaño de la muestra.

27. (Año 2012) La velocidad a la que circulan los conductores por una autopista sigue una distribución N(µ,20). En

un control efectuado a 100 conductores elegidos al azar ha resultado una velocidad media de 110 km/h.

(a) Determine el intervalo de confianza para µ , con un nivel del 99%.

(b) ¿Cuál es el máximo error cometido en esta estimación?

28. (Año 2013) El tiempo que los españoles dedican a ver la televisión los domingos es una variable aleatoria que sigue

una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 75 minutos. Elegida una muestra aleatoria de

españoles se ha obtenido, para la media de esa distribución, el intervalo de confianza (188.18, 208.82), con un nivel

del 99%.

(a) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra.

(b) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza

del 96%.

29. (Año 2013) El gasto mensual de las familias de un municipio se distribuye según una variable Normal con desviación

típica igual a 180 euros. Seleccionadas 30 familias al azar, han tenido un gasto medio mensual de 900 euros.

(a) Calcule un intervalo de confianza para el gasto medio mensual de las familias de ese municipio con un nivel

de confianzadel 98%.

(b) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el gasto medio mensual de las familias con un error

no superior a 60 euros, con el mismo nivel de confianza.

30. (Año 2013) El peso de los sobres de café que fabrica una empresa sigue una ley Normal de media desconocida y

desviación típica 0.3 g. Se quiere construir un intervalo de confianza para estimar dicha media, con un nivel de

confianza del 98%, y para ello se toma una muestra de 9 sobres.

(a) ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo?

(b) ¿Cómo afectaría a dicha amplitud un aumento del tamaño de la muestra, manteniendo el mismo nivel de

confianza?

(c) Obtenga el intervalo de confianza sabiendo que los pesos, en gramos, de los sobres de la muestra son:

7 7.1 7 6.93 7.02 7 7.01 6.5 7.1.

31. (Año 2013) Se conoce que la acidez de una solución es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal

con desviación típica 0.2. Se ha tomado una muestra aleatoria de cinco soluciones y se han obtenido las siguientes

medidas de la acidez:

7.92 7.95 7.91 7.9 7.94.

(a) Halle el intervalo de confianza, al 99%, para la media poblacional.

(b) ¿Qué error máximo se ha cometido en el intervalo anterior?

(c) Para el mismo nivel de confianza, calcule el tamaño mínimo muestral que permita reducir el error anterior a

la mitad.

32. (Año 2014) Se quiere hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros de narrativa que

se venden en la actualidad. Para ello se elige una muestra aleatoria de 121 libros, encontrando que tienen un

precio medio de 23 €. Se sabe que el precio de los libros de narrativa sigue una distribución Normal con media

desconocida y desviación típica 5 €.

(a) Obtenga un intervalo de confianza, al 98.8%, para el precio medio de esos libros.

(b) ¿Cuántos libros habría que elegir como muestra para que, con la misma confianza, el error máximo de la

estimación no excediera de 1€?

65

33. (Año 2014) El peso de los huevos de una granja sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica

1.23 gramos. Para estimar la media poblacional se ha tomado una muestra de dos docenas de huevos que han dado

un peso total de 1615.2 gramos.

(a) Halle un intervalo de confianza, al 96%, para la media poblacional.

(b) Con el mismo nivel de confianza anterior, si nos exigieran que el intervalo tuviera una amplitud máxima de

0.8, ¿de qué tamaño, como mínimo, habría que tomar la muestra?

34. (Año 2014) Una panadería produce barras de pan cuya longitud, medida en centímetros, sigue una distribución

Normal con una desviación típica de 5 centímetros.

(a) A partir de una muestra de 100 barras de pan se ha calculado el intervalo de confianza para la media pobla-

cional, resultando ser (31.2, 33.4). Halle la media muestral y el error de estimación.

(b) Para un nivel de confianza del 96%, halle el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación

máximo sea 1.5.

35. (Año 2014) Con el fin de estudiar el precio medio del litro de gasolina en una provincia en un determinado día, se

seleccionan al azar ese día 9 estaciones de servicio y se observan los siguientes precios, en euros, de un litro de

gasolina:

1.3, 1.2, 1.4, 1.27, 1.25, 1.32, 1.37, 1.38, 1.23.

Se sabe que el precio del litro de gasolina se distribuye según una ley Normal con desviación típica igual a 0.18

euros.

(a) Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para estimar el precio medio del litro de gasolina.

(b) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el precio medio del litro de gasolina con un error

no superior a 0.08 euros, con el mismo nivel de confianza.

36. (Año 2015) El tiempo en horas dedicado cada día al uso de una aplicación de mensajería instantánea por los

estudiantes de bachillerato de una ciudad, es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica

0.5 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 estudiantes y se obtienen los siguientes tiempos de uso en horas:

3.5 4.25 2.25 3.75 4.2 2.75 1.25 1.2 1.75 2.1

(a) Determine un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicación

por los estudiantes.

(b) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario dedicado al uso de esta

aplicación, para un error de estimación no superior a 0.1 horas y mismo nivel de confianza anterior.

37. (Año 2015) (a) En una muestra aleatoria de 100 botellas de agua mineral se encontró un contenido medio de 48

cl. Sabiendo que la variable “contenido de agua en una botella” sigue una ley Normal con desviación típica 5 cl,

determine un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 95%.

(b) ¿Qué tamaño muestral mínimo debería considerarse para estimar esta media con el mismo nivel de confianza y

un error inferior a 0.5 cl?

38. (Año 2015) Un fabricante de tuberías de PVC sabe que la distribución de los diámetros interiores de los tubos de

conducción de agua que produce sigue una ley Normal con varianza σ2 = 0.25 mm2. Para estimar el diámetro

medio de esas tuberías, toma una muestra aleatoria de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra

es de 20 mm.

(a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que

fabrica.

(b) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa distribución para que la amplitud de un intervalo

de confianza, con ese mismo nivel de confianza, sea inferior a 2 mm.

39. (Año 2015) De una población Normal de media desconocida µ y desviación típica 2 se extrae la siguiente muestra

aleatoria simple de tamaño 10:

3.8 6.3 4.3 6 6.2 5.8 1.5 3.3 3.4 2.9

(a) Estime, mediante un intervalo de confianza, la media poblacional para un nivel de confianza del 92%. Obtenga

su error de estimación.

66

(b) ¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para reducir ese error a la mitad, con el mismo nivel de confi-

anza?

40. (Año 2015) El capital de las hipotecas constituidas sobre fincas urbanas en Andalucía es una variable aleatoria

Normal con desviación típica 10000 €.

(a) Se toma una muestra aleatoria de 9 hipotecas con los siguientes capitales (en euros):

95000 99000 105000 106000 108000 111000 112000 115000 120000.

Construya un intervalo de confianza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas.

(b) ¿Qué número mínimo de hipotecas deberíamos considerar en una muestra para que, con el mismo nivel de

confianza, el error máximo en la estimación del capital medio sea de 4000€?

TEMA 10

Intervalos de confianza para una proporción

1. Se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido político mediante una muestra aleatoria.

(a) Si de una muestra de 500 personas 200 dicen que lo votan, calcule con un nivel de confianza del 97% un

intervalo para la proporción de votantes a ese partido en la población.

(b) Si la proporción de votantes en otra muestra ha sido 0,2 y el error cometido en la estimación ha sido inferior

a 0,05, con un nivel de confianza del 99%, calcule el tamaño mínimo de dicha muestra.

2. De 500 encuestados en una población, 350 se mostraron favorables a la retransmisión de debates televisivos en

tiempos de elecciones. Calcule un intervalo de confianza, al 99,5 %, para la proporción de personas favorables a

estas retransmisiones.

3. En una muestra aleatoria de 1000 personas de una ciudad, 400 votan a un determinado partido político. Calcule un

intervalo de confianza al 96 % para la proporción de votantes de ese partido en la ciudad.

4. Se ha lanzado un dado 400 veces y se ha obtenido 80 veces el valor cinco. Estime, mediante un intervalo de

confianza al 95 %, el valor de la probabilidad de obtener un cinco.

5. Se desea estimar la proporción de individuos zurdos en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra

aleatoria de 300 individuos resultando que 45 de ellos son zurdos.

(a) Calcule, usando un nivel de confianza del 97%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción

de individuos zurdos de la población.

(b) ¿Sería mayor o menor el error de estimación si se usara un nivel de confianza del 95%? Razone la respuesta.

6. Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140

de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la proporción de enfermos que responderían

positivamente si este medicamento se aplicase a la población de la que se ha extraído la muestra.

7. De una muestra aleatoria de 120 alumnos presentados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 han resultado no aptos.

(a) Calcule un intervalo de confianza, al 99%, para estimar la proporción de alumnos que han resultado aptos en

dicha prueba.

(b) Manteniendo la misma confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción

de alumnos aptos, cometiendo un error inferior al 5%?

8. En un centro de anillamiento de aves se ha detectado que en una muestra de 250 ejemplares de una especie, 60 son

portadoras de una bacteria. Obtenga un intervalo de confianza, al 97%, para la proporción de aves de esa especie

que son portadoras de la bacteria.

9. En una muestra representativa de 1200 residentes de una ciudad, 450 utilizan habitualmente el transporte público.

Obtenga el intervalo de confianza, al 90%, de la proporción de residentes en la ciudad que utilizan habitualmente el

transporte público.

10. (Año 2012) De una muestra aleatoria de 120 alumnos presentados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 han resultado

no aptos.

67

(a) Calcule un intervalo de confianza, al 99%, para estimar la proporción de alumnos que han resultado aptos en

dicha prueba.

(b) Manteniendo la misma confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción

de alumnos aptos, cometiendo un error inferior al 5%?

11. (Año 2013) Se quiere estimar la proporción de hembras entre los peces de una piscifactoría; para ello se ha tomado

una muestra aleatoria de 500 peces, y en ella hay 175 hembras.

(a) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de hembras en esta población de peces, con un nivel de

confianza del 94%.

(b) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiencia para conseguir un intervalo de confianza

con el mismo nivel y un error máximo de 0.02, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener la nueva muestra?

12. (Año 2013) En una población próxima a un puerto deportivo se quiere estimar la proporción de habitantes que

navegan al menos una vez a la semana. Se toma una muestra, al azar, de 400 habitantes de la población, de los que

160 afirman navegar al menos una vez en semana.

(a) Halle el intervalo de confianza del 90% para la proporción de habitantes que navegan al menos una vez en

semana.

(b) A la vista del resultado, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota del error de 0.1 con el

mismo nivel de confianza del apartado anterior. ¿Cuántos individuos debe tener al menos la muestra?

13. (Año 2013) Queremos estudiar la proporción de personas de una población que acceden a internet a través de

teléfono móvil. Para ello hacemos una encuesta a una muestra aleatoria de 400 personas de esa población, y

obtenemos que 240 de ellas acceden a internet a través del móvil.

(a) Determine un intervalo de confianza, al 98.5%, para la proporción de personas de esa población que acceden

a internet a través del teléfono móvil.

(b) Razone el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza el aumento o disminución del tamaño

de la muestra, suponiendo que se mantuvieran la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza.

14. (Año 2013) (a) Se considera la población {2,4,6}. Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas

mediante muestreo aleatorio simple y determine la desviación típica de las medias muestrales.

(b) En una ciudad se seleccionó una muestra aleatoria de 500 alumnos de Bachillerato a los que se les preguntó si

poseían una determinada marca de teléfono móvil, resultando que 80 de ellos contestaron afirmativamente. Obtenga

un intervalo de confianza, al 92%, para estimar la proporción de estudiantes de Bachillerato que poseen esa marca

de teléfono móvil.

15. (Año 2014) Para estimar la proporción de balances contables incorrectos de un banco, se seleccionan aleatoriamente

200 balances, y se encuentra que 19 de ellos son incorrectos.

(a) Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para la proporción de balances incorrectos.

(b) ¿Cuántos balances se deberán seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación

no sea superior a 0.02?

16. (Año 2014) Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de un centro comercial en

un municipio, se ha obtenido el intervalo de confianza (0.31, 0.39), al 94%.

(a) ¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral?

(b) Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas, ¿cuántas de ellas deseaban

la construcción del centro comercial?

(c) Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0.03 y el mismo

nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?

17. (Año 2015) Se ha lanzado un dado 400 veces, y en 72 de ellas ha salido un tres.

(a) Calcule un intervalo de confianza, al 99.2%, para la proporción de veces que se obtiene un tres.

(b) Calcule el error máximo admisible cometido con ese intervalo.

68

10.1. Muestreo e Inferencia. Selectividad 2016

1. Se desea estimar la media de una variable aleatoria Normal cuya desviación típica es 2.5. Para ello, se toma una

muestra aleatoria, obteniéndose los siguientes datos:

18 18.5 14 16.5 19 20 20.5 17 18.5 18

(a) Determine un intervalo de confianza al 96% para la media poblacional.

(b) ¿Cuál es el error máximo cometido con esa estimación?

(c) Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 1, ¿qué tamaño muestral

mínimo debemos tomar?

