CUADERNO JUDAICO Enseñanza-Aprendizaje del Idioma HebreQ ...
Cuaderno de aprendizaje 1
88
Cuaderno de Aprendizaje Introducción a la Matemática
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Cuaderno de Aprendizaje
Introducción a laMatemática
Este CUADERNO DE APRENDIZAJE tiene como objetivo ser una ayuda para el logro de tus aprendizajes.
Este material, basado en el Programa del Módulo, está estructurado de modo que oriente tu estudio y actividades prácticas.
Primeramente te encontrarás con un APRENDIZAJE ESPERADO, el cual te señala el gran aprendizaje que debes alcanzar.
Luego, aparecen los CRITERIOS DE EVALUACIÓN; éstos son los indicadores que te permiten demostrar que ya has aprendido.
Criterio 1.1.- Calcula expresiones aritméticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Números Reales, utilizando calculadora científica.
• CómoutilizarelCuadernodeAprendizaje:
A continuación de cada Criterio, encontrarás:- Dos preguntas de respuesta abierta con su desarrollo y solución.- Una pregunta de selección múltiple con su solución.
La idea es que aprendas a través de las preguntas que se te ofrecen.
Algunas actividades pueden ser:- Prepárate para tus pruebas según los Criterios de Evaluación; realiza ejercicios
de acuerdo a ellos. Ten presente que las evaluaciones de tus docentes se deben basar en estos Criterios. Si requieres más explicación sobre el significado de éstos, pídesela sin problema a ellos.
- Determinar si llegaste a la respuesta correcta.- En caso de estar correcta la respuesta, verificar si el desarrollo que hiciste de la
pregunta coincide de un modo general con la solución dada o también si existe otra alternativa igualmente correcta para llegar al resultado.
- En caso de no llegar al resultado correcto, ubica en el desarrollo de la pregunta propuesta, dónde estuvo el problema.
- Ejercita mucho.
Estimado Estudiante:
• EjemplodeCriteriodeEvaluación:
Esperamosqueestematerialseaunaporteparati.
¡Muchoéxito!
Dirección de Desarrollo Curricular y EvaluaciónVicerrectoría Académica
CUADERNO DE APRENDIZAJE
MÓDULO: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
APRENDIZAJE ESPERADO: 1. Resuelven ejercicios numéricos y problemas de aplicación sencillos, aplicando la operatoria y propiedades de los números reales, con ayuda de calculadora científica.
Criterio 1.1 .- Evalúa expresiones aritméticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Números Reales, utilizando calculadora científica 1. Encuentre el valor que se obtiene al resolver la siguiente expresión
( )[ ] ( )[ ] 2:143798537 +−+−−−+−⋅− (utilice calculadora para verificar el resultado). Solución:
( )[ ] ( )[ ] 2:143798537 +−+−−−+−⋅−
[ ] [ ] 7316887 +−−−−−⋅−
[ ] [ ] 719167 +−−−−
719112 ++
Respuesta: 138
2. Encontrar el valor de; 3,14
521,6
5
45,0
3
7 +⋅−÷+− Exprese el resultado en forma
fraccionaria (utilice calculadora para verificar el resultado) Solución:
3,14
521,6
5
45,0
3
7 +⋅−÷+−
4
5
90
551
5
4
9
5
3
7 ⋅−÷+−
. 10
13
72
551
36
25
3
7 +−+−
Respuesta: 120
959−
3. Encuentre el valor de
−⋅−
+⋅2
7
4
3
8
1
7
3
5
2
A) 1120
1313−
B) 1120
1302
C) 1120
1313
D) 1120
1302−
Alternativa correcta: C Solución:
−⋅−4
11
8
1
35
29
+32
11
35
29
Respuesta: 1120
1313
Criterio 1.2. -. Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las oper aciones en los números naturales 4. Una cadena de supermercados realiza un pedido de 3.000 kg de pan a una panificadora distribuidora. Primero le envían 854 kg, al día siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos días después 156 kg más que la primera vez. ¿Cuántos kilógramos faltan por enviarle? Solución:
( ) ( )15685412854854 ++−+ Por lo tanto, faltan por enviarle:
294706.2000.3 =− Kilos
5. Tres motocicletas giran alrededor de una pista, un corredor da la vuelta al circuito cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden ¿A qué hora vuelven a coincidir nuevamente los tres motociclistas? Solución: Debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre 12, 18 y 60 Mínimo común múltiplo: 180 segundos = 3 minutos Respuesta: Por lo tanto vuelven a coincidir a las 6:33 6. Para realizar una inauguración de un monumento se dispone de un coctel de 48 porciones de bebestibles, 24 porciones de cóctel calientes y 12 porciones de cóctel frío. Se desea que cada invitado reciba la misma cantidad de bebida, cócteles calientes y cócteles fríos ¿Cuál es el mayor número de personas que es posible atender en esta recepción? A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 Alternativa correcta: D Solución: Los divisores de 48 son: { }48,24,16,12,8,6,4,3,2,1
Los divisores de 24 son: { }24,12,8,6,4,3,2,1
Los divisores de 12 son: { }12,,6,4,3,2,1 Por lo tanto el máximo común divisor es: 12
Criterio 1.3.- Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los números enteros
7. El dueño de una cadena de supermercados hace el siguiente resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo de un año determinado:
• Enero --Marzo: ganancias de 30.000.- dólares mensuales • Abril --Julio: pérdidas de 10.000.- dólares mensuales • Agosto: pérdida de 3.000.- dólares • Septiembre – Diciembre: ganancias de 25.000.- dólares mensuales
¿Cuál fue el balance final de año? Solución:
( ) ( ) ( ) 4000.25000.34000.103000.30 ⋅+−+⋅−+⋅ Resultado: Ganancias por 000.147 dólares 8. En un estanque de combustible hay 800 litros de petróleo. Por la parte superior un tubo vierte en el estanque 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de petróleo habrá en el estanque después de 15 minutos de funcionamiento? Solución:
)1530(1525800 ⋅−⋅+
725450375800 =−+ Resultado: 725 litros
9. Tenemos una bomba que extrae agua de un pozo a 975 metros de profundidad y lo eleva a un estanque que se encuentra a 48 metros de altura ¿Qué nivel supera el agua? A) 1.023 metros B) 1.100 metros C) 1.200 metros D) 1.350 metros Alternativa correcta: A Solución: 023.197548)975(48 =+=−− metros.
Criterio 1.4.- Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los números racionales 10. De una piscina inicialmente llena de agua se saca un día la cuarta parte y luego la tercera
parte del agua que quedaba, finalmente hay 450 3m Determine la capacidad total de la piscina. Solución: Inicialmente: 1 (lleno)
Primer día: se extrae 4
1
Segundo día: se extrae 4
1
4
11
3
1 =
−⋅
Entonces: 2
1
4
1
4
11 =−− de la piscina queda finalmente
34502
1m→
31 mx→
3900
2
1450
mx ==
Capacidad de la piscina: 3900m
11. Un estanque se llena con 3.000 litros de agua. Un día se gastó 61 del estanque y otro día
1.250 litros. ¿Qué fracción de agua queda en el estanque? Solución:
5006
1000.3 =⋅
.750.1250.1500 ltrs=+
250.11750000.3 =−
Por lo tanto queda: 12
5
000.3
250.1 =
12. En una fábrica de textiles se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 horas. El proceso para
maximizar la producción es el siguiente: 31 del tiempo, se dedica a la fabricación de camisas,
41 de la jornada para pantalones, 2
1 del tiempo que se ocupa para la fabricación de camisas, se
utiliza para bordar los botones, 31 del tiempo destinado a pantalones, se usa para afinar detalles,
21 del tiempo utilizado para los bordar los botones, se destina para almorzar. El resto de la
jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? A) Media hora B) Una hora C) Una hora y media D) Dos horas Alternativa correcta: B Solución:
12
11
12
1
12
1
6
1
4
1
3
1 =++++
Por lo tanto para actividades recreativas, se utiliza 12
1hora112. =
APRENDIZAJE ESPERADO:
2. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar correctamente con razones y proporciones, con ayuda de calculadora científica
Criterio 2.1 Identifica el concepto de razón e interpreta su valor en el contexto de casos
13. Una empresa importadora de verduras, exportó en Febrero del 2010, 5.200 cajas de tomates, para Marzo del 2010, ante las eventualidades del alza del combustible y variaciones en el cambio peso – dólar, la exportación se debe reducir a 1.300 cajas del producto. Determine la razón entre la importación del mes de Febrero del 2010, en relación a Marzo del 2010 e interprete el resultado Solución:
Se establece la razón entre ambas exportaciones: 1
4
300.1
200.5
2010
2010 ==delMarzo
delFebrero
Se concluye que la importación en Febrero del 2010 es cuatro veces superior a la del mes de Marzo del 2010. 14. Se realiza un presupuesto de materiales para una obra, entre vigas de techumbre de 2 x 6 pulgadas, de pino corriente y pino oregón. Si la viga de pino corriente tiene un valor unitario de $7.550 y la viga de pino oregón $15.400, determine cuántas veces es mayor el valor del pino oregón respecto al pino corriente. Solución:
0397,2550.7
400.15 = veces mayor
15. Dos compañías internacionales del área informática realizarán inversiones de 20 millones y 22,5 millones de dólares respectivamente, entonces la cantidad de veces que la segunda compañía supera a la primera en inversión es de: A) AB 25,1=
B) AB 15,1=
C) AB 125,1=
D) AB 889,0= Alternativa correcta: C Solución:
veces125,120
5,22 =
Criterio 2.2 Resuelve problemas, aplicando teoremas y propiedades de las razones. 16. Una compañía realiza una inversión en el año 2009 del orden de los 25 millones de pesos, inversión que supera 1,25 veces la realizada el año anterior para la adquisición de los mismos productos. Determine la inversión realizada el año 2008. Solución:
pesosdemillonesx
x
añoInversión
añoinversión
2025,1
25
25,125
25,12008
2009
==
=
=
17. La remuneración de un trabajador este mes ha disminuido con respecto al mes anterior en la razón 3: 8. Si la remuneración de este mes es de $456.430. ¿Cuál es el valor de la remuneración correspondiente al mes anterior? Solución:
147.217.1$
375,0
430.456
375,0430.456
8
3430.456
=
=
=
==
x
x
x
xanteriormesingreso
actualmesingreso
18. La producción actual del diario “La Primera” es del orden de los 85,6 millones de pesos, pero ante una eventual recesión, la producción se limitará a 53,4 millones de pesos. ¿En cuánto se ha reducido la producción de acuerdo a esta información? A) 0,6234 veces B) 1,603 veces C) 0,546 veces D) 0,3766 veces Alternativa correcta: D Solución:
6234,06,854,53 =
3766,06234,01 =−
Criterio 2.3 Calcula el término desconocido de una proporción, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones.