2. El peso de los habitantes de una determinada ciudad sigue una ley Normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg.

(a) ¿Qué distribución sigue la media de los pesos de las muestras de habitantes de tamaño 64 extraídas de esa

ciudad?

(b) Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 100 de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio

de esa muestra esté comprendido entre 64 y 65 kg?

3. Una cadena de hipermercados decide estudiar la proporción de artículos de un determinado tipo que tienen defec-

tos en su envoltorio. Para ello, selecciona aleatoriamente 2000 artículos de este tipo entre sus hipermercados y

encuentra que 19 de ellos tienen defectos en su envoltorio.

(a) Determine un intervalo, al 95% de confianza, para la proporción real de artículos con este tipo de defecto e

interprete el resultado obtenido.

(b) ¿Cuántos artículos, como mínimo, deberá seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, la propor-

ción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 1%?

4. (a) Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas mayores de edad de un municipio, cuyos

estratos son los siguientes intervalos de edades, en años: de 18 a 30, de 31 a 45, de 46 a 60 y mayores de 60. En

el primer intervalo hay 7500 personas, en el segundo hay 8400, en el tercero 5700 y en el cuarto 3000. Calcule el

tamaño de la muestra total y su composición, sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han

elegido al azar 375 personas del primer estrato.

(b) Dada la población {2,4,6} construya todas las muestras posibles de tamaño 2, que se puedan formar mediante

muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas las muestras.

5. (Contraste de Hipótesis) Se sabe que el diámetro de las estrellas de mar de una región sigue una ley Normal con

varianza 2.25 cm2 . Se sospecha que, igual que ocurre en otras regiones, su diámetro no supera los 11.7 cm

(H0 : µ 6 11.7). Para confirmarlo se extrae una muestra aleatoria de estrellas de mar de esa región, obteniéndose

los siguientes diámetros:

12.5 11.8 13.1 14.3 11.7 12.6 12.7 12.1 13.5 11.5

(a) Plantee un contraste de hipótesis, y para un nivel de significación del 5%, obtenga la región de rechazo del

contraste. ¿Se puede confirmar la sospecha?

(b) ¿Y para un nivel de significación del 3%, se puede confirmar la sospecha?

6. El peso de los paquetes de azúcar de una marca, medido en gramos, sigue una distribución Normal con desviación

típica de 16 gramos. A partir de una muestra de 100 paquetes de azúcar de dicha marca, se obtuvo un peso medio

de 247 gramos.

(a) Obtenga un intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de azúcar de esa marca, con un nivel de

confianza del 97%.

(b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el peso medio con un error máximo de 0.5

gramos, a un nivel de confianza del 95%.

7. (a) La talla de los individuos de una población sigue una distribución Normal con desviación típica 8 cm y media

desconocida. A partir de una muestra aleatoria se ha obtenido un intervalo de confianza al 95% para estimar la talla

media poblacional, que ha resultado ser (164.86,171.14) en cm. Calcule la talla media de la muestra y el tamaño

muestral mínimo necesario para reducir a la mitad el error máximo de estimación anterior.

(b) En un club privado con 243 usuarios se ha seleccionado una muestra para hacer un sondeo, según la activi-

dad realizada y por muestreo aleatorio estratificado. En esa muestra, 5 usuarios practican Yoga, 7 Pilates y 15

Mantenimiento, ¿cuántos usuarios están inscritos en cada actividad en ese club?

69

10.2. Muestreo e Inferencia. Selectividad 2017

1. La altura de los estudiantes de 2o de bachillerato de un centro sigue una ley Normal de media 165 cm y desviación

típica 10 cm.

(a) ¿Qué distribución sigue la altura media de las muestras de tamaño 25?

(b) Se elige al azar una muestra de 25 estudiantes y se les mide la altura. ¿Cuál es la probabilidad de que la altura

media de esa muestra supere 160 cm?

2. La puntuación obtenida por los participantes en una prueba es una variable aleatoria que sigue una distribución

Normal con una desviación típica de 6 puntos. Se toma una muestra aleatoria de 64 participantes en esa prueba,

resultando una puntuación media de 35 puntos.

(a) Calcule un intervalo de confianza, al 95 %, para la calificación media del total de participantes en la citada

prueba.

(b) Halle el tamaño mínimo de la muestra necesaria para estimar la puntuación media del total de participantes,

con un error inferior a 0.5 puntos y un nivel de confianza del 99 %.

3. Se desea estimar el porcentaje de alumnos de un determinado instituto que lleva gafas. Para ello se eligen 300

alumnos, de los que 210 llevan gafas.

(a) Calcule el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que lleva gafas, con un nivel de confianza del

97 %.

(b) Si por estudios en otros institutos se sabe que la proporción de alumnos que lleva gafas es del 70 %, determine

el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con una confianza del 97 %, el error máximo que se

cometa sea inferior a 0.06.

4. Se sabe que el peso de los tarros de mermelada que fabrica una empresa sigue una distribución Normal con

desviación típica 25 g. Con objeto de estimar el peso medio de los tarros fabricados por esa empresa se selec-

ciona una muestra aleatoria de 100 tarros de esa fábrica obteniéndose un peso medio de 230 g.

(a) Calcule un intervalo de confianza, al 96 %, para la media de la población.

(b) ¿Qué error máximo se ha cometido en el intervalo anterior?

(c) Determine el tamaño muestral mínimo para que el error máximo cometido al construir un intervalo de confi-

anza, con el mismo nivel de confianza, sea 2 g.

5. En un centro docente hay 160 alumnos matriculados en 1o de ESO, 120 en 2o, 120 en 3o, 80 en 4o, 240 en 1o de

Bachillerato y 200 en 2o. Se quiere constituir una comisión en la que todos los cursos estén representados de forma

proporcional.

(a) ¿Cuántos alumnos debe haber en la comisión y cuántos de cada curso si dicha comisión está formada por el 5

% del total del alumnado?

(b) ¿Cuál sería la composición de la comisión si queremos que haya 9 alumnos de 2o de ESO?

6. El tiempo diario, en horas, que dedican los alumnos de una Facultad a las redes sociales sigue una ley Normal de

desviación típica 2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 alumnos con los siguientes tiempos en horas

6.5 7 6.25 7 5.5 7.25 6.75 6.25 6 6.5

(a) Determine el intervalo de confianza, al 90 %, para el tiempo medio diario dedicado por los alumnos de esa

Facultad a las redes sociales.

(b) Utilizando el mismo nivel de confianza anterior, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el

tiempo medio diario, para un error de estimación máximo de 0.1 horas.

7. Se desea estimar la proporción de jóvenes que ven una serie de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria

de 100 jóvenes, de los que 36 ven la serie.

(a) Determine un intervalo de confianza, al 96 %, para la proporción de jóvenes que ven la serie.

(b) Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 0.03, ¿qué tamaño muestral

mínimo debemos tomar?

70

8. El peso de los paquetes de levadura de una marca sigue una ley Normal de desviación típica 0.3 g. Se desea construir

un intervalo de confianza, al 98 %, para estimar la media. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 9 paquetes.

(a) ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo?

(b) Obtenga el intervalo sabiendo que los pesos, en gramos, de los paquetes son:

10 9.9 10.04 9.5 10.1 9.8 10.2 10 10.3

9. El tiempo de vida de una determinada especie de tortuga es una variable aleatoria que sigue una ley Normal de

desviación típica 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se obtienen los siguientes valores:

46 38 59 29 34 32 38 21 44 34

(a) Determine un intervalo de confianza, al 95 %, para la vida media de dicha especie de tortugas.

(b) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error de estimación de la vida media no sea

superior a 5 años, con un nivel de confianza del 98 %.

10. En una muestra, elegida al azar, de 100 estudiantes de una Universidad, se ha observado que 25 desayunan en la

cafetería del campus.

(a) Determine, con un nivel de confianza del 95 %, un intervalo de confianza para estimar la proporción de

estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería.

(b) Si la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería del campus en una muestra

aleatoria es de 0.2, y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del

92.5 % calcule el tamaño mínimo de la muestra.

11. Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de Santiago ofertan el menú del peregrino

con un precio máximo de 12 €. Para ello se eligen aleatoriamente 120 establecimientos que ofrecen este menú, de

los que 80 tienen un precio máximo de 12 €.

(a) Con un nivel de confianza del 92 %, obtenga el intervalo de confianza para proporción de establecimientos

que tienen un precio máximo de 12 €.

(b) Si aumentamos el nivel de confianza al 99 %, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?

(c) ¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99

%, el error de la estimación no sea superior a 0.04?

12. El precio de un determinado producto se distribuye según una ley Normal de desviación típica 5 € y media de-

sconocida. Se toman 10 comercios al azar y se observa en ellos el precio de este producto, resultando los siguientes

valores en euros:

96 108 97 112 99 106 105 100 98 99

(a) ¿Cuál es la distribución del precio medio del producto en las muestras de tamaño 10?

(b) Determine un intervalo de confianza, al 97 %, para la media poblacional.

(c) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra de esa población para que el

error cometido sea menor que 2?

71

TEMA 11

Matrices

11.1. Operaciones con matrices

1. Averiguar si son iguales las matrices:

A=

(52−42 4+9+12

− 63

(2−1)(2+1)

)B=

((5+4)(5−4) 52

−2 22−1

)

2. Sea la matriz A de una sola fila A=(2 1 5

)y B la

de una sola columna:

B=

3

2

4

.Calcula los productos AB y BA.

3. Dadas las matrices

A=

2 0 1

3 0 0

5 1 1

B=

1 0 1

1 2 1

1 1 0

,calcula: A+B, A−B.

4. Dadas las matrices:

A=

2 0 1

3 0 0

5 1 1

, B=

1 0 1

1 2 1

1 1 0

,calcula: A2, B2, A·B, y B·A.

5. Ídem para las matrices:

A=

1 2 1

2 1 2

1 2 3

, B=

4 1 1

−4 2 0

1 2 1

6. Calcular AB y BA, si es posible, siendo:

A=

2 −1

1 0

−3 4

y B=

(1 −2 −5

3 4 0

)

7. Calcular A2−3B− I, donde:

A=

2 0 1

3 0 0

5 1 1

, B=

1 0 1

1 2 1

1 1 0

8. Demostrar que la matriz

A=

(1 1

1 1

)satisface la relación de recurrencia: An = 2n−1A.

9. Calcular, por inducción, las potencias n−ésimas de la

siguiente matriz:

A=

(a 1

0 a

)10. Calcular por inducción las potencias n−ésimas de la

matriz:

A=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

11. Hallar la matriz inversa de

A=

(2 3

1 1

)12. Aplicando la definición de matriz inversa, calcular la

inversa de la siguiente matriz diagonal:

A=

1 0 0

0 2 0

0 0 3

13. Hallar, por el método de reducción o de Gauss, la ma-

triz inversa de

A=

1 4 4

0 2 4

0 0 1

y comprueba el resultado multiplicándolo por la ma-

triz dada.

14. Halla la matriz inversa de la matriz

A=

1 1 0

1 0 1

0 1 0

15. Dada la matriz,

A=

2 2 1

1 3 1

1 2 2

,se pide:

(a) Calcular (A− I)2·(A− 5I), siendo I la matriz

identidad de orden 3.

(b) Obtener At (matriz traspuesta de A) y razonar si

existe la inversa de A.

16. Calcular una matriz X que verifique la igualdad

A·X = B, siendo A=

(2 3

1 2

), B=

(1 1

2 −1

).

72


A=

(1 2

2 3

)B=

(−3 2

2 −1

)calcular A+B

2, (A−B)2, A−1, B−1

18. Sea la matriz

A=

(1 1

2 −3

).

Halla su inversa y calcula A2−2A.

19. Hallar un número real c, si las matrices A− I ý1c(A− cI) son inversas, siendo I la matriz identidad

4×4 , y

A=

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

20. Consideremos la matriz A=

(a a

a a

).

(a) Calcula A2,A3.

(b) Encontrar una ley general para An.

21. Siendo A y B las matrices A =

(3 −1

2 1

), B =(

−4 −2

3 5

), averiguar si son ciertas las siguientes

igualdades:

(a) (A+B)t = At +Bt .

(b) (A·B)t = Bt ·At .

22. Dada la matriz

A=

5 −4 2

2 −1 1

−4 4 −1

comprobar que A2 = 2A − I, siendo I la matriz

unidad. Usando la fórmula anterior, calcula A4.

23. Halla A−1 y An, siendo

A=

1 0 1

0 1 0

0 0 1

24. Calcular A100, siendo

A=

1 0 0

1 1 0

1 0 1

25. Calcular el valor de A35, siendo

A=

1 17

17

0 1 0

0 0 1

26. Determina los valores de a y b de forma que la matriz

A verifique A2 = A, siendo

A=

(2 −1

a b

)27. Encontrar números a y b de forma que la matriz

A=

(1 1

a b

)verifique A2 = 2A. Para estos valores de a y b, y

tomando B= 12A, calcular B50 y A50.


A=

(1 2 3

2 1 1

), B=

−1 0

2 2

−1 −1

C =

(1 −1

1 0

)(a) Obtener C+AB.

(b) ¿Son iguales las matrices C−1, (AB)−1 y (C+AB)−1?

Soluciones

1. Sí

2. A ·B= (28); B ·A=

6 3 15

4 2 10

8 4 20

.3. A+B=

3 0 2

4 2 1

6 2 1

; A−B=

1 0 0

2 −2 −1

4 0 1

.4. A2 =

9 1 3

6 0 3

18 1 6

; B2 =

2 1 1

4 5 3

2 2 2

; A·B=

3 1 2

3 0 3

7 3 6

; B·A=

7 1 2

13 1 2

5 0 1

.5. A2 =

6 6 8

6 9 10

8 10 14

; B2 =

13 8 5

−24 0 −4

−3 7 2

; A·B=

−3 7 2

6 8 4

−1 11 4

, B·A=

7 11 9

0 −6 0

6 6 8

.73

6. A ·B=

−1 −8 −10

1 −2 −5

9 22 15

; B ·A=(

15 −21

10 −3

).

7. A2−3B− I =

4 4 4

0 0 0

4 4 16

.8. Ejercicio resuelto: Demostrar que la matriz

A=

(1 1

1 1

)satisface la relación de recurrencia: An = 2n−1A.

Solución. Este tipo de ejercicios se realizan utilizando lo que en matemáticas se denomina principio de inducción

matemática, que afirma:

Sea P(n) una función proposicional predicable sobre N. Si valen:

(a) P(1) es verdadera.

(b) P(k)⇒ P(k+1), para todo k ∈ N,

entonces P(n) es verdadera para todo n ∈ N.Hagamos observar en primer lugar, que en el contexto de la inducción matemática, porN entenderemos los números

naturales no nulos. Veamos cómo se aplica inducción en nuestro ejemplo. En primer lugar, debemos comprobar

si la fórmula An = 2n−1A es cierta para n = 1. Esto es trivialmente cierto, pues A1 = A y 21−1A = 20A = 1A = A.Seguidamente, se aplica la hipótesis de inducción, que consiste en suponer que la fórmula es cierta para k > 1.

Veamos si de esta hipótesis se deduce que la fórmula también sea cierta para k+1. Si dicha fórmula es verdadera

para k, entonces:

Ak = 2k−1A= 2k−1

(1 1

1 1

)=

(2k−1 2k−1

2k−1 2k−1

).

Por tanto:

Ak+1 = A ·Ak =

(1 1

1 1

)·(

2k−1 2k−1

2k−1 2k−1

)=

(2k−1+2k−1 2k−1+2k−1

2k−1+2k−1 2k−1+2k−1

)=

(2 ·2k−1 2 ·2k−1

2 ·2k−1 2 ·2k−1

)=

(2k 2k

2k 2k

)= 2k ·

(1 1

1 1

)= 2k ·A,

por lo que la fórmula también es cierta para k+1. El principio de inducción nos confirma que en tal caso la fórmula

es siempre cierta, para todo k ∈ N.

9. Ejercicio resuelto: Calcular, por inducción, las potencias n−ésimas de la siguiente matriz:

A=

(a 1

0 a

)Solución. Para poder calcular dichas potencias, se procede a calcular algunos casos particulares, y después se

infiere una fórmula que se demuestra por inducción matemática. Vemos que:

A1 =

(a 1

0 a

); A2 =

(a2 2a

0 a2

); A3 =

(a3 3a2

0 a3

).

De las potencias anteriores, inferimos claramente que:

An =

(an nan

0 an

),

para cada n > 1. Para demostrar que la fórmula anterior es cierta, habría que aplicar inducción matemática, tal y

como se ha procedido en el ejercicio anterior. Dejamos al lector la comprobación de que efectivamente lo es.

10.

74

An =

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1

.11. A−1 =

(−1 3

1 −2

).

12. A−1 =

1 0 0

0 12

0

0 0 13

.

13. A−1 =

1 −2 4

0 12−2

0 0 1

.14. A−1 =

1 0 −1

0 0 1

−1 1 1

.

15. Teniendo en cuenta que I = I3,

(a) (A− I)2·(A−5I) = 0 (es decir, la matriz nula).

(b) At =

2 1 1

2 3 2

1 1 2

.

Sí existe la matriz inversa. Realizando la reducción de Gauss a la matriz A, vemos que: 2 2 1

1 3 1

1 2 2

2F2−F1−−−−−→2F3−F1−−−−−→

2 2 1

0 4 1

0 2 3

2F3−F2−−−−−→

2 2 1

0 4 1

0 0 5

,y vemos que no se anula ninguna fila por completo, por lo que el proceso para obtener la matriz inversa puede

concluirse.

16. X = A−1 ·B=(−4 5

3 −3

).

17. A+B2=

(−1 2

2 1

); (A−B)2 =

(16 0

0 16

)A−1 =

(−3 2

2 −1

); B−1 =

(1 2

2 3

).

18. A−1 =

(1 1

2 −3

)−1

=

(35

15

25− 1

5

)

A2−2A= A · (A−2I2) =

(−3 7

14 −31

).

19. Ejercicio resuelto: Hallar un número real c, si las matrices A− I ý 1c(A− cI) son inversas, siendo I la matriz

identidad 4×4 , y:

A=

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Solución. Si son inversas una de la otra, deberá ser (A− I) · 1

c(A− cI) = I⇔ (A− I) · (A− cI) = cI. Realizando

cálculos, vemos que:

(A− I) · (A− cI) =

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

·

1− c 1 1 1

1 1− c 1 1

1 1 1− c 1

1 1 1 1− c

=

3 3− c 3− c 3− c

3− c 3 3− c 3− c

3− c 3− c 3 3− c

3− c 3− c 3− c 3

= cI,

de donde trivialmente obtenemos que c= 3.

20. A2 =

(2a2 2a2

2a2 2a2

); A3 =

(4a3 4a3

4a3 4a3

); An = 2n−1 ·

(an an

an an

).

21. Ambas igualdades son ciertas, y además son ciertas para cualesquiera dos matrices A y B (en el caso del producto,

sólo para aquellas en las que los productos involucrados puedan realizarse).

22.

75

A4 =

17 −16 8

8 −7 4

−16 16 −7

.23. A−1 =

1 0 −1

0 1 0

0 0 1

; An =

1 0 n

0 1 0

0 0 1

24. A100 =

1 0 0

100 1 0

100 0 1

.25. A35 =

1 5 5

0 1 0

0 0 1

.26. a= 2 y b=−1. Una matriz cuadrada A que satisface que A2 = A se la denomina idempotente.

27. a= 1 y b= 1. En tal caso, A=

(1 1

1 1

)y B=

(12

12

12

12

), de donde:

B50 =

(12

12

12

12

), A50 =

(249 249

249 249

).

28. C+AB= I2

C−1 =

(0 1

−1 1

)= AB 6= (AB)−1 =

(1 −1

1 0

)=C 6= I2 = (C+AB)−1 .

11.2. Selectividad

1. Dada la matriz

A=

1 0 m

m 1 1

1 1 −1

,se pide:

(a) Hallar los valores de m para los cuales la matriz A no tiene inversa.

(b) Encontrar la matriz X que verifique:

X

(2 1

1 2

)+

(1 0

3 4

)= 2

(3 −1

0 −1

)2. De una matriz A se sabe que su segunda fila es

(−1 2

)y su segunda columna es: 1

2

−3

Halle los restantes elementos de A sabiendo que(

1 1 1

2 0 1

)·A=

(0 0

0 −1

)3. Dada la matriz

A=

1 x x2

1 2 2

1 2 1

,(a) Determine los valores de x para los que la matriz tiene inversa.

(b) Calcule A ·M, siendo

M =

1 0

1 1

0 1

(c) Determine la inversa de la matriz A en el caso x= 3.

76


A =

(1 1

0 2

), B=

(0 1

1 0

)C =

(0 −1 1

1 1 0

),

(a) Compruebe si (A−B)2 = A2+B2−2 ·A ·B.(b) ¿Se pueden multiplicar las matrices A y C en cualquier orden?.

5. Dada la matriz

M(a) =

(2−a −a−2

2 −2

),

se pide:

(a) Calcular el valor de a para que el determinante de M(a) sea distinto de cero.

(b) Calcular [M(a)]2 .

(c) Resolver, si es posible, la ecuación 2 [M(a)]2 = I, donde I es la matriz unidad.


A=

(1 −1

2 3

), B=

(0 1

2 1

),

se pide:

(a) Calcular las inversas de las matrices A y B.

(b) Calcular la inversa de la matriz A+B.

(c) Comprobar si es cierta la igualdad (A+B)−1 = A−1+B−1.


A=

(2 1

0 1

), B=

(1 0

1 2

),

se pide:

(a) Determinar la matriz C = 2A−B2.

(b) Calcular una matriz X tal que AX = B.

8. Sea a un parámetro real y sea la matriz

M(a) =

(a 1

1 a

).

Se pide:

(a) Halle los valores de a para los que M(a) tiene inversa.

(b) Supongamos que a 6= 1 y a 6=−1. Halle los valores de a para los que M(a) es igual a su inversa.

(c) Calcule una matriz cuadrada A, tal que M(0) ·A= A. ¿Es única la solución?.

9. (a) Determine los elementos de una matriz

A=

(a11 a12

a21 a22

),

donde ai j = (−1)i+ j(2i+ j), i= 1,2, j = 1,2.

(b) Calcule la matriz inversa de A.

(c) Si B=(−5

7

), calcule la matriz X que verifique A ·X = B.


A=

(2 0 −3

0 −1 5

),

B=

0,6 1,4 1

0,2 0,4 −0,31,2 −0,5 1

,C =

(2 5

1 3

), D=

(−1 5

6 3

).

77

(a) Resuelva la ecuación CX = D.

(b) Efectúe la operación (12A−14A) ·At.

11. Dada las matrices

A=

(2 1

4 2

), B=

(3 2

6 4

),

explicar si hay alguna matriz de segundo orden X , tal que A ·X = B ·X .

12. (a) Determinar para qué valores de x no existe la inversa de la matriz A siguiente:

A=

1 0 −1

0 x 3

4 1 −x

.(b) Calcular la inversa de A cuando x= 2.


A=

(−1 2

2 1

), B=

(0 λ −1

−1 3 0

)C =

6 1

1 1

0 −4

,(a) Razonar si existe la matriz

(A−2C ·B ·C)−1 .

(b) Idem acerca de (2A−B ·C)−1 .

(c) En ambos casos, y cuando sea posible, calcular las matrices inversas.

14. (a) Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas (esto es, de dimensión 3× 4) y C una matriz 2× 3. ¿Cuántas filas y

columnas tiene B sabiendo que existe la matriz A ·B ·C?

(b) Sea D una matriz tal que al multiplicarla por su transpuesta, da una matriz de dimensión 1×1 y el producto

de la transpuesta de D por D es una matriz 3×3. ¿Cuántas filas y columnas tiene D? ¿Tiene D inversa?

15. Sean las matrices

A=

(2 1

3 1

), B=

(1 2

−1 0

).

(a) Calcule At ·B−A ·Bt.

(b) Resuelva la ecuación matricial AX+BA= B.

16. Sean A y B las matrices siguientes:

A=

(1 2

0 1

), B=

(0 −1

2 4

).

(a) Calcule (A+B) · (A−B).

(b) Determine la matriz X , cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial (A+2B) ·X = 3I2.

17. (a) Halle la matriz X que verifica la ecuación

X ·(

2 5

1 3

)=

(1

2

)·(3 4

).

(b) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad(1 0

3 −1

)·(

x

y

)=

(2 1

−x y

)·(

1

1

).

18. (a) Dadas las matrices

F =(2 −1 3

), C =

1

5

−2

,calcule los productos C ·F y F ·C.

78

(b) Dadas las matrices

A=

(2 0

1 −1

), B=

(1 −3

2 −1

),

C =

(1 −1

−1 0

),

calcule la matriz X que verifique la ecuación X ·A−1−B=C.


A=

(0 2

3 0

), B=

(a b

6 1

).

(a) Calcule los valores de a y b para que A ·B= B ·A.(b) Para a= 1 y b= 0, resuelva la ecuación matricial X ·B−A= I2.

20. (a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por:(1+3x 2

x −1

)·(

3

y

)=

(5

4

).

(b) Calcule la matriz inversa de 1 0 1

0 1 0

1 2 0

.21. (a) Dada la matriz A=

(aa

10

), calcule el valor de a para que A2 sea la matriz nula.

(b) Dada la matriz M =(

11

21

), calcule la matriz

(M−1 ·Mt

)2.

22. Sean las matrices:

A=

−1 4 −1

0 −1 0

3 1 2

, B=

−2 1 3

0 2 −1

1 0 1

,C =

5 −2 −6

0 −3 2

−2 0 −1

,Determine X en la ecuación matricial X ·A−2B=C.


A=

(1 −1

0 2

), B=

(3 1

−1 1

).

(a) Calcule A2 y 2B+ I2.

(b) Resuelva la ecuación matricial A ·X− I2 = 2B2.

24. Sea la igualdad A ·X+B= A, donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión.

(a) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa.