19. Cual es el valor de x en la proporción, calcule:
x
18
15
6 =
Solución:
45
2706
15186
==
⋅=
x
x
x
20. Cuál es el valor de x en la proporción, calcule:
9
324
33
83
8
4
3
43
2
4
3
:
44
33
2
=
=
=
⋅=
=
x
x
x
x
Solución
x
21. El valor de x en la proporción: x5
1
7
42
3
= es:
A) 8
105
B) 105
8
C) 7
4
D) 4
7
Alternativa Correcta: B Solución:
35
4
2
3 =x
105
8
2
335
4
==x
Criterio 2.4: Resuelve problemas contextualizados aplicando teoremas y propiedades de las razones y proporciones. 22. En la bodega de la empresa de zapatillas “Niki” se entrega el siguiente recuento: “La suma de las zapatillas de damas y varones es de 464 pares y la razón entre los mismos es de 3: 5” encuentre la cantidad de pares de zapatillas correspondientes a cada rubro. Solución:
paresV
paresD
k
k
kk
kVkV
kDkDV
D
VD
290
174
58
4648
46453
55
33
5
3
464
==
==
=+
=⇒=
=⇒=
=
=+
23. Las recomendaciones de higiene señalan que para que exista una adecuada desinfección se debe realizar con tres productos: A , B y C .¿Cuántos mililitros se requieren de cada producto, si se necesitan preparar en total 250 ml, en la relación : A : B = 8 : 5 y B : C = 4 : 3? Solución:
95,556,7436,119
73,3
25067
250152032
1515
2020
3232
15:20:32::15
20
53
5420
32
45
48
250
====
==++
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=
=⋅⋅=
=⋅⋅=
=++
CBA
k
k
kkk
kCkC
kBkB
kAkA
CBAC
BB
A
CBA
24. Un agente de la bolsa de comercio puede invertir en tres tipos de acciones del tipo X más dos acciones del tipo Z por un total de $478.000. Si las acciones del tipo X respecto de las del tipo Z están en la razón 5: 2 ¿Cuánto pagó por cada una de las acciones? A) X=$330.000 Z= $148.000 B) X =$340.000 Z= $138.000 C) X =$300.000 Z= $178.000 D) X =$125.789 Z= $ 50.316 Alternativa: B Solución:
yexSean el precio unitario de las acciones tipo A y B respectivamente
2
5
000.47823
=
=+
y
x
yx
Alternando medios, tenemos.
kyx ==25
Por lo tanto:
kyky
kxkx
22
55
=⇒=
=⇒=
Reemplazando x e y en función de k en 3x + 2y = 478.000 tenemos:
89,157.25
000.478415
000.478)2(2)5(3
==+
=+
k
kk
kk
Por lo tanto: x = $125.789 y = $50.316
APRENDIZAJE ESPERADO:
3. Resuelven problemas de variación proporcional, en el contexto de la especialidad y la vida cotidiana.
Criterio 2.5 Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fenómenos naturales, económicos y/o sociales.
25. Establezca si las magnitudes de los siguientes ejercicios corresponden a una proporcionalidad directa o inversa a. El número de bienes de un cierto tipo que compra y la cantidad que debe cancelar por los bienes b. la velocidad de un avión y el tiempo que tarda en realizar un viaje c. Si tiene $20.000 para adquirir libros, el número de libros que se pueden adquirir y el precio de los libros. Solución: a. Directamente proporcional b. Inversamente proporcional c. Inversamente Proporcional 26. Se da la siguiente relación entre el consumo de un bien (x) y su precio (y), si k es la constante de proporcionalidad ¿Qué relación existe entre el consumo del bien y el precio?
2y
kx=
Solución: El consumo es inversamente proporcional al cuadrado del precio
27. Se da la siguiente relación entre los ingresos de una empresa de comida rápida (i), el número de productos vendidos diariamente (p) y el número de días que atienden aquellos lugares de comida rápida (d). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces,
d
kpi = , entonces se da la siguiente relación entre las variables
A) i es directamente proporcional con d e inversamente proporcional con p B) i es directamente proporcional con p con d C) i es directamente proporcional con p e inversamente proporcional con d D) i es inversamente proporcional con p y directamente proporcional con d Alternativa: C i es directamente proporcional con P e inversamente proporcional con D
CRITERIO 2.6 Plantea fórmulas en base a problemas dados, aplicando conceptos de variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas.
28. El volumen V de una madera que produce un árbol de eucaliptus es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su diámetro d. Escriba algebraicamente la relación. Solución:
2dhV ⋅=
29. En la elaboración de un producto de limpieza, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad del producto a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás:
Aguarrás (ml)( x) 165 330 495 660 825 990
Cera (gramos)(y) 82,5 165 247,5 330 412,5 495
a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad
b. Si se requieren 750 ml de aguarrás, determine la cantidad de cera necesaria (en gramos) Solución:
a. Relación directamente proporcional.
2495990
5,412825
330660
5,247495
165330
5,82165 ======
2=k
b. gramos
xy
yx
3752
750
2
2
===
⋅=
30. Un control de calidad estipula que la presión (P) de un líquido en un envase de transporte convencional, debe ser inversamente proporcional al volumen (V) que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta (T). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces, la relación anterior queda expresada algebraicamente como:
A) T
VkP
⋅=
B) V
TkP
⋅=
C) TVkP ⋅⋅=
D) 2V
TkP
⋅=
Alternativa Correcta: B
V
TkP
⋅=
Criterio 2.7 Grafica e interpreta gráficos de variaciones proporcionales, directas e inversas, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos, etc.
31. El siguiente gráfico entrega el comportamiento de las variables Nº de latas adquiridas, versus el precio en pesos a cancelar por ellas. a. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? b. Determine la constante de proporcionalidad c. Si usted compra 12 latas de bebidas ¿Cuál es el precio a cancelar? Solución: a. Relación directamente proporcional
b. 350................3
050.1
2
700
1
350 ====
c.
200.4$12350 =⋅=
⋅=x
ykx
32. Se quieren transportar 1.200.000 Kg de chatarra. En un determinado tipo de camión caben 8.000 Kg ¿Cuántos viajes tendrá que hacer para transportar la chatarra? La información se entrega en la siguiente tabla.