(b) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo

A=

(2 5

1 3

), B=

(0 −3

−1 2

).

25. (a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por:3 1−2x 0

2 x+1 2

0 1 z

y

2

1

=−1

2

0

.Dada la matriz

A=

(2 3

4 5

),

calcule la matriz M = At ·A−1.

79

26. Sean los grafos siguientes:

Grafo A Grafo B

(a) Escriba las matrices de adyacencia asociadas a los grafos A y B de la figura anterior.

(b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2 y 3, represente los grafos asociados a

dichas matrices de adyacencia.

C =

0 1 0

1 0 1

0 1 0

, D=

0 1 1

1 0 1

1 1 0

27. Entre los cuatro pueblos A, B, C y D se establece una línea de autobuses tal como viene representada en el siguiente

grafo:

(a) Escribe su matriz de adyacencia R.

(b) Da un significado a las matrices R2 y R3.

28. A,B,C y D son cuatro plazas de una ciudad. El grafo siguiente indica cómo están comunicadas entre sí. Escriba la

matriz de adyacencia M asociada al grafo:

Da un significado a las matrices M2,M2+M,M3 y M3+M2+M.

29. Un sociólogo ha obtenido, al estudiar laas relaciones de dominio en un grupo de seis personas, el grafo de la figura.

Determina quién tiene control directo o indirecto sobre quién.

80

30. En un instituto I hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distancia entre A y B es 6 km, la de B a C es 7 km, la

de A a C es 10 km y la de A a I es 8 km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B y

recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I (los datos están en el grafo

valuado adjunto).

(a) Determine la matriz M, 2×3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada

ruta.

(b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es:

• Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.

• Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2.

• Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.

Determine la matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo

(c) Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determine la matriz P = 0,12 ·M ·N, e interprete

cada uno de sus elementos.

31. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A,B y C y se fabrican dos tipos de

móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras

que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4 del tipo P, y cada uno de la categoría C fabrica 6

móviles del tipo M y 5 móviles del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips y 4 conexiones

y para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips y 6 conexiones.

(a) Escriba una matriz X , 3×2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y , de orden 2, que

exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil.

(b) Realice el producto de matrices X ·Y e indique qué expresa dicho producto.

32. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica

por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia

prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte.

F G H

T =

(300 200 150

400 250 200

)carretera

tren

Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 euros por carretera y 180 euros por tren, como

indica la matriz C = (200, 180). Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una

nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica.

33. Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1,5 kg de plátanos y otra necesita 0,5 kg de

manzanas, 2,5 de ciruelas y 3 de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1,8 euros/kg, los de las

ciruelas 2,1 y los de los plátanos 1,9 y en la frutería B son 1,7; 2,3 y 1,75 respectivamente. Se escriben las matrices

M =

(2 1 1,5

0,5 2,5 3

)y N =

1,8 1,72,1 2,31,9 1,75

(a) Determine M ·N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto.

(b) ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra?

81

34. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y

H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y, en la matriz B, las

ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos. Efectúe el producto A ·Bt y explique

el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

Leche Queso Nata

A=

(500 300 250

460 300 200

)S

H

Leche Queso Nata

B=

(0,20 4 1

0,25 3,60 1,20

)S

H

35. Cierta fábrica de colonias posee tres marcas X, Y, Z, distribuyendo su producción en cuatro tiendas. Los litros

almacenados en la primera tienda vienen dados por la siguiente matriz:

X Y Z

agua de colonia

perfume

esencia

22 46 80

2 1,5 3

0,6 0,2 0,1

La segunda tienda almacena el doble que la primera, la tercera la mitad y la cuarta el triple ¿Qué volumen de

producción se tiene almacenada en total?

36. (Año 2012) Sean las matrices

A =

(−1 −6

2 4

), B=

(−1 1 2

1 0 −1

),

C =

(a 0 1

3 −1 b

).

(a) Halle los valores de a y b para que se verifique B ·Ct = A.

(b) Resuelva la ecuación matricial A ·X−A2 = I2.

37. (Año 2012) Los alumnos de 2o de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden

pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que

necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno.

(a) Presente en una matriz M, de dimensión 3×2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración

de un pastel grande y uno pequeño.

(b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A (20 grandes y 30

pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto.

(c) Calcule los productos M ·A y M ·B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de

harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?

38. (Año 2012) Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial A2 ·X = A−B ·C, siendo A, B y C las matrices:

A =

(1 1

0 2

), B=

(1 0 1

−1 1 4

),

C =

−1 0

−1 1

2 0

.39. (Año 2012) Sea la matriz A=

(1 −1

2 −1

).

(a) Resuelva la ecuación matricial A ·X+At = I2.

(b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto A ·B?

(c) ¿Y para el producto 3 ·B ·A?

82

40. (Año 2012) Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el

primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de

B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente

compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada,

y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero.

(a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3×2 correspondiente a las compras de ese mes.

(b) Calcule la matriz de compras del trimestre.

(c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en

el primer trimestre, por cada cliente y en total.

41. (Año 2012) Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grande y

normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha

vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada

unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato

A B C

F =

(100 150 80

200 250 140

)← grande

← normal

A B C

G=

(6 8 5

4 5 3

)← grande

← normal

(a) Efectúe los productos F t ·G y F ·Gt .

(b) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de

las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias.

(c) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total

de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la

ganancia total.

42. (Año 2013) Sean las matrices A=

(2 −1

a b

)y B=

(−1 1

3 0

).

(a) Obtenga a y b sabiendo que A2 =

(5 −2

−2 1

). ¿Es A simétrica?

(b) Para los valores a= 3 y b= 1 calcule la matriz X tal que A ·B= 2(X−3I2) .


(0 1

1 0

), B=

(1 2

3 1

).

(a) Calcule A2 y A2013.

(b) Resuelva la ecuación matricial A ·X+ I2 = 5Bt −A2.

44. (Año 2013) Sean las matrices A =(1 −2 3

), B =

2

−1

1

, C =

2 0 −1

1 1 −1

1 3 1

. Resuelva, si es posible, la

ecuación matricial B ·A+2X =C.


1

50

−2

5

3

5

, B=3

5−1

4

5

4

5

,C = (1 0 −1

2 1 3

).

(a) Resuelva la ecuación matricial (2A+B) ·X = 3A−B.

(b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones:

C ·D+A, Ct ·D ·C, D ·Ct , C ·D ·Ct .

46. (a) (Año 2013) Se consideran las matrices A =

(3 1

5 2

)y B =

(2 1

3 2

). Determine la matriz X que verifica que

B ·X = 3A+At .

(b) Calcule la matriz Y que verifica

2 5

1 −5

2 −1

·Y = 6

−12

−6

.83


(2 3

3 5

), B=

(3 −5 3

0 2 1

),C =

8

3

0

, D= (5

3

).

(a) Calcule A3.

(b) Determine la matriz X para que A ·X+B ·C = D.

48. (Año 2014) Se consideran las matrices A=

(1 a

0 1

)y B=

1

20

3

40

, siendo a un número real cualquiera.

(a) Obtenga la matriz A2014.

(b) Para a= 2, resuelva la ecuación matricial A3 ·X−4B= O.


(1 7

2 −1

)y B=

(1 0

−5 2

).

(a) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica

X+Y = A y 3X+Y = B.

(b) Halle la matriz Z que verifica B ·Z+Bt = 2I2.

50. (Año 2014) Sean las matrices B=

(−5 0

4 6

)y C =

(−1 −8 −1

−9 3 6

).

(a) Determine la dimensión que debe tener una matriz A para que se verifique la igualdad A ·B= 2Ct .

(b) Halle la matriz A anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos a31 = 2, a12 =−3, a22 = 1.

51. (Año 2014) (a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad(2 −1

3 −1

)·(

x

−y

)=

(1 x

y −1

)·(

3

0

).

(b) Resuelva la ecuación matricial:

X ·(

1 3

2 5

)−2 ·

(0 −1

−1 0

)=

(1 2

3 −1

)


(1 a

0 1

)y B=

(−1 1

).

(a) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (B ·A)t = A ·Bt .

(b) Para a= 2, resuelva la ecuación matricial X ·A= B.


(2 1

3 −2

)y B=

(3 −2

1 4

).

(a) Efectúe la operación A ·Bt .

(b) Determine la matriz X tal que A+2X = B.

(c) Calcule la matriz Y, sabiendo que B ·Y =(

6

9

).

54. (Año 2014) Resuelva la ecuación matricial A ·X = 2 · (C−Dt) , siendo:

A=

(0 1

2 0

), C =

(0 2

−1 2

)y D=

(1 −1

2 −1

).


(2 1

3 −2

)y B=

(3 −2

1 4

).

(a) Efectúe la operación A ·Bt .

84

(b) Determine la matriz X tal que A+2 ·X = B.

(c) Halle la matriz Y tal que B ·Y =(

6

9

).


1 −1 2

0 1 −1

1 0 2

, B= (1 2 1

1 −2 0

),C =

(2 1

), D=

(1 −1 2

).

(a) Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la

matriz resultante:

A ·Bt , Ct ·D, Bt ·D, D ·Bt .

(b) Despeje la matriz X en la ecuación X ·A−1+2B= 3Ct ·D, sin calcular sus elementos.

(c) Calcule la matriz A · (Bt −2Dt ·C) .


(1 2

−1 2

), B=

(1 2 2

−1 −1 2

),C =

8 −4

12 8

−8 4

.(a) Calcule A2.

(b) Resuelva la ecuación matricial A ·X+4B=Ct .


(2 3

−1 1

), B=

(2 −3

5 1

),C =

2 0

0 2

3 0

.(a) Calcule las matrices X e Y si X+Y = 2A y X+B= 2Y.

(b) Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirma-

tivos las dimensiones de la matriz D:

A+D=C, A ·D=Ct , D ·A=C, D ·A=Ct .


(0 −1

1 0

), B=

(1 1

1 1

),C =

(2 1

3 2

).

(a) Resuelve la ecuación A ·X+B ·X =C.

(b) Calcule A4 y A80.

60. (Año 2015) (a) Resuelva la ecuación matricial

(2 1

1 2

)·X+

(1 −1

0 2

)= I2.

(b) Dadas las matrices M =

(0 1

1 0

)y A=

(a b

2 1

), calcule los valores de a y b para que se verifique la ecuación

M ·A= A

61. (Año 2016) Las filas de la matriz P indican los respectivos precios de tres artículos A1, A2 y A3 en dos comercios,

C1 (fila 1) y C2 (fila 2):

P=

(25 20 15

23 25 17

).

Cati desea comprar 2 unidades del artículo A1, 1 de A2 y 3 de A3.

Manuel desea comprar 5 unidades de A1, 1 de A2 y 1 de A3.

Han dispuesto esas compras en la matriz Q:

Q=

(2 1 3

5 1 1

)(a) Calcule P×Qt y Q×Pt e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes.

(b) A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, ¿dónde les interesa hacer la compra a cada uno?


(1 2

−1 −3

), B=

(2 −1 3

4 0 1

)y C =

(−1 1 0

2 3 −2

).

(a) Resuelva la ecuación matricial A2 ·X+C = 2B.

85

(b) ¿Qué dimensiones deben tener las matrices P y Q para que las matrices (B+C) ·P y B ·Q ·Ct sean cuadradas?


(2 4

−2 −6

)y B=

(1 0 1

1 −2 0

).

(a) Resuelva la ecuación matricial X · (B ·Bt) =1

2A−2At .

(b) Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz

resultante:

A ·B, A ·Bt , B ·A−1, Bt ·A+A−1.


(1 2

0 −3

), B=

1 −1

0 2

1 −1

y C =

(1 4 0

2 −3 1

).

(a) Resuelva la ecuación matricial C ·B ·X−2A ·X = At .

(b) Analice cuáles de las siguientes operaciones, sin efectuarlas, se pueden realizar y justifique las respuestas:

B ·C+2A, A ·C+C, Bt ·C, C ·B−A.

65. (Año 2016) (a) Si A es una matriz de dimensión m× n, indique la dimensión de una matriz X si se verifica que

(At ·A) ·X = In.

(b) Calcule dicha matriz X en el caso en que A=

1 1

1 −1

1 1

.(c) Calcule, si es posible, el producto A · (At ·A).


(3 0

1 2

), B=

(−2 3

)y C =

(−1

−1

).

(a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el resultado:

A ·B, B ·A, B ·C y Ct ·Bt .

(b) Calcule la matriz X en la ecuación A ·X+Bt = 4C.


(1 2

0 −1

)y B=

(3 −1

0 2

).

(a) Calcule la matriz A2017.

(b) ¿Se verifica la expresión (B+A) · (B−A) = B2−A2 ?


(2 4

1 −1

)y B=

(−3 0

0 1

).

(a) Calcule A2+B3.

(b) Calcule X en la ecuación matricial (A+B) ·X = A−B.


(1 −1 0

0 1 −1

), B=

1 0

0 1

2 −2

y C =

(1 1

3 −2

).

(a) Razone cuáles de las siguientes operaciones son posibles:

A ·Bt B+3C C ·Bt A ·B+C.