Nº de camiones
1 2 3 5 6
Nº de viajes 150 75 50 30 25
a. Graficar la información anterior. b. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables? c. Si se utilizaran 10 camiones ¿Cuántos viajes tendría que realizar? Solución: a. b. Relación inversamente proporcional
c,
156
150º
ºº
==
=
camionesdeN
viajesdeN
kcamionesdeN
Nº de viajes
020
40
60
80100
120140
1 2 3 4 5
Número de camiones
Nº
de v
iaje
s
33. En la figura 1, P y Q son dos magnitudes inversamente proporcionales. La expresión algebraica de tal relación es:
A) QP 60=
B) 90=⋅QP
C) Q
P60=
D) PQ 103=
Alternativa correcta: C
Criterio 2.8 Resuelve problemas de proporcionalidad relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad. 34. En la construcción de un mall, 6 camiones transportan un total de 80.000 toneladas de material, empleando 6 horas de trabajo. Si se reduce a 4 la cantidad de camiones y la cantidad de material a transportar se duplica, determine el nuevo tiempo a utilizar que se deberá emplear bajo estas nuevas condiciones. Solución:
horasx
x
x
hrsxtoneladascamiones
trabajohrstoneladascamiones
18
3
16
000.160
000.80
6
46
...............000.160....................4
.6..............000.80....................6
=
=
⋅=
Q
P
6 15
10
4
Figura 1
35. En una industria alimenticia operan 12 máquinas, las cuales trabajando 6 días a la semana, a diez horas diarias, producen 35 unidades de un cierto producto. Determine cuántas unidades se deben producir en 10 días si el número de máquinas se reduce a la cuarta parte y la cantidad de horas diarias de trabajo es de 8 horas Solución:
unidadesx
x
xx
x
unidadesxdiariashrsdíasmáquinas
unidadesdiariashrsdíasmáquinas
12
67,11
353
335
8
10
10
6
3
1235
................8...........10............3
35..............10...........6..........12
===
=
⋅⋅=
36. Los ingresos que obtiene un restaurante de comida china son directamente proporcionales al número de platos que venden diariamente, e inversamente proporcionales al número de días que atiende el restaurante. Si por la venta de 500 platos en 7 días reciben ingresos del orden de los $7.500.000. Determine el ingreso, si se venden 300 platos trabajando 5 días a la semana A) $6.300.000 B) $8.928.571 C) $7.300.000 D) $6.500.000 Alternativa: A Solución:
000.300.6$
000.500.1572521
25000.500.77
5
300
500000.500.7
....$..........5...........300
000.500.7...$..........7...........500
==
=
⋅=
x
xx
x
xdíasplatos
díasplatos
APRENDIZAJE ESPERADO: 4. Resuelven problemas de aplicación, utilizando fórmulas y conceptos de porcentajes.
Criterio 2.9 : Calcula porcentajes de cantidades dadas 37. Calcular el 5,4% de 6.500 Solución:
%4,5
%100500.6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x
351
100.35100
4,5
100500.6
==
=
x
x
x
El 5,4% de 6.500 es 351 38. ¿Qué tanto por ciento es 2.940 de 8000? Solución:
%75,36
000.294000.8
100
940.2
000.8
%940.2
%100000.8
==
=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x
xx
x
2.940 es el 36,75% de 8.000
39. ¿De qué número 12 es el 25%? A) 50 B) 70 C) 75 D) 48 Alternativa: D Solución:
48
200.12525
100
12
%2512
%100
==
=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x
x
x
x
Criterio 2.10 Aplica propiedades de los porcentajes en la resolución de problemas.
40. Según una encuesta socioeconómica, en la población Adulto Mayor se verifica que:
� El 60% son mujeres y el 40% hombres.
� El 15% de las mujeres y el 45% de los hombres están económicamente activos. Según estos datos, el % de la población Adulto Mayo r que está económicamente activa es: Solución
27,045,040,015,060,0 =⋅+⋅
Por lo tanto el 27% de la población Adulto Mayor es la que está económicamente activa
41. En una investigación realizada en un colegio mixto, sobre la cantidad de inasistencias entre hombres y mujeres, se entregó la siguiente información: De un día investigado, asiste el 80% de los alumnos, de los cuales sólo 210 eran mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los alumnos de este colegio no son hombres .
a. ¿Cuántas mujeres hay en el colegio? b. ¿Cuál es la cantidad total de alumnos?
Solución:
bresx
bresx
mujeresb
mujeresx
mujeresx
mujeresa
hom70030
30070
hom........%.........70
300........%.........30.
30070
100210
%.100...........
%70............210.
=⋅=
=⋅=
Por lo tanto el total de alumnos es de 1.000 person as
42. Si gastara el 30% de mi dinero y recibiera una cantidad igual al 25% de lo que tengo, me quedaría con $1.250 menos que ahora. ¿Cuánto dinero tengo? A) $1.190 B) $1.313 C) $27.500 D) $25.000 Alternativa Correcta: D Solución: Sea x la cantidad de dinero que tiene
000.25$
250.105,0
250.125,130,1
=−=−
−=+−
x
x
xxxx
Criterio 2.11 Resuelve problemas de comisión, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad.
43. Por una asesoría realizada, Ud. recibe $750.000, los cuales son cancelados mediante boleta de honorarios, de lo que legalmente se le retiene un 10%, calcule la retención. Solución:
44. En una tienda se liquidan pantalones por cambio de temporada. Si el primer día la rebaja es de un 20%, el segundo día la rebaja es de un 12% y el tercer día se descuenta $1.500 por cada pantalón, para quedar con un valor de $ 7.500. Determine el valor del pantalón antes de iniciar la liquidación. Solución:
784.12$
%100...................$
%80...................227.10$
227.10$
%100...................$
%88..................000.9$
000.9$500.1500.7
=
=
=+
x
x
x
x
El valor del pantalón antes de iniciar la liquidación.es de $12.784
333.83$000.750333.833:tan
333.833$100
90000.750
%100$
%90000.750$
=−=
=
→→
retienelesetoloPor
xx
x
45. A un trabajador, se le cancelan sus ingresos, en base a comisiones. En el mes de Marzo el 15% de sus comisiones fueron de $60.000, entonces su ingreso mensual fue de: A) $500.000 B) $450.000 C) $400.000 D) $350.000 Alternativa Correcta: C Solución:
%100.............................$
%15..............................000.60$
x
000.400$=x
Criterio: 2.12 Calcula tasa de incremento e índices en la resolución de problemas. 46. Si el kilo de carne costaba $8.000 en el mes de Septiembre del 2010, aumenta su valor a $8.570 en Octubre del 2010, calcular la tasa de incremento. Solución:
%13,7100000.8
000.8570.8 =⋅
−=∆
47. El rendimiento sobre una inversión, se define como: 100xtotalActivo
netasUtilidades
Si una empresa tiene una utilidad neta de 36.000 unidades monetarias y un activo de 300.000 unidades monetarias, determine el porcentaje de rendimiento sobre la inversión. Solución:
Porcentaje de rendimiento: %12100000.300
000.36 =x
48. EI IPC del mes de Septiembre fue de un 0,9% y en Octubre del mismo año 1,1%, determine la variación porcentual. A) 15,4% B) 22,2% C) 23,45% D) 25,61% Alternativa Correcta: B Solución:
%2,221009,0
9,01,1 =
−x
APRENDIZAJE ESPERADO: 5. Operan con potencias, raíces y logaritmos, utilizando sus propiedades.
2.13.- Opera con potencias, utilizando sus propiedades 49. Realizar la siguiente operación:
( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅− −49 222
Solución:
( ) ( )( ) 642
226
39
=−
−⋅− −
50. Determinar el valor de:
12
8
13
4
11
−−
⋅
Solución:
12
8
25
4
5−−
⋅
⋅
25
8
5
42
625
128
25
8
25
16 =⋅
51. El valor de
3
5
2
− equivale a:
A) 125
8
B) 5
8
C)5
8−
D) 125
8−
Alternativa: D
Solución: 125
8
5
23
−=
−
2.14.- Opera con raíces utilizando sus propiedades
52. Simplificar la siguiente expresión: 1471275 −+ Solución:
3532532575 =⋅=⋅=
0
373235
==−+
37349147
323412
=⋅=
=⋅=
53. Racionalizar 35
3
−
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
2
3353
35
3353
35
3353
3535
)35(3
35
35
35
3
22
+=
−+=
−
+=
+⋅−+=
++⋅
−
54. El valor de ( ) ( )523523 −⋅+ es:
A) 3 B) 20 C) -17 D) -20
Alternativa Correcta: C
Solución:
( ) ( )
17203
52322
−=−
−
2.15.- Resuelve expresiones numéricas con logaritmos vulgares y naturales, utilizando sus propiedades.
55. Sabiendo que 4771,03log = , utilice las propiedades logarítmicas para determinar el valor de: Log 81 .
Solución:
Como 4381= , entonces 43log81log =
9084,181log
4771,04
3log481log
=
⋅==
56. Las ventas de un producto, vienen dadas por la siguiente expresión bxmV +⋅= )(ln . Si sabemos que 184,19 == bm , y x representa la producción del producto. Determine las ventas, si se producen 200 unidades.
Solución:
menteaproximadaunidadesV
V
V
121
18)298317367,5(4,19
18)200(ln4,19
=+⋅=
+=
57. El valor de :10log5 es
A) 1,43068 B) 1,00000 C) 2,30259 D) 0,69897
Alternativa Correcta: A
Solución:
43068,15log
10log =
2.16.- Resuelve expresiones y problemas de aplicación utilizando potencias, raíces y logaritmos.
58. ¿Qué cantidad de dinero, gasta una persona después de siete semanas, si gasta siete euros diarios?
Solución:
3437777 3 ==⋅⋅ Euros diarios
59. Se tiene una pizarra cuadrada de 1.204 2cm ¿Cuánto mide cada lado de la pizarra?
.32
024.1
024.1 2
2
cma
a
a
aA
=
=
=
=
60. El valor de n en la expresión :0245,1log
)220251,00245,1log(1 esn
−−=
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
Alternativa Correcta: B
Solución:
10
)9(1
0245,1log
804249,0log1
=−−=
−=
n
n
n
APRENDIZAJE ESPERADO:
6. Operan correctamente con álgebra elemental, con apoyo de calculadora científica.
2.17.- Realiza operaciones básicas con polinomios: Adición, Sustracción, Productos
61. Sumar los siguientes polinomios:
526
23
528
53252
3
24
3
234
++=
−−+−=
+−=−+−+−=
xxS
xxxR
xxQ
xxxxP
Solución:
526
23
528
53252
3
24
3
234
++
−−+−
+−−+−+−
xx
xxx
xx
xxxx
32193 234 ++++− xxxx
62. Reduzca la siguiente expresión: ( ) )7578(93 232 +−−+−−++− xxxxxx
Solución:
102
757893
23
232
+−−
−++−+++−
xxx
xxxxxx
63. Al efectuar el producto de ( ) ( )xx 3253 +⋅− , se obtiene.
A) 615 2 +− xx
B) 615 2 ++ xx
C) 615 2 +−− xx
D) 615 2 −+− xx Alternativa Correcta: C Solución:
Multiplicando término a término: ( ) ( )xx 3253 +⋅− 2151096 xxx −−+=
2.18 Desarrolla productos notables: cuadrado de binomio y producto de una suma por su diferencia.
64. Desarrollar ( )22 23 yx + , utilizando cuadrado de un binomio
Solución:
( ) 22422 412923 yyxxyx ++=+
65. Desarrollar ( ) ( )nmnm 2222 22 −⋅+ , utilizando “suma por su diferencia” Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) 2422222 44222222 nmnmnmnm −=−=−⋅+
65. Al desarrollar ( )223 2st − se obtiene:
A) 4326 22 stst +−
B) 4326 44 stst +−
C) 4326 24 stst +−
D) 46 4st − Alternativa Correcta: B Solución:
4326
222323
44
)2(22)(
stst
sstt
+⋅−
+⋅⋅−
2.19 Factoriza expresiones algebraicas 66. Factorizar las siguientes expresiones:
.2
22
25
1
4
1.
165649.
nb
yxyxa
−
+−
Solución:
( )
−⋅
+
−
−
+⋅⋅−
nn
nb
yx
yxyxa
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1.
)47(
)4(4727.
22
2
22
67. Factorizar las siguientes expresiones:
3124.
802.224
2
+++
−+
yyyb
ppa
Solución:
( ) ( )
( ) ( )143
)3()3(4
3124.
108.
22
222
224
+⋅+
++⋅+
++++⋅−
yy
yyy
yyyb
ppa
68. Al Factorizar la expresión 2323 23 +++ aaa resulta:
A) ( ) ( )123 2 +⋅+ aa
B) ( ) 223 aa ⋅+
C) ( ) ( )212 +⋅+ aa
D) ( ) ( )31 −⋅+ aa Alternativa Correcta: A Solución:
( ) ( )( ) )1(23
2323
2323
2
2
23
++
+++
+++
aa
aaa
aaa
2.20 Resuelve problemas de aplicación, utilizando operaciones básicas, productos notables y factorizaciones.
69. Los costos de una empresa corresponden a la expresión ( )1023 2 −+ xx pesos, y los
ingresos de la misma representan la expresión )3()3( −⋅+ xx pesos. Determinar la fórmula que da cuenta de la utilidad de esta empresa. Solución:
( ) ( )
122
10239
)1023(33
2
22
2
+−−=
+−−−=
−+−−⋅+=
xxU
xxxU
xxxxU
70. Se inicio una empresa con un aporte de capital total de ( )10832 −− xx dólares, si la empresa
está integrada por ( )12−x socios. Determine la cantidad de dinero que aporto cada uno de los socios. Solución:
( ) ( )
( ) dólaresxrecibesociocadatoloPor
x
xx
x
xx
9tan
)12(
129
12
10832
+
−−⋅+=
−−−
71. Una persona invierte ( )18352 234 −+++ xxxx pesos en el armado de computadores. Si con
este capital debe cubrir un pago de ( )102 4 +x pesos, por sueldo a los trabajadores, y con el resto
pagar ( )25−x pesos en la compra de productos informáticos. Entonces la cantidad de dinero que le quedará después de realizar las operaciones indicadas es de:
A) 462452 234 +−++ xxxx
B) 46185 23 +−− xxx
C) 46185 23 −++ xxx
D) 46185 23 −+− xxx Alternativa Correcta: C Solución:
( ) ( )[ ]( ) [ ]
46185
251020218352
251020218352
)2510(20218352
23
24234
24234
24234
−++
−+−−−−++++−++−−+++
+−++−−+++
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
APRENDIZAJE ESPERADO: 7. Resuelven, con ayuda de calculadora científica, problemas sencillos relacionados con el área económica, comercial, tecnológica, etc., que impliquen operar correctamente con ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de dos ecuaciones lineales y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
2.21 Resuelve ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.
72. Un vendedor comisionista recibe un sueldo base de $ 144.000 y una comisión del 5% por las ventas que realice. ¿Qué cantidad en dinero debe vender para obtener un ingreso de $ 200.000? Solución:
000.120.1$
05,0
000.56
000.5605,0
000.20005,0000.144
=
=
==+
x
x
x
x
Por lo tanto debe vender $1.120.000 73. Se distribuyen 48.000 euros por concepto de utilidades entre dos socios, de modo que la parte
del que recibe menos equivale a los 75 de la parte del socio que recibe más. Determinar qué
cantidad recibe cada socio. Solución: Sea x : socio que recibe más dinero
( )x−000.48 : Socio que recibe menor cantidad de dinero
( )
000.20
000.28
12000.336
57000.3367
5000.48
==
==−
=−
y
x
x
xx
xx
74. En una hostal de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, entonces el número de habitaciones del segundo piso son: A) 32 B) 16 C) 40 D) 20 Alternativa Correcta: B Solución: x : Habitaciones primer piso
y : Habitaciones segundo piso
322
16
483
482
===
=+
x
x
x
xx
2.22.- Resuelve ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.
75. La longitud de una casa excede a su ancho en cuatro metros. Si cada dimensión se aumenta en cuatro metros, el área será el doble. Hallar las dimensiones de la casa. Solución:
:x Largo de la casa
:4−x Ancho de la casa :4+x Largo de la casa aumentado en 4 metros
xx =+− 44 : Ancho de la casa aumentado en 4 metros
( ) xxxx 44 2 −=− Área original de la casa
( ) xxxx 44 2 +=⋅+ Área de la casa una vez que se han aumentado sus di mensiones en 4 metros
( )
( )
12
0
012
012
0482
824
424
2
2
22
22
==
=−=−
=−−−−=+
−=+
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
Por lo tanto el largo de la casa es de 12 metros y el ancho 8 metros
anchoxolÁrea arg=
76. Un jardín rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho está rodeado por un
camino de arena uniforme. Determine el ancho del camino si se sabe que su área es de 540 2m . Solución:
( )
453
013542
405401684
5403450234)250(
21
2
2
−===−+
=−+
=⋅−+⋅+
xx
xx
pordividiendoxx
xx
El ancho del camino mide 3 metros
77. Para cercar una finca rectangular de 750 2m se han utilizado 110 metros de cerca, entonces las dimensiones de la finca son: (ver dibujo) A) 20 y 25 metros B) 15 y 20 metros C) 5 y 10 metros D) 30 y 35 metros Alternativa Correcta: D Solución:
( )
3530
075055
75055
21
2
===+−
=−⋅
xx
xx
xx
2.23 Resuelve sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral. 78 Una persona tiene un depósito de 2.000 dólares en dos bancos. Uno le paga un interés de un 6% anual y el otro 8%. Si ganó un total de 144 dólares de intereses durante un año. ¿Cuánto depositó en cada banco? Solución:
14408,006,0
000.2
=+=+
yx
yx
Multiplicando la primera ecuación por 06,0− obtenemos
14408,006,0
12006,006,0
=+−=−+−
yx
yx
Sumando ambas ecuaciones
800
200.1
2402,0
===
x
y
y
Por lo tanto depositó 800 dólares al 6% y 1.200 dól ares al 8%
79. Entre las 7:00 y 9:00 de la mañana, el metro transporta 1.000 personas. Si los escolares cancelan $160 por el pasaje y los adultos $580 por el pasaje y el ingreso total obtenido en ese horario es de $496.000 ¿Cuántos escolares y cuantos adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la mañana? Solución: Sea x la cantidad de escolares e y la cantidad de adultos
000.496580160
000.1
=+=+
yx
yx
Multiplicando la primera ecuación por 160− tenemos.