(b) Resuelva la ecuación matricial: A ·B ·X =C.


(1 0 1

0 1 1

)y B=

0 1

1 0

1 1

.

86

(a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el resultado:

A2 A−B A ·B A ·Bt

(b) Halle la matriz X tal que At +B ·X = 3B.


(2 1

0 −1

), B=

(1 −1

2 0

),C =

(−2 4

1 −1

)y D=

(1 0 1

0 1 0

).

(a) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones:

A ·D+B ·C Dt ·B−A2

(b) Halle la matriz X que verifica la ecuación matricial A ·X = B−C .

87

TEMA 12

Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

12.1. Determinantes y propiedades

1. Calcula los siguientes determinantes de orden 2:

(a)

∣∣∣∣2 5

3 4

∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣1 2

0 0

∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣3 6

1 2

∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣−1 5

0 4

∣∣∣∣(e)

∣∣∣∣2 −1

3 2

∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣−7 2

4 5

∣∣∣∣(g)

∣∣∣∣ 0 0

−1 2

∣∣∣∣(h)

∣∣∣∣0 2

1 0

∣∣∣∣(i)

∣∣∣∣1 0

0 2

∣∣∣∣(j)

∣∣∣∣7 3

2 −3

∣∣∣∣2. Calcular los siguientes determinantes de orden 3:

(a)

∣∣∣∣∣∣1 2 3

1 1 −1

2 0 5

∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣3 −2 1

3 1 5

3 4 5

∣∣∣∣∣∣

(c)

∣∣∣∣∣∣1 3 −1

5 4 6

2 2 3

∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣1 1 1

8 7 6

1 0 −1

∣∣∣∣∣∣

(e)

∣∣∣∣∣∣1 2 3

3 2 1

4 6 −1

∣∣∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣∣∣1 1 1

0 1 −1

1 −5 6

∣∣∣∣∣∣

(g)

∣∣∣∣∣∣3 4 5

5 5 8

4 4 −2

∣∣∣∣∣∣(h)

∣∣∣∣∣∣1 2 4

1 −2 4

1 2 −4

∣∣∣∣∣∣3. Calcula los siguientes deteterminantes de orden 4:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 −2 4

3 −2 1 2

3 2 3 4

−2 4 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −1 2

2 3 2 −2

2 4 2 1

3 1 5 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4

2 1 2 1

0 0 1 1

3 4 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣4. Calcular los siguientes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣1 1 1

1 2 3

1 4 5

∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣1√

3√

3√5 1

√3√

3√

5 1

∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣senx cosx

seny cosy

∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣10 12 −20

60 24 −30

80 48 −50

∣∣∣∣∣∣

(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 4

2 0 5 0

0 1 0 0

3 2 5 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 9 0

7 0 5 4

−1 2 3 2

4 0 8 1

∣∣∣∣∣∣∣∣(g)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 5 −1 0

1 4 3 2 7

5 0 0 0 −4

−6 0 0 0 1

2 0 0 3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(h)

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1 1

1 0 x y

1 y 0 z

1 z x 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(i)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2 z

2 0 y 0

3 c 4 5

x 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(j)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 0 0 0 0

0 0 b 0 0

0 0 0 0 c

0 0 0 d 0

0 e 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣5. Desarrolla el siguiente determinante por los elementos de la segunda fila:∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 1 3

2 0 1 0

1 3 0 1

0 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣6. Calcular los siguientes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 4 5

3 5 7 9

4 6 11 10

7 11 18 19

∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 3

2 4 6 5

4 7 6 15

16 25 11 23

∣∣∣∣∣∣∣∣88

7. Sin desarrollar el siguiente determinante, comprobar que este es múltiplo de 6:∣∣∣∣∣∣1 3 4

2 6 2

5 12 8

∣∣∣∣∣∣8. Sabiendo que ∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= 8,

calcular el valor de los siguientes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣a31 a32 a33

a21 a22 a23

a11 a12 a13

∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

∣∣∣∣∣∣

(c)

∣∣∣∣∣∣a11 a13 a12

a21 a23 a22

a31 a33 a32

∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣−3a11 −3a12 −3a13

2a21 2a22 2a23

5a31 5a32 5a33

∣∣∣∣∣∣

(e)

∣∣∣∣∣∣4a11 −2a13 3a12

4a21 −2a23 3a22

4a31 −2a33 3a32

∣∣∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣∣∣a11−a12 a12 a13

a21−a22 a22 a23

a31−a32 a32 a33

∣∣∣∣∣∣9. Razonar la igualdad correspondiente, usando las propiedades de los determinantes (sin desarrollarlos):

(a)

∣∣∣∣∣∣2 1 3

5 7 12

−2 3 −1

∣∣∣∣∣∣= 0 (b)

∣∣∣∣∣∣a−b b− c c−a

b− c c−a a−b

c−a a−b b− c

∣∣∣∣∣∣= 0(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 −x 1

y 2 −y 0

z 3 −z 0

t 4 −t 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

(d)

∣∣∣∣∣∣x y x+ y

y x+ y x

x+ y x y

∣∣∣∣∣∣= 2(x+ y)

∣∣∣∣∣∣1 1 1

y x+ y x

x+ y x y

∣∣∣∣∣∣(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣a b c 1

b c a 1

c a b 1b+c

2a+c

2a+b

21

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (f)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x a p

1 y b q

1 z c r

1 t d s

∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣p q r s

a b c d

x y z t

1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣10. Halla una solución de la ecuación siguiente sin desarrollar el determinante e indicando la propiedad que se aplica:∣∣∣∣∣∣

1 1 1

1 x 1

1 1 x2

∣∣∣∣∣∣= 0

11. Resuelve, aplicando las propiedades de los determinantes, pero sin desarrollar, la ecuación de segundo grado:∣∣∣∣∣∣a b c

a x c

a b x

∣∣∣∣∣∣= 0

12. Resolver la siguiente ecuación: ∣∣∣∣∣∣x a b

a x b

a b x

∣∣∣∣∣∣= 0

13. Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:∣∣∣∣∣∣1 5 0

2 2 5

2 5 5

∣∣∣∣∣∣14. Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen 0:

(a)

89

∣∣∣∣∣∣1 a b+ c

1 b a+ c

1 c a+b

∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 a b c+d

1 b c a+d

1 c d a+b

1 d a b+ c

∣∣∣∣∣∣∣∣15. Si el valor del determinante: ∣∣∣∣∣∣

a b c

p q r

u v w

∣∣∣∣∣∣= 25,

calcula razonadamente el valor de: ∣∣∣∣∣∣2a 2c 2b

2u 2w 2v

2p 2r 2q

∣∣∣∣∣∣ .

16. Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣x y z

3 0 2

1 1 1

∣∣∣∣∣∣= 5, calcula los siguientes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣2x 2y 2z32

0 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣x y z

3x+3 3y 3z+2

x+1 y+1 z+1

∣∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣∣x−1 y−1 z−1

4 1 3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣17. Sin desarrollar los determinantes, demuestra la identidad siguiente:∣∣∣∣∣∣

1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣bc a a2

ca b b2

ab c c2

∣∣∣∣∣∣ .

18. Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣a b c

x y z

m n p

∣∣∣∣∣∣= 3, calcula

∣∣∣∣∣∣2x 2z 2y

2m 2p 2n

2a 2c 2b

∣∣∣∣∣∣ .19. Calcular los siguientes determinantes, reduciéndolos a forma triangular:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣4 2 2 2

2 −1 1 1

2 1 −1 1

2 1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 2

2 5 3 1

2 2 0 −4

1 6 5 9

∣∣∣∣∣∣∣∣

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4 5

2 3 7 7 9

3 5 11 16 18

2 3 −7 −7 −2

1 4 5 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 −1 −1

1 a 1 1

−1 1 a 1

1 −1 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣

(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 2 3

1 a 2 3

2 3 1 5

2 3 1 b

∣∣∣∣∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 4 0 0 0

1 3 4 0 0

0 1 3 4 0

0 0 1 3 4

0 0 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣20. Una matriz A ∈Mn(R) se dice que es antisimétrica si At =−A.

(a) Pruébese que los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son todos 0.

(b) Demostrar que si A es antisimétrica, entonces se tiene que det(At) = (−1)n ·det(A).

(c) Póngase un ejemplo de una matriz antisimétrica y compruébense las aserciones anteriores.

21. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a)

∣∣∣∣x4−6 x

x3−3 1

∣∣∣∣= 0

(b)

∣∣∣∣x−1 2x−3

2 x

∣∣∣∣= 0

(c)

∣∣∣∣x2−5 x−2

x+1 x+1

∣∣∣∣= 12

(d)

∣∣∣∣x+1 x+3

x−2 x−4

∣∣∣∣=−14

(e)

∣∣∣∣∣∣1 2 3

x 4 6

4 x 12

∣∣∣∣∣∣= 0

(f)

∣∣∣∣∣∣1 3 5

2 x 10

x 9 15

∣∣∣∣∣∣= 0

90

(g)

∣∣∣∣∣∣1 0 1

0 x2 −1

1 1 0

∣∣∣∣∣∣= 0 (h)

∣∣∣∣∣∣2x 1 1

0 −1 x

2 x2 1

∣∣∣∣∣∣= 0

22. Demuestra, sin efectuar el desarrollo, que:

(a)

∣∣∣∣1+a 1

1 1+b

∣∣∣∣= ∣∣∣∣a 0

0 b

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 0

1 b

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a 1

0 1

∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣1 a b+ c

1 b c+a

1 c a+b

∣∣∣∣∣∣= 0

(c)

∣∣∣∣∣∣1 1 1

a b c

a2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣= (b−a)(c−a)(c−b)

(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

12.2. Rango de una matriz

23. Determínese el rango de las siguientes matrices, obteniendo en cada caso también un menor no nulo de orden el

rango de dichas matrices:

(a) A= (1)

(b) B=(1 0 −4

)(c) C =

3

1

0

(d) D=

(1 3

2 6

)(e) E =

(5 4 2

3 −1 7

)

(f) F =

−1 2

34 4

1 −4

(g) G=

3 1 4

9 0 9

5 2 7

(h) H =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(i) I =

2 1 3

0 0 1

1 2 1

(j) J =

2 3 −1

3 −2 3

5 1 2

(k) K =

2 −1 1

6 3 −5

4 1 2

(l) L=

2 1 3 5

2 3 1 5

2 2 2 3

(m) M =

2 0 −1 1

3 −1 0 1

1 −1 3 2

3 1 −1 −2

(n) N =

4 0 −2 −2 1

−10 3 6 4 −3

2 4 −1 −8 3

2 1 −1 3 1

(o) P=

0 1 2 −1 0 1

0 −2 −4 2 0 −2

0 0 1 2 3 5

1 1 −1 0 2 1

1 2 2 1 5 7

(p) Q=

2 −3 1 0

−1 0 1 2

1 −3 2 2

1 −6 5 3

0 0 1 0

(q) R=

1 1 1 0 2

2 3 4 1 2

4 9 16 3 2

7 13 21 4 6

(r) S=

1 2 0 1 1 0

0 1 2 0 0 1

0 0 1 2 3 0

1 3 2 1 1 1

2 5 2 2 2 1

(s) T =

2 −3 1 0 1 0

−1 0 1 2 0 0

1 −3 2 2 1 0

1 −6 5 6 2 0

0 0 1 0 1 1

24. Determínese, según los valores del parámetro k ∈ R, el rango de las matrices siguientes:

(a) A=

(1 2

1 −k

)

(b) B=

(1 2 8

1 −k 4

)

(c) C =

(1 −5

1 k

)

(d) D=

(1 −5 3

1 k 4

)

(e) E =

(1 −3 1

2 −6 k

)

(f) F =

(1 −2 −1 3

2 3 1 k

)

(g) G=

1 −1 2

2 1 3

5 1 k

(h) H =

1 1 −6

1 −2 6

3 −1 k

91

(i) I =

1 1 −6 0

1 −2 6 0

3 −1 k 0

(j) J =

k 1 1

1 k 1

1 1 k

(k) K =

k 1 1 1

1 k 1 k

1 1 k k2

(l) L=

1 k 1

1 1 k

k 1 1

(m) M =

1 k 1 k+2

1 1 k −2(k+1)k 1 1 k

(n) N =

4− k 2 1

2 4− k 2

2 4 8− k

(o) P=

1 1 1

1 1+ k 1

1 1 1+ k

(p) Q=

1 1 1 k

1 1+ k 1 2k

1 1 1+ k 0

(q) R=

1 −3 5 2

2 −4 2 1

5 1 9 k

12.3. Matriz inversa

25. Calcula la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes, calculando previamente sus determinantes y uti-

lizando sus matrices adjuntas:

(a) A=

(1 2

2 5

)(b) B=

(a b

c d

)(c) C =

(1 −112

3

)