000.496580160
000.160160160
=+−=−−
yx
yx
Sumando ambas ecuaciones
200
800
000.336420
===
x
y
y
Por lo tanto 200 escolares y 800 adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y las 9:00 de la mañana.
80. Una pizzería tiene dos tipos de pizza: margarita, que tiene un valor de 4 euros, y cuatro quesos , la cual vale 6 euros. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 388 euros, entonces el número de pizzas cuatro quesos vendidas es de: A) 28 B) 40 C) 46 D) 50 Alternativa Correcta: C Solución: Sean x : Cantidad de pizzas margarita y : Cantidad de pizzas cuatro quesos
38864
74
=+=+yx
yx
Resolviendo sistema de ecuaciones, tenemos:
46
28
==
y
x
EL número de pizzas “cuatro quesos” vendidas es de 46.
2.24 Resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral 81. Un equipo de fútbol considera que la cantidad de dólares x que gana semanalmente en publicidad en y unidades de su producto (camisetas, gorros, etc) está dada por
−=
xy
500
400ln200 . Calcular la cantidad de unidades que se deben vender para que la
ganancia publicitaria sea de 139 dólares.
Solución:
51,20
139500
400ln200
=
−=
y
y
Por lo tanto se deben vender aproxima damente 21 unidades, para que el ganancia publicita ria
sea de 139 dólares
82. El nivel de agua de un pueblo se reduce de acuerdo a la relación teN 016,0000.1 −= ,
donde t se mide en años y N en millones de litros. Calcular la cantidad de agua que debe quedar cuando haya trascurridos 20 años, y cuantos años deben transcurrir para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad.
Solución:
años
et
e
litroseN
eN
t
t
32,43016,0
5,0ln
ln016,05,0ln
ln/000.1500
15,726000.1
1000
016,0
20016,0
016,0
=−
−=
=
=⋅=
=
−
⋅−
−
Debe quedar 726,15 litro de agua después de 20 años , y deben transcurrir aproximadamente casi 44 años para que el agua se reduzca a la mitad .
83. Se adquiere mobiliario por $300.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición.
Su valor después de t años está dado por la fórmula teV 2,0000.300 −⋅= . ¿Cuántos años aproximadamente deben transcurrir para que el mobiliario tenga un valor de $100.000?
A) 5,5 años B) 4,8 años C) 4,4 años D) 3,9 años
Alternativa Correcta: A
Solución:
añost
et
e
et
t
5,52,0
333,0ln
ln2,0333,0ln
ln/333,0
000.300000.1002,0
2,0
==−
−==
⋅=−
−
APRENDIZAJE ESPERADO:
8. Operan con funciones básicas, relacionando su estudio con la resolución de problemáticas del ámbito de la economía, los negocios, la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, con ayuda de calculadora científica.
3.1.- Identifica el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente.
84. Dados los siguientes gráficos, cuál (es) representan una función: Solución: El gráfico I no representa una función, ya que dos elementos diferentes del dominio, tienen la misma imagen. Los gráficos II y III son funciones ya que todos los elementos del dominio tienen una imagen única.
85. Hallar el dominio de las siguientes funciones definidas mediante las ecuaciones siguientes:
3)(.4
1)(.1)(. 2
2+=
−=−= xxfc
xxfbxxfa
Solución: a. Como la raíz cuadrada de un número negativo no está definida, es necesario que 01≥−x . El
conjunto de los números reales 1≥x satisface la desigualdad. Así, el dominio de la función es el
intervalo [ )∞,1
b. La única restricción sobre x es que 42 −x debe ser distinta de cero, ya que no se permite la
división entre cero; pero ( ) ( ) ( ) 2202242 =−==−⋅+=− xoxsixxx .Así en este caso, el
dominio de la función consta de los intervalos ( ) ( ) ( )∞−−∞− ,22,2,2, y c. En este caso, cualquier número real satisface la ecuación, de modo que el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales 86. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
2)(. xxfa =
Solución:
Si consideramos la función que a cada número le asocia su cuadrado, y = x2, su dominio será todos los números reales, es decir, existe el cuadrado de cualquier número. Pero la variable dependiente y sólo tomará valores mayores que 0, ya que el cuadrado de un número es siempre positivo .Por lo tanto el recorrido de la función son todos los números reales positivos.
b. xxf 2)( = Solución: El dominio de la función es el conjunto de todos los reales El recorrido de la función es el conjunto de los reales positivos
87. El dominio de la función 1)( 2 += xxf es:
A) ( )∞∞,
B) ( )∞−∞,
C) ( )∞∞− ,
D) ( )1, −∞− Alternativa Correcta: C Solución:
Como 2x es siempre positivo, el dominio de la función es ( )∞∞− ,
3.2 Calcula imágenes y pre-imágenes en funciones reales sencillas
88. Dada la función: 12)( 2 +−= xxxf Calcular.
( ) )(.)2(.1. afcfbfa − Solución:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1212)(.
1112812222.
21121112)1(.
22
2
2
+−=+−=
=++=+−−−=−
=+−=+−=
aaaaafc
fb
fa
89. Dada la función 2
5
−+=
x
xy , calcular:
)(.)2(.)3(. 111 afcfbfa −−− − Solución:
( )
1
25
1
25
25)1(
25
52
522
5
−+=
−+=
+=−+=−
+=−+=−
−+=
x
xy
y
yx
yyx
yxxy
xyxy
xxyx
xy
( )
1
25)(
3
1
12
225)2(
5,513
325)3(
1
1
1
−+=
−=−−−⋅+=−
=−
⋅+=
−
−
−
a
aaf
f
f
90. Calcular )5(f , dada la función: =)(xf ( ) ( )32
1
−⋅+−xx
x
A) 61
B) 71
C) 72
D) 31
Alternativa Correcta: B Solución:
( )( ) 7
1
14
2
3525
15)5( ==
−+−=f
3.3 Representa gráficamente funciones reales sencillas, en el plano cartesiano.
91. Graficar la función: 12 2 += xy Solución: 92. Graficar la función: 52 +−= xy Solución:
93. El siguiente gráfico representa la función: A) 3=x B) 3−=x
C) 3−=y
D) 3=y Alternativa Correcta: D Solución: El gráfico corresponde a la función 3=y
APRENDIZAJE ESPERADO:
9. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo. 3.4 Identifica la función lineal y la caracteriza a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 94. Dadas las siguientes funciones:
I. 32 −= xy
II. 232 −+= xxy
III. 3xy = IV. 53 +−= xy
¿Cuál(es) representa(n) funciones lineales? Solución: Las funciones I y IV representan una función lineal, ya que ambas tienen la forma nmxy +=
95. Dada la siguiente función lineal 53 += xy , determine: a. pendiente de la función lineal b. intersección con el eje de las abscisas c. intersección con el eje de las ordenadas d. Gráfico de la función lineal Solución: a. La pendiente de la función lineal es 3 b. Intersección con el eje de las abscisas (Hacemos y = 0)
3
5
53
053
−=
−==+
x
x
x
c. intersección con el eje de las ordenadas (Hacemos x = 0) 5=y
d. Gráfico de la función lineal
96. Dada la función lineal 2
15)( +−= xxf podemos afirmar que.
A) Tiene pendiente positiva. . B) Corta al eje de las abscisas en 5−
C) Corta al eje de las ordenadas en 21
D) Corta al eje de las abscisas en 21
Alternativa Correcta: C Solución:
Es una función lineal con pendiente negativa -5, corta al eje de las abscisas en 101 y al eje de las
ordenadas en 21
3.5 Analiza e interpreta la pendiente e intercepto 97. 000.100.18273,55)( += xxC es la función de costo estimada para una empresa metalúrgica para los años 2000 - 2015. Donde C es el costo total en dólares por año y x es la producción de acero en toneladas por año. Interprete la el valor de la pendiente Solución: La pendiente 55,73 dólares, significa que si la producción aumenta 1 tonelada, el costo aumenta en 55,73 dólares. 98. Calcular e interpretar la pendiente de la siguiente función lineal: 14,015,0 +−= pq , que representa la función estimada de demanda anual de arroz en un cierto país para el período 2001- 2011. Solución: La pendiente es 15,0− , lo que nos dice que si el precio aumenta en una unidad, entonces la cantidad demandada disminuye en 0,15 unidades 99. Dada la función de costo 000.2020)( += xxC , que corresponde a la fabricación de un cierto bien en una empresa. En esta función 20.000 representa: A) Costo variable B) Costo fijo C) Costo unitario D) Costo total Alternativa Correcta: B Solución: El valor 20.000 representa el costo fijo del producto
3.6 Calcula ecuación de la recta en sus formas principal y general. 100. Determinar la ecuación de la recta en sus formas principal y general, que pasa por los puntos
)4,5()2,3( 21 PyP −= Solución:
( )112
121 xx
xx
yyyy −
−−
=−
( )335
242 −
−+=+ xy
( )332 −=+ xy
932 −=+ xy
113 −= xy Ecuación de la recta en su forma principal
0113 =−− yx 101. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto )3,1( −−=P , siendo su pendiente 2, en sus formas principal y general.