(d) D=

1 2 3

1 3 4

1 4 3

(e) E =

3 5 7

2 −3 1

1 1 2

(f) F =

1 2 3

2 4 5

3 5 6

(g) G=

1 0 −1

3 4 5

0 −6 −7

(h) H =

1 2 1

3 2 3

1 1 2

(i) I =

2 3 1

1 2 3

3 1 2

(j) J =

1 0 0

1 1 0

1 0 1

(k) K =

0 1 2

1 2 3

3 1 1

(l) L=

1 3 −2

−3 0 −5

2 5 0

(m) M =

12

0 1

0 12

0

1 0 12

12.4. Sistemas de Ecuaciones

26. Resuélvanse los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a)

{x +3y = 6

x −8y = 16

(b)

x +y = 3

x −2y =−3

2x +y = 5

(c)

2x −y +z =−3

4x +3y +7z = 11

−x +3y +2z =−1

(d)

x +z = 0

2x +3y +2z = 1

4y +3z = 7

(e)

x −2y +z = 0

y +2z = 1

−x +y −z =−2

(f)

x +y +z = 6

x −y +z = 2

2x −y +3z = 9

(g)

x −y +z = 0

x +y −4z = 0

3x −y −2z = 0

(h)

x +y +z = 3

x −2y +2z = 1

2x +y +3z = 6

(i)

x +y −z = 0

y +z = 10

2x −y +5z = 30

(j)

x +y +z = 6

x −y +z = 2

2x −y +3z = 9

3x −2y +4z = 11

(k)

x +y −9z = 0

y −5z = 0

x +2y −4z = 0

(l)

x +2y −5z = 0

2x +y −z = 3

y +z = 3

(m)

x +y +z = 1

x −y +z = 2

x +y −z = 3

3x +y +z = 6

(n)

x +y +z +t = 10

x −2y +z +t =−4

2x +z = 5

3y −2t =−2

(o)

x +y −3z = 0

x −z = 0

x +z −2t = 0

3x +y −3z −2t = 0

92

27. Discute, según los valores de los parámetros reales k y m, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a)

{x +2y = 8

x −ky = 4

(b)

{x −5y = 3

x +ky = 4

(c)

{kx +(k+1)y = 1

(k+1)x +ky = 2

(d)

{x +2y = 3

2x +y = k

(e)

{x +2y = 3

3x +ky = mk

(f)

x −3y = 1

2x +y = 3

x −2y = k

(g)

x −3y = 1

2x +y = 3

3x −2y = k

(h)

x +y = 3

2x −3y = 1

3x +2y = k

(i)

x −2y = 2

x +y = 3

x +ky = 4

(j)

3x +10y +4z = 0

kx +y −z = 0

x +3y +z = 0

(k)

kx +y +z = 1

x +ky +z = k

x +y +kz = k2

(l)

4x +2y +z = kx

2x +4y +2z = ky

2x +4y +8z = kz

(m)

x +ky +z = k+2

x +y +kz =−2(k+1)kx +y +z = k

(n)

x −3y +5z = 1

2x −4y +2z = 1

5x −y +9z = k

(o)

2x −ky +mz = 4

x +z = 2

x +y +z = 2

(p)

x +2y −3z = 0

2x −y +5z = 0

4x +3y +mz = 0

(q)

x +y +z = k

x +(1+ k)y +z = 2k

x +y +(1+ k)z = 0

(r)

x +2y −z = 2

5x +2y = 1

x −2y +mz = 3

(s)

x +y +kz = 0

x +ky +z = 0

kx +y +kz = m

(t)

2y −z = k

3x −2z = 11

y +z = 6

2x +y −4z = k

28. Sea el sistema de ecuaciones lineales: x −y −z =−2

2x +3y −z = 2

4x +y −3z =−2

(a) Clasifique y resuelva el sistema.

(b) Escriba la matriz de coeficientes de este sistema y, si es posible, calcule su matriz inversa.

29. Clasifique y resuelva el siguiente sistema: x +y +z = 0

2x +3y −z = 17

4x +5y +z = 17

¿Se puede afirmar que hay alguna ecuación que es combinación lineal de las restantes?

30. Sea el sistema de ecuaciones: x +y −z =−2

2x −z = 0

−2y +z = 4

(a) Clasifícalo y resuélvelo.

(b) ¿Tiene inversa la matriz de coeficientes del sistema? Justifícalo.

(c) Obtener, si existe, una solución del sistema que verifique x= 2y.

31. Dado el sistema de ecuaciones: kx +2y = 3

−x +2kz =−1

3x −y −7z = k+1

93

(a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k.

(b) Resuélvelo para k = 1.

12.5. Ejercicios resueltos de sistemas dependientes de un parámetro

1. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: x +ay −7z = 4a−1

x +(1+a)y −(a+6)z = 3a+1

ay −6z = 3a−2

(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.

(b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones.

(c) Resuélvase el sistema en el caso a=−3.

Demostración. (a) Sean

A=

1 a −7

1 1+a −a−6

0 a −6

, A=

1 a −7 4a−1

1 1+a −a−6 3a+1

0 a −6 3a−2

la matriz de coeficientes de las incógnitas y su matriz ampliada, respectivamente. Observemos que:∣∣∣∣∣∣

1 a −7

1 1+a −a−6

0 a −6

∣∣∣∣∣∣=−6(1+a)+0−7a− [0+a(−a−6)−6a] = a2−a−6.

Este determinante será nulo si y solo si:

a2−a−6= 0⇔ a=1±√

1+24

2=

1±5

2=

{3

−2.

En tal caso, si a 6= 3 y a 6= −2, entonces |A| 6= 0, con lo que rg(A) = 3 = rg(A) = no de incógnitas. El teorema de

Rouché-Fröbenius nos asegura que el sistema tendría solución única, es decir, es Compatible Determinado. Veamos qué

sucede en los casos a= 3 y a=−2.Si a= 3, entonces la matriz A quedaría como:

A=

1 3 −7

1 4 −9

0 3 −6

.Como

∣∣∣∣1 3

1 4

∣∣∣∣= 4−3= 1 6= 0, deducimos que rg(A) = 2. Por otra parte, tenemos ahora que:

A=

1 3 −7 11

1 4 −9 10

0 3 −6 7

.

Sabemos que

∣∣∣∣∣∣1 3 −7

1 4 −9

0 3 −6

∣∣∣∣∣∣= 0. Como:

∣∣∣∣∣∣1 3 11

1 4 10

0 3 7

∣∣∣∣∣∣= 28+0+33− (0+30+21) = 10 6= 0,

deducimos que rg(A) = 2< 3= rg(A), por lo que, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es Incompatible.

Estudiamos seguidamente el caso a=−2. En este caso se tiene que:

A=

1 −2 −7

1 −1 −4

0 −2 −6

, A=

1 −2 −7 −9

1 −1 −4 −5

0 −2 −6 −8

94

Como

∣∣∣∣∣∣1 −2 −7

1 −1 −4

0 −2 −6

∣∣∣∣∣∣= 0 y dado que

∣∣∣∣1 −2

1 −1

∣∣∣∣= 1 6= 0, deducimos que rg(A) = 2. Por otra parte, de la matriz A tenemos

que: ∣∣∣∣∣∣1 −2 −9

1 −1 −5

0 −2 −8

∣∣∣∣∣∣= 8+0+18− (0+10+16) = 0,

por lo que rg(A) = rg(A) = 2 < 3 = no de incógnitas. El teorema de Rouché-Fröbenius nos garantiza que el sistema es

Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). El número de parámetros necesarios para describir las soluciones es

3−2= 1 parámetro real.

(b) Nos piden, una vez realizado el apartado anterior, que resolvamos el sistema para a=−2, es decir, que resolvamos

el sistema: x −2y −7z =−9

x −y −4z =−5

−2y −6z =−8

.

Lo haremos combinando el método de Gauss con el de Cramer:1 −2 −7 −9

1 −1 −4 −5

0 −2 −6 −8

F2−F1−−−−→

1 −2 −7 −9

0 1 3 4

0 −2 −6 −8

F3+2F2−−−−−→

1 −2 −7 −9

0 1 3 4

0 0 0 0

,por lo que el sistema original es equivalente al sistema

{x −2y −7z =−9

y +3z = 4. Ahora resolvemos por Cramer. Lla-

mando z= λ ∈ R, el sistema anterior queda como

{x −2y =−9+7λ

y = 4−3λ. Observemos que

∣∣∣∣1 −2

0 1

∣∣∣∣= 1, por lo que

aplicando la regla de Cramer tenemos:

x=

∣∣∣∣−9+7λ −2

4−3λ 1

∣∣∣∣1

=−9+7λ +2(4−3λ ) = λ −1, y=

∣∣∣∣1 −9+7λ

0 4−3λ

∣∣∣∣1

= 4−3λ .

Por tanto, el conjunto de las soluciones del sistema es:

x= λ −1

y=−3λ +4

z= λ

∀λ ∈ R.(c) Para a=−3, el sistema quedaría como: x −3y −7z =−13

x −2y −3z =−8

−3y −6z =−11

.

Como

∣∣∣∣∣∣1 −3 −7

1 −2 −3

0 −3 −6

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 −3 −7

0 1 4

0 −3 −6

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 1 4

−3 −6

∣∣∣∣ = −6+ 12 = 6 6= 0, el sistema es de Cramer (es decir, Compatible

Determinado). La única solución del sistema es:

x=

∣∣∣∣∣∣−13 −3 −7

−8 −2 −3

−11 −3 −6

∣∣∣∣∣∣6

=−8

6= −4

3, y=

∣∣∣∣∣∣1 −13 −7

1 −8 −3

0 −11 −6

∣∣∣∣∣∣6

=14

6=

7

3, z=

∣∣∣∣∣∣1 −3 −13

1 −2 −8

0 −3 −11

∣∣∣∣∣∣6

=4

6=

2

3

95

TEMA 13

Programación lineal bidimensional

13.1. Selectividad

1. (a) Halla un sistema de inecuaciones lineales cuyas

soluciones sean los puntos del pentágono (interior

más bordes) de vértices A(0,0), B(3,0), C(5,4),D(4,5) y E(0,3).

(b) Dada la función objetivo F(x,y)= y−30x, halla

el punto del recinto anterior en el que F toma el

valor mínimo y el punto en el que alcanza el

valor máximo.

2. Dado el sistema de inecuaciones:2y+4x−4> 0

2− x> 0

y+2x> 8

x> 0

y> 0

,

se pide:

(a) Dibujar el recinto de soluciones y calcular sus

vértices.

(b) Calcular el punto del recinto en el cual la fun-

ción F(x,y) = x+ y toma su valor máximo.

Ídem para la función G(x,y) = y.

(c) De las cuatro rectas de ecuaciones respectivas

2y+4x−4= 0, y+2x= 8, 2−x= 0, x+y= 0,

¿hay dos que sean paralelas? En caso afirmativo

dígase cuáles son esas rectas.

3. Dado el recinto definido por el sistema de inecua-

ciones x> 0

y> 0

y+2x> 2

2y−3x>−3

3y− x6 6

,

se pide:

(a) Dibujar dicho recinto y hallar sus vértices.

(b) Hallar el punto del recinto anterior en el cual la

función F(x,y) = 2x− y alcanza su valor máx-

imo. Calcular dicho máximo.

4. Dado el sistema de inecuaciones2x+4y> 8

6x+5y6 30

x> 0

y> 0

,

se pide:

(a) Representar gráficamente el recinto de sus solu-

ciones y calcular sus vértices.

(b) Hallar el valor máximo de la función F(x,y) =2x+ 2y, en el recinto anterior. Hallar el punto

del recinto en donde se alcanza dicho valor

máximo.

5. (a) Hallar los vértices del recinto definido por el sis-

tema de inecuaciones lineales:x+ 1

2y6 6

2x+ y> 6

x> 0

y> 0

(b) Hallar el valor máximo de la función F(x,y) =x+ y en el recinto anterior.

6. Dado el sistema de inecuaciones lineales:y− 2

3x−26 0

x+ y6 7

y> 2x−8

x> 0

y> 0

.

(a) Representa gráficamente el recinto de sus solu-

ciones y calcula sus vértices.

(b) Halla el valor máximo de la función F(x,y) =4x+y−16 en el recinto anterior. Halla el punto

del recinto en donde se alcanza dicho valor

máximo.

7. Sea el recinto determinado por el siguiente sistema de

inecuaciones: x+ y6 20

3x+5y6 70

x> 0

y> 0

.

(a) Razone si el punto de coordenadas (4,1;11,7)pertenece al recinto.

(b) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.

(c) ¿Dónde alcanzará la función F(x,y) = 0,6x+ y

sus valores extremos y cuáles serán éstos?

8. Se considera el recinto R del plano determinado por

las siguientes inecuaciones: 13x+8y6 600

3(x−2)> 2(y−3)x−4y6 0

.

(a) Represente gráficamente el recinto R y calcule

sus vértices.

96

(b) Calcule el valor máximo en dicho recinto de la

función F(x,y) = 65x+ 40y, indicando dónde

se alcanza.

9. (a) Dibuje el recinto del plano definido por el sigu-

iente sistema de inecuaciones y determine sus vér-

tices: y> 200−2x

x−1006 3y

x+2y6 600

x> 0

.