generalformasuenrectaladeecuaciónyx
principalformasuenrectaladeecuaciónxy
xy
xy
012
12
223
)1(23
=−−
−=+=++=+
102. La ecuación de la recta que pasa por los puntos )3,2()7,4( y− viene dada por: A) 135 −= xy
B) 135 −−= xy
C) 135 +−= xy
D) 135 += xy Alternativa Correcta: C Solución:
( )
135
2057
)4(57
442
737
+−=+−=+−−=+
−−+=+
xy
xy
xy
xy
3.7 Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modelo. 103. Encuentre la expresión lineal que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 estufas ingresaron 4.500 euros, y por la venta de 15 estufas del mismo tipo el ingreso fue de 2.000 euros. Solución:
( ) )000.2,15(500.4,40 21 == PP
( )( )
500100
000.4100500.4
40100500.4
404015
500.4000.2500.4
+=−=−−=−
−−−=−
xy
xy
xy
xy
104. Dadas las ecuaciones de oferta (O) y demanda (D) de un artículo
xpOxpD 2:;28: =−= +1 Determinar el precio p (pesos) y la cantidad x (en unidades) de equilibrio del mercado
9
327
1228
==
+=−
x
x
xx
19
928
28
=−=−=
p
p
xp
Por lo tanto la cantidad en equilibrio es de 9 unid ades y el precio $19 105. Un supermercado recibe 25 dólares por cada unidad de producción vendida de una marca de licores. Sus costos variables por unidad son de 15 dólares y un costo fijo de 1.200 dólares ¿Cuál es el nivel de utilidad si se producen y venden 200 unidades? A) 600 dólares B) 800 dólares C) 900 dólares D) 950 dólares Solución:
dólaresU
xxU
xxxU
xxI
xxC
800)200(
200.110)(
)200.115(25)(
25)(
200.115)(
=−=
+−==
+=
APRENDIZAJE ESPERADO: 10. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función cuadrática como modelo.
3.8 Representa gráficamente funciones cuadráticas indicando sus elementos característicos. 106. Dada la función cuadrática 322 ++−= xxy . Graficar, indicando sus elementos característicos Solución: Intersección de la parábola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0)
132
422
1242
032
1/032
21
2
2
−==
±=
+±=
=−−
−=++−
xx
x
x
xx
xx
Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos ( )0,3)0,1( y− Intersección de la parábola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)
3=y Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto )3,0( Determinación del vértice de la parábola:
( )4,1
4
412;
2
2
=
−−−
−−=
V
V
Gráfico:
107. Graficar la función: 442 +− xx Intersección de la parábola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0)
222
042
16164
044
21
2
==
±=
−±=
=+−
xx
x
x
xx
Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos )0,2( Intersección de la parábola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)
4=y Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto )4,0( Determinación del vértice de la parábola:
( )0,2
4
1616;
2
4
=
−=
V
V
Gráfico:
108. El siguiente gráfico corresponde a una parábola, cuya ecuación es:
A) 322 +−= xxy
B) 322 ++= xxy
C) 322 2 ++= xxy
D) 322 2 +−= xxy Alternativa Correcta: A
3.9 Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para interpretar su comportamiento.
109. La ganancia trimestral de una empresa (en miles de dólares) está dada por
3073
1)( 2 ++−= xxxG , interprete los parámetros a, b y c
Solución: La función ganancia, es una función cuadrática y, por tanto su gráfica es una parábola. Además, el
coeficiente 2x es 031 <−=a , de modo que la parábola abre hacia abajo, por lo tanto tiene un
punto máximo. Se desplaza hacia la izquierda 0>b y corta al eje de las ordenadas (eje y) en 30.
110. Dada la función de ganancia del problema anterior 3073
1)( 2 ++−= xxxG .Interprete el
valor del vértice de la parábola. Solución:
La abscisa del vértice de la parábola es 5,102
21
3
27
2==
−−=−
a
b
La ordenada correspondiente es 75,664
26730
2
217
2
21
3
1
2
212
==+
+
−=
f
La parábola abre hacia arriba, por lo tanto su vértice es el punto más alto sobre la parábola, por lo que la ordenada del vértice proporciona el valor máximo de la ganancia trimestral Esto significa que la máxima ganancia trimestral es de 66.750 dólares, este valor se presenta cuando la empresa gasta 10.500 dólares trimestrales en publicidad.
111. Dada la función cuadrática 252)( 2 −+−= xxxf , entonces A) La parábola abre hacia arriba B) La parábola tiene un valor mínimo C) La parábola se desplaza hacia la izquierda D) La parábola en 0=x , es 2− Alternativa Correcta: D Solución: La parábola abre hacia abajo )( <a , tiene un valor máximo, se desplaza hacia la
derecha ( )0<b , corta al eje de las ordenadas (y) en 2−
3.10 Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo grado. 112. Desarrolle de manera gráfica y analítica el comportamiento de la siguiente ecuación
cuadrática: 07164 2 =+− xx Solución:
5,02
1
5,32
78
12168
11225616
2
4
2
1
2
==
==
±=
−±=
−±−=
x
x
x
x
a
acbbx
113. Desarrolle de manera gráfica y analítica el comportamiento de la siguiente ecuación
cuadrática:( ) 92 2 =−x Solución:
( )
152
642
364
2
20164
054
944
92
21
2
2
2
−==
±=
±=
+±=
=−−=+−
=−
xx
x
x
x
xx
xx
x
114. Utilizando el discriminante, la ecuación cuadrática 0432 2 =+− xx , tiene:
A) Dos raíces reales iguales B) Dos raíces reales diferentes C) La ecuación no tiene soluciones reales D) Nada se puede afirmar Alternativa Correcta: C Solución:
23
329
42
−=∆−=∆
⋅⋅−=∆ cab
Como el discriminante es negativo, la ecuación no t iene soluciones reales
3.11 Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la especialidad. 115. El costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades de un bien es
20002,006,020)( xxxC +−= ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cual es el correspondiente costo mínimo por unidad?
Solución:
unidadesa
b150
0004,006,0
2==−
150 unidades minimizarían el costo promedio
2)150(0002,015006,020)150( +⋅−=C
dólaresC 5,15)150( = , es el costo mínimo por unidad
116. El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: 21,0480)( xxxC ++= . Si cada artículo puede venderse en 10 dólares, determine el punto de equilibrio. Solución:
21,0480)( xxxC ++=
xxI 10)( = Punto de equilibrio:
xxx 101,0480 2 =++
08061,0 2 =+− xx Resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos: 2040 21 == xx
117. El ingreso mensual (en dólares) obtenido por vender x unidades de un producto está dado
por: 2025,04)( xxxI −= Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. A) 160 unidades B) 80 unidades C) 40 unidades D) 20 unidades Alternativa Correcta: B Solución:
unidadesa
b80
05,04
2=
−−=−
APRENDIZAJE ESPERADO:
11. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función exponencial y logarítmica como modelo.
3.12 Identifica la función exponencial de la forma y = xba ⋅ , y la
caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica, cuando 10 << b y cuando 1>b .
118. Dada la función xy 2= , identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus
parámetros, ceros y gráfica Solución:
Es una función exponencial, ya que es de la forma xbay ⋅= . Su dominio es ( )∞∞− , , su
imagen es ( )∞,0 . Su gráfica pasa por el punto ( )1,0 , es una curva continua sin saltos. Como
1>b , la función crece de izquierda a derecha
119. Dada la función
x
y
=2
1 caracterícela a través de sus parámetros, ceros y gráfica
Solución:
Su dominio es ( )∞∞− , , su imagen es ( )∞,0 . Su gráfica pasa por el punto ( )1,0 es una curva
continua sin saltos, como 1<b , su gráfica decrece de izquierda a derecha.
120. Dada la función exponencial xey −= , entonces: A) La gráfica de la función crece de izquierda a derecha
B) El dominio de la función es ( )∞,0 C) La gráfica de la función decrece de izquierda a derecha
D) La imagen de la función es ( )∞∞− , Alternativa Correcta: C Solución:
Como 1>e , esto implica que 110 << e , de modo que ( )x
xx
eeexf 11)( === − es una
función exponencial con base menor que 1, por lo ta nto la gráfica de la función decrece de izquierda a derecha.
3.13 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial. 121. La demanda semanal de una nueva línea de refrigeradores, t meses después de introducido
al mercado está dada por la siguiente expresión: 0500.1000.2)( 05,0 >−= − tetD t ¿Cuál es la demanda del producto después de dos años? Solución:
oresrefrigeradD
eD
548.1)24(
500.1000.2)24( 2405,0
=−= ⋅−
122. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de
t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por tPtv 1,1)( ⋅= . Si una casa fue
comprada en $40.000.000 en el año 2004. ¿Cuál será su precio en el año 2011? Solución:
684.948.77)7(
1,1000.000.40)7( 7
=⋅=
v
v
123. El ingreso I (en dólares) de un cierto producto como función de la demanda x, viene dado por la expresión:
25150)(x
exxI−
⋅⋅= , si se venden 50 unidades del producto, entonces, el ingreso es de: A) 55.417,92 dólares B) 1015,01 dólares C) 2030,35 dólares D) 1050,32 dólares Alternativa Correcta: B Solución:
dólaresI
eI
01,1015)50(
50150)50( 25
50
=⋅⋅=
−
3.14 Identifica la función logarítmica de la forma y = xba log+ , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. 124. Dada la función xy log= identifique el tipo de función y caracterícela a través de sus parámetros, ceros y gráfica Solución: Función logaritmo con dominio ),0( ∞ , su imagen. ),( ∞−∞ .Su gráfica es una curva continua que
pasa por el punto ( )0,1 , la cual crece de izquierda a derecha.
125. Dado el gráfico logarítmico, caracterícelo a través de sus parámetros, ceros y gráficas Solución: . La gráfica corresponde a una función creciente, por otro lado la curva se acerca indefinidamente al
eje y en la medida que x se acerca a cero, es una curva continua que pasa por el punto ( )0,1
126. Dados los siguientes gráficos. ¿Cuál de ellos representa una función logarítmica? I II III IV A) Gráfico I B) Gráfico II C) Gráfico III D) Gráfico IV Alternativa Correcta: D Solución:
El gráfico I corresponde a función exponencial creciente, el gráfico II es la función 1
32
−−=
x
xy , el
gráfico III es una función exponencial decreciente y el gráfico IV corresponde a una función logarítmica
3.15 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial y logarítmico 127. Se adquiere un horno industrial en $ 450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de
adquisición. Su valor después de t años está dado por la fórmula: teV 2,0000.450 −⋅= ¿En cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de $200.000? Solución:
añost
t
et
naturalaritmoaplicandoe
e
e
t
t
t
1,4
2,0
44444,0ln
ln2,044444,0ln
log44444,0
000.450
000.200
000.450000.200
2,0
2,0
2,0
=
=−
−==
=
⋅=
−
−
−
128. La temperatura de una taza de café t minutos después de ser servida está dada por
teT 0446,04021 −⋅+= donde T se mide en grados Celsius.
a. ¿Cuál es la temperatura del café al ser servido? b. ¿Cuándo estará el café lo suficientemente frío para poder beberlo (aproximadamente 50º Celsius)
Solución:
CelciusT
eT
eTa
º61
4021
4021.0
0044,0
=⋅+=
⋅+= ⋅−
21,70446,0
725,0ln
ln0446,0725,0ln
log725,0
40
29
4029
402150.
0446,0
0446,0
0446,0
0446,0
==−
−==
=
⋅=
⋅+=
−
−
−
−
t
et
naturalaritmoaplicandoe
e
e
eb
t
t
t
t
Por lo tanto el café estará lo suficientemente frío dentro de 7,21 minutos
129. La población actual de Chile (año 2010) es de 17 millones de habitantes, si la tasa de crecimiento es de un 1,1% anual, entonces, suponiendo la misma tasa de crecimiento, la población actual se duplicara dentro de: A) 59,24 años B) 60,54 años C) 61,25 años D) 63,36 años Alternativa Correcta: D Solución:
nif iPP )1( +=
fP Población final
iP Población inicial
i Tasa de crecimiento n Número de períodos
36,63
011,1log
2log
011,1log2log
log011,12
011,117
34
)011,01(1734
=
=
==
=
+=
n
n
n
aritmoAplicandon
n
n
La población se duplicará dentro de 63,36 años
Ela
boró
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go: I
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2010
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xpre
sion
es
-Apl
icac
ione
s de
las
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acio
nes
bási
cas:
R
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n de
pro
blem
as e
n lo
s R
eale
s
Ela
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umar
ino
Car
go: I
ngen
iero
Civ
il In
dust
rial
. Esp
ecia
lista
Téc
nico
Fech
a:en
ero
de 2
010
Val
idó
Téc
nica
men
te: A
lfre
do T
ala
Car
go: C
oord
inad
or N
acio
nal d
e C
ienc
ias
Bás
icas
Fech
a: e
nero
de
2010
Val
idó
Peda
gógi
cam
ente
: Pat
rici
o A
lcaí
no
Car
go: E
ncar
gado
Pro
yect
o y
Dis
eño
Cur
ricu
lar
Fech
a: e
nero
de
2010
2° U
nid
ad:
Álg
ebra
en
los
Rea
les
DU
RA
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N:
40 h
oras
ped
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icas
AP
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SP
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CR
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IÓN
C
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S
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lven
pro
blem
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ropi
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el
mun
do c
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iano
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esp
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lidad
, qu
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uen
oper
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ctam
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con
ra
zone
s y
prop
orci
ones
, con
ayu
da d
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lcul
ador
a ci
entíf
ica.
2.1.
- Id
entif
ica
el c
once
pto
de r
azón
e in
terp
reta
su
valo
r en
el
cont
exto
de
caso
s.
2.2.
- R
esue
lve
pro
blem
as, a
plic
ando
teo
rem
as y
pro
pied
ades
de
las
razo
nes.
2.
3.-
Cal
cula
el t
érm
ino
desc
onoc
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de u
na p
ropo
rció
n, a
plic
ando
pr
opie
dade
s y
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a fu
ndam
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l de
las
prop
orci
ones
. 2.
4.-
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e pr
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mas
con
text
ualiz
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mas
y
prop
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s y
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álcu
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rpre
taci
ón
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once
pto,
Teo
rem
a F
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men
tal.
-Tér
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scon
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una
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porc
ión
Pro
blem
as d
e ap
licac
ión
3. R
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lven
pro
blem
as d
e va
riaci
ón
prop
orci
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, en
el c
onte
xto
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la v
ida
cotid
iana
.
2.5.
- Id
entif
ica
varia
cion
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ropo
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s di
rect
as, i
nver
sas
y co
njun
tas
en fe
nóm
enos
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es,
econ
ómic
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les
2.6.
- P
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ea fó
rmul
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n ba
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blem
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ados
, apl
ican
do
conc
epto
s de
var
iaci
ones
pro
porc
iona
les
dire
ctas
, inv
ersa
s y
conj
unta
s.
2.7.
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rafic
a e
inte
rpre
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ráfic
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ones
pro
porc
iona
les,
di
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, rel
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s co
n si
tuac
ione
s y
fenó
men
os
com
erci
ales
, eco
nóm
icos
, etc
. 2.
8.-
Res
uelv
e pr
oble
mas
de
prop
orci
onal
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rel
acio
nado
s co
n la
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otid
iana
y c
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esp
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lidad
.
Var
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ropo
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nal:
Var
iaci
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Inve
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V
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ción
Con
junt
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ráfic
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e la
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porc
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ción
con
junt
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os c
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a co
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con
la
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idad
.
4. R
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lven
pro
blem
as d
e ap
licac
ión,
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iliza
ndo
fórm
ulas
y c
once
ptos
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enta
jes.
2.9.
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ntaj
es d
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as.
2.10
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plic
a pr
opie
dade
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enta
jes
en la
res
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ión
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prob
lem
as.
2.11
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lve
prob
lem
as d
e co
mis
ión,
des
cuen
tos
y re
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os,
rela
cion
ados
con
la e
spec
ialid
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2.12
.- C
alcu
la ta
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crem
ento
e ín
dice
s en
la r
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n de
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mas
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n:
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s y
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s
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n co
n po
tenc
ias,
raí
ces
y lo
garit
mos
, util
izan
do s
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edad
es.
2.13
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pera
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enci
as, u
tiliz
ando
sus
pro
pied
ades
. 2.
14.-
Ope
ra c
on r
aíce
s ut
iliza
ndo
sus
prop
ieda
des.
2.
15.-
Res
uelv
e ex
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ione
s nu
mér
icas
con
loga
ritm
os v
ulga
res
y na
tura
les,
util
izan
do s
us p
ropi
edad
es.
2.16
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expr
esio
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y pr
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mas
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al.
Pot
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pone
nte
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O
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P
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.