(b) Sabiendo que A(0,2), B(1,4), C(3,4), D(4,2)y E(2,1) son los vértices de una región factible,

determine en ella el mínimo y el máximo de la

función F(x,y) = 10x+ 5y+ 21, e indique los

puntos donde se alcanzan.

10. (a) Represente gráficamente el recinto determinado

por las siguientes inecuaciones: 6x− y+9> 0

2x+5y−136 0

2x−3y−56 0

.

(b) Determine los vértices del recinto anterior.

(c) Halle los valores máximo y mínimo de la fun-

ción F(x,y) = 3x− 2y+ 3 en el recinto del

primer apartado, y especifique en qué puntos los

alcanza.

11. Se considera el recinto R del plano, determinado por

las siguientes inecuaciones:x+ y> 2

x+3y6 15

3x− y6 15

x> 0

y> 0

.


sus vértices.

(b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza

la función F(x,y) = 3x+ y en dicho recinto.

(c) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para

los que F(x,y) = 30.

12. Sea el recinto definido por las inecuaciones sigu-

ientes: x+ y6 15

x6 2y

06 y6 6

x> 0

(a) Represente gráficamente dicho recinto.

(b) Calcule sus vértices.

(c) Determine el máximo valor de la función

F(x,y) = 5x+8y en el recinto anterior y dónde

se alcanza.

13. Sea el recinto del plano definido por el siguiente sis-

tema de inecuaciones: 3x+ y> 4

x+ y6 6

06 y6 5

(a) Represéntelo gráficamente.

(b) Calcule los vértices de dicho recinto.

(c) En el recinto anterior, halle los valores máximo

y mínimo de la función F(x,y) = 5x+ 3y ¿En

qué puntos se alcanzan dichos valores?

14. Una pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y

amargas. Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g

de nata y 30 g de azúcar y se vende a 1 euro la unidad.

Cada trufa amarga lleva 100 g de cacao, 20 g de nata

y 15 g de azúcar y se vende a 1,3 euros la unidad.

En un día, la pastelería sólo dispone de 30 kg de ca-

cao, 8 kg de nata y 10,5 kg de azúcar. Sabiendo que

vende todo lo que elabora, calcule cuántas trufas de

cada tipo deben elaborarse ese día, para maximizar

los ingresos, y determine dichos ingresos.

15. Una empresa elabora dos productos, A y B. Cada

unidad de A requiere 2 horas en una máquina y 5

horas en una segunda máquina. Cada unidad de B

necesita 4 horas en la primera máquina y 3 horas en

la segunda máquina. Semanalmente se dispone de

100 horas en la primera máquina y de 110 horas en

la segunda. Si la empresa obtiene un beneficio de 70

euros por cada unidad de A, y de 50 euros por cada

unidad de B, ¿qué cantidad semanal de cada producto

debe producir con objeto de maximizar el beneficio

total? ¿Cuál es ese beneficio?

16. Un agricultor posee 10 hectáreas (ha.) y decide dedi-

carlas al cultivo de cereales y hortalizas. Por las lim-

itaciones de agua, no puede destinar más de 5 ha.

a hortalizas. El cultivo de cerales tiene un coste

de 1000 euros/ha. y el de hortalizas de 3000 eu-

ros/ha., no pudiendo superar el coste total la cantidad

de 16000 euros. El beneficio neto por ha. de cereales

asciende a 2000 euros y el de hortalizas a 8000 eu-

ros. Halle la distribución de cultivos que maximiza el

beneficio y calcule dicho máximo.

17. (a) Plantee, sin resolver, el siguiente problema de pro-

gramación lineal: "Una empresa fabrica camisas de

dos tipos, A y B. El beneficio que obtiene es de 8

euros por cada camisa que fabrica del tipo A, y de 6

euros por cada una del tipo B. La empresa puede fab-

ricar, como máximo, 100000 camisas, y las del tipo

B han de suponer al menos el 60% del total. ¿Cuán-

tas camisas debe fabricar de cada tipo para obtener el

máximo beneficio?"

(b) Represente la región definida por las inecua-

ciones: y6 x

y+2x6 6

x6 4y+3

Calcule el máximo de F(x,y) = y+ 2x en la

región anterior e indique dónde se alcanza.

97

18. Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de

azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos

de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del

tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1

kg de mantequilla, mientras que para hacer una hor-

nada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina,

0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Sabiendo que

el beneficio que se obtiene al vender una hornada del

tipo A es de 20 € y de 30 € al vender una hornada

del tipo B, determine cuántas hornadas de cada tipo

debe hacer y vender para maximizar sus beneficios.

19. Un nutricionista informa a un individuo que, en

cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diari-

amente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg

de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de

dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P con-

tiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta

6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q con-

tiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta

8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos,

¿cuál sería el de máximo coste diario?

20. Un joyero fabrica dos modelos de anillos. El modelo

A se hace con 1 gramo de oro y 1,5 gramos de plata.

El modelo B lleva 1,5 gramos de oro y 1 gramo de

plata. El joyero sólo dispone de 750 gramos de cada

metal y piensa fabricar, al menos, 150 anillos del tipo

B que ya tiene encargados. Sabiendo que el benefi-

cio de un anillo del tipo A es de 50 € y del tipo B es

de 70 €, ¿cuántos anillos ha de fabricar de cada tipo

para obtener el beneficio máximo y cuál será éste?

21. Una empresa produce botellas de leche entera y de

leche desnatada y tiene una capacidad de producción

máxima de 6000 botellas al día. Las condiciones

de la empresa obligan a que la producción de botel-

las de leche desnatada sea, al menos, la quinta parte

de las de leche entera y, como máximo, el triple de

la misma. El beneficio de la empresa por botella

de leche entera es de 20 céntimos y por botella de

leche desnatada es de 32 céntimos. Suponiendo que

se vende toda la producción, determine la cantidad

de botellas de cada tipo que proporciona un beneficio

máximo y el importe de este beneficio.

22. (Año 2012) Sea el recinto determinado por las sigu-

ientes inecuaciones:

3x+4y> 28; 5x+2y6 42; x− y> 0

(a) Razone si el punto de coordenadas (7,3)pertenece al recinto.

(b) Represente dicho recinto y halle sus vértices.

(c) Calcule el valor máximo de la función F(x,y) =3x− 2y+ 6 en el recinto, indicando el punto o

puntos donde se alcanza ese máximo.

23. (Año 2012) Un comerciante dispone de 1200 euros

para comprar dos tipos de manzanas A y B. Las del

tipo A las compra a 0,60 euros/kg y las vende a 0,90

euros/kg, mientras que las del tipo B las compra a 1

euro/kg y las vende a 1,35 euros/kg. Sabiendo que

su vehículo a lo sumo puede transportar 1500 kg de

manzanas, ¿cuántos kilogramos de cada tipo deberá

adquirir para que el beneficio que obtenga sea máx-

imo? ¿Cuál sería ese beneficio?

24. (Año 2012) (a) Represente la región definida por las

siguientes inecuaciones

7x− y>−10; x+ y6 2; 3x−5y6 14.

(b) Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza

la función F(x,y) = 2x+3y en dicha región.

25. (Año 2012) Sea el recinto limitado por las siguientes

inecuaciones:

y+2x> 2; 2y−3x>−3; 3y− x6 6.

(a) Represente gráficamente dicho recinto.

(b) Calcule sus vértices.

(c) Obtenga el valor mínimo de la función en el

recinto anterior, así como dónde lo alcanza.

26. (Año 2012) Un empresario fabrica camisas y pan-

talones para jóvenes. Para hacer una camisa se nece-

sitan 2 metros de tela y 5 botones, y para hacer un

pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1

cremallera. La empresa dispone de 1050 metros de

tela, 1250 botones y 300 cremalleras. El beneficio

que se obtiene por la venta de una camisa es de 30

euros y el de un pantalón es de 50 euros. Suponiendo

que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número

de camisas y de pantalones que debe confeccionar

para obtener el máximo beneficio, y determine este

beneficio máximo.

27. (Año 2012) En una carpintería se construyen dos

tipos de estanterías: grandes y pequeñas, y se tienen

para ello 60 m2 de tableros de madera. Las grandes

necesitan 4 m2 de tablero y las pequeñas 3 m2. El

carpintero debe hacer como mínimo 3 estanterías

grandes, y el número de pequeñas que haga debe ser,

al menos, el doble del número de las grandes. Si la

ganancia por cada estantería grande es de 60 euros y

por cada una de las pequeñas es de 40 euros, ¿cuán-

tas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo

beneficio?

28. (Año 2013) Un fabricante de tapices dispone de 500

kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg

de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A

y B. Para los del tipo A se necesita 1 kg de hilo de

seda y 2 kg de hilo de plata, y para los del tipo B, 2

kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo

de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2000 euros

y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Sise vende todo

lo que se fabrica,

(a) ¿cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para

que el beneficio sea máximo y cuál es ese ben-

eficio?

(b) ¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará

cuando se fabrique el número de tapices que

proporciona el máximo beneficio?

98

29. (a) (Año 2013) Plantee, sin resolver, el siguiente

problema: “Un barco puede transportar vehículos de

dos tipos:coches y motos. Las condiciones de la nave

obligan a que el número de motos no pueda ser in-

ferior a la cuarta parte del de coches ni superior a

su doble; además, la suma del número de motos más

el doble del número de coches no puede ser mayor

que 100. ¿Cuántos vehículos, como máximo, puede

transportar este barco?”

(b) Dado el recinto limitado por las inecuaciones

y> 30, 3x− y> 150, 6x+7y6 840

halle en qué puntos de ese recinto la función F(x,y)=6x−2y alcanza su valor mínimo.

30. (Año 2013) Un fabricante elabora dos tipos de anil-

los a base de oro y plata. Cada anillo del primer tipo

precisa 4 g de oro y 2 de plata, mientras que cada uno

del segundo necesita 3 g de oro y 1 de plata. Sabi-

endo que dispone de 48 g de oro y 20 de plata y que

los precios de venta de cada tipo de anillo son 150

euros el primero y 100 euros el segundo, ¿cuántos

anillos de cada tipo tendría que producir para obtener

los ingresos máximos? ¿A cuánto ascenderían estos

ingresos?

31. (Año 2013) En un problema de programación lineal,

la región factible es la región acotada cuyos vértices

son A(2,−1), B(−1,2), C(1,4) y D(5,0). La fun-

ción objetivo es la función f (x,y) = 2x+3y+k, cuyo

valor máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule

el valor de k e indique dónde se alcanza el máximo y

dónde el mínimo.

32. (Año 2013) Sea R la región factible definida por las

siguientes inecuaciones x> 3y, x6 5, y> 1.

(a) Razone si el punto (4.5,1.55) pertenece a R.

(b) Dada la función objetivo F(x,y) = 2x−3y, cal-

cule sus valores extremos en R.

(c) Razone si hay algún punto de R donde la fun-

ción F valga 3.5. ¿Y 7.5?

33. (Año 2013) Se considera el recinto R del plano deter-

minado por las siguientes inecuaciones:

5x−4y6 20; x+8y6 48; x> 2; y> 0.


sus vértices.

(b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza

la función F(x,y) = 2x+ 12y en este recinto e

indique dónde se alcanzan.

(c) Razone si existen valores (x,y) pertenecientes

al recinto para los que F(x,y) = 100.

34. (Año 2013) Se desea maximizar la función F(x,y) =14x+8y en el recinto dado por:

y+3x> 9; y6−4

7x+14; 5x−2y6 15; x> 0.

(a) Represente la región factible del problema.

(b) ¿Cuál es el valor máximo de F y la solución óp-

tima del problema?

(c) Obtenga un punto de la región factible que no

sea el óptimo.

35. (Año 2014) (a) Dadas las inecuaciones

y6 x+5, 2x+ y>−4, 4x6 10− y, y> 0

represente el recinto que limitan y calcule sus vér-

tices.

(b) Obtenga el máximo y el mínimo de la función

f (x,y) = x+1

2y en el recinto anterior, así como los

puntos en los que se alcanzan.

36. (Año 2014) (a) Plantee, sin resolver, el siguiente

problema: “Un mayorista vende productos conge-

lados que presenta en envases de dos tamaños, pe-

queños y grandes. La capacidad de sus congeladores

no le permite almacenar más de 1000 envases en total.

En función de la demanda sabe que debe mantener un

stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases

grandes. La demanda de envases grandes es igual o

superior a la de envases pequeños. El coste por al-

macenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase

pequeño y de 20 céntimos de euro por cada envase

grande. ¿Qué número de envases de cada tipo pro-

porciona el mínimo coste de almacenaje?”

(b) Represente el recinto que determinan las inecua-

ciones

2x> 10+ y, x6 2(5− y), x> 0, y> 0

37. (Año 2014) Un nutricionista receta a una de sus pa-

cientes una dieta semanal especial basada en lácteos

y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 € y propor-

ciona 3 unidades de proteínas y 1 de calorías; cada

kg de pescado cuesta 12 €, aportando 1 unidad de

proteínas y 2 de calorías. La dieta le exige no tomar

más de 4 kg, conjuntamente, de lácteos y pescado, y

un aporte mínimo de 4 unidades de proteínas y 3 de

calorías.