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de 2
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Car
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acio
nal d
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ias
Bás
icas
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nero
de
2010
Val
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gógi
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ente
: Pat
rici
o A
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no
Car
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ncar
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Pro
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o y
Dis
eño
Cur
ricu
lar
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nero
de
2010
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os:
Def
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ión
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garit
mo
Sis
tem
as d
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garit
mos
: Log
aritm
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y na
tura
les
Pro
pied
ades
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los
loga
ritm
os
Ope
rato
ria c
on lo
garit
mos
.
6. O
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n co
rrec
tam
ente
con
álg
ebra
el
emen
tal,
con
apoy
o de
cal
cula
dora
ci
entíf
ica.
2.17
.- R
ealiz
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ione
s bá
sica
s co
n po
linom
ios:
Adi
ción
, S
ustr
acci
ón, P
rodu
ctos
. 2.
18.-
Des
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rodu
ctos
not
able
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uadr
ado
de b
inom
io y
p
rodu
cto
de u
na s
uma
por
su d
ifere
ncia
. 2.
19.-
Fac
toriz
a ex
pres
ione
s al
gebr
aica
s.
2.20
.- R
esue
lve
prob
lem
as d
e ap
licac
ión,
util
izan
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pera
cion
es
bási
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y fa
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ione
s.
Tér
min
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emej
ante
s -O
pera
cion
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on p
olin
omio
s -P
rodu
ctos
not
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s:
Cua
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bin
omio
S
uma
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su d
ifere
ncia
-F
acto
rizac
ión:
P
olin
omio
con
térm
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com
unes
P
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cto
de d
os b
inom
ios
con
un té
rmin
o co
mún
D
ifere
ncia
de
dos
cuad
rado
s
Trin
omio
que
es
un c
uadr
ado
perf
ecto
7. R
esue
lven
, con
ayu
da d
e ca
lcul
ador
a ci
entíf
ica,
pro
blem
as
senc
illos
rel
acio
nado
s co
n el
áre
a ec
onóm
ica,
com
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al, t
ecno
lógi
ca,
etc.
, que
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ique
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y e
xpon
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ales
2.21
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do, o
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su
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s re
ales
de
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el m
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labo
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2.22
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do s
u es
tudi
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y e
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do la
bora
l. 2
.23.
- R
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lve
sist
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de
ecua
cion
es d
e pr
imer
gra
do c
on d
os
incó
gnita
s, o
rient
ando
su
estu
dio
a si
tuac
ione
s de
la e
spec
ialid
ad y
el
mun
do la
bora
l. 2
.24.
- R
esue
lve
ecua
cion
es e
xpon
enci
ales
y lo
garí
tmic
as, o
rient
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su
est
udio
a s
ituac
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s de
la e
spec
ialid
ad y
el m
undo
labo
ral.
Ecu
ació
n de
prim
er g
rado
: Res
oluc
ión
y re
solu
ción
de
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Ecu
acio
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de s
egun
do g
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: Res
oluc
ión
y re
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de
prob
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-Sis
tem
as d
e ec
uaci
ones
de
prim
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rado
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do
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cógn
itas:
Res
oluc
ión,
gra
ficac
ión
y re
solu
ción
de
prob
lem
as.
-Ecu
acio
nes
expo
nenc
iale
s: R
esol
ució
n y
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
. -E
cuac
ione
s lo
garí
tmic
as: R
esol
ució
n y
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
.
3° U
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ad:
Las
fu
nci
on
es r
eale
s co
mo
mo
del
os
des
crip
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s D
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n:
30 h
oras
ped
agóg
icas
AP
RE
ND
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SP
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CR
ITE
RIO
S D
E E
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IÓN
C
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TEN
IDO
S
8. O
pera
n co
n fu
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nes
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cas,
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u es
tudi
o co
n la
re
solu
ción
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prob
lem
átic
as d
el á
mbi
to
de la
eco
nom
ía, l
os n
egoc
ios,
la
tecn
olog
ía y
otr
os fe
nóm
enos
so
cioe
conó
mic
os, c
on a
yuda
de
3.1.
- Id
entif
ica
el c
once
pto
de fu
nció
n, s
u do
min
io y
rec
orrid
o,
oper
ando
con
la n
omen
clat
ura
corr
espo
ndie
nte.
3.
2.-
Cal
cula
imág
enes
y c
oim
ágen
es e
n fu
ncio
nes
real
es s
enci
llas.
3.
3.-
Rep
rese
nta
gráf
icam
ente
func
ione
s re
ales
sen
cilla
s, e
n el
pla
no
cart
esia
no.
Con
cept
o de
func
ión:
D
omin
io y
Rec
orrid
o de
la fu
nció
n N
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clat
ura
func
iona
l -C
álcu
lo d
e im
ágen
es y
coi
mág
enes
de
func
ione
s se
ncill
as.
Ela
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Car
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ngen
iero
Civ
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rial
. Esp
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Téc
nico
Fech
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ero
de 2
010
Val
idó
Téc
nica
men
te: A
lfre
do T
ala
Car
go: C
oord
inad
or N
acio
nal d
e C
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ias
Bás
icas
Fech
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nero
de
2010
Val
idó
Peda
gógi
cam
ente
: Pat
rici
o A
lcaí
no
Car
go: E
ncar
gado
Pro
yect
o y
Dis
eño
Cur
ricu
lar
Fech
a: e
nero
de
2010
calc
ulad
ora
cien
tífic
a.
-R
epre
sent
ació
n gr
áfic
a.
9. R
esue
lven
pro
blem
as d
e la
vid
a co
tidia
na y
de
la e
spec
ialid
ad
aplic
ando
la fu
nció
n lin
eal c
omo
mod
elo.
3.4.
- Id
entif
ica
la fu
nció
n lin
eal y
la c
arac
teriz
a a
trav
és d
e su
s pa
rám
etro
s, c
eros
y g
ráfic
a.
3.5.
- A
naliz
a e
inte
rpre
ta la
pen
dien
te e
inte
rcep
to.
3.6.
- C
alcu
la e
cuac
ión
de la
rec
ta e
n su
s fo
rmas
prin
cipa
l y g
ener
al.
3.7.
- R
esue
lve
prob
lem
as d
e la
vid
a co
tidia
na y
de
la e
spec
ialid
ad
aplic
ando
la fu
nció
n lin
eal c
omo
mod
elo.
-Fun
ción
line
al:
Car
acte
ríst
icas
E
cuac
ión
repr
esen
tativ
a G
ráfic
o A
plic
acio
nes
10. R
esue
lven
pro
blem
as d
e la
vid
a co
tidia
na y
de
la e
spec
ialid
ad
aplic
ando
la fu
nció
n cu
adrá
tica
com
o m
odel
o.
3.8.
- R
epre
sent
a gr
áfic
amen
te fu
ncio
nes
cuad
rátic
as in
dica
ndo
sus
elem
ento
s ca
ract
erís
ticos
. 3.
9.-
Util
iza
los
elem
ento
s ca
ract
erís
ticos
de
una
func
ión
cuad
rátic
a pa
ra in
terp
reta
r su
com
port
amie
nto.
3.
10.-
Apl
ica
mét
odos
grá
fico
y an
alíti
co p
ara
reso
lver
ecu
acio
nes
de
segu
ndo
grad
o.
3.11
.- U
tiliz
a la
func
ión
cuad
rátic
a pa
ra m
odel
ar y
res
olve
r pr
oble
mas
de
la v
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cotid
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.
Fun
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C
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La p
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men
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n ge
nera
l y p
artic
ular
G
ráfic
o A
plic
acio
nes
de la
func
ión
cuad
rátic
a
11. R
esue
lven
pro
blem
as d
e la
vid
a co
tidia
na y
de
la e
spec
ialid
ad
aplic
ando
la fu
nció
n ex
pone
ncia
l y
loga
rítm
ica
com
o m
odel
o.
3.12
-Ide
ntifi
ca la
func
ión
expo
nenc
ial d
e la
form
a y
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⋅
, y la
cara
cter
izan
a tr
avés
de
sus
pará
met
ros,
cer
os y
grá
fica,
cua
ndo
10
<<
y c
uand
o 1
>
.
3.13
-R
esue
lve
prob
lem
as c
onte
xtua
lizad
os e
n el
mun
do c
otid
iano
y
en la
esp
ecia
lidad
, apl
ican
do e
l mod
elo
expo
nenc
ial.
3.14
-Ide
ntifi
ca la
func
ión
loga
rítm
ica
de la
form
a y
=
+, y
la
cara
cter
izan
a tr
avés
de
sus
pará
met
ros,
cer
os y
grá
fica.
3.
15 -
Res
uelv
e pr
oble
mas
con
text
ualiz
ados
en
el m
undo
cot
idia
no y
en
la e
spec
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plic
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el m
odel
o ex
pone
ncia
l y lo
garí
tmic
o.
-Fun
ción
exp
onen
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: E
cuac
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Grá
ficos
A
plic
acio
nes
-Fun
ción
loga
rítm
ica:
G
ráfic
os
Apl
icac
ione
s
IV:
OR
IEN
TA
CIO
NE
S M
ET
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