(a) Plantee el problema para obtener la combi-

nación de ambos alimentos que tenga el coste

mínimo.

(b) Dibuje la región factible y determine la solución

óptima del problema.

38. (Año 2014) (a) Represente gráficamente la región

definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus

vértices:

x+2y6 3, x− y6 1, x>−1, y> 0.

(b) Calcule los valores máximo y mínimo de la fun-

ción objetivo F(x,y) = 2x+4y en la región anterior y

los puntos donde se alcanzan.

99

39. (Año 2014) (a) Represente la región del plano deter-

minada por las siguientes inecuaciones:

2x+5y6 15, x+ y6 6, 5x−7y6 42, x> 0.

(b) Halle los vértices de la región anterior.

(c) En esa región, halle el valor mínimo de la función

F(x,y) =−2x−2y+3 y dónde lo alcanza.

40. (Año 2014) Si A(0,2), B(2,0), C(4,0), D(6,3) y

E(3,6) son los vértices de una región factible, deter-

mine, en esa región, el valor mínimo y el valor máx-

imo de la función F(x,y) = 4x−3y+8 e indique los

puntos donde se alcanzan.

41. (Año 2015) (a) Represente gráficamente la región

factible definida por las siguientes restricciones:

4x+2y> 5, 2x+5y6 10, 2x+2y6 6, x> 0, y> 0

y calcule sus vértices.

(b) Calcule los valores máximo y mínimo de la fun-

ción objetivo F(x,y) = x+2y en la región anterior y

los puntos donde se alcanzan.

42. (Año 2015) Un supermercado tiene almacenados 600

kg de manzanas y 400 kg de naranjas. Para incenti-

var su venta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las

bolsas de tipo A contienen 3 kg de manzanas y 1 kg

de naranjas; las bolsas de tipo B incluyen 2 kg de

cada uno de los productos. El precio de venta de la

bolsa A es de 4 € y de 3 € el de la bolsa de tipo B.

Suponiendo que vende todas las bolsas preparadas,

¿cuántas bolsas de cada tipo debe haber elaborado

para maximizar los ingresos? ¿A cuánto asciende el

ingreso máximo?

43. (Año 2015) Se dispone de 160 mde tejido de pana y

240 m de tejido de lana para hacer trajes y abrigos.

Se usa 1 m de pana y 2 mde lana para cada traje, y 2

mde pana y 2 m de lana para cada abrigo. Cada traje

se vende a 250 € y cada abrigo a 350 €.

(a) ¿Cuántos trajes y abrigos se deben confeccionar

para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto

asciende dicho beneficio?

(b) ¿Pueden hacerse 60 trajes y 50 abrigos con esas

cantidades de tejido? En caso afirmativo, ¿ob-

tendría el máximo beneficio al venderlo todo?

44. (Año 2015) Con motivo de su inauguración, una

heladería quiere repartir dos tipos de tarrinas de hela-

dos. El primer tipo de tarrina está compuesto por 100

g de helado de chocolate, 200 g de helado de stra-

ciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevará 150 g de

helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella

y 2 barquillos. Sólo se dispone de 8 kg de helado

de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100

barquillos. ¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben

preparar para repartir el máximo número posible de

tarrinas?

45. (Año 2015) Sea el siguiente conjunto de inecua-

ciones: x−3y6 8

3x+2y> 15

x+3y6 12

x> 0

y> 0

(a) Dibuje el recinto del plano determinado por es-

tas inecuaciones.

(b) Determine los vértices de este recinto.

(c) Maximice la función F(x,y) = 5x+ 9y en este

recinto, indicando el punto o puntos donde se

alcanza ese máximo.

46. (Año 2015) Se desea invertir 100000 € en dos pro-

ductos financieros A y B que tienen una rentabilidad

del 2% y del 2.5% respectivamente. Se sabe que el

producto B exige una inversión mínima de 10000€ y,

por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión

en B supere el triple de lo invertido en A. ¿Cuánto se

debe invertir en cada producto para que el beneficio

sea máximo y cuál sería dicho beneficio?

47. (Año 2016) Un taller fabrica y vende dos tipos de al-

fombras, de seda y de lana. Para la elaboración de

una unidad se necesita un trabajo manual de 2 horas

para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de

un trabajo de máquina de 2 horas para el primer tipo

y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales

y de planificación, se dispone de hasta 600 horas al

mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al

mes para el destinado a la máquina. Si el beneficio

por unidad para cada tipo de alfombra es de 150 € y

100 €, respectivamente, ¿cuántas alfombras de cada

tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio?

¿A cuánto asciende el mismo?

48. (Año 2016) (a) Represente la región definida por las

siguientes inecuaciones y determine sus vértices:

2x−y6−2, 4x−2y>−10, 5x−y6 4, x> 0.

(b) Calcule los valores extremos de la función

F(x,y) = 6x− 3y, en la región anterior y determine

los puntos en los que se alcanzan.

49. (Año 2016) Sea la región factible definida por las

siguientes inecuaciones:

x+ y6 20, x− y> 0, 5x−13y+86 0.

(a) Represéntela gráficamente y calcule sus vér-

tices.

(b) Razone si el punto (3, 2.5) está en la región

factible.

(c) Determine el valor máximo y el mínimo de la

función F(x,y) = x− y+ 6 en esa región y los

puntos en los que se alcanzan.

50. (Año 2016) Una empresa fabrica dos tipos de agua

de colonia, A y B. La colonia A contiene un 5% de

100

extracto de rosas y un 10% de alcohol, mientras que

la B se fabrica con un 10% de extracto de rosas y un

15% de alcohol. El precio de venta de la colonia A es

de 24 €/litro y el de la B es de 40 €/litro. Se dispone

de 70 litros de extracto de rosas y de 120 litros de

alcohol. ¿Cuántos litros de cada colonia convendría

fabricar para que el importe de la venta de la produc-

ción sea máximo?

51. (Año 2017) Un distribuidor de software informático

tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como

a particulares. Ha de conseguir al menos 25 empre-

sas como clientes y el número de clientes particulares

deberá ser como mínimo el doble que el de empresas.

Por razones de eficiencia del servicio postventa, tiene

estipulado un límite global de 120 clientes anuales.

Cada empresa le produce 386 € de beneficio, mien-

tras que cada particular le produce 229 €. ¿Qué com-

binación de empresas y particulares le proporcionará

el máximo beneficio? ¿A cuánto ascenderá ese ben-

eficio?

52. (Año 2017) (a) Represente el recinto dado por las


y6 x+3, x+5y> 3, 2x+7y6 30, y> 0.

(b) Razone si el punto (5,3) pertenece al recinto an-

terior.

(c) Obtenga los valores mínimo y máximo de la fun-

ción F(x,y) = x− y en ese recinto, indicando en qué

puntos se alcanzan.

53. (Año 2017) Un fabricante de complementos alimenti-

cios elabora dos tipos de bebidas energéticas a partir

de tres componentes: taurina, cafeína y L-carnitina.

Un envase del primer tipo de bebida precisa 30 g de

taurina, 40 g de cafeína y 20 g de L-carnitina, mien-

tras que uno del segundo necesita 40 g de taurina,

30 g de cafeína y 10 g de Lcarnitina. Sabiendo que

dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20

kg de Lcarnitina, que cada envase del primer tipo se

vende por 1.5 € y cada envase del segundo tipo por

1 €, ¿cuántos envases de cada tipo de bebida tendría

que elaborar para obtener la ganancia máxima? ¿A

cuánto ascendería esta ganancia?

54. (Año 2017) Sea el recinto definido por las siguientes

inecuaciones:

y6 2x+1, y6 13−4x, x> 4− y.

(a) Razone si el punto de coordenadas (1.1,2.8)pertenece al recinto.

(b) ¿En qué puntos alcanza la función F(x,y) =−3x+ 1.5y sus valores extremos y cuáles son

éstos?

(c) Razone si existe algún punto del recinto en el

que la función F se anule.

55. (Año 2017) Una empresa envasa y comercializa leche

entera y leche desnatada. El litro de leche entera en-

vasado genera un beneficio diario a la empresa de 0.4

€ y el de leche desnatada de 0.1 €. La tecnología de

la empresa impone que el número de litros de leche

entera que se envasan diariamente no supere el doble

del número de litros de leche desnatada. Además, la

cantidad máxima de leche que se puede envasar di-

ariamente es un total de 3000 litros y solo se dispone

de 1200 litros diarios de leche entera para envasar.

¿Cuánto debe envasar de cada producto para obtener

el beneficio máximo? ¿A cuánto ascendería este ben-

eficio?

56. (Año 2017) (a) Represente el recinto definido por las


x+ y6 3 2x+ y> 4 y>−1

(b) Razone si el punto (2,1) pertenece al recinto an-

terior.

(c) Obtenga los vértices del recinto y los valores mín-

imo y máximo de la función F(x,y) = 5x+4y en ese

recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.

(d) Razone si la función F puede alcanzar el valor 9

en el recinto anterior.

57. (Año 2017) Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

x+2y6 11 x> 2y−5 3x+y6 18 x> 0 y> 0

(a) Dibuje la región que definen y calcule sus vér-

tices.

(b) ¿Pertenece el punto (5.5,2) a la región anterior?

(c) Calcule los puntos de esa región en los que la

función F(x,y) = 2x+ 3y alcanza los valores

máximo y mínimo y determine dichos valores.

101

TEMA 14

Anexos

14.1. Reglas de derivación. Primeras reglas básicas de derivación

Función Derivada

f (x) = c, c ∈ R f ′(x) = 0

f (x) = cx, c ∈ R f ′(x) = c

f (x) = xα , α ∈ R f ′(x) = αxα−1

h(x) = f (x)±g(x) h′(x) = f ′(x)±g′(x)

f (x) =√

x f ′(x) =1

2√

x

h(x) = f (x)g(x) h′(x) = f ′(x)g(x)+ f (x)g′(x)h(x) = c f (x) h′(x) = c f ′(x)

h(x) =f (x)

g(x)h′(x) =

f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)

[g(x)]2

f (x) =1

xf ′(x) =− 1

x2

h(x) =1

g(x)h′(x) =− g′(x)

[g(x)]2

h(x) = (g◦ f )(x) = g( f (x)) h′(x) = g′( f (x)) f ′(x)

h(x) = [ f (x)]α , α ∈ R h′(x) = α f ′(x) [ f (x)]α−1

102

14.2. Derivadas de las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Función Derivada

f (x) = ax, a ∈ R+−{1} h′(x) = ax · lna

f (x) = ex f ′(x) = ex

h(x) = a f (x), a ∈ R+−{1} h′(x) = f ′(x)a f (x) · lna

h(x) = e f (x) h′(x) = f ′(x)e f (x)

f (x) = loga x, a ∈ R+−{1} f ′(x) =1

xloga e

f (x) = lnx f ′(x) =1

x

h(x) = loga f (x), a ∈ R+−{1} h′(x) =f ′(x)

f (x)loga e

h(x) = ln f (x) h′(x) =f ′(x)

f (x)h(x) = f (x)g(x) Utilizamos la derivación logarítmica:

lnh(x) = g(x) ln f (x)

[lnh(x)]′ = [g(x) ln f (x)]′⇒ h′(x)

h(x)= g′(x) ln f (x)+g(x)

f ′(x)

f (x)

⇒ h′(x) = f (x)g(x)[g′(x) ln f (x)+g(x)

f ′(x)

f (x)

]f (x) = senx f ′(x) = cosx

f (x) = cosx f ′(x) =−senx

f (x) = tanx f ′(x) =1

cos2 x= 1+ tan2 x= sec2 x

h(x) = sen f (x) h′(x) = f ′(x) · cos f (x)

h(x) = cos f (x) h′(x) =− f ′(x)sen f (x)

h(x) = tan f (x) h′(x) =f ′(x)

cos2 f (x)= f ′(x)

[1+ tan2 f (x)

]= f ′(x)sec2 f (x)

f (x) = arcsenx f ′(x) =1√

1− x2

f (x) = arccosx f ′(x) =−1√1− x2

f (x) = arctanx f ′(x) =1

1+ x2

h(x) = arcsen f (x) h′(x) =f ′(x)√

1− f (x)2

h(x) = arccos f (x) h′(x) =− f ′(x)√1− f (x)2

h(x) = arctan f (x) h′(x) =f ′(x)

1+ f (x)2

103

14.3. Tabla de la distribución normal estándar N (0,1)

P [z6 z0] =1√2π

∫ z0−∞

e−z2

2 dz

µ = media; σ = desviación típica.

Tipificación: z= x−µ

σ

z0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z0

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,0

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,1

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,2

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,3

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,4

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,5

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,6

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,7

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,8

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 0,9

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,0

1,1 0,8643 0,8655 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,1

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,2

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,3

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,4

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,5

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,6

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,7

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,8

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 1,9

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,0

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,1

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,2

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,3

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,4

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,5

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,6

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,7

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,8

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 2,9

3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,0

3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,1

3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,2

3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,3

3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,4

3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,5

3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,6

3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,7

3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,8

3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 3,9

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